CABLESA menudo encontramos cables relativamente flexibles o cadenas

que se utilizan para soportar cargas. En los puentes colgantes, por ejemplo encontramos disposiciones coplanares en las cuales un cable soporta una gran carga. En tales casos el peso del propio cable suele ser insignificante. Por otro lado, en las líneas de alta tensión eléctrica la fuerza principal es el peso del propio cable.

CABLES CON CARGAS CONCENTRADAS

Los cables se utilizan en muchas aplicaciones de ingeniería como puen-tes colgantes, líneas de transmisión, teleféricos, contravientos para torres altas, etc. Los cables pueden dividirse en dos categorías de acuerdo con las cargas que actúan sobre ellos: 1) cables que soportan cargas concen-tradas y 2) cables que soportan cargas distribuidas.

Considere un cable unido a dos puntos fijos A y B que soporta n cargas concentradas verticales Pi, P2 . . .P„ (figura 1).

Se supone que el cable es f l ex ib le , esto es, que su resistencia a la flexión es pequeña y se puede despreciar. Además, también se supone que el peso de l cab le es suscept ib le de se r i gnorado en comparación con las cargas que soporta. Por tanto, cualquier porción del cable entre dos cargas consecutivas se puede considerar como un elemento sujeto a dos fuerzas y, por consiguiente, las fuerzas internas en cualquier punto del cable se reducen a una fuerza de tensión d i r ig ida a l o l a rgo de l cab le

Se supone que cada una de las cargas se encuentra en una línea ver-tical dada, esto es, que la distancia horizontal desde el apoyo A hasta cada una de las cargas es conocida; además, también se supone que se conocen las distancias horizontal y vertical entre los apoyos. Se busca determinar la forma del cable, esto es, la distancia vertical desde el apoyo A hasta cada uno de los puntos Ci, C2, ... , C„ y también se desea encon-trar la tensión T en cada uno de las segmentos del cable.

Primero se dibuja un diagrama de cuerpo libre para todo el cable. Como la pendiente de las porciones del cable unidas en A y B no se conocen, cada una de estas reacciones en A y B deben representarse con dos componentes. Por tanto, están involucradas cuatro incógnitas y las tres ecuaciones de equilibrio que se tienen disponibles no son suficientes para determinar las reacciones en A y B.

De esta manera, se debe obtener una ecuación adicional considerando el equilibrio de una porción del cable. Lo anterior es posible si se conocen las coordenadas x e y de un punto D del cable. Dibujando el diagrama de cuerpo libre del segmentó AD del cable y escribiendo ∑MD = 0, se obtiene una relación adicional entre las componentes escalares Ax y Ay, y se pueden determinar las reacciones en A y B. Sin embargo, el problema a continuaría siendo indeterminado si no se conocieran las coordenadas de D. menos que se proporcionara otra relación entre Ax y A y (o entre B Como se indica por medio de las líneas discontinuas, el cable podría colgar en varias formas posibles.

Una vez que se han determinado A r y A y se puede encontrar

fácilmente la distancia vertical desde A, hasta cualquier punto del cable. Por ejemplo, considerando el punto C2, se dibuja el diagrama de cuerpo libre de la porción AC 2 del cable. Si se escribe ∑Mc2 = 0; se obtiene una ecuación que se puede resolver para y2. Al escribir ∑Fx = 0, y ∑Fy = 0, se obtienen las componentes de la fuerza T que representa la tensión en la porción del cable que está a la derecha de C2. Se observa que Tcos = - A x , por tanto, la c o m p o n e n t e h o r i z o n t a l d e l a fuerza de t e n s i ó n s i e m p r e es l a m i s m a e n c u a l q u i e r p u n t o d e l c a b l e . Se concluye que la tensión T es máxima cuando cos es mínimo, esto es, en la porción del cable que tiene el mayor ángulo de inclinación.

Obviamente, dicha porción del cable debe ser adyacente a uno de los apoyos del cable.

CABLES CON CARGAS DISTRIBUIDAS

Considere un cable que está unido a dos puntos fijos A y B y que soporta Otra c a r g a d i s t r i b u i d a . En la sección anterior se vio que para un cable que soporta cargas concentradas, la fuerza interna en cualquier punto es mía fuerza de tensión dirigida a lo largo del cable. En el caso de un cable que soporta una carga distribuida, éste cuelga tomando la forma de una curva y la fuerza interna en el punto D es una fuerza de tensión T d i r i g i d a a l o l a r g o de l a t a n g e n t e d e l a c u r v a .

Considerando el caso más general de carga distribuida, se dibuja el diagrama de Cuerpo libre de la porción del cable que se extiende desde el punto más bajo C hasta un punto D del cable.

Las fuerzas que actúan sobre el cuerpo libre son la fuerza de tensión T0

en C, la cual es horizontal, la fuerza de tensión T en D, la cual está dirigida a lo largo de la tangente al cable en D y la resultante W de la fuerza distribuía, soportada por la porción CD del cable. Si se dibuja el triángulo de fuerzas correspondiente se obtienen las siguientes relaciones:

Tcos = T0 ; Tsen = W

T2 = T 0

2 +W2; Tan =W/T0

Es evidente que la componente horizontal e la fuerza de tensión T es la misma en cualquier punto y que la ponente vertical de T es igual a la magnitud W de la carga medida a partir del punto más bajo. Las relaciones muestran que la tensión mínima en el punto más bajo y máxima en uno de los dos puntos de apoyo.

CABLE PARABÓLICO

Ahora suponga que el cable AB soporta una carga distribuida de manera uniforme a lo largo de la horizontal. Se puede suponer que los cables de los puentes colgantes están cargados de esta forma puesto que el peso del cable es pequeño en comparación con el peso de la calzada. La carga por unidad de longitud (m e d i d a e n f o r m a h o r i z o n t a l ) se presenta con w y se expresa en N/m o en lb/ft. Seleccionando ejes coordenados con su origen en el punto más bajo C del cable, se encuentra la magnitud W de la carga total soportada por el segmento del cable que se extiende desde C hasta el punto D de coordenadas x y y está dada por W = wx.

De esta forma, las relaciones que definen la magnitud y la dirección de la fuerza en D, se convierten en la distancia desde D hasta la línea de acción de la resultante W que es igual a la mitad de la distancia horizontal que hay desde C hasta D

T2 = T 0

2 +w2x2; Tan =wx/T0

6) ¿Cuál es el valor de la fuerza F, inclinada 30° respecto a la horizontal, que se necesitará iniciar el movimiento ascendente del bloque? ¿Cuál será la fuerza F necesaria para mantener este movimiento a velocidad constante?. Los coeficientes de rozamiento estático y dinámico son 0.3 y 0.275, respectivamente.

a) Para hallar F cuando se inicie el movimiento ascendente del bloque (usaremos us): D.C.L.

Sumatoria de fuerzas

∑ Fx = 0Fcos30°-Nsen20°-usNcos20°= 0Nsen20°+usNcos20°= Fcos30° …(1)

∑ Fy = 0Ncos20°-usNsen20°-W-Fsen30 = 0Ncos20°- usNsen20°-W=Fsen30 …(2)

Dividiendo (2)/(1):

Ncos20°- usNsen20°-W=Fsen30Nsen20° +usNcos20° = Fcos30°

Ncos 20°−us Nsen20 °−WNsen20 °+us Ncos20 °

= Fsen30 °Fcos30 °

Ncos 20°−us Nsen20 °−WNsen20 °+us Ncos20 °

= 1

√3

Ncos 20°−(0.3)Nsen20 °−500Nsen20 °+(0.3)Ncos20 °

= 1√3

N= 1048.52

Reemplazando en (1) hallaremos F:

F=Nsen20 °+us Ncos 20°cos30 °

F = 755.41 N

b) Para hallar F cuando se inicie el movimiento a velocidad constante (usaremos ud): D.C.L.

Sumatoria de fuerzas

∑ Fx = 0 Fcos30°-Nsen20°- ud Ncos20°= 0Nsen20°+ ud Ncos20°= Fcos30° …(1)

∑ Fy = 0Ncos20°- ud Nsen20°-W-Fsen30 = 0Ncos20°- ud Nsen20°-W=Fsen30 …(2)

Dividiendo (2)/(1):

Ncos20°- ud Nsen20°-W=Fsen30Nsen20° + ud Ncos20° = Fcos30°

Ncos 20°−ud Nsen20 °−WNsen20 °+ud Ncos20 °

= Fsen30 °Fcos30 °

Ncos 20°−ud Nsen20 °−WNsen20 °+ud Ncos20 °

= 1

√3

Ncos 20°−(0.275)Nsen20 °−500Nsen20 °+(0.275)Ncos20 °

= 1√3

N= 1002.05 Reemplazando en (1) hallaremos F:

F=Nsen20 °+ud Ncos 20°cos30 °

F = 694.75 N

7) dado que para todas las superficies us = 0.2, hallar la fuerza P necesaria para que el bloque A comience a moverse hacia la derecha.

Para hallar P cuando el bloque A empiece a moverse hacia la derecha:a. Analizamos el bloque B:

D.C.L. del bloque B:

1. Por equilibrio:

∑ Fx = 0 N2sen20°+usN2cos20°-N1 = 0N2sen20°+usN2cos20° = N1 … (1)

∑ Fy = 0 N2 cos20°-usN1-WB-usN2sen20° = 0WB = usN1 - N2 cos20° + usN2sen20° … (2)

2. Reemplazando (1) en (2), para halar N2 :

WB = usN1 - N2 cos20° + usN2sen20°WB = us (N2sen20°+usN2cos20°) - N2 cos20° + usN2sen20°

1000 = 0.2 (N2sen20°+0.2N2cos20°) - N2 cos20° + 0.2N2sen20° N2 = 1306.68 N

3. Reemplazando N2 en (1), para hallar N1:

N1 = N2sen20°+usN2cos20° N1 = 692.49 N

b. Analizamos el bloque A:

D.C.L. del bloque A:

1) Por condición de equilibrio:

∑ Fx = 0P-usN3-N2sen20°-usN2cos20° = 0P=usN3+N2sen20°+usN2cos20° …(1)

∑ Fy = 0 N3- N2 cos20° + usN2sen20° -2000 = 0N3 = N2 cos20° - usN2sen20° +2000 …(2)

2) Reemplazando valores en (2), hallamos N3:

N3 = N2 cos20° - usN2sen20° + 2000 N3 = 1338.5 N

3) Ahora reemplazamos valores en (1), para hallar P:

P=usN3+N2sen20°+usN2cos20°P=960.19 N

8) Una polea requiere un momento de 200 N m para comenzar a rodar. Se sabe que us, vale 0.25 ¿Cuál es la fuerza horizontal F mínima que se necesita para generar una fuerza suficiente en la correa de forma que pueda hacer rodar a la polea ?

A. Hacemos el D.C.L. del de la polea:

B. Por equilibrio:

∑Fx = 0T1cos20° + T2cos20° = F …(1)

C. Por fórmula:

eus β=T 1 /T 2 2.19 = T1 / T2

2.19 T2 = T1 … (2)

D. Momentos en O:

∑ Mo = 200 N m

T1cos20°r- T2 cos20° r= 200 …(3)

E. Reemplazando (2) en (3) :

T1cos20°r- T2 cos20°r = 2002.19 T2 cos20°r- T2 cos20°r = 200

T2 = 715.41 N

F. Reemplazando en (2), para hallar N1 :

2.19 T2 = T1

2.19 (715.41) = T1

1566.75 N = T1

G. Reemplazamos en 3 para hallar F:T1cos20° + T2cos20° = F 2144.53 = F

9) Calcular el momento debido al rozamiento para el cojinete. El coeficiente de rozamiento se toma como ud.

Reemplazando en la fórmula:

dM = 4 0 2π r ud Pr d dr/[ π(D2

2- D12)]

dM = 8 r ud Pr d dr/(D22- D1

2)

M = 8[ ud Pr/(D22- D1

2)] r2dr

M = (D23- D1

3)P ud /[3(D22- D1

2)]

10) La cuerda que sostiene el peso E de 200 N pasa sobre el tambor y está fijada en A. el peso C es de 50 N ¿Cuál es el coeficiente de rozamiento estático mínimo entre la cuerda y el tambor para mantener el equilibrio de este último?