Calculo 2 de varias variables larson 9na edi

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Clculo 2

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REVISORES TCNICOS

MXICO

Jos de Jess ngel ngelUniversidad Anhuac Norte

Miguel ngel Arredondo MoralesUniversidad Iberoamericana Len

Vctor Armando Bustos PeterInstituto Tecnolgico y de Estudio Superiores de Monterrey, Campus Toluca

Aureliano Castro CastroUniversidad Autnoma de Sinaloa

Javier Franco ChacnTecnolgico de Monterrey, Campus Chihuahua

Sergio Fuentes MartnezUniversidad Anhuac Mxico Norte

Enrique Gonzlez AcostaInstituto Tecnolgico y de Estudios Superiores de Monterrey, Campus Sonora Norte

Miguel ngel Lpez MarioInstituto Tecnolgico y de Estudios Superiores de Monterrey, Campus Central de Veracruz

Eleazar Luna BarrazaUniversidad Autnoma de Sinaloa

Toms Narciso Ocampo PazInstituto Tecnolgico de Toluca

Velia Prez GonzlezUniversidad Autnoma de Chihuahua

Ignacio Ramrez VargasInstituto Tecnolgico y de Estudios Superiores de Monterrey, Campus Hidalgo

Hctor SelleyUniversidad Anhuac Norte

Jorge Alberto Torres GuillnUniversidad de Guadalajara

Enrique Zamora GallardoUniversidad Anhuac Norte

COLOMBIA

Petr ZhevandrovUniversidad de La Sabana

Jorge Augusto Prez AlczarUniversidad EAN

Liliana Barreto ArciniegasPontificia Universidad Javeriana

Gustavo de J. Castaeda RamrezUniversidad EAFIT

Jairo Villegas G.Universidad EAFIT

PER

Carlos Enrique Peralta Santa CruzUniversidad Continental de Ciencias e Ingeniera

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Clculo 2de varias variablesNovena edicin

Ron LarsonThe Pennsylvania State UniversityThe Behrend College

Bruce H. EdwardsUniversity of Florida

Revisin tcnicaMarlene Aguilar AbaloInstituto Tecnolgico y de Estudios Superiores de Monterrey, Campus Ciudad de Mxico

Jos Job Flores GodoyUniversidad Iberoamericana

Joel Ibarra EscutiaInstituto Tecnolgico de Toluca

Linda M. Medina HerreraInstituto Tecnolgico y de Estudios Superiores de Monterrey, Campus Ciudad de Mxico

MXICO BOGOT BUENOS AIRES CARACAS GUATEMALA MADRID NUEVA YORK SAN JUAN SANTIAGO SO PAULO AUCKLAND LONDRES MILN MONTREAL

NUEVA DELHI SAN FRANCISCO SINGAPUR ST. LOUIS SIDNEY TORONTO

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Director Higher Education: Miguel ngel Toledo CastellanosEditor sponsor: Pablo E. Roig VzquezCoordinadora editorial: Marcela I. Rocha MartnezEditora de desarrollo: Ana L. Delgado RodrguezSupervisor de produccin: Zeferino Garca GarcaTraduccin: Joel Ibarra Escutia, ngel Hernndez Fernndez, Gabriel Nagore Czares, Sergio Antonio Durn Reyes

CLCULO 2 DE VARIAS VARIABLESNovena edicin

Prohibida la reproduccin total o parcial de esta obra,por cualquier medio, sin autorizacin escrita del editor.

DERECHOS RESERVADOS 2010, respecto a la novena edicin en espaol porMcGRAW-HILL/INTERAMERICANA EDITORES, S.A. DE C.V.A Subsidiary of The McGraw-Hill Companies, Inc.

Edifi cio Punta Santa FeProlongacin Paseo de la Reforma Nm. 1015, Torre APiso 17, Colonia Desarrollo Santa FeDelegacin lvaro ObregnC.P. 01376, Mxico, D.F.Miembro de la Cmara Nacional de la Industria Editorial Mexicana, Reg. Nm. 736

ISBN 978-970-10-7134-2

Traducido de la novena edicin de: Calculus. Copyright 2010 by Brooks/Cole, a Cengage Learning Company.All rights reserved. ISBN-13: 978-1-4390-3033-2

TI es una marca registrada de Texas Instruments, Inc.Mathematica es una marca registrada de Wolfram Research, Inc.Maple es una marca registrada de Waterloo Maple, Inc.

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Impreso en China Printed in China

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ontenidoC

v

Unas palabras de los autores ixAgradecimientos xCaractersticas xii

CAPTULO 10 Cnicas, ecuaciones paramtricas y coordenadas polares 695

10.1 Cnicas y clculo 69610.2 Curvas planas y ecuaciones paramtricas 711PROYECTO DE TRABAJO: Cicloides 72010.3 Ecuaciones paramtricas y clculo 72110.4 Coordenadas polares y grficas polares 731PROYECTO DE TRABAJO: Arte anamrfico 74010.5 rea y longitud de arco en coordenadas polares 74110.6 Ecuaciones polares de las cnicas y leyes de Kepler 750 Ejercicios de repaso 758SP Solucin de problemas 761

CAPTULO 11 Vectores y la geometra del espacio 76311.1 Vectores en el plano 76411.2 Coordenadas y vectores en el espacio 77511.3 El producto escalar de dos vectores 78311.4 El producto vectorial de dos vectores en el espacio 79211.5 Rectas y planos en el espacio 800PROYECTO DE TRABAJO: Distancias en el espacio 81111.6 Superficies en el espacio 81211.7 Coordenadas cilndricas y esfricas 822 Ejercicios de repaso 829SP Solucin de problemas 831

CAPTULO 12 Funciones vectoriales 83312.1 Funciones vectoriales 834PROYECTO DE TRABAJO: Bruja de Agnesi 84112.2 Derivacin e integracin de funciones vectoriales 84212.3 Velocidad y aceleracin 85012.4 Vectores tangentes y vectores normales 85912.5 Longitud de arco y curvatura 869 Ejercicios de repaso 881SP Solucin de problemas 883

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vi Contenido

CAPTULO 13 Funciones de varias variables 88513.1 Introduccin a las funciones de varias variables 88613.2 Lmites y continuidad 89813.3 Derivadas parciales 908PROYECTO DE TRABAJO: Franjas de Moir 91713.4 Diferenciales 91813.5 Regla de la cadena para funciones de varias variables 92513.6 Derivadas direccionales y gradientes 93313.7 Planos tangentes y rectas normales 945PROYECTO DE TRABAJO: Flora silvestre 95313.8 Extremos de funciones de dos variables 95413.9 Aplicaciones de los extremos de funciones de dos variables 962PROYECTO DE TRABAJO: Construccin de un oleoducto 96913.10 Multiplicadores de Lagrange 970 Ejercicios de repaso 978SP Solucin de problemas 981

CAPTULO 14 Integracin mltiple 98314.1 Integrales iteradas y rea en el plano 98414.2 Integrales dobles y volumen 99214.3 Cambio de variables: coordenadas polares 100414.4 Centro de masa y momentos de inercia 1012PROYECTO DE TRABAJO: Centro de presin sobre una vela 101914.5 rea de una superficie 1020PROYECTO DE TRABAJO: Capilaridad 102614.6 Integrales triples y aplicaciones 102714.7 Integrales triples en coordenadas cilndricas y esfricas 1038PROYECTO DE TRABAJO: Esferas deformadas 104414.8 Cambio de variables: jacobianos 1045 Ejercicios de repaso 1052SP Solucin de problemas 1055

CAPTULO 15 Anlisis vectorial 105715.1 Campos vectoriales 105815.2 Integrales de lnea 106915.3 Campos vectoriales conservativos e independencia de la trayectoria 108315.4 Teorema de Green 1093PROYECTO DE TRABAJO: Funciones hiperblicas y trigonomtricas 110115.5 Superficies paramtricas 110215.6 Integrales de superficie 1112PROYECTO DE TRABAJO: Hiperboloide de una hoja 112315.7 Teorema de la divergencia 1124

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Contenido vii

15.8 Teorema de Stokes 1132 Ejercicios de repaso 1138PROYECTO DE TRABAJO: El planmetro 1140SP Solucin de problemas 1141

Apndice A Demostracin de teoremas seleccionados A-2

Apndice B Tablas de integracin A-4

Soluciones de los ejercicios impares A-9ndice analtico I-57

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ix

Bienvenido a la novena edicin de Clculo! Nos enorgullece ofrecerle una nueva versin revisada de nuestro libro de texto. Mucho ha cambiado desde que escribimos la primera edicin hace ms de 35 aos. En cada edicin los hemos escuchado a ustedes, esto es, nuestros usuarios, y hemos incorporado muchas de sus sugerencias para mejorar el libro.

A lo largo de los aos, nuestro objetivo ha sido siempre escribir con precisin y de manera legible conceptos fundamentales del clculo, claramente definidos y demostrados. Al escribir para estudiantes, nos hemos esforzado en ofrecer caractersticas y materiales que desarrollen las habilidades de todos los tipos de estudiantes. En cuanto a los profesores, nos enfocamos en proporcionar un instrumento de enseanza amplio que emplea tcnicas pe-daggicas probadas, y les damos libertad para que usen en forma ms eficiente el tiempo en el saln de clase.

Tambin hemos agregado en esta edicin una nueva caracterstica denominada ejercicios Para discusin. Estos problemas conceptuales sintetizan los aspectos clave y proporcionan a los estudiantes mejor comprensin de cada uno de los conceptos de seccin. Los ejercicios Para discusin son excelentes para esa actividad en el saln de clase o en la preparacin de exmenes, y a los profesores puede resultarles valioso integrar estos problemas dentro de su repaso de la seccin. stas y otras nuevas caractersticas se unen a nuestra pedagoga pro-bada en el tiempo, con la meta de permitir a los estudiantes y profesores hacer el mejor uso del libro.

Esperamos que disfrute la novena edicin de Clculo. Como siempre, sern bienveni-dos los comentarios y sugerencias para continuar mejorando la obra.

Ron Larson Bruce H. Edwards

nas palabras de los autoresU

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Nos gustara dar las gracias a muchas personas que nos ayudaron en varias etapas de este proyecto a lo largo de los ltimos 35 aos. Su estmulo, crticas y sugerencias han sido in-valuables.

Revisores de la novena edicin

Ray Cannon, Baylor UniversitySadeq Elbaneh, Buffalo State CollegeJ. Fasteen, Portland State UniversityAudrey Gillant, Binghamton UniversitySudhir Goel, Valdosta State UniversityMarcia Kemen, Wentworth Institute of TechnologyIbrahima Khalil Kaba, Embry Riddle Aeronautical UniversityJean-Baptiste Meilhan, University of California RiversideCatherine Moushon, Elgin Community CollegeCharles Odion, Houston Community CollegeGreg Oman, The Ohio State UniversityDennis Pence, Western Michigan UniversityJonathan Prewett, University of WyomingLori Dunlop Pyle, University of Central FloridaAaron Robertson, Colgate UniversityMatthew D. Sosa, The Pennsylvania State UniversityWilliam T. Trotter, Georgia Institute of TechnologyDr. Draga Vidakovic, Georgia State UniversityJay Wiestling, Palomar CollegeJianping Zhu, University of Texas at Arlington

Miembros del Comit de Asesores de la novena edicin

Jim Braselton, Georgia Southern University; Sien Deng, Northern Illinois University; Dimitar Grantcharov, University of Texas, Arlington; Dale Hughes, Johnson County Community College; Dr. Philippe B. Laval, Kennesaw State University; Kouok Law, Georgia Perimeter College, Clarkson Campus; Mara D. Neusel, Texas Tech University; Charlotte Newsom, Tidewater Community College, Virginia Beach Campus; Donald W. Orr, Miami Dade College, Kendall Campus; Jude Socrates, Pasadena City College; Betty Travis, University of Texas at San Antonio; Kuppalapalle Vajravelu, University of Central

Florida

Revisores de ediciones anteriores

Stan Adamski, Owens Community College; Alexander Arhangelskii, Ohio University; Seth G. Armstrong, Southern Utah University; Jim Ball, Indiana State University; Marcelle Bessman, Jacksonville University; Linda A. Bolte, Eastern Washington University; James Braselton, Georgia Southern University; Harvey Braverman, Middlesex County College; Tim Chappell, Penn Valley Community College; Oiyin Pauline Chow, Harrisburg Area Community College; Julie M. Clark, Hollins University; P.S. Crooke, Vanderbilt University;

gradecimientosA

x

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Agradecimientos xi

Jim Dotzler, Nassau Community College; Murray Eisenberg, University of Massachusetts at Amherst; Donna Flint, South Dakota State University; Michael Frantz, University of La Verne; Sudhir Goel, Valdosta State University; Arek Goetz, San Francisco State University; Donna J. Gorton, Butler County Community College; John Gosselin, University of Georgia; Shahryar Heydari, Piedmont College; Guy Hogan, Norfolk State University; Ashok Kumar, Valdosta State University; Kevin J. Leith, Albuquerque Community College; Douglas B. Meade, University of South Carolina; Teri Murphy, University of Oklahoma; Darren Nara-yan, Rochester Institute of Technology; Susan A. Natale, The Ursuline School, NY; Terence H. Perciante, Wheaton College; James Pommersheim, Reed College; Leland E. Rogers, Pepperdine University; Paul Seeburger, Monroe Community College; Edith A. Silver, Mer-cer County Community College; Howard Speier, Chandler-Gilbert Community College; Desmond Stephens, Florida A&M University; Jianzhong Su, University of Texas at Arling-ton; Patrick Ward, Illinois Central College; Diane Zych, Erie Community College

Muchas gracias a Robert Hostetler, de The Behrend College, en The Pennsylvania State University, y a David Heyd, de la misma institucin, por sus importantes contribuciones a las ediciones previas de este texto.

Una nota especial de agradecimiento a los profesores que respondieron nuestra encues-ta y a los ms de dos millones de estudiantes que han usado las ediciones anteriores de la obra.

Tambin quisiramos agradecer al personal de Larson Texts, Inc., que apoy en la preparacin del manuscrito, realiz el diseo editorial, levant la tipografa y ley las prue-bas de las pginas y suplementos en la edicin en ingls.

En el mbito personal, estamos agradecidos con nuestras esposas, Deanna Gilbert Larson y Consuelo Edwards, por su amor, paciencia y apoyo. Adems, una nota especial de gratitud para R. Scott ONeil.

Si usted tiene sugerencias para mejorar este texto, por favor sintanse con la libertad de escribirnos. A lo largo de los aos hemos recibido muchos comentarios tiles tanto de los profesores como de los estudiantes, y los valoramos sobremanera.

Ron Larson

Bruce H. Edwards

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aractersticasC

NUEVO! Los ejercicios para discusin que aparecen ahora en cada seccin sintetizan los conceptos principales de cada una y muestran a los estudiantes cmo se relacionan los temas. A menudo constituyen problemas de varias partes que contienen aspectos conceptuales y no computacionales, y que pueden utilizarse en discusiones de clase o en la preparacin de exmenes.

PARA DISCUSIN

Los ejercicios de desarrollo de conceptos son preguntas diseadas para evaluar la comprensin de los estudian-tes en torno a los conceptos bsicos de cada seccin. Estos ejercicios animan a los estudiantes a verbalizar y escribir respuestas, lo que promueve habilidades de comunicacin tcnica que sern invaluables en sus futuras carreras.

Herramientas pedaggicas

72. Utilizar la grfica para responder a las siguientes preguntas.

a) Entre qu par de puntos consecutivos es mayor la razn de cambio promedio de la funcin?

b) La razn de cambio promedio de entre A y B es mayor o menor que el la razn de cambio instantneo en B?

c) Trazar una recta tangente a la grfica entre los puntos C y D cuya pendiente sea igual a la razn de cambio promedio de la funcin entre C y D.

x

f

CCAA

BB

ED E

y

Para discusin

DESARROLLO DE CONCEPTOS

x1

1

2

2

3

3

4

4

5

5(1, 5)

(5, 1)

y

x1

1

2

2

3

3

4

4

5

5(1, 5)

(5, 1)

y

Desarrollo de conceptos

11. Considerar la longitud de la grfica de f(x) 5/x, desde (1, 5) hasta (5, 1):

a) Estimar la longitud de la curva mediante el clculo de la distancia entre sus extremos, como se muestra en la primera figura.

b) Estimar la longitud de la curva mediante el clculo de las longitudes de los cuatro segmentos de recta, como se muestra en la segunda figura.

c) Describir cmo se podra continuar con este proceso a fin de obtener una aproximacin ms exacta de la longitud de la curva.

Las ayudas de estudio distinguen errores comunes, indican casos especiales que pueden provocar confusin, y amplan a conceptos importantes. Estas ayudas proporcionan a los estudiantes informacin puntual, similar a los comentarios del profesor en clase.

AYUDA DE ESTUDIO Cuando se use la definicin para encontrar la derivada de una funcin, la clave consiste en volver a expresar el cociente incremental (o cociente de diferencias), de manera que x no aparezca como factor del denominador. AYUDA DE ESTUDIO El ejemplo 3 tam-

bin se puede resolver sin hacer uso de la regla de la cadena, si se observa que

y x6 3x4 3x2 1AYUDA DE ESTUDIO Tener en cuenta

que se puede comprobar la respuesta de un problema de integracin al derivar la

C l j l 7

A lo largo del texto, se trabajan ejemplos paso a paso, que muestran los procedimientos y tcnicas para resolver problemas, y dan a los estudiantes una comprensin amplia de los conceptos del clculo.

xii

EJEMPLOSEJEMPLO 1 Levantamiento de un objeto

Determinar el trabajo realizado al levantar un objeto de 50 libras a 4 pies.

Solucin La magnitud de la fuerza requerida F es el peso del objeto, como se muestra en la figura 7.48. As, el trabajo realizado al levantar el objeto 4 pies es

Trabajo (fuerza)(distancia).

Fuerza 50 libras, distancia 4 pies.

libras-pies. 200

50 4

W FD

AYUDAS DE ESTUDIO

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Caractersticas xiii

La prctica hace al maestro. Los ejercicios son con frecuencia el primer lugar que consultan los estudiantes en un libro de texto. Los autores han dedicado mucho tiempo analizndolos y revisndolos; el resultado es un completo y slido conjunto de ejercicios de diferentes tipos y niveles de dificultad al final de cada seccin para considerar todos los estilos de aprendizaje de los estudiantes.

EJERCICIOS

En los ejercicios 13 a 22, formular una integral definida que pro-duce el rea de la regin. (No evaluar la integral.)

13. 14.

15. 16.

En los ejercicios 1 y 2, utilizar el ejemplo 1 como modelo para evaluar el lmite

lmn

n

i 1f ci xi

sobre la regin delimitada por las grficas de las ecuaciones.

1.

2.

En los ejercicios 3 a 8, evaluar la integral definida mediante la definicin de lmite.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

(Sugerencia: Sea )

(Sugerencia: Sea )ci i3 n3.

x 1x 0,y 0,f x 3 x,

ci 3i2 n2.

x 3x 0,y 0,f x x,

8

6

4

2

y

4

3

2

1

y

f x x2f x 4 x

Ejercicios4.3

2

1 x2 1 dx

1

1 x3 dx

6

2 8 dx

1

2 2x2 3 dx

4

1 4x2 dx

3

2 x dx

1 2 3 4 512

1

2

3

4

5

6

x

y

x1 2 3 4 5

5

4

3

2

1

y

f x 6 3xf x 5

63. Ciclo respiratorio El volumen V en litros de aire en los pulmo-nes durante un ciclo respiratorio de cinco segundos se aproxima mediante el modelo V 0.1729t 0.1522t2 0.0374t3 donde t es el tiempo en segundos. Aproximar el volumen medio de aire en los pulmones durante un ciclo.

64. Promedio de ventas Una compaa ajusta un modelo a los datos de ventas mensuales de un producto de temporada. El modelo es

0 t 24S tt4

1.8 0.5 sent

6,

donde S son las ventas (en miles) y t es el tiempo en meses.

a) Utilizar una herramienta de graficacin para representar (t) 0.5 sen( t 6) para 0 t 24. Emplear la grfica para explicar por qu el valor medio de (t) es cero sobre el intervalo.

b) Recurrir a una herramienta de graficacin para representar S(t) y la recta g(t) t 4 1.8 en la misma ventana de observacin. Utilizar la grfica y el resultado del apartado a) para explicar por qu g recibe el nombre recta de ten-dencia.

65. Modelado matemtico Se prueba un vehculo experimental en una pista recta. Parte del reposo y su velocidad v (metros por segun-do) se registra en la tabla cada 10 segundos durante un minuto.

t 0 10 20 30 40 50 60

v 0 5 21 40 62 78 83

a) Emplear una herramienta de graficacin para determinar un modelo de la forma v at3 bt2 ct d para los datos.

Cundo usar esto?, los autores tratan de responder esta pregunta de los estudiantes con ejercicios y ejemplos que se seleccionaron con todo cuidado. Las aplicaciones se toman de diversas fuentes: eventos actuales, datos de trabajo, tendencias industriales, y se relacionan con una amplia gama de intereses. Entender dnde se usa (o puede usarse) el clculo fomenta una comprensin ms completa del material.

APLICACIONES

Los ejercicios de repaso ubicados al final de cada captulo proporcionan a los estudiantes ms oportunidades para practicar. Estos conjuntos de ejercicios constituyen una revisin completa de los conceptos del captulo y son un medio excelente para que los estudiantes preparen un examen.

318 CAPTULO 4 Integracin

En los ejercicios 1 y 2, utilizar la grfica de f para dibujar una grfica de .

1. 2.

En los ejercicios 3 a 8, encontrar la integral indefinida.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. Encontrar la solucin particular de la ecuacin diferencial (x) 6x cuya grfica pasa por el punto (1, 2).

10. Encontrar la solucin particular de la ecuacin diferencial (x) 6(x 1) cuya grfica pasa por el punto (2, 1) y es tangente a la recta 3x y 5 0 en ese punto.

Campos de pendientes En los ejercicios 11 y 12 se da una ecuacin diferencial, un punto y un campo de pendientes. a) Dibujar dos soluciones aproximadas de la ecuacin diferencial en el campo de pendiente, una de las cuales pase a travs del punto indicado. b) Utilizar la integracin para encontrar la solucin particular de la ecuacin diferencial y utilizar una herramienta de graficacin para representar la solucin.

11. 12.

x

f

y

x

f

y

una distancia de 264 pies. Encontrar la distancia en la cual el automvil puede llegar al reposo a partir de una velocidad de 30 millas por hora, suponiendo la misma desaceleracin constante.

15. Velocidad y aceleracin Se lanza una pelota hacia arriba verticalmente desde el nivel del suelo con una velocidad inicial de 96 pies por segundo.

a) Cunto tardar la pelota en alcanzar su altura mxima? Cul es la altura mxima?

b) Cundo la velocidad de la pelota es la mitad de la velocidad inicial?

c) A qu altura est la pelota cuando su velocidad es la mitad de la velocidad inicial?

16. Modelado matemtico La tabla muestra las velocidades (en millas por hora) de dos carros sobre una rampa de acceso a una carretera interestatal. El tiempo t est en segundos.

a) Reescribir las velocidades en pies por segundo. b) Usar las capacidades de regresin de una herramienta de

graficacin para encontrar los modelos cuadrticos para los datos en el apartado a).

c) Aproximar la distancia recorrida por cada carro durante los 30 segundos. Explicar la diferencia en las distancias.

En los ejercicios 17 y 18, utilizar la notacin sigma para escribir la suma.

17.

18.

En los ejercicios 19 a 22, utilizar las propiedades de las sumas y el teorema 4.2 para calcular las sumas.

19. 20.

21. 22.

23. Escribir en notacin sigma a) la suma de los primeros diez en-teros impares positivos, b) la suma de los cubos de los primeros n enteros positivos y c) 6 10 14 18 42.

24. Calcular cada suma para x1 2, x2 1, x3 5, x4 3 y 7

x

y

6

1 5

y

x71

6

2

6, 2dydx

12

x2 2x,4, 2dydx

2x 4,

Ejercicios de repaso4

5 cos x 2 sec2 x dx

x4 4x2 1

x2 dx

2

3 3x dx

x4 8x3

dx

4x2 x 3 dx

2x 9 sen x dx

t 0 5 10 15 20 25 30

v1 0 2.5 7 16 29 45 65

v2 0 21 38 51 60 64 65

3n

1 1n

2 3n

2 1n

2. . . 3

nn 1n

2

13 1

13 2

13 3

. . . 13 10

20

i 1 i 1 2

20

i 1 2i

12

i 1 i i 2 1

20

i 1 4i 1

1. Sea

a) Encontrar L(1). b) Encontrar L (x) y L (1). c) Utilizar una herramienta de graficacin para aproximar el va-

lor de x (hasta tres lugares decimales) para el cual L(x) 1. d) Demostrar que L(x1 x2) L(x1) L(x2) para todos los

valores positivos de x1 y x2.

2. Sea

a) Utilizar una herramienta de graficacin para completar la tabla.

b) Sea F x1

x 2

x

2 sen t2 dt.G x

1x 2

Utilizar una

herramienta de graficacn para completar la tabla y estimar lmx 2

G x .

c) Utilizar la definicin de la derivada para encontrar el valor exacto del lmite lm

x 2 G x .

En los ejercicios 3 y 4, a) escribir el rea bajo la grfica de la funcin dada definida sobre el intervalo indicado como un lmite. Despus b) calcular la suma del apartado a) y c) calcular el lmite

tili d l lt d d l t d b)

6. La aproximacin gaussiana de dos puntos para f es

a) Utilizar esta frmula para aproximar 1

1 cos x dx. Encontrar

el error de la aproximacin.

b) Utilizar esta frmula para aproximar 1

1

11

1

11 x2

dx.1

1

11 x2

dx.

c) Probar que la aproximacin gaussiana de dos puntos es exacta para todos los polinomios de grado 3 o menor.

7. Arqumedes demostr que el rea de un arco parablico es igual a del producto de la base y la altura (ver la figura).

a) Graficar el arco parablico delimitado por y 9 x2 y el eje x. Utilizar una integral apropiada para encontrar el rea A.

b) Encontrar la base y la altura del arco y verificar la frmula de Arqumedes.

c) Demostrar la frmula de Arqumedes para una parbola general.

8. Galileo Galilei (1564-1642) enunci la siguiente proposicin relativa a los objetos en cada libre:

El tiempo en cualquier espacio que se recorre por un cuerpo acelerado uniformemente es igual al tiempo en el cual ese mismo espacio se recorrera por el mismo cuerpo movin-

x > 0.xx

1 1t dt,

F xx

2 sen t2 dt.

0 1.0 1.5 1.9 2.0

2.1 2.5 3.0 4.0 5.0

F x

x

F x

x

1.9 1.95 1.99 2.01 2.1

G x

x

1

1f x dx f

1

3f

1

3.

b

h

Solucin de problemasSP

EJERCICIOS DE REPASO

Estos conjuntos de ejercicios al final de cada captulo prueban las habilidades de los estudiantes con preguntas desafiantes que retan su pensamiento.

SOLUCIN DE PROBLEMAS

0-Prelim L2.indd xiii0-Prelim L2.indd xiii 1/12/09 18:04:261/12/09 18:04:26

xiv Caractersticas

TEOREMA 4.9 EL TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CLCULO

Si una funcin es continua en el intervalo cerrado [a, b] y F es una antiderivada de en el intervalo [a, b], entonces

b

a

f x dx F b F a .

DEFINICIN DE LONGITUD DE ARCO

Sea la funcin dada por y f(x) que represente una curva suave en el intervalo [a, b]. La longitud del arco de f entre a y b es

sb

a

1 f x 2 dx.

Similarmente, para una curva suave dada por x g(y), la longitud de arco de g entre c y d es

sd

c

1 g y 2 dy. La regla de LHpital tambin puede aplicarse a los lmites unilaterales, como se de-muestra en los ejemplos 6 y 7.

EJEMPLO 6 Forma indeterminada 00

Encontrar lmx 0

sen x x.

Solucin Porque la sustitucin directa produce la forma indeterminada 00, proceder como se muestra abajo. Para empezar, asumir que el lmite existe y es igual a y.

Forma indeterminada 00.

Tomar un logaritmo natural de cada lado.

Continuidad.

Forma indeterminada 0 ( ).

Forma indeterminada .

Regla de LHpital.

Forma indeterminada 0 0.

Regla de LHpital.

Ahora, porque ln y 0, concluir que y e0 1, y se sigue que

lmx 0

sen x x 1.

lmx 0

2x

sec2x0

lmx 0

x2

tan x

lmx 0

cot x1 x2

lmx 0

ln sen x

1 x

lmx 0

x ln sen x

lmx 0

ln sen x x

ln y ln lmx 0

sen x x

y lmx 0

sen x x

Al aplicar la frmula para la longitud de arco a una curva, hay que asegurarse de que lacurva se recorra una sola vez en el intervalo de integracin. Por ejemplo, el crculo dado por

y y sen t, recorre una sola vez el intervalo pero recorre dos veces el inter-valo 0 t 4.

0 t 2,x cos t

NOTA

Clculos clsicos con relevancia contempornea

TEOREMAS

Los teoremas proporcionan el marco conceptual del clculo; se enuncian claramente y se distinguen del resto del texto por medio de recuadros para tener una rpida referencia visual. Las demostraciones ms importantes muchas veces siguen al teorema, y se proporcionan otras ms en un apndice.

DEFINICIONES

Al igual que con los teoremas, las definiciones se enuncian claramente utilizando palabras sencillas y precisas; tambin se separan del texto mediante recuadros para tener una rpida referencia visual.

PROCEDIMIENTOS

Los procedimientos aparecen separados del texto para brindar una referencia fcil. Estas lneas propor-cionan a los estudiantes instruccio-nes paso a paso que les ayudarn a resolver problemas de manera rpida y eficiente.

NOTAS

Las notas proporcionan detalles adicionales acerca de los teoremas, definiciones y ejemplos. Ofrecen una profundiza-cin adicional o generalizaciones importantes que los estu-diantes podran omitir involuntariamente. Al igual que las ayudas de estudio, las notas resultan invalua-bles para los estudiantes.

0-Prelim L2.indd xiv0-Prelim L2.indd xiv 1/12/09 18:04:331/12/09 18:04:33

Caractersticas xv

Ampliar la experiencia del clculo

Ecuaciones diferenciales

En este captulo se estudiar una de las ms importantes aplicaciones del clculo: las ecuaciones diferenciales. El lector aprender nuevos mtodos para resolver diferentes tipos de ecuaciones diferen-ciales, como las homogneas, lineales de primer orden y de Bernoulli. Posterior-mente aplicar esas reglas para resolver ecuaciones diferenciales en problemas de aplicacin.

En este captulo, se aprender:

Cmo generar un campo de npendientes de una ecuacin diferencial y encontrar una solucin particular. (6.1)

Cmo usar una funcin exponencial npara modelos de crecimiento y decrecimiento. (6.2)

Como usar el mtodo de separacin nde variables para resolver ecuaciones diferenciales. (6.3)

Cmo resolver ecuaciones ndiferenciales lineales de primer orden y la ecuacin diferencial de Bernoulli. (6.4)

Segn el tipo de bacteria, el tiempo que le toma duplicar su peso al cul-tivo puede variar mucho, desde varios minutos hasta varios das. Cmo usara una ecuacin diferencial para modelar la tasa de crecimiento del peso del cultivo de una bacteria? (Vea la seccin 6.3, ejercicio 84.)

Una funcin y f(x) es una solucin de una ecuacin diferencial, si la ecuacin se satisface cuando y y sus derivadas se remplazan por f(x) y sus derivadas. Una manera de resolver una ecuacin diferencial es mediante los campos de pendientes, los cuales muestran la forma de todas las soluciones de una ecuacin diferencial. (Ver seccin 6.1)

6

405405

Dr. Dennis Kunkel/Getty Images

E X P L O R A C I N

Converso del teorema 4.4 Es verdadero el converso del teorema 4.4 ? Esto es, si una funcin es integrable, tiene que ser continua? Explicar el razonamiento y pro-porcionar ejemplos.

Describir las relaciones entre continuidad, derivabilidad e integrabilidad. Cul es la condicin ms fuerte? Cul es la ms dbil? Qu condiciones implican otras condiciones?

E X P L O R A C I N

Suponer que se pide encontrar una de las siguientes integrales. Cul elegira? Explicar la respuesta.

a)

b)

o

o

tan 3x dx

tan 3x sec2 3x dx

x2 x3 1 dx

x3 1 dx

133. Cul es mayor

n n 1 o n 1 n

donde n 8?

134. Demostrar que si x es positivo, entonces

Estos problemas fueron preparados por el Committee on the Putnam Prize Competi-tion. The Mathematical Association of America. Todos los derechos reservados.

Preparacin del examen Putnam

loge 11x

>1

1 x.

Utilizar una herramienta de graficacin para representar la funcin y1 sen2t en el intervalo 0 t . Sea F(x) la siguiente funcin de x.

F xx

0sen2 t dt

a) Completar la tabla. Explicar por qu los valores de estn cre-ciendo.

b) Utilizar las funciones de integracin de una herramienta de gra-ficacin para representar F.

c) Emplear las funciones de derivacin de una herramienta de gra-ficacin para hacer la grfica de F (x). Cmo se relaciona esta grfica con la grfica de la parte b)?

d) Verificar que la derivada de y (1 2)t (sen 2t) 4 es sen2t. Graficar y y escribir un pequeo prrafo acerca de cmo esta grfica se relaciona con las de los apartados b) y c).

PROYECTO DE TRABAJO

Demostracin del teorema fundamental

0

F x

5 62 3236x

LA SUMA DE LOS PRIMEROS CIEN ENTEROS

El maestro de Carl Friedrich Gauss (1777-1855) pidi a sus alumnos que sumaran todos los enteros desde 1 hasta 100. Cuando Gauss regres con la respuesta correcta muy poco tiempo despus, el maestro no pudo evitar mirarle atnito. Lo siguiente fue lo que hizo Gauss:

Esto se generaliza por medio del teorema 4.2, donde

100 1012

5 050

1100101

299

101

398

101

. . .

. . .

. . .

1001

101

100

t 1i

100 1012

5 050.

BLAISE PASCAL (1623-1662)

Pascal es bien conocido por sus contribuciones a diversas reas de las matemticas y de la fsica, as como por su influencia con Leibniz. Aunque buena parte de su obra en clculo fue intuitiva y carente del rigor exigible en las matemticas modernas, Pascal anticip muchos resultados relevantes.

The

Gra

nger

Col

lect

ion

ENTRADAS DE CAPTULO

Las entradas de captulo proporcionan motivacin inicial para el material que se abordar en el captulo. Adems de los objetivos, en la entrada de cada captulo un concepto impor-tante se relaciona con una aplicacin del mundo real. Esto motiva a los estudiantes a que descubran la relevancia del clculo en la vida.

EXPLORACIONES

Las exploraciones proporcionan a los estudiantes retos nicos para estudiar conceptos que no se han cubierto formalmente. Les permiten aprender mediante el descubrimiento e introdu-cen temas relacionados con los que estn estudiando en el momento. Al explorar temas de esta manera, se estimula a que los estudiantes piensen de manera ms amplia.

NOTAS HISTRICAS Y BIOGRAFAS

Las notas histricas proporcionan a los estudiantes informacin sobre los fundamentos del clculo; las

biografas les ayudan a sensibilizar y a ensearles acerca de las personas que contribuyeron a la creacin formal del clculo.

DESAFOS DEL EXAMEN PUTNAM

Las preguntas del examen Putnam aparecen en algunas secciones y se toman de los exmenes Putnam reales. Estos ejercicios extendern los lmites del entendimiento de los estudiantes en relacin con el clculo y brindarn desafos adicionales para aquellos ms interesados.

PROYECTOS DE SECCIN

Los proyectos aparecen en algunas secciones y exploran a mayor profundidad las aplicaciones relacionadas con los temas que se estn estudiando. Proporcionan una forma interesante y entretenida para que los estudiantes trabajen e investiguen ideas de manera conjunta.

0-Prelim L2.indd xv0-Prelim L2.indd xv 1/12/09 18:04:351/12/09 18:04:35

EJEMPLO 5 Cambio de variables

Encontrar x 2x 1 dx.

Solucin Como en el ejemplo previo, considerar que u 2x 1 para obtener dx du 2. Como el integrando contiene un factor de x, se tiene que despejar x en trminos de u, como se muestra.

x u 1 2u 2x 1 Resolver para x en trminos de u.

Despus de esto, utilizando la sustitucin, se obtiene

1

10 2x 1 5 2

16

2x 1 3 2 C.

14

u5 2

5 2u3 2

3 2C

14

u3 2 u1 2 du

x 2x 1 dxu 1

2 u1 2

du2

Razonamiento grfico En los ejercicios 55 a 58, a) usar una herramienta de graficacin para representar grficamente la funcin, b) representar su funcin inversa utilizando la herramien-ta de graficacin y c) determinar si la grfica de la relacin inver-sa es una funcin inversa. Explicar la respuesta.

55. 56. h x x 4 x2f x x3 x 4

TECNOLOGA La regla de Simpson puede usarse para dar una buena aproximacin del valor de la integral en el ejemplo 2 (para n 10, la aproximacin es 1.839). Al usar la integracin numrica, sin embargo, se debe estar consciente de que la regla de Simp-son no siempre da buenas aproximaciones cuando algunos de los lmites de integracin estn cercanos a una asntota vertical. Por ejemplo, usando el teorema fundamental del clculo, se obtiene

Aplicando la regla de Simpson (con n 10) para esta integral se produce una aproxi-macin de 6.889.

1.99

0

x 3

4 x2 dx 6.213.

Campos de pendientes En los ejercicios 67 a 72, usar un sistema algebraico por computadora para a) trazar la grfica del campo de pendientes para la ecuacin diferencial y b) trazar la grfica de la solucin que satisface la condicin inicial especificada.

67.

68.

69.

70.

71.

72. y 0 2dydx

12e x 8 sen

y4

,

y 0 1dydx

0.4y 3 x ,

y 0 9dydx

0.2x 2 y ,

y 0 2dydx

0.02y 10 y ,

y 0 6dydx

4 y,

y 0 4dydx

0.25y,

CAS

En los ejercicios 33 a 40, usar un sistema algebraico por computado-ra para determinar la primitiva que atraviesa el punto dado. Usar el sistema para hacer la grfica de la antiderivada resultante.

33. 34.

35. 36. 3, 4 x3

x2 4 2 dx,0, 1

x2 x 2x2 2 2

dx,

2, 1 6x2 1x2 x 1 3

dx,6, 0 5x

x2 10x 25 dx,

CAS

-a

En los ejercicios 79 a 82, usar un sistema algebraico por compu-tadora para encontrar la integral. Usar el sistema algebraico por computadora para hacer la grfica de dos antiderivadas. Describir la relacin entre las grficas de las dos antiderivadas.

79. 80.

81. 82.

x 2

x2 4x 13 dx

CAS

1

x2 4x 13 dx

1

1 sen d

ex e x

2

3

dx

Tecnologa integrada para el mundo actual

xvi Caractersticas

Los ejemplos a lo largo del libro se acompaan de investigaciones que emplean un sistema algebraico por computadora (por ejemplo, Maple) para explorar de manera adicional un ejemplo relacionado en el libro. Permiten a los estudiantes explorar el clculo manipulando funciones, grficas, etc., y observar los resultados.

INVESTIGACIONES CON SISTEMAS ALGEBRAICOS POR COMPUTADORA

La comprensin con frecuencia mejora utilizando una grfica o visualizacin. Los ejercicios de tecnologa de graficacin piden a los estudiantes recurrir a una herramienta de graficacin para ayudar a encontrar una solucin.

EJERCICIOS CON HERRAMIENTAS DE GRAFICACIN

A lo largo del libro, los recuadros de tecnologa dan a los estudiantes una visin de cmo la tecnologa puede usarse para ayudar a resolver problemas y explorar los conceptos del clculo. No slo proporcionan discusiones acerca de dnde la tecnologa tiene xito, sino tambin sobre dnde puede fracasar.

TECNOLOGA

NUEVO! De igual manera que los ejercicios con herramientas de graficacin, algunos ejercicios pueden resolverse mejor utilizando un sistema algebraico por computadora. Estos ejercicios son nuevos en esta edicin.

EJERCICIOS CON SISTEMAS ALGEBRAICOS POR COMPUTADORA

0-Prelim L2.indd xvi0-Prelim L2.indd xvi 1/12/09 18:04:401/12/09 18:04:40

695

1100Cnicas, ecuacionesparamtricas y coordenadas polares

En este captulo se analizarn y seescribirn ecuaciones de cnicas usandosus propiedades. Tambin se aprendercmo escribir y graficar ecuacionesparamtricas y polares, y se ver cmo sepuede usar el clculo para estudiar talesgrficas. Adems de las ecuacionesrectangulares de cnicas, tambin seestudiarn ecuaciones polares de cnicas.

En este captulo, se aprender:

n Cmo analizar y escribir ecuacionesde una parbola, una elipse y unahiprbola. (10.1)

n Cmo trazar una curva representadapor ecuaciones paramtricas. (10.2)

n Cmo usar un conjunto de ecuacio-nes paramtricas para encontrar lapendiente de una lnea tangente auna curva y la longitud de arco de una curva. (10.3)

n Cmo dibujar la grfica de una ecua-cin en forma polar, encontrar lapendiente de una lnea tangente auna grfica polar e identificar grfi-cas polares especiales. (10.4)

n Cmo encontrar el rea de unaregin acotada por una grfica polary encontrar la longitud de arco deuna grfica polar. (10.5)

n Cmo analizar y escribir una ecua-cin polar de una cnica. (10.6)

695

10Conics, ParametricEquations, and Polar Coordinates

In the polar coordinate system, graphing an equation involves tracing a curve about a fixed point called the pole.Consider a region bounded by a curve and by the rays that contain the endpoints of an interval on the curve. Youcan use sectors of circles to approximate the area of such a region. In Section 10.5, you will see how the limitprocess can be used to find this area.

Chuck Savage/Corbis

In this chapter, you will analyze and writeequations of conics using their properties.You will also learn how to write and graphparametric equations and polar equations,and see how calculus can be used to studythese graphs. In addition to the rectangularequations of conics, you will also studypolar equations of conics.

In this chapter, you should learn the following.

How to analyze and write equations of a parabola, an ellipse, and a hyperbola.(10.1)

How to sketch a curve represented byparametric equations. (10.2)

How to use a set of parametric equationsto find the slope of a tangent line to acurve and the arc length of a curve.(10.3)

How to sketch the graph of an equationin polar form, find the slope of a tangentline to a polar graph, and identify specialpolar graphs. (10.4)

How to find the area of a region bounded by a polar graph and find thearc length of a polar graph. (10.5)

How to analyze and write a polar equation of a conic. (10.6)

The path of a baseball hit at a particular height at an angle with the horizontal canbe modeled using parametric equations. How can a set of parametric equations beused to find the minimum angle at which the ball must leave the bat in order for thehit to be a home run? (See Section 10.2, Exercise 75.)

1059997_cop10.qxd 9/2/08 3:48 PM Page 695

Se puede modelar la trayectoria de una pelota de bisbol bateada a una alturaespecfica a un ngulo con el horizontal utilizando ecuaciones paramtricas. Cmose puede usar un conjunto de ecuaciones paramtricas para encontrar el ngulomnimo al cual la pelota debe salir del bate para que el golpe sea un jonrn? (Verla seccin 10.2, ejercicio 75.)

En el sistema de coordenadas polares, graficar una ecuacin implica trazar una curva alrededor de un punto fijollamado el polo. Considerar una regin acotada por una curva y por los rayos que contienen los puntos extremos deun intervalo sobre la curva. Pueden usarse sectores circulares para aproximar el rea de tal regin. En la seccin10.5 se ver cmo es posible usar el proceso de lmite para encontrar esta rea.

10-1.qxd 3/12/09 16:44 Page 695

696 CAPTULO 10 Cnicas, ecuaciones paramtricas y coordenadas polares

10.1 Cnicas y clculon Entender la definicin de una seccin cnica.n Analizar y dar las ecuaciones de la parbola utilizando las propiedades de la parbola.n Analizar y dar las ecuaciones de la elipse utilizando las propiedades de la elipse.n Analizar y dar las ecuaciones de la hiprbola utilizando las propiedades de la hiprbola.

Secciones cnicasToda seccin cnica (o simplemente cnica) puede describirse como la interseccin de unplano y un cono de dos hojas. En la figura 10.1 se observa que en las cuatro cnicas bsi-cas el plano de interseccin no pasa por el vrtice del cono. Cuando el plano pasa por elvrtice, la figura que resulta es una cnica degenerada, como se muestra en la figura 10.2.

Existen varias formas de estudiar las cnicas. Se puede empezar, como lo hicieron losgriegos, definiendo las cnicas en trminos de la interseccin de planos y conos, o se puedendefinir algebraicamente en trminos de la ecuacin general de segundo grado

Sin embargo, un tercer mtodo en el que cada una de las cnicas est definida como el lugargeomtrico (o coleccin) de todos los puntos que satisfacen cierta propiedad geomtrica,funciona mejor. Por ejemplo, la circunferencia se define como el conjunto de todos los pun-tos (x, y) que son equidistantes de un punto fijo (h, k). Esta definicin en trminos del lugargeomtrico conduce fcilmente a la ecuacin estndar o cannica de la circunferencia

Para informacin acerca de la rotacin de ecuaciones de segundo grado en dos variables,ver el apndice D.

HYPATIA (370-415 D.C.)

Los griegos descubrieron las secciones cni-cas entre los aos 600 y 300 a.C. A princi-pios del periodo alejandrino ya se saba losuficiente acerca de las cnicas como paraque Apolonio (269-190 a.C.) escribiera unaobra de ocho volmenes sobre el tema. Mstarde, hacia finales del periodo Alejandrino,Hypatia escribi un texto titulado Sobre lascnicas de Apolonio. Su muerte marc elfinal de los grandes descubrimientos mate-mticos en Europa por varios siglos.

Los primeros griegos se interesaronmucho por las propiedades geomtricas delas cnicas. No fue sino 1900 aos despus,a principios del siglo XVII, cuando se hicie-ron evidentes las amplias posibilidades deaplicacin de las cnicas, las cuales llegarona jugar un papel prominente en el desarrollodel clculo.

Bet

tman

n/C

orbi

s

PARA MAYOR INFORMACINPara conocer ms sobre las actividadesde esta matemtica, consultar al artcu-lo Hypatia and her Mathematics deMichael A. B. Deakin en TheAmerican Mathematical Monthly.

Ecuacin general de segundo grado.Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0.

CircunferenciaSecciones cnicasFigura 10.1

Parbola Elipse Hiprbola

PuntoCnicas degeneradasFigura 10.2

Recta Dos rectas que se cortan

Ecuacin estndar o cannica de la circunferencia.(x - h)2 +(y - k)2 = r2.

10-1.qxd 3/12/09 16:44 Page 696

SECCIN 10.1 Cnicas y clculo 697

Parbolas

Una parbola es el conjunto de todos los puntos (x, y) equidistantes de una recta fija lla-mada directriz y de un punto fijo, fuera de dicha recta, llamado foco. El punto medio entreel foco y la directriz es el vrtice, y la recta que pasa por el foco y el vrtice es el eje dela parbola. Obsrvese en la figura 10.3 que la parbola es simtrica respecto de su eje.

EJEMPLO 1 Hallar el foco de una parbola

Hallar el foco de la parbola dada por

Solucin Para hallar el foco, se convierte a la forma cannica o estndar completando elcuadrado.

Reescribir la ecuacin original.

Sacar wQ como factor.

Multiplicar cada lado por 2.

Agrupar trminos.

Sumar y restar 1 en el lado derecho.

Expresar en la forma estndar o cannica.

Si se compara esta ecuacin con se concluye que

k 5 1 y

Como p es negativo, la parbola se abre hacia abajo, como se muestra en la figura 10.4.Por tanto, el foco de la parbola se encuentra a p unidades del vrtice, o sea

Foco.

A un segmento de la recta que pasa por el foco de una parbola y que tiene sus extre-mos en la parbola se le llama cuerda focal. La cuerda focal perpendicular al eje de laparbola es el lado recto (latus rectum). El ejemplo siguiente muestra cmo determinar la longitud del lado recto y la longitud del correspondiente arco cortado.

sh, k 1 pd 5 s21, 12d.

p 5 212.h 5 21,

sx 2 hd2 5 4ps y 2 kd,

sx 1 1d2 5 22sy 2 1d

x2 1 2x 1 1 5 22y 1 2

2y 5 2 2 sx2 1 2x 1 1d

2y 5 1 2 sx2 1 2xd

2y 5 1 2 2x 2 x2

y 5 12 s1 2 2x 2 x2d

y 5 12 2 x 212x

2

ParabolasA parabola is the set of all points that are equidistant from a fixed line calledthe directrix and a fixed point called the focus not on the line. The midpoint betweenthe focus and the directrix is the vertex, and the line passing through the focus and thevertex is the axis of the parabola. Note in Figure 10.3 that a parabola is symmetricwith respect to its axis.

EXAMPLE 1 Finding the Focus of a Parabola

Find the focus of the parabola given by

Solution To find the focus, convert to standard form by completing the square.

Write original equation.

Factor out

Multiply each side by 2.

Group terms.

Add and subtract 1 on right side.

Write in standard form.

Comparing this equation with you can conclude that

and

Because is negative, the parabola opens downward, as shown in Figure 10.4. So, thefocus of the parabola is units from the vertex, or

Focus

A line segment that passes through the focus of a parabola and has endpoints onthe parabola is called a focal chord. The specific focal chord perpendicular to the axisof the parabola is the latus rectum. The next example shows how to determine thelength of the latus rectum and the length of the corresponding intercepted arc.

h, k p 1, 12 .

pp

p 12.k 1,h 1,

x h 2 4p y k ,

x 1 2 2 y 1

x2 2x 1 2y 2

2y 2 x2 2x 1

2y 1 x2 2x

2y 1 2x x2

12. y

12 1 2x x

2

y 12 x12x

2

y12

x12

x2.

x, y

10.1 Conics and Calculus 697

THEOREM 10.1 STANDARD EQUATION OF A PARABOLA

The standard form of the equation of a parabola with vertex anddirectrix is

Vertical axis

For directrix the equation is

Horizontal axis

The focus lies on the axis units (directed distance) from the vertex. Thecoordinates of the focus are as follows.

Vertical axis

Horizontal axish p, k

h, k p

p

y k 2 4p x h .

x h p,

x h 2 4p y k .

y k ph, k

x

Foco

2 1

1

1

1, )) 1212

12

12

y = x x2

p =

y

V r t i c e

Parabola with a vertical axis, Figure 10.4

p < 0

Pa r a b o l a

Di r e c t r i x

V e r t e x

F o cu s

d1

d1d2

d2

p

A x

(x, y)

Figure 10.3

1059997_1001.qxp 9/2/08 3:49 PM Page 697

Parbola

Directriz

Vrtice

Foco

d1

d1d2

d2

p(x, y)

Eje

Figura 10.3

ParabolasA parabola is the set of all points that are equidistant from a fixed line calledthe directrix and a fixed point called the focus not on the line. The midpoint betweenthe focus and the directrix is the vertex, and the line passing through the focus and thevertex is the axis of the parabola. Note in Figure 10.3 that a parabola is symmetricwith respect to its axis.

EXAMPLE 1 Finding the Focus of a Parabola

Find the focus of the parabola given by

Solution To find the focus, convert to standard form by completing the square.

Write original equation.

Factor out

Multiply each side by 2.

Group terms.

Add and subtract 1 on right side.

Write in standard form.

Comparing this equation with you can conclude that

and

Because is negative, the parabola opens downward, as shown in Figure 10.4. So, thefocus of the parabola is units from the vertex, or

Focus

A line segment that passes through the focus of a parabola and has endpoints onthe parabola is called a focal chord. The specific focal chord perpendicular to the axisof the parabola is the latus rectum. The next example shows how to determine thelength of the latus rectum and the length of the corresponding intercepted arc.

h, k p 1, 12 .

pp

p 12.k 1,h 1,

x h 2 4p y k ,

x 1 2 2 y 1

x2 2x 1 2y 2

2y 2 x2 2x 1

2y 1 x2 2x

2y 1 2x x2

12. y

12 1 2x x

2

y 12 x12x

2

y12

x12

x2.

x, y

10.1 Conics and Calculus 697

THEOREM 10.1 STANDARD EQUATION OF A PARABOLA

The standard form of the equation of a parabola with vertex anddirectrix is

Vertical axis

For directrix the equation is

Horizontal axis

The focus lies on the axis units (directed distance) from the vertex. Thecoordinates of the focus are as follows.

Vertical axis

Horizontal axish p, k

h, k p

p

y k 2 4p x h .

x h p,

x h 2 4p y k .

y k ph, k

x

Foco

2 1

1

1

1, )) 1212

12

12

y = x x2

p =

y

V r t i c e

Parabola with a vertical axis, Figure 10.4

p < 0

Pa r a b o l a

Di r e c t r i x

V e r t e x

F o cu s

d1

d1d2

d2

p

A x

(x, y)

Figure 10.3

1059997_1001.qxp 9/2/08 3:49 PM Page 697

Parbola con eje vertical, Figura 10.4

p < 0

TEOREMA 10.1 ECUACIN ESTNDAR O CANNICA DE UNA PARBOLA

La forma estndar o cannica de la ecuacin de una parbola con vrtice (h, k) y directriz es

Eje vertical.

Para la directriz la ecuacin es

Eje horizontal.

El foco se encuentra en el eje a p unidades (distancia dirigida) del vrtice. Lascoordenadas del foco son las siguientes.

Eje vertical.

Eje horizontal.sh 1 p, kdsh, k 1 pd

s y 2 kd2 5 4psx 2 hd.

x 5 h 2 p,

sx 2 hd2 5 4ps y 2 kd.

y 5 k 2 p

10-1.qxd 3/12/09 16:44 Page 697


EJEMPLO 2 Longitud de la cuerda focal y longitud de arco

Encontrar la longitud del lado recto de la parbola dada por Despus,hallar la longitud del arco parablico cortado por el lado recto.

Solucin Debido a que el lado recto pasa por el foco (0, p) y es perpendicular al eje y,las coordenadas de sus extremos son y Al sustituir, en la ecuacin de laparbola, y por p se obtiene

Entonces, los extremos del lado recto son y y se concluye que su longi-tud es 4p, como se muestra en la figura 10.5. En cambio, la longitud del arco cortado es

Simplificar.

Teorema 8.2.

Una propiedad muy utilizada de la parbola es su propiedad de reflexin. En fsica, sedice que una superficie es reflejante o reflectante si la tangente a cualquier punto de lasuperficie produce ngulos iguales con un rayo incidente y con el rayo reflejado resultan-te. El ngulo correspondiente al rayo incidente es el ngulo de incidencia, y el ngulocorrespondiente al rayo que se refleja es el ngulo de reflexin. Un espejo plano es unejemplo de una superficie reflejante o reflectante.

Otro tipo de superficie reflejante es la que se forma por revolucin de una parbolaalrededor de su eje. Una propiedad especial de los reflectores parablicos es que permitendirigir hacia el foco de la parbola todos los rayos incidentes paralelos al eje. ste es elprincipio detrs del diseo de todos los espejos parablicos que se utilizan en los telesco-pios de reflexin. Inversamente, todos los rayos de luz que emanan del foco de una linter-na con reflector parablico son paralelos, como se ilustra en la figura 10.6.

< 4.59p. 5 2pf!2 1 lns1 1 !2 dg 5

12p

f2p!8p2 1 4p2 lns2p 1 !8p2 d 2 4p2 lns2pdg

51

2p 3x!4p2 1 x2 1 4p2 ln|x 1 !4p2 1 x2|42p

0

51pE

2p

0

!4p2 1 x2 dx

y9 5x

2py 5

x2

4p 5 2E2p

0!1 1 1 x2p2

2

dx

s 5 E2p22p

!1 1 sy9d2 dx

s2p, pd,s22p, pd

x 5 2p.x2 5 4pspd

sx, pd.s2x, pd

x2 5 4py.

x

Lado rectoo latus rectum

(0, )p

x2 = 4py

(2p, p) (2 , )p p

y

Longitud del lado recto o latus rectum: 4pFigura 10.5

Fuente de luzen el foco

Eje

Reflector parablico: la luz se refleja enrayos paralelosFigura 10.6

TEOREMA 10.2 PROPIEDAD DE REFLEXIN DE UNA PARBOLA

Sea P un punto de una parbola. La tangente a la parbola en el punto P producengulos iguales con las dos rectas siguientes.

1. La recta que pasa por P y por el foco

2. La recta paralela al eje de la parbola que pasa por P

Emplear la frmula de longitud del arco.

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Elipses

Ms de mil aos despus de terminar el periodo alejandrino de la matemtica griega,comienza un renacimiento de la matemtica y del descubrimiento cientfico en la civili-zacin occidental. Nicols Coprnico, astrnomo polaco, fue figura principal en este re-nacimiento. En su trabajo Sobre las revoluciones de las esferas celestes, Coprnico sos-tena que todos los planetas, incluyendo la Tierra, giraban, en rbitas circulares, alrede-dor del Sol. Aun cuando algunas de las afirmaciones de Coprnico no eran vlidas, la con-troversia desatada por su teora heliocntrica motiv a que los astrnomos buscaran unmodelo matemtico para explicar los movimientos del Sol y de los planetas que podanobservar. El primero en encontrar un modelo correcto fue el astrnomo alemn JohannesKepler (1571-1630). Kepler descubri que los planetas se mueven alrededor del Sol, enrbitas elpticas, teniendo al Sol, no como centro, sino como uno de los puntos focales dela rbita.

El uso de las elipses para explicar los movimientos de los planetas es slo una de susaplicaciones prcticas y estticas. Como con la parbola, el estudio de este segundo tipode cnica empieza definindola como lugar geomtrico de puntos. Sin embargo, ahora setienen dos puntos focales en lugar de uno.

Una elipse es el conjunto de todos los puntos (x, y), cuya suma de distancias a dospuntos fijos llamados focos es constante. (Ver la figura 10.7.) La recta que une a los focosinterseca o corta a la elipse en dos puntos, llamados vrtices. La cuerda que une a los vr-tices es el eje mayor, y su punto medio es el centro de la elipse. La cuerda a travs delcentro, perpendicular al eje mayor, es el eje menor de la elipse. (Ver la figura 10.8.)

La definicin de una elipse se puede visualizar si se imaginan dos alfileres colocados enlos focos, como se muestra en la figura 10.9.

TEOREMA 10.3 ECUACIN ESTNDAR O CANNICA DE UNA ELIPSE

La forma estndar o cannica de la ecuacin de una elipse con centro (h, k) y longi-tudes de los ejes mayor y menor 2a y 2b, respectivamente, donde es

El eje mayor es horizontal.

o

El eje mayor es vertical.

Los focos se encuentran en el eje mayor, a c unidades del centro, con c2 5 a2 2 b2.

sx 2 hd2b2

1sy 2 kd2

a25 1.

sx 2 hd2a2

1sy 2 kd2

b25 1

a > b,

NICOLS COPRNICO (1473-1543)

Coprnico comenz el estudio delmovimiento planetario cuando se le pidique corrigiera el calendario. En aquellapoca, el uso de la teora de que la Tierraera el centro del Universo, no permita pre-decir con exactitud la longitud de un ao.

Bet

tman

n/C

orbi

s

Si los extremos de una cuerda se atan a losalfileres y se tensa la cuerda con un lpiz, latrayectoria trazada con el lpiz ser unaelipseFigura 10.9

Foco Foco

d1d2

(x, y)

CentroFoco Foco

Eje menor

Eje mayorVrtice Vrtice( , )h k

Figura 10.7 Figura 10.8

PARA MAYOR INFORMACIN Para saber ms acerca de cmo hacer explotar una elipsepara convertirla en una parbola, consultar al artculo Exploding the Ellipse de Arnold Good enMathematics Teacher.

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EJEMPLO 3 Completar cuadrados

Encontrar el centro, los vrtices y los focos de la elipse dada por

Solucin Al completar el cuadrado se puede expresar la ecuacin original en la formaestndar o cannica.

Escribir la ecuacin original.

Escribir la forma estndar o cannica.

As, el eje mayor es paralelo al eje y, donde b 5 2 yPor tanto, se obtiene:

Centro: .

Vrtices: y .

Focos: y .

La grfica de la elipse se muestra en la figura 10.10.

Si en la ecuacin del ejemplo 3, el trmino constante hubiese sido mayor o iguala 8, se hubiera obtenido alguno de los siguientes casos degenerados.

1. un solo punto,

2. no existen puntos solucin: n

EJEMPLO 4 La rbita de la Luna

La Luna gira alrededor de la Tierra siguiendo una trayectoria elptica en la que el centrode la Tierra est en uno de los focos, como se ilustra en la figura 10.11. Las longitudes delos ejes mayor y menor de la rbita son 768 800 kilmetros y 767 640 kilmetros, respec-tivamente. Encontrar las distancias mayor y menor (apogeo y perigeo) entre el centro dela Tierra y el centro de la Luna.

Solucin Para comenzar se encuentran a y b.

Longitud del eje mayor.

Despejar

Longitud del eje menor.

Despejar

Ahora, al emplear estos valores, se despeja c como sigue.

La distancia mayor entre el centro de la Tierra y el centro de la Luna es kilmetros y la distancia menor es kilmetros.a 2 c < 363,292a 1 c < 405,508

c 5 !a2 2 b2 < 21,108

b. b 5 383,820

2b 5 767,640

a. a 5 384,400

2a 5 768,800

sx 2 1d24

1sy 1 2d2

16< 0F > 8,

sx 2 1d24

1sy 1 2d2

165 0s1, 22d:F 5 8,

F 5 28NOTA

sh, k cds1, 22 1 2!3 ds1, 22 2 2!3 dsh, k ads1, 2ds1, 26d

sh, kds1, 22d

c 5 !16 2 4 5 2!3.a 5 4,k 5 22,h 5 1,

sx 2 1d2

41

sy 1 2d216

5 1

4sx 2 1d2 1 sy 1 2d2 5 16

4sx2 2 2x 1 1d 1 sy2 1 4y 1 4d 5 8 1 4 1 4

4x2 2 8x 1 y2 1 4y 5 8

4x2 1 y2 2 8x 1 4y 2 8 5 0

4x2 1 y2 2 8x 1 4y 2 8 5 0.

Vrtice

Vrtice

Centro

Foco

Foco

x

(x 1)2 (y + 2)2= 1+4 16

y

24

6

2

2

4

Elipse con eje mayor verticalFigura 10.10

Perigeo Apogeo

Tierra

Luna

Figura 10.11 405 508 363 292

768 800

384 400

767 640

383 820

21 108

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En el teorema 10.2 se present la propiedad de reflexin de la parbola. La elipse tieneuna propiedad semejante. En el ejercicio 112 se pide demostrar el siguiente teorema.

Uno de los motivos por el cual los astrnomos tuvieron dificultad para descubrirque las rbitas de los planetas son elpticas es el hecho de que los focos de las rbitasplanetarias estn relativamente cerca del centro del Sol, lo que hace a las rbitas sercasi circulares. Para medir el achatamiento de una elipse, se puede usar el conceptode excentricidad.

Para ver cmo se usa este cociente en la descripcin de la forma de una elipse,obsrvese que como los focos de una elipse se localizan a lo largo del eje mayor entre losvrtices y el centro, se tiene que

En una elipse casi circular, los focos se encuentran cerca del centro y el cociente c/a espequeo, mientras que en una elipse alargada, los focos se encuentran cerca de los vrticesy el cociente c/a est cerca de 1, como se ilustra en la figura 10.12. Obsrvese que paratoda elipse .

La excentricidad de la rbita de la Luna es y las excentricidades de lasnueve rbitas planetarias son las siguientes.

Mercurio: Jpiter:

Venus: Saturno:

Tierra: Urano:

Marte: Neptuno:

Por integracin se puede mostrar que el rea de una elipse es Por ejemplo,el rea de la elipse

est dada por

Sustitucin trigonomtrica x 5 a sen q.

Sin embargo, encontrar el permetro de una elipse no es fcil. El siguiente ejemplo mues-tra cmo usar la excentricidad para establecer una integral elptica para el permetro deuna elipse.

54ba E

py2

0 a2 cos2 u du.

A 5 4Ea0

ba!a2 2 x2 dx

x2

a21

y2

b25 1

A 5 pab.

e 5 0.0086e 5 0.0934

e 5 0.0472e 5 0.0167

e 5 0.0542e 5 0.0068

e 5 0.0484e 5 0.2056

e 5 0.0549,0 < e < 1

0 < c < a.

PARA MAYOR INFORMACINPara ms informacin acerca dealgunos usos de las propiedades dereflexin de las cnicas, consultar elartculo Parabolic Mirrors, Ellipticand Hyperbolic Lenses de MohsenMaesumi en The AmericanMathematical Monthly. Consultar tam-bin el artculo The Geometry ofMicrowave Antennas de William R.Paezynski en Mathematics Teacher.

a

c

Focos

a

c

Focos

a) es pequeoca

b) es casi 1

Excentricidad es el cociente Figura 10.12

ca

.

ca

TEOREMA 10.4 PROPIEDAD DE REFLEXIN DE LA ELIPSE

Sea P un punto de una elipse. La recta tangente a la elipse en el punto P formangulos iguales con las rectas que pasan por P y por los focos.

DEFINICIN DE LA EXCENTRICIDAD DE UNA ELIPSE

La excentricidad e de una elipse est dada por el cociente

e 5ca

.

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EJEMPLO 5 Encontrar el permetro de una elipse

Mostrar que el permetro de una elipse es

Solucin Como la elipse dada es simtrica respecto al eje x y al eje y, se sabe que supermetro C es el cudruplo de la longitud de arco de en el primercuadrante. La funcin y es diferenciable (o derivable) para toda x en el intervalo excepto en Entonces, el permetro est dado por la integral impropia

Al usar la sustitucin trigonomtrica se obtiene

Debido a que se puede escribir esta integral como

Se ha dedicado mucho tiempo al estudio de las integrales elpticas. En general dichasintegrales no tienen antiderivadas o primitivas elementales. Para encontrar el permetro deuna elipse, por lo general hay que recurrir a una tcnica de aproximacin.

EJEMPLO 6 Aproximar el valor de una integral elptica

Emplear la integral elptica del ejemplo 5 para aproximar el permetro de la elipse

Solucin Como se tiene

Aplicando la regla de Simpson con se obtiene

Por tanto, el permetro de la elipse es aproximadamente 28.36 unidades, como se muestraen la figura 10.13.

< 28.36.

C < 201p621142f1 1 4s0.9733d 1 2s0.9055d 1 4s0.8323d 1 0.8g

n 5 4

C 5 s4ds5dEpy20!1 2 9 sin2 u25 du.

e2 5 c2ya2 5 sa2 2 b2dya2 5 9y25,

x2

251

y2

165 1.

C 5 4aEpy20

!1 2 e2 sin2 u du.

e2 5 c2ya2 5 sa2 2 b2dya2,

5 4Epy20

!a2 2 sa2 2 b2dsin2 u du.

5 4Epy20

!a2s1 2 sin2 ud 1 b2 sin2 u du

5 4Epy20

!a2 cos2 u 1 b2 sin2 u du

C 5 4Epy20!1 1 b2 sin2 ua2 cos2 u sa cos ud du

x 5 a sin u,

C 5 limda

4Ed0

!1 1 s y9d2 dx 5 4Ea0

!1 1 s y9d2 dx 5 4Ea0!1 1 b2x2a2sa2 2 x2d dx.

x 5 a.f0, ag

y 5 sbyad!a2 2 x2

e 5ca

4aEpy20

!1 2 e2 sin2 u du.

sx2ya2d 1 s y2yb2d 5 1

REA Y PERMETRO DE UNA ELIPSE

En su trabajo con rbitas elpticas, a principios del siglo XVII, Johannes Keplerdesarroll una frmula para encontrar elrea de una elipse, Sin embargo,tuvo menos xito en hallar una frmula parael permetro de una elipse, para el cual slodio la siguiente frmula de aproximacinC 5 p sa 1 bd.

A 5 pab.

Figura 10.13

x

y

2 4 62

2

2

6

46

6

y2x2 = 125 16+

C 28.36 unidades

sen2

sen2

sen2

sen2 sen2

sen2

sen2

sen2

lm

sen

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Hiprbolas

La definicin de hiprbola es similar a la de la elipse. En la elipse, la suma de las distan-cias de un punto de la elipse a los focos es fija, mientras que en la hiprbola, el valor abso-luto de la diferencia entre estas distancias es fijo.

Una hiprbola es el conjunto de todos los puntos (x, y) para los que el valor absolu-to de la diferencia entre las distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante. (Verla figura 10.14.) La recta que pasa por los dos focos corta a la hiprbola en dos puntos lla-mados vrtices. El segmento de recta que une a los vrtices es el eje transversal, y elpunto medio del eje transversal es el centro de la hiprbola. Un rasgo distintivo de la hipr-bola es que su grfica tiene dos ramas separadas.

En la hiprbola no existe la misma relacin entre las constantes a, b y c, que en la elipse.En la hiprbola, mientras que en la elipse, n

Una ayuda importante para trazar la grfica de una hiprbola es determinar sus asn-totas, como se ilustra en la figura 10.15. Toda hiprbola tiene dos asntotas que se cortanen el centro de la hiprbola. Las asntotas pasan por los vrtices de un rectngulo dedimensiones 2a por 2b, con centro en (h, k). Al segmento de la recta de longitud 2b queune y se le conoce como eje conjugado de la hiprbola.

En la figura 10.15 se puede ver que las asntotas coinciden con las diagonales del rec-tngulo de dimensiones 2a y 2b, centrado en (h, k). Esto proporciona una manera rpidade trazar las asntotas, las que a su vez ayudan a trazar la hiprbola.

sh, k 2 bdsh, k 1 bd

c2 5 a2 2 b2.c2 5 a2 1 b2,NOTA

d2 d1 = 2ad2 d1 es constante

Foco Foco

d2(x, y)

d1

Vrtice

VrticeCentro

Eje transversal

a

c

Figura 10.14

Asntota

(h, k + b)

(h, k b)

(h + a, k)(h a, k) ( , )h k ab

Eje conjugado Asntota

Figura 10.15

TEOREMA 10.5 ECUACIN ESTNDAR O CANNICA DE UNA HIPRBOLA

La forma estndar o cannica de la ecuacin de una hiprbola con centro es

El eje transversal es horizontal.

o

El eje transversal es vertical.

Los vrtices se encuentran a a unidades del centro y los focos se encuentran a cunidades del centro, con c2 5 a2 1 b2.

sy 2 kd2a2

2sx 2 hd2

b25 1.

sx 2 hd2a2

2sy 2 kd2

b25 1

sh, kd

TEOREMA 10.6 ASNTOTAS DE UNA HIPRBOLA

Si el eje transversal es horizontal, las ecuaciones de las asntotas son

y

Si el eje transversal es vertical, las ecuaciones de las asntotas son

y y 5 k 2ab

sx 2 hd.y 5 k 1 ab

sx 2 hd

y 5 k 2ba

sx 2 hd.y 5 k 1 ba

sx 2 hd

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EJEMPLO 7 Uso de las asntotas para trazar una hiprbola

Trazar la grfica de la hiprbola cuya ecuacin es

Solucin Para empezar se escribe la ecuacin en la forma estndar o cannica.

El eje transversal es horizontal y los vrtices se encuentran en y Losextremos del eje conjugado se encuentran en y Con estos cuatro puntos, sepuede trazar el rectngulo que se muestra en la figura 10.16a. Al dibujar las asntotas atravs de las esquinas de este rectngulo, el trazo se termina como se muestra en la figura10.16b.

Como en la elipse, la excentricidad de una hiprbola es Dado que en lahiprbola resulta que . Si la excentricidad es grande, las ramas de la hiprbo-la son casi planas. Si la excentricidad es cercana a 1, las ramas de la hiprbola son mspuntiagudas, como se muestra en la figura 10.17.

e > 1c > ae 5 cya.

s0, 4d.s0, 24ds2, 0d.s22, 0d

x2

42

y2

165 1

4x2 2 y2 5 16.

x

6

4 6

6

6 4

(0, 4)

(2, 0)

(0, 4)

(2, 0)

y

x

6

4 6

6

6 4

x2 y2

4 16 = 1

y

4

4

x

VrticeVrtice

La excentricidades grande

FocoFoco

e = c

c

a

a

y

xVrticeVrtice

La excentricidadse acerca a 1

FocoFoco

e = c

c

aa

y

a)

Figura 10.16b)

Figura 10.17

DEFINICIN DE LA EXCENTRICIDAD DE UNA HIPRBOLA

La excentricidad e de una hiprbola es dada por el cociente

e 5ca

.

TECNOLOGA Para verificar lagrfica obtenida en el ejemplo 7 sepuede emplear una herramienta degraficacin y despejar y de la ecua-cin original para representar grfi-camente las ecuaciones siguientes.

y2 5 2!4x2 2 16

y1 5 !4x2 2 16

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La aplicacin siguiente fue desarrollada durante la Segunda Guerra Mundial.Muestra cmo los radares y otros sistemas de deteccin pueden usar las propiedades dela hiprbola.

EJEMPLO 8 Un sistema hiperblico de deteccin

Dos micrfonos, a una milla de distancia entre s, registran una explosin. El micrfono Arecibe el sonido 2 segundos antes que el micrfono B. Dnde fue la explosin?

Solucin Suponiendo que el sonido viaja a 1 100 pies por segundo, se sabe que laexplosin tuvo lugar 2 200 pies ms lejos de B que de A, como se observa en la figura10.18. El lugar geomtrico de todos los puntos que se encuentran 2 200 pies ms cercanosa A que a B es una rama de la hiprbola donde

y

Como se tiene que

5 5 759 600

y se puede concluir que la explosin ocurri en algn lugar sobre la rama derecha de lahiprbola dada por

En el ejemplo 8, slo se pudo determinar la hiprbola en la que ocurri la explosin,pero no la localizacin exacta de la explosin. Sin embargo, si se hubiera recibido elsonido tambin en una tercera posicin C, entonces se habran determinado otras doshiprbolas. La localizacin exacta de la explosin sera el punto en el que se cortan estastres hiprbolas.

Otra aplicacin interesante de las cnicas est relacionada con las rbitas de loscometas en nuestro sistema solar. De los 610 cometas identificados antes de 1970, 245tienen rbitas elpticas, 295 tienen rbitas parablicas y 70 tienen rbitas hiperblicas. Elcentro del Sol es un foco de cada rbita, y cada rbita tiene un vrtice en el punto en elque el cometa se encuentra ms cerca del Sol. Sin lugar a dudas, an no se identificanmuchos cometas con rbitas parablicas e hiperblicas, ya que dichos cometas pasan unasola vez por nuestro sistema solar. Slo los cometas con rbitas elpticas como la delcometa Halley permanecen en nuestro sistema solar.

El tipo de rbita de un cometa puede determinarse de la forma siguiente.

1. Elipse:

2. Parbola:

3. Hiprbola:

En estas tres frmulas, p es la distancia entre un vrtice y un foco de la rbita del cometa(en metros), v es la velocidad del cometa en el vrtice (en metros por segundo),

kilogramos es la masa del Sol y metros cbicos porkilogramo por segundo cuadrado es la constante de gravedad.

G < 6.67 3 1028M < 1.989 3 1030

v > !2GMypv 5 !2GMypv < !2GMyp

x2

1,210,0002

y2

5,759,6005 1.

b2 5 c2 2 a2

c2 5 a2 1 b2,

a = =2 200 1100pies2

pies

c = = =1 milla2

pies

2pies.

5 2802 640

sx2ya2d 2 s y2yb2d 5 1,

CAROLINE HERSCHEL (1750-1848)

La primera mujer a la que se atribuy haber detectado un nuevo cometa fue laastrnoma inglesa Caroline Herschel.Durante su vida, Caroline Herschel des-cubri ocho cometas.

Mar

y E

vans

Pic

ture

Lib

rary

2 0001 000

2 000

2 000

2 000

3 000

3 000

4 000

d2d1

ABx

y

Figura 10.18

d2 2 d1 5 2a 5 22002c 5 5280

1 210 000 5 759 600

5 2802 200

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En los ejercicios 1 a 8, relacionar la ecuacin con su grfica. [Lasgrficas estn marcadas a), b), c), d), e), f), g) y h).]

a) b)

c) d)

e) f)

g) h)

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

En los ejercicios 9 a 16, hallar el vrtice, el foco y la directriz dela parbola, y trazar su grfica.

9. 10.

11. 12.

13. 14.

15. 16.

En los ejercicios 17 a 20, hallar el vrtice, el foco y la directriz dela parbola. Luego usar una herramienta de graficacin pararepresentar la parbola.

17. 18.

19. 20.

En los ejercicios 21 a 28, hallar una ecuacin de la parbola.

21. Vrtice: (5, 4) 22. Vrtice: (22, 1)

Foco: (3, 4) Foco: (22, 21)

23. Vrtice: (0, 5) 24. Foco:

Directriz: y 5 23 Directriz:

25. 26.

27. El eje es paralelo al eje y; la grfica pasa por (0, 3), (3, 4) y (4, 11).

28. Directriz: extremos del lado recto (latus rectum) sony

En los ejercicios 29 a 34, hallar el centro, el foco, el vrtice y laexcentricidad de la elipse y trazar su grfica.

29. 30.

31. 32.

33.

34.

En los ejercicios 35 a 38, hallar el centro, el foco y el vrtice de laelipse. Con ayuda de una herramienta de graficacin represen-tar la elipse.

35.

36.

37.

38.

En los ejercicios 39 a 44, hallar una ecuacin de la elipse.

39. Centro: 40. Vrtices: (0, 3), (8, 3)

Foco: (5, 0) Excentricidad:

Vrtice: (6, 0)

41. Vrtices: 42. Foco: (0, 69)

Longitud del eje menor: 6 Longitud del eje mayor: 22

43. Centro: 44. Centro:

Eje mayor: horizontal Eje mayor: vertical

Puntos en la elipse: Puntos en la elipse:

s1, 6d, s3, 2ds3, 1d, s4, 0d

s1, 2ds0, 0d

s3, 1d, s3, 9d

In Exercises 18, match the equation with its graph. [Thegraphs are labeled (a), (b), (c), (d), (e), (f), (g), and (h).]

(a) (b)

(c) (d)

(e) (f)

(g) (h)

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

In Exercises 916, find the vertex, focus, and directrix of theparabola, and sketch its graph.

9. 10.

11. 12.

13. 14.

15. 16.

In Exercises 1720, find the vertex, focus, and directrix of theparabola. Then use a graphing utility to graph the parabola.

17. 18.

19. 20.

In Exercises 2128, find an equation of the parabola.

21. Vertex: 22. Vertex:

Focus: Focus:

23. Vertex: 24. Focus:

Directrix: Directrix:

25. 26.

27. Axis is parallel to axis; graph passes through and

28. Directrix: endpoints of latus rectum are and

In Exercises 2934, find the center, foci, vertices, and eccentricityof the ellipse, and sketch its graph.

29. 30.

31. 32.

33.

34.

In Exercises 3538, find the center, foci, and vertices of theellipse. Use a graphing utility to graph the ellipse.

35.

36.

37.

38.

In Exercises 3944, find an equation of the ellipse.

39. Center: 40. Vertices:

Focus: Eccentricity:

Vertex:

41. Vertices: 42. Foci:

Minor axis length: 6 Major axis length: 22

43. Center: 44. Center:

Major axis: horizontal Major axis: vertical

Points on the ellipse: Points on the ellipse:

s1, 6d, s3, 2ds3, 1d, s4, 0d

s1, 2ds0, 0d

s0, 9ds3, 1d, s3, 9ds6, 0d

34s5, 0d

s0, 3d, s8, 3ds0, 0d

2x2 1 y 2 1 4.8x 2 6.4y 1 3.12 5 0

x2 1 2y 2 2 3x 1 4y 1 0.25 5 0

36x2 1 9y 2 1 48x 2 36y 1 43 5 0

12x2 1 20y 2 2 12x 1 40y 2 37 5 0

16x2 1 25y 2 2 64x 1 150y 1 279 5 0

9x2 1 4y2 1 36x 2 24y 1 36 5 0

sx 1 4d2 1 sy 1 6d2

1y45 1

sx 2 3d216

1sy 2 1d2

255 1

3x2 1 7y 2 5 6316x2 1 y 2 5 16

s8, 2d.s0, 2dy 5 22;

s4, 11d.s3, 4d,s0, 3d,y-

x1 2 3

2

1

3

4

(4, 0)(0, 0)

(2, 4)

y

x1 1

2

3

(2, 0)(2, 0)

(0, 4)

y

x 5 22y 5 23

s2, 2ds0, 5ds22, 21ds3, 4ds22, 1ds5, 4d

x2 2 2x 1 8y 1 9 5 0y 2 2 4x 2 4 5 0

y 5 216sx2 2 8x 1 6dy 2 1 x 1 y 5 0

y 2 1 4y 1 8x 2 12 5 0x2 1 4x 1 4y 2 4 5 0

y 2 1 6y 1 8x 1 25 5 0y 2 2 4y 2 4x 5 0

sx 2 6d2 1 8sy 1 7d 5 0sx 1 5d 1 sy 2 3d2 5 0x2 1 6y 5 0y 2 5 28x

sx 2 2d29

2y2

45 1

y 2

162

x2

15 1

x2

161

y 2

165 1

x2

41

y 2

95 1

sx 2 2d216

1sy 1 1d2

45 1sx 1 4d2 5 22sy 2 2d

sx 1 4d2 5 2sy 1 2dy 2 5 4x

2

2 4 6

4

4

22

yy

26 2 6

6

2

6

2

2 4 6

4

4

2

y

2

2 4

4

6

4

46 2x

y

2

2 4

4

4

yy

68 2 424

4

6

8

706 Chapter 10 Conics, Parametric Equations, and Polar Coordinates

10.1 Exercises See www.CalcChat.com for worked-out solutions to odd-numbered exercises.

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s0, 0d

2x2 1 y 2 1 4.8x 2 6.4y 1 3.12 5 0

x2 1 2y 2 2 3x 1 4y 1 0.25 5 0

36x2 1 9y 2 1 48x 2 36y 1 43 5 0

12x2 1 20y 2 2 12x 1 40y 2 37 5 0

16x2 1 25y 2 2 64x 1 150y 1 279 5 0

9x2 1 4y2 1 36x 2 24y 1 36 5 0


(a) (b)

(c) (d)

(e) (f)

(g) (h)

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Focus: Focus:



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Vertex:






s1, 6d, s3, 2ds3, 1d, s4, 0d

s1, 2ds0, 0d

s0, 9ds3, 1d, s3, 9ds6, 0d

34s5, 0d

s0, 3d, s8, 3ds0, 0d

2x2 1 y 2 1 4.8x 2 6.4y 1 3.12 5 0

x2 1 2y 2 2 3x 1 4y 1 0.25 5 0

36x2 1 9y 2 1 48x 2 36y 1 43 5 0

12x2 1 20y 2 2 12x 1 40y 2 37 5 0

16x2 1 25y 2 2 64x 1 150y 1 279 5 0

9x2 1 4y2 1 36x 2 24y 1 36 5 0

sx 1 4d2 1 sy 1 6d2

1y45 1

sx 2 3d216

1sy 2 1d2

255 1

3x2 1 7y 2 5 6316x2 1 y 2 5 16

s8, 2d.s0, 2dy 5 22;

s4, 11d.s3, 4d,s0, 3d,y-

x1 2 3

2

1

3

4

(4, 0)(0, 0)

(2, 4)

y

x1 1

2

3

(2, 0)(2, 0)

(0, 4)

y

x 5 22y 5 23

s2, 2ds0, 5ds22, 21ds3, 4ds22, 1ds5, 4d

x2 2 2x 1 8y 1 9 5 0y 2 2 4x 2 4 5 0

y 5 216sx2 2 8x 1 6dy 2 1 x 1 y 5 0

y 2 1 4y 1 8x 2 12 5 0x2 1 4x 1 4y 2 4 5 0

y 2 1 6y 1 8x 1 25 5 0y 2 2 4y 2 4x 5 0


sx 2 2d29

2y2

45 1

y 2

162

x2

15 1

x2

161

y 2

165 1

x2

41

y 2

95 1

sx 2 2d216

1sy 1 1d2

45 1sx 1 4d2 5 22sy 2 2d

sx 1 4d2 5 2sy 1 2dy 2 5 4x

2

2 4 6

4

4

22

yy

26 2 6

6

2

6

2

2 4 6

4

4

2

y

2

2 4

4

6

4

46 2x

y

2

2 4

4

4

yy

68 2 424

4

6

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(c) (d)

(e) (f)

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Focus: Focus:



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35.

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Vertex:






s1, 6d, s3, 2ds3, 1d, s4, 0d

s1, 2ds0, 0d

s0, 9ds3, 1d, s3, 9ds6, 0d

34s5, 0d

s0, 3d, s8, 3ds0, 0d

2x2 1 y 2 1 4.8x 2 6.4y 1 3.12 5 0

x2 1 2y 2 2 3x 1 4y 1 0.25 5 0

36x2 1 9y 2 1 48x 2 36y 1 43 5 0

12x2 1 20y 2 2 12x 1 40y 2 37 5 0

16x2 1 25y 2 2 64x 1 150y 1 279 5 0

9x2 1 4y2 1 36x 2 24y 1 36 5 0

sx 1 4d2 1 sy 1 6d2

1y45 1

sx 2 3d216

1sy 2 1d2

255 1

3x2 1 7y 2 5 6316x2 1 y 2 5 16

s8, 2d.s0, 2dy 5 22;

s4, 11d.s3, 4d,s0, 3d,y-

x1 2 3

2

1

3

4

(4, 0)(0, 0)

(2, 4)

y

x1 1

2

3

(2, 0)(2, 0)

(0, 4)

y

x 5 22y 5 23

s2, 2ds0, 5ds22, 21ds3, 4ds22, 1ds5, 4d

x2 2 2x 1 8y 1 9 5 0y 2 2 4x 2 4 5 0

y 5 216sx2 2 8x 1 6dy 2 1 x 1 y 5 0

y 2 1 4y 1 8x 2 12 5 0x2 1 4x 1 4y 2 4 5 0

y 2 1 6y 1 8x 1 25 5 0y 2 2 4y 2 4x 5 0


sx 2 2d29

2y2

45 1

y 2

162

x2

15 1

x2

161

y 2

165 1

x2

41

y 2

95 1

sx 2 2d216

1sy 1 1d2

45 1sx 1 4d2 5 22sy 2 2d

sx 1 4d2 5 2sy 1 2dy 2 5 4x

2

2 4 6

4

4

22

yy

26 2 6

6

2

6

2

2 4 6

4

4

2

y

2

2 4

4

6

4

46 2x

y

2

2 4

4

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Focus: Focus:



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Calculo 2 de varias variables larson 9na edi

Engineering

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