C 09 Medidas de dispersión

Para describir un conjunto de números hemos visto que es de utilidad ubicar el centro del

conjunto de datos. Pero identificar una medida de tendencia central rara vez es suficiente. Una

descripción más completa del conjunto de datos puede obtenerse si se mide qué tan dispersos

están los datos alrededor de dicho punto central. Esto es precisamente lo que hacen las medidas

de dispersión. Indican cuánto se desvían las observaciones alrededor de su media.

A continuación veremos la descripción de las diferentes medidas.

Medida

Descripción

Ra

ng

o

Que describe

El rango es simplemente la diferencia entre la observación más alta y la más baja.

Fórmula

Rango = # Mayor − # Menor

Ejemplo

Calcule el rango para el siguiente conjunto de datos: -15, -9, -2, 5, 5, 7, 12, 14

el rango seria= 14- (-15) =14-15 = 29

De

sv

iac

ión

está

nd

ar

Que describe

La desviación estándar es simplemente el "promedio" o variación esperada con respecto a la media aritmética.

Fórmula

𝑆 = √Σ(𝑋𝑖 − �̅�)2

𝑛 − 1

Ejemplo

Determine la Desviación estándar de los siguientes datos: 87, 120, 54, 92, 73, 80, y 63

Determinamos que �̅� = 81.29 Entonces

𝑆 = √Σ(𝑋𝑖 − �̅�)2

𝑛 − 1

=√(87−81.29)2+(120−81.29)2+(54−81.29)2+(92−81.29)2+(73−81.29)2+(80−81.29)2+(637−81.29)2

7−1

=√465.69 = 21.58

Cu

art

il, D

ecil y

Pe

rce

nti

l

Que describe

Divide el conjunto de datos en partes iguales. Los Cuartiles, cada conjunto de datos tiene tres

cuartiles que lo dividen en cuatro partes iguales. El primer cuartil es ese valor debajo del cual

clasifica el 25% de las observaciones, El segundo cuartil es justo la mitad y el tercer cuartil es el

valor debajo del cual está el 75% de las observaciones y encima del cual puede encontrarse el 25%

restante. Los deciles separan un conjunto de datos en 10 subconjuntos iguales, y los percentiles en

100 partes.

Vale la pena destacar que los datos han sido puestos en una serie ordenada.

Fórmula

La posición del percentil la encontramos con la formula:

𝐿𝑝 = (𝑛 + 1)𝑃

100

Donde 𝐿𝑝 es el sitio del percentil en una serie ordenada.

n es el numero de observaciones P es el percentil deseado

Cu

art

il, D

ecil y

Pe

rce

nti

l

Ejemplo

Para ilustrar el cálculo de percentiles, se asume que se tienen observaciones para el número de acciones correspondientes a 50 acciones transados en la Bolsa de Valores de Nueva York ( Los datos han sido puestos en una serie ordenada) Se asume que se quiere encontrar el primer cuartil o el percentil 25 𝑃25. Para eso debemos encontrar primero la posición con la formula:

𝐿25 = (50 + 1)25

100= 12.75

El valor resultante de 12.75 dice que el percentil 25 está ubicado al 75% del trayecto comprendido entre la doceava observación, que es 20 y la treceava observación que es 21, es decir, P = 20 + 0.75 (21-20) = 20.75.

Si se desea calcular el percentil 35, se halla la posición: 𝐿35 = (50 + 1)35

100= 17.85

El percentil 35 está al 85% del trayecto comprendido entre la observación 17, que es 29 y la observación 18 que es 31, es decir, P35 = 29 + (0.85)(31 - 29) = 30.7 Por tanto el 35% de las observaciones está por debajo de 30.7 y el 65% restante por encima de 30.7

EJERCICIO: 1.- Defina en sus propias palabras: a. El percentil 80 b. El cuarto decil c. El tercer cuartil 2.- Utilizando los datos de la tabla, calcule e intérprete: a. El rango b. La mediana c. El percentil 50 d. El percentil 70 e. El tercer decil

Fuentes: “Estadística para administradores" (Levine, Krebhiel,Berenson) Ed. Pearson Resumen Cap. 2 Pág. 53-59.

3 10 19 27 34 38 48 56 67 74

4 12 20 29 34 39 48 59 67 74

7 14 21 31 36 43 52 62 69 76

9 15 25 31 37 45 53 63 72 79

10 17 27 34 38 47 56 64 73 80