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C∗-Algebras y Operadores enEspacios de Hilbert

Trabajo Final de Analisis Funcional

Viviano Fernandez

31 de julio de 2017

Departamento de Matematica, Facultad de Ciencias Exactas,Universidad Nacional de La Plata

Resumen

Desarrollamos aquı, de manera introductoria, tematicas que teniendo unpoco mas de cincuenta anos, sigue de manera activa y con una rapida ex-pansion, y teniendo un gran impacto en otras areas de la matematica, tantoen aplicaciones como en la fısica teorica. Haremos una breve introduccionde los capıtulos 2 y 3 del libro [1, C*-Algebras and Operator Theory, G. JMurphy] exponiendo propiedades y resultados generales sobre C∗-algebras yOperadores de Hilbert, como los elementos positivos de la C∗-algebra y unacaracterizacion que se da entre los operadores acotados y las formas sesqui-lines; y del capıtulo 3, Ideales y Funcionales Positivas, en donde veremos losIdeales en C∗-algebras, las funcionales lineales positivas y la representacionde Gelfand Naimark. La bibliografıa citada son [7, Coh], [5, Kel], [3, Ped][8,Rud 1] y [9, Rud 2]

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INDICE 1

Indice

1. C*-Algebras y Operadores de Hilbert 11.1. C*-Algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Elementos Positivos de la C*-algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.3. Operadores y Formas sesquilineales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2. Ideales y Funcionales Positivas 222.1. Ideales en C*-algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.2. C*-Subalgebras Hereditarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.3. Funcionales Lineales Positivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.4. La Representacion Gelfand-Naimark . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

C∗-Algebras y Operadores en Espacios de Hilbert

1. C*-Algebras y Operadores de Hilbert

Los espacios de Hilbert tienen un buen comportamiento comparados con losespacios de Banach, por ejemplo, tienen una estructura adicional de espacio conproducto interno que nos permite hablar de bases ortonormales, operadores unitta-rios, etc; y lo mismo vale, e inclusive el comportamiento es mejor si comparamos lasC*-algebras con las algebras de Banach generales (es un cojunto topologicamentecerrado con la norma topologica de Operadores y es cerrado con la operacion detomar adjuntas de los operadores).

El principal resultado de esta seccion sera el Teorema de Gelfand, que aseguraque (vıa un isomorfismo) todas las C*-algebras abelianas son de la forma C0(Ω)donde Ω es un espacio localmente compacto Hausdorff.

Comenzaremos definiendo algunos conceptos que tienen sentido en cualquieralgebra con involucion.

1.1. C*-Algebras

Una involucion sobre un algebra A es una funcion lineal conjugada a 7→ a∗

sobre A, tal que a∗∗ = a y (ab)∗ = b∗a∗ para todos los a, b ∈ A.

Al par (A, ∗) se la denomina un algebra involutiva o una ∗-algebra. Si S esun subconjunto de A, definimos el conjunto S∗ = a∗ : a ∈ S, y si S∗ = Sdecimos que S es auto-adjunta.

Una sub-algebra auto-adjunta B de A es una ∗-subalgebra de A y es una∗- algebra cuando la involucion se obtiene por restriccion a B. Dado que lainterseccion de una familia de ∗-subalgebras es una subalgebra, existe paracada conjunto S ⊂ A una mınima ∗-algebra B de A que contiene a S.

Si I es un ideal auto-adjunto de A, entonces el algebra cociente A/I es una∗-algebra con la involucion dada por (a+ I)∗ = a∗ + I (a ∈ A).

Definimos una involucion sobre A extendiendolo desde A definiendo (a, λ)∗ =(a∗, λ). Ası, A es una ∗-algebra, y A es un ideal auto-adjunto de A.

Un elemento a ∈ A es auto-adjunto o hermitiano si a = a∗. Para cada a ∈ Aexisten b, c ∈ A autoadjuntos unicos tales que a = b+ ic donde b = 1

2(a+ a∗)

y c = 12i

(a− a∗). Los elementos a∗a y aa∗ son hermıticos.

El conjunto de todos los elementos hermıticos de A se denota por Asa.

Decimos que a es normal si a∗a = aa∗. En este caso, la ∗-algebra que estagenera resulta abeliana y es de hecho lo que esta generado por todos los ama∗n,donde m,n ∈ N y m+ n > 0

Un elemento p es una proyeccion si p = p∗ = p2.

1 C*-ALGEBRAS Y OPERADORES DE HILBERT 2

Si A es unital, entonces 1∗ = 1 (1∗ = (11∗) = 1). Si a ∈ Inv(A), entonces(a∗)−1 = (a−1)∗. Por lo tanto, para cualquier a ∈ A,

σ(a∗) = σ(a)∗ = λ ∈ C : λ ∈ σ(a)

.

Un elemento u ∈ A es unitario si u∗u = uu∗ = 1. Si u∗u = 1 entonces u es unaisometrıa, y si uu∗ = 1, entonces u es una co-isometrıa.

Si ϕ : A → B es un morfismo de ∗-algebras A y B y ϕ preserva adjuntos,esto es, ϕ(a∗) = (ϕ(a))∗, (a ∈ A), entonces ϕ es una ∗-morfismo. Si ademasϕ es una biyeccion, ϕ sera un ∗-isomorfismo. Si ϕ : A→ B es un ∗-morfismo,entonces Ker(ϕ) es un ideal auto-adjunto y ϕ(A) es una ∗-subalgebra de B.

Un automorfismo de una ∗-algebra A es una ∗-isomorfismo ϕ : A → A. Si Aes unital y u es un unitario en A, entonces

Adu : A→ A, a 7→ uau∗,

es un automorfismo de A. A estos automorfismos se los denomina internos.Decimos que dos elementos a, b ∈ A son unitariamente equivalentes si existeun unitario u ∈ A tal que b = uau∗. Como los unitarios forman un grupo,resulta que es una relacion de equivalencia sobre A. Notar que si a y b sonunitariamente equivalentes, entonces σ(a) = σ(b).

Una ∗-algebra de Banach es una ∗-algebra A dotada de una norma sub-multiplicativa completa tal que ‖a∗‖ = ‖a‖ (a ∈ A). Si, ademas, A tieneuna unidad tal que ‖1‖ = 1 tenemos un ∗-algebra de Banach unital.

Una C∗-algebra es una ∗-algebra de Banach tal que

‖a∗a‖ = ‖a‖2, (a ∈ A).

Una ∗-subalgebra cerrada de una C∗-algebra es obviamente una C∗-algebra.Podrıamos llamar entonces a una ∗-subalgebra de una C∗-algebra una C∗-subalgebra.

Si una C∗-algebra tiene una unidad 1, entonces automaticamente ‖1‖ = 1,porque ‖1‖ = ‖1∗1‖ = ‖1‖2. De manera analoga si p es una proyeccion nonula, ‖p‖ = 1

Si u ∈ A es unitario, entonces ‖u‖ = 1, dado que ‖u‖2 = ‖u∗u‖ = ‖1‖ = 1.Por lo tanto, σ(u) ⊂ T, porque si λ ∈ σ(u), entonces λ−1 ∈ σ(u−1) = σ(u∗), yası |λ| ≤ 1 y |λ−1| ≤ 1, con lo cual |λ| = 1.

La aparente simpleza de la condicion de submutiplicabilidad de la norma paradefinir una C∗-algebra es de hecho una condicion muy fuerte y se conoce mucho masacerca de la naturaleza y de la estructura de estas algebras que tal vez cualquier otra


clase de algebras no triviales. Por la existencia de la involucion, la teorıa de la C∗-algebra puede ser pensada como un analisis real infinito-dimensional. Por ejemplo,el estudio de funcionales lineales sobre C∗-algebras (y de trazas) es una “teorıa dela medida no conmutativa”1.

Ejemplo 1. El campo escalar C es es una C∗-algebra unital con involucion dadopor la conjugacion compleja λ 7→ λ.

Ejemplo 2. Si Ω es un espacio localmente compacto Hausdorff, entonces C0(Ω) esuna C∗-algebra con involucion f 7→ f .

Otras C∗-algebras que se obtienen de manera muy similar con la involucion f 7→f :

(a) `∞(S) donde S es un conjunto.

(b) L∞(Ω, µ) donde (Ω, µ) es un espacio de medida;

(c) Cb(Ω) donde Ω es un espacio topologico;

(d) B∞(Ω) donde Ω es un espacio medible.

Ejemplo 3. Si H es un espacio de Hilbert, entonces B(H) es una C∗-algebra. Ve-remos que a toda C∗-algebra se la puede pensar como una C∗-subalgebra de algunB(H) (teorema de Gelfand-Naimark). Mas adelante trataremos este ejemplo con masdetalles.

Ejemplo 4. Si (Aλ)λ∈Λ es una familia de C∗-algebras, entonces la suma directa⊕λAλ es una C∗-algebra con la invoucion definida punto a punto, y la suma restrin-gida ⊕c0λ Aλ es un ideal auto-adjunto cerrado.

Ejemplo 5. Si Ω es un conjunto no vacıo y A es una C∗-algebra, entonces `∞(Ω, A)es una C∗-algebra con la involucion definida punto a punto. Si Ω es un espaciolocalmente compacto Hausdorff, decimos que una funcion continua f se anula enel infinito si para cada ε > 0, el conjunto

ω ∈ Ω : ‖f(ω)‖ ≥ ε

es compacto. Denotamos por C0(Ω, A) al conjunto de tales funciones. Esta es unaC∗-subalgebra de `∞(Ω, A).

Teorema 1.1 (Beurling). Si a es un elemento de un algebra unital de Banach,entonces

r(a) = ınfn≥1‖an‖1/n = lım

n→1‖an‖1/n.

1Por la dualidad entre los espacios de medida localmente compactos y las algebras de Von Neu-mann conmutativas, se llama espacios de medida no conmutativos a las algebras de Von Neumannno conmutativas. El estudio de las algebras de Von Neumann se refiere a veces como la teorıa noconmutativa de la Medida.


Demostracion. Si λ ∈ σ(a), entonces λn ∈ σ(an), con lo cual |λn| ≤ ‖an‖, y entonces

r(a) ≤ ınfn≥1‖an‖1/n ≤ lım

n→1ınf‖an‖1/n.

Sea ∆ un disco abierto en C con centro en 0 y de radio 1/r(a) (usamos laconvencion usual 1/0 = +∞). Si λ ∈ ∆, entonces 1 − λa ∈ Inv(A). Si τ ∈ A∗,entonces la funcion

f : ∆→ C, Λ 7→ τ((i− λa)−1),

es analıtica, ası que existen numeros complejos unicos λn tales que

f(λ) =∞∑n=0

λnλn (λ ∈ ∆).

Sin embargo, si |λ| ≤ 1/‖a‖ (≤ 1/r(a)), entonces ‖λa‖ < 1, y ası,

(1− λa)−1 =∞∑n=0

λnan,

y por eso,

f(λ) =∞∑n=0

λnτ(an).

De esto se sigue que λn = τ(an) para todo n ≥ 0. Por lo tanto la sucesion (τ(an)λn)converge a 0 para todo λ ∈ ∆, con lo cual, a fortiori, es acotada. Dado que esto valepara cada τ ∈ A∗, se sigue del principio de acotacion uniforme que (λnan) es unasucesion acotada. Por lo tanto existe un numero positivo M (que depende de λ porsupuesto) tal que ‖λnan‖ ≤M para todo n ≥ 0, y por lo tanto ‖an‖1/n ≤M1/n/|λ|si (λ 6= 0). En consecuencia lım supn→∞‖an‖1/n ≤ 1/|λ|. Tenemos que mostrarentonces que si

r(a) < |λ−1| ⇒ lım supn→∞

‖an‖1/n ≤ |λ−1|.

Se sigue quelım supn→∞

‖an‖1/n < r(a),

y como r(a) ≤ lım infn→∞‖an‖1/n tenemos que

r(a) = lımn→∞‖an‖1/n.

El siguiente resultado tiene un sorpresivo e importante corolario:

Teorema 1.2. Si a es un elemento auto-adjunto de una C∗algebra A, entoncesr(a) = ‖a‖.

Demostracion. Si ‖a2‖ = ‖a‖2 con lo cual, por induccion ‖a2n‖ = ‖a‖2n , entonces

r(a) = lımn→∞

‖an‖1/n = lımn→∞

‖a2n‖1/2n

= ‖a‖


Corolario 1.3. Existe a lo sumo una norma sobre una ∗-algebra que lo hace unaC∗-algebra.

Demostracion. Si ‖.‖1 y ‖.‖2 son normas sobre una ∗-algebra A que la hacen unaC∗-algebra, entonces

‖a‖2j = ‖a∗a‖j = r(a∗a) = sup

λ∈σ(a∗a)

|λ|

para (j = 1, 2), entonces ‖a‖1 = ‖a‖2.

Lema 1.4. Sea A un algebra de Banach dotada de una involucion tal que ‖a‖2 ≤‖a∗a‖ (a ∈ A). Entonces A es una C∗-algebra.

Demostracion. Las desigualdades ‖a‖2 ≤ ‖a∗a‖ ≤ ‖a∗‖‖a‖ implican que ‖a‖ ≤ ‖a∗‖para todo a. Luego, ‖a‖ = ‖a∗‖, y por lo tanto ‖a‖2 = ‖a∗a‖.

Asociamos a cada C∗-algebra A una cierta C∗-algebra unital M(A) el cual con-tiene a A como un ideal. Esta algebra es de gran importancia en muchos aspectosavanzados de la teorıa, especialmente en ciertas aproximaciones a la K-teorıa. Undoble centralizador para una C∗-algebra A es el par (L,R) de transformaciones li-neales sobre A tales que para todos a, b ∈ A

L(ab) = L(a)b, R(ab) = aR(b), R(a)b = aL(b).

Por ejemplo, si c ∈ A y Lc y Rc son transformaciones lineales definidas por Lc(a) =ca y Rc(a) = ac, entonces (Lc, Rc) es un doble centralizador sobre A. Se verificafacilmente que para todo c ∈ A

‖c‖ = sup‖b‖≤1

‖cb‖ = sup‖b‖≤1

‖bc‖

y por lo tanto ‖Lc‖ = ‖Rc‖ = ‖c‖

Lema 1.5. Si (L,R) es un doble centralizador sobre una C∗-algebra A, entonces‖L‖ = ‖R‖

Demostracion. Como ‖aL(b)‖ = ‖R(a)b‖ ≤ ‖R‖‖a‖‖b‖, tenemos que

‖L(b)‖ = sup‖a‖≤1

‖aL(b)‖ ≤ ‖R‖‖b‖,

y por lo tanto ‖L‖ ≤ ‖R‖. Tambien ‖R(a)b‖ = ‖aL(b)‖ ≤ ‖L‖‖a‖‖b‖ que implicaque

‖R(a)‖ = sup‖b‖≤1

‖R(a)b‖ ≤ ‖L‖‖a‖

y por lo tanto ‖R‖ ≤ ‖L‖. Luego ‖R‖ = ‖L‖.

Si A es una C∗-algebra denotaremos al conjunto de sus dobles centralizadorespor M(A). Definimos la norma del doble centralizador por ‖L‖ = ‖R‖. Es facil


verificar que M(A) es un subespacio vectorial cerrado de B(A)⊕B(A). Si (L1, R1)y (L2, R2) ∈M(A) definimos su producto como

(L1, R1)(L2, R2) = (L1L2, R2R1)

Verifiquemos entonces que este producto es efectivamente un doble centralizador:Sean a, b ∈ A, luego

L1L2(ab) = L1(L2(a)b) = (L1L2)(a)b

R1R2(ab) = R1(aR2(b)) = a(R1R2)(b)

R2R1(a)b = R2(R1(a))b = R1(a)L2(b) = aL1(L2(b)) = a(L1L2)(b)

con lo cual vemos que M(A) es un algebra bajo esta multiplicacion.Si L : A → A, se define L∗ : A → A tomando L∗(a) = (L(a∗))∗. Entonces L∗

es lineal y el mapeo L 7→ L∗ es una funcion lineal conjugada isometrica de B(A) ael mismo tal que L∗∗ = L y (L1L2)∗ = L∗1L

∗2. Si (L,R) es un doble centralizador de

A, tambien lo es (L,R)∗ = (R∗, L∗). Es facil verificar que (L,R) 7→ (L,R)∗ es unainvolucion en M(A), en efecto,

(L,R)∗∗ = (R∗, L∗)∗ = (L∗∗, R∗∗) = (L,R)

((L1, R1)(L2, R2))∗ = (L1L2, R2R1)∗

= ((R2R1)∗, (L1L2)∗)

= (R∗2R∗1, L

∗1L∗2)

= (R∗2, L∗2)(R∗1, L

∗1)

= (L2, R2)∗(L1, R1)∗

Teorema 1.6. Si A es una C∗-algebra, entonces M(A) es una C∗-algebra con lamultiplicacion, involucion y la norma definidas arriba.

Demostracion. Lo unico que no sale directamente y que hay que verificar es que siT = (L,R) es un doble centralizador, entonces ‖T ∗T‖ = ‖T‖2. Si ‖a‖ ≤ 1, entonces‖L(a)‖2 = ‖(L(a))∗L(a)‖ = ‖L∗(a∗)L(a)‖ = ‖a∗R∗L(a)‖ ≤ ‖R∗L‖ = ‖T ∗T‖, ası

‖T‖2 = sup‖a‖≤1

‖L(a)‖2 ≤ ‖T ∗T‖ ≤ ‖T‖2,

y por lo tanto, ‖T ∗T‖ = ‖T‖2.

Al algebra M(A) se la llama algebra multiplicador de A.La funcion

A→M(A), a 7→ (La, Ra),

es una ∗-morfismo isometrico, con lo cual podemos (y lo hacemos) identificar a Acomo una C∗-subalgebra de M(A). De hecho A es un ideal de M(A). Notar queM(A) es unital (el doble centralizador (idA, idA) es la unidad), ası A = M(A) si ysolo si A es unital.


Ahora consideramos, por ejemplo, un algebra A y su unitizacion A que es unalgebra de Banach con la norma ‖(a, λ)‖ = ‖a‖ + |λ|. Si A es una ∗-algebra deBanach, tambien lo es A con esta norma. Sin embargo, si A es una C∗-algebra,presenta un problema dado que esta norma no hace que A sea una C∗-algebra engeneral. Por ejemplo, si A = C y (a, λ) = (−2, 1), tenemos que ‖(a, λ)‖ = 9, pero‖(a, λ)∗(a, λ)‖ = 1.

Sin embargo, podemos dotar a A con una norma para hacerla una C∗-algebra:

Teorema 1.7. Si A es una C∗-algebra, entonces existe una norma (necesariamenteunica) sobre su unitizacion A que la hace una C∗-algebra, y que extiende la normade A

Demostracion. La unicidad esta dada por el Corolario 1.3. La demostracion de laexistencia recae en dos casos, dependiendo de si A es unital o no es unital.

Supongamos primero que A tiene una unidad e. Entonces la funcion ϕ desdeA a la suma directa de suma directa de C∗-algebras A y C definido por ϕ(a, λ) =(a + λe, λ) es una ∗-isomorfismo. Ası tenemos una una norma sobre A haciendolouna C∗-algebra definiendo ‖(a, λ)‖ = ‖ϕ(a, λ)‖.

Ahora supongamos que A no tiene unidad e. Si 1 es la unidad de M(A), entoncesA ∩ C1 = 0. Entonces la funcion ϕ : A → A ⊕ C1 donde A ⊕ C1 es una C∗-algebra de M(A) definiendo a ϕ como ϕ(a, λ) = a + λ1 es un ∗-isomorfismo, yobtenemos una norma sobre A convirtiendolo ası en una C∗-algebra definiendo lanorma ‖(a, λ)‖ = ‖ϕ(a, λ)‖

Si A es una C∗-algebra, tomaremos siempre la norma de A la que la hace unaC∗-algebra.

Notar que cuando A no es unital, M(A) es en general mucho mas grande que A.Por ejemplo, veremos que mas adelante que si A = C0(Ω), donde Ω es un espaciolocalmente compacto Hausdoff, entonces M(A) = C(Ω).

Si ϕ : A → B es una ∗-morfismo entre ∗-algebras A y B, esto se extiende demanera unica a un ∗-morfismo unital ϕ : A→ B.

Teorema 1.8. Un ∗-morfismo ϕ : A→ B desde una ∗-algebra de Banach A a unaC∗-algebra B es necesariamente decreciente en norma.

Demostracion. Supondremos que A, B y ϕ son unitales (pasando por A, B y ϕ sifuera necesario). Si a ∈ A, entonces σ(ϕ(a)) ⊆ σ(a), entonces

‖ϕ(a)‖2 = ‖ϕ(a)∗ϕ(a)‖ = ‖ϕ(a∗a)‖ = r(ϕ(a∗a)) ≤ r(a∗a) ≤ ‖a‖2.

Por lo tanto, ‖ϕ(a)‖ ≤ ‖a‖.

Teorema 1.9. Si A es una C∗-algebra y a ∈ A es hermitiano, entonces σ(a) ⊆ R.

Demostracion. Supondremos que A es unital. Como eia es unitario, σ(eia) ⊆ T. Si

λ ∈ σ(a) y b =∑∞

n=1 in (a− λ)n−1

n!⇒ eia−eiλ = (ei(a−λ)−1)eiλ = (a−λ)beiλ. Como

b conmuta con a, y como (a − λ) no es invertible, eia − eiλ no es invertible. Por lotanto, eiλ ∈ T y λ ∈ R. Ası σ(a) ⊆ R.


Teorema 1.10. Si τ es un caracter sobre una C∗-algebra, esta preserva adjuntas.

Demostracion. Si a ∈ A, entonces a = b+ic donde b y c son elementos hermitianos deA. Los numeros τ(a) y τ(b) son reales porque estan en σ(a) y σ(b) respectivamente,ası

τ(a∗) = τ(b− ic) = τ(b)− iτ(c) = (τ(b) + iτ(c))− = τ(a)−

El Teorema de Gelfand

El caracter de un espacio de Banach unital abeliano es no vacıo, ası que esto valeen particular para C∗-algebras unitales abelianas. Sin embargo, existen algebras deBanach abelianas no unitarias, no nulas (6= 0), para los cuales el caracter es vacıo.Afortunadamente esto no puede pasar en el caso de C∗-algebras. Sea A una C∗-algebra abeliana, no nula y no unital. Entonces A contiene un elemento no nulohermitiano, digamos a. Como r(a) = ‖a‖ por el teorema 1.1, se sigue que existe uncaracter τ sobre A tal que |τ(a)| = ‖a‖ 6= 0. Luego, la restriccion de τ a A es unmorfismo no nulo de A a C, esto es, un caracter sobre A.

Ahora determinaremos completamente las C∗-algebras abelianas. Este resultadopuede ser interpretado como una forma preliminar del teorema espectral. Esto nospermite construir el calculo funcional, una herramienta muy util en el analisis deC∗-algebras no abelianas.

Teorema 1.11 (Gelfand). Si A es una C∗-algebra no abeliana, entonces la repre-sentacion de Gelfand

ϕ : A→ C0(Ω(A)), a 7→ a

es un ∗-isomorfismo isometrico.

Demostracion. Recordemos que el espectro de a tiene el mismo rango que el espectrode a junto con el 0 si A no es unital, por lo cual r(a) = ‖a‖∞, lo cual implicaque la funcion que lleva a 7→ a es una norma decreciente. Que ϕ es un morfismodecreciente esta dado por lo anterior, luego ‖a‖ = r(a). Si τ ∈ Ω(A), entonces

ϕ(a∗)(τ) = τ(a∗) = τ(a)− = ϕ(a)∗(τ)

ası ϕ es un ∗-morfismo. Mas aun, ϕ es una isometrıa, pues

‖ϕ(a)‖2 = ‖ϕ(a)∗ϕ(a)‖ = ‖ϕ(a∗a)‖ = r(a∗a) = ‖a∗a‖ = ‖a‖2.

Claramente, entonces, ϕ(A) es una ∗-subalgebra cerrada de C0(Ω) que separa lospuntos de Ω(A), y que tiene la propiedad de que para cualquier τ ∈ Ω(A) existeun elemento a ∈ A tal que ϕ(a)(τ) 6= 0. El teorema de Stone-Weierstrass implicaentonces, que ϕ(A) = C0(Ω(A)).

Sea S un subconjunto de una C∗-algebra A. La C∗-algebra generada por S esla mınima C∗-subalgebra de A que contiene a S. Si S = a, denotamos por C∗(a)a la C∗-subalgebra generada por S. Si a es normal, entonces C∗(a) es abeliano.


Analogamente, si A es unital y a es normal entonces la C∗-subalgebra generada por1 y a es abeliano.

Observe que ‖a‖ = r(a) si a es un elemento normal de una C∗-algebra (aplicandoel teorema 1.11 a C∗(a)).

Recordemos primero este resultado:

Teorema 1.12. Sea B una subalgebra cerrada de un algebra de Banach unital Aque contiene a la unidad de A.

1. El conjunto Inv(B) es un subconjunto clopen de B ∩ Inv(A).

2. Para cada b ∈ B,

σA(b) ⊆ σB(b) y ∂σB(b) ⊆ ∂σA(b).

3. Si b ∈ B y σA(b) no tiene agujeros, entonces σA(b) = σB(b)

El siguiente resultado es importante.

Teorema 1.13. Sea B una C∗-subalgebra de una C∗-algebra unital A que contienea la unidad de A. Entonces dado b ∈ B:

σB(b) = σA(b).

Demostracion. Primero supongamos que b es un elemento hermitiano de B. Comoen este caso σA(b) ⊆ R, no tiene agujeros y por el teorema 1.12, σA(b) = σB(b). Porlo tanto, b es inversible en B si y solo si lo es en A.

Ahora supongamos que b es un elemento arbitrario de B que es invertible en A,entonces existe un elemento a ∈ A tal ba = ab = 1, entonces a∗b∗ = b∗a∗ = 1, asıque bb∗a∗a = 1⇒ bb∗ es invertible en A y por lo tanto tambien en B. Luego, existeun elemento c ∈ B tal que bb∗c = 1. En consecuencia, b∗c = a, ası que a ∈ B, locual implica que b es invertible en B, demostrando ası el teorema.

Si A es una C∗-algebra unital y a ∈ Asa, entonces eia es un unitario, pero no todoslos unitarios son de esta forma (un ejemplo de esto es el algebra de Calkin sobre unespacio de Hilbert es una C∗-algebra y la imagen de un operador shift sobre estaalgebra provee un ejemplo de un elemento unitario que no posee logaritmo). Usandoel teorema 1.11, podemos dar algunas condiciones utiles que aseguran cuando ununitario tiene un logaritmo.

Teorema 1.14. Sea u un elemento unitario en una C∗-algebra unital A. Si σ(u) 6=T, entonces existe a ∈ Asa tal que u = eia.

(Si ‖1− u‖ < 2, entonces σ(u) 6= T)

Demostracion. Reemplazando u por λu para algun λ ∈ T si fuera necesario, pode-mos suponer que −1 /∈ σ(u). Como u es normal, tambien podemos suponer que A esabeliano (reemplazando A por la C∗-subalgebra generada por 1 y u si se necesitara).

Sea ϕ : A→ C(Ω) una representacion de Gelfand, sea f = ϕ(u), y como siempredenotamos ln : C\ (−∞, 0]→ C la rama principal de la funcion logaritmo. Entoncesg = ln f es un elemento bien definido de C0(Ω), y eg = f .


Como |f(ω)| = 1 para todo ω ∈ Ω, la parte real de g se anula y ası g = ihdonde h = h ∈ C0(Ω). Sea a = ϕ−1(h). Entonces a ∈ Asa y u = eia porqueϕ(u) = eih = eϕ(ia) = ϕ(eia).

La observacion del parentesis en el enunciado del teorema se sigue de las ecua-ciones

‖1− u‖ = r(1− u) = supλ∈σ(u)

|1− λ|

lo cual implica que −1 /∈ σ(u) cuando ‖1− u‖ < 2.

Vamos a estudiar ahora el calculo funcional, para lo cual necesitamos hacer dosobservaciones bien sencillas.

Si θ : Ω→ Ω′ es una funcion continua entre dos espacios compacto Hausdorff Ωy Ω′, entonces la funcion transpuesta

θt : C(Ω′)→ C(Ω), f 7→ fθ,

es un ∗-homomorfismo unital. Mas aun, si θ es un homomorfismo, entonces θt es un∗-isomorfismo.

Nuestra segunda Observacion es que un ∗-isomorfismo entre C∗-algebras es ne-cesariamente isometrica. Esto es una consecuencia inmediata del teorema 1.8

Teorema 1.15. Sea a un elemento normal de una C∗-algebra unital A, y suponga-mos que z es la funcion inclusion de σ(a) en C. Entonces hay un unico ∗-morfismounital ϕ : C(σ(a)) → A tal que ϕ(z) = a. Mas aun, ϕ es isometrico e Im(ϕ) es laC∗-subalgebra de A generada por 1 y a.

Demostracion. Denotemos por B a la C∗-algebra (abeliana) generada por 1 y a, ysea ψ : B → C(Ω(B)) la representacion de Gelfand. La ψ es una ∗-isomorfismo porel teorema 1.11, con lo cual tambien lo es

at : C(σ(a))→ C(Ω(B)),

ya que a : Ω(B) → σ(a) es un morfismo. Sea ϕ : C(σ(a)) → A la composicionψ−1(at), ası que ψ−1(a) = a, y obviamente ϕ es unital. Por el teorema de Stone-Weierstrass, sabemos que C(σ(a)) esta generado por 1 y z; ϕ es por lo tanto, elunico morfismo que va desde C(σ(a)) hasta A tal que ϕ(z) = 1.

Esta claro que ϕ es isometrico y que Im(ϕ) = B

Como en el teorema 1.15 sea a un elemento normal de una C∗-algebra unitalA. Llamaremos al unico ∗-morfismo unital φ : C(σ(a)) → A tal que φ(z) = a elcalculo funcional en a. Si p es un polinomio, entonces φ(p) = p(a), ası, para losf ∈ C(σ(a)) podemos escribir f(a) por φ(a). Notar que f(a) es normal.

Sea B la imagen de φ, ası B es la C∗-algebra generada por 1 y a. Si τ ∈ Ω(B)entonces f(τ(a)) = τ(f(a)), ya que la funcion f 7→ f(τ(a)) y f 7→ τ(f(a)) deC(σ(a)) a C son ∗-morfismos que concuerdan con los generadores 1 y z y por lotanto son iguales.


Teorema 1.16 (Mapeo Espectral). Sea a un elemento normal de una C∗-algebraunital A, y sea f ∈ C(σ(a)). Entonces

σ(f(a)) = f(σ(a)).

Mas aun, si g ∈ C(σ(f(a))), entonces

(g f)(a) = g(f(a)).

Demostracion. Sea B la C∗-subalgebra generada por 1 y por a. Entonces

σ(f(a)) = τ(f(a)) : τ ∈ Ω(B) = f(τ(a)) : τ ∈ Ω(B) = f(σ(a)).

Si C denota la C∗-subalgebra generada por 1 y f(a), entonces C ⊆ B y paracualquier τ ∈ Ω(B) su restriccion τC es un caracter sobre C. Con lo cual tenemos

τ((g f)(a)) = g(f(τ(a))) = g(τC(f(a))) = τ(g(f(a))).

Por lo tanto (g f)(a) = g(f(a)).

Terminaremos esta seccion mostrando que si Ω es un espacio compacto Hausdorff,entonces el espacio caracter de C(Ω) es Ω.

Teorema 1.17. Sea Ω un espacio compacto Hausdorff, y para cada ω ∈ Ω sea δω elcaracter sobre C(Ω) dada por la evaluacion en ω; esto es, δω(f) = f(ω). Entoncesla funcion

Ω→ Ω(C(Ω)), ω 7→ δω

es un morfismo.

Demostracion. Esta funcion es continua porque si (ωλ)λ∈Λ es una red en Ω queconverge a un punto ω, entonces el

lımλ∈Λ

f(ωλ) = f(ω) para toda f ∈ C(Ω)

ası que la red δωλ tiene una convergencia debil* a δω. La funcion tambien es inyectiva,porque si ω, ω′ son puntos distintos de Ω, por el lema de Urysohn existe una funcion

f ∈ C(Ω) tal que f(ω) = 0 y f(ω′) = 1

y por lo tanto δω 6= δω′ .Ahora mostraremos la suryectividad de la funcion. Sea τ ∈ Ω(C(Ω)). Entonces

M = Ker(τ) es una C∗-algebra propia de C(Ω). Tambien, M separa puntos de Ω,para puntos distintos ω, ω′ en Ω, luego, como hemos visto recien, existe una funcionf ∈ C(Ω) tal que f(ω) 6= f(ω′), entonces si g = f − τ(f) es una funcion en Mtal que g(ω) 6= g(ω′). Se obtiene, entonces , por el teorema de Stone-Weierstrass,que existe un punto ω ∈ Ω tal que f(ω) = 0 para todo f ∈ M . Por lo tanto,(f − τ(f))(ω) = 0, y ası f(ω) = τ(f), para todo f ∈ C(Ω). Con lo cual, τ = δω. Asıla funcion entre estos espacios compactos Hausdorff es continuo y biyectivo y por lotanto un morfismo.


1.2. Elementos Positivos de la C*-algebra

En esta seccion presentaremos una relacion de orden parcial sobre los elementoshermitianos de una C∗-algebra. El principal resultado que obtendremos sera el de launicidad de las raıces cuadradas positivas para cada elemento positivo y el teorema1.21, que asegura que los elementos de la forma a∗a son positivos.

Observacion 1. Sea A = C0(Ω), donde Ω es un espacio localmente compactoHausdorff. Entonces Asa es el conjunto de funciones a valores reales en A y existeun orden parcial natural sobre Asa dado por f ≤ g si y solo si f(ω) ≤ g(ω) paratodo ω ∈ Ω.

Un elemento f ∈ A es positivo, esto es, f ≥ 0 si y solo si es de la forma f = ggpara algun g ∈ A. En este caso f tiene una unica raız cuadrada en A, dada por lafuncion ω 7→

√f(ω).

Notar que si f = f , tambien podemos expresar la condicion de positividad enterminos de la norma: Si t ∈ R, entonces f es positivo si ‖f − t‖ ≤ t, y recıproca-mente, si ‖f‖ ≤ t y f es positivo entonces ‖f − t‖ ≤ t.

Introduciremos ahora un orden parcial sobre una C∗-algebra arbitraria que ge-neraliza la de C0(Ω), y obtendremos ası, de forma similar muchos otros resultados.

Sea A un algebra unital y B una subalgebra tal que B + C1 = A. EntoncesσB(b) ∪ 0 = σA(b) ∪ 0, para todo b ∈ B. Si B es no unital, esto se verificaobservando que que la funcion B → A, (b, λ) 7→ b+ λ1, es un isomorfismo.

SiB tiene una unidad e que no es igual a la unidad 1 deA, entonces para cualquierb ∈ B y λ ∈ C \ 0 la invertibilidad de b + λ es equivalente a la invertibilidad deb+ λe en B, ası que σB(b) = σA(b) ∪ 0.

De estas observaciones y del teorema 1.12, sera claro que para cualquier C∗-subalgebra B de una C∗-algebra A tenemos que σB(b)∪0 = σA(b)∪0 para todob ∈ B.

Un elemento a de una C∗-algebra A es positiva si es hermitiana y σ(a) ⊆ R+. Loescribiremos como a ≥ 0 para expresar que a es positivo y denotaremos por A+ alconjunto de los elementos positivos de A. Por la observacion anterior B+ = B ∩A+

para cualquier C∗-subalgebra B de A.Si S es un conjunto no vacıo, entonces el elemento f ∈ `∞(S) es positivo en el

sentido de una C∗-algebra si y solo si f(x) ≥ 0 para todo x ∈ S, porque σ(f) esla clausura del rango de f . Por lo tanto, si Ω es un espacio localmente compactoHaussdoff, entonces f ∈ C0(Ω) es positivo si y solo si f(ω) ≥ 0 para todo ω ∈ Ω.

Si a es un elemento hermitiano de una C∗-algebra A, observemos que C∗(a) esla clausura del conjunto de todos los polinomios en a con termino constante nulo.

Teorema 1.18. Sea A una C∗-algebra y a ∈ A+. Entonces existe un unico elementob ∈ A+ tal que b2 = a.

Demostracion. Que existe un elemento b ∈ A+ tal que b ≥ 0 y b2 = a se sigue delteorema representacion de Gelfand, ya que podemos usarlo para identificar C∗(a)con C0(Ω) donde Ω es el caracter del espacio de C∗(a), y luego solo nos queda aplicarla observacion 1.

Supongamos que c es otro elemento de A+ tal que c2 = a. Como c conmutacon a tambien debe hacerlo con b, dado que b es una sucesion de polinomios en a.


Sea B la C∗-subalgebra (necesariamente abeliana) de A generado por b y c, y seaφ : B → C0(Ω) la representacion de Gelfand de B. Entonces φ(b) yφ(c) son raıcescuadradas positivas de φ(a) en C0(Ω), ası aplicando nuevamente la observacion 1,φ(b) = φ(c), y por lo tanto b = c.

Si A es una C∗-algebra y a es un elemento positivo, denotaremos por a1/2 alunico elemento posivo b tal que b2 = a.

Si c es un elemento hermitiano, entonces c2 es positivo, y definimos |c| = (c2)1/2,c+ = 1

2(|c|+ c), y c− = 1

2(|c| − c). Usando la representacion de Gelfand de C∗(c), es

facil de verificar que |c|, c+, y c− son elementos positivos de A, tales que c = c+− c−y c+c− = 0.

Observacion 2. Si a es un elemento hermitiano de la bola unidad cerrada de unaC∗-algebra unital A, entonces los elementos

u = a+ i√

1− a2 y v = a− i√

1− a2

son unitarios y tales que a = 12(u + v). Los unitarios generan linealmente a A, un

resultado que es frecuentemente util.

Lema 1.19. Supongamos que A es una C∗-algebra unital, a es un elemento hermi-tiano de A y t ∈ R. Entonces a ≥ 0 si ‖a − t‖ ≤ t. Recıprocamente, si ‖a‖ ≤ t ya ≥ 0, entonces ‖a− t‖ ≤ t.

Demostracion. Podemos suponer que A es la C∗-subagebra generada por 1 y a, quepor la representacion de Gelfand A = C(σ(a)). El resultado se sigue de la observacion1.

Es inmediato del lema 1.19 que A+ es cerrada en A.

Lema 1.20. La suma de los elementos positivos en una C∗-algebra es un elementopositivo.

Demostracion. Sea A una C∗-algebra y a, b elementos positivos. Para mostrar quea + b ≥ 0 podemos suponer que A es unital. Por el lema 1.19 ‖a − ‖a‖‖ ≤ ‖a‖ y‖b− ‖b‖‖ ≤ ‖b‖, ası

‖a+ b− ‖a‖ − ‖b‖‖ ≤ ‖a− ‖a‖‖+ ‖b− ‖b‖‖ ≤ ‖a‖+ ‖b‖.

Nuevamente por el lema 1.19, a+ b ≥ 0

Teorema 1.21. Sea a es un elemento arbitrario de una C∗-algebra A, entonces a∗aes positivo.

Demostracion. Primero mostraremos que a = 0 si −a∗a ∈ A+. Como σ(−aa∗) \0 = σ(−a∗a) \ 0 y recordando que si a, b son elementos de un algebra unitalA, entonces 1 − ab es inversible si y solo si 1 − ba es inversible (se sigue de laobservacion de que si 1− ab tiene inversa c, entonces 1− ba tiene inversa 1 + bca),entonces podemos decir en este caso que −aa∗ ∈ A+. Escribimos a = b + ic, dondeb, c ∈ Asa. Entonces

a∗a+ aa∗ = 2b2 + 2c2, ası que a∗a = 2b2 + 2c2 − aa∗ ∈ A+.


Por lo tanto,σ(a∗a) = R ∩ (−R+) = 0,

con lo cual ‖a‖2 = ‖a∗a‖ = r(a∗a) = 0.Ahora supongamos que a es un elemento arbitrario de A, y mostraremos que a∗a

es positivo. Si b = a∗a, entonces b es hermitiano y por lo tanto lo podemos expresarcomo b = b+ − b−. Si c = ab−, entonces

−c∗c = −b−a∗ab− = −b−(b+ − b−)b− = (b−)3 ∈ A+.

Luego c = 0 por la primer parte de la demostracion. Por lo tanto b− = 0 y a∗a =b+ ∈ A+.

Si A es una C∗-algebra hacemos que Asa sea un conjunto parcialmente ordenadodefiniendo la relacion a ≤ b siempre que b− a ∈ A+. La relacion ≤ es invariante portraslacion; esto es,

a ≤ b⇒ a+ c ≤ b+ c para todo a, b, c ∈ Asa.

Tambien tenemos que, para todo t ∈ R+,

a ≤ b⇒ ta ≤ tb y a ≤ b⇔ −a ≥ −b.

Usando el teorema 1.21 podemos extender nuestra definicion de |a|: para un a arbi-trario definimos |a| = (a∗a)1/2. Resumiremos algunos de los resultados elementalesa cerca de A+ en el siguiente resultado.

Teorema 1.22. Sea A una C∗-algebra.

1. El conjunto A+ es igual a a∗a : a ∈ A

2. Si a, b ∈ Asa y c ∈ A, entonces a ≤ b⇒ c∗ac ≤ c∗bc.

3. Si 0 ≤ a ≤ b, entonces ‖a‖ ≤ ‖b‖.

4. Si A es unital y a, b son elementos positivos invertibles, entonces a ≤ b⇒ 0 ≤b−1 ≤ a−1.

Demostracion. Las condiciones (1) y (2) se deducen del teorema 1.21 y de la exis-tencia de las raıces positivas para elementos positivos.

Para probar la condicion (3) podemos suponer que A es unital. La desigualdadb ≤ ‖b‖ esta dada por la representacion de Gelfand aplicada a la C∗-algebra generadapor 1 y b. Por lo tanto a ≤ ‖b‖. Aplicando nuevamente la representacion de Gelfand,esta vez a la C∗-algebra generada por 1 y a, obtenemos la desigualdad ‖a‖ ≤ ‖b‖.

Para probar la condicion (4), observemos que si c ≥ 1, entonces c es invertible yc−1 ≤ 1. Esto esta dado por la representacion de Gelfand aplicada a la C∗-subalgebragenerada por 1 y por c. Ahora,

a ≤ b⇒ 1 = a−1/2aa−1/2 ≤ a−1/2ba−1/2 ⇒ (a−1/2ba−1/2)−1 ≤ 1,

esto es a1/2b−1a1/2 ≤ 1. Por lo tanto, b−1 ≤ (a1/2)−1(a1/2)−1 = a−1.


Teorema 1.23. Si a, b son elementos positivos de una C∗-algebra A, entonces ladesigualdad a ≤ b implica la desigualdad a1/2 ≤ b1/2.

Demostracion. Mostraremos que a2 ≤ b2 ⇒ a ≤ b y ası quedara demostrado elteorema. Podemos suponer que A es unital. Sea t > 0 y sean b y c las partes real eimaginaria hermitianas del elemento (t+ b+ a)(t+ b− a). Entonces

c =1

2((t+ b+ a)(t+ b− a) + (t+ b− a)(t+ b+ a))

= t2 + 2tb+ b2 − a2

≥ t2.

En consecuencia, c es positivo e inversible. Dado que

1 + ic−1/2dc,1/2 = c−1/2(c+ id)c−1/2

es inversible, con lo cual c+id es inversible, se sigue entonces que t+b−a es inversiblea izquierda, y por lo tanto inversible, dado que es hermitiano. Luego, −t /∈ σ(b− a).Entonces, σ(b− a) ⊆ R+, ası b− a es positivo, esto es a ≤ b.

No es cierto que 0 ≤ a ≤ b ⇒ a2 ≤ b2 para C∗-algebra arbitraria. Por ejemplo,si tomamos A = M2(C). Esta es una C∗-algebra donde la involucion esta dada por(

α βγ δ

)∗=

(α γβ δ

).

Sean p y q las proyecciones

p =

(1 00 0

)y q = 1

2

(1 11 1

)Entonces p ≤ p+ q, pero p2 (p+ q)2 = p+ q + pq + qp, ya que la matriz

q + pq + qp =1

2

(3 22 1

)tiene un autovalor negativo (4−

√20

2).

Se puede demostrar que la implicacion 0 ≤ a ≤ b⇒ a2 ≤ b2 vale solamente paraC∗-algebras abelianas.[4] [Ped, Proposicion 1.3.9].

1.3. Operadores y Formas sesquilineales.

En esta seccion interpretaremos y aplicaremos muchas de las ideas que vimoshasta ahora en las secciones anteriores en el contexto de los operadores sobre espaciosde Hilbert. Tambien demostraremos el invaluable teorema de descomposicion polar.

Un tema importante en esta seccion sera la correspondencia entre los opreradoresy las formas sesquilineales. Esto es interesante por sı mismo, pero tambien tieneuna amplia aplicabilidad, por ejemplo, se utiliza en la demostracion del teoremaespectral. Comenzamos probando que todos los operadores sobre espacios de Hilberttienen adjuntos.


Teorema 1.24. Sean H1 y H2 espacios de Hilbert.

1. Si u ∈ B(H1, H2), entonces existe un unico elemento u∗ ∈ B(H2, H1) tal quepara todo x1 ∈ H1, x2 ∈ H2

〈u(x1), x2〉 = 〈x1, u∗(x2)〉

2. La funcion u 7→ u∗ es lineal-conjugado y u∗∗ = u. Tambien

‖u‖ = ‖u∗‖ = ‖u∗u‖.

Demostracion. Si u ∈ B(H1, H2) y x2 ∈ H2, entonces la funcion

H1 → C, x1 7→ 〈u(x1), x2〉,

es continuo y lineal, ası, por el teorema de rapresentacion de Riesz para funcionaleslineales sobre espacios de Hilbert existe un elemento unico u∗(x2) ∈ H1 tal que

〈u(x1), x2〉 = 〈x1, u∗(x2)〉 (x1 ∈ H1).

Mas aun‖u∗(x2)‖ = sup

‖x‖≤1

|〈u(x1), x2〉| ≤ ‖u‖‖x2‖.

La funcion u∗ : H2 → H1, x2 7→ u∗(x2), es lineal y ‖u∗‖ ≤ ‖u‖. Ası u∗ satisfacela condicion (1), (la unicidad de u∗ es obvia.)

Si x1 ∈ H1 y ‖x1‖ ≤ 1, entonces

〈u(x1), u(x1)〉 = 〈x1, u∗u(x1)〉 ≤ ‖u∗u‖,

ası que‖u‖2 = sup

‖x1‖≤1

‖u(x1)‖2 ≤ ‖u∗u‖‖u‖2.

Por lo tanto ‖u‖ = ‖u∗u‖1/2. Por ultimo, observemos que, para todo x, y ∈ H,

〈u∗∗(x), y〉 = 〈y, u∗∗(x)〉 = 〈u∗(y), x〉 = 〈x, u∗(y)〉 = 〈u(x), y〉.

Por lo tanto u∗∗ = u.

Si u : H1 → H2 es una funcion lineal continua entre espacios de Hilbert,llamaremos a la funcion u∗ : H2 → H1 la adjunta de u. Notar que ker(u∗) =(im(u))⊥, donde Im(u) es el rango de u, y por lo tanto (Im(u∗))− = ker(u)⊥.

Si H1u→ H2

v→ H3 son funciones lineales continuas entre espacios de Hilbert,entonces (uv)∗ = v∗u∗.

Si H es un espacio de Hilbert, entonces B(H) es una C∗-algebra con la invo-lucion u 7→ u∗, donde u∗ es la adjunta de u.

Se sigue en particular que Mn(C) = B(Cn) es una C∗-algebra. Observar quela involucion sobre Mn(C) esta dado por (λij)

∗ij = (λji)ij.


Si H es un espacio vectorial, una funcion σ : H2 → C es una forma sesquilinealsi es lineal en la primer variable y conjugada lineal en la segunda. Para talforma vale la identidad de polarizacion

σ(x, y) =1

4

3∑k=0

ikσ(x+ iky, x+ iky).

Ası, las formas sesquilineales σ y σ′ son iguales si y solo si σ(x, x) = σ′(x, x)para todo x ∈ H. Desarrollaremos con mas detalle las formas sesquilineales enesta seccion.

Si H es un espacio de Hilbert y u ∈ B(H), entonces (x, y) 7→ 〈u(x), y〉 es unaforma sesquilineal sobre H. Por lo tanto, si u, v ∈ B(H), entonces u = v si ysolo si 〈u(x), x〉 = 〈v(x), x〉 para todo x ∈ H.

Si u∗u = id y uu∗ = id diremos que u es un operador unitario. Esto esequivalente a decir que u es isometrico y suryectivo. Observemos que u esisometrico ⇔ u∗u = id.

Ejemplo 6. Sea (en)∞n=1 una base ortonormal para un espacio de Hilbert H y su-pongamos que u es un operador diagonal con respecto a (en), con la sucesion (λn).Entonces u∗ es tambien diagonal con respecto a (en) y su sucesion diagonal es (λn).Esto sale directo de la observacion de que

〈u∗(en), em〉 = 〈en, u(em)〉 = 〈en, λnem〉 = λmδmn,

donde δnm es el sımbolo de la delta de Kronecker, que implica que u∗(en) = λnen.Como todos los operadores diagonales con respecto a la misma base conmutan, uu∗ =u∗u; esto es u es normal.

Ejemplo 7. Sea (en) y H como en el ejemplo anterior, pero esta vez sea u el “shift”unilateral (a derecha) de la base, ası u(en) = en+1, para todo n ≥ 1. La adjunta u∗ esel operador shift a izquierda: u∗(en) = en−1 si n > 1 y u∗(e1) = 0. Se sigue entoncesque u∗u = 1. Es facil ver que u no tiene autovalores. Basta observar que, como ues monomorfismo, con lo cual λ = 0 no sirve como autovalor, y si λ 6= 0 y existieraun x ∈ H tal que u(x) = λx, entonces tendrıamos que unx = λnx para todo n ∈ N.Pero un(x) tiene n ceros al principio. Luego, inductivamente uno muestra que todaslas entradas de x son nulas, y x = 0, lo que no nos sirve como autovector.

Por el contrario, u∗ tiene muchos, por que que si |λ| < 1, entonces λ es unautovalor: Fijemos x =

∑∞n=1 λ

nen y observemos que x ∈ H porque

∞∑n=1

|λ|2n <∞, y que x 6= 0 y u∗(x) = λx.

Se sigue de esto, y del hecho de que ‖u∗‖ = ‖u‖ = 1, que σ(u) = σ(u∗) = D.Si tuvieramos otra base ortonormal (fn)∞n=1 para otro espacio de Hilbert K y v

es shift unilateral sobre (fn), es decir, v(fn) = fn+1, entonces v = wuw∗, dondew : H → K es el operador unitario tal que w(en) = fn para todo n ≥ 1. Desde elpunto de vista abstracto, los operadores u y v son esencialmente el mismo operador,ası uno puede hablar “del” shift unilateral.


Si K es un subespacio cerrado de de un espacio vectorial de un espacio de HilbertH, llamaremos a la proyeccion p de H sobre K a lo largo de K⊥ la proyeccion(ortogonal) sobre K. Esta proyeccion es autoadjunta. Si u ∈ B(H), entonces K esinvariante por u si y solo si pup = up. Decimos que K es reduciente para u si ambosK y K⊥ son invariantes por u. Esto es equivalente a que p conmuta con u porqueK⊥ es invariante por u si y solo si K es invariante por u∗.

El siguiente resultado sobre proyecciones sera utilizado tacitamente y con fre-cuencia.

Teorema 1.25. Sean p y q proyecciones sobre un espacio de Hilbert H. Entonceslas siguientes condiciones son equivalentes:

1. p ≤ q

2. pq = p

3. qp = p

4. p(H) ⊆ q(H)

5. ‖p(x)‖ ≤ ‖q(x)‖ (x ∈ H).

6. p− q es una proyeccion.

Demostracion. Las equivalencias de las condiciones (2), (3) y (4) son claras comotambien las implicaciones (2) ⇒ (6) ⇒ (1). Si probamos (1) ⇒ (5) ⇒ (2), estodemostrara el teorema.

Si suponemos que se verifica la condicion (1), entonces,

‖q(x)‖2 − ‖p(x)‖2 = 〈(q − p)(x), x〉 = ‖(q − p)1/2(x)‖2 ≥ 0,

por lo tanto se verifica la condicion (5).Si ahora asumimos que se verica la condicion (5),

‖p(1− q)(x)‖ ≤ ‖(q − q2)(x)‖ = 0,

y por lo tanto p = pq, esto es, se verifica la condicion (2).

Sea u : H1 → H2 una funcion lineal continua entre espacios de Hilbert. Dadoque (u(H1))⊥ = ker(u∗), u es un operador Fredholm si y solo si u(H1) es cerradoen H2 y los espacios ker(u) y ker(u∗) tienen dimension finita. En este casoind(u) = dim(ker(u))− dim(ker(u∗)), y la adjunta de u es tambien Fredholmy tal que ind(u∗) = −ind(u) (para ver que u∗ tiene rango cerrado, recordar elteorema2 1.4.15 que nos dice que existe una funcion lineal continua v : H2 →H1, tal que u = uvu, por lo tanto u∗ = u∗v∗u∗, ası que u∗v∗ es idempotente yu∗(H2) = u∗v∗.Ası u∗(H2) es cerrado en H1.)

2Sean X,Y espacios de Banach y sea u ∈ B(X,Y ) un operador Fredholm. Entonces u admiteuna pseudo-inversa v que es Fredholm y tal que 1 − uv y 1 − vu tienen rango finito. Mas aun, siind(u)=0, podemos elegir a v para que sea inversible


Un operador u sobre un espacio de Hilbert H es normal si y solo si para todox ∈ H,

‖u(x)‖ = ‖u∗(x)‖ ya que 〈(uu∗ − u∗u)(x), x〉 = ‖u∗(x)‖2 − ‖u(x)‖.

Ası, ker(u) = ker(u∗) si u es normal, y por lo tanto un operador normalFredholm tiene ındice cero.

Una funcion lineal continua u : H1 → H2 entre espacios de Hilbert H1 y H2 esuna isometrıa parcial si u es isometrico sobre ker(u)⊥, es decir, ‖u(x)‖ = ‖x‖para todo x ∈ ker(u)⊥.

Teorema 1.26. Sean H1 y H2 espacios de Hilbert y u ∈ B(H1, H2). Entonces lassiguientes condiciones son equivalentes:

1. u = uu∗u

2. u∗u es una proyeccion.

3. uu∗ es una proyeccion.

4. u es una isometrıa parcial.

Demostracion. (1) ⇒ (2). Si u = uu∗u entonces u∗u = u∗(uu∗u) = (u∗u)(u∗u) =(u∗u)2 y (u∗u)∗ = u∗u∗∗ = u∗u, con lo cual u∗u es una proyeccion. Para probar larecıproca supongamos que u∗u es una proyeccion. Entonces ‖u(x)‖2 = 〈u(x), u(x)〉 =〈u∗u(x), x〉 = ‖u∗u(x)‖2 para todo x ∈ H1,ası que u(1 − u∗u) = 0, y por lo tantou = uu∗u.

Para probar (2) ⇒ (3) supongamos nuevamente que u∗u es una proyeccion.Entonces (uu∗)3 = (uu∗)2, y ası σ(uu∗) ⊆ 0, 1. Por lo tanto uu∗ es una proyeccionpor el calculo funcional. Luego tenemos (2) ⇒ (3), y claramente (3) ⇒ (2) porsimetrıa.

Para mostrar que (1) ⇒ (4), supongamos que u = uu∗u. Entonces u∗u es laproyeccion sobre ker(u)⊥ = (u∗(H2))− = u∗u(H1). Luego si x ∈ ker(u)⊥, entonces‖u(x)‖2 = 〈u∗u(x), x〉 = 〈x, x〉 = 〈p(x), x〉 para todo x ∈ H1. Por lo tanto, u∗u = p,y (4)⇒ (2)

Ası como podemos expresar a un numero complejo como el producto de ununitario (=numero complejo de modulo 1) por un un numero no negativo, el siguienteresultado asegura que podemos expresar a un operador como el producto de unaisometrıa parcial por un operador positivo.

Teorema 1.27 (Descomposicion Polar). Sea v un operador lineal continuo sobre unespacio de Hilbert H. Entonces existe una unica isometrıa parcial u ∈ B(H) tal que

v = u|v| y ker(u) = ker(v) .

Mas aun, u∗v = |v|.


Demostracion. Si x ∈ H,

‖|v|(x)‖2 = 〈|v|(x), |v|(x)〉 = 〈|v|2(x), x〉 = 〈v∗v(x), x〉 = 〈v(x), v(x)〉 = ‖v(x)‖2.

Luego, la funcionu0 : |v|(H) −→ H, |v|(x) 7→ v(x),

esta bien definida y es isometrica. Tambien es lineal, y por lo tanto tiene una unaextension lineal isometrica (tambien denotada por u0) a |v|(H)−. Definimos u ∈B(H) como

u =

u0, en |v|(H)

0, en |v|(H)⊥ ‘

Entonces u|v| = v, y u es isometrico sobre ker(u)⊥, dado que ker(u) = |v|(H)⊥

. Asıu es una isometrıa parcial y ker(u) = ker(|v|). Pero

〈u∗v(x), |v|(y)〉 = 〈v(x), v(y)〉= 〈v∗v(x), y〉= 〈|v|(x), |v|(y)〉

⇒〈u∗v(x), z〉 = 〈|v|(x), z〉

para todo z ∈ |v|(H) y por lo tanto para todo z ∈ H. Ası u∗v = |v| y se sigue deesto que ker(|v|) = ker(v) y ası ker(u) = ker(v).

Ahora supongamos que que w ∈ B(H) es otra isometrıa parcial tal que v = w|v|y ker(w) = ker(v). Entonces w es igual a u sobre |v|(H) y sobre

|v|(H)⊥

= ker(v) = ker(w) = ker(u).

Por lo tanto w = v.

Correspondencia entre las Formas Sesquilineales y Operadores

Antes de pasar estudiar la correspondencia entre las formas sequilineales y losoperadores presentaremos un repaso breve de las definiciones y propiedades basicasque nos interesa saber de las formas sequilineales, dado que este tema no siempreesta desarrollado en los libros de analisis funcional.

La forma sesquilineal σ sobre un espacio vectorial H se dice hermitiana siσ(y, x) = σ(x, y)−, para todo x, y ∈ H. Se sigue de la identidad de polarizacionque una forma sesquilineal σ es hermitiana si y solo si σ(x, x) ≥ 0 para todo x ∈ H.Ası, las formas sesquilineales positivas son hermitianas.

La desigualdad|σ(x, y)| ≤

√σ(x, x)

√σ(x, x),

para todo x, y ∈ H, que vale para toda forma sesquilineal positiva σ, es llamada ladesigualdad de Cauchy-Schwarz. Esta desigualdad implica que la funcion p : x 7→√σ(x, x) es una seminorma sobre H; es decir, que p satisface los axiomas de una

norma excepto que la implicacion p(x) = 0⇒ x = 0 podrıa no verificarse.


Una forma sequilineal σ en un espacio vectorial normado H es acotado si existeun numero M tal que para todo x, y ∈ H se tiene que

|σ(x, y)| ≤M‖x‖‖y‖

Se define tambien la norma de σ como

‖σ‖ = ınfM : |σ(x, y)| ≤M‖x‖‖y‖, x, y ∈ H

Obviamente |σ(x, y)| ≤ ‖σ‖‖x‖‖y‖. Una forma sesquilineal se dice continua si y solosi es acotada.

Teorema 1.28. Si u es un operador sobre un espacio de Hilbert H, entonces laforma sesquilineal

σu : H2 −→ C, (x, y) 7→ 〈u(x), y〉,es hermitiano si y solo si u es hermitiano, y positivo si y solo si u es positivo.

Demostracion. Solo mostraremos la implicacion, σu es positivo ⇒ u es positivo,ya que las otras afirmaciones son ejercicios faciles de hacer (si u es positivo usarla existencia de una raız cuadrada positiva para u para mostrar la recıproca delresultado que vamos a probar ahora.)

Supongamos que σu es positivo. Entonces es hermitiano y por lo tanto u eshermitiano. Para ver σ(u) ⊆ R+, mostraremos que u− λ es inversible si λ < 0. Eneste caso, si x ∈ H entonces,

‖(u− λ)(x)‖2 = 〈(u− λ)(x), (u− λ)(x)〉= ‖u(x)‖2 + |λ|2‖x‖2 − 2λ〈u(x), x〉≥ |λ|‖x‖2.

Ası, ‖(u − λ)(x)‖ ≥ |λ|‖x‖. Por lo que (u − λ) esta inferiormente acotada. Por lotanto, (u − λ)(H) = ker(u∗ − λ)⊥ = ker(u − λ)⊥ = 0⊥ = H. Por lo tanto, u − λ esinversible.

Por el teorema anterior si u es un operador sobre un espacio de Hilbert H,entonces u es hermitiano si y solo si 〈u(x), x〉 ∈ R para todo x ∈ H, y u es positivosi y solo si 〈u(x), x〉 ≥ 0 para todo x ∈ H.Teorema 1.29. Sea σ una forma sesquilineal acotada sobre un espacio de HilbertH. Entonces existe un unico operador u sobre H tal que para todo x, y ∈ H se tieneque

σ(x, y) = 〈u(x), y〉.Mas aun, ‖u‖ = ‖σ‖.Demostracion. La unicidad de u es obvia. Para cada y ∈ H la funcion H → C,x 7→ σ(x, y), es continua y lineal, ası que por el teorema de representacion de Rieszexiste un unico elemento v(y) ∈ H tal que σ(x, y) = 〈x, v(y)〉 (x ∈ H). Tambien

‖v(y)‖ = sup‖x‖≤1

|σ(x, y)| ≤ ‖σ‖‖y‖.

La funcion v : H → H, y 7→ v(y) es lineal y ‖v‖ ≤ ‖σ‖. Si u = v∗, entoncesσ(x, y) = 〈u(x), y〉, (x, y ∈ H), y tambien la desigualdad |σ(x, y)| ≤ ‖u‖‖x‖‖y‖ quevale para todo x, y ∈ H implica que ‖σ‖ ≤ ‖u‖. Por lo tanto ‖σ‖ = ‖u‖.

2 IDEALES Y FUNCIONALES POSITIVAS 22

2. Ideales y Funcionales Positivas

En esta seccion desarrollamos el contenido del capıtulo 3 del libro de Murphy[1]C*-Algebras y Teorıa de Operadores, en el que mostraremos que a cada C∗-algebrase lo puede considerar como una C∗-subalgebra de B(H), para algun espacio deHilbert H. Este es el teorema de Gelfand-Naimark y es uno de los teoremas funda-mentales de la teorıa de C∗-algebras. Un paso clave en la demostracion del teoremasera la construccion del GNS que genera una correspondencia entre las funcionaleslineales positivas y algunas de las representaciones del algebra. Explotaremos estacorrespondencia en muchas situaciones que se presentaran. Existen tambien profun-das conexiones entre las funcionales lineales positivas y los ideales cerrados y losideales cerrados a izquierda del algebra.

Tambien veremos las C∗-algebras hereditarias. Estas son una especie de genera-lizacion de los ideales y son de gran importancia en la teorıa.

2.1. Ideales en C*-algebras

Aquı probaremos los resultados basicos sobre ideales y homomorfismos. Primero,mostraremos la existencia de unidades aproximadas en C∗-algebras. Por supuestoque si una C∗-algebra es no unital, uno puede simplemente agregar una unidad, comolo hemos hecho ya en varias ocaciones. Sin embargo, esto no siempre es lo mejor;basta considerar el problema de demostrar que los ideales cerrados son autoadjuntos,(esto se muestra usando unidades aproximadas).

Una unidad aproximada para una C∗-algebra A es una red creciente (uλ)λ∈Λ deelementos positivos en la bola cerrada unitaria de A tal que a = lımλ uλa para todoa ∈ A.

Ejemplo 8. Sea H un espacio de Hilbert con una base ortonormal (en)∞n=1. La C∗-algebra K(H) es por supuesto no unital, dado que dim(H) =∞. Si pn es la proyec-cion sobre Ce1+...+Cen, entonces la sucesion creciente (pn) es una unidad aproxima-da para K(H). Para ver esto solamente necesitamos mostrar que u = lımn→∞ pnusi u ∈ F (H), dado que F (H) es denso en K(H). Ahora, si u ∈ F (H) existenx1, ..., xm, y1, ..., ym ∈ H tal que u =

∑mk=1 xk ⊗ yk. Luego

pnu =m∑k=1

pn(xk)⊗ yk.

Dado quelımn→∞

pn(x) = x

para todo x ∈ H, tenemos que para cada k,

lımn→∞‖pn(xk)⊗ yk − xk ⊗ yk‖ = lım

n→∞‖pn(xk)− xk‖‖yk‖ = 0.

Por lo tanto, lımn→∞ pnu = u.

Sea A una C∗-algebra arbitraria y denotemos por Λ al conjunto de todos loselementos positivos a ∈ A tales que ‖a‖ < 1. Este conjunto esta parcialmente


ordenado con el orden parcial de Asa. De hecho, Λ es un conjunto dirigido haciaarriba; esto es, si a, b ∈ Λ, entonces existe un c ∈ Λ tal que a, b ≤ c. Mostraremosesto. Si a ∈ A+, entonces 1 + a es por supuesto invertible en A, y a(1 + a)−1 =1− (1 + a)−1. Afirmamos que

a, b ∈ A+ y a ≤ b⇒ a(1 + a)−1 ≤ b(1 + b)−1 (1)

Efectivamente, si 0 ≤ a ≤ b, entonces 1 + a ≤ 1 + b implica que (1 + a)−1 ≥(1 + b)−1, por el teorema 1.22, por lo tanto,

1− (1 + a)−1 ≤ 1− (1 + b)−1; es decir, a(1 + a)−1 ≤ b(1 + b)−1,

probando ası la afirmacion. Observemos que si a ∈ A+, entonces a(1 + a)−1 ∈ Λ(usar el teorema de representacion de Gelfand aplicada a la C∗-subalgebra generadapor 1 y a). Supongamos entonces que a, b son un par de elementos arbitrarios de Λ.Sea

a′ = a(1− a)−1, y b′ = b(1− b)−1 y c = (a′ + b′)(1 + a′ + b′)−1.

Entonces c ∈ Λ y como a′ ≤ a′ + b′, tenemos que a = a′(1 + a′)−1 ≤ c por (2.1).Analogamente, b ≤ c y por lo tanto Λ es dirigido hacia arriba como habıamosafirmado.

Teorema 2.1. Cada C∗-algebra admite una unidad aproximada. De hecho, si Λ esel conjunto superiormente dirigido de todos los a ∈ A+ tales que ‖a‖ < 1 y uλ = λpara todo λ ∈ Λ, entonces (uλ)λ∈Λ es una unidad aproximada para A, (llamada laaproximacion canonica de la unidad).

Demostracion. Por las observaciones que preceden al teorema, (uλ)λ∈Λ es una redcreciente de elementos positivos en la bola unitaria cerrada de A. Luego necesitamosver que

a = lımλuλa para cada a ∈ A.

Como Λ genera linealmente a A, podemos reducirlo al caso en el que a ∈ A.Supongamos entonces que a ∈ Λ y que ε > 0. Sea

ϕ : C∗(a)→ C0(Ω)

la representacion de Gelfand. Si f = ϕ(a), entonces

K = ω ∈ Ω : |f(ω) ≥ ε|

es compacto, y por lo tanto por el lema de Urysohn existe una funcion continuag : Ω→ [0, 1] de soporte compacto tal que g(ω) = 1 para todo ω ∈ K. Elegimos unδ ∈ (0, 1) y 1− δ < ε. Entonces ‖f − δgf‖ ≤ ε. Luego si λ0 = φ−1(δg), entonces

λ0 ∈ Λ y ‖a− uλ0a‖ ≤ ε.


Ahora supoongamos que λ ∈ Λ y λ > λ0. Entonces 1 − uλ ≤ 1 − uλ0 , entoncesa(1− uλ)a ≤ a(1− uλ0)a. Luego

‖a− uλa‖2 = ‖(1− uλ)1/2(1− uλ)1/2a‖2

≤ ‖(1− uλ)1/2a‖2

= ‖a(1− uλ)a‖≤ ‖a(1− uλ0)a‖≤ ‖(1− uλ0)a‖ ≤ ε

Esto muestra que a = lımλ uλa

Observacion 3. Si una C∗-algebra es separable, entonces admite una aproximacionde la unidad el cual es una sucesion. Para este caso existe una cantidad finita deconjuntos F1 ⊆ F2 ⊆ ... ⊆ Fn ⊆ ... tales que F = ∪∞n=1Fn es denso en A. Sea (uλ)λ∈Λ

cualquier aproximacion para la unidad de A.Si ε > 0, y Fn = a1, ..., am digamos, entonces existen

λ1, ..., λm ∈ Λ tales que ‖aj − ajuλ‖ < ε si λ ≥ λj.

Elegimos un λε ∈ Λ tal que λε ≥ λ1, ..., λm. Entonces ‖a − auλ‖ < ε para todoa ∈ Fn, y para todo λ ≥ λε. Luego, si n es un entero positivo y ε = 1/n, entoncesexiste un λn = λε ∈ Λ tal que ‖a− aλn‖ < 1/n para todo a ∈ Fn.

Obviamente tambien podrıamos elegir los λn tales que λn ≤ λn+1 para todo n.En consecuencia, lımn→∞‖a−auλn‖ = 0, para todo a ∈ F , y como F es denso en A,esto tambien vale para todo a ∈ A. Por lo tanto, (uλn)∞n=1 es una unidad aproximadapara A.

Teorema 2.2. Si L es un ideal cerrado a izquierda en una C∗-algebra A, entoncesexiste una red creciente (uλ)λ∈Λ de elementos positivos en la bola unitaria cerradade L tal que

a = lımλauλ para todo a ∈ L.

Demostracion. Sea B = L∪L∗. Dado que B es una C∗-algebra, admite una unidadaproximada, (uλ)λ∈Λ que esta dada por el Teorema 2.1.

Si a ∈ L, entonces a∗a ∈ B, entonces

0 = lımλa∗a(1− uλ).

Luego,

lımλ‖a− auλ‖2 = lım

λ‖(1− uλ)a∗a(1− uλ)‖

≤ lımλ‖a∗a(1− uλ)‖ = 0

En la demostracion anterior trabajamos en la unitificacion A de A. Lo haremostacitamente muy a menudo.


Teorema 2.3. Si I es un ideal cerrado en una C∗-algebra A, entonces I es autoad-junta y por lo tanto una C∗-subalgebra de A. Si (uλ)λ∈Λ es una unidad aproximadapara I, entonces para cada a ∈ A,

‖a+ I‖ = lımλ‖a− uλa‖ = lım

λ‖a− auλ‖ = 0

Demostracion. Por el Teorema 2.2 existe una red creciente (uλ)λ∈Λ de elementospositivos en la bola cerrada unitaria de I tal que

a = lımλauλ para todo a ∈ I.

Luego, a∗ = lımλ uλa∗, con lo cual a∗ ∈ I, dado que todos los elementos uλ ∈ I. Por

lo tanto I es autoadjunta.Supongamos que (uλ)λ∈Λ es una unidad aproximada cualquiera de I, que a ∈ A,

y que ε > 0. Existe un elemento b ∈ I tal que ‖a+ b‖ < ‖a+ I‖+ ε/2.Como b = lımλ uλb, existe un λ0 ∈ Λ tal que ‖b− uλb‖ < ε/2 para todo λ ≥ λ0,

y por lo tanto,

‖a− uλa‖ ≤ ‖(1− uλ)(a+ b)‖+ ‖b− uλb‖≤ ‖a+ b‖+ ‖b− uλb‖< ‖a+ I‖+ ε/2 + ε/2.

Se sigue entonces que ‖a+ I‖ = lımλ‖a− uλa‖, y por lo tanto tambien

‖a+ I‖ = ‖a∗ + I‖ = lımλ‖a∗ − uλa∗‖ = lım

λ‖a− auλ‖.

Observacion 4. Sea I un ideal cerrado en una C∗-algebra A, y J un ideal cerradoen I. Entonces J tambien es un ideal en A. Para ver esto solamente necesitamos verque ab y ba estan en J si a ∈ A y b es un elemento positivo de J (ya que J es unaC∗-algebra, J+ genera linealmente a J). Si (uλ)λ∈Λ es una unidad aproximada paraI, entonces b1/2 = lımλ uλb

1/2 dado que b1/2 ∈ I. Luego,

ab = lımλauλb

1/2b1/2,

ası que ab ∈ J porque b1/2 ∈ J , auλb1/2 ∈ I, y J es un ideal en I. Por lo tanto,

a∗b ∈ J , y tambien ba ∈ J, puesto que J es autoadjunta.

Teorema 2.4. Si I es un ideal cerrado de una C∗-algebra A, entonces el cocienteA/I es una C∗-algebra con sus operaciones usuales y la norma cociente.

Demostracion. Sea (uλ)λ∈Λ una unidad aproximada para I. Si a ∈ A y b ∈ I,entonces

‖a+ I‖2 = lımλ‖a− auλ‖2

= lımλ‖(1− uλ))a

∗a(1− uλ))‖

≤ supλ‖(1− uλ))(a

∗a+ b)(1− uλ))‖+ lımλ‖(1− uλ))b(1− uλ))‖

≤ ‖a∗a+ b‖+ lımλ‖b− uλb‖

= ‖a∗a+ b‖.Por lo tanto, ‖a+I‖2 ≤ ‖a∗a+I‖. Luego, por el lema 1.4, A/I es una C∗-algebra.


Teorema 2.5. Si ϕ : A→ B es un ∗-homomorfismo inyectivo entre C∗-algebras Ay B, entonces ϕ es necesariamente isometrico.

Demostracion. Con mostrar que ‖ϕ(a)‖2 = ‖a‖2 es suficiente, es decir, ‖ϕ(a∗a)‖ =‖a∗a‖. Ası pues, podemos suponer que A es abeliano (restringido a C(a∗a) si fueranecesario), y que B es abeliano (reemplazando B por ϕ(A)− si fuera necesario tam-bien). Mas aun, extendiendo ϕ : A → B a ϕ : A → B si fuera necesario, podemossuponer desde el principio que A, B y ϕ son unitales.

Si τ es un caracter sobre B, entonces τ ϕ es uno sobre A. Claramente, la funcion

ϕ′ : Ω(B)→ Ω(A), τ 7→ τ ϕ,

es continua. Por lo tanto, ϕ′(Ω(B)) es compacto, porque Ω(A) es compacto, y porlo tanto ϕ′(Ω(B)) es cerrado en Ω(A). Si ϕ′(Ω(B)) 6= Ω(A), entonces por el lema deUrysohn existe una funcion continua no nula f : Ω(A) → C tal que f se anula enϕ′(Ω(B)). Por la representacion de Gelfand, f = a para algun elemento a ∈ A. Porlo tanto para cada τ ∈ Ω(B),

τ(ϕ(A)) = a(τ ϕ) = 0.

Entonces, ϕ(a) = 0, con lo cual a = 0. Pero esto implicarıa que f es cero, que esuna contradiccion. Luego, para cada a ∈ A,

‖a‖ = ‖a‖∞ = supτ∈Ω(A)

|τ(a)| = supτ∈Ω(B)

|τ(ϕ(a))| = ‖ϕ(a)‖.

Luego, ϕ es isometrica.

Teorema 2.6. Si ϕ : A → B es un ∗-homomorfismo entre C∗-algebras, entoncesϕ(A) es una C∗-subalgebra de B.

Demostracion. La funcion

A/ ker(ϕ)→ B, a+ ker(ϕ) 7→ ϕ(a),

es un ∗-homomorfismo inyectivo entre C∗-algebras y por lo tanto es isometrico. Suimagen es ϕ(A), entonces este espacio es necesariamente completo y por lo tantocerrado en B.

Teorema 2.7. Sea B e I respectivamente una C*-subalgebra y un ideal cerrado enuna C*-algebra A. Entonces B + I es una C*-subalgebra de A.

Demostracion. Solamente mostraremos que (B + I) es completo, porque el resto estrivial. Dado que I es completo, solo necesitamos probar que el cociente (B + I)/Ies completo. La interseccion B ∩ I es un ideal cerrado en B y la funcion ϕ desdeB/(B ∩ I) hasta A/I definida por la funcion

ϕ(b+B ∩ I) = b+ I (b ∈ B)

es un ∗-homomorfismo con rango (B + I)/I. Por el Teorema 2.6, (B + I)/I escompleto, porque es una C*-algebra.


Observacion 5. La funcion

ϕ : B/(B ∩ I)→ (B + I)/I, b+B ∩ I 7→ b+ I,

en la demostracion anterior es claramente un isomorfismo.

Volvemos con el tema de las algebras multiplicadores, porque ahora podemosdecir algo mas acerca de ellos utilizando los resultados de eata seccion.

Supongamos que I es un ideal cerrado en una C*algebra A. Si a ∈ A, definimosLa y Ra en B(I), definiendolos como La(b) = ab y Ra(b) = ba. Se verifica que(La, Ra) es un doble centralizador sobre I y que la funcion

ϕ : A→M(I), a 7→ (La, Ra),

es un ∗-homomorfismo ya que para toda a ∈ A y para todo

b, c ∈ I La(b) = ab ∈ I, Ra(b) = ba ∈ I, Ra(b)c = bac = bLa(c)

Y si x, y ∈ A

ϕ(xy) = (Lxy, Rxy) = (LxLy, RyRx) = (Lx, Rx)(Ly, Ry) = ϕ(x)ϕ(y)

Recordemos que entendemos a I como un ideal cerrado de M(I) identificando acon (La, Ra), si a ∈ I. Luego, ϕ es una extension de la funcion inclusion I →M(I).

Si I1, ..., In son conjuntos en A, definimos por I1I2...In a las combinaciones linealescerradas de todos los productos a1a2...an, donde aj ∈ Ij.

Si I, J son ideales cerrados en A, entonces I ∩ J = IJ . La inclucion IJ ⊆ I ∩ Jes obvia. Para mostrar la otra inclusion solamente necesitamos mostrar que si a esun elemento positivo de I ∩ J , entonces a ∈ IJ .

Supongamos entonces que a ∈ (I ∩ J)+. Luego, a1/2 ∈ I ∩ J . Si (uλ)λ∈Λ es unaunidad aproximada para I, entonces

a = lımλ

(uλa1/2)a1/2,

y como uλa1/2 ∈ I para todo λ ∈ Λ llegamos a que a ∈ IJ, como querıamos ver.

Sea I un ideal cerrado en A. Diremos que I es esencial en A si aI = 0⇒ a = 0(equivalentemente Ia = 0⇒ a = 0).

De las observaciones anteriores es facil verificar que I es esencial en A si y solosi I ∩ J 6= 0 para todos los ideales cerrados no nulos J en A.

Cada C*-algebra I es un ideal esencial en su algebra multiplicadora M(I).

Teorema 2.8. Sea I un ideal cerrado en una C∗-algebra A. Entonces existe ununico ∗-homomorfismo ϕ : A → M(I) que extiende la inclusion I → M(I). Masaun, ϕ es inyectivo si I es esencial en A.

Demostracion. Hemos visto arriva que la funcion inclucion I → M(I) admite unaextension ∗-homomorfica ϕ : A→M(I).

Supongamos que ψ : A→M(I) es otra tal extension. Si a ∈ A y b ∈ I, entonces

ϕ(a)b = ϕ(ab) = ab = ψ(ab) = ψ(a)b.


Luego, (ϕ(a) − ψ(a))I = 0, con lo cual ϕ(a) = ψ(a), puesto que I es esencial enM(I). Por lo tanto ψ = ϕ.

Supongamos ahora que I es esencial en A y sea a ∈ ker(ϕ). Entonces aI =La(I) = 0, con lo cual a = 0. Ası, ϕ es inyectiva.

El Teorema 2.8 nos dice que el algebra multiplicador M(I) es la C∗-algebra unitalmas grande que contiene a I como un ideal cerrado esencial.

Ejemplo 9. Sea H un espacio de Hilbert, entonces K(H) es un ideal esencial deB(H). Si u es un operador en B(H) tal que u(K(H)) = 0, entonces para todo x ∈ Htenemos que

u(x)⊗ x = u(x⊗ x) = 0,

luego u(x) = 0. Por el Teorema 2.8, la funcion inclusion K(H) → M(K(H)) seextiende unıvocamente a un ∗-homomorfismo inyectivo ϕ : B(H)→M(K(H)).

Veamos que ϕ es un epimorfismo, es decir, un ∗-isomorfismo. Supongamos que(L,R) ∈M(K(H)), y fijemos un vector unitario e ∈ H. La funcion lineal

u : H → H, x 7→ (L(x⊗ e))(e),

es acotado, ya que

‖u(x)‖ ≤ ‖L(x⊗ e)‖ ≤ ‖L‖‖x⊗ e‖ = ‖L‖‖x‖.

Si x, y, z ∈ H, entonces

(Lu(x⊗ y))(z) = (u(x)⊗ y)(Z)

= 〈z, y〉(L(x⊗ e))(e)= (L(x⊗ e))(〈z, y〉e)= (L(x⊗ e))(e⊗ y)(z).

Entonces, Lu(x⊗ y) = L(x⊗ e)(e⊗ y) = L(x⊗ y) para todo x, y ∈ H. Con lo cual,(ϕ(u)− (L,R))K(H) = 0, y ası ϕ(u) = (L,R).

Ası podremos considerar a B(H) como a el algebra multiplicador de K(H). Esteejemplo es el que motiva el uso de los algebras multiplicadores en la K-teorıa.

Ejemplo 10. Si Ω es un espacio localmente compacto Hausdorff, entonces es facilde verificar que C0(Ω) es un ideal esencial en la C∗-algebra Cb(Ω). Entonces, por elteorema 2.8 existe un unico ∗-homomorfismo ϕ : Cb(Ω) → M(C0(Ω)) que extiendela inclusion ϕ : C0(Ω)→M(C0(Ω)). Mostraremos que ϕ es suryectiva, es decir, queϕ es un ∗-isomorfismo. Para ver esto es suficiente mostrar que si g ∈ M(C0(Ω))es positivo, entonces es el rango de ϕ. Si (uλ)λ∈Λ es una unidad aproximada paraC0(Ω), entonces para cada ω ∈ Ω la red de numeros reales (guλ(ω)) es creciecientey superiormente acotada por ‖g‖, y por eso converge a un numero digamos, h(ω).La funcion

h : Ω→ C, ω 7→ h(ω),

esta acotada. Mas aun, si f ∈ C0(Ω), entonces hf = gf, ya que

f = lımλfuλ.


Para ver que h es continua, sea (ωµ)µ∈M una red en Ω que converge a un punto ω.Sea K un entorno compacto de ω en Ω. Para mostrar que

h(ω) = lımµh(ωµ),

podemos suponer que ωµ ∈ K, para todos los ındices µ (existe una µ0 tal que µ ∈ Kpara todo µ ≥ µ0, entonces, si fuera necesario, reemplazar la red (ωµ)µ∈M por la red(ωµ)µ≥µ0). Usando el lema de Urysohn para elegir una funcion f ∈ C0(Ω) tal quef = 1 sobre K. Dado que fh ∈ C0(Ω),

h(ω) = fh(ω) = lımµfh(ωµ) = lım

µh(ωµ).

Entonces, h es continua y ası h ∈ Cb(Ω). Para cualquier funcion arbitraria f enC0(Ω) tenemos ϕ(h)f = ϕ(hf) = hf = gf, con lo cual (ϕ(h)− g)C0(Ω) = 0. Por lotanto, g = ϕ(h).

2.2. C*-Subalgebras Hereditarias

En esta seccion introducimos una nueva clase de C∗-subalgebras, a las que lla-mamos hereditarias. Estas tienen un comportamiento particularmente bueno, es-pecialmente respecto de la extension de las funcionales lineales positivas, un temade importancia a tener en cuenta para la siguiente seccion. Ilustraremos el buencomportamiento de las C∗-subalgebras hereditarias en conexion con el concepto desimplicidad de un algebra.

Una C∗-subalgebra B de una C∗-algebra A se dice que es hereditaria si paraa ∈ A+ y b ∈ B+ la desigualdad a ≤ b implica que a ∈ B+. Obviamente0 y A son C∗-subalgebras hereditarias de A, y cualquier interseccion de C∗-subalgebras hereditarias tambien lo es.

La C∗-subalgebra hereditaria generada por un conjunto S de A es la C∗-subalgebra hereditaria mas chica de A que contiene a S.

Ejemplo 11. Si p es una proyeccion en una C∗-algebra A, la C∗-subalgebra pAp eshereditaria. Porque, asumiendo que 0 ≤ b ≤ pap, entonces

0 ≤ (1− p)b(1− p) ≤ (1− p)pap(1− p)) = 0,

con lo cual,‖b1/2(1− p)‖2 = ‖(1− p)b(1− p)‖ = 0,

y ası b(1− p) = 0. Por lo tanto, b = pbp ∈ pAp.

La correspondencia entre las C∗-subalgebras hereditarias y los ideales cerradosa izquierda en el siguiente teorema es muy util.

Teorema 2.9. Sea A una C∗-algebra.


1. Si L es un ideal cerrado a izquierda en A, entonces L∩L∗ es una C∗-subalgebrahereditaria de A. La funcion

L 7→ L ∩ L∗

es una biyeccion del conjunto de los ideales cerrados a izquierda de A sobre elconjunto de las C∗-subalgebras hereditarias de A.

2. Si L1 y L2 son dos ideales cerrados a izquierda de A, entonces

L1 ⊆ L2 si y solo si L1 ∩ L∗1 ⊆ L2 ∩ L∗2

3. Si B es una C∗-subalgebra hereditaria de A, entonces el conjunto

L(B) = a ∈ A : a∗a ∈ B

es el unico ideal cerrado a izquierda de A que se corresponde a B.

Demostracion. Si L es un ideal cerrado a izquierda de A, entonces claramente B =L ∩ L∗ es una C∗-subalgebra de A.

Supongamos que a ∈ A+ y b ∈ B+ y a ≤ b. Por el Teorema 2.2 existe una redcreciente (uλ)λ∈Λ en la bola unitaria cerrada de L+ tal que

lımλbλ = b.

Como 0 ≤ (1− uλ)a(1− uλ) ≤ (1− uλ)a(1− uλ), tenemos que

‖a1/2 − a1/2uλ‖2‖(1− uλ)a(1− uλ)‖ ≤ ‖(1− uλ)b(1− uλ)‖ ≤ ‖b− buλ‖.

Luego, a1/2 = lımλ a1/2uλ, ası que a1/2 ∈ L, ya que uλ ∈ L (λ ∈ Λ). Por lo tanto,

a ∈ B y resulta B hereditario en A.Supongamos ahora que L1 y L2 son ideales cerrados a izquierda de A. Es evidente

que si L1 ⊆ L2 ⇒ L1 ∩ L∗1 ⊆ L2 ∩ L∗2. Para mostrar la recıproca , supongamos que

L1 ⊆ L2 ⇒ L1 ∩ L∗1 ⊆ L2 ∩ L∗2

y sea (uλ)λ∈Λ una unidad aproximada para L1 ∩ L∗1 ysea a ∈ L1. Entonces

lımλ‖a− auλ‖2 ≤ lım

λ‖(1− uλ)a∗a(1− uλ)‖ ≤ lım

λ‖a∗a(1− uλ)‖ = 0,

ya que a∗a ∈ L1 ∩ L∗1. Se sigue entonces que lımλ auλ = a. Por lo tanto, a ∈ L2, yaque

uλ ∈ L1 ∩ L∗1 ⊆ L2.

Esto prueba la condicion (2).Ahora, sea B una C∗-subalgebra hereditaria de A y sea L = L(B). Si a, b ∈ L,

(a+ b)∗(a+ b) ≤ (a+ b)∗(a+ b) + (a− b)∗(a− b) = 2a∗a+ 2b∗b ∈ B,

y ası a + b ∈ L. Si a ∈ A y b ∈ L entonces (ab)∗(ab) = b∗a∗ab ≤ ‖a‖2b∗b ∈ B, asıque ab ∈ L. Analalogamente, L es cerrado bajo la multiplicacion escalar. Luego L


es un ideal a izquierda y es, obviamente, cerrado puesto que B es cerrado. Si b ∈ Bentonces b∗b ∈ B, y ası b ∈ L. Por lo tanto, B ⊆ L∩L∗. Si 0 ≤ b ∈ L∩L∗, entoncesb2 ∈ B, y ası b ∈ B, y por lo tanto

L ∩ L∗ ⊆ B

. Con lo cual, concluimos que L∩L∗ = B. Esto prueba la condicion (3), y la condicion(1) se sigue directamente.

Teorema 2.10. Sea B una C∗-subalgebra de una C∗-subalgebra A. Entonces B eshereditaria en A si y solo si bab′ ∈ B para todo b, b′ ∈ B y a ∈ A.

Demostracion. Si B es hereditario, entonces por el Teorema 2.9 B = L ∩ L∗ paraalgun ideal cerrado L de A. Por lo tanto, si b, b′ ∈ B y A ∈ A, tenemos que b(ab′) ∈ Ly b′∗(a∗b∗) ∈ L, ası que b(ab′) ∈ B.

Recıprocamente, supongamos que B tiene la propiedad de que bab′ ∈ B paratodo b, b′ ∈ B y a ∈ A. Si (uλ)λ∈Λ es una unidad aproximada para B y A ∈ A+,b ∈ B+, y a ≤ b, entonces

0 ≤ (1− uλ)a(1− uλ) ≤ (1− uλ)b(1− uλ),

y por lo tanto,‖a1/2 − a1/2uλ‖ ≤ ‖b1/2 − b1/2uλ‖.

Puesto que, b1/2 = lımλ b1/2uλ, entonces a1/2 = lımλ a

1/2uλ y ası

a1/2 = lımλuλauλ ∈ B.

Por lo tanto B es hereditario.

El siguiente corolario es obvio.

Corolario 2.11. Todos los ideales cerrados de una C∗-algebra es una C∗-subalgebrahereditaria.

Corolario 2.12. Si A es una C∗-algebra y a ∈ A+, entonces (aAa)− es la C∗-subalgebra hereditaria de A generada por a.

Demostracion. Lo unico que probaremos es que a ∈ (aAa)−, porque el resto esrutina. Si (uλ)λ∈Λ es una unidad aproximada para A, entonces

a2 = lımλauλa, y ası a2 ∈ (aAa)−.

Dado que (aAa)− es una C∗-algebra, a =√a2 ∈ (aAa)− tambien.

En el caso separable, cada C∗-subalgebra hereditaria es de la forma del corolarioanterior.

Teorema 2.13. Supongamos que B es una C∗-subalgebra hereditaria separable deuna C∗-algebra A. Entonces existe un elemento positivo a ∈ B tal que B = (aAa)−.


Demostracion. Puesto que B es una C∗-algebra separable, esta admite una sucesionde una unidad aproximada, digamos (un)∞n=1 (ver 2.1). Definamos a =

∑∞n=1 un/2

n.Entonces

a ∈ B+, y ası B contiene a (aAa)−.

Dado que un/2n ≤ a, y (aAa)− es hereditario por el Corolario 2.12, entonces un ∈

(aAa)−. Si b ∈ B, entonces

b = lımn→∞

unbun y unbun ∈ (aAa)−,

ası que b ∈ (aAa)−. Por lo tanto tenemos que B = (aAa)−

Si no se considera la condicion de separabilidad en el Teorema 2.13, el resultadopuede fallar. Para ver esto sea H un espacio de Hilbert, y supongamos que u es unelemento positivo de B(H) tal que K(H) = (uB(H)u)−. Si x ∈ H, entonces

x⊗ x = lımn→∞

uvnu

para una sucesion (vn) en B(H), con lo cual x esta en la clausura del rango de u.Esto muestra que H = (u(H))−, y por lo tanto H es separable, dado que el rangode un operador compacto es separable (Obs 1.4.1). Luego, si H es un espacio deHilbert no separable, entonces la C∗-subalgebra hereditaria K(H) de B(H) no esde la forma (uB(H)u)− para ningun u ∈ B(H)+.

Teorema 2.14. Supongamos que B es una C∗-subalgebra de una C∗-algebra unitalA, y sea a ∈ A+. Si para cada ε > 0 existe un b ∈ B+ tal que a ≤ b + ε, entoncesa ∈ B.

Demostracion. Sea ε > 0. Por la hipotesis existe bε ∈ B+ tal que a ≤ b2ε + ε2, y ası

a ≤ (bε + ε)2. Luego,

(bε + ε)−1a(bε + ε)−1 ≤ 1,=⇒ ‖(bε + ε)−1a(bε + ε)−1‖ ≤ 1.

Usando el hecho de que

1− bε(bε + ε)−1 = ε(bε + ε)−1,

obtenemos que

‖a1/2 − a1/2ε(bε + ε)−1‖2 = ε2‖a1/2(bε + ε)−1‖2

= ε2‖(bε + ε)−1a(bε + ε)−1‖2

≤ ε2

Entonces,a1/2 = lım

ε→0a1/2bε(bε + ε)−1,

y por eso tambiena1/2 = lım

ε→0(bε + ε)−1bεa

1/2


tomando adjuntas. Ası,

a = lımε→0

(bε + ε)−1bεabε(bε + ε)−1.

Ahora bien, bε(bε + ε)−1 ∈ B, por lo cual

(bε + ε)−1bεabε(bε + ε)−1 ∈ B,

puesto que B es hereditario en A. Por lo tanto llegamos a que a ∈ B.

Brevemente indicaremos la conexion entre la estructura de ideal de una C∗-algebra y sus C∗-subalgebras hereditarias en los siguientes resultados.

Teorema 2.15. Sea B una C∗-subalgebra hereditaria de una C∗-algebra A, y sea Jun ideal cerrado de B. Entonces existe un ideal cerrado I de A tal que J = B ∩ I.

Demostracion. Sea I = AJA. Entonces I es un ideal cerrado de A. Dado que J esuna C∗-algebra, J = J3, y como B es hereditario en A, tenemos que B ∩ I = BIB(Ambas afirmaciones anteriores se siguen directamente de la existencia de unidadesaproximadas). Entonces,

B ∩ I = BIB = B(AJA)B = BAJ3AB ⊆ BJB,

porque BAJ y JAB estan contenidos en B por el Teorema 2.10. Ya que BJB = J ,porque J es un ideal cerrado en B, tenemos que B ∩ I ⊆ J , y la inclucion recıprocaes obvia, tenemos que B ∩ I = J

Decimos que C∗-algebra A es simple si 0 y A son sus unicos ideales cerrados.Estas algebras estan pensadas como los cimientos de la teorıa de C∗-algebras y esimportante enumerar una larga lista de ejemplos.

Presentaremos algunos mientras vamos avanzando, pero por ahora nos conten-tamos con una clase particular de ejemplos:

Ejemplo 12. Si H es un espacio de Hilbert, entonces la C∗-algebra K(H) es simple,por que si I es un ideal no nulo cerrado de K(H), tambien es un ideal de B(H) (2.8),luego I contiene al ideal F (H) por el Teorema3 2.4.7 , y por lo tanto, I = K(H).

No es cierto que las C∗-subalgebras de C∗-alebras simples sean necesariamentesimples. Por ejemplo, si p, q son proyecciones no nulas de rango finito sobre unespacio de Hilbert H, tal que pq = 0, entonces A = Cp + Cq es una C∗-subalgebrano simple de la C∗-algebra simple K(H) (el ideal cerrado Ap = Cp de A es notrivial).

Teorema 2.16. Toda C∗-algebra hereditaria de una C∗-algebra simple es simple.

Demostracion. Sea B una C∗-subalgebra hereditaria de una C∗-algebra A. Si J esun ideal cerrado de B, entonces, entonces

J = B ∩ I

para algun ideal cerrado I de A, por el Teorema 2.15. La simplicidad de A implicaque I = 0 o A, y por lo tanto J = 0 o B.

3Si H es un espacio de Hilbert e I es un ideal no nulo en B(H), entonces I contiene a F (H).


2.3. Funcionales Lineales Positivas

Para las C∗-algebras abelianas podıamos determinar completamente la estruc-tura del algebra en terminos del espacio caracter, es decir, en terminos de represen-taciones de una dimension.

Para el caso no abeliano esto resulta bastante inadecuado, y tenemos que encon-trar representaciones de dimenciones arbitrarias. Existe una relacion muy profundaentre las representaciones y las funcionales lineales positivas de una C∗-algebra. Enesta seccion presentaremos algunas propiedades basicas de las funcionales linealespositivas.

Si ϕ : A→ B es una funcion lineal entre C∗-algebras decimos que es positiva siϕ(A+) ⊆ B+. En este caso, ϕ(Asa) ⊆ Bsa y la funcion restriccion ϕ : Asa → Bsa escreciente.

Todos los ∗-homomorfismos son positivos.

Ejemplo 13. Sea A = C(T) y sea m la medida de longitud de arco normalizadasobre T. Entonces la funcional lineal

C(T)→ C, f 7→∫fdm,

es positivo (y no un homomorfimo).

Ejemplo 14. Sea A =Mn(C). La funcional lineal

tr : A→ C, (λij) 7→n∑i=1

λii,

es positivo. A esta funcion de la denomina traza.Observar que no existen ∗-homomorfismos no nulos de Mn(C) a C si n > 1.

Sea A una C∗-algebra y sea τ una funcional lineal positiva en A. Entonces lafuncion

A2 → C, (a, b) 7→ τ(b∗a),

es una forma sesquilineal positiva sobre A.Por lo tanto,

τ(b∗a) = τ(a∗b)− y |τ(b∗a)| ≤ τ(a∗a)1/2τ(b∗b)1/2.

Mas aun, la funcion a 7→ τ(a∗a)1/2 es una seminorma sobre A.Supongamos ahora que τ solamente es una funcional lineal sobre A y que M es

un elemento de R+ tal que |τ(a)| ≤M para todos los elementos positivos de la bolaunitaria cerrada de A. Entonces τ es acotada en norma ‖τ‖ ≤ 4M. Mostraremosesto: Primero supongamos que a es un elemento hermitiano de A, tal que ‖a‖ ≤ 1.Luego a+ y a− son elementos positivos de la bola unitaria cerrada de A, y por lotanto,

|τ(a)| = |τa+ − τ(a−)| ≤ 2M.

Ahora supongamos que A es un elemento arbitrario de la bola unitaria cerradade A, como a = b + ic donde b y c son sus partes real e imaginaria, y ‖b‖, ‖c‖ ≤ 1.Entonces

|τ(a)| = |τ(b) + iτ(c)| ≤ 4M.


Teorema 2.17. Si τ es una funcional lineal positiva sobre una C∗-algebra A, en-tonces τ es acotado.

Demostracion. Si τ no fuera acotado, entonces por las observaciones anterioressupa∈S τ(a) = +∞ donde S es el conjunto de todos los elementos positivos de A connorma no mayor a 1. Por lo tanto existe una sucesion (an) en S tal que 2n ≤ τ(an)para todo n ∈ N. Tomemos el elemento

a =∞∑n=0

an/2n,

con lo cual a ∈ A+. Ahora, 1 ≤ τ(an/2n) y por lo tanto

N ≤N−1∑n=0

τ(an/2n) = τ

(N−1∑n=0

an/2n

)≤ τ(a).

Luego, τ(a) es una cota superior para el conjunto N, lo cual es imposible, estomuestra que τ es acotado.

Teorema 2.18. Si τ es una funcional lineal positiva sobre una C∗ algebra A, en-tonces

τ(a∗) = τ(a)− y |τ(a)|2 ≤ ‖τ‖τ(a∗a)

para todo a ∈ A

Demostracion. Sea (uλ)λ∈Λ una unidad aproximada para A. Entonces

τ(a∗) = lımλτ(a∗uλ) = lım

λτ(uλa

∗)− = τ(a)−.

Tambien,|τ(a)|2 = lım

λ|τ(uλa)|2 ≤ sup

λτ(u2

λ)τ(a∗a) ≤ ‖τ‖τ(a∗a).

Teorema 2.19. Sea A una funcional lineal acotada sobre una C∗-algebra A. Lassiguientes condiciones son equivalentes:

1. τ es positivo.

2. Para cada unidad aproximada (uλ)λ∈Λ de A, ‖τ‖ = lımλ τ(uλ).

3. Para alguna unidad aproximada (uλ)λ∈Λ de A, ‖τ‖ = lımλ τ(uλ).

Demostracion. Podemos suponer que ‖τ‖ = 1. Primero mostraremos que la impli-cacion (1)⇒ (2) vale.

Supongamos que τ es positivo, y sea (uλ)λ∈Λ una unidad aproximada de A.Entonces (τ(uλ)λ)λ∈Λ es una red creciente en R, con lo cual converge a su supremo,el cual obviamente no es mas grande que 1. Luego lımλ τ(uλ) ≤ 1. Ahora supongamosque a ∈ A y que ‖a‖ ≤ 1. Entonces

|τ(uλa)|2 ≤ τ(u2λ)τ(a∗a) ≤ τ(uλ)τ(a∗a),


y ası|τ(a)|2 ≤ lım

λτ(uλ).

Por lo tanto, 1 ≤ lımλ τ(uλ). Por esto,

1 = lımλτ(uλ),

y tenemos que (1)⇒ (2).(2)⇒ (3) es obvio.Mostraremos ahora que (3) ⇒ (1). Supongamos que (uλ)λ∈Λ es alguna unidad

aproximada tal que 1 = lımλ τ(uλ). Sea a un elemento autoadjunto de A tal que‖a‖ ≤ 1 y escribiremos τ(a) = α+ iβ donde α y β son numeros reales. Para mostrarque τ(a) ∈ R, podemos suponer que β ≤ 0. Si n es un entero positivo, entonces

‖a− inuλ‖2 = ‖(a+ inuλ)(a− inuλ)‖‖a2 + n2u2

λ − in(auλ − uλa)‖≤ 1 + n2 + n‖auλ − uλa‖,

y entonces|τ(a− inuλ)|2 ≤ 1 + n2 + n‖auλ − uλa‖.

Sin embargo,lımλτ(a− inuλ) = τ(a)− in,

ylımλauλ − uλa = 0

ası que en el lımite cuando λ→∞ tenemos que

|α + iβ − in|2 ≤ 1 + n2.

El lado derecho de esta desigualdad es α2 + β2 − 2nβ + n2. Luego, cancelando yacomodando los terminos tenemos que

−2nβ ≤ 1− β2 − α2.

Dado que β no es positivo y esta desigualdad vale para todos los enteros positivosn, β debe ser cero. Por lo cual τ(a) es real si a es hermitiano.

Ahora supongamos que a es positivo y que ‖a‖ ≤ 1, entonces uλ−a es hermitianoy ‖uλ − a‖ ≤ 1, con lo cual τ(uλ − a) ≤ 1. Pero entonces

1− τ(a) = lımλτ(uλ − a) ≤ 1,

y por esto τ(a) ≥ 0. Por lo tanto, τ es positivo probando ası que (3)⇒ (1).

Corolario 2.20. Si τ es una funcional lineal acotada, sobre una C∗-algebra unital,entonces τ es positivo si y solo si τ(1) = ‖τ‖.

Demostracion. La sucesion que es constantemente igual a 1 es una unidad aproxi-mada para la C∗-algebra. Se aplica directamente el Teorema 2.19.


Corolario 2.21. Si τ, τ ′ son funcionales lineales positivas sobre una C∗-algebra,entonces ‖τ + τ ′‖ = ‖τ‖+ ‖τ ′‖.

Demostracion. Si (uλ)λ∈Λ es alguna unidad aproximada para el algebra, entonces

‖τ + τ ′‖ = lımλτ(uλ) + lım

λτ ′(uλ) = ‖τ‖+ ‖τ ′‖.

Un estado sobre una C∗-algebra A es una funcional lineal positiva sobre A denorma 1.

Denotaremos por S(A) al conjunto de estados de A

Teorema 2.22. Si a es un elemento normal de una C∗-algebra A no nula, entoncesexiste un estado τ de A tal que ‖a‖ = |τ(a)|.

Demostracion. Podemos suponer que a 6= 0. Sea B la C∗-algebra generada por 1y por a en A. Puesto que B es abeliano y a es continua sobre el espacio sobre elespacio compacto Ω(B), existe un cracter τ2 sobre B tal que

‖a‖ = ‖a‖∞ = |τ2(a)|.

Por el teorema de Hahn-Banach4, existe una funcional lineal acotada τ1 sobre Aque extiende a τ2 y que preserva la norma, con lo cual ‖τ1‖ = 1. Dado que τ1(1) =τ2(1) = 1, τ1 es positivo por el corolario 2.20. Si τ denota la restriccion de τ1 en A,entonces τ es una funcional lineal positiva sobre A tal que ‖a‖ = |τ(a)|. Luego,

‖τ‖‖a‖ ≥ |τ(a)| = ‖a‖,

con lo cual, ‖τ‖ ≥ 1, y dado que desigualdad recıproca es obvia, resulta que τ es unestado de A.

Teorema 2.23. Supongamos que τ es una funcional lineal positiva sobre una C∗-algebra A.

1. Para cada A ∈ A, τ(a∗a) = 0 si y solo si τ(ba) = 0 para todo b ∈ A

2. La desigualdadτ(b∗a∗ab) ≤ ‖a∗a‖τ(b∗b)

se cumple para todo a, b ∈ A

Demostracion. La condicion (1) se sigue de la desigualdad de Cauchy-Schwarz.Para mostrar la condicion (2), podemos suponer, usando la condicion (1), que

τ(b∗b) > 0. La funcion

ρ : A→ C, c 7→ τ(b∗cb)/τ(b∗b),

4El Teorema de Hahn-Banach nos dice que si tenemos un espacio normado E , S ⊆ E unsubespacio de E, y ϕ∗ ∈ S∗, entonces existe un una funcional Φ ∈ E∗ tal que Φ(x) = ϕ(x) paratodo x ∈ S y ‖Φ‖E∗ = ‖ϕ‖S∗ .[2, Un curso de Analisis Funcional, Teo 2.1.5(H-B y el dual, Pag 49.)]


es lineal y positiva, por lo que si (uλ)λ∈Λ es cualquier unidad aproximada para A,entonces

‖ρ‖ = lımλρ(uλ)

= lımλτ(b∗uλb)/τ(b∗b)

= τ(b∗b)/τ(b∗b) = 1.

Por lo tanto, ρ(a∗a) ≤ ‖a∗a‖, y por lo tanto

τ(b∗a∗ab) ≤ ‖a∗a‖τ(b∗b).

Nos enfocamos ahora en el problema de extender funcionales positivas.

Teorema 2.24. Sea B una C∗-subalgebra de una C∗-algebra A, y supongamos que τes una funcional lineal positiva sobre B. Entonces existe una funcional lineal positivaτ ′ sobre A que extiende a τ tal que

‖τ‖ = ‖τ ′‖.

Demostracion. Supongamos primero que A = B. Definamos una funcional lineal τ ′

sobre A comoτ ′(b+ λ) = τ(b) + λ‖τ‖, (b ∈ B, λ ∈ C).

Sea (uλ)λ∈Λ una unidad aproximada para B.Por el Teorema 2.19, ‖τ‖ = lımλ τ(uλ). Ahora supongamos que b ∈ B y que

µ ∈ C, entonces

|τ ′(b+ µ)| = |lımλτ(buλ) + µ lım

λτ(uλ)|

= |lımλτ(b+ µ)(uλ)|

≤ supλ‖τ‖‖b+ µ‖,

ya que ‖uλ‖ ≤ 1. Luego, ‖τ ′‖ ≤ ‖τ‖, y la desigualdad recıproca es obvia. Ası,‖τ ′‖ = ‖τ‖ = τ ′(1), entonces τ ′ es positivo por el corolario 2.20, lo que prueba elteorema para el caso A = B.

Ahora supongamos que A es una C∗-algebra arbitraria que contiene a B comouna C∗-subalgebra. Reemplazando B y A por B y A si fuese necesario, podemossuponer que A tiene una unidad 1 que tambien esta en B. Por el teorema de Hahn-Banach, existe un funcional τ ′ ∈ A∗ que extiende a τ y tiene la misma norma.Como

τ ′(1) = τ(1) = ‖τ‖ = ‖τ ′‖,

se sigue como antes, del Corolario 2.20, que τ ′ es positivo.

En el caso de C∗-subalgebras hereditarias podemos mejorar el resultado anterior.De hecho podemos dar una “expresion” para τ ′:


Teorema 2.25. Sea B una C∗-subalgebra hereditaria de una C∗-algebra A. Si τ esuna funcional lineal positiva sobre B, existe una unica funcional lineal positiva τ ′

sobre A que extiende a τ y preserva la norma. Mas aun, si (uλ)λ∈Λ es una unidadaproximada para B, entonces para todo a ∈ A,

τ ′(a) = lımλτ(uλauλ).

Demostracion. Por supuesto que ya tenemos la existencia, ası que solamente pro-baremos la unicidad. Sea τ ′ una funcional lineal positiva sobre A que extiende τ ypreserva la norma. Podemos a su vez extender τ ′, de manera que preserva la norma,a una funcional positiva (tambien denotada τ ′) sobre A. Sea (uλ)λ∈Λ una unidadaproximada para B. Entonces

lımλτ(uλ) = ‖τ‖ = ‖τ ′‖ = τ ′(1) y ası lım

λτ ′(1− uλ) = 0.

Luego, para cualquier elemento a ∈ A,

|τ ′(a)− τ(uλauλ)| ≤ |τ ′(a− uλa|+ |τ ′(uλa− uλauλ)|≤ τ ′((1− uλ)2)1/2τ ′(a∗a)1/2 + τ ′(a∗u2

λa)1/2τ ′((1− uλ)2)1/2

≤ (τ ′(1− uλ))1/2τ ′(a∗a)1/2 + τ ′(a∗a)1/2(τ ′(1− uλ))1/2.

Puesto que lımλ τ′(1− uλ) = 0, estas desigualdades implican que

lımλτ(uλauλ) = τ ′(a).

Sea Ω un espacio compacto Hausdorff y denotemos por C(Ω,R) al espacio deBanach real de todas las funciones continuas a valores reales sobre Ω.

Las operaciones sobre C(Ω,R) estan definidas puntualmente y la norma es lanorma supremo. El teorema de Riesz-Kakutani5 afirma que si

τ : C(Ω,R)→ R

es una funcional lineal real acotada, existe una unica medida real µ ∈M(Ω) tal queτ(f) =

∫fdµ para todo f ∈ C(Ω,R). Mas aun, ‖µ‖ = ‖τ‖, y µ es positiva si y solo

si τ es positiva; es decir, τ(f) ≥ 0 para todo f ∈ C(Ω,R) tal que f ≥ 0.La descomposicion de Jordan para una medida real µ ∈ M(Ω) asegura que

existen medidas positivas µ+, µ− ∈M(Ω) tales que

µ = µ+ − µ− y que ‖µ‖ = ‖µ+‖+ ‖µ−‖.

Traduciremos esto, por medio del teorema de Riesz-Kakutani dentro de unaafirmacion acerca de las funcionales lineales: Si

τ : C(Ω,R)→ R,

es una funcional lineal acotada, entonces existen funcionales lineales reales acotadaspositivas τ+, τ− : C(Ω,R)→ R tales que

5[8, The Riesz Representation Theorem; Teorema 2.14, pagina 40]


τ = τ+ − τ−, y

‖τ‖ = ‖τ+‖+ ‖τ−‖.

Vamos a probar un resultado analogo para las C∗-algebras.Sea A una C*algebra. Si τ es una funcional lineal acotada sobre A entonces,

‖a‖ = sup‖a‖≤1

|Re(τ(a))|. (2)

Porque si a ∈ A y ‖a‖ ≤ 1, entonces existe un numero λ ∈ T tal que λτ(a) ∈ R,con lo que

|τ(a)| = |Re(λτ(a))| ≤ ‖τ‖,que implica la ecuacion 2.3.

Si τ ∈ A∗, definimos τ ∗ ∈ A∗ como τ ∗(a) = τ(a∗)− para todo a ∈ A. Notemosque τ ∗∗ = τ , ‖τ ∗‖ = ‖τ‖, y que la funcion τ 7→ τ ∗ es lineal conjugada.

Diremos que un funcional τ ∈ A∗ es autoadjunto si τ = τ ∗. Para cualquier funcio-nal lineal acotada τ sobre A, existen unicas funcionales lineales acotadas autoadjun-tas τ1 y τ2 sobre A tal que τ = τ1 + iτ2 (tomando τ1 = (τ +τ ∗)/2 y τ1 = (τ −τ ∗)/2i).

Entonces la condicion τ = τ ∗ es equivalente a τ(Asa) ⊆ R, y por esto, si τ esautoadjunto, la restriccion τ ′ : Asa → R de τ es un funcional lineal real acotado.Mas aun, ‖τ‖ = ‖τ ′‖, es decir,

‖τ‖ = supa∈Asa,‖a‖≤1

|τ(a)|

Por que si a ∈ A, tenemos que Re(τ(a)) = τ(Re(a)), entonces,

‖τ‖ = sup‖a‖≤1

|Re(τ(a))| ≤ supb∈Asa,‖b‖≤1

|τ(b)| ≤ ‖τ‖.

Denotaremos por A∗sa al conjunto de todas las funcionales autoadjuntas en A∗,y por A∗+ al conjunto de las funcionales lineales positivas en A∗.

Adoptaremos algunas notaciones temporalmente para la demostracion del si-guiente teorema: Si X es un espacio de Banach real, denotaremops a su dual (sobreR) por X\.

El espacio Asa es un espacio de Banach real y es un subespacio vectorial real deA∗ y la funcion A∗sa → A\sa, τ 7→ τ ′, es un isomorfismo lineal real isometrico.

Usaremos estas observaciones en la demostraciıon del siguiente resultado.

Teorema 2.26 (Descomposicion de Jordan). Sea τ una funcional lineal acotadasobre una C*-algebra A, entonces existen funcionales lineales positivas τ+, τ− sobreA tales que

τ = τ+ − τ− y ‖τ‖ = ‖τ+‖+ ‖τ−‖.

Demostracion. Sea Ω el conjunto de todos los τ ∈ A∗+ tales ‖τ‖ ≤ 1. Entonces Ω esdebilmente* cerrada en la bola unitaria de A∗, ası que por el teorema de Banach-Alaoglu[2, pagina 159], Ω es un espacio compacto (Hausdoff) debil*. Si a ∈ Asa,definamos θ(a) ∈ C(Ω,R) como θ(a)(τ) = τ(a). La funcion

θ : Asa → C(Ω,R), a 7→ θ(a),


es claramente lineal real, y tambien preserva el orden; es decir, si a es un elementopositivo de A, entonces θ(a) ≥ 0 sobre Ω. Mas aun, θ es isometrico por el Teorema2.6.

Si τ ∈ A∗sa, entonces τ ′ ∈ A\sa. Por el teorema de Hahn-Banach, existe unafuncional real

ρ ∈ C(Ω,R)\ tal que ρθ = τ ′, y ‖ρ‖ = ‖τ ′‖.

Por las observaciones hechas antes de empezar este teorema, existen funcionalespositivas,

ρ+ ρ− ∈ C(Ω,R)\ tales que ρ = ρ+ − ρ− y ‖ρ‖ = ‖ρ+‖+ ‖ρ−‖.

Sea τ ′+ = ρ+ θ y τ ′− = ρ− θ. Claramente, τ ′+, τ′− ∈ A\sa.

Denotaremos a las correspondientes funcionales autoadjuntas en A∗sa por τ+ uτ−, y puesto que

‖τ‖ = ‖τ ′‖ = ‖ρ‖ = ‖ρ+‖+ ‖ρ−‖ ≥ ‖τ ′+‖+ ‖τ ′−‖ = ‖τ+‖+ ‖τ−‖ ≥ ‖τ‖,

tenemos que ‖τ‖ = ‖τ+‖+ ‖τ−‖. Claramente τ+, τ− ∈ A∗+

Tambien se puede mostrar que las funcionales lineales τ+ y τ− en el teoremaanterior son unicos, pero no tendremos necesidad de hacer esto.6

6[Pedersen]


2.4. La Representacion Gelfand-Naimark

En esta seccion estudiaremos la importante construccion del GNS, y probaremosque cada C*-algebra de B(H) puede ser considerada como una C*-subalgebra paraalgun espacio de Hilbert H.

En parte, esto se debe al hecho concreto de que la teorıa de las C*-algebras esmucho mas accesible con respecto a las algebras de Banach mas generales.

Una representacion de una C*-algebra es un par (H,ϕ) donde H es un espaciode Hilbert y ϕ : A→ B(H) es un ∗-homomorfismo.

Diremos que (H,ϕ) es fiel si ϕ es inyectiva.Si (Hλ, ϕλ)λ∈Λ es una familia de representaciones de A, su suma directa es una

representacion de (H,ϕ) obtenidas como

H = ⊕λHλ y ϕ(a)((xλ)λ) = (ϕλ(a)(xλ))λ

para todo a ∈ A y para todo (xλ)λ ∈ H. Ya se ha verificado que (H,ϕ) es de hechouna representacion de A. Si para cada elemento no nulo a ∈ A existe un ındice λ talque ϕλ(a) 6= 0, entonces (H,ϕ) es fiel.

Recordemos ahora que si H es un espacio con producto interno (es decir, unespacio pre-Hilbert), entonces existe un unico producto interno sobre la completaciondel espacio de Banach H de H que extiende el producto interno de H y que tienecomo norma asociada a la norma de H.

Decimos que H esta dotada del producto interno de la completacion del espaciode Hilbert de H.

Con cada funcional lineal positiva, existe una representacion asociada. Suponga-mos que τ es una funcional lineal positiva sobre una C*-algebra A. Definiendo

Nτ = a ∈ A : τ(a∗a) = 0,

es facil de verificar que (usando el Teorema 2.23) es un ideal cerrado a izquierda deA y que la funcion

(A/Nτ )2 → C, (a+Nτ , b+Nτ ) 7→ τ(b∗a),

esta bien definida como producto interno sobre A/Nτ . Denotaremos Por Hτ a lacompletacion de A/Nτ .

Si a ∈ A, definimos un operador ϕ(a) ∈ B(A/Nτ ) como,

ϕ(a)(b+Nτ ) = ab+Nτ .

la desigualdad ‖ϕ(a)‖ ≤ ‖a‖ vale, ya que tenemos que

‖ϕ(a)(b+Nτ )‖2 = τ(b∗a∗ab) ≤ ‖a‖2‖b+Nτ‖2

(la ultima desigualdad esta dada por el Teorema 2.23). El operador ϕ(a) tiene unaunica extension a un operador acotado ϕτ (a) sobre Hτ . La funcion

ϕτ → B(H), a 7→ ϕτ (a),

es un ∗-homomorfismo (es un ejercicio facil).


La representacion (Hτ , ϕτ ) de A es la representacion de Gelfand-Naimark-Segal(o representacion GNS) asociado a τ .

Si A es no nulo, defimos su representacion universal como la suma directa detodas las representaciones (Hτ , ϕτ ) donde τ sobrepasa S(A).

Teorema 2.27 (Gelfand-Naimark). Si A es una C*-algebra entonces tiene unarepresentacion fiel. Especıficamente, su representacion universal es fiel.

Demostracion. Sea (H,ϕ) una representacion universal de A y supongamos que aes un elemento de A tal que ϕ(a) = 0. Por el Teorema 2.22 existe un estado τ sobreA tal que ‖a∗a‖ = τ(a∗a). Luego, si b = (a∗a)1/4, entonces

‖a‖2 = τ(a∗a) = τ(b4) = ‖ϕτ (b)(b+Nτ )‖2 = 0

(puesto que ϕτ (b4) = ϕτ (a

∗a) = 0, ya ası ϕτ (b) = 0). Por lo tanto, a = 0, y ϕ esinyectiva.

El teorema de Gelfand-Naimark es uno de estos resultados que se utilizan todoel tiempo. Aquı, solamente daremos dos aplicaciones.

La primera aplicacion es al algebra de matrices. Si A es un algebra, Mn(A)denota el algebra de todas las matrices de n×n con entradas en A. (Las operacionesse definen igual que como se definen para las matrices escalares). Si A es una ∗-algebra, tambien lo seraMn(A), donde la involucion esta dada por (aij)

∗i,j = (a∗ji)i,j.

Si ϕ : A → B es un ∗-homomorfismo entre ∗-algebras, su inflacion sera el ∗-homomorfismo (tambien denotada por ϕ)

ϕ :Mn(A)→Mn(B), (aij) 7→ (ϕ(aij)).

Si H es un espacio de Hilbert, escribiremos H(n) para expresar la suma ortogonalde n copias de H. Si u ∈Mn(B(H)), definimos ϕ(u) ∈ B(H(n)) como

ϕ(u)(x1, ..., xn) =

(n∑j=1

u1j(xj), ...,n∑j=1

unj(xj)

),

para todos (x1, ..., xn) ∈ H(n). Es inmediato verificar que la funcion

φ :Mn(B(H))→ B(H(n)), u 7→ ϕ(u),

es un ∗-isomorfismo. Llamaremos a ϕ el ∗-isomorfismo canonico deMn(B(H)) sobre(B(H(n))) tal que v = ϕ(u) donde u ∈ Mn(B(H)), decimos que u es el operadormatricial de v. Definimos la norma sobre Mn(B(H)) haciendolo una C*-algebradada por ‖u‖ := ‖ϕ(u)‖. Las siguientes desigualdades para u ∈ Mn(B(H)) sonfacilmente verificables y suelen ser bastante utiles:

‖uij‖ ≤ ‖u‖ ≤n∑

k,l=1

‖ukl‖ (i, j = 1, ..., n).

Teorema 2.28. Si A es una C*-algebra, entonces existe una unica norma sobreMn(A) que lo hace una C*-algebra.


Demostracion. Sea (H,ϕ)la representacion universal de A, luego el ∗-homomorfismoϕ : Mn(A) → Mn(B(H)) es inyectiva. Definimos una norma sobre Mn(A) ha-ciendolo una C*-algebra dada por ‖a‖ = ‖ϕ(a)‖ para toda a ∈ Mn(A) (la com-pletitud puede ser facilmente verificada usando las desigualdes que preceden a esteteorema). La unicidad esta dada por el corolario 1.3

Observacion 6. Si A es una C*-algebra y a ∈M(A), entonces

‖aij‖ ≤ ‖a‖ ≤n∑

k,l=1

‖akl‖ (i, j = 1, ..., n).

Estas desigualdades se siguen de las correspondientes desigualdades en M(B(H)).

Las algebras matriciales juegan un rol fundamental en la K-teorıa de las C*-alge-bras. La idea es estudiar no solamente el algebra A sino tambien simultaneamentetodas las algebras matriciales Mn(A) sobre A tambien.

Aunque pareciera que la unica forma conocida de mostrar que las algebras matri-ciales sobre C*-algebras generales son por sı mismos normalizables (dotable de unanorma) como C*-algebras, es usar la representacion de Gelfend-Naimark, para nues-tra segunda aplicacion de esta representacion existen demostraciones alternativas,pero las demostraciones dadas aquı tienen la virtud de ser muy “naturales”.

Teorema 2.29. Sea a un elemento autoadjunto de una C∗-algebra A. Entoncesa ∈ A+ si y solo si τ(a) ≥ 0 para todas las lineales positivas τ sobre A.

Demostracion. La primera implicacion es directa. Supongamos recıprocamente queτ(a) ≥ 0 para todos los funcionales lineales τ sobre A. Sea (H,ϕ) la representacionuniversal de A, y sea x ∈ H. Entonces la funcional lineal

τ : A→ C, b 7→ 〈ϕ(b)(x), x〉,

es positivo, ası que τ(a) ≥ 0; es decir, 〈ϕ(a)(x), x〉 ≥ 0. Como esto es valido paratodo x ∈ H, y puesto que ϕ(a) es autoadjunta, resulta que ϕ(a) es un operadorpositivo sobre H. Por lo tanto, ϕ(a) ∈ ϕ(A)+, porque la funcion ϕ : A → ϕ(A) enun ∗-isomorfismo.

REFERENCIAS 45

Referencias

[1] G.J. Murphy C*-Algebras and Operator Theory Academic Press, Harcourt Bra-ce Jonanovich, Publishers, 1990.

[2] Demetrio StojanoffUn curso de Analisis Funcional

[3] G.K. PedersenC*-Algebras and their Automorphism Groups. Academic Press,London, 1979

[4] G.K. PedersenC*-Algebras and their Automorphism Groups. Proposicion1.3.9.

[5] J.L. Kelley, General Topology. Springer-Verlag, New York, 1975.

[6] R.V. Kadison and J.R. Ringrose, Fundamentals of the Theory of OperatorAlgebras I. Academic Press, New York, 1983.

[7] D.L Cohn,Measure Theory. Birkhauser, Boston, 1980.

[8] W. Rudin Real and Complex Analysis. McGrahill, New York, 1966.

[9] W. Rudin Functional Analisys. Tata McGraw-Hill, New York, 1996

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