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CALCULO INTEGRAL
Instituto Tecnolgico Superior de Coatzacoalcos
Alumno: Luis Enrique Izquierdo Velzquez Carrera: Ingeniera en Sistemas Computacionales Asignatura:Calculo Integral Grado: 2do.Semestre Grupo: B Unidad 4: Series Fecha de entrega: 09-Mayo-2011 Docente: Ing. Nila Candelaria de la Cruz Tadeo
ndice
4.1 DEFINICION DE SERIES.............................................................................................................3 4.1.1 SERIE FINITA.........................................................................................................................3 4.1.2 SERIE INFINITA......................................................................................................................3 4.3 SERIE DE POTENCIAS ..............................................................................................................5 4.4 RADIO DE CONVERGENCIA.......................................................................................................6 4.5 SERIE DE TAYLOR.....................................................................................................................7
..........................................................................................................................................................................4
Unidad 4: Series
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CALCULO INTEGRAL4.6 REPRESENTACION DE FUNCIONES MEDIENTE LA SERIE TAYLOR .............................................9 4.7 CALCULO DE INTEGRALES DE FUNCIONES EXPRESADAS CON SERIE DE TAYLOR...................11 BIBLIOGRAFIAS............................................................................................................................12
4 - SERIES 4.1 Definicin de serie En matemticas, una serie es la suma de los trminos de una sucesin. Se representa una serie con trminos an como Siendo N es el ndice final de la serie. Las series infinitas son aquellas donde i toma el valor deabsolutamente todos los nmeros naturales. Las series convergen o divergen. Una serie diverge si
No existe o si tiende a infinito;
Converge si: 4.1.1 Finita
Para algn .
xi = 0 para todo i > n y yi = 0 para todo i > m. En este caso el producto de Cauchy de y se verificaes . Por lo tanto, para series finitas (que son sumas finitas), la multiplicacin de Cauchy esdirectamente la multiplicacin de las series. 4.1.2 Infinita Por definicin y la frmula binomial. Dado que, formalmente, y , se ha demostrado que . Como el lmite del producto de Cauchy de dos series absolutamente convergentes es igual al producto de los lmites de esas series (vase debajo), se ha demostrado por lo tanto la frmulaexp(a + b) = exp(a)exp(b) para todo .
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4.2 Serie numrica y convergencia prueba de la razn (criterio de D Alembert) y prueba de la raz (criterio de Cauchy) Criterios de convergencia Clasificar una serie es determinar si converge a un nmero real o si diverge ( u oscilante). Para esto existen distintos criterios que, aplicados a la serie en cuestin, mostrarn de que tipo es (convergente o divergente). Criterio de D'Alembert o Criterio del Cociente (Criterio de la razn)
Sea una serie Si existe
, tal que ak> 0 ( serie de trminos positivos).
con
, el Criterio de D'Alembert establece que:
si L< 1, la serie converge. si L> 1, entonces la serie diverge. si L = 1, no es posible decir algo sobre el comportamiento de la serie.
En este caso, es necesario probar otro criterio, como el criterio de Raabe. Criterio de Cauchy (raz ensima)
Sea una serie
, tal que ak> 0 (serie de trminos positivos). Y supongamos que existe , siendo
Entonces, si:
L< 1, la serie es convergente. L> 1 entonces la serie es divergente. L=1, no podemos concluir nada a priori y tenemos que recurrir al criterio de Raabe, o de comparacin, para ver si podemos llegar a alguna conclusin
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CALCULO INTEGRAL4.3 Serie de potencias Definicin Una serie de potencias en torno al punto z0, es una serie funcional de la forma: C
n= 0
ai a n ( z z 0 ) n = a 0 + a 1 ( z z 0 ) + ... + a n ( z z 0 ) n + ...
Se trata de discutir su convergencia y estudiar propiedades de la suma como funcin de z. Como de se pasa a la por un simple cambio de origen, se estudiar
n =0
a n (z z 0 ) n
n =0
anzn
exclusivamente esa segunda serie.
n + 1n= 1 n
n !
Definicin: Llamamos serie de potencias a toda expresin del tipo
, en donde
anxnoEs decir
a n R
a n x n = a0 + a1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 +....+ a n x n +...0Por ejemplo
x n = 1+ x + x 2 + x 3 +...+ x n +...0en donde todos los valen 1, o
an
n! x n = 1+ x + 2! + 3! +...+ n! x n +...0
1
x2
x3
1
Y todos sus
.Es interesante saber cules son los valores de x R para los que las respectivas series
an =
1 n!
funcionales se convierten en series numricas convergentes. Por ejemplo si en la primera de las dos series
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anteriores hacemos x=0,
es 1 + 0 + 0 +....+ 0 +... y esta serie es obviamente convergente. En cambio si x = 1,
xn0se convierte en 1 + 1 +... +... que es divergente. Pero para x = 1/2 es
1 1 1 1 1+ + + +...+ n +... 2 4 8 2
4.4 Radio de Convergencia
Figura
2.1: Intervalo de convergencia de
, para
.
Las series de potencias
y
tienen el mismo radio de convergencia,
, pero un
comportamiento distinto en el extremo .Las animaciones siguientes muestran grficamente el comportamiento local de ambas series en las proximidades del punto.
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Animacin 2.2: La serie la serie de potencias original.
en
.
Animacin 2.3: La serie
en
.
El radio de convergencia de la serie obtenida al derivar o integrar una serie de potencias es el mismo que el de El intervalo de convergencia, por lo contrario, puede diferir al comportamiento en sus puntos terminales.
4.5 Serie de Taylor DESARROLLO EN SERIE DE TAYLOR La funcin p(x)=a0+a1x+a22+.+anxn, en la que los coeficientes ak son constantes, se llama polinomio de grado n. En particular y=ax+b es un polinomio de primer grado e y=ax2+bx+c es un polinomio de segundo grado. Los polinomios pueden considerarse las funciones ms sencillas de todas. Para calcular su valor para una x dada, necesitamos emplear nicamente las operaciones de adicin, sustraccin y multiplicacin; ni siquiera la divisin es necesaria. Los polinomios son funciones continuas para todo x y tienen derivadas de cualquier orden. Adems la derivada de un polinomio es tambin un polinomio de grado inferior en una unidad, y las derivadas de orden n+1 y superiores de un polinomio de grado n son nulas. Si a los polinomios aadimos las funciones de la forma y=p(x)/q(x) (cociente de polinomios, para cuyo clculo necesitamos tambin de la divisin), las funciones raz cuadrada de x y raz cbica de x, y finalmente, las combinaciones aritmticas de los tipos anteriores, obtenemos esencialmente las funciones cuyos valores pueden calcularse por mtodos aprendidos en el bachillerato. A este nivel se tienen nociones de algunas otras funciones tales como log(x), sen(x), ex, , pero, aunque se estudian sus propiedades ms importantes, no se da una respuesta a las preguntas: Cmo calcularlas? Qu clase de operaciones, por ejemplo, es necesario realizar sobre la x para obtener log(x) o sen(x)?. La respuesta a estas preguntas la proporcionan los mtodos desarrollados por el anlisis matemtico. Examinemos uno de estos mtodos. Frmula de Taylor Sea f(x) una funcin definida en un intervalo que contiene al punto a, con derivada de todos los rdenes. El polinomio de primer grado p1(x) = f(a) + f (a) (x-a) tiene el mismo valor que f(x) en el punto x=a y tambin, como se comprueba fcilmente, la misma derivada que f(x) en este punto. Su grfica es una recta tangente a la grfica de f(x) en el punto a. Es posible elegir un polinomio de segundo grado, p2(x) = f(a) + f (a) (x-a) + f (a) (x-a)2, tal que en el punto x=a tenga el mismo valor que f(x) y valores tambin iguales para su primera y segunda derivadas. Su grfica en el punto a se acercar a la de f(x) ms que la anterior. Es natural esperar que si construimos un polinomio que en x=a tenga las mismas n primeras derivadas que f(x) en el mismo punto, este polinomio se aproximar ms a f(x) en los puntos x prximos a a. As obtenemos la siguiente igualdad aproximada, que es la frmula de Taylor: f(x) f(a) + f (a) (x-a) + (1/2!) f (a) (x-a)2 + + (1/n!) f (n)(a) (x-a) n El segundo miembro de esta frmula es un polinomio de grado n en (x-a). Para cada valor de x puede calcularse el valor de este polinomio se se conocen los valores de f(a) y de sus n primeras derivadas. Para funciones que tienen derivada (n+1)-sima, el segundo miembro de esta frmula, como se demuestra fcilmente, difiere del primero en una pequea cantidad que tiende a cero ms rpidamente que (x-a)n. Adems , es el nico polinomio de grado n que difiere de f(x), para x prximo a a, en un valor que tiende a cero (cuando x tiende a a) ms rpidamente que (x-a)n. Si f(x) es un polinomio algebraico de grado n, entonces la igualdad aproximada anterior es una verdadera igualdad.
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CALCULO INTEGRALPara que sea exacta la igualdad aproximada anterior, debemos aadir al segundo miembro un trmino ms, llamado resto: f(x) = f(a)+f (a)(x-a)+(1/2!) f (a)(x-a)2+ +(1/n!) f (n)(a)(x-a)n+(1/(n+1)!) f (n+1)(x-a)n+1 El resto tiene la peculiaridad de que la derivada que en l aparece debe calcularse en cada caso, no en el punto a, sino en un punto c convenientemente elegido, desconocido, pero interior al intervalo de extremos a y x. La demostracin de la igualdad anterior es bastante engorrosa, aunque sencilla en esencia. Las leyes naturales pueden expresarse, por regla general, con buena aproximacin por funciones derivables un nmero arbitrario de veces, y por ello pueden ser aproximadas por polinomios cuyo grado viene determinado por la precisin deseada. La frmula de Taylor, que abre el camino para la mayora de los clculos en el anlisis aplicado, es muy importante desde el punto de vista prtico. La idea de aproximar una funcin mediante polinomios o de representarla como suma de un nmero finito de funciones ms sencillas alcanz un gran desarrollo en el anlisis, donde constituye ahora una rama independiente: la teora de la aproximacin de funciones. En las siguientes escenas podemos observar cmo la grfica de las funciones se va tapando con la grfica del polinomio de Taylor al aumentar el grado del polinomio. Para un valor de x calculamos la diferencia entre el valor real y el valor del polinomio correspondiente. Al aumentar el grado del polinomio esa diferencia es cada vez menor. Hemos calculado los polinomios de Taylor para a=0.
4.6 Representacin de funciones mediante la serie de taylor A continuacin se enumeran algunas series de Taylor de funciones bsicas. Todos los desarrollos son tambin vlidos para valores complejos de x. Funcin exponencial y logaritmo natural
Serie geomtrica
Teorema del binomio
para y cualquier complejo
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CALCULO INTEGRALFunciones trigonomtricas
Donde Bs son los Nmeros de Bernoulli.
Funciones hiperblicas
Funcin W de Lambert
Los nmeros Bk que aparecen en los desarrollos de tan(x) y tanh(x) son Nmeros de Bernoulli. Los valores C(,n) del desarrollo del binomio son los coeficientes binomiales. Los Ek del desarrollo de sec(x) son Nmeros de Euler. Varias variables La serie de Taylor se puede generalizar a funciones de d variables:
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donde es un coeficiente multinomial. Como ejemplo, para una funcin de 2 variables, x e y, la serie de Taylor de segundo orden en un entorno del punto (a, b) es:
4.7 Calculo de integrales de funciones expresadas como serie de taylor Exprese Como serie de Maclaurin. Solucin: Hallamos las derivadas n -simas :
A partir de estos resultados, queremos intentar hallar una frmula para, en trminos de. Cmo lo hacemos? En las anteriores derivadas hay expresiones que no cambian, y otras que van cambiando,que les damos nombres:
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[por ejemplo
,
,
y
]. y . dos columnas los
A partir de esto es fcil concluir que Para hallar valores de y y
utilizamos el mtodo de flechas, que consiste en organizar en :
Vemos que cuando aumenta , aumenta . De modo que . Por ejemplo , luego . De modo que . Similarmente por el mtodo de las flechas se puede hallar (hacerlo), y queda . Resumiendo, . Notamos que el anlisis anterior slo sirve para .
Bibliografa http://www.mitecnologico.com/Main/DefinicionFuncionPrimitiva (ultimo acceso: 02 de Mayo de 2011)
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4.7 CALCULO DE INTEGRALES DE FUNCIONES EXPRESADAS COMO SERIE DE TAYLOR DESARROLLO EN SERIE DE TAYLOR Se incluye la serie de Taylor como una herramienta para la representacin de funciones como una serie de potencias. Tambin para calcular integrales definidas de funciones con primitivas difcil de determinar. La funcin p(x)=a0+a1x+a2x2+..........+anxn, en la que los coeficientes ak son constantes, se llama polinomio de grado n. En particular y=ax+b es un polinomio de primer grado e y=ax2+bx+c es un polinomio de segundo grado. Los polinomios pueden considerarse las funciones ms sencillas de todas. Para calcular su valor para una x dada, necesitamos emplear nicamente las operaciones de adicin, sustraccin y multiplicacin; ni siquiera la divisin es necesaria. Los polinomios son funciones continuas para todo x y tienen derivadas de cualquier orden. Adems la derivada de un polinomio es tambin un polinomio de grado inferior en una unidad, y las derivadas de orden n+1 y superiores de un polinomio de grado n son nulas. Publicado por: Andrs Forero Cuervo En: http://elcentro.uniandes.edu.co/cr/mate/calculo/integral/ejertaylor1/ejertaylor1/node1.html Frmula de Taylor f(x) f(a) + f '(a) (x-a) + (1/2!) f ' '(a) (x-a)2 + ...... + (1/n!) f (n)(a) (x-a) nEJEMPLO:
Exprese
Como serie de TAYLOR -simas :
Solucin: Hallamos las derivadas . .
.
.
.
.
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Las series de Taylor surgen de una ecuacin que el desarrollo en la cual se puede encontrar una solucin aproximada a una funcin. Esto creo que serva antes de que se inventaran las calculadoras que pueden resolver funciones trigonomtricas y exponenciales y logartmicas etc.
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CALCULO INTEGRALLa serie de Taylor se basa en ir haciendo operaciones segn una ecuacin general y mientras mas operaciones tenga la serie mas exacto ser el resultado que se esta buscando. Dicha ecuacin es la siguiente:
Con el objetivo solo de demostrar la serie se aplicara con las funciones e, seno y coseno. Como se puede observar en la ecuacin, hay una parte en la cual hay que desarrollar un binomio (x-a)n por lo que para simplificar el asunto se igualara a "a" siempre a 0. Para fines prcticos no afecta mucho en el resultado si se hacen muchas operaciones en la serie. Funcin e Se puede aplicar la ecuacin de las series de Taylor como mas sencillo le resulte a cada quien, una de tantas formas la explicare aqu. Lo primero que se hace es derivar unas 3 o 4 veces la funcin, esto porque algunas funciones empiezan a tener un patrn repetitivo despus de cierto numero de derivaciones, como la funcin e. Despus se tiene que sustituir "a" en cada una de las derivadas, pero como se decidi que "a" era 0 se sustituye un 0 en cada derivada y se observa que resultados da.
Esto de sustituir en cada derivada es solo para simplificar la ecuacin de la serie y para darnos una idea de como se comporta la funcin. Una vez que se tiene una idea del comportamiento de la funcin se puede ir empezando a armar la ecuacin de la serie:
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Con las primeras operaciones que se hicieron al principio se puede ver como se ira llenando la serie mientras mas elementos se le agreguen para que el resultado sea mas preciso. Todo esto fue para ver como es la serie de la funcin e, ahora para conocer algun resultado simplemente se sustituye en donde quedaron Funcin Seno En el caso de la funcin seno el procedimiento que se sigue es el mismo
Funcin Coseno Para el coseno elUnidad 4: Series Pgina | 14
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procedimient o es el mismo. Primero se deriva varias veces laUnidad 4: Series Pgina | 15
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funcin y se sustituye en valor de "a" en cada una paraUnidad 4: Series Pgina | 16
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observar el patrn.
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