Ejercicio obligatorio seminario 7. Estadística La glucemia basal de los diabéticos atendidos en la consulta de enfermería puede considerarse como una variable normalmente distribuida, con media 106 mg por 100 mL, y desviación típica de 8 mg por 100 mL. N (106, 8).

a) Calcula la proporción de diabéticos con una glucemia basal inferior o igual a 120 mg por 100 mL.

b) La proporción de diabéticos con una glucemia basal comprendida entre 106 y 110 mg por 100 mL.

c) La proporción de diabéticos con una glucemia basal mayor de 120 mg por 100 mL.

d) El nivel de glucemia basal tal que por debajo de él están el 25% de los diabéticos, es decir, el primer cuartil.

Al ser una variable normalmente distribuida, podemos transformar o tipificar cualquier VAC “X” en Z, calculando así la desviación estandarizada o tipificada mediante la expresión Z=(X−µ)

σ.

Datos del ejercicio

µ = 106

σ = 8

N = (106, 8)

a) Para calcular el porcentaje de diabéticos con una glucemia basal < a 120, primero tipificamos 120 mediante la expresión Z=(X−µ)

σ, donde X=120.

Z=(X−µ)σ

= (120−106)8

= 148 = 1´75

Luego P (X < 120) = P (Z < 1´75) = 0´95994, según hemos observado en la tabla normal tipificada. Por tanto, el 95´99% de los diabéticos tienen una glucemia basal inferior o igual a 120 mg por 100 mL.

1

b) Para calcular el porcentaje de diabéticos con una glucemia basal comprendida entre 106 y 110 mg por 100 mL, primero tipificamos ambos valores. Se nos pide P (106 < X < 110).

Z1= (106−106)8

= 08 = O

Z2= (110−106)8

= 48 = 0´5

Luego P (106 < X < 110)= P (0 < Z < 0´5)= P (Z < 0´5) – P (Z > 0) = = 0´69146 – 0´5 = 0´19146, tras haber observado la tabla normal tipificada. El 19´146% de los diabéticos tienen una glucemia basal comprendida entre 106 y 110 mg por 100 mL.

2

c) Para calcular el porcentaje de diabéticos con una glucemia basal superior a 120 mg por 100 mL, tipificamos de nuevo dicho valor.

Z=(X−µ)σ

= (120−106)8

= 148 = 1´75

A continuación miramos la tabla normal tipificada y comprobamos de nuevo que el valor de la proporción para Z= 1´75 es 0´95994.

Una vez que ya tenemos nuestro valor necesario, restamos a la probabilidad mayor de que ocurra un suceso (es decir, 1) el valor obtenido. Obtenemos así la proporción de diabéticos con una glucemia basal mayor a 120 mg por 100 mL.

1 – P (X < 120) = 1 – P (Z < 1´75) = 1 – 0´95994 = 0´04006

También podríamos restar al porcentaje total (100%), el porcentaje de diabéticos con glucemia basal inferior o igual a 120 mg por 100 mL (95´994%).

100% - 95´994% = 4´006% d) Para hallar el nivel de glucemia basal tal que el 25% de los

diabéticos estén por debajo de él, sabemos que ese 25% se 3

corresponde con una probabilidad de 0´25. A continuación, miramos en la tabla normal tipificada qué valor de Z posee una proporción de 0´25 (o muy próxima). Y observamos que ese valor de Z es 0´67.

Pasamos a sustituir todos los valores que tenemos en nuestra ecuación; así calcularemos la X, el nivel de glucemia pedido. P (Z < -0´67) = 0´25.

Datos Z = (X−µ)8

= -0´67

X = ? (X−106)8

= -0´67

µ = 106 (X – 106) = (-0´67) x 8

σ = 8 (X – 106) = -5´36

X = (-5´36) + 106

X = 100´64 mg por 100 mL

El nivel de glucemia basal por debajo del cual están el 25% de los diabéticos es 100´64 mg por 100 mL.

4

Hay que tener en cuenta el signo negativo, ya que está en el primer cuartil, es decir, delante de la media, que al tipificarla es 0; por lo que todo lo que esté delante de ella será negativo.