Ana lisis de circuitos de CA con impedancias complejas*

Federico Davoine** Facultad de Ingeniera Universidad de la Repu blica

Resumen

Introduciremos brevemente el uso de las impedancias complejas para el ana lisis de cir- cuitos lineales en re gimen sinusoidal (corriente alterna: CA).

1. Repaso de nu meros complejos

Tal como fue visto en el curso de Ca lculo, un nu mero complejo se puede escribir como z = a + bi, donde a R se denomina parte real de z (a = Re(z)), b R se denomina parte imaginaria de z (b = I m(z)) e i cumple i2 = 1.Recordemos que representamos un nu mero complejoen un plano, como un punto o vector que une al origencon el punto. En las abscisas representaremos la partereal del mismo, mientras que en las ordenadas estara laparte imaginaria. A veces resulta ma s pra ctico utilizarcoordenadas polares (mo dulo y argumento o fase ),que cumplen:

az = a + ib = |z| = a2 + b2 y = Arg(z) = Arctg( b )

Usando la relacio n de Euler: ei = cos + isen y un poco de trigonometra, concluimos que la representacio n en polares de un nu mero complejo z es: z = |z|ei . En particular, si = t + , podemos decir que el vector

1z = |z|ei(t+) esta

realizando un movimiento circular

Figura 1: Representacio n de ununiforme, de velocidad angular (en rad/s) segu n la normal saliente a la figura y radio |z| constante.

nu mero complejo en el plano: encoordenadas cartesianas (a, b) y enpolares (, ).Otra propiedad que nos va a resultar u til es que si z = z1 z2

|z| = |z1 ||z2 |Arg(z) = Arg(z1 ) + Arg(z2 )

* Esta nota no sustituye al teo rico ni a los apuntes ni tiene cara cter oficial. Se recomienda fuertemente leer este tema en el Resnick o en el Feynman.**Dudas, sugerencias o comentarios a: fdavoine@fing.edu.uy. Agradecemos la colaboracio n de Ariel Ferna ndez, Michael Reisenberger y Santiago Iba n ez en la lectura detallada y correccio n de estas notas.2. Circuitos de CA

Ahora, veremos co mo analizar un circuito de CA. En primer lugar, un circuito lineal de CA (corriente alter- na, AC en ingle s), es un sistema ele ctrico, compuesto de componentes lineales1, como pueden ser resisten- cias, inductancias y capacitores, adema s de fuentes si- nusoidales. Como fue visto en el teo rico, estos sistemas se encuentran trabajando en re gimen sinusoidal. Esto quiere decir que, en la ecuacio n diferencial utilizada para calcular la corriente en funcio n del tiempo (que surge de aplicar Kirchhoff), la solucio n homoge nea se extingue ra pidamente (transitorio), por lo que so lo interesa la solucio n particular. Esta u ltima sera sinusoidal, si la ex- citacio n lo es, puesto que el circuito es lineal. Por tanto, sabemos que, en un circuito de CA, todas las corrientes y voltajes van a ser sinusoides, con la misma frecuencia (siendo la frecuencia de la excitacio n), aunque distintaamplitud y desfasaje. O sea que, si la fuente es: Figura 2: Diagrama fasorial.v(t) = Vp cost = Re(Vp eit ) I (t) = Ip cos(t ) = Re( Ip eit)donde Ip = Ip ei es el fasor asociado a la intensidad y Vp al voltaje. Aunque so lo la parte real de ei(t) tiene significado fsico, trabajaremos con el fasor complejo, resolveremos circuitos con e l, y al final tomaremos la parte real.

3. Impedancias complejas

Supongamos que tenemos el caso que se muestra en la figura 3. Si el elemento en bornes de la fuente de CA es una resistencia, se cumple la ley de Ohm:

v = R I Vp eit = R Ip eit

es decir que la resistencia no desfasa a la corriente de la tensio n (tienen la misma fase):

Vp cost = R Ip cost = 0

IDefinimos la impedancia asociada a la resistencia como: ZR = v = R

Figura 3: Circuito resistivo y su diagrama fasorial.

1 Componentes lineales son aquellos en los cuales la relacio n entre la intensidad y la cada de potencial sobre ellos es una ecuacio n diferencial lineal.Si ahora, el elemento en bornes de la fuente de CA es un capacitor C (figura 3), tenemos que:v = q

dq dv i = = CC dt dt Ip eit = CiVp eit

2Pero la fase de la corriente es: Arg( I ) = Arg(v) + Arg(iC) = Arg(v) + , o sea que existe un desfasaje de = entre ambas. En particular, la corriente adelanta al voltaje en :2 2

Ip Vp cost = C cos(t +

) =

2 2

Definimos la impedancia asociada al capacitor como: ZC = v = 1I iC

Figura 4: Circuito capacitivo y su diagrama fasorial.

Por u ltimo, si el elemento en bornes de la fuente de CA es una inductancia L (figura 3), tenemos que:v = L d I V eit = Li I

eitdt p p

2Nuevamente el desfasaje entre la corriente y el potencial es de , aunque en este caso lacorriente se encuentra retrasada con respecto al voltaje:

22v(t) = Vp cost = L Ip cos(t ) =

IDefinimos la impedancia asociada a la inductancia como: ZL = v = i L

Figura 5: Circuito inductivo y su diagrama fasorial.

ZEn general, si el elemento en bornes de la fuente de CA en realidad es una combinacio n de resistencias, capacitores e inductancias, de impedancia Z, se cumple que, si: v(t) = Vp cos(t) = Re(Vp ei(t) ) I = V , lo que implica:

pI (t) = |Vp | cos(t + Arg(V )|Z|

Arg(Z)) = |Vp | cos(t|Z|

)

4. Potencia

Como ya sabamos, las inductancias y los condensadores no disipan energa, aunque si la pueden acumular. En los circuitos de CA, estos elementos se cargan de energa (magne tica en el caso de las inductancias, ele ctrica en los capacitores) y se descar- gan dos veces por periodo. En la figura 4, se puede ver la intensidad por un induc- tor y su energa en funcio n del tiempo. Es claro que la energa llega a un ma ximo ent = T y t = 3T , y luego decrece (el inductor4 4se descarga sobre el resto del circuito). Encambio, las resistencias s disipan energa,a trave s de calentamiento Joule. Figura 6: Intensidad y energa en uninductor en funcio n del tiempo. La potencia disipada promedio, en un circuito de CA vale:

Vp Ip cosP = = Vprms Iprms cos,2

donde Vp es el voltaje ma ximo de la fuente e Ip es la intensidad ma xima por la misma. Adema s, definimos el Factor de Potencia FP, como:

FP = cos

El factor de potencia nos da informacio n sobre el desfasaje entre la tensio n y la corriente por la fuente.Ejemplo 1: Circuito RLC serie

Para mostrar el uso de las te cnicas explicadas previamente, analizaremos un circuito com- puesto por una resistencia R, en serie con una inductancia L y un capacitor C, en presencia de una fuente sinusoidal, de frecuencia y valor ma ximo Vp (V (t) = Vp cost = Re Vp eit ).

Figura 7: Circuito RLC serie con impedancias complejas y su diagrama fasorial.

CLa impedancia del circuito es Z = R + i L 1

. Como se vio anteriormente, la intensidadse obtiene dividiendo el fasor complejo de la fuente por la impedancia equivalente del circuito:

Ip =

Vp =Z

R + i

Vp

C L 1

I (t) = Re

n Ip e

it o

= VprR2 + L

1 2 C

cos(t ),

C donde = Arctg L 1

. Distinguimos tres casos para el valor de , dependiendo de la

frecuencia:Si < 0, < 1

R

: el circuito es capacitivo.LC

Si = 0, = 1LC

Si > 0, > 1LC

: el circuito es resistivo (resonancia).

: el circuito es inductivo.Puesto que ya tenemos cua nto vale la intensidad por el circuito, procedamos a calcular los voltajes entre los puntos a y b y entre b y d. Los fasores asociados a cada uno de ellos se obtienen multiplicando la intensidad por la impedancia entre los bornes. O sea:

ZVab = Ip ZL =

Vpi L Vab (t) = Re

Vp (i L)eZ

rit

= Vp L

CR2 + L 1

cos2

t

+ 2

Recordemos que el valor rms2 de una sen al v(t) se define como:

vrms = kv(t)k =

r 1 ZT

v(t)2 dtTdonde la integral es sobre un periodo T = 2 = 1 . Para el caso de sen ales sinusoidales (t), frms = max 2

).

2 , dado que se trata de la raz cuadrada de la integral en un periodo de max cos

(t +

2 rms = Root mean square: raz media cuadra tica en ingle s.Vabmax 1

Vp L= Vabrms =

2 = 2 r

C2R2 + L 1

CLa impedancia entre los puntos b y d es: Zbd = R + i 1

. O sea que:

R + |Zbd | =

r 2 1 2CArg(Zbd ) = = = Arctg 1/C = Arctg 1R RC

El fasor complejo Vbd es igual al fasor intensidad multiplicado por el nu mero complejo Zbd :

Vbd = Ip Zbd =

ZVpZbd Vbd (t) = Re

VpZbd eZ

it

r

+Vp R2=r

1 2C

cos (t 2

+ )

CR2 + L 1

Vbdmax

R +1 Vp

r 2 1 2C= Vbdrms =

2 = 2 r

C2R2 + L 1

Ejemplo 2: Puentes de alterna

Para medidas muy delicadas de resistencias, capacidades e inductancias, se utilizan cir- cuitos especiales, denominados puentes por su forma gra fica. En la figura 4 se puede ver un puente de medida gene rico, con impedancias Z1, Z2, Z3 y Zx en sus ramas derecha e izquierda, respectivamente. Las tres primeras impedancias son conocidas (con un error muy bajo) y Zx es la que queremos calcular. La fuente Vp puede ser de voltaje continuo Vp (t) = constante o alterno Vp (t) = Vmax cos(t) .Es fa cil ver que las corrientes complejas I1 e I2 valen:

( I1 =

VpZ +Z1 3VpI2 =

Z2 +Zx

Figura 8: Puente gene rico de alterna.

3 ac 1 3 Z +ZPor lo tanto, la caida de potencial sobre la impedancia Z es: V = I Z = Z3 Vp , y sobre la1 3

bc 2 x Z2 +Zx ximpedancia Zx es: V = I Z = Zx Vp . Para medir Z , se equilibra el puente, haciendo quelos potenciales en los puntos a y b sean iguales 3, o lo que es lo mismo Vac = Vbc.Z3 Vp Z1 + Z3

Zx Vp=

Z2 + Zx

Zx Z1

= Z2 Z3Es decir que cuando la diferencia de potencial entre a y b es nula, el producto de las impedan- cias cruzadas del puente es constante. De esta forma, se puede calcular Zx a partir de las dema s impedancias, sin importar el valor de la fuente Vp . Si e sta es una fuente de continua y las impedancias resistencias, lo que tenemos es el llamado puente de Wheatstone.En cambio, cuando tenemos que la fuente es de voltaje alterno, podemos poner impedan- cias compuestas de resistencias, inductancias y capacitores. La ecuacio n general de equilibrio del puente sigue valiendo, pero como las impedancias son complejas, tenemos dos ecuaciones (una para la parte real y una para la imaginaria) en lugar de una so la, como se obtiene en el puente de Wheatstone.Existen una gran cantidad de configuraciones de este estilo, desarrolladas para medir in- ductancias y capacidades con una altsima precisio n y con relativa facilidad. La figura 4 mues- tra una de ellas, un puente de Schering, el cual usaremos para calcular la resistencia Rx y el condensador Cx .4 La fuente de voltaje es alterna de frecuencia . En este caso: Z1

= 1 1

=R1 +iC1

R11+i R1C1 Z2 = R21Z3 =

iC3

Cx Zx = Rx + i 1iRx Cx + 1 R1Zx Z1 = Z2 Z3

iCx

1 + iR1 C1 = R2

iC3 (1 + iRx Cx )R1 C3 = R2 Cx (1 + iR1 C1)Separando esta ecuacio n en partes reales e imaginarias, llegamos a: Rx Cx R1 C3 = R2 Cx R1 C1R2 Cx = R1 C3Estas ecuaciones, desacopladas e independientes de la fuente de voltaje (tanto de su frecuencia como de su amplitud), nos dan los valores de la resistencia y el capacitor desconocidos:

C3( Rx = R2 C1

R2Cx = R1 C3

Figura 9: Puente de Schering.

3 Se coloca un voltmetro entre los puntos a y b y se mide Vab = 0V.4 En realidad, esta configuracio n es usada para medir capacitores no ideales, los cuales pueden ser modeladoscomo un capacitor ideal en serie con una resistencia ideal (pequen a).Ejemplo 3: Elevacio n del factor de potencia

Se alimenta un motor con una fuente de Vprms = 220V y frecuencia de red (50Hz). El mo- tor consume 1kW y tiene un factor de potencia de 0, 6. Hallar la capacidad del capacitor que, puesto en paralelo al motor, eleva el factor de potencia a 0, 8.En primer lugar, modelaremos el motor como una impedancia compuesta por una resisten- cia en serie con una inductancia. 5 Tenemos como dato el factor de potencia, as que podemos obtener el desfasaje inicial entre la corriente Imotor y el voltaje de la fuente Vp :

FPinicial = cosm = 0, 6 m = 53, 13

Ana logamente, obtenemos el desafasaje en el circuito final (capacitor en paralelo al motor): = 36, 87. Dado que en esta configuracio n, la diferencia de potencial en bornes del motor es la misma que la inicial, el motor sigue consumiendo la misma intensidad Imotor que antes. Lo que s cambia es la intensidad total suministrada por la fuente de voltaje, la cual cumple: I = Imotor + IC (ley de nodos), donde IC es la corriente por el condensador. Se cumple:

C C C iC C pVp = I Z = I 1 I = V iC

Arg( IC ) = Arg(Vp ) + Arg(iC) = Arg(Vp ) + 2

2En la figura 4, podemos observar el diagrama fasorial original y el nuevo, donde vemos que la corriente por el capacitor y la fuente esta n desfasadas . Si descomponemos el fasor I = Imotor + IC , en dos direcciones, una colineal con la fuente y la otra ortogonal, obtenemos:

I cos = Imotor cosmI sen = Imotor senm IC

Si multiplicamos de ambos lados de la primera ecuacio n (corriente colineal con la fuente)

2por Vp , logramos:

Pinicial =

Vp I cos=2

Vp Imotor cosm= Pf inal = P = 1kW2

Por lo tanto, la potencia promedio disipada es la misma, con y sin el condensador en par- alelo.6

5 Recordemos que los motores son, ba sicamente, bobinados de cables, que actu an como inductancias y que tienen pe rdidas por calentamiento Joule.6 Notar que si hubie ramos puesto el capacitor en serie, la corriente y la diferencia de potencial en bornes del motor s habra cambiado, por lo que la potencia consumida no sera la misma que antes.

Figura 10: Esquema de los circuitos inicial (izquierda) y final (derecha), debajo de sus respectivos diagramas fasoriales.

( Imotor = V 2Pp cosm

I = 2PVp cos

2Sustituyendo en la igualdad de las corrientes desafasadas :

2P 2PI sen = Imotor senm IC = V cos sen = V cos

senm CVpp p mUsando que Vp = 2Vp

rms

y despejando la capacitancia C, llegamos al siguiente resultado:

V2C = Pprms

tgm

tg = 38, 36F