TOPOGRAFÍA I  C  O  N  T  E  N  I  D  O  S       T  E  Ó  R  I  C  O  S.  

 

“Documento de trabajo del alumno” (Segunda parte)

Febrero 2009

UNIVERSIDAD  POLITÉCNICA  DE  MADRID 

ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS  EN TOPOGRAFÍA, GEODESIA Y CARTOGRAFÍA 

TOPOGRAFÍA I C  O  N  T  E  N  I  D  O  S       T  E  Ó  R  I  C  O  S.  

 

“Documento de trabajo del alumno” (Segunda parte)

PROFESORES:

Rosa Mariana Chueca Castedo

José Manuel Benito Oterino

Rafael Caturla Vázquez

Teresa Fernández Pareja

Francisco Javier Olmedo Delgado

Febrero 2009

Documento de trabajo del alumno Topografía I

211

ISBN: Nº 978-84-96737-00-06 Segunda parte Contenido - documentación: Profesores de la asignatura Topografía I Última revisión: Octubre 2008

Documento de trabajo del alumno Topografía I

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Presentación

Para los alumnos que inician sus estudios en la E. T. S. de Ingenieros en Topografía, Geodesia y Cartografía de la Universidad Politécnica de Madrid, este “Documento de trabajo del alumno” fue presentado en el Curso 06-07, recogiendo la experiencia acumulada tras más de veinte años de impartición de las asignaturas “Instrumentos topográficos” y “Topografía I”.

Con la reforma de los planes de estudios del año 92, en la entonces E. U. de Ingenieros Técnicos en Topografía, apareció la asignatura “Topografía I” estructurada en base a la impartición de clases teóricas y clases prácticas, éstas últimas desarrolladas en campo y en gabinete.

En ningún caso puede abordarse la Asignatura TOPOGRAFÍA I sin el trabajo simultáneo en las clases teóricas y en las clases prácticas. Los cálculos que conllevan las observaciones realizadas en cada una de las prácticas de campo se presentan y se ejercitan en las clases de prácticas de gabinete. Y los conceptos necesarios para su comprensión se desarrollan en las clases teóricas.

Insistentemente demandada por los alumnos durante mucho tiempo, ahora tienen a su disposición una publicación de apoyo a la docencia de la asignatura. No se trata de unos apuntes, sino de la recopilación del guión de las clases que los profesores desarrollamos día a día. A lo largo del curso proyectamos más de ochocientas diapositivas en presentaciones animadas. Con la ayuda de este ingente material didáctico, los alumnos de primer curso entran en contacto con la TOPOGRAFÍA. Nuestro propósito es introducir una Ciencia apasionante, cimentando con rigor una base que les permita después, a lo largo de la carrera, acumular conocimientos, adquirir destrezas, desarrollar experiencias …

Esta publicación se estructura, ahora, en dos entregas y pretende ayudar al alumno en su trabajo diario, haciendo más ágil el seguimiento de las clases, estimulando así su participación activa en las mismas. Y, después, facilitando el estudio de la materia.

Profesores de Topografía I

Documento de trabajo del alumno Topografía I

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TOPOGRAFÍA I

Documento de trabajo del alumno Topografía I

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Documento de trabajo del alumno Topografía I

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Índice

(Parte II) UNIDAD TEMÁTICA IV

EL TEODOLITO ........................................................................................................................... 219 Tema 9 El teodolito I ......................................................................................................... 223 Montaje de elementos de horizontalización, centrado, visado y medida

para conformar un teodolito; condiciones de montaje Tema 10 El teodolito II ........................................................................................................ 237 Defecto de cumplimiento de las condiciones teóricas en la

construcción del teodolito Tema 11 El teodolito III ........................................................................................................ 245 Defecto de cumplimiento de las condiciones teóricas en el

ajuste del teodolito Tema 12 El teodolito IV ........................................................................................................ 265 Defecto de cumplimiento de las condiciones teóricas en la

utilización del teodolito UNIDAD TEMÁTICA V MEDIDA DE DISTANCIAS II. MEDIDA INDIRECTA DE DISTANCIAS ..................................... 283 Tema 13 Medida indirecta de distancias (Estadimetría) ................................................. 285 UNIDAD TEMÁTICA VI MEDIDA DE DISTANCIAS III. MEDIDA ELECTROMAGNÉTICA DE DISTANCIAS ................ 295 Tema 14 Medida electromagnética de distancias I .......................................................... 299 Tema 15 Medida electromagnética de distancias II ......................................................... 317 UNIDAD TEMÁTICA VII EL TAQUÍMETRO Y LA TAQUIMETRÍA .................................................................................... 339 Tema 16 El taquímetro y la taquimetría ............................................................................ 341

Documento de trabajo del alumno Topografía I

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UNIDAD TEMÁTICA VIII NIVELACIÓN. INSTRUMENTOS ALTIMÉTRICOS .................................................................... 357 Tema 17 Nivelación I. La nivelación y los instrumentos altimétricos ........................... 361 Tema 18 Nivelación II. Métodos altimétricos .................................................................... 377 UNIDAD TEMÁTICA IX MÉTODOS BÁSICOS DE LEVANTAMIENTO DE PUNTOS .................................................... 387 Tema 19 Métodos básicos de levantamiento de puntos ................................................ 389

BIBLIOGRAFÍA ............................................................................................................................ 409

Documento de trabajo del alumno Topografía I

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El teodolitoEl teodolito

Unidad temática IV

26/02/2009 1Topografía I

ETSI Topografía G y C U.P.M. Prg. A.

Documento de trabajo del alumno Topografía I

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Documento de trabajo del alumno Topografía I

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Unidad Temática IV El Teodolito

Tema 9 El Teodolito IMontaje de elementos de horizontalización, centrado, visado jy medida para conformar un teodolito; condiciones de montaje

Tema 10 El Teodolito IIDefecto de cumplimiento de las condiciones teóricas en la construcción del teodolito

Tema 11 El Teodolito IIIDefecto de cumplimiento de las condiciones teóricasDefecto de cumplimiento de las condiciones teóricas en el ajuste del teodolito

Tema 12 El Teodolito IVDefecto de cumplimiento de las condiciones teóricas en la utilización del teodolito

25/02/2009 1Topografía I

ETSI Topografía G y C U.P.M.T 13Prg. A.

Unidad Temática IV. Avance de contenidosTema 9 El TeodolitoTema 9. El Teodolito

Materialización del eje principalMontaje del círculo vertical Eclímetros automáticosMontaje del círculo vertical. Eclímetros automáticosSensor de inclinación

Tema 10. Defecto de cumplimiento de las condiciones teóricas pen la construcción del teodolito

Error de inclinación del eje de muñonesT 11 D f t d li i t d l di i t ó iTema 11. Defecto de cumplimiento de las condiciones teóricas

en el ajuste del teodolitoError de colimación horizontalError de colimación horizontalError de colimación vertical. Error de eclímetro

Tema 12. Defecto de cumplimiento de las condiciones teóricas en la utilización del teodolito

Error de verticalidad, dirección, puntería y lecturaE t t l

25/02/2009 2Topografía I

ETSI Topografía G y C U.P.M.

Error totalT 13Prg. A.

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Documento de trabajo del alumno Topografía I

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El teodolito IEl teodolito IMontaje de elementos d h i li ió d i d didde horizontalización, centrado, visado y medida para conformar un teodolito; condiciones de montaje

Tema 9Tema 9

25/02/2009 5Topografía I

ETSI Topografía G y C U.P.M.

Tema 9 El teodolito IMontaje de elementos de horizontalización, centrado, visado y medida para conformar un teodolito; condiciones de montaje

9 1 M t i li ió d l j i i l9.1 Materialización del eje principal

Movimientos general y particular de la alidada horizontal

9.2 Montaje del círculo vertical

9.3 Eclímetros automáticos

De líquido

De pénduloDe péndulo

9.4 El sensor de inclinación

9 5 I t d ió l di i t ó i d b li9.5 Introducción a las condiciones teóricas que deben cumplirse en la construcción, ajuste y utilización del teodolito

25/02/2009 6Topografía I

ETSI Topografía G y C U.P.M. T 10Prg. A.

Documento de trabajo del alumno Topografía I

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Documento de trabajo del alumno Topografía I

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9.0 Montaje de elementos de horizontalización, centrado, visado y medida para conformar un teodolito; condiciones de montajep ; j

El teodolito está, esencialmente, compuesto porUna base de sustentación

provista de tres tornillos nivelantesUn eje perpendicular a la base de sustentación, denominado Eje Principal (EP)j p ( )Un círculo acimutal graduado o codificado para medición de ángulos horizontales, perpendicular al EP

provisto de un nivel tórico de burbujaprovisto de un nivel tórico de burbujaUna parte móvil o alidada horizontal que gira sobre el elemento fijo del círculo acimutal

Contiene a su vez a la alidada vertical formada porContiene a su vez a la alidada vertical formada porEl círculo cenital o de alturas, llamado también eclímetroY el anteojo

móvil dentro de ella en un plano verticalLa alidada lleva dos soportes en los que se apoya el eje de muñones, alrededor del cual gira el anteojo

Por conjunción de dicho movimiento y el propio de la alidada horizontal puede apuntar (colimar) a cualquier punto

25/02/20099

José Manuel BenitoETSI Topografía, G y C U.P.M.

horizontal puede apuntar (colimar) a cualquier punto

9.0 Montaje de elementos de horizontalización, centrado, visado y medida para conformar un teodolito; condiciones de montajemedida para conformar un teodolito; condiciones de montaje

Los aparatos tienen tres ejes:Eje principal o vertical

alrededor del cual gira la alidadaEje secundario o de muñones

alrededor del cual gira el anteojo

O

Eje de colimación o de punteríacoincidente con el eje óptico del anteojo

Deberá ocurrir que los tres ejes descritos q jse corten en el punto “O”, siendo perpendiculares:

El eje principal y el eje secundarioEl eje secundario y el eje de colimaciónEl eje secundario y el eje de colimación

La falta de perpendicularidad entre ejes es causa de errores sistemáticos en la medida de los ángulosCuando el eje principal es vertical el aparato está niveladoCuando el eje principal es vertical el aparato está nivelado

Si además el instrumento está centrado, se encuentra en condiciones de medir ángulos horizontales y verticales

Se dice entonces que el aparato está “en estación”

25/02/2009 10Topografía I

ETSI Topografía G y C U.P.M.

Se dice, entonces, que el aparato está “en estación”

Documento de trabajo del alumno Topografía I

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9.1 Materialización del eje principalMovimientos general y particular de la alidada horizontalMovimientos general y particular de la alidada horizontal

El eje principal puede considerarse materializado por una pieza cilíndrica, fij d b j l lid dfijada bajo la alidada

Queda encastrada en un soporte ligado a la plataforma del limbo

La parte inferior de este soporte es también de forma cilíndrica

Se introduce, a su vez, en un segundo soporteen un segundo soporte fijado a la plataforma nivelante

La alidada queda libre o fija al soporte intermedio medianteal soporte intermedio mediante el tornillo de movimiento particular

El soporte intermedio puede hacerse solidario de la plataforma nivelante mediante un tornillo de blocaje, tornillo de movimiento generalj , g

En los teodolitos modernos los ejes cilíndricos están:Ajustados a la micraLa alidada reposa sobre la plataforma fija mediante rodamientos de bolas

25/02/2009 11Topografía I

ETSI Topografía G y C U.P.M.

La alidada reposa sobre la plataforma fija mediante rodamientos de bolas

9.1 Materialización del eje principalMovimientos general y particular de la alidada horizontalMovimientos general y particular de la alidada horizontal

Se llama movimiento generalal que se puede dar al conjunto

Muñones Muñones

Alidada(índices o limbo)

Tornillo de presiónformado por las dos plataformas concéntricas del círculo horizontal (solidarias)

Limbo o índices

Pieza ligada a laplataforma nivelante

Tornillo de presióndel movimiento particular

Tornillo de presióndel movimiento general

respecto de la plataforma nivelanteQueda inalterada la lectura horizontal

Tornillo nivelante

Tornillo nivelante

Tornillo nivelante

Este movimiento permite la orientación del teodolito

En Teodolito óptico mecánico se produce al desbloquear el tornillo de movimiento general, permaneciendo bloqueado el tornillo de movimiento particularge e a , pe a ec e do b oqueado e o o de o e o pa cu a

Se llama movimiento particular al movimiento relativo entre las dos “plataformas” del círculo horizontal

Con este movimiento varía la lectura horizontal

En teodolitos óptico mecánicos se produce al desbloquear el tornillo de movimiento particular permaneciendo bloqueado el tornillo de movimiento general

25/02/2009 12Topografía I

ETSI Topografía G y C U.P.M.

particular, permaneciendo bloqueado el tornillo de movimiento general

Documento de trabajo del alumno Topografía I

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9.2 Montaje del círculo verticalReseña históricaReseña histórica

El círculo vertical se montaEl círculo vertical se monta perpendicular al eje de muñones

Una de las plataformas forma parte d l lid d i lde la alidada vertical (solidaria del anteojo)

La otra queda fija y con su centro

Frecuentemente arrastra el anteojo, al bascular, al limbo cenital

en el eje de muñones

que constituye la alidada, mientras el índice permanece fijo (ver figura)

Las dos configuraciones más frecuentes en los círculos verticales de teodolitos ópticos y electrónicos de primeras generaciones han sido:p y p g

Nivel solidario del círculo (nivel de eclímetro) y círculos independientes

Compensador (eclímetro automático) y círculos independientes

25/02/2009 13Topografía I

ETSI Topografía G y C U.P.M.

9.2 Montaje del círculo verticalReseña histórica

Nivel de eclímetroIncorpora un nivel N, de mayor sensibilidad que el de alidada ligado al círculo (nivel de eclímetro)

N

Reseña histórica

el de alidada, ligado al círculo (nivel de eclímetro)

La plataforma “fija” queda ligada al soporte (s) del eje de muñones mediante un tornillo (V2) que utilizaremos para calar el nivel N

sque utilizaremos para calar el nivel N

La alidada se libera o fija al soporte del eje de muñones mediante el tornillo correspondiente (V1) (Movimiento particular)

En esta configuración las plataformas del círculo son independientesEl tornillo V2 tiene un rango reducido y se acciona mediante un sistema de

(Movimiento particular)

2movimiento lento que permite calar con precisión el nivelEn cada visual observada, antes de hacer la lectura vertical, se debe calar la burbuja del nivel

El cero de la graduación ocupa la posición correcta de orientaciónSe obtiene una lectura más correcta aunque el aparato no esté perfectamente nivelado

V3 es el tornillo de corrección o reglage del nivel de eclímetro

25/02/2009 14Topografía I

ETSI Topografía G y C U.P.M.

V3 es el tornillo de corrección o reglage del nivel de eclímetro

Documento de trabajo del alumno Topografía I

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9.2 Montaje del círculo verticalReseña histórica

Eclímetro automáticoLos inconvenientes derivados de tener que calar

CReseña histórica

el nivel de eclímetro se eliminaron con la utilización de eclímetros automáticos

Mediante un sistema compensadors V1 Mediante un sistema compensador,

que actúa por gravedad, proporcionan lecturas verticales que no estarán afectadas por la falta de verticalidad del eje principal

La plataforma “fija” (en general plat. de índices), ligada al soporte del E. de muñones, se “sitúa” de forma automática en la posición correcta, gracias al compensador

j p p

p , g p

El compensador actúa solo dentro de un cierto rango, compensando la falta de verticalidad del eje principal (Es imprescindible la nivelación del instrumento)

L lid d lib fij l t d l j d ñ di t l t illLa alidada se libera o fija al soporte del eje de muñones mediante el tornillo correspondiente (V1)

Los eclímetros automáticos pueden ser de líquido o de péndulo

25/02/2009 15Topografía I

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9.3 Eclímetros automáticosDe líquido

Están basados en el hecho de que la superficie libre de un líquido adopta la forma de plano horizontal, simplemente, bajo la acción de la gravedad

L di iti á ill i tí tili di t tLos dispositivos más sencillos consistían en utilizar, directamente, como índice de lectura el centro de la burbuja de un nivel tórico (Zeiss)

En los dispositivos de precisión media se obtiene la lecturaEn los dispositivos de precisión media se obtiene la lectura en un solo sector del limbo (Wild T1-A)

En los dispositivos de mayor precisión se “obtienen” lecturasEn los dispositivos de mayor precisión se obtienen lecturas en dos zonas diametralmente opuestas del limbo (Kern DKM2-A)

25/02/2009 16Topografía I

ETSI Topografía G y C U.P.M.

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9.3 Eclímetros automáticosD lí idDe líquido

Dispositivos de precisión media (Wild T1-A)

E di iti d l t ó ti l t d l li b (Í di fij )Es un dispositivo de lectura óptica en un solo sector del limbo (Índice fijo)

Se intercala en la trayectoria del rayo luminoso una caja, herméticamente cerrada, que contiene un líquido refringente

Supongamos el eje principal del teodolito vertical

La última trayectoria del rayo que, procedente del índice de lectura, llega al círculo graduado será vertical

Al incidir en la superficie del líquido (horizontal) el ángulo de incidencia es 90o y el rayo no se desvía

25/02/2009 17Topografía I

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9.3 Eclímetros automáticosDe líquido

Supongamos ahora que el eje principal,Supongamos ahora que el eje principal, y con él el sistema de lectura, está inclinado

La última trayectoria de no existir el líquido, seguiría la dirección del eje principalseguiría la dirección del eje principal y proporcionaría una lectura incorrecta

Al incidir en la superficie del líquido (siempre horizontal) l á l d i id i á di ti t d 90oel ángulo de incidencia será distinto de 90o

El rayo se refractará (desplazándose la lectura)

El índice de refracción del líquido y la posición de la caja están calculados para que, dentro de la precisión del compensador :dentro de la precisión del compensador :

Desplazamiento de la lectura = Inclinación del eje principal

25/02/2009 18Topografía I

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9.3 Eclímetros automáticosDe líquido

Dispositivos de mayor precisión (Kern DKM2-A)

Dispositivo de lectura en dos zonas diametralmente opuestas del limbo (línea de índices fija)

C i t b fl ió t t l b l fi i ( i h i t l)Consiste en quebrar en una reflexión total sobre la superficie (siempre horizontal) de un líquido, el rayo procedente de uno de los puntos de lectura antes de incidir en el opuesto

Supongamos el aparato perfectamente nivelado

La lectura correcta corresponderá a dos puntos diametralmente opuestos en el limboa dos puntos diametralmente opuestos en el limbo (simétricos respecto de la línea del cenit)

La trayectoria del rayo central forma t iá l tá l i ó lun triángulo rectángulo isósceles

25/02/2009 19Topografía I

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9.3 Eclímetros automáticosDe líquido

Supongamos el instrumento inclinadoSupongamos el instrumento inclinado

Los índices se inclinan

El ángulo de reflexión será distinto de 45ºá gu o de e e ó se á d st to de 5

En el ejemplo, menor de 45º

La lectura correspondiente al segundo índice h á l i ió di t l tno se hará en la posición diametralmente

opuesta al primero, sino en una posición simétrica respecto de la dirección de la vertical

La refracción en la lente atravesada después de la reflexión consigue dicho efecto

Se introduce así un error por desviado de índices

L di d l d l t i l l t tLa media de las dos lecturas proporciona la lectura correcta

25/02/2009 20Topografía I

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Documento de trabajo del alumno Topografía I

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9.3 Eclímetros automáticosDe péndulo

El sistema óptico de lectura (línea de índice) incorpora un prisma suspendido de un pénduloincorpora un prisma suspendido de un péndulo

Por efecto de la gravedad el péndulo queda en la dirección de la vertical, independientemente de la verticalidad del eje principal del teodolito (dentro de un cierto rango)

El péndulo y el prisma y su posición p y p y pestán calculados para que cualquier movimiento de inclinación del instrumento provoque una modificación en la lectura del limbo para obtener la lectura correcta

Un amortiguador de aire reduce el tiempo de espera hasta que el péndulo alcanza la posición de equilibrio

25/02/2009 21Topografía I

ETSI Topografía G y C U.P.M.

9.3 Eclímetros automáticosDe pénduloDe péndulo

Frecuentemente el sistema de lectura está formado por una serie de prismas y lentes ligados a una placa suspendida, que dentro de un cierto rango será vertical

Si la nivelación del instrumento es excesivamente grosera, superior al rango permitido a la carrera del péndulo, el rayo emergente no llega al ocular, avisando a efectos de realizar debidamente la nivelación

25/02/2009 22Topografía I

ETSI Topografía G y C U.P.M.

Documento de trabajo del alumno Topografía I

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9.4 El sensor de inclinaciónEn los taquímetros electrónicos de última generación, dispositivos óptico electrónicos detectan la inclinación del eje principal respecto a la vertical

Estos dispositivos constituyen los llamados sensores de inclinaciónEstos dispositivos constituyen los llamados sensores de inclinación

El microprocesador evalúa las influencias del error de verticalidad en las lecturas, para la aplicación de las correcciones oportunascorrecciones oportunas

Se calculan las correcciones correspondientes a las lecturas d l í l h i lde los círculos horizontal y vertical

El sensor de inclinación se basa en que la dirección de la vertical es normal a la superficie libre de un líquido en reposo (que por efecto de la gravedad define un plano horizontal en un pequeño entorno)

25/02/2009 23Topografía I

ETSI Topografía G y C U.P.M.

define un plano horizontal en un pequeño entorno)

9.4 El sensor de inclinaciónS t l i t t t ó i t i l dSupuesto el instrumento teóricamente nivelado

El eje principal será vertical y normal a la superficie del líquido πLa recta M1 M2, paralela al eje de muñones,

t t di l l j i i lVertical

Eje Principal

y por tanto perpendicular al eje principal, ocupará una posición horizontalEn la recta M1 M2 se sitúa:

Batería de foto detectores

LEDVertical

El t t l d l b t í

M2

Un diodo luminiscente LEDUna batería de foto-detectores

Un sistema de lentes orienta la luz emitida por el M1

12

34

5

Lente enfocadora

El punto central de la batería ocupa una posición simétrica del diodo, respecto del eje principal

LED hasta incidir en el punto intersección del Eje Principal con la superficie del líquidoEl ángulo de reflexión será igual θ θ

al de incidencia, respecto de la normal (vertical)El ángulo θ que forma con el E.P el rayo incidente es el mismo que el que forma el rayo reflejado,

ti l l E P

90ο − θ

π

Esto provoca que el rayo reflejado incida en el foto-detector centralLa señal eléctrica emitida es interpretada por el microprocesador

Se constata que el eje secundario paralelo a M M es horizontal

por ser vertical el E. P.

25/02/2009 24Topografía I

ETSI Topografía G y C U.P.M.

Se constata que el eje secundario, paralelo a M1 M2, es horizontal

Documento de trabajo del alumno Topografía I

232

9.4 El sensor de inclinación

Una configuración idéntica de LED y foto detectores se dispone, horizontal y perpendicular a M1 M2, en dirección “eje de colimación, C1 C2”

En el caso considerado, de Eje Principal vertical, también será activado el foto-detector central, l á l t ñ l lé t i

LEDVertical

Eje Principal

M2

C1

lo que provocará la oportuna señal eléctrica

Las dos señales son interpretadas, por el microprocesador, como la constatación

Batería de foto detectores

23

45 LED

de que el eje principal es vertical

Los valores de las lecturas, horizontal y vertical, obtenidos de la exploración de los círculos,

1

Lente enfocadora

2M1 C2

p ,no están afectados de error de verticalidad

Supongamos, ahora, que el Eje Principal está inclinado formando un ángulo i con la vertical

θ θ

90ο − θinclinado, formando un ángulo i con la vertical

π

25/02/2009 25Topografía I

ETSI Topografía G y C U.P.M.

9.4 El sensor de inclinación

La inclinación (i) del Eje Principal respecto de la vertical (normal a la superficie del líquido) se

Vertical Eje Principal( p q )

puede descomponer en: Una componente ivm, en la dirección del eje de muñonesBatería de

foto detectores

LEDivc

M2

Una componente ivc, en la dirección del eje de colimación

El rayo procedente del LED en M1M2 forma un ángulo de incidencia θ1 con la normal a la

23

45

Lente f d

i1

M1 g 1superficie del líquido

La falta de simetría, respecto del E.P., entre los rayos incidente y reflejado provoca que

enfocadora

θ1θ1

entre los rayos incidente y reflejado provoca que el foto detector que recibe luz no sea el central

En la figura puede verse que el foto detector πactivado es el 1 que emitirá, posteriormente, la oportuna señal eléctrica

25/02/2009 26Topografía I

ETSI Topografía G y C U.P.M.

Documento de trabajo del alumno Topografía I

233

9.4 El sensor de inclinaciónEl valor de la componente ivm, en la dirección del eje de muñones, correspondiente a la señal procedente del foto detector 1 en M1M2 , se puede determinar a partir del diseño y ubicación de

La configuración geométrica del LED

El sistema de lentes enfocadoras

La superficie del líquidoLED

Vertical Eje Principal

ivcM2

La superficie del líquido

La batería de foto detectores

Igualmente hay que considerar la disposición l l i l d i ió d l

Batería de foto detectores

23

45 i

ortogonal a la anterior para la determinación de la componente ivc, en la dirección “eje de colimación”

El microprocesador calcula las correcciones a aplicar

2

Lente enfocadora

θ1θ

1M1

a los registros de los círculos horizontal y vertical (en función de ivm e ivc)

Las expresiones de la influencia del error de

1θ1

Las expresiones de la influencia del error de verticalidad i, en las lecturas horizontal y vertical, en función de las componentes ivm e ivc se deducirán al estudiar el error de verticalidad del teodolito (T-12)

π

25/02/2009 27Topografía I

ETSI Topografía G y C U.P.M.

( )

9.4 El sensor de inclinaciónLa precisión en la inclinación del Eje Principal detectada, queda limitada por el tamaño de los fotodetectores

Generalmente pueden detectarse inclinacionesVertical Eje Principal Generalmente pueden detectarse inclinaciones de hasta 2’

Si la inclinación excede este límite, Batería de foto detectores

LED M2ivc

el operador es avisado mediante una señal visible o audible

En este caso deberá afinarse

foto detectores

23

45

Lente

i1

M1

la nivelación del teodolito

El error máximo con que estos dispositivos consiguen medir la inclinación

Lente enfocadora

θ1θ1consiguen medir la inclinación del Eje Principal con la vertical está en el orden del segundo sexagesimal

π

Actualmente todos los teodolitos se construyen con sensor de inclinación, también llamado compensador de doble eje

1’’ = 3ccπ

25/02/2009 28Topografía I

ETSI Topografía G y C U.P.M.

también llamado compensador de doble eje

Documento de trabajo del alumno Topografía I

234

9.5 Introducción a las condiciones teóricas que deben cumplirse en la construcción ajuste y utilización del teodolitoen la construcción, ajuste y utilización del teodolito

Resulta imposible construir un teodolito en el que se satisfagan estrictamente

WILD T1en el que se satisfagan, estrictamente,

Las condiciones entre ejes

Las condiciones entre ejes y círculos

T1

j y

Las condiciones entre otros componentes

Esas condiciones se verificarán en mayor o did ú l i ió d lmenor medida, según sea la precisión del

instrumento y de los elementos que lo forman

No se puede suponer que las relaciones de p p qperpendicularidad entre ejes, por ejemplo, se cumplen cuando los errores existentes son del orden de la precisión del teodolitoso de o de de a p ec s ó de teodo to

Hay que tener en cuenta los efectos o influencias de los errores en las magnitudes observadas

25/02/2009 29Topografía I

ETSI Topografía G y C U.P.M.

observadas

9.5 Introducción a las condiciones teóricas que deben cumplirse en la construcción ajuste y utilización del teodolitoen la construcción, ajuste y utilización del teodolito

El efecto (influencia) de tales errores varía con las condiciones de observación T2

La influencia sobre las determinaciones de ángulos puede, incluso, exceder la entidad de los propios errores

Es necesario considerar qué influencia tienenEs necesario considerar qué influencia tienen los defectos mecánicos y ópticos sobre las medidas realizadas

Y cómo y en qué cuantía pueden reducirse

Cuando se realiza un trabajo topográfico se requiere una determinada precisiónuna determinada precisión

Es necesaria una planificación previa en la que se determinará si las fuentes de error son o no significativas

Si lo son deberá efectuarse el ajuste adecuado (si es posible)

Si no es posible efectuar ajustes, o no interesa por algún motivo, podrá emplearse alguna técnica de observación que reduzca o elimine la influencia de los errores

25/02/2009 30Topografía I

ETSI Topografía G y C U.P.M.

reduzca o elimine la influencia de los errores

Documento de trabajo del alumno Topografía I

235

9.5 Introducción a las condiciones teóricas que deben cumplirse en la construcción ajuste y utilización del teodolitoen la construcción, ajuste y utilización del teodolito

Los defectos de cumplimiento de las condiciones teóricas en la construccióndel instrumento no tienen reglaje posible

Wild T16del instrumento no tienen reglaje posible

Se habrán reducido al mínimo en el proceso de construcciónN b t t d á d t ét dNo obstante se podrá adoptar un método de observación que elimine su influencia en las medidas que requieran cierta precisión

Los defectos de ajuste se pueden reducirLos defectos de ajuste se pueden reducir mediante el reglaje adecuado

Como las medidas efectuadas para determinarlos no serán nunca perfectasdeterminarlos no serán nunca perfectas, siempre quedará un pequeño error residualLa influencia de éste podrá eliminarse, en cualquier caso, adoptando el método de observación apropiadocaso, adoptando el método de observación apropiado

Las condiciones teóricas de utilizaciónno se darán, estrictamente, en la práctica

Deberá estimarse la cota máxima de error previsible

25/02/2009 31Topografía I

ETSI Topografía G y C U.P.M.

Deberá estimarse la cota máxima de error previsible

Prg. A.T 10

Documento de trabajo del alumno Topografía I

236

El teodolito IIEl teodolito IIDefecto de cumplimiento pde las condiciones teóricas en la construcción del teodolitoen la construcción del teodolito

Tema 10Tema 10

25/02/2009 1Topografía I

ETSI Topografía G y C U.P.M. Prg. A.

Tema 10 El teodolito IIDefecto de cumplimiento de las condiciones teóricas en la construcción del teodolito

10.1 Error de excentricidad de los círculos

10 2 Error de desviado de índices10.2 Error de desviado de índices

10.3 Error de Horizontalidad / Verticalidad de círculos

10 4 Error de inclinación del eje de muñones10.4 Error de inclinación del eje de muñones (Falta de perpendicularidad entre el eje de muñones y el eje principal)

Influencia del error en Lecturas horizontales

Influencia del error en Lecturas verticales

Detección del error

Eliminación de la influencia en lecturas horizontales

25/02/2009 2Topografía I

ETSI Topografía G y C U.P.M. T 11Prg. A.

Documento de trabajo del alumno Topografía I

237

Documento de trabajo del alumno Topografía I

238

10.1 Error de excentricidad de los círculos10 2 E d d i d d í di10.2 Error de desviado de índices

Los defectos de cumplimiento de condiciones teóricas en los círculos, que provocan errores en las lecturas, son debidos a dos causas

Colocación errónea de los índicesGraduación irregular del limboPueden actuar ambas simultáneamente

Por tanto deben hacerse ciertas verificacionesEn cuanto a la correcta situación de los índices

Los índices deben ocupar los extremos de un diámetro (Desviado de índices)os d ces debe ocupa os e t e os de u d á et o ( es ado de d ces)

El eje de rotación de la alidada debe coincidir con el eje perpendicular por el centro a la plataforma fija (Excentricidad)

En cuanto a la correcta graduación del limboLas divisiones deben ser iguales (uniformidad)

La perfección que se ha llegado a alcanzar con las máquinas de dividir ha hecho que éste no haya sido un motivo de preocupación para los instrumentos de firmas acreditadasLa uniformidad y finura en los trazos ha superado todo lo imaginableLa uniformidad y finura en los trazos ha superado todo lo imaginableSe ha conseguido gran precisión con limbos de pequeño radio

Los errores en los círculos se han estudiado en el Tema 7

25/02/2009 5Topografía I

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10.3 Horizontalidad / Verticalidad de círculosEste error es debido a que los planos de los limbos no son estrictamente perpendiculares a los ejes sobre los que van montados

La falta de perpendicularidad entre el plano del limbo horizontal y el ejeLa falta de perpendicularidad entre el plano del limbo horizontal y el eje principal provoca un defecto en la horizontalización del círculo cuando, estacionado el instrumento, el eje principal es vertical

Análogamente para el limbo vertical y el eje de muñones

ZON: Eje principalEje PrincipalZ

OP: Dirección del diámetro intersección de los limbos

PQ: Arco en el círculo horizontalEn posición correcta

PQ’: Arco en el círculo horizontal

teórico e inclinado

Inclinado un ángulo i

i: Error de horizontalidad del plano del círculoα = QOP : Ángulo entre OQ y OP

Q

Q’

α

Oα’

α QOP : Ángulo entre OQ y OPEn el Plano Horizontal

α’ = Q’OP : Ángulo correspondiente al ángulo αMedido en el limbo inclinado

Pi

N

25/02/2009 6Topografía I

ETSI Topografía G y C U.P.M.

Medido en el limbo inclinado N

Documento de trabajo del alumno Topografía I

239

10.3 Horizontalidad / Verticalidad de círculos

Este defecto de horizontalidad i, d l l d l í l

Eje PrincipalZ

OP: Dirección del diámetro intersección de los círculos teórico e inclinado

del plano del círculo, tiene una influencia (e) en la lectura

e = α α’ Q’e = α - α

Se demuestra que:α

Oα’

Q

Q

Para que la influencia del error alcance un valor de 1’’

sen e = i2/4 sen 2α’Pi

NPara que la influencia del error alcance un valor de 1 es necesaria una falta de horizontalidad (verticalidad) de 15’

La perpendicularidad entre círculos y ejes en instrumentos modernos p p y jde firmas acreditadas se consigue con mucha más precisión

Errores de esta magnitud son poco probables

25/02/2009 7Topografía I

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10.4 Error de inclinación del eje de muñones(Falta de perpendicularidad entre el eje de muñones y el eje principal)

Los teodolitos están diseñados de forma que el eje de muñones (EM) sea perpendicular al eje principal (EP)sea perpendicular al eje principal (EP)Por tanto, en un teodolito nivelado de forma precisa, el EM será horizontalCuando no se cumple la condición de perpendicularidad entre EM y EP, en la construcción del teodolito aparece el error denominado de inclinación del EMconstrucción del teodolito, aparece el error denominado de inclinación del EMEn instrumentos antiguos este error era causado, fundamentalmente

Por el desgaste de los perfiles de los extremos del EMPor la falta de equilibrio del anteojo

Los teodolitos modernos están, virtualmente, libres de este error debido al desarrollo experimentado en

El diseño cinemático del eje de acero endurecidoLos anteojos, más ligeros y más cortosLa instalación y montaje, en el interior de carcasas reforzadas

No obstante, es necesario comprobar el teodolito, por este error, especialmente si se miden ángulos con el anteojo muy inclinado

25/02/2009 8Topografía I

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Documento de trabajo del alumno Topografía I

240

10.4 Error de inclinación del eje de muñones(Falta de perpendicularidad entre el eje de muñones y el eje principal)

Cuando el eje principal es vertical, Eje Principal

la falta de perpendicularidad entre el eje de muñones y el eje principal, hace que un extremo de este eje quede más alto que el otro

im

En el esquema simplificado puede apreciarse esta inclinación

El eje de colimación no describirá, en su movimiento alrededor del eje de muñones, un plano vertical

Describirá un plano inclinado que forma con el vertical un ángulo iDescribirá un plano inclinado que forma con el vertical un ángulo im , igual al que forma el eje de muñones con el plano horizontal

Obviamente, variarán las lecturas acimutales al observar una misma vertical a diferentes alturas

Sin embargo la influencia de este error en la lecturas verticales es despreciable

25/02/2009 9Topografía I

ETSI Topografía G y C U.P.M.

es despreciable

10.4 Error de inclinación del eje de muñones(F l d di l id d l j d l j i i l)(Falta de perpendicularidad entre el eje de muñones y el eje principal)Influencia del error en las Lecturas horizontales

Para obtener la expresión de la influencia o efecto (em) del error de inclinación del eje de muñones (im), consideramos una esfera de radio unidad,

Eje Principal

centrada en el punto de intersección (O) del eje de colimación con el eje de muñones

Ob i t t bié á l j i i l

imO

Haremos un estudio individualizado del error

Obviamente, también pasará el eje principal por el punto O

Supondremos el caso teórico de que el teodolito solamente está afectado d d i li ió d l j d ñde error de inclinación del eje de muñones

Consideraremos, por tanto, que todas las demás condiciones teóricas en la construcción, ajuste y utilización se cumplen estrictamente

25/02/2009 10Topografía I

ETSI Topografía G y C U.P.M.

construcción, ajuste y utilización se cumplen estrictamente

Documento de trabajo del alumno Topografía I

241

10.4 Error de inclinación del eje de muñones(Falta de perpendicularidad entre el eje de muñones y el eje principal)

ZN: Dirección de la vertical

M’ M’ Ej d ñ

(Falta de perpendicularidad entre el eje de muñones y el eje principal)Influencia del error en las Lecturas horizontales

Supuesto el aparato estacionado, el E. P. coincide con la vertical Z Eje Principal

AZ’

M’1 M’2: Eje de muñones

M1 M2: Eje de muñones teórico (normal al EP)

Suponemos el círculo horizontal im P

Supo e os e c cu o o o aproyectado sobre el plano horizontal de O

im: Inclinación del Eje de muñones respecto de la horizontal

M’2h

h’

respecto de la horizontal(Falta de perpendicularidad entre E.M. y E.P.)

P: Intersección con la esfera

O

M1 M2

im

P: Intersección con la esfera de la visual al punto visado, A

h: inclinación de la visual

M’1

Lc

Iem

N

e = IOL : influencia del error de muñones en la lectura acimutal

Lc: Lectura horizontal correcta (para el caso teórico im = 0)

I: Lectura horizontal observadaN’

25/02/2009 11Topografía I

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em = IOLc: influencia del error de muñones en la lectura acimutal

10.4 Error de inclinación del eje de muñones(Falta de perpendicularidad entre el eje de muñones y el eje principal)(Falta de perpendicularidad entre el eje de muñones y el eje principal)Influencia del error en las Lecturas horizontales

Aplicando al triángulo esférico PLcI la ecuación de las cotangentes:p g c gsen A·ctg C = ctg c·sen b – cos b·cos A

A = 90o ⇒ ctg C = ctg c·sen b C

B

A

PB≡

i

ctg (90o - im) = ctg h·sen em

h

im

tg i tg ho

mctg(90 i )sene

−90o

hmtg i tg h= ⋅m

msenectg h

=Aproximando:sen em≈ em

tg im ≈ im

ILcA ≡

≡ C

em

m me i tgh= ⋅

La influencia e en las lecturas horizontales de un error de muñones i

g m m

Resulta

La influencia, em, en las lecturas horizontales de un error de muñones imEs función de la inclinación, h, de la visual

Se anula para visuales horizontales

Es máxima 90º para la máxima inclinación posible que es h = 90o i

25/02/2009 12Topografía I

ETSI Topografía G y C U.P.M.

Es máxima, 90º, para la máxima inclinación posible que es hmáx = 90o - im

Documento de trabajo del alumno Topografía I

242

10.4 Error de inclinación del eje de muñones(Falta de perpendicularidad entre el eje de muñones y el eje principal)(Falta de perpendicularidad entre el eje de muñones y el eje principal)Influencia del error en las Lecturas verticales

En el triángulo esférico considerado, PLcI puede observarse que:

PB≡

Z Eje Principalh es la inclinación de la visual (Lectura vertical correcta)

h’ es la lectura vertical efectuada

La influencia del error de muñones

Z’

hM’

im PLa influencia del error de muñones en la lectura vertical es h - h’Aplicando el teorema del coseno

b A b

C

B

A

h’

OM1 M2

M’2

im

h h’cos a = cos b·cos c – cos A·sen b·cos c

A = 90o ⇒ cos a = cos b·cos c

cos h’= cos e cos h 0I

LcA ≡≡ C

em Como em es muy pequeñoPuede aproximarse cos e ≈ 1

M’1Lc

em

I

cos h = cos em· cos h – 0

Puede aproximarse cos em ≈ 1

Y por tanto cos h’ ≈ cos hY por lógica

La influencia en las lecturas verticales de un error de muñones i es despreciableN

h' h≈

25/02/2009 13Topografía I

ETSI Topografía G y C U.P.M.

La influencia en las lecturas verticales de un error de muñones im es despreciable

10.4 Error de inclinación del eje de muñones(Falta de perpendicularidad entre el eje de muñones y el eje principal)(Falta de perpendicularidad entre el eje de muñones y el eje principal)Detección del error Z Eje Principal

Para detectar este error se utiliza el método de la vuelta de campana C. D.

L: Lectura correctaI: Lectura efectuada

A

P

de la vuelta de campanaSi la diferencia entre las dos lecturas no es exactamente de 200g el instrumento tiene error

Después de la vuelta de campana

C. I.

-im[em]CI

M’2

Después de la vuelta de campana el ángulo im cambia de signoY la influencia es simétrica

La visual debe ser muy inclinada

M’’2

LCI

[em]CI

ICI

OM1

M2

im

La visual debe ser muy inclinada porque la influencia del error se anula para visual horizontal

M’M’2

M MM’’2

M’1LCD

ICD M’’1M 1 M1 M2 M’’1

[em]CD

C. I.C. D. im = 0

La influencia del error en la L.H. puede obtenerse haciendo la diferencia entre las lecturas de C.D. y C.I.

25/02/2009 14Topografía I

ETSI Topografía G y C U.P.M.

N

Documento de trabajo del alumno Topografía I

243

10.4 Error de inclinación del eje de muñones(Falta de perpendicularidad entre el eje de muñones y el eje principal)(Falta de perpendicularidad entre el eje de muñones y el eje principal)Eliminación de la influencia en las lecturas horizontales

La eliminación del efecto que provoca el error en las lecturas acimutales se realiza mediante el método de observación de la vuelta de campana

El error cambia de signo después de la vuelta de campanaP t t l l t f t d d l iPor tanto las lecturas efectuadas responden a las expresiones

ICD = LCD – em

ICI = LCD + 200g + em

Y en consecuencia la lectura correcta vendrá dada por el promedio (prescindiendo de los 200g) de las lecturas efectuadas en CD. y CI (ICD, ICI)

g

Y la influencia del error por

+ −=

gCD CI

CD

I I 200L

2Y la influencia del error por

( )− −=

gCI CD

m

I 200 Ie

2

25/02/2009 15Topografía I

ETSI Topografía G y C U.P.M.Prg. A.

T 11

2

10.4 Error de inclinación del eje de muñones(F l d di l id d l j d ñ l j i i l)(Falta de perpendicularidad entre el eje de muñones y el eje principal)Eliminación de la influencia en las lecturas horizontales

La influencia del error es nula cuando se observan visuales horizontales

Para el caso más frecuente en Topografía (observación de visuales poco inclinadas) p g ( p )la influencia será muy pequeña ya que si h ≈ 0

Entonces, em = im · tg h ≈ 0

El valor del error im puede obtenerse a partir de las dos lecturas efectuadas en CD y CI, a una misma referencia en función de la inclinación de la visual

mm

ei

tgh= ( )− −

=g

CI CD

m

I 200 Ie

2g 2

25/02/2009 16Topografía I

ETSI Topografía G y C U.P.M.Prg. A.

T 11

Documento de trabajo del alumno Topografía I

244

El teodolito IIIEl teodolito IIIDefecto de cumplimiento pde las condiciones teóricas en el ajuste del teodolito

11Tema 11

25/02/2009 1Topografía I

ETSI Topografía G y C U.P.M. Prg. A.

Tema 11 El teodolito IIIDefecto de cumplimiento de las condiciones teóricas en el ajuste del teodolito

11.1Error de colimación horizontal(Falta de perpendicularidad entre el eje de colimación y el eje de muñones)

Influencia del error en Lecturas horizontalesInfluencia del error en Lecturas verticalesInfluencia del error en Lecturas verticalesDetección del errorObtención de lecturas horizontales correctas

Eliminación del error por ajusteEliminación de la influencia del error en las lecturas horizontales

Regla de BesselCorrección

11.2Error de retículo(Falta de perpendicularidad entre el hilo vertical del retículo y el E de muñones)(Falta de perpendicularidad entre el hilo vertical del retículo y el E. de muñones)

11.3Error de colimación vertical; error de eclímetro11 4Comprobación y corrección de un teodolito

25/02/2009 2Topografía I

ETSI Topografía G y C U.P.M.

11.4Comprobación y corrección de un teodolito

T 12Prg. A.

Documento de trabajo del alumno Topografía I

245

Documento de trabajo del alumno Topografía I

246

Defecto de cumplimiento de las condiciones teóricas l j t d l t d liten el ajuste del teodolito

Los errores por defectos de reglaje son producidos por desajustes debidos al uso del instrumentoson producidos por desajustes debidos al uso del instrumentoÉste deberá ser sometido al mantenimiento correspondiente con el fin de obtener de él las prestaciones para las que fue diseñadoUna vez determinada la causa que provoca un error puede optarse, en pri-mera instancia, por proceder a su minoración mediante corrección o reglaje

Sin embargo nunca serán corregidos totalmenteSin embargo nunca serán corregidos totalmente, porque las medidas que se efectúan para su determinación, en ningún caso, resultarán exactas, al verse afectadas por errores accidentales

Siempre quedará un pequeño error que llamamos error residualSiempre quedará un pequeño error que llamamos error residual

La influencia de estos errores en las lecturas puede ser constante o variable

En cualquier caso, siempre será posible obtener lecturas exentas de la influencia de un determinado error de reglaje, aplicando

las correcciones correspondientes a las medidasel método de trabajo adecuado que elimine la influencia del error

25/02/2009 5Topografía I

ETSI Topografía G y C U.P.M.

el método de trabajo adecuado que elimine la influencia del error

11.1 Error de colimación horizontalF l d di l id d l j d li ió l j dFalta de perpendicularidad entre el eje de colimación y el eje de muñones

Los teodolitos están diseñados de forma que el eje de colimación debe ser perpendicular al eje de muñonesSupuesta esta perpendicularidad, al bascular el anteojo el eje de colimación describe un plano, l d li ió ti l

perpendicular al eje de muñones

90o - ic

E. PrincipalE. de colimación

Oplano de colimación vertical, perpendicular al eje de muñones

Si el instrumento está perfectamente nivelado

M1 M2

O

Si el instrumento está perfectamente nivelado el plano de colimación será un plano vertical

Realizaremos el estudio individualizado del error, i d l i t t tá t dsuponiendo que el instrumento está exento de

cualquiera otra causa de error

Pero si el eje de colimación no es perpendicular al eje de muñones, j p p jformará con éste un cierto ángulo, 90o – ic,

A esta diferencia, ic, le llamaremos error de colimación horizontalo inclinación del eje de colimación

25/02/2009 6Topografía I

ETSI Topografía G y C U.P.M.

o inclinación del eje de colimación

Documento de trabajo del alumno Topografía I

247

11.1 Error de colimación horizontalF l d di l id d l j d li ió l j dFalta de perpendicularidad entre el eje de colimación y el eje de muñones

Si el eje de colimación forma con el eje de muñones un ángulo 90o – ic, t l b l l t j l j d li ió

El semiángulo en el vértice es 90o – i

entonces, al bascular el anteojo, el eje de colimación describe un doble cono de revolución

E. Principal

90o - icEl semiángulo en el vértice es 90 ic

Estudiaremos como la influencia de dicho error en las lecturas horizontales

M1 M2

O

depende de la inclinación de la visual

Para ello consideraremos una esfera centrada en el punto Ocentrada en el punto O, intersección del eje principal con el eje de muñones (y, por supuesto, con el eje de colimación) M1 M2

O

Demostraremos que la influencia en las lecturas verticales es prácticamente despreciable

25/02/2009 7Topografía I

ETSI Topografía G y C U.P.M.

11.1 Error de colimación horizontalFalta de perpendicularidad entre el eje de colimación y el eje de muñonesFalta de perpendicularidad entre el eje de colimación y el eje de muñonesInfluencia en las lecturas horizontales

Consideraremos:Teodolito perfectamente nivelado

E. PrincipalE. de colimación

ZC

Teodolito perfectamente niveladoE. P. en la dirección ZN

Círculo horizontal proyectado sobre el Plano horizontal que contiene a O

Si el eje de colimación, Oz, no es perpendicular al E.M., formará con éste un ángulo distinto de 90o

q

M1 M2gA la diferencia a 90º la llamamos error de colimación, ic

M2

O

IPara esta posición de la alidada, en concreto Ip(fijo el mov. horizontal), si fuesen perpendiculares los ejes de colimación y muñones,

al bascular el anteojo,

Su intersección con la esfera sería el círculo máximo ZIN

En cualquier caso OI será la posición del índiceN

P l i i li ió d l i l l lí d l í di á OI L l t h i t l á I

el eje de colimación describiría un plano vertical

25/02/2009 8Topografía I

ETSI Topografía G y C U.P.M.

Para cualquier inclinación de la visual, la línea del índice será OI. La lectura horizontal será I

Documento de trabajo del alumno Topografía I

248

11.1 Error de colimación horizontalFalta de perpendicularidad entre el eje de colimación y el eje de muñonesFalta de perpendicularidad entre el eje de colimación y el eje de muñonesInfluencia en las lecturas horizontalesPero si ic es la inclinación del E. Colimación

éste describirá al bascular el anteojo

E. PrincipalE. de colimación

ZC

A

éste describirá, al bascular el anteojo, un doble cono de revolución (de semiángulo en el vértice 90o – ic) P

Dichos conos cortan a la esfera según

h

gun circulo menor de diámetro CC’

Contenido en un plano vertical paralelo al ZINY perpendicular al eje de muñones

M1 M2OLc

Observando a un punto A en esta situación de la alidada

P es la intersección del E.C. con la esfera

Iec

La lectura horizontal correcta que correspondería a esa dirección OP sería Lc

Intersección con el círculo Hz. del plano vertical por PL i fl i l l t h i t l

NC’

La influencia, ec, en la lectura horizontal del error de colimación, ic, es IOLc

Ángulo formado por los planos verticales ZNI y ZNLc

El ángulo L OP es la inclinación h de la visual

25/02/2009 9Topografía I

ETSI Topografía G y C U.P.M.

NCEl ángulo LcOP es la inclinación, h, de la visual

11.1 Error de colimación horizontalFalta de perpendicularidad entre el eje de colimación y el eje de muñonesFalta de perpendicularidad entre el eje de colimación y el eje de muñonesInfluencia en las lecturas horizontales

Consideremos el arco de círculo máximo que, pasando por P es perpendicular al arco ZIN

Eje PrincipalE. de colimación

ZC

AZ

pasando por P, es perpendicular al arco ZINLlamaremos Q a su intersección con ZIN

A

p Q.

.Evaluaremos la influencia ec, considerando el triángulo ZPQ rectángulo en Q

h

Qpel triángulo ZPQ, rectángulo en QZP = 90o – h

Es un arco del círculo máximo ZPNEl ángulo Z es la influencia e

M1 M2OLc

El ángulo Z es la influencia ec

El lado PQ es la inclinación icError de colimación

Se corresponde con el ángulo central en la esfera

Iecoc

oc

senisen(90 h)senesen90

−= c

c

senisene

cosh⇒ =

Se corresponde con el ángulo central en la esfera

Aplicando el teorema del seno:

N

csenesen90 cosh

cc

ie

cosh=

Como ic es muy pequeñopuede aproximarse el seno al arco, haciendo sen ic ≈ ic

Análogamente para visuales poco inclinadassen e e C’

25/02/2009 10Topografía I

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Nsen ec ≈ ecC

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249

11.1 Error de colimación horizontalFalta de perpendicularidad entre el eje de colimación y el eje de muñonesFalta de perpendicularidad entre el eje de colimación y el eje de muñonesInfluencia en las lecturas horizontales Eje PrincipalZC

ALa influencia ec depende d l i li ió d l i l h

A1

p1

p

de la inclinación de la visual, h, además del propio error icec aumenta al observar h

h

ec aumenta al observar visuales más inclinadas y resulta menor en visuales más próximas al horizonte

A2

p2

h1

M1 M2OLc

más próximas al horizonte

La visual OA1es más inclinada

h2

Lc1 Lc2

Iec

La influencia es considerablemente mayor que en la visual OA

ec2

ec1

c1 c2

cc

ie

cosh=

La visual OA2 es menos inclinadaLa influencia es considerablemente menor que en la visual OA

C’

25/02/2009 11Topografía I

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Nq

C’

11.1 Error de colimación horizontalFalta de perpendicularidad entre el eje de colimación y el eje de muñonesFalta de perpendicularidad entre el eje de colimación y el eje de muñonesInfluencia en las lecturas horizontales

Para un determinado error, ic , estudiaremos los casos c

c

ie

cosh=

más favorable y más desfavorable, en función de la inclinación (h) de la visualEl caso más favorable se dará en observaciones de inclinación mínima

En una observación horizontal, h = 0En esta situación ec ≡ ic

La influencia coincidirá con la magnitud del error, icConforme aumenta la inclinación de la visual, ec toma valores mayoresT ó i t l á d f bl d í l á i i li ióTeóricamente, el caso más desfavorable se daría para la máxima inclinación posible a observar con este instrumento

Ésta sería una hipotética inclinación de h = 90o – icEl plano vertical que contiene a esta dirección será el plano vertical que contiene al eje deEl plano vertical que contiene a esta dirección será el plano vertical que contiene al eje de muñones y, para este hipotético caso extremo, la influencia alcanzará el valor de 90o

Como cc

senisene

cosh=

minh = 0mince⇒

ci≡

Si resulta que h = 90o - ic

entonces cc

senisene

cosh= c

o

senicos(90 i )

= 1= oce 90⇒ =

maxh = oc90 i−

maxce⇒ o90=

25/02/2009 12Topografía I

ETSI Topografía G y C U.P.M.

cosh ccos(90 i )−

Documento de trabajo del alumno Topografía I

250

11.1 Error de colimación horizontalFalta de perpendicularidad entre el eje de colimación y el eje de muñonesFalta de perpendicularidad entre el eje de colimación y el eje de muñonesInfluencia en las lecturas verticales

Consideremos el mismo triángulo esférico ZPQ, rectángulo en Q

La influencia de i en la lectura vertical vendrá dada

El lado ZP es la distancia cenital correcta de la visual OA (90o-h)

El lado ZQ es la distancia cenital medida (90o-h’), como consecuencia del error ic Z

La influencia de ic en la lectura vertical vendrá dada por la diferencia entre (90o-h) y (90o-h’),o lo que es lo mismo por la diferencia entre h y h’

á QAplicando el teorema del coseno en el triángulo ZPQ resulta:cos (90o – h) = cos ic · cos (90o – h’)

sen h = cos ic · sen h’ Qpc

Como ic es muy pequeño puede considerarse la aproximación cos ic ≈ 1

Y por tanto, sen h ≈ sen h’

Concluyendo por lógica que h ≈ h’

Por tanto, puede considerarse la influencia de ic en la lecturas verticales prácticamente despreciable

25/02/2009 13Topografía I

ETSI Topografía G y C U.P.M.

11.1 Error de colimación horizontalFalta de perpendicularidad entre el eje de colimación y el eje de muñonesFalta de perpendicularidad entre el eje de colimación y el eje de muñonesDetección del error

Para detectar este error se realiza la observación a una referencia di t l l d B l ét d d l lt dmediante la regla de Bessel o método de la vuelta de campanaConsiste en observar el mismo punto en las dos posiciones del anteojo, C. Directo y C. Inverso, obteniendo las lecturas horizontales correspondientes

Se operará con visual horizontal, de forma que la influencia en estas lecturas del error de muñones, que pudiera tener el aparato, sea nula (También ec ≡ ic)

S d t á i l dif i t l d l t t tSe demostrará que si la diferencia entre las dos lecturas no es, exactamente, de 200g el instrumento tiene error

Consideraremos para el círculo horizontal, una configuración CD

Suponemos el instrumento estacionado en O

típica de círculo graduado fijo y círculo de índices móvil

M1 M2O

Consideramos la observación en C.D. a la referencia AEl índice, normal al eje de muñones, ocupa la posición ICD

La lectura correcta será LCD A ICD

LCDic

25/02/2009 14Topografía I

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CD A CDic

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251

11.1 Error de colimación horizontalFalta de perpendicularidad entre el eje de colimación y el eje de muñonesFalta de perpendicularidad entre el eje de colimación y el eje de muñonesDetección del error

La observación a A en C. I. implica una doble operaciónGi d l lid d 200g á t t

CD

M1 M2O

Giro de la alidada 200g exáctamente

El eje de muñones ocupa la posición M2 M1

El índice, ICD + 200g ,ocupa la posición diametralmente opuestaA

ICD

LC

El eje de colimación queda en la misma dirección pero apuntará en sentido contrario

Vuelta de campana

Gi d l t j l d d d l j d ñICD+200g CI

Girando el anteojo alrededor del eje de muñones

El E. de colimación no queda en la dirección OA sino en OBSimétrica de la dirección OA respecto de la dirección OM2 Mpque ocupaba el índice, ICD , en C.D.

Por tanto, si existe error de colimación, observada una referencia A, tras girar 200g la alidada

M2 M1Vuelta de campana

observada una referencia A, tras girar 200 la alidada y dar vuelta de campana al anteojo no se consigue visar en la dirección OA sino en otra OB

Para colimar en C I al punto A es necesario girar la alidada un ángulo BOA

A BOA Bic

25/02/2009 15Topografía I

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Para colimar en C.I. al punto A es necesario girar la alidada un ángulo BOA

11.1 Error de colimación horizontalFalta de perpendicularidad entre el eje de colimación y el eje de muñonesFalta de perpendicularidad entre el eje de colimación y el eje de muñonesDetección del error

O

ICD+200gCI

M

I’CI

Después de girar la alidada un ángulo BOA

Se conseguirá colimar en C.I. al punto A A

M2 M1

Bic

Vuelta de campana

El índice quedará en la situación I CI

El ángulo BOA es doble del error ic = ICD O LCD

CIICI

BOAB

ICD+200g

OCD ( )− += =

gCI CD

c c

I I 200e i

2

i

M1 M2O

c c 2

A BOABic

A

ICD

LCD

25/02/2009 16Topografía I

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252

11.1 Error de colimación horizontalFalta de perpendicularidad entre el eje de colimación y el eje de muñonesObtención de lecturas horizontales correctas (Opciones)

La obtención de lecturas horizontales exentas de error podrá conseguirse

Eliminando previamente el error, ic, mediante ajuste del instrumento

Eliminando tan solo la influencia, ec, sobre las lecturas, i i laun sin corregir el error

A su vez esta segunda opción podrá lograrse por dos procedimientos distintos

25/02/2009 17Topografía I

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11.1 Error de colimación horizontalF l d di l id d l j d li ió l j dFalta de perpendicularidad entre el eje de colimación y el eje de muñonesObtención de lecturas horizontales correctas. Eliminación del error por ajuste

La eliminación del error por reglaje conlleva el desplazamiento del retículo, actuando sobre los tornillos de ajuste del mismo

Una vez se ha detectado la existencia de error de colimaciónUna vez se ha detectado la existencia de error de colimación, para corregirlo será necesario, en primer lugar, determinar su magnitud

El proceso a seguir pasa por las fases descritas anteriormente,p g p p ,

Observación a una referencia bien definida en CD y CI con visual horizontal

Si el aparato no tiene error ambas lecturas (± 200g) serán iguales

En caso contrario existirá una diferencia entre ellas

La mitad de dicha diferencia será la influencia del error en la lectura (ec), que coincidirá con el error (ic) por tratarse de una visual horizontalq ( c) p

½ [ICI – (ICD + 200g)] = ec ≡ ic = ½ BOA

25/02/2009 18Topografía I

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11.1 Error de colimación horizontalFalta de perpendicularidad entre el eje de colimación y el eje de muñonesFalta de perpendicularidad entre el eje de colimación y el eje de muñonesObtención de lecturas horizontales correctas. Eliminación del error por ajuste

Para corregir el error ha de realizarse una doble operaciónICD+200gCI

ICI

1 Giro de la alidada

Para corregir el error ha de realizarse una doble operación (partiendo de la situación de referencia A colimada en CI) O

i1. Giro de la alidadaSe gira la alidada un ángulo ic hasta llevar el anteojo al plano bisector de las dos visuales OA y OB

Con ello se “obliga” a que la lectura L sea la correcta

CI

ILCI

A Bic

1 Giro de la alidadaICD+200g

Con ello se obliga a que la lectura LCI sea la correcta para la dirección OA en CI

El eje de muñones M’’2 M’’1 se sitúa, ahora, perpendicular a la dirección OA O

ICI

p p

El índice de lecturas queda, precisamente, en esa dirección, marcando la lectura correcta en CI

Pero al girar la alidada se pierde la puntería a A A BPero al girar la alidada, se pierde la puntería a Ala cruz filar ahora no apuntará a A

A Bic

E. de colimación

25/02/2009 19Topografía I

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11.1 Error de colimación horizontalFalta de perpendicularidad entre el eje de colimación y el eje de muñonesFalta de perpendicularidad entre el eje de colimación y el eje de muñonesObtención de lecturas horizontales correctas. Eliminación del error por ajuste

Lograda la lectura correcta en CI ahora se deberá conseguir

2. Desplazamiento del retículo

Lograda la lectura correcta en CI, ahora se deberá conseguir que el punto visado sea el punto A

Mediante los tornillos que permiten el desplazamiento lateral del retículo se sitúa el hilo vertical sobre A

Se restituye así la puntería

CILCI

ICD+200g

Se restituye, así, la puntería

Este proceso ha de repetirse sucesivamente h t l

O

ICI

hasta lograr que, dentro de la precisión del instrumento, las lecturas a una referencia en CD y CI coincidan,

A Ba falta de los 200g A B

E. de colimación

25/02/2009 20Topografía I

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254

11.1 Error de colimación horizontalF l d di l id d l j d li ió l j dFalta de perpendicularidad entre el eje de colimación y el eje de muñonesObtención de lecturas horizontales correctas. Eliminación de la influencia del error

Independientemente del procedimiento descrito para corregir el error, ic, mediante reglaje, desplazando el retículo, puede eliminarse la influencia del error ec en las lecturaspuede eliminarse la influencia del error, ec, en las lecturas, aún sin corregir el error

Puede lograrse por dos procedimientos distintos

Observando mediante regla de Bessel

El promedio de las lecturas obtenidas en CD y CI queda exento de error

Aplicando a cada lectura la corrección que le corresponda, en función de la inclinación de la visual

25/02/2009 21Topografía I

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11.1 Error de colimación horizontalF lt d di l id d t l j d li ió l j d ñFalta de perpendicularidad entre el eje de colimación y el eje de muñonesObtención de lecturas horizontales correctas. Eliminación de la influencia del errorRegla de Bessel

Al hacer la vuelta de campana cambia el signo de ic y por tanto ec toma un valor simétrico

L: Lecturas teóricas (correctas)

Considerando la visual en CD

LCD es la lectura correcta CD

L: Lecturas teóricas (correctas)I: Lecturas efectuadas

Ángulo que forma la dirección visada con el origen

La lectura realizada, ICDá á l i f i l l d í

CD

M1 M2

O

será un ángulo ec inferior al que le correspondería (si no hubiese error)

ICD = LCD – ec AICD

LCD0g

ecICD LCD ec A c

25/02/2009 22Topografía I

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255

11.1 Error de colimación horizontalFalta de perpendicularidad entre el eje de colimación y el eje de muñonesFalta de perpendicularidad entre el eje de colimación y el eje de muñonesObtención de lecturas horizontales correctas. Eliminación de la influencia del errorRegla de Bessel

óDespués de la vuelta de campana, el instrumento queda en la posición CI

C d l l t CI I + 200g

CI

L: Lecturas teóricas (correctas)I: Lecturas efectuadas

Cuando la lectura en CI sea ICD + 200g

el punto colimado será B

Para visar a A habrá que girar ICI

ICD+200g

la alidada un ángulo 2ec = BOA

ICI = ICD + 200g + 2ec = LCD - ec + 200g + 2ec OM2 M1

200gICI

ICI = LCD + 200g + ec

A ti d l l t li d ( I I )

BOA

Be

LCD

A partir de las lecturas realizadas ( ICD e ICI), resulta inmediato obtener la lectura en C. Directo exenta de error de colimación horizontal

ABec

0gICD

25/02/2009 23Topografía I

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11.1 Error de colimación horizontalFalta de perpendicularidad entre el eje de colimación y el eje de muñonesFalta de perpendicularidad entre el eje de colimación y el eje de muñonesObtención de lecturas horizontales correctas. Eliminación de la influencia del errorRegla de Bessel

L L t t ó i ( t )Sumando las lecturas obtenidas en CD y CI resulta:

ICD = LCD – ec

I L 200

L: Lecturas teóricas (correctas)I: Lecturas efectuadas

ICD + ICI = 2 LCD + 200g

El promedio de las lecturas obtenidas en CD y CI, prescindiendo de los 200g está exento de error

ICI = LCD + 200g + ecCD CI CD

+ ±=

gCD CI

CD

I I 200Lprescindiendo de los 200g, está exento de error

La diferencia entre las lecturas de CD y CI resulta:I I 200 2

CD 2

− −=

gCI CD

c

I I 200e

Obteniéndose la influencia del error por semidiferencia entre las lecturas de CD y CI, prescindiendo de los 200g

ICI - ICD = 200g + 2ecce

2

p

La observación mediante Regla de BesselElimina el efecto que sobre las L.H. tiene el error de colimación horizontalPermite calcular el valor del error

25/02/2009 24Topografía I

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Permite calcular el valor del error

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256

11.1 Error de colimación horizontalF l d di l id d l j d li ió l j d ñFalta de perpendicularidad entre el eje de colimación y el eje de muñonesObtención de lecturas horizontales correctas. Eliminación de la influencia del errorCorrección a aplicar a las lecturasp

La observación mediante regla de Bessel implica realizar dos punterías y dos lecturas

Para obtener lecturas exentas de error sin recurrir a ello, será necesario aplicar a cada lectura su corrección correspondiente,

en función del error del aparato y de la inclinación de la visual

Si se determina el error, ic , conocida la función que le relaciona con la influencia en las lecturas econocida la función que le relaciona con la influencia en las lecturas, ec, puede calcularse dicha influencia, para cada visual, sin más que conocer su inclinación h

cc

ie

cosh=

25/02/2009 25Topografía I

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11.1 Error de colimación horizontalF lt d p rp di l rid d tr l j d li ió l j d ñFalta de perpendicularidad entre el eje de colimación y el eje de muñonesObtención de lecturas horizontales correctas. Eliminación de la influencia del errorCorrección a aplicar a las lecturas. Taquímetros electrónicos

cc

ie

cosh=

►► Los taquímetros electrónicos, en general, Los taquímetros electrónicos, en general, incorporan en su menú de funciones incorporan en su menú de funciones l ó “ l b ó ”l ó “ l b ó ”

En esta opción se incluye la determinación experimental del valor del error de colimación horizontal i

la opción “calibración”la opción “calibración”

del valor del error de colimación horizontal, icSiguiendo las instrucciones oportunas se observa en CD y CI a una referencia bien definida, con visual horizontal

El valor de ic determinado, una vez aceptado, queda incorporado a la memoriaPara cada visual, considerando su lectura vertical, se obtendrá, directamente, la lectura horizontal corregida de la influencia e correspondiente a su inclinación h

25/02/2009 26Topografía I

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lectura horizontal corregida de la influencia, ec, correspondiente a su inclinación, h

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257

11.1 Error de colimación horizontalF lt d di l id d t l j d li ió l j d ñFalta de perpendicularidad entre el eje de colimación y el eje de muñonesObtención de lecturas horizontales correctas (Resumen)

La obtención de lecturas correctas puede conseguirse, p g ,como se ha visto, mediante procedimientos diferentesEn los teodolitos óptico mecánicos resultaba adecuado proceder a la eliminación del error, si la magnitud del mismo era considerableeliminación del error, si la magnitud del mismo era considerable

Esta labor, generalmente, era realizada en laboratorio, dentro del programa de mantenimiento del instrumento

Se había de realizar con todo esmero, ya que el ajuste reiterado del aparato podíaSe había de realizar con todo esmero, ya que el ajuste reiterado del aparato podía derivar en holguras, con el consecuente envejecimiento del mismo

En los teodolitos electrónicos dispondremos, automáticamente, de lecturas correctas, tras hacer la determinación de iccIndependientemente de ello, y en cualquier caso, la observación mediante regla de Bessel nos proporciona un valor,

exento de error de colimación horizontalexento de error de colimación horizontal,exento de error de muñones,y en el que se disminuye la influencia de los errores accidentales que afectan a la observación

25/02/2009 27Topografía I

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que afectan a la observación

11.1 Error de colimación horizontalFalta de perpendicularidad entre el eje de colimación y el eje de muñonesFalta de perpendicularidad entre el eje de colimación y el eje de muñonesMedida de un ángulo

El estudio realizado del error de colimación pone de manifiesto l i fl i l l t h i t l d b ió li dla influencia en la lectura horizontal para cada observación realizada

Pero el objeto de la observación con teodolito es medir ángulosPara ello se requiere observar en dos direccionesEl valor del ángulo se obtiene por diferencia entre las dos lecturas correspondientesFrecuentemente son similares las inclinaciones de las dos visuales que intervienen en la medida de cada ángulo

L: Lecturas teóricas (correctas)

I: Lecturas efectuadasSupuesto un aparato con error de colimación ic, considerando la observación a A y B

El ángulo obtenido de las lecturas efectuadas esO

AOB = LOB - LO

A

g

[ AOB ] = IB – IA = (LcB – eB) – (LcA – eA)

Suponiendo hA y hB las inclinaciones de las visuales

O IA

ALcA

eA

AOB

IB = LcB - eB

IA = LcA - eA

Si h ≈ h entonces puede considerarse [AOB] ≈ L L = AOB

IB

B

LcB

eB

⎛ ⎞= − − −⎡ ⎤ ⎜ ⎟⎣ ⎦

⎝ ⎠c c

CB CAB A

i iAOB L L

cosh cosh

25/02/2009 28Topografía I

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Si hA ≈ hB, entonces puede considerarse [AOB] ≈ LcB – LcA = AOB

Documento de trabajo del alumno Topografía I

258

11.2 Error de retículoF l d di l id d l hil i l d l í l l j d ñFalta de perpendicularidad entre el hilo vertical del retículo y el eje de muñones

Si el hilo vertical del retículo no es perpendicular al eje de muñones no quedará en un plano vertical M1 M2al eje de muñones no quedará en un plano vertical cuando el instrumento esté en estación

Supuesto fijo el movimiento horizontal

M1 M2

Supuesto fijo el movimiento horizontal,la dirección visada con un punto del hilo vertical del retículo no será la misma que la visadano será la misma que la visada con otro punto del hilo vertical del retículo

Para detectarlo se visa a un punto con el extremo superior del hilo

Si el punto no ha permanecido sobre el hilo del retículo entonces éste no es perpendicular al eje de muñones

y, después, basculando el anteojo se visa con la parte inferior

entonces éste no es perpendicular al eje de muñones

La influencia en las lecturas es nula si se colima siempre con el mismo punto del retículo, por ejemplo con el punto central

25/02/2009 29Topografía I

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j

11.2 Error de retículoFalta de perpendicularidad entre el hilo vertical del retículo y el eje de muñones

Para conseguir la eliminación del error por reglajePara conseguir la eliminación del error por reglajebasta con aflojar los tornillos de corrección del retículo y girarlo ligeramente, hasta que el punto visado permanezca sobre el hilo vertical al bascular el anteojo alrededor del eje de muñonesvertical al bascular el anteojo alrededor del eje de muñones

Cuando se realice el ajuste de colimación horizontal, descrito en el apartado 11.1, es siempre necesario comprobar que el hilo vertical está en un plano perpendicular al eje de muñones

A continuación se ha de comprobar de nuevo el error de colimación

Como resultado de los dos ajustes

La línea de colimación deberá ser perpendicular al eje de muñones

El hilo vertical del retículo deberá estar en un plano perpendicular al eje de muñonesEl hilo vertical del retículo deberá estar en un plano perpendicular al eje de muñones

El fabricante deberá asegurar que el hilo horizontal del retículo es perpendicular al hilo vertical

25/02/2009 30Topografía I

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259

11.3 Error de colimación vertical; error de eclímetro

Un teodolito tiene error de colimación vertical cuando, sistemáticamente, se , ,comete error en las lecturas del círculo vertical debido a ajustes imprecisos

En conjunto los desajustes se traducen en un desplazamiento angular en la lectura del círculo vertical

Para visual horizontal la lectura no será 100g como debería

Determinaremos la influencia del error en las lecturas en el supuesto de

Aparato que proporciona distancias cenitales

Error de colimación vertical mayor de cero

lectura obtenida > lectura teórica correspondiente a la observación

25/02/2009 31Topografía I

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11.3 Error de colimación vertical; error de eclímetro

Un teodolito tiene error de colimación vertical cuando, sistemáticamente, se comete error en las lecturas del círculo vertical debido a ajustes imprecisosse comete error en las lecturas del círculo vertical debido a ajustes imprecisos

Consideraremos el supuesto de limbo fijo e índice solidario de la alidada

Los ajustes imprecisos pueden provenir de dos causas:j p p p

Defecto de ajuste del cero del limbo vertical

Supuesto que el instrumento proporcione distancias cenitales el cero debe quedar en la dirección del cenit

Si no se cumple esta condición se dice que el instrumento tiene error de eclímetro

El círculo estará desplazado respecto de su posición correctaEl círculo estará desplazado respecto de su posición correcta

Defecto de coincidencia del eje de colimación con la línea de índices

Para visual horizontal la lectura no será 100g como debería

25/02/2009 32Topografía I

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260

11.3 Error de colimación vertical; error de eclímetroInfluencia del error en las lecturas

El error producido por las dos causas enunciadas puede compensarse p p p pparcialmente

Incluso podría compensarse completamente cuando las lecturas no presenten discrepanciascuando las lecturas no presenten discrepancias

En conjunto los errores debidos a ambas causas se traducen en un desplazamiento angular en la lectura del círculo vertical

Generalmente consideramos la suma de los dos errores pero actuaremos sólo sobre una de las correcciones para anular el error total

Determinaremos la influencia del error en las lecturas en el supuesto de,aparato que proporciona distancias cenitales

d li ió ti l derror de colimación vertical mayor de cerolectura obtenida > lectura teórica correspondiente a la observación

25/02/2009 33Topografía I

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11.3 Error de colimación vertical; error de eclímetroInfl n i d l rr r n l s l t r sInfluencia del error en las lecturas

La influencia del error en las lecturas se determinará observando a una referencia bien definida en CD y CI 0g

V

CDcenit

En posición CD la lectura seráVCD = z + e

0A

z

VCD

100g

300g

e

En posición CI la lectura seráVCi = 400g - z + e

Para obtener el error sumamos las lecturas

300g

200gPara obtener el error sumamos las lecturasVCD + VCi = z + e + 400g - z + e = 400g + 2 e

Por tanto el error e resultag

CD CIV V 400e

+ −=

200

0g

CI

La lectura corregida la obtenemos por diferencia de las lecturas

e2

= 0g

A

z

100g

e

VCD - VCi = z + e - 400g + z - e = 2 z - 400g

La lectura correcta será gCD CIV V 400

z2

− +=

VCI

300g100

25/02/2009 34Topografía I

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2 200g

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261

11.3 Error de colimación vertical; error de eclímetroI fl i d l l l Ob ió d lInfluencia del error en las lecturas. Obtención de lecturas correctas

La influencia del error en las lecturasE i d di t d l i li ió d l i lEs independiente de la inclinación de la visual

Es constante e igual al valor del error e

La suma de las lecturas obtenidas visando a una referencia en CD y CILa suma de las lecturas obtenidas visando a una referencia en CD y CI nos permite

Detectar la existencia del error de colimación vertical

Cuantificar dicho error

La lectura corregida, z, se puede obtenerA ti d l dif i d l l t gV V 400A partir de la diferencia de las lecturas observadas en CD y CI

O bien a partir de la lecturas en CD, sin mas que restar al valor observado, VCD,

gCD CIV V 400

z2

− +=

p , q , CD,el error e (con su signo)

z = VCD - e

25/02/2009 35Topografía I

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11.3 Error de colimación vertical; error de eclímetroEliminación del error por reglaje

Una vez realizada la observación en CD y en CI a una referencia bien definida se determina la lectura corregida z

Teodolito con nivel de eclímetroSe ”obliga” esa lectura, z, con el tornillo de calado del nivel de eclímetro

Se cala el nivel con el tornillo de corrección del mismo

Teodolito con eclímetro automático y dispositivoTeodolito con eclímetro automático y dispositivo de lectura de coincidencia

Se obliga al micrómetro a marcar la lectura correcta (z), actuando sobre el tornillo de coincidencia

Se logra la coincidencia con el tornillo de reglaje del dispositivo automático, siguiendo las instrucciones del fabricanteg

25/02/2009 36Topografía I

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Documento de trabajo del alumno Topografía I

262

11.3 Error de colimación vertical; error de eclímetroEliminación de la influencia del error por corrección automática

Los taquímetros electrónicos, en general,Los taquímetros electrónicos, en general, incorporan en su menú de funciones la opción “calibración”

En esta opción se incluye la determinación experimental d l l d l d li ió ti ldel valor del error de colimación vertical, e

Siguiendo las instrucciones oportunas se observa a una referencia * bien definida en CD y CIy

El valor de e determinado, una vez aceptado, queda incorporado a la memoria

Para cada visual, se obtendrá directamente, la lectura vertical corregida, z, de la influencia del error

** Frecuentemente con la determinación del error de colimación vertical se ajusta, automáticamente, el nivel electrónico

Sólo es posible completar la calibración observando una visual horizontal después de nivelar cuidadosamente con la ayuda del nivel electrónico

25/02/2009 37Topografía I

ETSI Topografía G y C U.P.M.

después de nivelar cuidadosamente con la ayuda del nivel electrónico

11.4 Comprobación y corrección de un teodolito

En cada una de las operaciones de calibración hay que observar las siguientes pautashay que observar las siguientes pautas

Hacer medidas de verificación que nos permitan detectar si el ajuste del instrumento no es correcto

Detectada una influencia de error en las lecturas se debe determinar el error a que es debida, deduciendo su valor

Si es posible se debe proceder a corregirlo de la forma apropiada o a facilitar la aplicación automática de la corrección oportuna

De esta manera las lecturas obtenidas estarán exentas de la influencia del errorDe esta manera las lecturas obtenidas estarán exentas de la influencia del error

Se deberán repetir las medidas con que se inició el proceso y, en caso de persistir el desajuste se reiterará este proceso

25/02/2009 38Topografía I

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Documento de trabajo del alumno Topografía I

263

11.4 Comprobación y corrección de un teodolitoTaquímetro óptico mecánico

Las operaciones de verificación y correcciónLas operaciones de verificación y corrección se deben hacer en el orden siguiente

Corrección de los niveles

Puesta definitiva en estación

Perpendicularidad del hilo vertical del retículo y el eje secundario

Error de colimación horizontalVisual horizontal

Error de muñonesVisual muy inclinada

Error de colimación vertical

25/02/2009 39Topografía I

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11.4 Comprobación y corrección de un teodolitoTaquímetro electrónico

Los taquímetros electrónicos, en general, incorporan en su menú de funciones la opción “calibración” que incluyeen su menú de funciones la opción calibración que incluye la determinación experimental de los valores de los errores de colimación horizontal y colimación vertical *

La determinación de estos errores requiere observar a una referencia bien definida en las dos posiciones del anteojo, CD y CI

Es indiferente el orden en que se determinen los dos erroresEs indiferente el orden en que se determinen los dos errores

El sistema guía al usuario de forma unívoca por lo que las determinaciones erróneas quedan excluidas

La visualización conjunta del antiguo error grabado en memoria y del error recién determinado permite decidir el rechazo o la incorporación del nuevo valor de error

** Frecuentemente con la determinación del error de colimación vertical se ajusta, automáticamente, el nivel electrónico

Sólo es posible completar la calibración observando una visual horizontal después de nivelar cuidadosamente con la ayuda del nivel electrónico

25/02/2009 40Topografía I

ETSI Topografía G y C U.P.M.

después de nivelar cuidadosamente con la ayuda del nivel electrónico

T 12

Documento de trabajo del alumno Topografía I

264

El teodolito IVEl teodolito IVDefecto de cumplimiento pde las condiciones teóricas

l ili ió d l d lien la utilización del teodolitoTema 12Tema 12

20/02/2009 1Topografía I

ETSI Topografía G y C U.P.M. Prg. A.

Tema 12 El teodolito IVDefecto de cumplimiento de las condiciones teóricas en la utilización del teodolito

12.1 Error de verticalidad

12.2 Error de dirección12.2 Error de dirección

12.3 Error de puntería

12 4 E d l t12.4 Error de lectura

12.5 Error angular total

20/02/2009 2Topografía I

ETSI Topografía G y C U.P.M. Prg. A.T 13

Documento de trabajo del alumno Topografía I

265

Documento de trabajo del alumno Topografía I

266

12.0 Defecto de cumplimiento de las condiciones teóricas

En los temas anteriores se han estudiado los defectos de reglaje y

pen la utilización del teodolito

En los temas anteriores se han estudiado los defectos de reglaje y construcción en un teodolito para la correcta medida de ángulos

Y se han estudiado los métodos de trabajo que permiten eliminar jlas influencias de los errores que afectan a las lecturas

En los teodolitos modernos, supuestos bien utilizados y conservados, d li i l i fl i l l tpuede eliminarse la influencia en las lecturas

de los defectos de cumplimiento de las condiciones teóricas en la construcción y ajuste

El problema queda localizado, pues, en los defectos de cumplimiento de las condiciones teóricas

l tili ió d l t d liten la utilización del teodolito

20/02/2009 5Topografía I

ETSI Topografía G y C U.P.M.

12.0 Defecto de cumplimiento de las condiciones teóricas l ili ió d l d li

En este tema se estudia que, aun suponiendo una cuidadosa utilización

en la utilización del teodolito

del teodolito, aparecen errores inevitables en cada una de las operaciones elementales realizadas en el proceso de una observación angular

Estos errores serán debidos aEstos errores serán debidos a

la precisión limitada de los elementos que componen los instrumentos

La apreciación limitada del observador

Son errores que existirán siempre

En general son accidentales

No pueden eliminarse por ningún método observacionalNo pueden eliminarse por ningún método observacional

Sólo pueden reducirse aumentando el número de observaciones

El error de la media es inversamente proporcional a la raíz cuadrada del número de observaciones

T2

Batería de foto detectores

LED

5

Vertical

Eje Principal

i del número de observaciones

En los actuales teodolitos electrónicos con sensor de inclinación puede eliminarse la influencia del error de verticalidad en las lecturas, aplicando a éstas, en cada caso, la corrección correspondiente

π

T1

23

45

Lente enfocadora

v1

20/02/2009 6Topografía I

ETSI Topografía G y C U.P.M.

π

Documento de trabajo del alumno Topografía I

267

12.0 Defecto de cumplimiento de las condiciones teóricas

Resulta trascendente el estudio y cifrado de la cota de error a esperar

en la utilización del teodolito

Resulta trascendente el estudio y cifrado de la cota de error a esperar

Dentro de cada proyecto topográfico o geodésico es ineludible la necesidad de realizar un estudio, previo a la observación

En función de los requerimientos de los pliegos de condiciones se determinarán los instrumentos y la metodología de las observaciones

En el estudio previo se calcularán las tolerancias preestablecidasEn el estudio previo se calcularán las tolerancias preestablecidas

Dependerán de las características del instrumental y de los métodos de trabajo considerados

L ió d t t l i t bl id l i i t dLa comparación de estas tolerancias preestablecidas con los requerimientos de los pliegos de condiciones determinará si puede o no realizarse el trabajo

Resultados desfavorables conducen a

Reconsiderar los métodos inicialmente concebidos, arbitrando otros más precisos que también deberán ser evaluados

Sustituir los instrumentos programados inicialmente por otros de mayor precisión

20/02/2009 7Topografía I

ETSI Topografía G y C U.P.M.

12.0 Defecto de cumplimiento de las condiciones teóricas

Proceso de la planificación y ejecución de una observación

en la utilización del teodolito

Proceso de la planificación y ejecución de una observación

Estudio previo

Cota máxima de error admisible(Pliego de condiciones)

Cota máxima de error previsible

(Tolerancia preestablecida)Método observacional Instrumentación

Observación

Resultados obtenidos(Errores de cierre)

20/02/2009 8Topografía I

ETSI Topografía G y C U.P.M.

Documento de trabajo del alumno Topografía I

268

12.0 Defecto de cumplimiento de las condiciones teóricas en la utilización del teodolito

En el proceso de una observación angular aparecen los siguientes errores:

Error de verticalidad

en la utilización del teodolito

Al nivelar el instrumento su eje principal no queda exactamente en posición vertical

Error de direcciónError de direcciónLa dirección observada no coincide con la pretendida dado que

El elemento de centrado de que está provisto el teodolito no incide exactamente sobre el punto de estaciónno incide exactamente sobre el punto de estación

El elemento a visar no se coloca perfectamente sobre el punto al que se pretende colimar

Error de punteríaError de punteríaEn punterías verticales, no se sitúa el hilo horizontal del retículo sobre la señal

En punterías horizontales no se biseca perfectamente dicha señal

Error de lecturaSiempre queda una fracción de lectura que ha de estimarse

20/02/2009 9Topografía I

ETSI Topografía G y C U.P.M.

Siempre queda una fracción de lectura que ha de estimarse

12.0 Defecto de cumplimiento de las condiciones teóricas l ili ió d l d li

Estos errores actúan independientemente

en la utilización del teodolito

Su conjunto, convenientemente agrupados, es denominado error angular total, y proporciona la precisión del teodolito en las medidas angulares

En observación acimutal

En observación vertical

En este epígrafe se estudian y analizan dichos erroresEn este epígrafe se estudian y analizan dichos errores

Se estima la cota máxima de error previsible (ya que resulta imposible conocer sus valores para cada observación angular)

En teodolitos electrónicos con sensor de inclinación, el error de verticalidad puede considerarse sistemático

En 12.1.2 y 12.1.3 se deduce su influencia en las lecturas (LH y LV)

Aplicando a las lecturas obtenidas de la exploración de los círculos las correcciones oportunas, se obtendrán valores exentos de error

20/02/2009 10Topografía I

ETSI Topografía G y C U.P.M.

Documento de trabajo del alumno Topografía I

269

12.1 Error de verticalidad

12.1.1. Estudio analítico

Observaciones cenitales

Observaciones acimutales

12.1.2. Influencia en observaciones acimutales

Teodolito óptico mecánico (nivel tórico)

Teodolito óptico electrónico (nivel tórico)

Teodolito óptico electrónico (nivel electrónico)

Teodolito óptico electrónico (sensor de inclinación)

12.1.3. Influencia en observaciones verticales

Teodolito óptico mecánico (nivel de eclímetro)

T d lit ó ti á i ó ti l t ó iTeodolito óptico mecánico u óptico electrónico (eclímetro automático)

Teodolito óptico electrónico ( sensor de inclinación)

20/02/2009 11Topografía I

ETSI Topografía G y C U.P.M.

p ( )

12.1 Error de verticalidad12 1 1 Estudio analítico Vertical

ivZ Z’

La verticalidad del eje principal se “consigue” después de haber nivelado el instrumento

12.1.1. Estudio analítico Eje Principal

Vertical

No se logrará de forma perfecta debido, principalmente, a que la sensibilidad del nivel tórico es limitada

OZ será la dirección de la vertical (EP teórico)

O

( )

OZ’ será la dirección del eje principal en la observación

Supondremos que, una vez nivelado el teodolito, el EP queda con una inclinación que llamaremos i

Z Z’ A

queda con una inclinación que llamaremos ivConsideraremos una esfera centrada en el punto intersección del EC con el EM (Y del EP) O

P

M’1

M’2

Supondremos la observación a un punto AP es el punto intersección de la visual con la esfera

El giro del instrumento alrededor del EP inclinado hará que el EM describa un

2

P’1

El giro del instrumento alrededor del EP inclinado hará que el EM describa un plano inclinado cuya intersección con la esfera es el círculo máximo M’1P’1M’2El EC, al bascular el anteojo alrededor del EM, describe un plano inclinado que intersecta a la esfera según el círculo máximo Z’PP’

20/02/2009 12Topografía I

ETSI Topografía G y C U.P.M.

que intersecta a la esfera según el círculo máximo Z PP 1

Documento de trabajo del alumno Topografía I

270

12.1 Error de verticalidad12 1 1 Estudio analítico12.1.1. Estudio analítico

Supuesta la esfera centrada en el punto O,(intersección del E. P. y el E. M.)

OZ: dirección cenit-nadir ZEje PrincipalZ’

Vertical en el punto de estación

OZ’:dirección del Eje principalDespués de la puesta en estación

Eje Principal

α’iv

VV’

A

iv: inclinación del E. P.respecto de la vertical

iv es el error de verticalidadM’1

P

Suponiendo la observación a A V: distancia cenital teórica

V’:distancia cenital observadaO

M1 M2

α

Suponiendo el origen de L.H. en el P.V. que contiene a OZ’

α: lectura horizontal correcta’ lect ra hori ontal obser ada

M’2α’

α’: lectura horizontal observada

La influencia del error de verticalidad iv seráEn lecturas verticales: evv = V –V’En lecturas horizontales: e = α α’ N

20/02/2009 13Topografía I

ETSI Topografía G y C U.P.M.

En lecturas horizontales: eva = α – α

12.1 Error de verticalidad12 1 1 Estudio analítico Observaciones cenitales: Influencia e12.1.1. Estudio analítico. Observaciones cenitales: Influencia, evv

Haremos pasar por Z’ un arco de círculo máximo perpendicular a ZP

Z Eje Principal

i

Z’

V V’

Q

.

A

perpendicular a ZP

Llamaremos Q al punto intersección

C id

M’1

iv

P

Consideraremos el triángulo esférico rectángulo ZQZ’ y supondremos PZ’ = PQ

OM1 M2

M’

α

N

M 2

Zα iv

Z’evv

Lo resolveremos como plano

En virtud del teorema de Legendre

NQ . Z’

En T.O.E, el sensor de inclinación determinala componente (ivc) del error iv según la dirección normal al eje de muñones

i i

T2

Batería de foto detectores

LED

VerticalEje Principal

g

evv=V-V’=PZ-PZ’=PZ-PQ=QZ

iv=ZZ’ evv = iv · cos α

ivc = iv · cos αEl sensor corrige la influencia del iv en L.V.

En T.O.M. el error, iv, no es conocidoSe evalúa evv en cota máxima, en función

π

T1

23

45

Lente enfocadora

iv

1

20/02/2009 14Topografía I

ETSI Topografía G y C U.P.M.

del dispositivo de nivelaciónπ

Documento de trabajo del alumno Topografía I

271

12.1 Error de verticalidad12.1.1. Estudio analítico. Observaciones acimutales: Influencia, e12.1.1. Estudio analítico. Observaciones acimutales: Influencia, eva

Consideraremos el triángulo esférico ZZ’P

Z Z’ senV ' senV

Z

Eje PrincipalZ’

AαZ Z

osen sen(180 ')=

α − α

senV ' sensenV sen '

α=

α M’1

α’

iv

P

VV’

A

V V’senV senα

senV ' sen1 1

senV sen 'α

− = −α M1 M2

M 1

Recordando las expresiones de la influencia

PsenV senV ' sen ' sen

senV sen '− α − α

=α

O

M’2

α

α’pdel error iv en lecturas verticales, evv

y en lecturas horizontales, eva,

evv = V – V’ ⇒ V’ = V - evvvv vv

eva = α – α’ ⇒ α’ = α – eva

Resulta

N

α − − α− −= av vv sen( e ) sensenV sen(V e )

senV sen( e )

20/02/2009 15Topografía I

ETSI Topografía G y C U.P.M.

α −avsenV sen( e )

12.1 Error de verticalidad12 1 1 Estudio analítico Observaciones acimutales: Influencia e12.1.1. Estudio analítico. Observaciones acimutales: Influencia, eva

Como: sen (a - b) = sen a · cos b – cos a · sen bαZ Z’

α ⋅ − α ⋅ − α− ⋅ + ⋅ v vv v sen cose cos sene sensenV senV cos e cosV sene

Considerando las aproximacionesV V’

=α ⋅ − α ⋅

a av v

a a

v vv v

v vsenV sen cose cos sene

sen evv ≈ evv cos evv ≈ 1

sen eva ≈ eva cos eva ≈ 1P

Resulta sen e cos sensenV senV e cos VResulta

(despreciando infinitésimos de segundo orden)0

α − ⋅ α − α− + ⋅=

α − ⋅ αav

a

vv

v

sen e cos sensenV senV e cos V

senV sen e cos

⋅ ⋅ α − ⋅ ⋅ ⋅ α = − ⋅ ⋅ αv v a av v v ve cos V sen e e cos V cos e senV cos

⋅ α⋅= − ⇒ ⋅ = − ⋅ α

αav

v a

vvv v

e cose cos Ve cot gV e cot g

senV sen

v

seni cos cot gV

cosα

= − ⋅ α ⋅ ⋅α vi cot gV sen= − ⋅ ⋅ α

av ve i cot gV sen= − ⋅ ⋅ αeevv =vv = iivv ·· coscos αα

αsenV sen

= − ⋅ ⋅ αa vv ve e cot gV t g

20/02/2009 16Topografía I

ETSI Topografía G y C U.P.M.

av v geevv =vv = iiv v cos cos αα

Documento de trabajo del alumno Topografía I

272

12.1 Error de verticalidad12 1 2 Influencia en observaciones acimutales

Evaluaremos la cota máxima de error previsible

Partimos de la expresión |eva| = iv · cotg V · sen α

12.1.2. Influencia en observaciones acimutales

p | va| v gsen α alcanza su máximo valor cuando vale la unidad

Para este caso [eva]máx = iv· cotg V

La inclinación de la visual en condiciones normales no superará los 15 g respectoLa inclinación de la visual, en condiciones normales, no superará los 15 respecto de la horizontal

cotg V < ¼

Por tanto [eva]máx = ¼ iv[ va]máx v

La falta de verticalidad del eje principal es ivPara determinar su valor, en cota máxima, habrá que considerar qué elemento de nivelación lleva incorporado el instrumentohabrá que considerar qué elemento de nivelación lleva incorporado el instrumento

Teodolito óptico mecánico (nivel tórico)

Teodolito óptico electrónico (nivel tórico)

Teodolito óptico electrónico (nivel electrónico)p ( )

En Teodolito óptico electrónico con sensor de inclinación se corrigen las lecturas de la influencia (eva) del error iv

El instrumento se nivela sólo para “entrar” en el rango del sensor

20/02/2009 17Topografía I

ETSI Topografía G y C U.P.M.

El instrumento se nivela, sólo, para entrar en el rango del sensor

12.1 Error de verticalidad12 1 2 I fl i b i i t l

Teodolito óptico mecánico (nivel tórico)

12.1.2. Influencia en observaciones acimutales[e[evava]] máxmáx = ¼ i= ¼ ivv

Teodolito óptico mecánico (nivel tórico)En este caso iv se cifra en 2/3 de la apreciación

Si la apreciación, en cota máxima, vale 1/2 de la sensibilidad p , ,del nivel ( ½ S), entonces

v

2 1i S

3 2=

1S

3=

Por tanto la influencia del error puede estimarse, en cota máxima, como

v

1 1e S= 1

e S=

Teodolito óptico electrónico (nivel tórico)

av 4 3 ave S12

Como en el caso anterior, el valor en cota máxima del efecto del error será

av

1e S

12=

20/02/2009 18Topografía I

ETSI Topografía G y C U.P.M.

12

Documento de trabajo del alumno Topografía I

273

12.1 Error de verticalidad12 1 2 Influencia en observaciones acimutales12.1.2. Influencia en observaciones acimutales

[e[evava]] máxmáx = ¼ i= ¼ ivv

Teodolito óptico electrónico (nivel electrónico)En este caso iv se acota por la precisión del nivel electrónico (p)

iv = p

Por tanto la influencia del error puede estimarse en cota máxima comopuede estimarse en cota máxima como

av

1e p

4=

La precisión de estos niveles es del orden de 1’’

La verticalidad del eje principal se ve afectada por la estabilidad del sistema de sustentación del teodolito

20/02/2009 19Topografía I

ETSI Topografía G y C U.P.M.

12.1 Error de verticalidad12 1 2 Influencia en observaciones acimutales12.1.2. Influencia en observaciones acimutales

Teodolito óptico electrónico (sensor de inclinación)eevava= = -- iiv v · cotg V · sen · cotg V · sen αα

M2LED

Vertical Eje Principal

C1

En este caso la falta de verticalidad del eje principal puede considerarse como un error sistemático

El sensor de inclinación proporciona el valor de la M

Batería de foto detectores

23

45

iv

1

C2

p pcomponente de iv en la dirección del eje de muñones, ivm

ivm= iv · sen α

Las lecturas acimutales son corregidas en cada caso

M1Lente enfocadora

1

Las lecturas acimutales son corregidas, en cada caso, de la influencia del error de verticalidad, eva, que las afecta

eva = - iv · sen α · cotg V = - ivm · cotg V

Lectura Hz corregida = Lectura Hz leída + i · cotg Vπ

Lectura Hz. corregida Lectura Hz. leída + ivm cotg V

Podría considerarse una eva, en cota máxima, que vendría dado por

eva = precisión del sensor

La precisión del sensor alcanza valores entre 1’’ y 0 1’’La precisión del sensor alcanza valores entre 1’’ y 0.1’’

La influencia en las lecturas es menor que la apreciación del aparato y, por tanto, es despreciable

El instrumento se nivela sólo para “entrar” en el rango del sensor

20/02/2009 20Topografía I

ETSI Topografía G y C U.P.M.

El instrumento se nivela, sólo, para entrar en el rango del sensor

Documento de trabajo del alumno Topografía I

274

12.1 Error de verticalidad12 1 3 Influencia en observaciones verticales

Evaluaremos la cota máxima de error previsible

12.1.3. Influencia en observaciones verticales

Partimos de la expresión evv = iv · cos α

cos α alcanza su máximo valor cuando vale la unidad

Para este caso [evv] máx = iv

La falta de verticalidad del eje principal es iv

Para determinar su valor, en cota máxima, habrá que considerar qué elemento de nivelación lleva incorporado el instrumento

Teodolito óptico mecánico (nivel de eclímetro)

Teodolito óptico mecánico u óptico electrónico (eclímetro automático)

En Teodolito óptico electrónico con sensor de inclinación i l i fl i l l t ( ) d l ise corrige la influencia en las lecturas (evv) del error iv

El instrumento se nivela, sólo, para “entrar” en el rango del sensor

20/02/2009 21Topografía I

ETSI Topografía G y C U.P.M.

12.1 Error de verticalidad12 1 3 I fl i b i ti l

Teodolito óptico mecánico (nivel de eclímetro)

12.1.3. Influencia en observaciones verticales

[e[evcvc]] máxmáx = i= ivvTeodolito óptico mecánico (nivel de eclímetro)

iv se cifra en 2/3 de la apreciación

Si la apreciación, en cota máxima, vale 1/2 de la sensibilidad del nivel (½ S),Si la apreciación, en cota máxima, vale 1/2 de la sensibilidad del nivel (½ S), entonces

v

2 1i S

3 2=

Y l i fl i d l d ti t á i

1S

3=

=1

e SY la influencia del error puede estimarse, en cota máxima, como

Si el nivel de eclímetro es un nivel de coincidencia, la influencia del error puede estimarse, en cota máxima, como evv = 1/20 S

=vve S

3

Teodolito óptico mecánico u óptico electrónico

En estos niveles la apreciación se duplica sólo por su fundamento. Además la observación se hace a través de un pequeño microscopio, lo que también aumenta la apreciación

Teodolito óptico mecánico u óptico electrónico(eclímetro automático)

La influencia del error iv, en cota máxima, vendrá dada por la precisión del eclímetro automático

20/02/2009 22Topografía I

ETSI Topografía G y C U.P.M.

dada por la precisión del eclímetro automático

Documento de trabajo del alumno Topografía I

275

12.1 Error de verticalidad12 1 3 Influencia en observaciones verticales12.1.3. Influencia en observaciones verticales

Teodolito óptico electrónico (sensor de inclinación)eevvvv= i= iv v · cos · cos αα

M2LED

Vertical Eje Principal

Este es el caso en el que la falta de verticalidad del EP puede considerarse como un error sistemático

El sensor de inclinación “determina” el valor de la M

Batería de foto detectores

23

45

iv

1El sensor de inclinación determina el valor de la componente de iv en la dirección del eje de colimación, ivc

ivc = iv · cos α

Las lecturas cenitales son corregidas en cada caso

M1Lente enfocadora

Las lecturas cenitales son corregidas, en cada caso, de la influencia del error de verticalidad, evc, que las afecta

evc = iv · cos α = ivc

Lectura Vertical corregida = Lectura Vertical leída i

π

Lectura Vertical corregida = Lectura Vertical leída - ivc

Podría considerarse una evc, en cota máxima, que vendría dado por

evc = precisión del sensor

La precisión del sensor alcanza valores entre 1’’ y 0.1’’

La influencia en las lecturas es menor que la apreciación del aparato y, por tanto, es despreciable

El instrumento se nivela sólo para “entrar” en el rango del sensor

20/02/2009 23Topografía I

ETSI Topografía G y C U.P.M.

El instrumento se nivela, sólo, para entrar en el rango del sensor

12.1 Error de verticalidad

Desarrollando el arco de círculo máximo ZZ’, contenido en el plano vertical q e contiene al eje principal (ZZ’ i )

Teodolito óptico electrónico con sensor de inclinación

que contiene al eje principal (ZZ’ ≡ iv)

(Considerando el esquema correspondiente en planta)M1’ Z

ivZEje Principal

α’iv

Z’

V V’

ZZ’: Proyección del EP sobre el plano horizontal

α M2’Z’

P

O

iv

P

V

ZZ : Proyección del EP sobre el plano horizontal

Z’P: Eje de colimación

M1’M2’: Eje de muñones

O

α

α’

α: ángulo horizontal

Supuesto el origen de lecturas en el plano vertical que contiene al EP)

N

20/02/2009 24Topografía I

ETSI Topografía G y C U.P.M.

p q )

Documento de trabajo del alumno Topografía I

276

12.1 Error de verticalidadTeodolito óptico electrónico con sensor de inclinación

M1’ Z

Proyectando el arco de círculo máximo ZZ’ sobre las direcciones del eje de colimación y

ivα

i = i · cos α componente i según el eje de colimación

del eje de muñones, obtenemosα M2’

Z’P

iv colimación = iv · cos α componente ivc, según el eje de colimación

iv muñones = iv · sen α componente ivm, según el eje de muñones

Estos valores son proporcionados por el sensorEstos valores son proporcionados por el sensor

Introduciéndolos en las expresiones de la influencia del error

e = i cotg V sen = i cotg Veva= - iv · cotg V · sen α = - ivm ·cotg V

evv= iv · cos α = ivc

20/02/2009 25Topografía I

ETSI Topografía G y C U.P.M.

12.1 Error de verticalidad

Analizando eVa se puede comprobar que la expresión obtenida

Teodolito óptico electrónico con sensor de inclinación

eva = ivm·tan h

se corresponde con la obtenida para la influencia en lecturas horizontalesdel error (im ) de inclinación del eje de muñones( m ) j

ya que la inclinación del eje principal introduce un error de inclinación del eje de muñones, aunque no por construcción

E. Principald

La influencia no se puede detectar con la vuelta de campana

En el giro de la alidada acimutal

M1

E. de colimación

M2

O

En el giro de la alidada acimutal el eje de muñones queda siempre en la misma posición ya que es perpendicular al eje de giro

El efecto en lecturas verticales seria análogo al del error de eclímetro

Aunque tampoco se eliminaría con la vuelta de campana

perpendicular al eje de giro

20/02/2009 26Topografía I

ETSI Topografía G y C U.P.M.

Aunque tampoco se eliminaría con la vuelta de campana

Documento de trabajo del alumno Topografía I

277

12.2 Error de direcciónEl error es debido a que la dirección observada no coincide con la pretendida

Es consecuencia de las imprecisiones en el centrado del teodolito l t d d l ñ l t i li l t iy en el centrado de la señal que materializa el punto a visar

El elemento de centrado de que está provisto el teodolito no incide exactamente sobre el punto de estación

Ses

ee

El elemento a visar no se coloca perfectamente sobre el punto al que se pretende colimar

Sea

Sx

ed

E el punto de estación

S el punto a observarLos círculos de radios ee y es

ee

E x

D

D: distancia

ed

Como ed es muy pequeño,

Los círculos de radios ee y es

representarán, respectivamente , los de error en el posicionamiento de la plomada y el prisma o jalón

L i ió á d f bl ( á i )

E x D: distanciaed: error de dirección

d y p q ,aproximando el seno al arcoLa posición más desfavorable (error máximo) es

la tangente común interior a ambas circunferenciasEste error máximo valdrá e s

d

e esene

D+

=e s

d

e ee

D+

=

20/02/2009 27Topografía I

ETSI Topografía G y C U.P.M.

D D

12.2 Error de dirección

e sd

e ee

D+

=

La influencia, ed, del error responde a una expresión analítica

D

responde a una expresión analítica

Depende de los errores de centrado del teodolito y de la señal, así como de la distancia entre ambos

Podría pensarse que se trata de un error sistemático pero no es así

Los errores cometidos en los centrados son accidentales

En observaciones cenitales no deberá ser tenido en cuenta

En observaciones acimutales es el error más importante a temer

Tanto más cuanto menor sea la distancia

20/02/2009 28Topografía I

ETSI Topografía G y C U.P.M.

Documento de trabajo del alumno Topografía I

278

12.2 Error de dirección

Resulta trascendental el correcto posicionado de la plomada y señal

S d it t á i d d i ibl l t dSe admite como cota máxima de error admisible en el centrado

un margen de 2mm para ee (teodolito con plomada óptica o plomada láser)

t 1 2 l t d d l ñ lentre 1 y 2cm en el centrado de la señal, es

(para el caso más general de observación a un prisma)

Evidentemente, depende en buena medida de la altura del prisma

Ej. prácticas del curso: ee = 2mm; es = 0.5mm; D = 30m ⇒ ed =53cc

ee = 5mm; es = 5mm; D = 30m ⇒ ed = 2c

En poligonaciones de precisión se utilizan dispositivos de centrado forzosoque garantizan errores por debajo g jde dos décimas de milímetro

20/02/2009 29Topografía I

ETSI Topografía G y C U.P.M.

12.3 Error de punteríaEl operador considera que la puntería al punto visado está conseguida dentro de un cierto margenNo hay que confundir la precisión de la punteríaNo hay que confundir la precisión de la puntería con el poder separador o agudeza visual

Al realizar una puntería, en el cerebro se produce una activación que afecta a las zonas que se encuentran a lo largo de la línea que define la punteríaa las zonas que se encuentran a lo largo de la línea que define la punteríaSe hace una media de los resultados que tiene una precisión superior a la agudeza visual

A partir de punterías realizadas en las mejores condicionesA partir de punterías realizadas en las mejores condicionesCon señales perfectamente definidas y pintadasMuy bien iluminadasPor operadores experimentados

se han estimado unos valores que nos permiten establecer dos categorías de punterías

Puntería ordinariaPor superposición, contacto o recubrimiento del hilo de la cruz filar sobre la separación de dos colores

P t í bi ió d

20/02/2009 30Topografía I

ETSI Topografía G y C U.P.M.

Puntería por bisección o encuadre

Documento de trabajo del alumno Topografía I

279

12.3 Error de punteríaPuntería ordinaria

Por superposición, contacto o recubrimiento del hilo de la cruz filar sobre la separación de dos coloresdel hilo de la cruz filar sobre la separación de dos colores

Se estima entre

Siendo A los aumentos del anteojo

cc cc60 100y

A A≤ ≤

cc cc60 100eSiendo A los aumentos del anteojo

Es el caso de las punterías cenitales

P t í bi ió d

≤ ≤vpe

A A

Puntería por bisección o encuadreSe estima entre

E l á f t t í i t l

cc cc30 60y

A A a

cc cc

p

30 60e

A A≤ ≤

Es el caso más frecuente en punterías acimutales

La amplitud de estas estimaciones deriva de que no son valores deducidos matemáticamente sino que son resultados obtenidos experimentalmente

A A

matemáticamente, sino que son resultados obtenidos experimentalmenteEstán ligados a la experiencia del operador y a las condiciones de la observación

Por esta razón se podría aplicar a dichos valores un coeficiente de mayoración que variaría entre 1 5 y 2 5 aproximadamente

20/02/2009 31Topografía I

ETSI Topografía G y C U.P.M.

que variaría entre 1,5 y 2,5, aproximadamente

12.4 Error de lectura

En teodolitos óptico mecánicos se cifraba, en cota máxima, en 2/3 de la menor división de que dispusiera el sistema de lectura

En teodolitos óptico electrónicos, al límite de sus posibilidades, podríamos considerar como error de lectura ½ de la resolución, R

Cuando obtenemos la lectura L = 37.428

es porque 37.4275 < L < 37.4284

Por análisis estadístico habría que considerar como error de lectura

1R

12Pero aplicando una constante de mayoración, análogamente a como hacemos con el error de puntería consideraremos como valor empírico experimentado, para el error de lectura en cota máxima

12

para el error de lectura, en cota máxima

l

Re

3≤

20/02/2009 32Topografía I

ETSI Topografía G y C U.P.M.

3

Documento de trabajo del alumno Topografía I

280

12.5 Error angular total

Llamamos error angular total a la cota máxima de error que, previsiblemente, cabe esperar en una lectura angular

g

cabe esperar en una lectura angular

con un teodolito (dadas sus características)

en una observación (de un tipo determinado y a una determinada distancia)en una observación (de un tipo determinado y a una determinada distancia)

Evidentemente tenemos que distinguir entre observaciones acimutales y observaciones verticales

El error angular total vendrá dado por:

En observaciones acimutales

= + + +a a a

2 2 2 2

a v d p le e e e eEn observaciones verticales

= + +v v v

2 2 2

a v p le e e e

20/02/2009 33Topografía I

ETSI Topografía G y C U.P.M.Prg. A.

T 13

Documento de trabajo del alumno Topografía I

281

Documento de trabajo del alumno Topografía I

282

Medida de Distancias IIMedida de Distancias II

Medida indirecta de distancias é d di é ipor métodos estadimétricos

Unidad Temática V

26/02/2009 1Topografía I

ETSI Topografía G y C U.P.M. Prg. A.

Documento de trabajo del alumno Topografía I

283

Documento de trabajo del alumno Topografía I

284

Medida de Distancias IIMedida de Distancias II

Medida indirecta de distancias por métodos estadimétricospor métodos estadimétricos

Tema 13Tema 13

25/02/2009 1Topografía I

ETSI Topografía G y C U.P.M.

Tema 13Medida indirecta de distancias por métodos estadimétricospor métodos estadimétricos

13.1 La estadimetría. Fundamento de la estadía

13.2 Estadías de 1ª, 2ª y 3ª categoría

13.3 Estadímetros de la primera categoría con mira vertical

Anteojos estadimétricos

Precisiones

13.4 Estadímetros de la segunda categoría

Estadía horizontal de invar

Precisiones

25/02/2009 2Topografía I

ETSI Topografía G y C U.P.M. Prg. A.T 14

Documento de trabajo del alumno Topografía I

285

Documento de trabajo del alumno Topografía I

286

Tema 13M did i di d di i é d di é iMedida indirecta de distancias por métodos estadimétricos

La medida de distancias se contempla en el programa de la asignaturaLa medida de distancias se contempla en el programa de la asignatura en tres Unidades Temáticas diferentes

En la U. T. II se estudió la medida directa de distancias

En esta U. T. V se recoge, a modo de reseña histórica, la medida indirecta de distanciasla medida indirecta de distancias por métodos estadimétricos

En la próxima U. T. VI se estudiará la Medida Electromagnética de Distancias MED

Hasta la aparición y posterior divulgación masiva de la MEDla estadimetría constituía un procedimiento de incomparable ventaja yla estadimetría constituía un procedimiento de incomparable ventaja y rapidez sobre los métodos de medida directa

Si bien, en general, dentro de una precisión limitada

25/02/2009 5Topografía I

ETSI Topografía G y C U.P.M.

, g , p

13.1 La estadimetría. Fundamento de la estadíaSupongamos una regla vertical observada a través de dos listones horizontales

lh

l

L b d d l li t h i t l li it á l i ibilid d

Dδ

Los bordes de los listones horizontales limitarán la visibilidadSólo percibiremos una cierta longitud de la regla

DesignaremosD: distancia del ojo a la reglaδ: separación entre el ojo y los listones horizontalesl: longitud del segmento de regla que abarca la vistah: separación de los listones

Puede establecerse la siguiente relaciónPuede deducirse el valor de D siempre que se conozcan las otras tres magnitudes

Dl h

δ=

25/02/2009 6Topografía I

ETSI Topografía G y C U.P.M.

Puede deducirse el valor de D, siempre que se conozcan las otras tres magnitudes

Documento de trabajo del alumno Topografía I

287

13.2 Estadías de 1ª, 2ª y 3ª categoría

La distanciometría indirecta se basaba en el principio indicadoPermitiendo la medida de distancias con mucha mayor rapidez e t e do a ed da de d sta c as co uc a ayo ap deque la medida directa

La distinta manera de operar con los parámetros l, δ, hd b i t t í d t dí t

Dl h

δ=

daba origen a tres categorías de estadímetrosPrimera categoría: δ y h son constantes (l es variable)

δ

l h

Segunda categoría: δ y l son constantes (h es variable)

D lhδ

= ⋅

Tercera categoría: l y h son constantes (δ es variable)

1D l

h= δ ⋅ ⋅

g y ( )

lD

h= ⋅ δ

25/02/2009 7Topografía I

ETSI Topografía G y C U.P.M.

13.2 Estadías de 1ª, 2ª y 3ª categoríaGenéricamente los estadímetros de primera categoría correspondían a toda la gama de miras verticales

R l d d t f ió d tReglas graduadas en metros y fracción de metros

Se colimaban a través de anteojos

H id l á f t t tili dHan sido los más frecuentemente utilizados

l es variable y se apreciaba su longitud por ir la regla graduada

En los estadímetros de segunda categoría había de verse siempreEn los estadímetros de segunda categoría había de verse, siempre, la misma magnitud de regla

Los equipos constaban d t dí h i t l d l it d fijde una estadía horizontal de longitud fijaSe medía el llamado ángulo paraláctico colimando, a través de un anteojo, los extremos de la mira

Los estadímetros de tercera categoría, no utilizando anteojo, resultaban muy imprecisos y no se han utilizado en topografía

25/02/2009 8Topografía I

ETSI Topografía G y C U.P.M.

y no se han utilizado en topografía

Documento de trabajo del alumno Topografía I

288

13.2 Estadías de 1ª, 2ª y 3ª categoría

Definiendo la constante estadimétrica, K,l t t dcomo la constante que agrupa, en cada caso,

los parámetros fijos resulta

D K l= ⋅primera categoría

1D K

h= ⋅segunda categoría

D K= ⋅ δtercera categoría

25/02/2009 9Topografía I

ETSI Topografía G y C U.P.M.

13.3 Estadímetros de primera categoría con mira verticalAnteojos estadimétricosAnteojos estadimétricos

Un anteojo al que se adaptaba un estadímetro de primera categoría tit í t j t di ét iconstituía un anteojo estadimétrico

Han sido de muy frecuente uso en topografía

E ll t b tí lEn ellos se montaba un retículo con dos hilos paralelos y equidistantes del hilo horizontal de la cruz filar

Estos dos hilos hacían la función de los dos “listones” considerados en el ejemplo con el que se explicó el fundamento de la estadía

Anteojos estadimétricos:j

Anteojo estadimétrico de Reinchenbach

Anteojo estadimétrico de Porro (anteojo de analatismo central)

Anteojo de enfoque interno (prácticamente analático)

25/02/2009 10Topografía I

ETSI Topografía G y C U.P.M.

Documento de trabajo del alumno Topografía I

289

13.3 Estadímetros de primera categoría con mira verticalAnteojos estadimétricosAnteojos estadimétricos

Anteojo estadimétrico de ReinchenbachConsiste en un estadímetro de 1ª categoría adaptado a un anteojo astronómicoConsiste en un estadímetro de 1 categoría adaptado a un anteojo astronómico

Eje principal

FocoPunto analático

D k’

d

Los rayos luminosos que parten de los hilos, paralelamente al eje del anteojo, al llegar al objetivo se refractan pasando por el foco, denominado en estos anteojos punto analático

Obsérvese que la distancia, D, se mide a partir del focoHabía que determinar la distancia (k’) del foco al eje principalPara evitar la “constante aditiva k’ se modificaban los anteojos

25/02/2009 11Topografía I

ETSI Topografía G y C U.P.M.

Para evitar la constante aditiva, k , se modificaban los anteojos

13.3 Estadímetros de primera categoría con mira verticalA j di é iAnteojos estadimétricos

A t j t di ét i d PAnteojo estadimétrico de Porro

(anteojo de analatismo central)

Porro utilizó anteojos astronómicos l i t d j l i ió den los que introdujo la variación de

intercalar una nueva lente convergente, entre el objetivo y el retículo

Gracias a esta “lente analática” el punto analático pasó a coincidir con el centro del instrumentocon el centro del instrumento

25/02/2009 12Topografía I

ETSI Topografía G y C U.P.M.

Documento de trabajo del alumno Topografía I

290

13.3 Estadímetros de primera categoría con mira verticalA j di é iAnteojos estadimétricos

Anteojo de enfoque interno (prácticamente analático)Anteojo de enfoque interno (prácticamente analático)Los anteojos de analatismo central tenían un gran inconveniente

Al estudiar los anteojos de enfoque interno (A.E.I.) se razonó que, al intercalar una lente divergente en un anteojo astronómico, se obtenía mayor aumento a igualdad de longitud

Por el mismo razonamiento puede deducirse que si se intercalaraPor el mismo razonamiento puede deducirse que si se intercalara una lente convergente obtendríamos el resultado contrario

Un anteojo de Porro, de la misma longitud que uno astronómico, tiene menor aumento que éstetiene menor aumento que éste

Por ello la solución de Porro pronto cayó en desuso

Durante mucho tiempo se han utilizado, exclusivamente, anteojos de enfoque interno

Si bien no son de analatismo central, al considerarlos como tales, se comete un error tan pequeño que puede despreciarse

25/02/2009 13Topografía I

ETSI Topografía G y C U.P.M.

13.3 Estadímetros de primera categoría con mira verticalPrecisionesPrecisiones

En las estadías de primera categoría D = K · lPor tanto el error cometido en la medida de la distancia será dD = K · dldependiente del error cometido en la determinación de l

Si consideramos el el error cometido en la determinación de los límites superior e inferior de la porción, l, de regla interceptada

el = 2/3 · apreciaciónConsideraremos la apreciación igual a ½ p, siendo p la menor división de la graduación de la regla

. l

2 pe

3 2=

p3

=

Como para determinar l se realizan dos lecturas (hilos superior e inferior)

pdl 2

3= ⋅

En la práctica se conseguían precisiones decimétricas di t i d h t 300 d d li it d l l

⇒ pdD K 2

3= ⋅ ⋅

en distancias de hasta 300m, quedando limitado el alcance porla longitud de la regla graduadaLa correcta visibilidad

d bí di ti i di di i ió d l l

25/02/2009 14Topografía I

ETSI Topografía G y C U.P.M.

debía distinguirse media división de la regla

Documento de trabajo del alumno Topografía I

291

13.4 Estadímetros de segunda categoríaMira horizontal de invarMira horizontal de invar

La estadía horizontal de invar de longitud fija e igual a dos metros ha sido la realización más utilizada de estos estadímetrosSe ha empleado en mediciones de alta precisiónRequería la utilización de un teodolito que apreciara segundosLa mira se componía de un tuboLa mira se componía de un tubo en cuyo interior iba alojada una varilla de invar

El invar es una aleación de hierro y níquelEl invar es una aleación de hierro y níquel que tiene la propiedad de ser muy estable frente a los cambios de temperatura

25/02/2009 15Topografía I

ETSI Topografía G y C U.P.M.

13.4 Estadímetros de segunda categoríaMira horizontal de invarMira horizontal de invar

La mira se componía de un tubo en cuyo interior iba alojada una varilla de invar

En los extremos de la varilla a los que ha de dirigirse la visual q gse sitúan dos placas de puntería

D

El tubo es sustentado por un trípode con plataforma nivelanteEl tubo es sustentado por un trípode con plataforma nivelanteSe estaciona en un extremo, logrando la horizontalidad de la mira

Además debe quedar perpendicular a la dirección del teodolito, situado en el otro extremo de la línea que ha de medirse

25/02/2009 16Topografía I

ETSI Topografía G y C U.P.M.

situado en el otro extremo de la línea que ha de medirse

Documento de trabajo del alumno Topografía I

292

13.4 Estadímetros de segunda categoríaMira horizontal de invar O

AB

a o o ta de vaSea

O: Punto intersección del Eje Principal y el eje de colimación del teodolito

DA

Cy el eje de colimación del teodolito(centro del anteojo)

AB: Mira de longitud l(estacionada como se ha indicado)

Ba

bc

αα

O D

.

ab: Proyección de la mira sobre el plano horizontal que pasa por O

La distancia reducida D, buscada, se obtendrá por la expresión lD =

O

, , p p

que responde a la estudiada para la estadía de 2ª categoría

2 tg2α

⋅

K

α: ángulo paralácticol / 2

tg2 Dα=

que responde a la estudiada para la estadía de 2 categoría, sin más que hacer , K = l y h = 2 · tg α/2

Colimando los extremos de la mira A, B se mide el ángulo α

KD

h=

Diedro formado por los planos OAa y OBb, cuyo rectilíneo vale a O b = αα es siempre muy pequeño

Para obtener resultados de precisión su evaluación debe ser muy exacta, i d i i l d

25/02/2009 17Topografía I

ETSI Topografía G y C U.P.M.

siendo necesario apreciar el segundo

13.4 Estadímetros de segunda categoríaPrecisiones

KD

h=

K: constante estadimétrica

En los estadímetros de 2ª categoría la distancia queda determinada por la expresión

Para obtener el error se deriva respecto de la variable h

2

dD Kdh h

= −2

KdD dh

h⇒ = − ⋅

2

2

DK dh

K= − ⋅ ⋅ ⇒

2DdD dh

K= − ⋅

Ya hemos visto que con mira horizontal de invar, lD =

2dh h 2h 2KKh

D=

KEl error crece con el cuadrado de la distancia

la distancia puede obtenerse de la expresiónDonde K = l y h = 2 · tg α/2

2 tg2α

⋅

Por ser el ángulo paraláctico α muy pequeño podemos considerarPor ser el ángulo paraláctico, α, muy pequeño podemos considerarh 2 tg

2α

= ⋅ ⇒ h ≈ α

El error absoluto en la medida de una distancia valdrá2

2α

≈ ⋅2D

dD dl

= − ⋅ αPara el caso más frecuente de

Mira de longitud l = 2mObservando con un teodolito que aprecie 1 d d 1’’

l2D

400 000≈

2

abs

D 1e

2 206265= −

25/02/2009 18Topografía I

ETSI Topografía G y C U.P.M.

1 segundo, dα = 1’’ 400.0002 206265

Documento de trabajo del alumno Topografía I

293

13.4 Estadímetros de segunda categoríaP i iPrecisiones

La estadía de invar ha sido muy utilizada enLa estadía de invar ha sido muy utilizada en

Poligonaciones de precisión

Medición de bases topográficasMedición de bases topográficas

Directamente o con posterior ampliación trigonométrica

Aún después de la aparición de los distanciómetros electrónicos se siguió empleando en aplicaciones industriales

P did d di t i d ti di (h t 100 )Para medida de distancias de tipo medio (hasta 100m) que requirieran precisiones milimétricas

Desde hace más de una década los distanciómetros submilimétricosDesde hace más de una década los distanciómetros submilimétricos permiten la medida de distancias con precisiones superiores a 1mm

25/02/2009 19Topografía I

ETSI Topografía G y C U.P.M. Prg. A.T 14

Documento de trabajo del alumno Topografía I

294

Medida de Distancias IIIMedida de Distancias IIIMedida Electromagnética de distancias, M.E.D. ,

Unidad Temática VI

26/02/2009 1Topografía I

ETSI Topografía G y C U.P.M. Prg. A.

Documento de trabajo del alumno Topografía I

295

Documento de trabajo del alumno Topografía I

296

Unidad Temática VI Medida de distancias III Medida Electromagnética de distancias

Tema 14

Medida electromagnética de distancias I

Tema 15

Medida electromagnética de distancias II

25/02/2009 1Topografía I

ETSI Topografía G y C U.P.M. T 16Prg. A.

Unidad Temática VI. Avance de contenidos

Tema 14. Medida Electromagnética de distancias I F d tFundamento

Ecuación fundamental de los distanciómetros

Distancia límiteDistancia límite

Elección de las longitudes de ondaAlcance y precisionesAlcance y precisiones

Tema 15. Medida Electromagnética de distancias II Características de las ondas utilizadas Formas de propagaciónCaracterísticas de las ondas utilizadas. Formas de propagación

Equipos de medida

Errores instrumentalesErrores instrumentales

Correcciones a aplicar a las medidas

M.E.D. en el G.P.S.

25/02/2009 2Topografía I

ETSI Topografía G y C U.P.M. T 16Prg. A.

Documento de trabajo del alumno Topografía I

297

Documento de trabajo del alumno Topografía I

298

Medida ElectromagnéticaMedida Electromagnética de distancias I

Tema 14Tema 14

25/02/2009 5Topografía I

ETSI Topografía G y C U.P.M. Prg. A.

Tema 14M did El é i d di i IMedida Electromagnética de distancias I

14.1 Generalidades. Reseña histórica

14.2 Fundamento de la M.E.D.

14.3 Ecuación fundamental de los distanciómetros de ondaObtención, análisis y precisión

14.4 Utilización de dos longitudes de ondaDistancia límite

14.5 Elección de las longitudes de ondaAlcance, precisión y problemática planteada

14.6 Soluciones prácticasUtili ió d t á l it d d dUtilización de tres o más longitudes de onda

Longitudes de onda múltiplos de 10

Variación continua de la frecuencia

25/02/2009 6Topografía I

ETSI Topografía G y C U.P.M. Prg. A.T 15

Documento de trabajo del alumno Topografía I

299

Documento de trabajo del alumno Topografía I

300

14.1 Generalidades. Reseña históricaEn esencia los trabajos topográficos, desde un punto de vista práctico, se reducen a la medida de ángulos y distancias

La precisión obtenida en la medida de ángulos era suficiente desde los comienzos del siglo XX

En 1921 Wild construye el primer T 2En 1921 Wild construye el primer T 2

Sin embargo, hasta los años 70, 80, la medida de distancias con precisión centimétrica psolo se conseguía por métodos de trabajo muy lentos y costosos

Estadía hori ontal de in ar de seg nda categoríaEstadía horizontal de invar de segunda categoría

Ciertos instrumentos de medida directa

25/02/2009 9Topografía I

ETSI Topografía G y C U.P.M.

14.1 Generalidades. Reseña históricaEra, pues, patente la necesidad de un sistema que permitiera medir distancias aunando, simultáneamente, precisión y rapidez

En la década de los años 70 las técnicas de medición de distancias por emisión de ondas electromagnéticas revolucionaron la ciencia, métodos y práctica de la Topografía y la Geodesia

No obstante, su divulgación masiva no se produjo hasta finales de los años 80

25/02/2009 10Topografía I

ETSI Topografía G y C U.P.M.

Documento de trabajo del alumno Topografía I

301

14.1 Generalidades. Reseña históricaSegún la concepción actual de esta forma de medir distancias, podemos afirmar que comenzó a desarrollarse, lenta, pero firmemente tras finalizar la Segunda Guerra Mundialt as a a a Segu da Gue a u d aAunque, si buscamos los orígenes de las técnicas en que se ha basado el fundamento de los instrumentos de M.E.D., tendríamos que indagar en los estudios y experiencias que condujeron a determinar la velocidad de la luzestudios y experiencias que condujeron a determinar la velocidad de la luz, comenzados tres siglos atrás

En 1666 Isaac Newton realizo los primeros experimentos d i t i d l t l d l lde importancia acerca de la naturaleza de la luz, descomponiéndola en sus colores primarios y postulando su naturaleza corpuscular

D t d t i l XVII G lil i t tó di l l id d d l lDentro de este siglo XVII Galileo intentó medir la velocidad de la luz ...

...

Actualmente, y desde hace más de una década, en el campo de la y pTopografía y la Geodesia estas técnicas se han generalizado

Los anteriores métodos de medida de distancia han quedado anticuadosLa M E D es la forma convencional de medir distancias

25/02/2009 11Topografía I

ETSI Topografía G y C U.P.M.

La M.E.D. es la forma convencional de medir distancias

14.2 Fundamento de la M.E.D.

El fundamento de la M.E.D. consiste en la emisión de una radiación de longitud de onda y velocidad de propagación conocidasg y p p g

La radiación se emite en un extremo de la línea a medir y se refleja en el otro

Recogida de nuevo por el aparato emisor, en él se realiza la medida

D = n λ + Δ λ

Q

DP

Q

Por medios electrónicos se determina el desfase entre la onda emitida y la recibidaEvidentemente el desfase será proporcional al tiempo transcurrido

Y por tanto a la distancia

25/02/2009 12Topografía I

ETSI Topografía G y C U.P.M.

Y, por tanto, a la distancia

Documento de trabajo del alumno Topografía I

302

14.3 Ecuación fundamental de los distanciómetros de ondaDeterminación de ΔλDeterminación de Δλ

Se emite una onda sinusoidal en un punto P, extremo de una distancia a medir, D. D = PQ

P Q R

D2λ⎛ ⎞<⎜ ⎟

⎝ ⎠

Suponiendo D inferior a la mitad de la longitud de onda λ

Esta onda puede considerarse continua hasta un punto R, situado a una distancia 2D de P

D D

2⎜ ⎟⎝ ⎠

Suponiendo D inferior a la mitad de la longitud de onda λ,el valor de la amplitud de la onda emitida será

Ae = A0 · sen (ωt + ϕ0)f á

2 D

D D

T: PeríodoY la amplitud final de la onda seráAr = A0 · sen [ω (t + 2Δt) + ϕ0]

2 Δt es el tiempo que tarda la onda en llegar de P a R

ν: Velocidad de propagaciónλ: Longitud de onda

Ar = A0 · sen (ω t + 2ωΔt + ϕ0) = A0 · sen (ω t + ϕ + ϕ0)Entre la onda emitida y la recibida no hay más diferencia que un desfase ϕque está ligado a la distancia recorrida, 2D = PR

ϕ = 2ω Δt

Como 2Tπ

ω =

T λ2 D = ν · 2 Δt

π π ⋅ϕ = = ⇒

ν λ2 D 2 2D

2T

ϕ= λ

π2D

2

Para D inferior a la mitad de la longitud de onda λ

25/02/2009 13Topografía I

ETSI Topografía G y C U.P.M.

T ⋅ ν = λ onda λ

14.3 Ecuación fundamental de los distanciómetros de ondaLuego, midiendo el desfase se puede obtener la distancia D como una fracción de la longitud de onda emitida

No es posible comparar directamente los ángulos de fase

Q RP

No es posible comparar directamente los ángulos de fase en dos puntos separados grandes distancias

Por ello la señal que llega a Q se vuelve a transmitir a P D DEn P se mide la diferencia de fase, ϕ, de la onda emitida y la reflejada mediante un comparador de fase o fasímetro

La amplitud, A, de la onda a su llegada a R sería la misma que la que alcanzará en P después de reflejarse en Q sit ado a la distancia D de P

2 D

de reflejarse en Q, situado a la distancia D de P

Si ahora se coloca el reflector un número entero n de semilongitudes de onda

ϕ λ=

πD

2 2Si ahora se coloca el reflector un número entero, n, de semilongitudes de onda más alejado, respecto de su posición anterior, el desfase no varía

El recorrido, ahora, comprenderá la medida anterior más el número entero n de semilongitudes de onda

Ecuación fundamental de los distanciómetros de onda

D n2 2 2ϕ λ λ

= +π

más el número entero, n, de semilongitudes de onda

Así, resulta

25/02/2009 14Topografía I

ETSI Topografía G y C U.P.M.

de los distanciómetros de onda2 2 2π

Documento de trabajo del alumno Topografía I

303

14.3 Ecuación fundamental de los distanciómetros de ondaA áli i l ifi ió d l didAnálisis y clasificación de la medida

D n2 2 2ϕ λ λ

= +

Al tener dos incógnitas, D y n, la ecuación no tiene solución únicaEl d f id id d d f

2 2 2π

El desfase ϕ es conocido ya que se mide con un comparador de fase

Un distanciómetro no podrá medir con una sola longitud de onda más que el exceso sobre un número entero de longitudes de ondag

En principio, habremos de considerar, al menos, la emisión de dos ondas con frecuencias lo suficientemente próximas para que n sea el mismo en las dos medidaspara que n sea el mismo en las dos medidas

Llamando L al primer termino de la ecuación,

para las dos longitudes de onda emitidas las ecuaciones correspondientes serán

L2 2ϕ λ

=π

para las dos longitudes de onda emitidas, las ecuaciones correspondientes serán

11D L n

2λ

= + 22D L n

2λ

= +

25/02/2009 15Topografía I

ETSI Topografía G y C U.P.M.

2 2

14.3 Ecuación fundamental de los distanciómetros de ondaClasificación de la medidaClasificación de la medida

El estudio de la ecuación permite clasificar el método de medida

La medida consta de dos partes

A partir del primer término, L,se obtiene una parte de la distancia midiendo el desfase ϕ

D n2 2 2ϕ λ λ

= +π

Lϕ λ

D L n2λ

= +

se obtiene una parte de la distancia midiendo el desfase ϕ L2 2ϕ λ

=πLa medida del desfase, para obtener L,

puede considerarse como una medida indirecta de distancias P id l dif i d f d l d itid l fl j dya que en P se mide la diferencia de fase, ϕ, de la onda emitida y la reflejada

mediante un comparador de fase o fasímetro

En el segundo término, n · λ/2 , g , ,se compara la distancia a medir con el patrón, λ/2

Se trata, por tanto, de una medida directa de distancias

Se determinará el número n de veces que el patrón λ/2 está contenido en la distancia

Más adelante se verá que este patrón de medida es variable

Es función del índice de refracción de la atmósfera que es variable

25/02/2009 16Topografía I

ETSI Topografía G y C U.P.M.

Es función del índice de refracción de la atmósfera, que es variable

Documento de trabajo del alumno Topografía I

304

14.3 Ecuación fundamental de los distanciómetros de ondaPrecisión de la medidaPrecisión de la medida

La precisión que se puede esperar en la medida dependerá de L

2 2ϕ λ

=π

D L n2λ

= +2 2π

la precisión con que se mida el exceso de una semilongitud de onda, L

la precisión con que se conozca la longitud de onda, λ

2

El error de L, eL, es del orden de 10-3λ

Viene a ser la precisión del fasímetroSi se pretende una precisión del orden del cmSi se pretende una precisión del orden del cm,

se utilizará una longitud de onda de una decena de metros (10-3 · 10m = 1cm)

El error en la determinación de L interviene una sola vez en cada medida

La longitud de onda, λ, puede conocerse con una precisión relativa de 10-6λ

En la medida de una distancia el error proveniente por este motivo e intervieneEn la medida de una distancia el error proveniente por este motivo, eλ , interviene tantas veces como longitudes de onda estén comprendidas en dicha distancia

El error que afecta a la medida de la distancia será n/2 · eλ

l ú d il it d d d tá did l di t i

25/02/2009 17Topografía I

ETSI Topografía G y C U.P.M.

n es el número de semilongitudes de onda que están comprendidas en la distancia

14.3 Ecuación fundamental de los distanciómetros de ondaPrecisión de la medidaPrecisión de la medida

Es deseable que el error final en la distancia a medir venga influenciado de igual forma por los errores que afectan a cada uno de los dos sumandos, L y n· λ/2

En el ejemplo anterior la precisión pretendida es de 1 cm

En el primer término

10 l l it d d d d b á d l d d

D L n2λ

= +

para que eL ≈ 10 mm, la longitud de onda deberá ser del orden de

λ = 10 m

En el segundo término

El error relativo en λ será del orden de

eλ ≈ 10-6 · λ = 10-6 · 10m = 10 · 10-3mm

Para que el error en el 2º término sea del orden del cm debe ocurrir

n/2 · 10-3mm < 10mm

Para ello n/2 ha de ser menor que 1000

La distancia para la que n/2 es 1000, resulta D= 10km (ya que λ = 10m)

El error final en la distancia a medir será del orden del centímetro

Emitiendo con λ ≈ 10m

Para la medida de una distancia máxima de 10km

25/02/2009 18Topografía I

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Para la medida de una distancia máxima de 10km

Documento de trabajo del alumno Topografía I

305

14.3 Ecuación fundamental de los distanciómetros de ondaPrecisión de la medidaPrecisión de la medidaLa precisión de los aparatos de M.E.D. se proporciona en la forma de

Un valor fijo, en función de la determinación de ϕ λUn valor fijo, en función de la determinación de ϕ

Un valor variable, proporcional a la distancia medidaD L n

2λ

= +

Utilizando inadecuadamente la extendida nomenclatura

Ejemplos

Telurómetro M.R.A.1 ± (5 cm + 4 · 10-6D) ± (5 cm + 4 p.p.m.)

Geodímetro A G A 14 ± (5 mm + 10 10 6D) ± (5 mm + 10 p p m )

la extendida nomenclatura p.p.m.: partes por millón

Geodímetro A.G.A. 14 ± (5 mm + 10 · 10-6D) ± (5 mm + 10 p.p.m.)

Mekometer (submilimétrico) ± (0.2 mm + 2 · 10-6D) ± (0.2 mm + 2 p.p.m.)

En general, dependiendo de las distancias a medir para las que están g , p p qfabricados los instrumentos puede establecerse la relación,

Distancias cortas (hasta 5 Km apróx.): eL pequeño y eλ mayorDistancias largas (mayores de 5 Km): e mayor y e menor

25/02/2009 19Topografía I

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Distancias largas (mayores de 5 Km): eL mayor y eλ menor

14.4 Utilización de dos longitudes de ondaDistancia límiteDistancia límite

Utilizando una única longitud de onda no se puede calcular más que el exceso sobre un número completo de semilongitudes de onda

No es operativo, evidentemente, poder determinar, sólo, distancias inferiores a la semilongitud de onda emitida

Emitiendo dos ondas con frecuencias lo suficientemente próximas, p ,para que n sea el mismo en ambas medidas, puede plantearse un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas

De esta forma puede eliminarse la indeterminación n núme o ente o de De esta forma puede eliminarse la indeterminación

Siendo:D: distancia a medir

n: número entero de semilongitudes de onda contenidas en la distancia

11D L n

2λ

= +

λ1, λ2: longitudes de onda emitidas

Restando la 2ª ecuación de la 1ª

2

22D L n

2λ

= +

D D−0 = 1 21 2L L n

2 2λ λ⎛ ⎞= − + −⎜ ⎟

⎝ ⎠2 1

1 2

L Ln

2 2

−=

λ λ−

Al ser n conocido se elimina la indeterminación

25/02/2009 20Topografía I

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2 2 Al ser n conocido, se elimina la indeterminación

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306

14.4 Utilización de dos longitudes de ondaDistancia límite 1λDistancia límite Medición con λ1

n = 61 2 3 4 6

1

2λ

5

L1

(L1)1

1D L n2λ

= +L2 2ϕ λ

=π

2 3 4 62

2λ

Medición con λ2n = 6

5 L2

P Q

22D L n

2λ

= +2 2π

Distancia límite es aquella por debajo de la cual el número entero de semilongitudes de onda, n, es el mismo en las dos medidas efectuadas

1 n = 6(L2)

D

En la práctica, utilizando ócon las dos longitudes de onda próximas emitidas, λ1 y λ2

Para distancias menores de la distancia límite se podrán resolver las ecuaciones que determinan los valores de D y n

2 longitudes de onda próximas, el nº n dentro de la dist. límite, o bien es el mismo para ambas, o bien la variación de λ1 a λ2 es de una unidad, y en este caso está controlado

Medición con λ1n = 9

1

2 3 4 6 7 8 91

2λ 5

12 3 4 6 7 8 9 10

2

2λ

Medición con λ2n = 10

5D’

Q’P’

25/02/2009 21Topografía I

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1 n 10D

14.4 Utilización de dos longitudes de ondaCálculo del valor de la distancia límite con dos longitudes de ondaCálculo del valor de la distancia límite con dos longitudes de onda

Por lo tanto para la distancia límite, 11D L n

2λ

= +1 2D ( 1)

λ λSupuesto (1)

Para ello habrá que buscar un valor de n, tal que

22D L n

2λ

= +2

2L2λ

=

1 2LD n (n 1)

2 2λ λ

= ⋅ = + ⋅Supuesto λ2 < λ1

Esto se consigue haciendo 2 2

1 2 2n nλ λ λ

⋅ = ⋅ + 21 2

n( )

λ⇒ λ − λ = ⇒ 2n

λ=

Sustituyendo n en (1)

2 2 2 1 2( )2 2

⇒1 2λ − λ

2 1L

1 2

D2

λ λ= ⋅

λ − λ1 2

1 22 ( )λ ⋅ λ

=⋅ λ − λ

1 2L

1 2

D2 ( )

λ ⋅ λ=

⋅ λ − λ

Obtenemos así el valor de la distancia límite, en el cual tenemos

un número n de semilongitudes de onda, λ1/2

y un número (n + 1) de semilongitudes de onda λ2/2

25/02/2009 22Topografía I

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y un número (n + 1) de semilongitudes de onda, λ2/2

Documento de trabajo del alumno Topografía I

307

14.4 Utilización de dos longitudes de ondaCálculo del valor de la distancia límite con dos longitudes de ondaCálculo del valor de la distancia límite con dos longitudes de onda

A partir de esta distancia el número n sería diferente para la medición con cada una de las dos ondas emitidas

Se volvería a entrar en indeterminación

El sistema tendría, ahora, dos ecuaciones con tres incógnitas, D, n1 y n2

Por debajo de esta distancia n es el mismo para las medidas con λ1 y con λ2

Parece, en principio, que con dos longitudes de onda puede medirse una distancia, con la única condición ya expresada

Demostraremos no obstante que en la práctica no es operativoDemostraremos, no obstante, que en la práctica no es operativo

O bien los errores serían inadmisibles

O bien la distancia máxima, susceptible de ser medida, sería excesivamente pequeña

25/02/2009 23Topografía I

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14.5 Elección de las longitudes de ondaUna vez elegida la primera longitud de onda λ1, habrá que determinar la de λ2 de forma que se obtenga el número entero n sin ambigüedad

2 1

1 2

L Ln

2 2

−=

λ λ−g g

El valor obtenido para n, en general no entero como puede esperarse de su expresión analítica, deberá redondearse al entero más próximo, con la certeza de que el error en n sea menor que el redondeo

2 2

con la certeza de que el error en n sea menor que el redondeo

La ecuación que determina el error en n condicionará, una vez fijada la longitud de λ1, la longitud de λ2 de forma que el error máximo en la determinación del número n sea inferior a 0 2sea inferior a 0.2

[en]máx = 0.2

Así se podrá decidir, por exceso o por defecto, cúal es el valor de n, teniendo en cuenta que ha de ser un número entero y único

Acotando, pues el error en n:

L y L se obtienen a partir de las medidas de los desfases realizadas en el comparadorL1 y L2 se obtienen a partir de las medidas de los desfases, realizadas en el comparador de fase, con un e.m.c. eL

Se considera que λ1 y λ2 están exentas de error dada su muy superior precisión (1000 veces mayor) respecto de la de L

25/02/2009 24Topografía I

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(1000 veces mayor), respecto de la de L

Documento de trabajo del alumno Topografía I

308

14.5 Elección de las longitudes de onda2 1L L−

2El e.m.c. del numerador, L2 - L1, seráY el e.m.c. de n será

2 1

1 2

n

2 2

=λ λ

−2 1L L Le 2 e− = ⋅

Ln

2 ee

⋅=

λ λ

Considerando el error máximo 2.5 · en , resulta:

n1 2

2 2λ λ

−⋅ ⋅

=⎡ ⎤⎣ ⎦ λ λL

n max1 2

2.5 2 ee

Acotando el error máximo para que sea menor que 0.2

L

1 2

2.5 2 e0.2

⋅ ⋅≥

λ λ

(1)

⇒ λ − λ ≥ ⋅ ⋅1 2 L25 2 e

−1 2

2 2

Ejemplo

Elección de las longitudes de onda, λ1, λ2 para que eL no supere el centímetroDado que e = ± 10-3 · λ fijaremos λ = 103 · e = 10m

2 2− 1 2 L

Dado que eL = ± 10 3 · λ, fijaremos λ1 = 103 · eL = 10mPor tanto eL = 1cm y λ1 = 10.000000mDe la ecuación (1) obtenemos

2 5 2 1 2 5 2 1

Por tanto si λ =10 000000 m entonces λ ≤ 10 0 353553 = 9 646447m

1 2

2.5 2 10.2

2 2

⋅ ⋅≥

λ λ−

1 2

2.5 2 12

0.2⋅ ⋅

⇒ λ − λ ≥ ⋅ 35.35534cm=

25/02/2009 25Topografía I

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Por tanto si λ1=10.000000 m, entonces λ2 ≤ 10 – 0.353553 = 9.646447m

14.5 Elección de las longitudes de ondaAl i ió bl áti l t dAlcance, precisión y problemática planteada

Una vez elegidas las dos longitudes de onda λ1, λ2, el alcance vendrá limitado, en principio, por la distancia límite

1 2LD

2 ( )λ ⋅ λ

=λ λel alcance vendrá limitado, en principio, por la distancia límite

Con los datos del ejemplo anterior se tendríaNo hay ambigüedad en la determinación de n ya que [en]máx < 0.2

P i ió L d 1 λ 10

1 22 ( )⋅ λ − λ

Precisión en L de 1 cm, ya que λ = 10m

Pero la distancia límite es de, tan solo, 136mL

10 9.646447D

2 (10 9.646447)⋅

=⋅ −

De esta forma se obtiene una distancia límite demasiado pequeña y no resultaría eficaz

Para aumentarla, manteniendo [en]máx ≤ 0.2 , tendrá que aumentarse la longitud de onda λ1 y, por consiguiente, λ2

Esto conlleva el aumento de eL

Ejemplos con el fin de aumentar la distancia límite (Cálculo del error)j p ( )

Si λ1= 100.000000m; λ2 = 96.46447m, entonces DL ≈ 1364m, pero eL≈ 10cm

Si λ1= 1000.000000m; λ2 = 964.6447m, entonces DL ≈ 13642m, pero eL≈ 1m

Al conseguir distancias suficientemente grandes el error en L resulta inaceptable

25/02/2009 26Topografía I

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Al conseguir distancias suficientemente grandes, el error en L resulta inaceptable

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309

14.6 Soluciones prácticas

1 2L

1 2

D2 ( )

λ ⋅ λ=

⋅ λ − λL

1 2

2.5 2 e2

0.2⋅ ⋅

λ − λ ≥ ⋅⋅ ⋅

=⎡ ⎤⎣ ⎦ λ λ−

Ln max

1 2

2.5 2 ee

2 2La condición, ineludible, [en]máx = 0.2conlleva que la diferencia entre las longitudes de onda sea grande

2 2

Al mismo tiempo, para que la distancia límite sea grande, necesitamos que las dos longitudes de onda sean muy próximas

conlleva que la diferencia entre las longitudes de onda sea grande

Las 2 longitudes de onda deben ser muy parecidas y muy diferentesSi se consiguen distancias suficientemente grandes para que el sistema sea operativo, se plantea el problema de que el e.m.c. en L crece hasta alcanzar valores inaceptables en aplicaciones topográficas

Para resolver el problema planteado, si se utilizan únicamente dos longitudes de onda, existen tres soluciones posibles

Emisión de, al menos, tres longitudes de onda, que en ocasiones serán cuatro

Método de la longitudes de onda múltiplos de 10

Método de variación continua de la longitud de onda

25/02/2009 27Topografía I

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Método de variación continua de la longitud de onda

14.6 Soluciones prácticasEmisión de, al menos, tres longitudes de onda

Si se emiten tres ondas

Dos serán con longitudes muy similares y otra algo diferente

Con las dos primeras se consigue obtener una distancia límite grande

y con la tercera se elimina la incertidumbre en la determinación del número n de semilongitudes de onda contenidas en la distancia

En el caso de emitirse una cuarta onda

Las tres primeras serán de características similares a las expuestas en el caso anterior, de emisión de tres ondas

La cuarta tendrá una pequeña diferencia con la tercera

Esta cuarta servirá para elevar la longitud de la distancia a medir

Basándose en un caso práctico se verá como puede obtenerse una distancia límiteBasándose en un caso práctico se verá como puede obtenerse una distancia límite grande (y como puede aumentarse, aún mas) obteniéndose, a su vez, el número n sin ambigüedad

25/02/2009 28Topografía I

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310

14.6 Soluciones prácticasE i ió d l l i d d dEmisión de, al menos, tres longitudes de onda

Algunos de los geodímetros de la casa AGA utilizan las siguientes longitudes de onda

λ1 = 10,000000m λ3 = 9,523808m

λ2 = 9,975064m λ4 = 9,534411m

Las distancias límite que se obtienen con las parejas [λ λ ] y [λ λ ] sonLas distancias límite que se obtienen con las parejas [λ1 , λ2] y [λ1 , λ3] son, respectivamente

1 2Dλ ⋅ λ

2000m 1 3Dλ ⋅ λ

1001,2

1 2L

1 2

D2 ( )

=⋅ λ − λ

2000m≈1,3

1 3L

1 3

D2 ( )

=⋅ λ − λ

100m≈

Si la distancia a medir fuese superior a DL1,2 , con [λ1 , λ2] , se podrá medir la magnitud d d ú t d Dque exceda de un número entero de DL1,2

Si la distancia fuese de 3560m, con [λ1 , λ2]

la medida resultante será 1560m

Análogamente, con [λ1 , λ3] la distancia resultante sería el exceso sobre un número entero de hectómetros

Para el ejemplo considerado con [λ1 , λ3] la medida resultante será 60m

25/02/2009 29Topografía I

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Para el ejemplo considerado con [λ1 , λ3] la medida resultante será 60m

14.6 Soluciones prácticasEmisión de al menos tres longitudes de onda Determinación de nEmisión de, al menos, tres longitudes de onda. Determinación de n

Considerando eL1≈ eL2 ≈ eL3 ≈ eL = ± 1cm (λ1 ≈ λ2 ≈ λ3 ≈ λ ≈ 10m)

Para la pareja λ λ el error en el número de semilongitudes de onda (n) vendrá dado por

λλ11 = 10,000000m= 10,000000mλλ2 2 = 9,975064m= 9,975064mλλ33 = 9,523808m= 9,523808m

Para la pareja λ1 , λ2 , el error en el número de semilongitudes de onda (n) vendrá dado por

2 0.0110 9.975064

⋅=λ λ

⋅=⎡ ⎤⎣ ⎦ λ λ1 2

Ln

1 2

2 ee = 1.1 unidades

10 9.9750642 2

−λ λ

−1 2

2 2

{ }λ λ λ λ= ⋅ = ⋅ =⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦1 2 1 2n nmaxe 2.5 e 2.5 1.1 2.75 unidades

Se puede considerar ≈ 3 unidades de n

Para la pareja λ1 , λ3 , el error en el número de semilongitudes de onda (n’) vendrá dado por

{ }λ λ⎡ ⎤⎣ ⎦ 1 2n maxe

p j 1 3 g ( )

λ λ

⋅ ⋅= = =⎡ ⎤⎣ ⎦ λλ −−

1 3

Ln'

31

2 e 2 0.01e 0.06 unidades

10 9.5238082 22 2

{ }λ λ λ λ= ⋅ = ⋅ =⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦1 3 1 3n' n'max

2 22 2e 2.5 e 2.5 0.06 0.15 unidades

25/02/2009 30Topografía I

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311

14.6 Soluciones prácticasEmisión de al menos tres longitudes de onda Determinación de nEmisión de, al menos, tres longitudes de onda. Determinación de n

λλ11 = 10,000000m= 10,000000mλλ2 2 = 9,975064m= 9,975064mλλ = 9 523808m= 9 523808m

Luego para la pareja λ1 , λ2 ,el número n obtenido, na, es sólo aproximado

λλ33 = 9,523808m= 9,523808m

na = entero más próximo a −

λ λ−

2 1

1 2

L L

Mientras que para la pareja λ1 , λ3 ,el número n obtenido, n’, es exacto

2 2

n’ = entero más próximo a−

λλ3 1L L

λλ− 31

2 2

25/02/2009 31Topografía I

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14.6 Soluciones prácticasEmisión de al menos tres longitudes de onda Obtención de las distanciasEmisión de, al menos, tres longitudes de onda. Obtención de las distanciasEl par λ1,λ2 proporcionará una distancia, Da, aproximada, inferior a la distancia límite correspondiente [2000m]

λλ11 = 10,000000m= 10,000000mλλ2 2 = 9,975064m= 9,975064mλλ = 9 523808m= 9 523808mλλ33 = 9,523808m= 9,523808mλ λ

= + = +1 2a 1 a 2 aD L n L n

2 2El error en n (3 unidades) representa un error en la distancia de 5, 10 ó hasta 15 metros

El par λ1,λ3 proporcionará una distancia, D100, i f i l di t i lí it di t [100 ] i d

El error en n (3 unidades) representa un error en la distancia de 5, 10 ó hasta 15 metros en el sumando n · λ/2 por lo que no se considera la influencia del error de las otras variables en la precisión

inferior a la distancia límite correspondiente [100m] pero no aproximadaλλ

= + = + 31100 1 3D L n' L n'

2 2D no es aproximada porque el valor n’ es correcto y únicoD100 no es aproximada porque el valor n es correcto y único

La precisión de D100 vendrá dada por

eL1 ≈ eL3 ≈ 1cm (para el primer sumando) 10 (para el segundo sumando)

La situación más desfavorable se dará para D100 ≈ 100m

En ese caso n’ = 20 y el error sería:

λ λ

−≈ ≈ ⋅ ⋅1 32 2

6n' n'

10e e n' 10

2

λ λ

− −≈ ≈ ⋅ ⋅ = ⋅6 4n' n'

10e e 20 10 1 10 m

2

25/02/2009 32Topografía I

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En ese caso n 20 y el error sería:λ λ1 32 2

n n 2

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312

14.6 Soluciones prácticasi ió d l l i d d dEmisión de, al menos, tres longitudes de onda

Algoritmo para obtener la distancia

Si l ál l d D h bi i fl id i dSi en el cálculo de Da no hubiese influido ninguna causa de error y se hubiera obtenido un valor de n exacto, entonces

La diferencia δ = Da – D100 sería un número entero de hectómetros

Con un error del orden del centímetro debido a la precisión en L

La precisión en n · λ/2 es considerablemente mejor (del orden de los 2mm)

La situación más desfavorable se dará para la máxima distancia observable D ≈ 2000mLa situación más desfavorable se dará para la máxima distancia observable, Da ≈ 2000m

En ese caso n ≈ 2000/5 y el error será del orden de 2 · 10-3m (400 · 10-6 · 10/2m)

Pero esa diferencia, δ , puede variar de 5 a 15m (por lo expuesto antes)

La distancia definitiva se obtiene mediante el siguiente algoritmo

A partir de la δ obtenida se adopta una δredon

que será el valor de δ redondeada al hm más próximoque será el valor de δ redondeada al hm más próximo

La distancia final a considerar será D3 = δredon + D100

Con un e.m.c. del orden del centímetro

25/02/2009 33Topografía I

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14.6 Soluciones prácticasi ió d l l i d d dEmisión de, al menos, tres longitudes de onda

Algoritmo para obtener la distancia

Obtención de n exacto para el par λ λObtención de n exacto para el par λ1,λ2

Con el valor de D3 obtenido se escriben las ecuaciones de la distancia para λ1 y λ2 respectivamente

( )λ 2 D L( )

( )

−λ= + ⇒ = ⇒

λ

−λ

aprox

3 113 1 1 1

1

3 22

2 D LD L n n n

2

2 D LD L

(redondeando al entero más próximo)

( d d d l á ó i )( )λ

= + ⇒ = ⇒λaprox

3 223 2 2 2

2

D L n n n2

Y por fin se ve que n1 = n2 = n

(redondeando al entero más próximo)

λ= + 1

1 1D L n2Por lo tanto las distancias correctas para λ1 y λ2 serán

Obtención de la distancia definitiva:

λ= + 2

2 2

2

D L n2

Y el error en D resulta:

+ += 1 2 3D D D

D3 − λ⎛ ⎞= ± + ⋅ ⋅⎜ ⎟λ⎝ ⎠

6D L

De e 10

/2 2

25/02/2009 34Topografía I

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⎝ ⎠/

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313

14.6 Soluciones prácticasE i ió d l t l it d d dEmisión de, al menos, tres longitudes de onda

Ejemplo de aplicación

Consideremos que la distancia exacta, a medir, es 1597.32m Supongamos los valores obtenidos para Da y D100

Da = 1607.33 (error máximo 15m)

D100 = 97.31Se producirán diferencias del orden del cm 100

La diferencia δ = Da – D100 seráδ = 1607.33 - 97 31 = 1510.02m

Al redondear δ al hm más próximo obtendremos δ = 1500m

del orden del cm debidas a los errores en L y en n· λ/2

Al redondear δ, al hm más próximo, obtendremos δredon = 1500m

Finalmente, la distancia se obtiene comoD3 = δredon + D100 = 1500m + 97.31m ⇒ D3 = 1597.31m

S h l bt id D DSupongamos, ahora, valores obtenidos para Da y D100

Da = 1582.31 (error máximo 15m)

D100 = 97.33

La diferencia, δ = Da – D100 , será δ = 1582.31 - 97 33 = 1484.98m

Al redondear δ, al hm más próximo, obtendremos δredon = 1500m

Finalmente, D3 = δredon + D100 = 1500m + 97.33m ⇒ D3 = 1597.33m

25/02/2009 35Topografía I

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, 3 redon 100 3

14.6 Soluciones prácticasEmisión de, al menos, tres longitudes de ondaEn ocasiones pueden ser cuatro

Si la distancia a medir es superior a DL12 (2000m en nuestro ejemplo)

Se recurre a la cuarta longitud de onda λ4g 4

Así se puede determinar el número de intervalos de 2000m contenidos en la distancia

λλ11 = 10,000000m= 10,000000mλλ = 9 975064m= 9 975064mλλ2 2 = 9,975064m= 9,975064mλλ33 = 9,523808m= 9,523808mλλ44 = 9,534411m= 9,534411m

25/02/2009 36Topografía I

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314

14.6 Soluciones prácticasMé d d l l i d d d úl i l d 10Método de las longitudes de onda múltiplos de 10

Este método está basado en la emisión de ondas crecientes en longitud y múltiplos de 10

D n2 2 2ϕ λ λ

= +π

λCon cada una de ellas se mide solamente el desfase, ϕ, calculando el primer término, L, de la ecuación fundamental

L2 2ϕ λ

=π

Se comienza la medida con una onda cuya longitud sea aproximadamente de 20mSe comienza la medida con una onda cuya longitud sea, aproximadamente de 20m ( λ1 / 2 = 10m)

Con ella se obtendrá L10

L10 es la porción de distancia que sobrepasa a un número entero de decámetros

Cualquiera que sea la longitud a medir L10 está comprendida entre 0 y 10mCon un error medio cuadrático de 2cm ⇒ 0.00 < L10 < 10.00

S l if di t l t d í t tí tSe conservan las cifras correspondientes al metro, decímetro y centímetro

Consideraremos el ejemplo siguiente, con D = 294.83m L10 = 4.83m ± 2cm

λ1 = 20m L10

100m10 λ1/2

200m20 λ1/2

300m30 λ1/2

25/02/2009 37Topografía I

ETSI Topografía G y C U.P.M.

D

14.6 Soluciones prácticasMétodo de las longitudes de onda múltiplos de 10Método de las longitudes de onda múltiplos de 10A continuación se emite una segunda onda cuya longitud será de 200m ( λ2 / 2 = 100m)

Se obtiene L100, comprendida entre 0 y 100m ϕ λ λD n

2 2 2ϕ λ λ

= +π

Lϕ λ

L100 es la porción de distancia que sobrepasa un nº entero de hectómetros Con un error medio cuadrático de ±20cm ⇒ 0.0 < L100 < 100.0

Esta medida proporciona la cifra de los decámetros, exenta de errorL

2 2ϕ

=π

p p

Con una tercera onda λ3 = 2000m, se obtiene L1000

L1000 proporciona los hectómetros exentos de error

Análogamente con λ4 = 20000m, se obtiene L10000 y la cifra de los kilómetros

λ3 = 2000m

L10 = 4.83m ± 2cm

λ1 = 20m

L10

λ2 = 200m D = 294.83m ± 2cm

D 294 83

100m10 λ1/2

200m20 λ1/2

300m30 λ1/2

L100 = 94.83m ± 20cm

L1000 = 294.83m ± 200cm

25/02/2009 38Topografía I

ETSI Topografía G y C U.P.M.

D = 294.83

Documento de trabajo del alumno Topografía I

315

14.6 Soluciones prácticasMét d d i ió ti d l l it d d dMétodo de variación continua de la longitud de onda

D nϕ λ λ

= + Lϕ λ

Las longitudes de onda podrán, en este método, ser variadas por el operador

D n2 2 2

= +π

L2 2

=π

Para lograrlo se utiliza un circuito de frecuencia variable, midiéndose con precisión los distintos valores de λ

En la práctica se operaría de la siguiente manera:En la práctica se operaría de la siguiente manera:

Una vez situados correctamente, sobre los extremos de la línea a medir, el distanciómetro y el reflector, el operador variará la longitud de onda hasta conseguir que el comparador de fase marque cerohasta conseguir que el comparador de fase marque cero

En ese momento el desfase será nulo y por tanto L1 = 0

La distancia tendrá un número entero de semilongitudes de onda λ1

1D n2λ

= ⋅Se desconoce tanto D, como n

25/02/2009 39Topografía I

ETSI Topografía G y C U.P.M.

14.6 Soluciones prácticasMét d d ri ió ti d l l it d d dMétodo de variación continua de la longitud de onda

D n2 2 2ϕ λ λ

= +π

L2 2ϕ λ

=π2 2 2π 2 2π

Después de conseguir un L = 0, se sigue disminuyendo la longitud de onda, aumentando la frecuencia de las oscilaciones, hasta que el comparador de fase marque el siguiente nulo consecutivosiguiente nulo consecutivo

Siendo λ2 el valor de esta longitud de onda, se cumple2D (n 1)

2λ

= + ⋅2λY como ya se sabe 2

1 2

nλ

=λ − λ

Puede obtenerse la distancia, D

Y como ya se sabe

1D n2λ

= ⋅ 2 1

1 2 2λ λ

= ⋅λ − λ

1 2

1 2

D2 ( )

λ ⋅ λ=

⋅ λ − λ

Este método no tiene aplicación práctica, actualmente, debido a la delicadeza y carestía del circuito de frecuencia variable

Se consiguen las mismas prestaciones que empleando tres longitudes de onda diferentes o que con el método de longitudes de onda múltiplo de 10

25/02/2009 40Topografía I

ETSI Topografía G y C U.P.M.

o que con el método de longitudes de onda múltiplo de 10

Prg. A.T 15

Documento de trabajo del alumno Topografía I

316

Medida ElectromagnéticaMedida Electromagnética de distancias (II)( )

Tema 15Tema 15

20/02/2009 1Topografía I

ETSI Topografía G y C U.P.M. Prg. A.

Tema 15M did El t éti d di t i IIMedida Electromagnética de distancias II

15.1 Características de las ondas utilizadas15.2 Formas de propagación

Frecuencias inferiores a 30MHz ( λ > 10m )Frecuencias superiores a 30MHz ( λ < 10 m )

15.3 Equipos de medidaTipos, ClasificaciónCalibraciónCalibración

Error de escalaError de cero

15 4 Correcciones a aplicar a las medidas15.4 Correcciones a aplicar a las medidasPor variación de la velocidad de propagaciónPor curvatura de la trayectoria

15.5 Consideraciones sobre la determinación del índice de refracción

15 6 Medida electromagnética de distancias en el G P S

20/02/2009 2Topografía I

ETSI Topografía G y C U.P.M.

15.6 Medida electromagnética de distancias en el G.P.S.

Prg. A.T 16

Documento de trabajo del alumno Topografía I

317

Documento de trabajo del alumno Topografía I

318

15.1 Características de las ondas utilizadasDi ió di i ió dif ióDispersión, disipación, difusión

Uno de los principales problemas de los distanciómetros es conseguir que la onda reflejada sea recibida por el instrumento con la suficiente energíapara asegurar un correcto funcionamiento del aparato

La energía producida en un movimiento ondulatorio se propaga en todas direcciones yLa energía producida en un movimiento ondulatorio se propaga en todas direcciones y se distribuye sobre una superficie que crece con el cuadrado de la distancia al origen, dando lugar a una fuerte dispersión que resta energía a la onda emitida

Otra causa de disminución de la energía es la disipación,debida a que el medio en el cual se propaga la onda no es perfectamente elástico, o no puede asegurarse que se comporte como tal

Otro fenómeno que resta energía a la onda es el de difusión, por el cual las pequeñas partículas contenidas en el medio de propagación (y cuyas magnitudes son próximas a la longitud de onda) se convierten en la sede(y cuyas magnitudes son próximas a la longitud de onda) se convierten en la sede de reflexiones y refracciones que van absorbiendo la energía contenida en el flujo principal de la onda

20/02/2009 5Topografía I

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15.1 Características de las ondas utilizadasDi ióDispersión

Para evitar la dispersión, en el caso de los distanciómetros que utilizan ondas l t éti é t í d delectromagnéticas, éstas se envían condensadas

En un estrecho ángulo sólido, con aumento de la frecuencia, usando una antena muy direccional

Las ondas más indicadas son las de longitud comprendida entre 1 y 3cm (correspondiente a frecuencias entre 30000 y 10000MHz)

El problema de condensar la onda electromagnética se resuelve muy fácilmente p g ysi se utilizan ondas de este espectro luminoso mediante un sistema óptico

En el caso de emisiones coherentes, como por ejemplo el láser, se logra la condensación sin necesidad de sistema ópticosin necesidad de sistema óptico

La utilización de ondas de longitudes tan cortas, (entre 0.4μ y 0.7μ para el láser), hace problemático

el cálculo del número n de semilongitudes de onda

y el funcionamiento del comparador de fase

Las longitudes de onda más adecuadas son las del orden del decámetro (frecuencia sobre los 30MHz)

20/02/2009 6Topografía I

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Documento de trabajo del alumno Topografía I

319

15.1 Características de las ondas utilizadasDi ióDispersión

Para conciliar las dos exigencias se recurre,

Onda moduladora

en MED, a la modulación de una onda luminosa (o próxima a la zona luminosa del espectro),de fácil condensación

λm

Onda portadora

Se dice que una onda está modulada cuando se hace variar con el tiempo, siempre dentro de unos límites,

p

siempre dentro de unos límites, una característica de esta onda con una ley periódica que corresponde otra onda de longitud más elevadag

Cuando se modula en amplitud, ésta es la característica que se hace variar con el tiempo, siguiendo una ley sinusoidal p , g y

Equivale, físicamente, a propagar una onda (moduladora) de longitud λm que es la utilizada para la medida, sobre el soporte de otra onda (portadora) de longitud λ (λ < λm)

Onda modulada

20/02/2009 7Topografía I

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para la medida, sobre el soporte de otra onda (portadora) de longitud λ (λ λm)

15.1 Características de las ondas utilizadasDi ióDispersión

En general, la modulación en amplitud es el método utilizado en los distanciómetros usados en topografía

El problema de la dispersión también podría resolverse modulando la frecuencia

usados e opog a a

Consiste en alterar, dentro de ciertos límites, esta característica de la onda portadora, permaneciendo inalterada en amplitud

Los dos tipos de modulación serían equivalentes desde un punto de vista de la medida de distancias

Suponen, solamente, diferencias en los circuitos electrónicos

La modulación de una radiación luminosa (o próxima) puede serModulación indirecta de la luz

La fuente luminosa emite un haz constante de intensidadLa fuente luminosa emite un haz constante de intensidad y otro dispositivo modula la intensidad según la ley requerida

Modulación directa de la luzLa fuente luminosa es la que varía la intensidad de la radiación según una cierta ley

20/02/2009 8Topografía I

ETSI Topografía G y C U.P.M.

La fuente luminosa es la que varía la intensidad de la radiación según una cierta ley

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320

15.1 Características de las ondas utilizadasDifusión

El problema de la difusión podrá paliarse en parteEl problema de la difusión podrá paliarse, en parte, utilizando emisiones de ondas cuya longitud difiera, en lo posible, del tamaño de las partículas que más comúnmente flotan en la atmósfera

En la atmósfera terrestre, debido a la difusión de la radiación en partículas en suspensión y a otras causas, existen lo que se denominan bandas de absorciónexisten lo que se denominan bandas de absorción

Se ven muy afectadas las frecuencias:

Banda EHF (30 a 300GHz) y λ aproximadas de 1cm a 1mmBanda EHF (30 a 300GHz) y λ aproximadas de 1cm a 1mm

Banda infrarroja, a excepción de las emisiones próximas a la luz visible

20/02/2009 9Topografía I

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15.1 Características de las ondas utilizadas“Ventanas” disponibles para la medida:

Ondas de radioMicroondas radioeléctricasInfrarrojo y luz visible

E t l t étiEspectro electromagnético

Longitudes de onda, λ, (metros)

105 104 103 102 10 1 10-1 10-2 10-3 10-4 10-5 10-6 10-710 10 10 10 10 1 10 10 10 10 10 10 10

L i ibl

Infrarrojo

Ondas de radio1.2 μ > λ > 0.7 μ

VLF LF MF HF VHF UHF SHF EHFmicroondas

radioeléctricas

100 1 10 1 10 100 1 10KHz MHz MHz GHz THz THz

Luz visible1 m > λ > 1 cm

THzTHz100 100MHz GHz

10KHz GHz

1000

0.7 μ > λ > 0.4 μ

Frecuencias (Hertzios)104 106 109 1012 1015

20/02/2009 10Topografía I

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321

15.2 Formas de propagaciónLargas distanciasLargas distancias

La propagación de las ondas electromagnéticas depende, principalmente, de la frecuencia de la radiación y de la naturaleza de la atmósfera terrestre

S ú l f i d id d f d t lSegún la frecuencia pueden considerarse dos casos fundamentales

Frecuencias inferiores a 30MHz ( λ > 10m )

IonosferaIonosfera

Onda curva o de superficie

Superficie terrestreOnda directa

Superficie terrestre

La onda importante es la onda curva o de superficieSe ajusta, aproximadamente, a la curvatura terrestrej , p ,La medida no exige intervisibilidad (Permite medir grandes distancias)

La onda reflejada en la ionosfera puede dar lugar a perturbacionesLa onda directa es posible si no lo impide la curvatura terrestre

20/02/2009 11Topografía I

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La onda directa es posible si no lo impide la curvatura terrestre

15.2 Formas de propagaciónCortas distanciasCortas distancias

Frecuencias superiores a 30MHz ( λ < 10m )Dispersión Difusióno

Onda directaOnda directa

Superficie terrestreLa onda principal es la onda directaExige intervisibilidad (la distancia a medir queda limitada)

Otras ondas son resultado de reflexiones y difusionesOtras ondas son resultado de reflexiones y difusionesen la superficie terrestreproducidas en la atmósfera, partículas en suspensión, etc.

E t f i l T fíEstas frecuencias se emplean en TopografíaEn los actuales distanciómetros (geodímetros)Y en los distanciómetros que se usaron en Geodesia (telurómetros) hasta que quedaron desplazados por los equipos de G P S

20/02/2009 12Topografía I

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hasta que quedaron desplazados por los equipos de G.P.S.

Documento de trabajo del alumno Topografía I

322

15.3 Equipos de medidaClasificación según la longitud de onda emitida

La elección del tipo de onda emitida en M.E.D. es de gran importanciaLa elección del tipo de onda emitida en M.E.D. es de gran importanciaAtendiendo a la longitud de onda puede efectuarse la siguiente clasificación

Equipos de ondas de radio de gran longitudLongitudes de onda de cientos de metros

Medida de muy grandes distancias en aplicaciones fuera de los campos de la Topografía y Geodesia

Equipos de microondas radioeléctricas. TelurómetrosLongitudes de onda comprendidas entre 1cm y 1m

Medida de lados geodésicos con precisión decimétrica Desplazado por la metodología GPS

Equipos electro ópticos. Geodímetrosq p pOndas correspondientes o próximas a la luz visible, de longitudes comprendidas entre 0.4μ y 1.2μ

Medidas topográficas con precisión milimétrica/centimétrica

20/02/2009 13Topografía I

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Medidas topográficas con precisión milimétrica/centimétrica

15.3 Equipos de medidaEquipos de ondas de radio de gran longitud ( λ > 100m)

Son los instrumentos más potentes pero los menos precisos

Ll l ilé i t d l l it d d dLlegan a asegurar la milésima parte de la longitud de onda

Utilizan la onda de superficie como forma de propagaciónSe pueden medir distancias entre puntos no intervisiblesp p

La medida se puede ver perturbada por ondas reflejadas

Los campos de aplicación son, fundamentalmente,T did d bl i t ti t lTendido de cables intercontinentales

Investigaciones oceanográficas

Navegación

Desde el punto de vista geométrico y de funcionamiento pueden agruparse en diferentes categorías o sistemas

Sistemas circulares

Sistemas hiperbólicos

Sistemas circulares-hiperbólicos

Sistemas hiperbólico elípticos

20/02/2009 14Topografía I

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Sistemas hiperbólico-elípticos

Documento de trabajo del alumno Topografía I

323

15.3 Equipos de medidaEquipos de microondas radioeléctricas (1cm < λ < 1m)

Son los equipos llamados telurómetrosRemote

Utilizan, en general, el rayo directoEn ocasiones puede verse perturbado por reflexiones en el terreno

Master

por reflexiones en el terrenoFundamentalmente si se mide sobre agua

La fuente de radiación se encuentra situada en el foco de un reflector parabólico d ñ l f t t di i l

D

que produce una señal fuertemente direccionalEl cono de dispersión es función de

Las dimensiones del reflector

La longitud de onda λ

El equipo consta deUna estación emisora (master)Una estación emisora (master)

Una estación reflectora (remote), que es activa

Ambas estaciones son idénticas

20/02/2009 15Topografía I

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15.3 Equipos de medidaEquipos de microondas radioeléctricas (1cm < λ < 1m)

La estación master emite una onda que es recogida por la estación remote

La estación remote procesa y amplifica la energía de la ondaY la emite, a su vez, a la estación master, en el mismo momento de la fase que cuando la recibió

La estación master determina la diferencia de fase ϕ Remote

Master

D

Al ser los equipos idénticos pueden actuar, indistintamente, como estación principal y secundaria (master y remote)

Es posible invertir el sentido de la medición y comprobar resultados

D

20/02/2009 16Topografía I

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Es posible invertir el sentido de la medición y comprobar resultados

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324

15.3 Equipos de medidaEquipos de microondas radioeléctricas (1cm < λ < 1m)Ventajas

Al utilizar onda corta pueden aprovecharse para la transmisiónAl utilizar onda corta pueden aprovecharse para la transmisión telefónica de enlace entre las dos estaciones

Pueden trabajar a cualquier hora del día o la noche sin que se limite su gran alcanceq g

La medida puede realizarse aun en condiciones atmosféricas adversasPolvo en suspensión, niebla ...

No es necesario hacer una puntería fina para medirNo es necesario hacer una puntería fina para medir

InconvenientesLa precisión de las medidas es una precisión media debido a que

Se utilizan longitudes de onda grandes

El índice de refracción tiene una gran influenciaPrincipalmente por ser muy sensibles estas ondas a la humedad

V í l l id d d ióVaría la velocidad de propagación

Salvo en trabajos de poca precisión siempre será necesario corregir la distancia por “factores meteorológicos”

(Diapositiva 25)

20/02/2009 17Topografía I

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(Diapositiva 25)

15.3 Equipos de medidaEquipos electro ópticos (0.4μ < λ < 1.2μ)

Son llamados geodímetros. Pueden subdividirse, a su vez, en dos gruposInfrarrojos: 0.7μ < λ < 1.2μ

Luz visible: 0.4μ < λ < 0.7μ

DD

La radiación se emite en un extremo de la línea a medir y se refleja en el otroLa radiación se emite en un extremo de la línea a medir y se refleja en el otro (donde se sitúa un reflector pasivo)

Recogida de nuevo por el aparato emisor, en él se realiza la medida

20/02/2009 18Topografía I

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325

15.3 Equipos de medidaEquipos electro ópticos (0.4μ < λ < 1.2μ)

Infrarrojos: 0.7μ < λ < 1.2μUtilizanUtilizan

Radiaciones del espectro correspondiente a la banda del infrarrojoY las radiaciones más próximas a la luz visible

L t ó f t b ió d í t b dLa atmósfera presenta gran absorción de energía en esta banda

El alcance queda limitado por la baja potencia de las fuentes emisorasSon diodos de arseniuro de galio

L l tá d tá l d d l 5kLos alcances estándar están en el orden de los 5kmNo obstante se construyen equipos que llegan a los 12/15km, en el mejor caso

Los distanciómetros utilizados actualmente en Topografía son de este tipoLuz visible: 0.4μ < λ < 0.7μ

Utilizan, en general, la zona del espectro de luz visibleEn particular el láser de color rojo-anaranjadop j j

Por ser el de menor absorción de energía por la atmósfera

El alcance llega a unos 40km, con gran precisiónPor ello se han utilizado, fundamentalmente, en Geodesia

20/02/2009 19Topografía I

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, ,

15.3 Equipos de medidaEquipos electro ópticos (0.4μ < λ < 1.2μ)

VentajasElevada precisión de las medidasElevada precisión de las medidas

Al verse poco afectada la velocidad de propagación con las variaciones del índice de refracción de la atmósfera

Se ven poco afectados por ondas reflejadas o por posibles desvíos o reflexiones, de la onda, p p j p pen zonas de bosque o en el sueloEl reflector, de tipo pasivo, es muy ligero

InconvenientesEl mayor inconveniente es el alcance limitado, debido a

La absorción de energía por la atmósferaLa difusión al incidir la onda en partículas en suspensiónTodo ello afecta más con sol. Se consiguen mayores alcances por la noche

En condiciones atmosféricas adversas no es posible proceder a la medidaNiebla, partículas, lluvia

El tener que hacer una puntería fina para poder efectuar la medida no supone un gran inconveniente, ya que

En general las distancias no son muy grandesEn los equipos láser facilita la puntería el potente rayo de luz visible

20/02/2009 20Topografía I

ETSI Topografía G y C U.P.M.

En los equipos láser, facilita la puntería el potente rayo de luz visible

Documento de trabajo del alumno Topografía I

326

15.3 Equipos de medidaCalibración

En el próximo epígrafe 15 4 dedicado a correcciones se estudiaránEn el próximo epígrafe 15.4, dedicado a correcciones, se estudiarán las fuentes que pueden provocar errores en la medida de distancias que son extrínsecos al instrumento

En este epígrafe se estudiarán posibles fuentes de error, que inciden también en la calidad de la medida, pero intrínsecos al instrumento utilizado

Podrán corregirse o paliarse tras una serie de calibracionesPodrán corregirse o paliarse tras una serie de calibraciones

Éstas permitirán conocer, lo más exactamente posible, el estado del distanciómetro

El fin perseguido por la calibración es intentar cuantificar cada uno de los errores, ti d it i l h i t t d i i i t d l i d f t da partir de situaciones en las que se ha intentado minimizar toda la serie de fuentes de error

20/02/2009 21Topografía I

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15.3 Equipos de medidaCalibración. Error de escala

Es debido al hecho de que la frecuencia de modulación emitida no correspondeEs debido al hecho de que la frecuencia de modulación emitida no corresponde, exactamente, con el valor previsto

Induce un error en la medida que es directamente proporcional a la distancia , lo que provoca un error de escalalo que provoca un error de escala

El problema se detectará cuandoen un mismo trabajo se utilicen instrumentos diferentes

habiéndose realizado con un único instrumento, el trabajo deba encajarse en otro, en el que se haya utilizado otro distanciómetro

La calibración puede efectuarsepEn laboratorio, mediante un medidor de frecuencias que permita conocer, exactamente, cual es la de la onda emitida

Sobre el terreno mediante una observación diseñada al efectoSobre el terreno, mediante una observación diseñada al efectoA continuación se expone el procedimiento a seguir

20/02/2009 22Topografía I

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Documento de trabajo del alumno Topografía I

327

15.3 Equipos de medidaC lib ió E d lCalibración. Error de escalaSobre una alineación DB, se marca y mide una distancia AB

Con precisión superior a la del distanciómetro a calibrar

AB será igual a un número entero de semilongitudes de onda, con el fin de eliminar los posibles errores procedentes de L

Se constituye, así, la “Base de calibración” de longitud [AB]Dato

Con el distanciómetro a calibrar se obtendrá la distancia AB por diferencias de longitudes (Método diferencial)

Se estacionará en los puntos D1, D2,, D3, D4, etc. de la alineación DB

S di á d d t t l l it d A BSe medirán en cada uno de estos puntos las longitudes a A y B

La razón entre la medida obtenida para la distancia AB y el valor “verdadero”, [dato], proporcionará el factor de escala, m

D n · λ/2 BAD1 D2 D3 D4

AB1 = D1B – D1A niAB∑ AB

mAB2 = D2B – D2A....................... AB4 = D4B – D4A

ii 1

ABAB

n== ∑

AB: Valor más probable de la serie de observaciones, de la distancia AB obtenidas por diferencia de longitudes

=⎡ ⎤⎣ ⎦ Dato

mAB

20/02/2009 23Topografía I

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4 4 4 de la distancia AB, obtenidas por diferencia de longitudes

15.3 Equipos de medidaCalibración Error de ceroCalibración. Error de cero

El error de cero es la diferencia entre la distancia a medir y la distancia que separa los centros ópticos o electromagnéticos del equipoNo depende del tipo de onda utilizada ni de la distancia a medir

Equivale a un centrado erróneo del instrumento y/o del prismaPara determinarlo se opera según el procedimiento siguiente

Se considera una distancia, inicialmente desconocida, AB y se mideDirectamente, de una sola vezY por tramos (en el siguiente ejemplo consideraremos cuatro tramos)

BA C D E

S0s3

BA C D E

s4s2s1

AB AC CD DE EB Di t i t (d id )AB, AC, CD, DE y EB : Distancias correctas (desconocidas)AB = AC + CD + DE + EB

So, s1, s2, s3 y s4: Valores obtenidos para estas distancias

AB = S0 + KAC = S1 + KCD = S2 + KDE = S + KDE = S3 + KEB = S4 + K

0 1 2 3 4S (s s s s )K

3− + + +

=

K: Constante por error de ceroS0 + K = s1 + K + s2 + K + s3 + K + s4 + K

Este resultado es independiente de cualquier error de escala que pueda darse

20/02/2009 24Topografía I

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3de cualquier error de escala que pueda darse

Documento de trabajo del alumno Topografía I

328

15.4 Correcciones a aplicar a las medidasLa distancia medida, con cualquier tipo de distanciómetro de ondas, es función, entre otras, de la velocidad y la trayectoria en el medio en que se propagan las ondas

En nuestro caso el medio es la atmósfera próxima o troposfera

La velocidad de transmisión de la onda en el medio podrá variar al hacerlo el índice de refracción

Ello supone, dentro de unos límites, una variación de la longitud de ondap , , gAl estar moduladas en amplitud, la frecuencia permanece constante

f: frecuencia (constante)v: velocidad (variable)

vf =

Los valores de las λ proporcionados por los fabricantes están referidos al vacío o a un índice de refracción estándar (suele ser n = 1.000325)

v: velocidad (variable)λ: longitud de onda (será variable)

f =λ

( )

La trayectoria también podrá sufrir variacionesÉstas, evidentemente, alterarán el valor de la distancia a medir

El intentar conocer el comportamiento de las ondas obligará a tomar una serie deEl intentar conocer el comportamiento de las ondas obligará a tomar una serie de datos adicionales

Presión, temperaturas seca y húmedaCon ellos podrán realizarse las correcciones pertinentes a la medida

20/02/2009 25Topografía I

ETSI Topografía G y C U.P.M.

Con ellos podrán realizarse las correcciones pertinentes a la medida

15.4 Correcciones a aplicar a las medidasC ió t d l t t iCorrección por curvatura de la trayectoria

Una de las características de los distanciómetros de ondas utilizados en aplicaciones topográficas y geodésicas es la de utilizarutilizados en aplicaciones topográficas y geodésicas es la de utilizar, como onda principal la onda directa

Esto supone la distancia más corta entre los extremos de la línea a medir

La realidad es que la medida entre dos puntos por M.E.D. está en función de la curvatura de la trayectoria

La curvatura depende deLas condiciones atmosféricas, es decir, del índice de refracción, n

El ángulo de inclinación de la emisión

El radio de curvatura de la radiación, varía de un modo continuo a lo largo de la trayectoria y se adopta un valor promedio R’

Para ondas largas y medias R’ se asimila al radio terrestre, R

Para las distancias convencionales en Topografía y Geodesia (D < 100km) habría que determinar l di R’ d t d l d didel radio R’, separadamente, para cada lado medido

Existen ecuaciones que corrigen por curvatura de la trayectoria

Esta corrección solamente es importante para grandes distancias

20/02/2009 26Topografía I

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Documento de trabajo del alumno Topografía I

329

15.4 Correcciones a aplicar a las medidasC ió f ló iCorrección por factores meteorológicos

Cuando se utilizan medios electro ópticos o electromagnéticos para la determinación de distancias hay que tener un conocimiento p y qmuy preciso de la velocidad de propagación de la radiación emitida

Esta velocidad es constante en el vacío

En la atmósfera disminuye con la densidad del aire y varía a causa de la refractividad del aireEn la atmósfera disminuye con la densidad del aire y varía a causa de la refractividad del aire

Expresada por el índice de refracción:

0c (velocidad de propagacion en el vacio)n

( l id d d i l di )= 0c

c =⇒

Es necesario conocer un valor medio de “n” a lo largo del trayecto para obtener la velocidad media en la totalidad de la línea

c (velocidad de propagacion en el medio) n⇒

Para calcular el índice de refracción se utilizan fórmulas distintas según se trabaje conMicroondas: fórmulas de Froome-Essen

Frecuencias del espectro visible (o próximas a él): fórmulas de Barrell-SearsFrecuencias del espectro visible (o próximas a él): fórmulas de Barrell-Sears

En ambos casos es necesario determinartemperatura, presión y tensión del vapor de agua

a partir de la toma en campo de la presión y las temperaturas seca y húmeda

20/02/2009 27Topografía I

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a partir de la toma en campo de la presión y las temperaturas seca y húmeda

15.4 Correcciones a aplicar a las medidasC i f l iCorrección por factores meteorológicos

A título indicativo, utilizando estas fórmulas y si se quiere obtener una precisión d 10 6 t d á d t ide 10-6 se tendrán que determinar

T: temperatura absoluta

p: presión

e: tensión del vapor de agua

con los siguientes errores (m) máximos

BARRELL – SEARS (luminosas)

mT = ± 1.0oC

FROOME - ESSEN (microondas)

mT = ± 0.8oC

mp = ± 3.2mb o h Pa

me = ± 25.6mb o h Pa

mp = ± 3.7mb o h Pa

me = ± 0.23mb o h Pa

Comparando los valores anteriores es de destacar queEn las ondas de radio o microondas la humedad es un parámetro crítico

Esta circunstancia abunda en la preferencia por las ondas luminosas en medidas de precisión

20/02/2009 28Topografía I

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330

15.5 Consideraciones sobre la determinación del índice d f ióde refracción, n, en un punto

Consideraciones sobre la determinación precisa de n, en un punto,Consideraciones sobre la determinación precisa de n, en un punto, en función de las observaciones meteorológicas, efectuadas en el mismo, desde un punto de vista práctico

La determinación de la presión atmosférica debe hacerse con una precisión deLa determinación de la presión atmosférica debe hacerse con una precisión de

± 3mm de Hg según unos autores (Trilateración geodésica de 1er orden)

± 1mm de Hg según otros (Medida de bases)

Utilizando un buen barómetro aneroide, bien contrastado, puede determinarse con precisión suficiente

Las temperaturas, seca y húmeda, del aire deben medirse con precisiones de ± 0.1oC a ± 0.2oC, según los diferentes autoresp g

Esta, deseable, finura en la toma de temperaturas es muy difícil de obtener en campo, por muy preciso que sea el instrumento empleado *

Los errores producidos en la toma de estos datos atmosféricos dan lugar a un error en laLos errores producidos en la toma de estos datos atmosféricos dan lugar a un error en la longitud que puede cifrarse entre ± 6 y ± 7 p.p.m.

Supuesto que se opere con la debida corrección

* * V é di iti i i tV é di iti i i t

20/02/2009 29Topografía I

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* * Veasé diapositiva siguienteVeasé diapositiva siguiente

15.5 Consideraciones sobre la determinación del índice d f ióde refracción, n, en un punto

Precauciones básicas a la hora de efectuar la toma de temperaturas

Utilizar termómetros contrastados de la mayor calidad y precisión

El destinado a la medida de la temperatura húmeda llevará el depósito de mercurio envuelto en un manguito de gasa que deberá estar empapado en agua destilada en el momento de la toma de lamanguito de gasa que deberá estar empapado en agua destilada en el momento de la toma de la temperatura.

Ésta se hará en el momento de alcanzar el equilibrio entre el agua y su vapor

Evitar las radiaciones solares directas, del terreno y de objetos próximosEvitar las radiaciones solares directas, del terreno y de objetos próximos

Para ello se montará una armadura de madera con los termómetros, al menos a dos metros de altura del suelo

Remover el aire en torno a los termómetros de modo que se produzca una corrienteRemover el aire en torno a los termómetros, de modo que se produzca una corriente de al menos 2 m/seg

Pueden emplearse psicrómetros de cuerda o cualquier otro sistema que no irradie calor

Como precaución y debido a su fragilidad es conveniente disponer de dos equipos deComo precaución y debido a su fragilidad es conveniente disponer de dos equipos de termómetros

20/02/2009 30Topografía I

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331

15.5 Consideraciones sobre la determinación del índice de refracción, n, medio (a lo largo de la línea a medir)

A partir de los valores del índice de refracción en los dos extremos de la línea a medir debe adoptarse un valor del índice medio

En medidas topográficas es impracticable y antieconómico hacer determinaciones de series de puntos a lo largo de la línea

La solución más simple y generalizada consiste en tomar como valor medio, para la totalidad de la trayectoria, la media aritmética de los valores del índice de refracción y ,determinados en los extremos

Esta manera de proceder solo sería correcta si el índice de refracción variase linealmente con la distancialinealmente con la distancia

Esto no ocurre ni siquiera en una atmósfera ideal, en que las superficies de igual índice de refracción son superficies de nivel

20/02/2009 31Topografía I

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15.5 Consideraciones sobre la determinación del índice de refracción, n, medio (a lo largo de la línea a medir)

S i d l t A B d l lí i fi i d i lSuponiendo los extremos A y B de la línea en una misma superficie de nivel,

la onda atraviesa capas atmosféricas cuyo índice es mayor que nA y nB

Esto es debido a que el radio R’ de la trayectoria es mayor que el radio REsto es debido a que el radio R de la trayectoria es mayor que el radio R de la superficie de nivel

R’ > RSuperficies de igual índice de refracción

BR’

R’ > R

AB

C

R: radio de la superficie de nivelR’: radio de la trayectoria

20/02/2009 32Topografía I

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332

15.5 Consideraciones sobre la determinación del índice de refracción, n, medio (a lo largo de la línea a medir)

Se han empleado instrumentos que utilizan dos emisiones láser, denominados láser bicolor (rojo y azul ó rojo y verde)

Emiten simultáneamente dos frecuencias del espectro visibleEmiten simultáneamente dos frecuencias del espectro visible

Se dispone, así, de dos portadoras con separación de frecuencias (color)

Estos instrumentos emplean el retardo diferencial observado entre ambas portadoras

Se hace una determinación indirecta del índice de refracción del medio de propagación

Así se pueden corregir, por tal concepto, los valores obtenidos

Esta determinación de n es más exacta que la obtenida, habitualmente, por la toma de factores meteorológicos

En distancias de 10Km se obtienen resoluciones, reales, milimétricas

20/02/2009 33Topografía I

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15.6 Medida electromagnética de distancias en el G.P.S.El GPS es una de las formas de dar coordenadas a puntos de la superficie terrestre, en este caso por observación a satélites

Tema 2: 2.5 Geodesia espacial. GPS

La metodología GPS hace uso, fundamentalmente, de la medida de la distancia existente entre el satélite y el punto considerado Pentre el satélite y el punto considerado, P

La idea fundamental en la que se apoya dicha medida es elemental:

Emitiendo en el satélite una radiación electromagnética, si medimos el tiempo transcurrido entre el momento de emisión y el de recepción en el punto del terreno elegido, P, bastará multiplicar este valor por la velocidad de transmisión (v de la luz) y obtendremos la distancia a la que se encuentra el satélite del punto P

20/02/2009 34Topografía I

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333

15.6 Medida electromagnética de distancias en el G.P.S.Aunque esta idea pudiese ser llevada a la práctica sin dificultad, habría que contar con relojes muy precisos

El intervalo de tiempo a medir es muy pequeñoDado el orden de distancias a las que se encuentran los satélites

Y la velocidad de la luz,

El intervalo de tiempo a medir es del orden de centésimas de segundog

En los satélites se suelen montar relojes atómicos

Y en los receptores relojes de gran precisión (del orden del nanosegundo)

El i t GPS tá di ñ d d t ó i tEl sistema GPS está diseñado de manera que, teóricamente, los satélites y los receptores trabajen sincronizados

Así, tanto satélite como receptor generan una señal , p gen un instante determinado y el satélite la emite

Cuando el receptor la reciba habrá transcurrido un lapso de tiempo que será directamente proporcional a la distancia que los separaba

20/02/2009 35Topografía I

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que será directamente proporcional a la distancia que los separaba

15.6 Medida electromagnética de distancias en el G.P.S.Técnica de la medida

Para la medida de la distancia, la señal emitida por el satélite está constituida por tres elementos

Una portadora, un mensaje y un código

El mensaje y el código se suman y esa suma se modula sobre la portadoraEl mensaje y el código se suman y esa suma se modula sobre la portadora

PortadoraSe trabaja con dos frecuencias:j

L1 = 1575.42MHz y L2 = 1227.60MHz

Les corresponden las longitudes de onda: λ1= 19.0 cm y λ2 = 24.4cm

Estas señales son generadas por un reloj atómico muy preciso (oscilador)Su frecuencia fundamental es de 10.23MHz

Multiplicada por 154 se genera la portadora L1 a 1575.42MHzp p g p 1

Y multiplicada por 120 se genera la portadora L2 a 1227.60MHz

20/02/2009 36Topografía I

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334

15.6 Medida electromagnética de distancias en el G.P.S.Té i d l didTécnica de la medida

Código. Se trabaja con dos posibles códigosC/A (Clear/Access): Adquisición groseraC/A (Clear/Access): Adquisición grosera

Modulado sobre L1 con una frecuencia de 1.023MHz (unos 300m)Este código se repite cada milisegundoSe usa para aplicaciones civiles

Código P: Protegido o PrecisoModulado sobre L1 y L2 con una frecuencia de10.23MHz (unos 30m)1 y 2 ( )Este código, más preciso que el anterior (factor 10), se usa para aplicaciones militares y civilesTarda 36 semanas en transmitirse e incluye todas las informaciones pertinentes para el y p pcálculo de coordenadasEs una secuencia muy larga (aproximadamente 1014 bits) de modulaciones pseudo aleatorias binarias bifásicas en la fase portadora GPS en un intervalo de chips de 10 23MH it í i d t 267 dí10.23MHz, que no se repiten a sí mismas durante 267 díasCada segmento semanal del código P es único para cada satélite GPS, y se cambia también cada semanaEl acceso al código P se restringe a s arios a tori ados por el gobierno de EE UU

20/02/2009 37Topografía I

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El acceso al código P se restringe a usuarios autorizados por el gobierno de EE.UU.

15.6 Medida electromagnética de distancias en el G.P.S.Té i d l didTécnica de la medida

Mensaje de navegación (con una frecuencia de 50Hzs) Es una cadena de bits agrupados (25 grupos)g p ( g p )

Informa de la ubicación y salud del satélite y las correcciones del relojSe incluye también información general de las condiciones de otros satélites de la constelación

La señal GPS estará entonces formada por la suma del mensaje y el código modulada sobre la portadora (L1 ó L2 )Notas:Notas:

La utilización de códigos permiteque el sistema funcione con señales de muy baja potencia y, en consecuencia, antenas pequeñasy que todos los satélites utilicen las mismas frecuencias

La modulación empleada en GPS para mandar un mensaje consistente en una serie de bits (ceros y unos),

No es una modulación clásica en amplitud (no se recibe señal cuando el valor es cero) o en frecuencia (altera el valor de la frecuencia de la portadora y no permite por lo tanto la comparación de fases)(altera el valor de la frecuencia de la portadora y no permite por lo tanto la comparación de fases)Se hace una modulación en frecuencia pero multiplicando por un factor 1 cuando el bit contenga un 1 y por -1 cuando contenga un 0Como el tipo de modulación es conocido, una vez recibido el mensaje se aplica una demodulación

se reconstr e el mensaje original

20/02/2009 38Topografía I

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y se reconstruye el mensaje original

Documento de trabajo del alumno Topografía I

335

15.6 Medida electromagnética de distancias en el G.P.S.Obtención de la distancia en posicionamiento aislado (Pseudodistancia)Obtención de la distancia en posicionamiento aislado (Pseudodistancia)

La obtención de la distancia se puede hacer por dos métodos:Por código

Consiste en la determinación de las denominadas pseudodistancias aplicando a los códigos C/A o P el método de correlación

Por diferencia de faseD t i d l i t d di t i t bili d ti d ú tDeterminando el incremento de distancia contabilizado a partir de un número entero de longitudes de onda de las portadoras

Obtención de la distancia por códigoObtención de la distancia por códigoEl receptor recibe el código procedente del satélite, pero a su vez él lo "replica", es decir lo genera en el mismo instante en que también se

Código recibidodel Satélite

genera en el mismo instante en que también se generó en el satélitePosteriormente compara ambas señales, busca las analogías y desplaza una de las señales

Código generado en el las analogías y desplaza una de las señales

hasta lograr que se superponga con la otra

Esta traslación es la que corresponde al tiempo que ha tardado en llegar la señal

ΔT

Receptor

20/02/2009 39Topografía I

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que ha tardado en llegar la señal

15.6 Medida electromagnética de distancias en el G.P.S.b d l d l d d dObtención de la distancia en posicionamiento aislado (Pseudodistancia)

Obtención de la distancia por código (continuación)

Bastará, en teoría, multiplicar el tiempo que ha tardado en llegar la señal por la velocidad de la transmisión (velocidad de la luz (c)) para obtener la distancia:

Prs = c (Tr -Ts) , Tr es el tiempo en el receptor y Ts en el satélite

La distancia obtenida presenta una notable ambigüedad

El ódi C/A it d ili dEl código C/A se repite cada milisegundo

Esto corresponde a una distancia recorrida en ese tiempo de 300km

El satélite se encuentra a una distancia aproximada de 20000kmp

La ambigüedad puede ser subsanada sin más que contar con unas coordenadas aproximadas del receptor

En un orden de algunas centenas de kilómetros

En consecuencia, se deberá contar con una distancia inicial aproximada

20/02/2009 40Topografía I

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Documento de trabajo del alumno Topografía I

336

15.6 Medida electromagnética de distancias en el G.P.S.Ob ió d l di i i i i i l d (P d di i )Obtención de la distancia en posicionamiento aislado (Pseudodistancia)

Obtención de la distancia por diferencia de fase

El proceso es análogo, si bien, como en este caso lo que se identifica es el mismo estado de fase, " φ " (Figura 2), pueden haber transcurrido N ciclos de 360º sin haber sido contabilizados (Figura 3), (Tiempo (0))

Ese número N recibe el nombre de "Ambigüedad inicial"

Tiempo (0) Tiempo (i)

Ambigüedad

Fase recibida del Satélite

Ambigüedad

Ciclos contabilizados desde lect desfase 0)Desfase 0Fase generadaen el Receptor Ciclos contabilizados desde lect. desfase 0)Desfase 0

Desfase i

Figura 3ΔT

en el Receptor

Figura 2

20/02/2009 41Topografía I

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15.6 Medida electromagnética de distancias en el G.P.S.Obt ió d l di t i i i i t i l d (P d di t i )Obtención de la distancia en posicionamiento aislado (Pseudodistancia)Obtención de la distancia por diferencia de fase (continuación)

En este caso la distancia puesta en función de la faseEn este caso la distancia, puesta en función de la fase, vendría dada por la expresión

LrS = λ ·Δφ = λ ( φr – φS )

λ: longitud de ondaφr: fase en el receptorφS: fase en el satélite

Al igual que en la determinación de distancias en tierra, existen formas de trabajo

Tiempo (0) Tiempo (i) j

que permiten la determinación de NN se mantiene constante si se sigue el satélite

Ambigüedad

gdurante una serie de épocas ti

La distancia real al satélite se obtiene corrigiendo las observaciones

Ambigüedad

Ciclos contabilizados desde lect. desfase 0) Desfase 0 g

de los posibles erroresestado de los relojes

influencias atmosféricas etc

Desfase i

20/02/2009 42Topografía I

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influencias atmosféricas, etc.

Documento de trabajo del alumno Topografía I

337

15.6 Medida electromagnética de distancias en el G.P.S.ili ió d l di i i i i l iUtilización de la distancia en posicionamiento relativo

En Topografía y Geodesia, en general, S Sp g y , g ,

la solución de posicionamiento que se adopta para obtener coordenadas de los puntos

S1

S2S3 S4

coordenadas de los puntos es la de posicionamiento relativo

El esquema teórico de observación consiste en dos receptores

Los receptores A y B observan sim ltáneamente al mismo satélite S

BaselineBaseline VectorVectorBAA

simultáneamente al mismo satélite S

Las coordenadas del punto A son conocidas

La precisión que se pretende obtener en las coordenadas del punto B, utilizando en su determinación las de A, obliga a determinar las distancias al satélite por el método de diferencia de fase

20/02/2009 43Topografía I

ETSI Topografía G y C U.P.M. Prg. A.

al satélite por el método de diferencia de fase

15.6 Medida electromagnética de distancias en el G.P.S.ili ió d l di i i i i l iUtilización de la distancia en posicionamiento relativo

La diferencia de los vectores desde cada satélite a A y a B

AB = ρAS – ρ BS (Línea base AB)

yproporcionará el vector AB

S2S3 S4

la metodología empleada en este caso consiste en la observación de los distintos satélites, desde dos (o más) estaciones simultáneamente

S1

desde dos (o más) estaciones simultáneamente

Así se eliminan los errores anteriormente mencionados BaselineBaseline VectorVector

BAA

Estado de los relojes

Influencias atmosféricas

...

20/02/2009 44Topografía I

ETSI Topografía G y C U.P.M. Prg. A.T 16

Documento de trabajo del alumno Topografía I

338

El taquímetro y la taquimetríaEl taquímetro y la taquimetría

Unidad temática VII

26/02/2009 1Topografía I

ETSI Topografía G y C U.P.M. Prg. A.

Documento de trabajo del alumno Topografía I

339

Documento de trabajo del alumno Topografía I

340

El taquímetro y la taquimetríaEl taquímetro y la taquimetría

T 16Tema 16

26/02/2009 1Topografía I

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Tema 16El taquímetro y la taquimetría

16 1 El t í t l t í t l t ó i16.1 El taquímetro; el taquímetro electrónico

16.2 La taquimetría

16.3 Utilización de visual inclinada en medida de distancias y desniveles

16.4 La refracción atmosférica en la medida del desnivelEfecto y corrección

Determinación e perimental del coeficiente de refracciónDeterminación experimental del coeficiente de refracción

Corrección conjunta de esfericidad terrestre y refracción atmosférica

Reducción de visuales al terreno

16.5 Errores sistemáticos y accidentales en taquimetría

16.6 Equipo de poligonación de centrado forzoso

26/02/2009 2Topografía I

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q p p g

Documento de trabajo del alumno Topografía I

341

Documento de trabajo del alumno Topografía I

342

16.1 El taquímetro; el taquímetro electrónico

Un teodolito, dotado de un dispositivo que permita la medida de distancias recibe el nombre de taquímetrorecibe el nombre de taquímetro

Este tipo de teodolito se usa para efectuar, al mismo tiempo, las tres mediciones fundamentales en Topografíap g

Medida de ángulos horizontales

Medida de ángulos verticalesMedida de ángulos verticales

Medida de distancias

Todos los teodolitos óptico mecánicosTodos los teodolitos óptico mecánicos excepto los geodésicos y astro geodésicos, disponían de retículo con hilos estadimétricos

ibilit l d t i ió d di t ipara posibilitar la determinación de distancias por procedimientos estadimétricos

26/02/2009 5Topografía I

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16.1 El taquímetro; el taquímetro electrónicoCon los instrumentos actuales se miden

Ángulos mediante micrómetros óptico electrónicos

Distancias por procedimientos de M.E.D.

A estos instrumentos se les denomina t í t l t ó itaquímetros electrónicos

En todos los taquímetros electrónicos, actualmente, los componentes de la M.E.D. están integrados en el instrumento

En otros instrumentos, ya en desuso, el módulo de M.E.D., el “distanciómetro”,el módulo de M.E.D., el distanciómetro , se podía acoplar al teodolito

26/02/2009 6Topografía I

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Documento de trabajo del alumno Topografía I

343

16.1 El taquímetro; el taquímetro electrónico

Los datos “taquimétricos” del levantamiento observado con taquímetro electrónico pueden ser, a la vezobservado con taquímetro electrónico pueden ser, a la vez

Presentados en una pantalla, para su visualización

Almacenados automáticamente en dispositivos de memoriap

El microprocesador central del instrumento controla

Las mediciones de ángulos y distanciasg y

El almacenaje automatizado de los datos de la observación

La ejecución de ciertos cálculos (distancias reducidas, desniveles, etc)

Otros dispositivos de ayuda a la medición, como el sensor de inclinación

La información obtenida y convenientemente codificada queda preparada para su posterior procesado en un ordenador

26/02/2009 7Topografía I

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16.2 La taquimetría

La taquimetría es la metodología que persigue la determinación simultánea de

Acimutes

Distancias

D i lDesniveles

Esto equivale a obtener el levantamiento simultáneo de

Pl i t íPlanimetría

Altimetría

El taquímetro con las posibilidades mencionadas de medida deEl taquímetro, con las posibilidades mencionadas, de medida de ángulos horizontales y verticales, así como de medida de distancias es el instrumento indicado para la taquimetría

26/02/2009 8Topografía I

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Documento de trabajo del alumno Topografía I

344

16.3 Utilización de visual inclinada en medida de distancias y desniveles

Medida de distancias

En Topografía la distancia que interesa es la distancia reducida

En el proceso de la observación se midenl di t i ét ila distancia geométrica

la inclinación de la visual

A partir de estos datos, obtenidos en la observación,A partir de estos datos, obtenidos en la observación, se calcula la distancia reducida

D = Dg · sen V

V

Distancia reducida

26/02/2009 9Topografía I

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16.3 Utilización de visual inclinada en medida de distancias d i ly desniveles

Medida de desnivelesEn el proceso de la observación además de las variables antes mencionadasEn el proceso de la observación, además de las variables antes mencionadas, se miden

la altura del instrumentol lt d l ila altura del prisma

A partir de estos datos, obtenidos en la observación, se calcula el desnivel

zAB = t + iA - mB D

t t > 0: visuales ascendenteszA t iA mB ttgV

= t > 0: visuales ascendentes

t < 0: visuales descendentes

Vt

t + iA

mB

zAB + mB

B

D

iAzA

B

A

26/02/2009 10Topografía I

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Documento de trabajo del alumno Topografía I

345

16.4 La refracción atmosférica en la medida del desnivel

Al estudiar la influencia de la esfericidad terrestre (tema 3) se razonó queEn general puede ser ignorada en levantamientos planimétricosEn general, puede ser ignorada en levantamientos planimétricos

Debía ser, en general, considerada en levantamientos altimétricosSu influencia es notable, incluso en distancias cortas

La corrección a aplicar era

2Dc

Esta corrección era siempre positiva

esfc2 R

=⋅

Debido a la influencia de la esfericidad se obtienen siempre desniveles menores que los reales

En el desnivel obtenido también influye otro fenómeno, ydifícil de metrizar, como es la refracción atmosférica

Es conocido el fenómeno de la refracción (cambio en la dirección de propagación) que sufre la luz al atravesar medios de distinta densidad

26/02/2009 11Topografía I

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que sufre la luz al atravesar medios de distinta densidad

16.4 La refracción atmosférica en la medida del desnivelfEfecto y corrección

La atmósfera no tiene densidad uniformeEs ma or en las capas más pró imas a la s perficie terrestreEs mayor en las capas más próximas a la superficie terrestre que en las más alejadas

Un rayo procedente de un punto, A, sufrirá continuas refracciones al ir atravesando diferentes capas

Se irá separando, progresivamente, de las normales en los puntos de incidenciaEl rayo dejará de ser recto para ser una línea quebradaEl rayo dejará de ser recto para ser una línea quebrada

En el supuesto de capas de grosor infinitesimal y densidad decrecienteA

En el supuesto de capas de grosor infinitesimal y densidad decreciente, la línea quebrada se convertirá en una curva con concavidad hacia el terreno

Si no hay cambios en las condiciones atmosféricas, esta curva puede apro imarse a n arco de circ nferencia de radio constante

26/02/2009 12Topografía I

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aproximarse a un arco de circunferencia de radio constante

Documento de trabajo del alumno Topografía I

346

16.4 La refracción atmosférica en la medida del desnivelEfecto y correcciónEfecto y corrección

Por el efecto de refracción antes mencionado, la visual entre un punto de estacionamiento E, y un punto observado A deja de poder ser considerada como línea recta y se convertirá en un arco de curva AEdeja de poder ser considerada como línea recta y se convertirá en un arco de curva AE, que se aproxima a una circunferencia de centro O’ y radio R’

A efectos de la medida es como si el observador viese el punto A

A’

Er

Acref

VV’

es como si el observador viese el punto A en la dirección de la tangente a la curva en E

Es como si viese el punto A en la dirección EA’

E DA

Se comete un error en ángulos verticales

El error viene dado por el ángulo AEA’, llamado ángulo de refracción

Rr = AEA’

La refracción “eleva”, aparentemente, los objetos

Puede apreciarse que el punto A’ está más alto que el punto A

O

R’

p jPor efecto de la refracción se obtienen desniveles mayores que los reales

La separación AA’ es la corrección que habrá que aplicar, cref

La refracción compensa parcialmente el efecto de la esfericidad

O’

26/02/2009 13Topografía I

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La refracción compensa, parcialmente, el efecto de la esfericidad

16.4 La refracción atmosférica en la medida del desnivelEf t ióEfecto y corrección

Para obtener la expresión de la corrección, cref = AA’Consideramos el triángulo rectángulo A’EO’

A’cVConsideramos el triángulo rectángulo A EO

(R’ + cref)2 = (R’)2 + D2

(R’)2 + cref 2 + 2·R’·cref = (R’)2 + D2

Er

DAcref

VV’

cref ·(cref + 2·R’) = D2

2

ref

Dc =

2D≈

2

ref

Dc

2 R '= R

Utili ando la relaciónR’

refref

cc 2 R '+ ⋅ 2 R '⋅

Por ser muy pequeña la cref en comparación con R’

ref 2 R '⋅

R2 K

R

R’

Utilizando la relación

Se puede escribir la expresión de la corrección, cref, en función del radio de la tierra (R)

R2 K

R '= ⋅ K: coeficiente de refracción

2D 2 K 2D K

O

O’en función del radio de la tierra (R) y el coeficiente (K)

Para España, un valor medio de K es 0.08Este alor s pone q e el radio R’ es nas 6 25 eces ma or q e R

2

ref

D 2 Kc

2 R⋅

= ⋅2D KR

⋅= 2

ref

D Kc

R⋅

=

26/02/2009 14Topografía I

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Este valor supone que el radio R’ es unas 6.25 veces mayor que R

Documento de trabajo del alumno Topografía I

347

16.4 La refracción atmosférica en la medida del desnivelD t i ió i t l d l fi i t d f ióDeterminación experimental del coeficiente de refracción

Siempre y cuando no varíen las condiciones t fé i á t t l l ió tB

VAVB

atmosféricas será constante la relación entre el radio terrestre, R y el radio de la visual, R’, (supuestamente circular)

Br

A

100 - r 100 - r

r

Para obtener el valor de K se realizarán visuales recíprocas y simultáneas

100 - r

R2 K= ⋅

K: coeficiente de refracción

R’ R’

RR

2 KR ' Así las dos visuales describirán la misma trayectoria

Y los ángulos de refracción en A y B serán iguales (rA = rB= r)

Se puede expresar K en función de r y ω

R2 K

R '= ⋅

ωp p y

rO

AB = R·ω ≈ 2 r · R’

R '

O’

200 – 2 · (100 - r)

2 r⋅

⇒ =ω

R 2 rR '

=ωr

KO

26/02/2009 15Topografía I

ETSI Topografía G y C U.P.M.

O

16.4 La refracción atmosférica en la medida del desnivelD t i ió p i t l d l fi i t d f ióDeterminación experimental del coeficiente de refracción

El ángulo central, ω, puede expresarse como

B

VAVB

(1) = 200(1) = 200gg –– (V(VAA + r)+ r)ω = 200g – [ (1) + (2) ]B

rA

(1)

(2)

r

ω = 200g – [ 200g - (VA + r) + 200g - (VB + r)]

( )( ) (( AA ))

(2) = 200(2) = 200gg –– (V(VBB + r)+ r)

K: coeficiente de refracción

ω 200 [ 200 (VA r) 200 (VB r)]

ω = 200g – 200g + VA + r – 200g + VB + r

2 r = ω – (VA + VB – 200g)=r

K

R’ R’

RR Dividiendo por 2 ω, + −ω= −

ω ω ω

gA BV V 2002r

2 2 2

ω

Pero ω, en función de D, resulta

R Rω Sustituyendo K = r/ω + −

= −ω

gA BV V 2001

K2 2

2D2

e o ω, e u c ó de , esu ta

O’

2 r

Un valor medio de K, para España es 0.08

+ −= − ⋅

gA BV V 2001

K R2 2D

ω ≈2D

2R

O

26/02/2009 16Topografía I

ETSI Topografía G y C U.P.M.

para España es 0.08

Documento de trabajo del alumno Topografía I

348

16.4 La refracción atmosférica en la medida del desnivelCorrección conjunta de esfericidad terrestre y refracción atmosféricaCorrección conjunta de esfericidad terrestre y refracción atmosférica

Como ambos efectos, esfericidad y refracción están siempre presentes y tienen sentidos opuestos, en vez de aplicar ambas correcciones, independientemente,

b i l ió d l ió jse obtiene la expresión de la corrección conjunta

esf refc + esf refc c= −2 2D D K

2 R R⋅

= −2D 1

KR 2

⎛ ⎞= −⎜ ⎟

⎝ ⎠

2

esf ref

D 1c K

R 2+

⎛ ⎞= −⎜ ⎟

⎝ ⎠2 R R⋅ R 2⎜ ⎟⎝ ⎠

El valor de esta corrección es siempre positivo pues K < ½ Considerando

R 2⎝ ⎠

K = 0.08R = 6370 Km (radio medio de la Tierra)

Se puede, para España, utilizar la expresión simplificada (en metros)2

Distancia en kilómetrosCorrección en metros

⎡ ⎤⎣ ⎦+

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

2

Kmesf ref [m]

Dc

4

Para una distancia de 100m se obtiene una corrección de 0.7mmPara D = 1km la corrección es de 6cmPara D = 2km la corrección es de 25cmPara D = 5km la corrección es de 1 56m

esf refz t i m c +Δ = + − +

26/02/2009 17Topografía I

ETSI Topografía G y C U.P.M.

Para D = 5km la corrección es de 1.56m

16.4 La refracción atmosférica en la medida del desnivelR d ió d i l l tReducción de visuales al terreno

Si no es posible, por ej., realizar las observaciones recíprocas y simultáneas, por no disponer de dos instrumentos y dos operadores se puede realizar p p y p pla observación teniendo en cuenta las oportunas limitaciones para

Poder considerar las observaciones como “simultáneas”P d id l b i “ í ”Poder considerar las observaciones como “recíprocas”

Observaciones simultáneasCuando se realice la observación desde B, las condiciones atmosféricas deben serCuando se realice la observación desde B, las condiciones atmosféricas deben ser análogas a las que había cuando se observó desde A

En las horas que siguen al amanecer, el calor solar produce en el aire, frío por la ausencia de sol durante la noche, perturbaciones en las densidades de sus distintas capasEn las horas que anteceden al anochecer ocurre lo mismo, en sentido inverso

Las horas más estables, en la densidad de las capas atmosféricas, son las horas centrales del día (a partir de las diez de la mañana)( p )Las observaciones deberán realizarse en horas simétricas respecto de las 12 horas (solares)

Siempre y cuando no existan perturbaciones atmosféricas

26/02/2009 18Topografía I

ETSI Topografía G y C U.P.M.

Siempre y cuando no existan perturbaciones atmosféricas

Documento de trabajo del alumno Topografía I

349

16.4 La refracción atmosférica en la medida del desnivelReducción de visuales al terrenoReducción de visuales al terreno

Observaciones recíprocasEl rayo luminoso de la observación de B a A tendrá que describir la misma trayectoria descrita cuando se observó desde A a B

Para ello debe ocurrir que mB = iA y que mA = iBEstas condiciones pueden sustituirse por la”reducción de las visuales al terreno”p p

Para ello se calculan los ángulos verticales como si se hubiesen observado sin altura de instrumento ni de jalón

El ángulo medido es VmV V = Vm + εε V m

Realmente tendría que ser VEl error es ε

BiA

mBVm

V mεε Vm

D

A i d l l

iA

A

m

B A

senVsenm i D

ε=

−m

B A

senVsen (m i )

D⇒ ε = − ⋅

Aproximando el seno al arco, dado que ε siempre será pequeño, resultará un valor para ε , en segundos

El i d d d á d i S á ti d i >

ε ≈ − ⋅ mB A

senV(m i )

D

26/02/2009 19Topografía I

ETSI Topografía G y C U.P.M.

El signo de ε dependerá de mB – iA. Será negativo cuando iA > mB

16.5 Errores sistemáticos y accidentales en taquimetríaEn el momento de hacer las medidas de distancia y desnivel pueden aparecer dos tipos de errores

Errores sistemáticos

Errores accidentales

Errores sistemáticosErrores sistemáticosErrores de calibración del equipo de M.E.D.

Error de escalaError de escala

Error de cero

Error por falta de verticalidad del prismaDebido a error de reglaje del nivel esférico

Error de refracciónProducido por la curvatura que sufren los rayosProducido por la curvatura que sufren los rayos

Afecta, fundamentalmente, a la determinación del desnivel, haciendo que los objetos parezcan más elevados de lo que están

Aumenta la longitud obteniéndose distancias mayores de las reales

26/02/2009 20Topografía I

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Aumenta la longitud, obteniéndose distancias mayores de las reales

Documento de trabajo del alumno Topografía I

350

16.5 Errores sistemáticos y accidentales en taquimetríaE id t l l did d l di t iErrores accidentales en la medida de la distancia

Errores accidentales en la medida de la distanciaEl error que afectará a la medida de la distancia será función de los errores acumulados en dicho proceso

Llamando eD al error en la medida de la distancia 2 2 2 2D e s dm je e e e e= + + +

ee: error de estacionamiento del taquímetro

es: error en el centrado de la señal

D e s dm j

edm: error propio del dispositivo de M.E.D. incorporado al taquímetro

ej: error por falta de verticalidad del elemento de sustentación de la señal

Los errores e y e han sido ya estudiados al determinar el error de dirección enLos errores ee y es han sido ya estudiados al determinar el error de dirección en observaciones con taquímetro

El edm ha sido estudiado en los temas correspondientes a los distintos tipos de medida de distanciasmedida de distancias

edm = 1/300 para medida estadimétrica de distancias (1ª categoría)

edm = ± (a + b · 10-6 · D) para M.E.D.

26/02/2009 21Topografía I

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16.5 Errores sistemáticos y accidentales en taquimetríaErrores accidentales en la medida de la distanciaErrores accidentales en la medida de la distancia

Error por falta de verticalidad del prisma. ej

Representaremos en un gráfico, para el caso de M.E.D., La posición correcta del jalón del prisma (teórica)La posición real del jalón, inclinado un ángulo β (observación)En ambos casos se representa la distancia geométricap g

Dg: Distancia geométrica teórica (jalón en la posición correcta)Dgm: Distancia geométrica observada/medida (jalón inclinado)

e = e es el error en la D reducidaej = eDr es el error en la D reducida

ej = eDr = mB · sen β

mB: altura del prisma en B

B

Dg2

Vt

Vr

ββ

Dg1

Consideramos: Dgm = Dg1 + Dg2

El ángulo vertical medido aunque no corresponda al teórico, si es el

di t l i l lDrA

B

correspondiente a la visual real

Por ello el error en la distancia geométrica medida es Dg2, [eDgm = Dg2]Obtendremos la expresión analítica de este error eDgm

A eDr

26/02/2009 22Topografía I

ETSI Topografía G y C U.P.M.

Obtendremos la expresión analítica de este error eDgm

Documento de trabajo del alumno Topografía I

351

16.5 Errores sistemáticos y accidentales en taquimetríaErrores accidentales en la medida de la distanciaErrores accidentales en la medida de la distancia

Error por falta de verticalidad del prisma. ej (continuación)En la siguiente figura representaremos las posiciones teórica y real del jalón que sustenta el prismaque sustenta el prisma

En el triángulo CBP’, aplicaremos el teorema del senoP

P’2gD

senβBC

sen(V )=

βBm

sen(200 V )=

Vt

Vr

PVr-β

200-Vr

2

Bg

r

m senD

senV⋅ β

=

C senβ rsen(V )− β rsen(200 V )−

Se obtiene el error, Dg2,en función del ángulo de inclinación del jalón

P d t di t i d id bt d

ββ mB

r

Pasando esta distancia a reducida obtendremos eDr

B 2g rD cos(100 V )⋅ − Br

m sensenV

senV⋅ β

= ⋅ Bm sen= ⋅ β=Dre

Se obtiene, por otro camino, el mismo error anteriormente vistoβ, depende de los elementos auxiliares utilizados

i l ti lid d d l j ló ( / ) D Be m sen= ⋅ β

rsenV

26/02/2009 23Topografía I

ETSI Topografía G y C U.P.M.

para conseguir la verticalidad del jalón (.../...) rD B β

16.5 Errores sistemáticos y accidentales en taquimetríaErrores accidentales en la medida de la distanciaErrores accidentales en la medida de la distancia

Error por falta de verticalidad del prisma. ej (continuación)

D Be m sen= ⋅ βrD Be m sen= β

Acotando β, según los elementos auxiliares utilizados para conseguir la verticalidad del jalón, se puede escribir

ej = mB · sen βMax

Utilizando, por ejemplo, nivel esférico de 1g de sensibilidad

Vt

PP’

Vr-βC

nivel esférico de 1g de sensibilidadej = mB · 0.0157

Supuesta una altura de prisma de 1.5 mVr

ββ

200-Vr

mBp p

ej = 0.024 m

En cenital de 95g, supondría un error b l di t i ét i did d

ββ mB

sobre la distancia geométrica medida deDg2 = 0.024 m

Este valor es independiente de la distancia total D

B

26/02/2009 24Topografía I

ETSI Topografía G y C U.P.M.

Este valor es independiente de la distancia total Dgm

Documento de trabajo del alumno Topografía I

352

16.5 Errores sistemáticos y accidentales en taquimetríaErrores accidentales en la medida del desnivelErrores accidentales en la medida del desnivel

Errores accidentales en la medida del desnivelComo es sabido el desnivel responde a la expresiónp p

zAB = t + iA – mB + c esf + ref

Por ello el error correspondiente al desnivel vendrá dado por la composición c adrática de los errores accidentalespor la composición cuadrática de los errores accidentales correspondientes a cada uno de los sumandos

B2 2 2 2t i m ce e e e e= + + +B

esf refAt i m cz

e e e e e+

+ + +

r

22 2rTv D4 2

r r

D 1e e

sen V tg V⋅ + ⋅et = r m m r

2 2 2 2 2V Dg g V Tvcos e D sen e= ⋅ + ⋅ ⋅

ei: se acota por el procedimiento de medida de la altura del instrumentoem: error en la altura del prisma

r rsen V tg VError total en vertical

em: error en la altura del prismaec esf+ref : error procedente de una modelización insuficiente

de la curvatura de la tierray de la refracción atmosférica

26/02/2009 25Topografía I

ETSI Topografía G y C U.P.M.

y de la refracción atmosférica

16.5 Errores sistemáticos y accidentales en taquimetríaErrores accidentales en la medida del desnivelErrores accidentales en la medida del desnivel

Error en m por falta de verticalidad del jalón. emPara el estudio de em retornaremos tanto a la medida de mB como a la influencia d l ti lid d d l j lóde la verticalidad del jalón

La determinación de la altura del prisma, mB, entraña un error de cuantía mucho menor, por la facilidad de la escala del jalón. Se acotará en función de la precisión de la escala

En la figura vemos que la altura del prisma, a considerar, debería ser BC, puesto que la visual real es la dirigida a P’

El error cometido al utilizar mB seráV

P P’C El error cometido al utilizar mB será

CP = mB - BC

De las relaciones obtenidas al aplicar el teorema del seno en el triángulo CBP’ obtenemos

Vt

Vr

Vr-β200-Vr

C

en el triángulo CBP obtenemosββ mB B r

r

m sen(V )BC

senV⋅ − β

=

Utilizando los valores del ejemplo anteriorS ibilid d d l i l 1

Como la escala de los jalones suele venir grabada en cm, l lt t á d l d d ilí t

B

Sensibilidad del nivel = 1g

Altura del prisma = 1.5 m⇒ CP ≈ 2mm

26/02/2009 26Topografía I

ETSI Topografía G y C U.P.M.

el em resultante será del orden de milímetros

Documento de trabajo del alumno Topografía I

353

16.6 Equipo de poligonación de centrado forzoso El error angular total de un taquímetro en observaciones acimutales queda, en general, determinado por el error de dirección, eD

eD es el error más importante de los que intervienen en el proceso de la observación angular (Tema 12)

Los equipos de poligonación de centrado forzado eliminan prácticamenteLos equipos de poligonación de centrado forzado eliminan, prácticamente, los errores de centrado del taquímetro y de la señal, rebajando así, muy considerablemente, el error angular total

El equipo está compuesto por:

Un taquímetro

Dos prismas o placas de puntería (con sus correspondientes soportes)

Tres plataformas nivelantes idénticas adaptables al taquímetro y a los soportes mencionadosadaptables al taquímetro y a los soportes mencionados

Además se requieren los oportunos elementos de sustentación

26/02/2009 27Topografía I

ETSI Topografía G y C U.P.M.

16.6 Equipo de poligonación de centrado forzoso Dos prismas o placas de puntería

SoportesSoportes

Tres plataformas nivelantes idénticas (intercambiables)idénticas (intercambiables)

Un taquímetro

Elementos de sustentación

Pilar y

Trípode

ybasada

26/02/2009 28Topografía I

ETSI Topografía G y C U.P.M.

Documento de trabajo del alumno Topografía I

354

16.6 Equipo de poligonación de centrado forzoso

No constituye un dispositivo de centraje en el suelo, pero permite asegurar que los distintos componentes del equipo instrumental queden situados, q p q p q ,exactamente, sobre los mismos “puntos aéreos”

El teodolito y las dos placas de puntería o prismas se montan sobre basamentos inamovibles idénticos, intercambiables

Todo el equipo debe ser acorde para permitir el intercambio de los distintos componentes acoplándolos a las tres plataformas nivelantes idénticascomponentes, acoplándolos a las tres plataformas nivelantes idénticas

Así los ejes principales del instrumento y de los demás componentes del equipo “coinciden” en cada punto de estación

Se cometerá un error de centrado al realizar el estacionamiento inicial sobre cada punto, pero no intervendrá en la observación

La puesta en estación inicial en cada punto, se lleva a cabo mediante la plomada óptica con la que la plataforma nivelante está dotada

26/02/2009 29Topografía I

ETSI Topografía G y C U.P.M.

16.6 Equipo de poligonación de centrado forzoso Supuesta la observación de los ángulos de un triángulo ABC

Se empieza situando el aparato en B, por ejemplo, y las placas de puntería/prismas en A y C, para medir el ángulo ABC

Las observaciones se hacen según los ejes B’A’ y B’C’

P di l d á l j l BCA i t bi l tPara medir el segundo ángulo, por ejemplo BCA, se intercambia el aparato con la placa/prisma que estaba en C,

Las plataformas nivelantes permanecen fijas

Los ejes principales del aparato y de la placa de puntería/prisma quedan situados, ahora,

A’

en C’ y B’, respectivamente

Respecto de la posición anterior, las diferencias de centrado ABC

B’ AC’

en los puntos A’B’C’ son “nulas”

Del orden de 0.2mm

B

C

BCA

26/02/2009 30Topografía I

ETSI Topografía G y C U.P.M.

Documento de trabajo del alumno Topografía I

355

16.6 Equipo de poligonación de centrado forzoso Las desviaciones o errores de centrado sobre los puntos del suelo afectan, aisladamente, a la determinación de cada punto

Pero no tienen ningún tipo de influencia en el cierre del polígono aéreo realmente observado A’B’C’

El centrado sobre cada punto del terreno se hace con plomada ópticap p p

La cota máxima de error previsible en el centrado, con plomada óptica, está en orden a los dos mm

A’

está en orden a los dos mm

El error que cabe esperar en el ajuste de los diferentes

B’ AC’

componentes del equipo de centrado forzado es del orden de dos décimas de mm

B

CCPara la observación de un itinerario taquimétrico se sigue un procedimiento análogo

26/02/2009 31Topografía I

ETSI Topografía G y C U.P.M. Prg. A.T 17

Documento de trabajo del alumno Topografía I

356

NivelaciónNivelación

Unidad temática VIII

26/02/2009 1Topografía I

ETSI Topografía G y C U.P.M. Prg. A.

Documento de trabajo del alumno Topografía I

357

Documento de trabajo del alumno Topografía I

358

Unidad Temática VIII. Nivelación

Tema 17

Nivelación I

La nivelación y los instrumentos altimétricos

Tema 18

Nivelación II

Métodos altimétricosMétodos altimétricos

20/02/2009 5Topografía I

ETSI Topografía G y C U.P.M.T 16Prg. A.

Unidad Temática VIII. Avance de contenidosTema 17. Nivelación I

La nivelación y los instrumentos altimétricosy

Determinación del desnivel mediante visuales horizontales

Niveles o equialtímetrosNiveles o equialtímetros

Errores en nivelación

Equipo de nivelación de alta precisiónEquipo de nivelación de alta precisión

Tema 18. Nivelación II

Métodos altimétricos

La nivelación geométrica o por alturas

Nivelación simple y compuesta

Métodos de nivelación

20/02/2009 6Topografía I

ETSI Topografía G y C U.P.M. T 19Prg. A.

Documento de trabajo del alumno Topografía I

359

Documento de trabajo del alumno Topografía I

360

Nivelación INivelación ILa nivelaciónLa nivelación y los instrumentos altimétricosy los instrumentos altimétricos

Tema 17Tema 17

20/02/2009 9Topografía I

ETSI Topografía G y C U.P.M.

Tema 17 Nivelación IL ni l ión l in tr m nt ltimétriLa nivelación y los instrumentos altimétricos

17.1 Determinación del desnivel mediante visuales horizontales

17.2 Niveles o equialtímetrosClasificación; tipos y utilización

Niveles de anteojo Niveles sin anteojojNiveles de planoNiveles de línea

ManualesAutomáticos

jNiveles láserNiveles expeditos

HidrostáticosPéndulo

Lectura ordinariaLectura electrónica

17.3 Miras de nivelación

Clisímetros

17.4 Condiciones que deben cumplirse en la construcción, ajuste y utilización del nivel

En niveles manuales, automáticos, electrónicos, y láser

17.5 El error total y el error kilométrico

17.6 El nivel de precisión; equipo de nivelación de alta precisiónC di i d b li l t ió j t tili ió i l d i ió

20/02/2009 10Topografía I

ETSI Topografía G y C U.P.M.

Condiciones que deben cumplirse en la construcción, ajuste y utilización en niveles de precisión

T 18Prg. A.

Documento de trabajo del alumno Topografía I

361

Documento de trabajo del alumno Topografía I

362

17.1 Determinación del desnivel mediante visuales h i lhorizontales

La determinación del desnivel entre dos puntos puede efectuarse por tres procedimientosp p p

Nivelación geométrica o por alturas

Los desniveles se determinan utilizando visuales horizontales

Los instrumentos utilizados son los niveles o equialtímetrosEn la observación se obtienen lecturas sobre la mira

Nivelación trigonométrica o por pendientesNivelación trigonométrica o por pendientes

Se utilizan visuales inclinadas

El instrumento utilizado es un taquímetro

Los desniveles se calculan a partir de la observación de ángulos verticales y distancias

Nivelación barométrica

Los desniveles se obtienen a partir de la diferencia de presión entre los puntos

Los instrumentos utilizados son barómetros o altímetros

20/02/2009 13Topografía I

ETSI Topografía G y C U.P.M.

Los instrumentos utilizados son barómetros o altímetros

17.1 Determinación del desnivel mediante visuales h i t lhorizontales

Nivelación geométrica o por alturas

Para determinar el desnivel entre dos puntosPara determinar el desnivel entre dos puntos se estaciona entre ellos un nivel o equialtímetro y se sitúa una mira en cada uno de los puntos

El instrumento dirige una visual horizontal a cada mira

La observación consiste en obtener las lecturas del hilo horizontal del retículo sobre las mirasdel hilo horizontal del retículo sobre las miras

Por diferencia de lecturas se obtiene el desnivel entre los dos puntos considerados

lBB

ZAB = LA -

LB

zAB

A

lA

20/02/2009 14Topografía I

ETSI Topografía G y C U.P.M.

Documento de trabajo del alumno Topografía I

363

17.2 Niveles o equialtímetrosClasificación; tipos y utilizaciónClasificación; tipos y utilización

Los instrumentos altimétricos, a diferencia de los goniómetros, están diseñados para la medida de desniveles y no de ángulosestán diseñados para la medida de desniveles y no de ángulos

Clasificación

Niveles sin anteojoNiveles de anteojo Niveles sin anteojo

Niveles láser

Niveles expeditos

Niveles de anteojo

Niveles de plano

Niveles de línea Niveles expeditos

Péndulo

Clisímetros

Niveles de línea

Manuales

AutomáticosHidrostáticos

Lectura ordinaria

Lectura electrónica

20/02/2009 15Topografía I

ETSI Topografía G y C U.P.M.

17.2 Niveles o equialtímetrosNiveles de anteojoNiveles de anteojo

Los niveles de anteojo disponen de un anteojo de enfoque interno, cuyo eje de colimación define visuales “estrictamente” horizontales

Estos niveles pueden clasificarse en función del procedimiento que garantiza la horizontalidad del eje de colimación

Niveles de planoNiveles de plano

Niveles de línea

Niveles de plano

E. P.

Eje de colimaciónNivel ó i

El anteojo está rígidamente unido al eje principal, E.P.

El E.P. es perpendicular a la plataforma de nivelación del aparato

El nivel se pone en estación, calando la burbuja de un nivel tórico, mediante los tornillos de la

tórico

El nivel se pone en estación, calando la burbuja de un nivel tórico, mediante los tornillos de la plataforma nivelante, llevando el eje principal en la dirección de la vertical

El eje de colimación es perpendicular al eje principal, por construcción

Por ello quedará en posición horizontal al estacionar el instrumento

Al girar el anteojo alrededor del eje principal, el eje de colimación describirá un plano horizontal

Estos niveles han quedado obsoletos al tener que cumplir requisitos que implican gran tamaño y alto coste, frente a la mayor sencillez de los niveles de línea

20/02/2009 16Topografía I

ETSI Topografía G y C U.P.M.

y , y

Documento de trabajo del alumno Topografía I

364

17.2 Niveles o equialtímetrosNiveles de anteojoNiveles de anteojo

Niveles de línea (manuales)En los niveles de línea sólo se asegura la horizontalidad del eje de colimaciónEn los niveles de línea sólo se asegura la horizontalidad del eje de colimación en cada puntería, independientemente

El anteojo gira, como en los niveles de plano, alrededor del E.P.

Pero, en estos niveles, no es necesario que el E.P. quede, estrictamente, vertical en la puesta en estación

Al estacionar, bastará con una aproximación que se logra, fácilmente, con la ayuda de un nivel esférico

La horizontalización precisa del eje de colimación, para cada observación, se consigue mediante el “tornillo de cabeceo”

El tornillo de cabeceo permite dar pequeños giros al anteojo, alrededor de un eje horizontal

E. P.

E. colimación

Un nivel tórico, muy sensible, nos asegurará la horizontalidad precisa del eje de colimación en cada dirección de observación

Tornillo de cabeceoNivel tórico (burbuja partida)

20/02/2009 17Topografía I

ETSI Topografía G y C U.P.M.

en cada dirección de observación

17.2 Niveles o equialtímetrosNiveles de anteojoNiveles de anteojo

Niveles de línea (automáticos)

Para facilitar la labor del observador los constructores de instrumentos topográficos diseñaron dispositivos que permiten realizar la horizontalización, automáticamente, sin tornillo de cabeceo

Los primeros diseños de los constructores pretendían suspender todo el anteojo de manera que bajo la influencia de la gravedadsuspender todo el anteojo de manera que, bajo la influencia de la gravedad, se cumplieran los requerimientos de horizontalización del eje de colimación

Evidentemente, con este sistema no consiguieron un mecanismo preciso y estable

Había que suspender una gran masa, lo que producía ciertas fricciones en la suspensión, además de otros inconvenientes

La primera firma constructora de mecanismos compensadores fue la casa p pZeiss en su modelo Opton

20/02/2009 18Topografía I

ETSI Topografía G y C U.P.M.

Documento de trabajo del alumno Topografía I

365

17.2 Niveles o equialtímetrosNiveles de anteojoNiveles de anteojo

Niveles de línea (automáticos)La visual horizontal, en la posición teórica, pasaría por el hilo horizontal del retículo, r

Supuesto un nivel cuyo anteojo (eje de colimación) no ocupe una posición horizontal,

rretículo

siendo α el error de verticalidad

En la práctica, debido a la inclinación del anteojo, la visual horizontal incide por encima (o por debajo) P

hα

a sua o o ta c de po e c a (o po debajo)del hilo horizontal, en un punto h ≠ r

Para conseguir la incidencia correcta en r podrían adoptarse dos soluciones

P

β

f: focal

horizontal

Desplazar el retículo hasta que el punto r se sitúe en h

Quebrar, en un momento dado, el rayo horizontal para que incida en r

B t í ll i l j

f: focalβ: áng. desviaciónd = pr

Bastaría para ello un simple espejo

Se llama coeficiente de compensacióno factor de amplificación del compensadoral factor n que resulta de la relación

nβ

=α

fd

=

20/02/2009 19Topografía I

ETSI Topografía G y C U.P.M.

al factor n, que resulta de la relación

17.2 Niveles o equialtímetrosNiveles de anteojoNiveles de anteojo

Niveles de línea (automáticos)Para conseguir compensadores de pequeño tamaño el punto P se sitúa en el interior del anteojo

Si n = 1, entonces f = d nβ

=fd

=En este caso P coincidiría con el centro óptico del objetivo

Si n = 2, entonces d = f/2

α d

f: focalβ: áng. desviación

Evidentemente, el mecanismo compensador no puede situarse en el centro óptico del objetivo

Para conseguir un menor tamaño hα P

β

β gd = pr

horizontalgse acerca P al plano imagen

Para ello n > 2

En general los compensadores constan de dos elementos básicos:

βhorizontal

En general los compensadores constan de dos elementos básicos:

Un elemento óptico, rígidamente unido al anteojo

Una parte móvil, sometida al fenómeno de la gravedad

20/02/2009 20Topografía I

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366

17.2 Niveles o equialtímetrosNiveles de anteojoNiveles de anteojo

Niveles de línea. Lectura electrónica

El principio de medición de los niveles o equialtímetros electrónicos está basado en las técnicas del procesamiento de imágenes

Puede conseguirse el procedimiento de medida casi completamente automatizado

El equipo incluye

Un equialtímetro

Miras especialmente adaptadas paraMiras especialmente adaptadas para permitir la lectura electrónica

20/02/2009 21Topografía I

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17.2 Niveles o equialtímetrosNiveles de anteojoNiveles de anteojo

Niveles de línea. Lectura electrónicaMiras de nivelación

En una de las caras la mira tiene una graduación especial

C i t ódi bi i d bConsiste en un código binario de barras

En 4.05m, 2000 líneas o elementos alternando blanco y negro

En la otra cara, la mira, tiene una graduación convencional

La mira se fabrica con material sintético, de fibra de vidrio reforzada, eléctricamente no conductor

Son miras muy ligerasy g

El coeficiente de dilatación es de 10 p.p.m./ o C

Esto supone 0.4mm/10oC, para una longitud de 4m

La mira va provista de un nivel esférico y asas para poder sujetarla con facilidad

También puede estacionarse con un trípode especial muy ligero

20/02/2009 22Topografía I

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367

17.2 Niveles o equialtímetrosNiveles de anteojoNiveles de anteojo

Niveles de línea. Lectura electrónica

Nivel o equialtímetro

El equialtímetro tiene l i t ó ti á ilos mismos componentes óptico mecánicos que un equialtímetro convencional

Difiere en que un grupo de 256 fotodiodos “hace” las funciones del ojo humano, para “capturar” la imagen de la mira

Los fotodiodos recogen la imagen del código de barras de la mira y la convierten en una señal digital

Mediante el procedimiento de correlación, esa imagen se compara con la señal de referencia (imagen total de la mira)

Se determinan así las lecturas de los hilos del retículo y la distancia a la mira

20/02/2009 23Topografía I

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17.2 Niveles o equialtímetrosNiveles de anteojoNiveles de anteojo

Niveles de línea. Lectura electrónicaNivel o equialtímetroNivel o equialtímetro

En el modelo WilD NA 2000

La apertura angular es de 2o

La distancia mínima de observación es de 1.8m La correspondiente sección de mira codificada es de sólo 7cm

Para una distancia de observación de 100m, la correspondiente sección l i d 3 5 i d ten la mira es de 3.5m, aproximadamente

Todas las lecturas realizadas electrónicamente se almacenan, de forma automática, en un módulo interno de registro para

t i t t i t t f i d dsu posterior tratamiento o transferencia a un ordenador

La información adicional puede introducirse a través del teclado

Número de punto, código, etc.

El desarrollo del trabajo y los resultados se pueden seguir, fácilmente, en la pantalla

20/02/2009 24Topografía I

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p g p

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368

17.2 Niveles o equialtímetrosNiveles de anteojoNiveles de anteojo

Niveles de línea. Lectura electrónicaProcedimiento de la medida

Las operaciones manuales que se realizan sonPuesta en estación del nivel

Para estacionar el equialtímetro es suficiente nivelarlo, aproximadamente, con la ayuda del nivel esféricocon la ayuda del nivel esférico

El instrumento cuenta con un dispositivo compensador automático

Conexión y selección del programa de medición

Puntería y enfoque a la miraPuntería y enfoque a la mira

Activación del sensor

Las operaciones que se realizan, automáticamente, para completar el proceso de medida sonpara completar el proceso de medida son

Correlación groseraPara la determinación aproximada de la altura de la señal y la imagen de la sección de mira

Correlación finaPara la determinación precisa de las lecturas de mira definitivas y distancia

Procesado y registro de los resultados, conforme al programa seleccionado

P t ió t ll

20/02/2009 25Topografía I

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Presentación en pantalla

17.2 Niveles o equialtímetrosNiveles sin anteojoNiveles sin anteojo

Niveles láser. Descripción del nivel

El principio del nivel láser consisteEl principio del nivel láser consiste, básicamente, en un rayo láser que gira alrededor del eje principal del nivel, al cual es normalal cual es normal

Cuando el eje principal sea vertical el plano definido por el rayo láser será horizontalserá horizontal

El haz se quiebra en ángulo recto gracias a un prisma pentagonalgracias a un prisma pentagonal que gira alrededor del eje principal

Se genera ,así, un plano de referencia d l i f jde luz infrarroja

El láser de luz infrarroja se emite, sólo, cuando el prisma pentagonal está en rotación

20/02/2009 26Topografía I

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369

17.2 Niveles o equialtímetrosNiveles sin anteojoNiveles sin anteojo

Niveles láser. Utilización

La puesta en estación del instrumento se realiza nivelándoloLa puesta en estación del instrumento se realiza nivelándolo

La intervención del observador que da reducida al calado del nivel esférico

El aparato cuenta con un compensador de péndulo, automático, que mantiene la horizontalidad del plano de nivelación

En el modelo LN A2 de Wild se consigue con una precisión de ± 0.5 ’’

Con la ayuda de un adaptador se puede generar un plano-láser vertical y p p g pcon una precisión de 5’’

El alcance (longitud de nivelada) puede llegar a los 250m p gen condiciones atmosféricas convenientes

Cuando el instrumento está dispuesto para comenzar a medirpara comenzar a medir el operador puede alejarse, situándose en los distintos puntos que interese, dentro del área barrida por el láser

Un transmisor de control remoto facilita la manipulación a distancia

20/02/2009 27Topografía I

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Un transmisor de control remoto facilita la manipulación a distancia

17.2 Niveles o equialtímetrosNiveles sin anteojoNiveles sin anteojo

Niveles láser. Mira - detector

El plano definido por la rotación del láser se detectaEl plano definido por la rotación del láser se detecta mediante el montaje de un detector sobre la mira

El detector se coloca en la mira mediante una abrazadera, i t d t ill d íprovista de tornillos de guía

Estos permiten desplazar la abrazadera a lo largo de la mira

El detector se desplaza en el sentido conveniente, indicado en un visualizador, p , ,hasta que el detector queda a “nivel”

Esta posición se indica en el visualizador y con una señal audible

En esta situación se toma la lectura de mira mediante las cuñas de indicación que lleva la abrazadera, que coinciden con el plano definido por el haz láser

20/02/2009 28Topografía I

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370

17.3 Miras de nivelación

Las miras son reglas graduadas a las que se dirigen las visuales durante las operaciones de nivelación

Se colocan verticalmente en los puntos del terreno

Deben reunir características muy estrictas de precisión

Homogeneidad en la graduación garantizada

Inalterabilidad frente a las variaciones de temperatura

Además se suelen cubrir de una capa antirreflejanteAdemás se suelen cubrir de una capa antirreflejante

Se fabrican en diferentes materiales, buscando, también, que sean ligeras y manejables

Se han utilizado mucho miras de madera

El material más habitual es el aluminio

Actualmente se emplean otros materiales sintéticosActualmente, se emplean otros materiales sintéticos, como fibra de vidrio

También se utiliza el invar en las miras de alta precisión

20/02/2009 29Topografía I

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17.3 Miras de nivelación. AccesoriosSiempre se ha de disponer de un nivel esféricoSiempre se ha de disponer de un nivel esféricopara garantizar la correcta posición vertical de la mira

Las miras nunca deben situarse directamente sobre el terreno, sino sobre una base especial o zócalo

Los zócalos son placas de estacionamiento

Se fijan al terreno mediante tres patas en puntaSe fijan al terreno mediante tres patas en punta

En la parte superior llevan un pivote sobre el que se apoya la mira, que podrá girar para facilitar las observaciones de frente y espalda, sin desplazamiento vertical alguno

Así se evitarán pequeños desplazamientos debidos a hundimientos del terreno y a diferencias en el apoyo entre la observación de frente y la de espaldaentre la observación de frente y la de espalda

En los puntos de altitud o cota conocida, la mira debe apoyarse, directamente,

b l ñ l t i li l tsobre la señal que materializa el punto

Las miras se gradúan, en general, en dobles milímetros

Para nivelación industrial en distancias cortas se gradúan en mm

20/02/2009 30Topografía I

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Para nivelación industrial, en distancias cortas, se gradúan en mm

Documento de trabajo del alumno Topografía I

371

17.4 Condiciones que deben cumplirse l t ió j t tili ió d l i len la construcción, ajuste y utilización del nivel

En niveles manuales, automáticos, electrónicos y láser

En planimetría, el límite de percepción visual (0.2mm) determina, en función de la escala, la cota máxima de error admisible

Los errores por debajo de esa cota máxima pueden considerarse despreciables

Los objetos de menor tamaño no tienen representación

En altimetría c alq ier error cometido en la toma de datos se transmite directamenteEn altimetría cualquier error cometido en la toma de datos se transmite directamente y en toda su magnitud al desnivel que se pretende obtener

Un desnivel o una cota es un número y se puede escribir con cualquier aproximación

En general los trabajos de altimetría exigen precisiones muy altas, frecuentemente, del orden del milímetro

20/02/2009 31Topografía I

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17.4 Condiciones que deben cumplirse en la construcción ajuste y utilización del nivelen la construcción, ajuste y utilización del nivelDefectos de ajuste. Error de colimación

En los niveles de línea manuales se consigue la horizontalización precisa del eje de colimación mediante el tornillo de cabeceo

Un nivel tórico muy sensible garantiza dicha horizontalidad y gen cada dirección, independientemente

El error de colimación consiste en la falta de horizontalidad del eje de colimación (una vez estacionado el nivel) Directriz paralela al E colimación(una vez estacionado el nivel)

E. colimaciónEn niveles manuales es debido a la falta de paralelismo entre la directriz del nivel tórico

directriz

Directriz paralela al E. colimación

la directriz del nivel tórico y el eje de colimación del anteojo

En niveles automáticos equivale a una infra o sobre compensación, directrizp ,debida a desajustes en el dispositivo compensador

directriz

20/02/2009 32Topografía I

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372

17.4 Condiciones que deben cumplirse l ió j ili ió d l i len la construcción, ajuste y utilización del nivel

Defectos de ajuste. Error de colimaciónLa influencia lineal e en las lecturas de mira de un error de colimación εLa influencia lineal, e, en las lecturas de mira, de un error de colimación, ε, será la diferencia entre

la lectura correcta de mira, l (para una teórica visual horizontal)

y la lectura efectuada, l’ (visual inclinada un ángulo ε)

La influencia lineal depende de la distancia entre el nivel y la mira

etg

Dε =

lA

l’AeAε

l

l’B

eB

e = D · tg ε

B

A

A lB

DEAE

Se pueden obtener desniveles exentos de la influencia de este error realizando la observación por el método del punto medio

DEDE

B

20/02/2009 33Topografía I

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realizando la observación por el método del punto medio

17.4 Condiciones que deben cumplirse l ió j ili ió d l i len la construcción, ajuste y utilización del nivel

Defectos de ajuste. Error de colimación

El error de colimación puede detectarse observando el desnivel entre dos puntos, primero por el método de punto medio (P.M.) y, después, por el método de punto extremo (P.E.) y, p , p p ( )(Práctica 10. Comprobación de un nivel o equialtímetro)

Si ambos desniveles coinciden, el instrumento no tiene error

Si los dos desniveles obtenidos difieren, entonces la visual proporcionada por el instrumento no es horizontal

Para obtener el valor del ángulo de error, ε, consideraremosPara obtener el valor del ángulo de error, ε, consideraremos

La diferencia, h, entre el desnivel obtenido por P.M. y por P.E.

La distancia, d, entre las miras

El error de colimación, ε, resulta harctg

dε =

20/02/2009 34Topografía I

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373

17.4 Condiciones que deben cumplirse l t ió j t tili ió d l i len la construcción, ajuste y utilización del nivel

Condiciones teóricas en la utilización. Errores accidentalesError de horizontalidadError de horizontalidad

Análogo al error de verticalidad del eje principal del teodolito (influencia en lecturas verticales)

En niveles manuales la cota máxima de error previsible es:

h

1e S

3=

Con nivel de coincidencia se reduce considerablemente 2 2 1 1S S

S: sensibilidad del nivel tórico

h

2 2 1 1e a S S

3 3 20 30= ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅

E d t í

En niveles automáticos depende de la precisión del compensador

Error de punteríaAnálogo al de puntería del teodolito (para punterías cenitales)

La cota máxima de error previsible es cc cc60 100pp

60 00e

A A≤ ≤

Error total2 2

T h pE e e= +ET es el error angular por nivelada

20/02/2009 35Topografía I

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T h pET es el error angular por nivelada

17.5 El error total y el error kilométricoLlamamos error total a la cota máxima de error que, previsiblemente, cabe esperar

d t i d b ió i l d ( d t i d di t i )en una determinada observación o nivelada (a una determinada distancia)

con un determinado nivel (dadas sus características)

El error angular total valdrá 2 2El error angular total valdrá 2 2T h pE e e= +

Y el error lineal en una nivelada de longitud l[metros] será, El = ET · l

El error kilométrico es el error que cabe esperar en la nivelación de 1km

Con un instrumento de A aumentos y nivel de sensibilidad S

Con niveladas de longitud lg

km l

1000E E

l= ⋅

Error lineal en 1000/l niveladas

El error kilométrico es del orden de

Ek ≈ 7mm en nivelación convencional

Ek ≈ 1mm en nivelación de alta precisión

20/02/2009 36Topografía I

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k p

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374

17.6 El nivel de precisión;E i d i l ió d l i ióEquipo de nivelación de alta precisiónCondiciones que deben cumplirse en la construcción, ajuste y utilización en niveles de precisiónv p

Para conseguir precisiones del orden de 1mm por kilómetro de itinerario de nivelación, habrán de reducirse al mínimo los diferentes errores que intervienen en el proceso q pde la observación

Las causas que limitan la precisión de un nivel o equialtímetro son, fundamentalmente, los errores de horizontalidad y punteríalos errores de horizontalidad y puntería

Con el fin de minimizarlos se utilizan equipos de nivelación que incorporan

Niveles automáticos con compensadores de alta precisiónp p

Dispositivos de lectura con retículo de cuña y sistema de coincidencia

Miras de invar con doble graduación

Además, la observación se realizará por el método de punto medio

Las niveladas tendrán una longitud del orden de 25 a 30m

20/02/2009 37Topografía I

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17.6 El nivel de precisión; Equipo de nivelación de alta precisiónDispositivos de lectura: Retículo de cuña y sistema de coincidenciap y

Micrómetros de coincidencia. Lámina de caras plano paralelasSe sitúa una placa de vidrio de caras plano paralelas en el camino de los rayos p p p yentre el anteojo y la mira

Si la placa es perpendicular al eje de colimación la imagen de la marca de la graduación de la mira e

Anteojo Plano del retículo

Mira invar

e: espesorn: índice refracción

g gse forma sin desviación en el plano del retículo

Si se inclina la placa, la trayectoria se desviará, saliendo de la lámina en dirección paralela H Hz Δ

retículo

358

360

pa la de incidencia

La traslación Δ que sufre el rayo es proporcional:

al ángulo de inclinación (i) de la lámina (variable en cada observación)

i 356

al ángulo de inclinación (i) de la lámina (variable en cada observación)

al espesor (e) y al índice de refracción (n) de la lámina (constantes del dispositivo)

Para hacer cada lectura, la placa se inclinará hasta que la imagen de una marca de la graduación de la mira llegue a formarse en coincidencia con el hilo horizontal della graduación de la mira llegue a formarse en coincidencia con el hilo horizontal del retículo (en forma de cuña)

Para conocer el desplazamiento Δ en cada lectura, el ángulo i de inclinación se medirá con un tornillo micrométrico de precisión

20/02/2009 38Topografía I

ETSI Topografía G y C U.P.M.

se medirá con un tornillo micrométrico de precisión

Documento de trabajo del alumno Topografía I

375

17.6 El nivel de precisión;E i d i l ió d l i ióEquipo de nivelación de alta precisiónDispositivos de lectura: Retículo de cuña y sistema de coincidencia

El retículo de cuña es una modificación del retículo usual

La mitad del hilo horizontal se sustituye por un doble hilo, acuñado

Dos hilos divergentes en forma de cuña

Por medio de un micrómetro de lámina plano paralela adicionadoPor medio de un micrómetro de lámina plano paralela, adicionado al anteojo, se hace la coincidencia a la marca oportuna de la graduación de la mira

La marca se biseca con el hilo sencillo y se encuadra con los hilos en cuña360 y se encuadra con los hilos en cuña

En la figura: 358cm

En el micrómetro se lee la fracción correspondiente

358

356

360

Mi fracción correspondiente

En la figura: 0.68cmEn la práctica los micrómetros suelen tener un recorrido de ± 5mm

La escala dividida en 100 partes proporciona una fracción de 0 1mm

Mira invar

20/02/2009 39Topografía I

ETSI Topografía G y C U.P.M.

La escala, dividida en 100 partes, proporciona una fracción de 0.1mm

17.6 El nivel de precisión;E i d i l ió d l i ióEquipo de nivelación de alta precisiónMiras de invar

Las miras de invar constan de un zócalo de madera sobre el que se tensa una cinta de invar

En la cinta se graba una doble graduación, decalada media división una respecto a la otra

La observación sobre la mira se hace obteniendo dos lecturas, una en cada escala de la graduación

La diferencia entre las dos lecturas será constante, detectándose cualquier error fortuito que pudiera cometerse

La mira se estaciona sobre zócalo, con la ayuda de dos puntales telescópicos, calando la burbuja de un nivel esférico

20/02/2009 40Topografía I

ETSI Topografía G y C U.P.M.T 18

Documento de trabajo del alumno Topografía I

376

Nivelación IINivelación II

Métodos altimétricosMétodos altimétricos

Tema 18Tema 18

20/02/2009 1Topografía I

ETSI Topografía G y C U.P.M.

Tema 18Nivelación II. Métodos altimétricos

18.1 La nivelación geométrica o por alturas

18 2 Nivelación simple y compuesta18.2 Nivelación simple y compuesta

18.3 Método del punto medio18.3 Método del punto medio

18.4 Método de estaciones equidistantes

18.5 Método de estaciones exteriores

18.6 Nivelación radial

20/02/2009 2Topografía I

ETSI Topografía G y C U.P.M. T 5Prg. A.

Documento de trabajo del alumno Topografía I

377

Documento de trabajo del alumno Topografía I

378

18.1 La nivelación geométrica o por alturasEste procedimiento para obtener desniveles conlleva la utilización de visuales horizontales

P d t i l d i l t d tPara determinar el desnivel entre dos puntos se sitúa una mira en cada uno de los puntosEl instrumento, convenientemente estacionado, , ,dirige una visual horizontal a cada miraLa observación consiste en obtener las lecturas del hilo horizontal del retículo sobre las mirasdel hilo horizontal del retículo sobre las mirasPor diferencia de lecturas se obtiene el desnivel entre los dos puntos considerados

lBB

ZAB = LA -

LB

zAB

A

lA

A: Mira de espaldaB: Mira de frente

20/02/2009 5Topografía I

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18.2 Nivelación simple y compuestaNivelación simple

Cuando los puntos, A, B, cuyo desnivel se pretende conocer, están próximos y además el desnivel es pequeño

Entonces puede abordarse la observación del desnivel haciendo un sola estaciónhaciendo un sola estación

Para ello deberá cumplirseLas distancias desde E a los puntos A y B no superen los 100 mLas distancias desde E a los puntos A y B no superen los 100 m

Desde el punto de estación E se pueda observar sobre ambas miras la lectura correspondiente al hilo horizontal del retículo

La observación puede realizarse aplicando diferentes métodos

P t di

Dist. observación < 100 m

BPunto medio

Estaciones equidistantes

Estaciones exteriores

Δz < 4 mE

A

B

20/02/2009 6Topografía I

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Estaciones exteriores

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379

18.2 Nivelación simple y compuestaNivelación compuesta

Cuando los puntos, cuyo desnivel se pretende conocer, tá l j destán alejados

También cuando, aun estando próximos, el desnivel es mayor de cuatro metrosel desnivel es mayor de cuatro metros

En estos casos haciendo una sola estación no podrá abordarse la observación del desnivel F

Resultará, entonces, imprescindible utilizar puntos intermedios o puntos de paso

El desnivel se obtendrá observando E3

E4

DΔz > 4 m

Dist. observación < 100 m

El desnivel se obtendrá observando un itinerario de nivelación

E2

E3

C

Δz < 4 mE1

A

B ZAF = ZA

B + ZBC + ZC

D + ZDF

20/02/2009 7Topografía I

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A

18.2 Nivelación simple y compuesta

Nivelación compuesta

E d t d l iEn cada punto de paso, la mira

Se observa “de frente” y “de espalda”

Gi l d d d l ti l i d lGira alrededor de la vertical sin desplazarse

El desnivel total es el resultado de restar de la suma de todas las miras de espalda E

F

de la suma de todas las miras de espalda la suma de todas las miras de frente

E3

E4

D ZDF =ED - FF

Z F = Z B + Z C + Z D + Z F

E2

C ZCD = EC - FD

ZA = ZA + ZBC + ZC + ZD

E1

A

BZB

C = EB - FC

ZAB =EA - FB

ZAF = (EA + EB + EC + ED) – ( FB + FC + FD+ FF)

20/02/2009 8Topografía I

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380

18.2 Nivelación simple y compuesta

Nivelación compuesta

Tanto los puntos inicial como finalTanto los puntos inicial como final estarán situados sobre superficies estables

En los puntos de paso se colocará la mira sobre un zócalo cuando la superficie de apoyo no sea estable

En los puntos de altitud conocida E

F

En los puntos de altitud conocida o en los que se pretende obtenerla se colocará la mira sin zócalo

E3

E4

D ZDF = LD - LF

BE2

C ZCD = LC - LDZA

F = ZAB + ZB

C + ZCD + ZD

F

E1

A

ZBC = LB - LC

ZAB = LA - LB

20/02/2009 9Topografía I

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18.2 Nivelación simple y compuestaNi l ióNivelación compuesta

Frecuentemente un itinerario de nivelación se observa para dar cota, o en su caso altitud a una serie de puntoso en su caso altitud, a una serie de puntos

Si el itinerario se inicia y finaliza en puntos de cota, o en su caso altitud conocida puede comprobarse la bondad de la observaciónaltitud, conocida puede comprobarse la bondad de la observación

La suma de todos los desniveles observados debe ser igual al desnivel entre los puntos inicial y final

La diferencia, o error de cierre, deberá ser menor a la tolerancia preestablecida para dicho itinerario

Si no es conocido el desnivel entre los puntos inicial (I) y final (F)Si no es conocido el desnivel entre los puntos inicial (I) y final (F) del itinerario, la bondad de la observación puede controlarse observando el itinerario de I a F (ida) y después de F a I (vuelta)

En este caso es recomendable observar cerrando “anillos”Cada 8 ó 10 puntos de paso se colocará la mira sobre un punto estable, sin zócalo perfectamente identificable tanto a la ida como a la vuelta

20/02/2009 10Topografía I

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sin zócalo, perfectamente identificable tanto a la ida como a la vuelta

Documento de trabajo del alumno Topografía I

381

18.3 Método del punto medio (o equidistante)S t A B l d t d i l i d t iSupuestos A y B los dos puntos cuyo desnivel quiere determinarse se estaciona un nivel en un punto “E” de manera que sean iguales las distancias desde “E” a los puntos A y B

D’’D’’ E’’

DDBA

E Planta

D’D’

E’Alzado

ZAB = LA -

LB

LBB

Alzado

LB

zAB

LA

DD

E

20/02/2009 11Topografía I

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ADD

18.3 Método del punto medio (o equidistante)Si el instrumento tiene un error de horizontalidad εlas visuales no serán, exactamente, horizontales

La influencia lineal e en las lecturas de mira de este error angular ε depende de la distancia de la nivelada

Dada la equidistancia de E respecto de A y BDada la equidistancia de E respecto de A y B las influencias eA y eB que afectan a las lecturas LA y LB son iguales

El desnivel ZAB se obtiene sin error

ZAB = L’A – L’B = (LA + eA) – (LB + eB) = LA - LB

ZAB = LA -

LB

LBB

L

eBeA ε ε

L’A

L’B

zAB

A

LA

DD

E

20/02/2009 12Topografía I

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A

Documento de trabajo del alumno Topografía I

382

18.3 Método del punto medio (o equidistante)Como el error de horizontalidad suele ser pequeño, en nivelaciones topográficas no se requiere gran precisión en la igualdad de las distancias

En general, resulta suficiente medir a pasos las distancias entre el punto de estación y las miras

Son indudables las ventajas del métodoSon indudables las ventajas del método

Con una sola estación puede obtenerse el desnivel entre puntos distantes 160 / 200mp

La pendiente del terreno determina también la longitud de las niveladas

Si se rebasan ciertos límites habrá de acortarse dicha longitud ya que no se podrá observar las miras por quedar más altas o más bajas que la visual horizontalobservar las miras por quedar más altas o más bajas que la visual horizontal

Se anula la influencia del error de horizontalidad

Se anula la influencia de los errores de esfericidad y refracciónSe anula la influencia de los errores de esfericidad y refracción

Apreciándose el milímetro, no son despreciables los 0.7mm que suponen dichos errores a una distancia de 100 m

20/02/2009 13Topografía I

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18.4 Método de estaciones equidistantesS t i i t l i t t ESe estaciona primeramente el instrumento en E

LA y LB son las lecturas teóricas sobre las miras en A y B

Después se estaciona el aparato en E’ de forma que E’B = EA y E’A = EBDespués se estaciona el aparato en E de forma que E B EA y E A EBLas lecturas teóricas serán ahora L’A y L’B

Para un error de horizontalidad ε las observaciones sobre las miras cercana y lejana estarán afectadas por influencias lineales de valor e y e’ respectivamente

Los valores medidos para el desnivel desde las estaciones E y E’ resultanzA

B = (LA + e) – (LB + e’) z’AB = (L’A + e’) – (L’B + e)A ( A ) ( B ) A ( A ) ( B )

Tomando como valor definitivo para el desnivel el promedio de los anteriores se anula la influencia del error de horizontalidad

B A B A BL L L ' L '− + −

e’ e

B A B A BA

L L L Lz

2+

=

e’

B A B A BA

L e L e ' L ' e ' L ' ez

2+ − − + + − −

=

e

EA

B

ε ε

e

E’

A

B

ε ε e

LAL’A

LBL’B

20/02/2009 14Topografía I

ETSI Topografía G y C U.P.M.

A A

Documento de trabajo del alumno Topografía I

383

18.4 Método de estaciones equidistantes

Cuando no es posible estacionar a la misma distancia de las dos miras este procedimiento resulta una buena alternativa

Elimina la influencia del error de horizontalidad

Elimina la influencia de los errores de esfericidad y refracción

Los inconvenientes son fundamentalmenteLos inconvenientes son, fundamentalmenteSe requieren dos estaciones para obtener cada desnivel

Las niveladas son más cortas que por el método del punto medioq p p

B A B A BA

L L L ' L 'z

2− + −

=B A B A BA

L e L e ' L ' e ' L ' ez

2+ − − + + − −

=

e ε ε

e’ ε ε ee’

L’

EA

B

ε

E’

A

BLAL’A

LBL B

20/02/2009 15Topografía I

ETSI Topografía G y C U.P.M.

18.5 Método de estaciones exteriores

Puede considerarse una variante del método de estaciones equidistantes

Este método permite, al igual que el método de estaciones equidistantes, obtener desniveles en los que quedan eliminadas

L i fl i d l d h i t lid dLa influencia del error de horizontalidad

La influencia de los errores de esfericidad y refracción

Estacionando hacia el exterior de las miras no es necesario guardar equidistancia entre el nivel y las miras cercana y lejana de las dos estaciones que comprende la observaciónq p

Tomando como valor definitivo para el desnivel el promedio de los desniveles obtenidos en las dos estaciones exteriores

l l i fl i d l i di dse anulan las influencias de los errores indicados

20/02/2009 16Topografía I

ETSI Topografía G y C U.P.M.

Documento de trabajo del alumno Topografía I

384

18.6 Nivelación radial

La cota, o en su caso la altitud, de varios puntos se obtiene, frecuentemente, a partir de la cota o altitud conocida de un punto (Base)

Para ello es necesario obtener, por observación, los correspondientes desniveles entre el punto conocido y los demás

Sumando a la cota, o altitud, del punto conocido los desniveles observados se obtienen las cotas, o altitudes, de todos los demás puntos

En la práctica,

Se suma a la cota, o altitud, del punto conocido la lectura de mira observada sobre dicho puntop

Se obtiene así la cota, o altitud, del llamado plano de comparación del nivel

Las cotas o altitudes de todos los demás puntos se obtienen restando las lecturas de mira respectivas de la cota, o altitud, del plano de comparación

20/02/2009 17Topografía I

ETSI Topografía G y C U.P.M.

Documento de trabajo del alumno Topografía I

385

Documento de trabajo del alumno Topografía I

386

Métodos básicos deMétodos básicos delevantamiento de puntos

Unidad temática IX

26/02/2009 1Topografía I

ETSI Topografía G y C U.P.M. Prg. A.

Documento de trabajo del alumno Topografía I

387

Documento de trabajo del alumno Topografía I

388

TEMA 19

MÉTODOS BÁSICOS DE LEVANTAMIENTO DE PUNTOS

Las normas y procedimientos que tienen por objeto la obtención de la planimetría y altimetría del terreno, para la obtención de la representación cartográfica del mismo, a partir de la determinación de las coordenadas de los puntos seleccionados del mismo, constituyen los métodos topográficos planimétricos y altimétricos, todos ellos basados en la medida de ángulos y distancias.

Los métodos básicos son la radiación y el itinerario o poligonal.

19.1 MÉTODO DE RADIACIÓN

Es el método más sencillo de todos los métodos topográficos para el

levantamiento de puntos, y se utiliza en los trabajos de relleno como complemento de otros métodos. (ver apartado 3.5).

El método de radiación consiste en, conocidas las coordenadas de un punto E, dar coordenadas a los puntos circundantes elegidos (A, B, C y D), sin más que medir ángulos (acimutes) y distancias. (figura 1).

0g

A

BC

DL

L

L

L

AD

DBDC

DD

N

Σ E

E

θ = Σ + L EEA

EA

EA

EB

EC

ED

θ = Σ + L EEB

EB

θ = Σ + L EEC

EC

θ = Σ + L EED

ED

Figura 1

19.1.1 OBSERVACIONES DE CAMPO

Documento de trabajo del alumno Topografía I

389

Estacionados en un punto de coordenadas conocidas, se observa acimutalmente a una referencia ó referencias conocidas.

A continuación se observa a los diferentes puntos a los que se quiere

dar coordenadas, observando ángulos horizontales y verticales, midiendo las distancias, y anotando las alturas de instrumento y señal.

Al final de la observación, cumpliendo la normativa general para

cualquier observación, se comprobará la inmovilidad del instrumento, efectuando lectura sobre la referencia colimada desde esta estación.

19.1.2 CÁLCULO DE COORDENADAS El cálculo consistirá en la obtención de las coordenadas planimétricas y

altimétrica de todos los puntos observados desde la estación. Los cálculos se desarrollarán en el orden siguiente:

19.1.2.1 Planimetría

- Acimut de la estación a la(s) referencia(s) (θ RjE ), a partir de sus

coordenadas conocidas. - Desorientación de la vuelta de horizonte de la estación (ΣE).

(ΣE = θ RjE -L Rj

E ) Siendo L RjE la lectura horizontal a la(s) referencia(s)

ó desorientación promedio ( E

_Σ ), en caso de varias referencias (j)

-Acimutes de las direcciones a los puntos radiados (θ PE ),

siendo P = A, B, C, etc.

(θ PE =ΣE+L P

E ) Siendo L PE las lectura horizontales a los puntos

-Distancia horizontales a los puntos radiados:

si se han medido y corregido distancias geométricas (Dg PiE ):

Dh Pi

E = Dg PiE

• senV PiE

-Cálculo de las coordenadas planimétricas de todos los puntos radiados

XPi = XE + Dh Pi

E • sen θ PiE

YPi = YE + DhEPi • cos θE

Pi (1)

Documento de trabajo del alumno Topografía I

390

19.1.2.2 Altimetría

-Cálculo de las coordenadas altimétricas de todos los puntos radiados

ZPi = ZE + t PiE

+ iE - mPi + C(e+r)

siendo : PiE

PiEPi

E tanVDht = ó t Pi

E = Dg PiE • cosV Pi

E

y: 6

2

r)(e 1016C

×=+

Dh ó ( )42,0C2

r)(e RDh

=+

siendo: n

DhDh

PiE

n

j 1=Σ

= y R = 6 370 Km (radio medio de la tierra)

19.2 ORIENTACIÓN DE UN INSTRUMENTO. La orientación de un instrumento, consiste en obligarle a marcar una

lectura horizontal concreta en una dirección determinada. En el caso de la radiación, se pondrá en dirección de la referencia, una lectura horizontal igual al acimut topográfico de su dirección. Así, teóricamente, las lecturas horizontales, coincidirían con los correspondientes acimutes de las direcciones de todos los puntos radiados.

Esta operación de orientación del instrumento, es optativa en cualquier

observación. Si la observación se lleva a cabo con el instrumento orientado y se

observa con Regla de Bessel, las lecturas corregidas (promedio de CD y CI), no coincidirán exactamente con el acimut de la dirección, por lo que para su determinación, habrá que calcular previamente la desorientación de la vuelta de horizonte (muy pequeña) y por tanto corregir todos los acimutes de las direcciones observadas, no teniendo pues la ventaja aparente a priori.

19.3 UTILIZACIÓN DE UN INSTRUMENTO NO ORIENTADO. Es el caso general para la observación, no escogiendo ninguna lectura

predeterminada para ninguna dirección (conocida o no). Sí es conveniente para cualquier estación de instrumento, en cualquier

método de trabajo de observación horizontal, buscar una referencia “bien definida”, externa al propio trabajo, para anotar su lectura o, si es posible, poner una lectura igual a “cero”, (sólo posible en aparatos repetidores o electrónicos), que servirá para comprobar en cualquier momento la inmovilidad del instrumento o la repetibilidad de la estación.

19.4 ERRORES ACCIDENTALES EN PLANIMETRÍA.

Documento de trabajo del alumno Topografía I

391

La consideración de los errores accidentales en las magnitudes observadas en una radiación, ángulos y distancias (ver tema nºX), dará lugar al estudio de sus influencias ó consecuencias:

- Influencia en las magnitudes angulares: Error angular, Error Transversal. - Influencia en las magnitudes lineales: Error lineal, Error Longitudinal. - Error Total de una Radiación: Definición de Elipse de Error. - Transmisión de los errores accidentales en la radiación a las

coordenadas obtenidas (X,Y).

19.4.1 ERROR ANGULAR DE UNA RADIACIÓN ERROR TRANSVERSAL

El acimut calculado de la dirección de un punto radiado tendrá un error

que vendrá definido por la composición cuadrática de todos los errores de todas las magnitudes utilizadas en su cálculo:

(θ P

E = ΣE + L PE ); m 2

PEΘ= m 2

EΣ + m 2PEL

siendo P = A, B, C, etc…

PEL

m = eta = error total accidental acimutal, del instrumento utilizado en la

observación de la radiación en unas determinadas condiciones

y (ΣE = θ RiE -L Ri

E ); m 2EΣ = m 2

REΘ + m 2

REL

El error angular de cualquier punto radiado será por tanto el error

correspondiente a su acimut y como éste produce un desplazamiento “transversal” a la dirección de la radiación, se le llama Error Transversal de la Radiación. El punto quedará situado a derecha o izquierda de la dirección teórica. El Error Transversal máximo de una radiación será, lógicamente, el del punto más alejado de todos los radiados, siendo su expresión: (Figura 2)

ETRANS= m maxDhPE×

Θ

DhmaxETRANSVERSAL

mθ

P

E

Figura 2

Documento de trabajo del alumno Topografía I

392

19.4.2 ERROR LINEAL DE UNA RADIACIÓN ERROR LONGITUDINAL

A la distancia horizontal, calculada a partir de las mediciones de distancia

y ángulo cenital, le corresponderá un error que vendrá dado por la componente cuadrática de los errores de las magnitudes utilizadas en su cálculo:

Dh PiE = Dg Pi

E • senV Pi

E ; 22

22

2P

EPE

PE VP

E

PDgP

E

PDh

mVDhm

DgDhm ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

δδ

δδ

Como este error en la distancia horizontal de radiación produce un

desplazamiento en la misma dirección de la radiación, se le denomina Error Longitudinal de la Radiación: el punto quedará a una distancia mayor o menor que la teórica, pero en la dirección de radiación. El Error Longitudinal máximo de una radiación será el del punto más alejado de toda la radiación, siendo su expresión

ELONG = maxDhm (ELONG = error total accidental en la medida de la distancia más larga)

19.4.3 ERROR TOTAL DE UNA RADIACIÓN: ELIPSE DE ERROR

Determinados los errores, Transversal y Longitudinal, se definirá un error

Total de la radiación. Para lo cual se éste, se debería obtener mediante composición cuadrática de ambos errores, pero ya que ambos no son independientes pues son perpendiculares entre sí (condición geométrica), la composición cuadrática de los errores, sería poco probable que ocurriera (en cálculo estadístico de probabilidades), por lo cual se toma como error Total de la Radiación, una Elipse de Error definida por sus semiejes, siendo estos el error Transversal y Longitudinal respectivamente.

a = ELONG b = ETRANS

Elipse de error de una radiación de E a P

P

E

TRANS+E

TRANS-E

-ELON

+ELON

Documento de trabajo del alumno Topografía I

393

19.4.4 ERRORES ACCIDENTALES EN LAS COORDENADAS PLANIMÉTRICAS Como las coordenadas planimétricas venían dadas por (1) Su precisión se obtendrá calculando las composiciones cuadráticas de los

errores de todas las magnitudes que intervienen en el cálculo de la abcisa y la ordenada, y afectadas de error.

Es decir,

22

22

22

2PE

PEEP

mXmdhXm

XXm P

E

PdhP

E

Px

E

PX Θ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Θ

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

δδ

δδ

δδ

22

22

22

2PE

PEEP

mYmdhYm

YYm P

E

PdhP

E

PY

E

PY Θ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Θ

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

δδ

δδ

δδ

. . .

Documento de trabajo del alumno Topografía I

394

19.5 MÉTODO DE ITINERARIO Ó POLIGONAL

Es un método intermedio entre los topográficos, para dotar coordenadas a puntos, a partir de otros ya conocidos, normalmente obtenidos por métodos de triangulación (Red Básica).

Se considera método de itinerario o poligonal, a todos los trabajos

necesarios realizar de: observación de campo y cálculos de gabinete, para obtener las coordenadas de puntos, consistentes en:

19.5.1 OBSERVACIONES DE CAMPO

Se estaciona en un punto de partida de coordenadas conocidas, (A), observando acimutalmente a una referencia ó referencias conocidas después, se observa al primer punto (1), punto más próximo de los que se quiere dar coordenadas, observando ángulos, horizontal y vertical, midiendo la distancia, y anotando las alturas de instrumento y señal. (La observación se hará con algún método de observación angular y aplicando la Regla de Bessel).

A continuación se estaciona en este primer punto (1), efectuándose

observaciones “completas” (Hz, V, D, i, m), al punto anterior,(A) (conocido) y al siguiente punto al que hay que dotar de coordenadas (2).

A continuación se estaciona en el punto (2), efectuándose observaciones

“completas” (Hz, V, D, i, m), al punto anterior (1) y al siguiente punto al que hay que dotar de coordenadas (3).

Esta operación se repite para todos los demás puntos del itinerario a los

que hay que dar coordenadas (3, 4, 5, …n). Las observaciones completas que se efectúan en el último punto (n),

serán al punto anterior (n-1) y a un último punto de coordenadas conocidas (F). Por último, se estaciona en el punto de llegada (F), observando completo

el punto anterior (n) y observando acimutalmente, a una o varias referencias conocidas.

Como se puede apreciar, la observación es una reiteración de las

operaciones del método de radiación, para cada punto observando al punto anterior y posterior. En cada estación se mide un ángulo horizontal y las distancias de los tramos anterior y posterior, además de los datos necesarios para reducción de distancia y obtención de desniveles.

Documento de trabajo del alumno Topografía I

395

19.5.2 TIPOS

Por lo que respecta a la naturaleza de los puntos inicial y final de un itierario, se clasifican en:

- Abiertos, cuando éstos puntos son distintos. - Cerrados, cuando el punto inicial y final coinciden en un mismo

punto.

El sobrenombre de itinerario “encuadrado”, se denomina cuando los puntos inicial y final son conocidos, por tanto todos los itinerarios deben de ser “encuadrados”. (En los métodos topográficos no existen los itinerarios “colgados”, que son aquellos cuyo punto final no es conocido).

19.5.3 OBSERVACIÓN DEL ITINERARIO CON TAQUÍMETRO ORIENTADO Y NO ORIENTADO

De manera análoga a lo explicado para el método de radiación, se

podrían observar itinerarios con el taquímetro orientado: no habría más que observar en el punto inicial (A), con el taquímetro orientado, a la referencia y a continuación llevando una observación ordenada correlativamente, efectuar una estación en cada punto orientando con el punto anterior.

Como se dijo, lo que se puede presuponer como ventaja, deja de serlo al

efectuar la observación con “Regla de Bessel”, pues habrá que efectuar todos y cada uno de los cálculos que se exponen más adelante, además del inconveniente que puede resultar la observación “ordenada”.

Por tanto lo habitual será una observación de los itinerarios, con el

taquímetro no orientado.

19.5.4 CÁLCULO DE COORDENADAS. ERRORES DE CIERRE

El cálculo consistirá en la obtención de las coordenadas planimétricas y

altimétrica de todos los puntos observados en el itinerario, con comprobación de todos los cálculos intermedios y compensación de dichas coordenadas.

Los cálculos se desarrollarán en el orden siguiente: 19.5.4.1 Planimetría. Obtención de las coordenadas planimétricas

Antes de comenzar el cálculo propiamente dicho, se obtendrán las

lecturas horizontales y verticales corregidas y las distancias medidas promediadas (si hubiera varias mediciones) a partir de los datos de todas las estaciones taquimétricas efectuadas en la observación del itinerario.

Documento de trabajo del alumno Topografía I

396

19.5.4.1.1 Error de cierre angular

Para obtener en primer lugar el error de cierre angular es necesario calcular lo que se denomina “corrida de acimutes”, para ello se calculan:

- Acimut de partida del punto (A) a la(s) referencia(s) Ri (θ Ri

A ), a partir de sus coordenadas conocidas. - Desorientación de la vuelta de horizonte en el punto inicial (ΣA).

(ΣA = θ RiA - L Ri

A )

ó desorientación promedio ( A

_Σ ), en caso de varias referencias

- 1er Acimut de avance, del punto de partida al primer punto (1) del itinerario (θ 1

A ). (θ 1A =ΣA + L 1

A ) - Acimut recíproco de (1) a (A) (θ A

1 = θ 1A +200g)

- Desorientación de la vuelta de horizonte del punto (1) (Σ1). (Σ1 = θ A

1 - L A1 )

- 2º Acimut de avance, del punto 1 al segundo punto (2) del itinerario (θ 21 ).

(θ 21 =Σ1 + L 2

1 ) - Acimut recíproco de (2) a (1) (θ 1

2 = θ 21 +200g)

- Desorientación de la vuelta de horizonte del punto (2) (Σ2). (Σ2 = θ 1

2 - L 12 )

- 3º Acimut de avance, del punto 2 al siguiente punto (3) del itinerario (θ 32 ).

(θ 32 =Σ2 + L 3

2 ) y así repetitivamente hasta el punto n …… - (n)º Acimut de avance, del punto (n) al punto final (F) del itinerario (θ F

n ). (θ F

n =Σn + L Fn )

- Acimut recíproco de (F) a (n) (θ` n

F = θ Fn +200g)

- Desorientación de la vuelta de horizonte del punto final (F) (Σ`F). (Σ`F = θ` n

F - L nF )

- (n+1)º Acimut de avance o acimut de llegada, (obtenido por la observación y corrida de acimutes) del punto (F) a la referencia(s) conocida(s) (θ` Ri

F ). (θ` Ri

F =Σ`F + L RiF )

Como el acimut del punto final a la referencia es conocido (θ Ri

F ) ó se puede calcular por coordenadas, se denomina error de cierre angular de la poligonal a la diferencia entre el acimut obtenido después de la observación y corrida de acimutes, y el acimut calculado por coordenadas o conocido:

εα = θ` RiF - θ Ri

F

Documento de trabajo del alumno Topografía I

397

19.5.4.1.2 Tolerancia angular de la poligonal

Según teoría de transmisión de errores. Siendo eta el error total accidental acimutal, del instrumento utilizado en la poligonal, observada en unas determinadas condiciones. El error en la medida de un ángulo (eα), será la composición cuadrática de los errores de las dos lecturas que intervienen en su obtención: eα = 2⋅tae El error angular total de la medida de los “nα” ángulos, que intervienen en una poligonal ep, será la composición cuadrática de todos ellos: ep = αneta ⋅⋅ 2 El error máximo de la observación angular será por tanto: emax = Pe⋅5,2 , siendo éste el que se admite como tolerancia angular para la poligonal.

El valor de la Tolerancia angular de la poligonal será por tanto:

TOLα = αneta ⋅⋅⋅ 25,2

Calculada la tolerancia angular, se comprueba que el error angular es inferior a dicho valor, para pasar a la compensación angular:

TOLα ≥ εα

19.5.4.1.3 Compensación angular de la poligonal (Método de compensación proporcional al número de ángulos)

Para obtener los acimutes compensados de la poligonal, se calcula un valor de compensación proporcional al número de ángulos de la poligonal:

Compensación angular: ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ε−=

α

αα n

C

Este valor de compensación se va aplicando a cada acimut de avance de la poligonal (1º, 2º, 3º, … n+1 y Acimut de llegada(n+2)), multiplicándolo por el número ordinal que corresponde a cada uno de ellos, (1xCα , 2xCα , 3xCα,...hasta (n+2)xCα), obteniéndose los acimutes compensados de avance de la poligonal, que son los que se utilizarán en el cálculo de coordenadas.

Documento de trabajo del alumno Topografía I

398

19.5.4.1.4 Distancia de los tramos de la poligonal

Se calculan las distancias horizontales directas o de avance: Dh 1+n

n = Dg 1+nn

x senV 1+nn

y recíprocas o inversas Dh nn 1+ = Dg n

n 1+ x senV n

n 1+

Se comprobarán que las diferencias entre las distancias directa y recíproca son tolerables, para lo cual se calculará la tolerancia de discrepancia entre distancias, que según teoría de transmisión de errores:

Siendo eDm el error total accidental en la medida de las distancias, del instrumento utilizado en la poligonal, observada en unas determinadas condiciones. El error total de las dos medidas (directa y recíproca), será la composición cuadrática de sus errores: etramo = 2⋅Dme El error máximo que se pudiera producir emáx = Tramoe⋅5,2 = 25,2 ⋅⋅ Dme , siendo éste el que se admite como tolerancia de discrepancia entre distancias de los tramos de la poligonal.

25,2 ⋅⋅=Δ DmD eTOL

A continuación se obtendrán las distancias definitivas de cada uno de los tramos, calculando las distancias horizontales promediadas de todos los tramos de la poligonal:

21

11

nn

nn

mediann

DhDhDh ++

+ +=

que serán igualmente utilizadas para el cálculo de coordenadas.

Cn-1

n

Ref. F

HF

Ref. F

n

FC

Cn

F

n-1

nC n

n-1

C3

2

3

2C

3

F

1

2C

C1

2

A

1CCA

1

Ref. A

AH

Croquis de Itinerario o Poligonal Ref. A

2

1

A

Documento de trabajo del alumno Topografía I

399

19.5.4.1.5 Cálculo de las coordenadas planimétricas de los vértices de la poligonal.

Se calcula desde el punto de partida, mediante radiación, las

coordenadas del 1º punto, X1 = XA + Dh 1A x sen θ 1

A Y1 = YA + Dh 1

A x cos θ 1A

a continuación desde éste, mediante radiación, las del 2º, y así sucesivamente de forma ordenada se continúa el cálculo hasta obtener las coordenadas del punto de llegada (F), desde el punto anterior (n), obteniéndose unas coordenadas calculadas del mismo, provenientes de los datos de observación y cálculo desarrollado:

X’F = Xn + Dh Fn x sen θ F

n

Y’F = Yn + Dh Fn x cos θ F

n

por tanto no coincidentes con las conocidas del punto F (XF,YF).

19.5.4.1.6 Error de cierre planimétrico de la poligonal:

Se calcula el error de cierre planimétrico de la poligonal descompuesto en: error en abcisas y en error en ordenadas:

εX = X’1- X1 εY = Y’1- Y1

Siendo el error total planimétrico total la distancia entre los puntos F y F’

εPLA = ( ) ( )2

y

2

x ε+ε

Documento de trabajo del alumno Topografía I

400

19.5.4.1.7 Tolerancia Planimétrica de la poligonal:

Para aceptar el resultado del cálculo planimétrico, se obtiene la Tolerancia Planimétrica de la poligonal, y se comprueba si el error de cierre planimétrico está por debajo del dicho valor. Si es así se admitirá como correcto y se procederá a la compensación.

TOLPLAN ≥ εPLA

Como Tolerancia Planimétrica se tomará el mayor valor entre el Error Transversal y el Error Longitudinal:

Error Transversal ET = T

T

nL x eTa x 2 x ( ) ( )

61n21nn +⋅+⋅ ααα

Error Longitudinal EL = 2

Dme x Tn

Siendo: LT = Longitud total de la poligonal

nT = número de tramos de la poligonal

eta = error total accidental acimutal

nα = número de ángulos de la poligonal

2

Dme= error en las distancias promedio de cada tramo

(ver capítulo 19.6 y 19.7: influencia de los errores angulares y lineales en un itinerario y teorías de tolerancia)

19.5.4.1.8 Compensación Planimétrica de la poligonal: (Método de compensación: proporcional al número de tramos)

Para compensar el error de cierre planimétrico de la poligonal, se procederá a compensar las coordenadas parciales calculadas de todos los puntos que componen la poligonal de la siguiente forma:

Se calcula un valor de compensación para las abcisas y otro para las ordenadas:

Compensación abcisas: ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

T

XX n

C ε

Compensación ordenadas: ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

T

YY n

C ε

Documento de trabajo del alumno Topografía I

401

Estos valores de compensación, se van aplicando de igual manera que en la compensación angular: a las coordenadas (abcisa y ordenada) del 1er punto calculado se le aplica un valor de compensación; (1xCX,1xCY), a las del 2º punto el doble; (2xCX,2xCY), a las del 3º el triple; (3xCX,3xCY),… y así ordenada y sucesivamente hasta llegar al punto final, dónde después de hacer la compensación planimétrica a las coordenadas del punto F’ (nTxCX, nTxCY), se comprueba que son coincidentes con las del punto de llegada F. Con este proceso, se consigue obtener las coordenadas compensadas planimétricas de todos los puntos que componen la poligonal, tomando éstas por definitivas.

19.5.4.2 Altimetría. Obtención de las coordenadas altimétricas.

El cálculo de la altimetría de la poligonal, se realiza de forma similar al

de la planimetría, como una radiación altimétrica sucesiva desde el punto de partida hasta el punto de llegada.

Para el cálculo se utiliza las distancias geométricas observadas desde

cada vértice y las lecturas verticales corregidas.

Se calculan los desniveles directos y recíprocos de todos y cada uno de los tramos de la poligonal. Así, genéricamente, se obtendrá:

ΔZ 1n

n+ = t 1n

n+ + in - mn+1 + C(e+r) (desnivel directo)

ΔZ n1n+ = t n

1n+ + in+1 - mn + C(e+r) (desnivel recíproco)

Se comprobarán que las diferencias entre los desniveles directos y recíprocos son tolerables, para lo cual se calculará la tolerancia de discrepancia entre desniveles, que según teoría de transmisión de errores:

Siendo mΔz el error total accidental en la medida de un desnivel obtenido, por los instrumentos utilizados en la poligonal, observada en unas determinadas condiciones. El error total de las dos medidas (directa y recíproca), será la composición cuadrática de sus errores: mΔz-Tramo = 2⋅Δzm

El error máximo que se pudiera producir emáx = TramoZm −Δ⋅5,2 = 25,2 ⋅⋅ ΔZm , siendo éste el que se admite como tolerancia de discrepancia entre distancias de los tramos de la poligonal.

25,2 ⋅⋅= ΔΔ ZZ mTOL

A continuación se obtendrán el valor más probable del desnivel de cada uno de los tramos, en sentido de avance de la poligonal (promedio de los desniveles con el signo del desnivel directo).

( )2

11

1_ n

nnnn

nZZmZ +

++ Δ−+Δ

=Δ

Documento de trabajo del alumno Topografía I

402

Una vez obtenidos todos los desniveles promediados de todos los tramos, se efectúa el cálculo de las altitudes de los vértices que componen la poligonal, partiendo del punto inicial, hasta el punto final incluido:

Z1 = ZA + Δ 1_

AmZ , Z2 = Z1 + Δ 21

_mZ , ... Z’F = Zn + Δ F

nmZ_

19.5.4.2.1 Error de cierre altimétrico.

Como la altitud (Z’F) del punto final calculada por la observación y cálculo altimétrico de la poligonal, no será igual a la altitud (ZF) del punto final, se obtiene el error de cierre altimétrico de la poligonal.

εZ = Z’F – ZF

Para comprobar que el resultado del cálculo altimétrico es aceptable, se calcula la Tolerancia Altimétrica de la poligonal, y se verifica que el error de cierre altimétrico está por debajo del dicho valor. Si es así se acepta como correcto y se compensa.

La tolerancia altimétrica viene dada por :

TOLALT = 2,5 TZ nm

×Δ

2

Siendo 2ZmΔ

el error medio cuadrático del valor promedio del desnivel de cada tramo

19.5.4.2.2 Compensación Altimétrica de la poligonal.

(Método de compensación: proporcional al número de tramos)

Una vez comprobado que el error de cierre altimétrico de la poligonal es tolerable, se procede a compensar las altitudes calculadas de todos los puntos que componen la poligonal.

Se calcula un valor de compensación altimétrico

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

T

ZZ n

C ε

Este valor de compensación se va aplicando de igual manera que en la compensación angular: a la altitud del 1º punto calculado se le aplica el valor de compensación; (1xCZ), a la del 2º punto el doble; (2xCZ), y así ordenada y sucesivamente hasta llegar al punto final, dónde después de hacer la compensación altimétrica del punto F’ (nxCZ), se comprueba que la altitud obtenida es coincidente con la conocida del punto de llegada F. Con este proceso, se consigue obtener las altitudes compensadas de todos los puntos que componen la poligonal, tomando éstas por definitivas en el cálculo altimétrico.

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19.6 INFLUENCIA DE LOS ERRORES ANGULARES EN LOS ITINERARIOS

En el estudio de la influencia de los errores accidentales, debidos a la observación angular y medición lineal de los tramos de un itinerario, se busca un modelo matemático sencillo e ideal, para la obtención de expresiones simples y a su vez útiles para la práctica. Para ello, se utiliza un modelo “ideal” de itinerario, que transcurre en una única dirección (prácticamente rectilíneo) y cuyos tramos son de igual longitud.

Con estas premisas, se considera la poligonal teórica A B C D E. Ver (figura 6).

D'''

D''

D'

C''

C'B'

figura 6

e4

e3e2e1

E''''

E'''

E''

E'

Ref.

ED

CB

A

Si al medir el ángulo en la primera estación (A) de la poligonal se cometiese un error angular e1, y que no se cometieran más errores angulares en todo el itinerario, el último punto E, se trasladaría a E’ (se produce un giro, e1, de toda la poligonal, con centro en A y radio AE. La separación EE’ vendría dada por:

EE’ = AE x e1

Como AE es la longitud total de la poligonal (LT), se podría poner en

función de la longitud media de los tramos y del número de tramos (nT) desde el primer punto (A) al último (E), se obtendría como expresión:

EE’ = AE x e1 = 1ennL

T

t ×× α (6.1)

siendo nα el número de ángulos del itinerario Si después se cometiera error angular (e2), solo en la observación del

ángulo en la segunda estación (B), la poligonal sufriría un nuevo giro, con centro en B`, desplazando el punto E’ a E’’, y se obtendría como expresión:

E’E’’ = B’E x e2 = 2)1( ennL

T

t ×−× α (6.2)

De igual manera si con la observación de la tercera se cometiera solo un

error angular (e3), la poligonal sufriría un nuevo giro, con centro en C’’, desplazando el punto E’’ a E’’’, de manera que:

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E’’E’’’ = C’’E x e3 = 3)2( ennL

T

t ×−× α (6.3)

Admitiendo la misma hipótesis para todos los vértices de la poligonal, el error cometido en la observación del ángulo en la enésima estación, hace que la poligonal sufra un nuevo giro, produciendo un desplazamiento del punto En-1 a En, obteniéndose la expresión siguiente:

En-1 En = En-1 En x en = nT

t enL

×× )1( (6.4)

Como todos y cada uno de los errores angulares, son independientes, el efecto acumulado de todos ellos vendrá dado por su composición cuadrática. Teniendo en cuenta que en una poligonal ideal se observa con un único goniómetro, en circunstancias similares en todas sus estaciones, los errores angulares de todas las observaciones, toman el mismo valor (eα).

2...321 ×===== taeeeee α siendo eta el error total accidental acimutal del instrumento utilizado

Por tanto la influencia de todos los errores angulares del itinerario se

obtendrá mediante la composición cuadrática de las expresiones (6.1), (6.2), (6.3),… (6.4):

1......)2()1(2 222 ++−+−+×= αααα nnnenLE ta

T

TT

Siendo ( 1.....)2()1( 222 ++−+−+ ααα nnn ), a suma de los “n” términos es una progresión aritmética de 2º orden, se obtiene,

( ) ( )

61212 +×+×

×= αααα

nnnenLE ta

T

TT

Expresión de la influencia de todos los errores angulares de un itinerario,

que al manifestarse de forma que el último punto se desplaza en sentido perpendicular al de avance de la poligonal, se le denomina Error Transversal.

ETα = ETRANSVERSAL

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19.7 INFLUENCIA DE LOS ERRORES LINEALES EN LOS ITINERARIOS

Se considera una poligonal rectilínea y de tramos de igual longitud, medidos con un mismo instrumento, en condiciones similares y por tanto con un error total accidental en la medida de distancias (eDm) igual para todos sus tramos.

el4el3

el2

figura 7

el1

Ref.

ED

CB

A

El error que se produce en el primer tramo será: el1 = eDm El error que se produce en el segundo tramo será: el2 = eDm El error que se produce en el tercer tramo será: el3 = eDm . . . . . . El error que se produce en el “enesimo” tramo será: eln = eDm Como todos y cada uno de los errores lineales de cada tramo, son

independientes, el efecto acumulado de todos ellos vendrá dado por su composición cuadrática:

2ln

23

22

21 ....eeeeE lllTl +++=

Sustituyendo:

tDmDmDmDmDmTl neeeeeE ×=+++= 2222 .... Siendo nt el número de tramos Expresión de la influencia de todos los errores lineales de un itinerario,

que se manifesta de forma que el último punto se desplaza en sentido de la dirección de avance de la poligonal, por lo que se denomina Error Longitudinal.

ALLONGITUDINTl EE =

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Bibliografía básicaBibliografía básicaBANNISTER, A; RAYMOND, B. “Problemas resueltos de Topografía”. S , ; O , ob e as esue tos de opog a aLibrería editorial Bellisco. Madrid 1989.BURNSIDE, C. D. “Electromagnetic Distance Measurement”. Editorial Granada, London 1982.,COOPER, M.A.R. “Modern Theodolites and Levels”. Editorial Granada, London 1982.CHUECA PAZOS M “Topografía” Editorial Dossat S A Madrid 1984CHUECA PAZOS, M. Topografía . Editorial Dossat, S.A. Madrid 1984.CHUECA PAZOS, M.“Teoría de errores e instrumentación topográfica”. Editorial Dossat, S.A. Madrid 1996.DOMÍNGUEZ CARCÍA-TEJERO, F.“Topografía General y Aplicada”. Editorial Dossat, S.A. Madrid 1993.DURBEC, G. “Cours de Topométrie Générale”. Editorial Eyrolles, Paris , p y ,1985.

20/02/2009 1Topografía I

ETSI Topografía G y C U.P.M.

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