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BUFFALO JOURNAL

Universidad Tecnológica De Durango

TUTORIALESANALISIS CINEMÁTICO DE MECANISMOS

REALIZACIÓN:

Lara Ontiveros Manuel. Salas Calderón Luis Fernando. Macías Mercado Irwing Saúl.

TABLA DE CONTENIDO

INTRODUCCIÓN......................................................................................................................................... 2

OBJETIVO.................................................................................................................................................. 2

PRESENTACION DEL PROBLEMA................................................................................................................ 3

ANÁLISIS DE POSICIÓN.............................................................................................................................. 3

ANÁLISIS MATEMÁTICO................................................................................................................................3ANÁLISIS GEOMÉTRICO.................................................................................................................................8

ANÁLISIS DE VELOCIDADES...................................................................................................................... 10

ANÁLISIS MATEMÁTICO..............................................................................................................................10ANÁLISIS GEOMÉTRICO...............................................................................................................................13

ANÁLISIS DE ACELERACIONES.................................................................................................................. 22

ANÁLISIS MATEMÁTICO..............................................................................................................................22

CONCLUSIÓN........................................................................................................................................... 24

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INTRODUCCIÓNEl fenómeno más obvio y fundamental que observamos a nuestro alrededor es el de movimiento. El viento, las olas, los pájaros que vuelan, los animales que corren, las hojas que caen. Prácticamente todos los procesos inimaginables pueden describirse como el movimiento de ciertos objetos. Para analizar y predecir la naturaleza de los movimientos que resultan de las diferentes clases de interacciones, se han inventado algunos conceptos importantes tales como los de momentum, fuerza y energía. Si el momentum, la fuerza, y la energía se conocen y se expresan en un modo cuantitativo es posible establecer reglas mediante las cuales pueden predecirse los movimientos resultantes.

La mecánica, es la ciencia del movimiento, es también la ciencia del momentum, la fuerza y la energía; de ella se derivan: la cinemática, que estudia el movimiento sin tomar en consideración las fuerzas que lo producen, y la dinámica, que a diferencia de la cinemática, fundamenta el estudio del movimiento en las leyes del movimiento propuestas por Newton.

La dinámica es la rama de la física que describe la evolución en el tiempo de un sistema físico en relación con las causas que provocan los cambios de estado físico y/o estado de movimiento. El objetivo de la dinámica es describir los factores capaces de producir alteraciones de un sistema físico, cuantificarlos y plantear ecuaciones de movimiento o ecuaciones de evolución para dicho sistema de operación. El estudio de la dinámica es prominente en los sistemas mecánicos (clásicos, relativistas o cuánticos), pero también en la termodinámica y electrodinámica. En este artículo se describen los aspectos principales de la dinámica en sistemas mecánicos, y se reserva para otros artículos el estudio de la dinámica en sistemas no mecánicos.

OBJETIVO.Que el alumno comprenda y domine el método para obtener ecuaciones de cierre, y a partir de ellas determine parámetros cinemáticos como lo son la posición, la velocidad y la aceleración de los eslabones que componen mecanismos básicos, haciendo uso de software de ayuda como lo son EES Proffesional y GeoGebra.

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PRESENTACION DEL PROBLEMADeterminar los parámetros cinemáticos de posiciones, velocidades y aceleraciones del mecanismo que se muestra en la siguiente imagen haciendo uso del software EES proffesional para el análisis algebraico del mismo y el software GeoGebra para su análisis geométrico.

Ilustración 1 mecanismo a analizar

ANÁLISIS DE POSICIÓN.

ANÁLISIS MATEMÁTICO.En este mecanismo de motor de combustión, se generaran dos mecanismos por separado con eslabón común de entrada L1 del cual es necesario identificar su orientación para conocer la posición angular y la longitud de los eslabones restantes.

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Realizamos un sistema de vectores para obtener fácilmente las ecuaciones. El sistema de ecuaciones está representado en la siguiente ilustración 2.

Ilustración 2 representación vectorial del mecanismo

En base al sistema de vectores las ecuaciones de cierre quedaran de esta manera:

Entonces la ecuación del primer mecanismo con respecto al el eje de las X será de esta manera:

L1 cosθ1+L21cosθ21−L3 cosθ3=0

Y en el eje de la Y:

L1 senθ1+L21 senθ21−L3 senθ3=0

Analizando las ecuaciones tenemos dos incógnitas: theta 21 y L3.

Enseguida realizaremos la ecuación de la otra parte del mecanismo

En el eje de la X:

L1 cosθ1+L22cosθ22+L4 cosθ4−L5cosθ5=0

Y en el eje de la Y:

L1 senθ1+L22 senθ22+L4 senθ4−L5 senθ5=0

En esta ecuación existen 3 incógnitas: theta 22, theta 4 y L5

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Existe una relación directa entre el ángulo theta21 y theta21 pues en cualquier posición que se encuentren, al ser las direcciones de los lados de un eslabón rígido la diferencia entre ambas siempre será la mima.

Ilustración 3 eslabón rígido 2

Para encontrar la relación se realizara las siguientes ecuaciones, a partir de la ilustración anterior:

L232=L21

2+L222−2 L21L22cosβ

θ22=¿θ21+ β¿

Los datos y ecuaciones de cierre del mecanismo que se realizaron anteriormente se escribirán en el programa EES para que no arroje el resultado de las incógnitas que tenemos en el mecanismo. El eslabón de entrada estará en una posición de 80°.

Ilustración 4 análisis en EES

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También en el programa se realizó una tabla paramétrica para conocer todas las posiciones que tiene el mecanismo.

Ilustración 5 resultados de posición tabla paramétrica

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ANÁLISIS GEOMÉTRICO.Representando el mecanismo como un sistema de vectores se comienza por analizar la primera parte.

Ilustración 9 Representación 1° parte sistema de vectores

Por medio de Geogebra se encontraran las incógnitas la longitud de L3 y la posición angular de θ21.

Debido a que es un mecanismo de un grado de libertad se deben saber las propiedades del eslabón de entrada y por consecuencia se nos dará las incógnitas.

Suponiendo un valor de entrada de 80° en θ1 los valores de L3 y θ21 se muestran en la siguiente imagen.

Ilustración 10 Ilustración donde se muestran los valores de las incógnitas.

Angulo de entrada θ1=80°

L3 es representada por el segmento AC=426.25

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θ 21=55.09

Enseguida es representada la segunda parte del mecanismo como un sistema de vectores

Ilustración 11 Representación 2° parte sistema de vectores

Nuevamente por medio de Geogebra se encontraran las incógnitas pertenecientes a la 2da parte del mecanismo la longitud de L5 y las posiciones angulares de θ22 y θ4.

Suponiendo un valor de entrada de 80° en θ1 los valores de L5, θ22 y θ4 se muestran en la siguiente imagen. θ22 será la suma de los dos angulos mostrados en la imagen, es decir, será el ángulo que hay entre el eje positivo de las x y el lado 2 del eslabón dos, es decir L22.

Ilustración 12 Ilustración donde se muestran todos los valores de las incógnitas.

Angulo de entrada θ1=80°

L5 es representado por el segmento AG=273.84

θ 22=54.9

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θ 4=131.27

ANÁLISIS DE VELOCIDADES

ANÁLISIS MATEMÁTICO.Para las ecuaciones de velocidad es necesario derivar las ecuaciones de posición con la ecuación de constante por variable en donde el resultado será la constante por la derivada de la variable.

ddt

(cv )=c dvdt

A forma de ejemplo si derivamos la primer parte de la primera ecuación de velocidad tendríamos:

ddt (L1∗cosθ1)=L1

dcosθ1dt

Resolviendo la ecuación obtenemos.

ddt (L1∗cosθ1)=−L1 sinθ1

dθ1dt

En dónde.

dθ1dt

=ω1=velocidad angular del eslabon1

Entonces.

ddt (L1∗cosθ1)=−L1ω1 sinθ1

Derivando a las ecuaciones de posición tomando en cuenta las variables y constantes tendríamos como resultado.

−L1ω1 sinθ1−L21ω21sinθ21−V 3 cosθ3=0

L1ω1cosθ1+L21ω21cosθ21−V 3 sin θ3=0

−L1ω1 sinθ1−L22ω22sin θ22−L4ω4 sin θ4−V 5 cosθ5=0

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L1ω1 cosθ1+L22ω22cosθ22+L4ω4 cosθ4−V 5 sinθ5=0

Cabe destacar que en la primera ecuación no cambia el signo porque el ángulo theta_3 es constante, al igual que el theta_5 en la cuarta ecuación.

Ya contando con las ecuaciones de velocidad se debe de declarar la velocidad del eslabón de entrada que es omega 1 se deberá de mover, para nuestro ejercicio establecimos que.

ω1=0.25radseg

Si se intenta compilar el EES con los datos que tenemos hasta ahora, no será posible porque hay más incógnitas que ecuaciones, es por eso que el sólido en forma de triángulo las velocidades de ese cuerpo serán iguales, porque no hay velocidad relativa entre ellos, por lo tanto.

ω21=ω22

Resolviendo las ecuaciones de velocidad obtendremos los siguientes resultados.

Ilustración 13 resultados de velocidad tabla paramétrica

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ANÁLISIS GEOMÉTRICO.Se desarrolla el método de polígonos de velocidades para obtener el comportamiento en cuanto a velocidad de los componentes del mecanismo.

El mecanismo al que se le hace el análisis de velocidad de cada uno de sus eslabones, puede ser representado como dos mecanismos distintos los cuales comparten un mismo eslabón común de entrada. Cada uno de estos mecanismos distintos puede ser analizado de forma independiente para facilitar el procedimiento necesario que permite conocer las velocidades de cada uno de sus eslabones. Al igual que en el análisis de velocidades algebraico identificaremos los dos mecanismos como lo muestra la ilustración 16. Viendo cada una de las partes de cada mecanismo como vectores, podemos decir que el mecanismo uno está compuesto por los vectores L_1, L_21 y L_3 denotados en la sección amarilla, mientras que el mecanismo dos está compuesto por los vectores L_1, L_22, L_4 y L_5 denotados en la sección azul.

Ilustración 16 identificación de sistemas "independientes"

Primeramente se analiza la parte compuesta por el sistema de vectores denotados con el color amarillo según la ilustración 16.

La velocidad lineal V1 que representa la velocidad angular del eslabón de entrada multiplicada por su longitud (explicado más adelante) es una velocidad absoluta pues está siendo medida la velocidad lineal de B’ desde el punto fijo A, por lo que siguiendo la nomenclatura de la ilustración 16, ésta velocidad puede ser nombrada como la velocidad lineal del punto B’ (VB’). Siguiendo con este análisis, la velocidad lineal del punto C puede ser medida desde el punto B’ obteniendo así una velocidad relativa de C vista desde el punto B’ (VC/B´) pues este último está

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en movimiento, o desde el punto fijo A obteniendo con esto una velocidad lineal absoluta de C (VC). Con lo anterior podemos decir que la velocidad lineal absoluta de C es igual a la suma vectorial de la velocidad lineal absoluta de B’ y la velocidad lineal relativa de C vista desde B’. La velocidad relativa del punto C vista desde B’ gobierna la velocidad que tendrá es vector nombrado como L21 en su extremo (V21), mientras que la velocidad absoluta de C gobierna la velocidad de cambio en la magnitud del vector L3 (V3). Lo anterior lo podemos ver representado en la ilustración 17 y en las ecuaciones que le siguen.

Ilustración 17 representación vectorial de la primera parte del mecanismo

V⃗ C=V⃗ B ' +⃗V C /B'

O

V⃗ 3=V⃗ 1+V 21

Al ser un mecanismo de un grado de libertar es necesario conocer los parámetros del eslabón de entrada, para este análisis se propone un ángulo de 80° del eslabón de entrada y una velocidad angular de 0.25 rad/s del mismo.

A partir de los datos anteriores podemos calcular la velocidad lineal que tendrá el eslabón de entrada en el punto B’ (V1), según la siguiente ecuación.

V⃗ 1=ω1∗L1

V⃗ 1=(0.25 rad /s )(50mm)

V⃗ 1=12.5mm /s

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Una vez obtenido el valor de la velocidad lineal que representa el eslabón 1 girando en sentido anti-horario a una velocidad angular constante de 0.025rad/s, se dibuja la magnitud que tendrá la velocidad lineal V1 en dirección perpendicular al eslabón 1 con el mismo sentido en que está girando, como se muestra en la ilustración 16.

Ilustración 18 representación gráfica de VA

Al vector que representa a V1 se le debe sumar el vector que representa a V21 obteniendo como resultado un vector que represente a V3.

Si recordamos, V21 representa la velocidad lineal relativa que tendrá el punto C visto desde el punto B’, por lo tanto podemos decir que esa velocidad lineal relativa es consecuencia de un movimiento de rotación pura en el punto B’ entre L1 y L21. Con lo anterior sabemos que la línea de acción de V21 es perpendicular al vector L21, y el punto de inicio del mismo será el final del vector V1. Sin embargo no podremos indicar el sentido ni la magnitud de este último vector sino hasta que se identifique la línea de acción del vector que represente a la velocidad de cambio de longitud de L3, es decir, V3 o VC. Dicha línea de acción tiene una dirección constante de 60 grados según la configuración del mismo mecanismo, y para completar la ecuación de la suma vectorial, este vector debe nacer en el mismo punto donde inicia V1 y terminar en el punto donde culmina V21. La ilustración 20 muestra el desarrollo geométrico para obtener lo anterior.

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Ilustración 19 generación del polígono de velocidades

Una vez dibujado el polígono de velocidades es necesario desarrollar la medición de cada uno de los vectores e identificar así las magnitudes de las velocidades que son incógnitas, las velocidades lineales de cada vector para un ángulo de entrada de 80° y una velocidad de entrada de 0.25 rad/s se muestran en la siguiente imagen.

Ilustración 20 medición de las magnitudes de las velocidades lineales

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La magnitud TU, según la ilustración 20, representa la velocidad lineal relativa del punto C vista desde el punto B’ (VC/B’ o V21), por lo que para obtener la velocidad angular que tendrá el vector L21 se hace uso de la siguiente ecuación:

ω21=V⃗ 21L21

=11.79200

=0.05895 rad /s

La magnitud B’U, según la ilustración 20, representa la velocidad lineal absoluta del punto C vista desde el punto fijo A (VC o V3), como este vector no presenta algún movimiento angular, la magnitud de B’U es el valor de la velocidad del cambio de magnitud del vector L3.

V⃗ 3=5.28mm /s

Al comprar los resultados anteriores con los de la ilustración 13 para un ángulo de entrada de 80°, podemos corroborar que son correctos.

Continuando con el análisis de velocidades de la parte del mecanismo conformada por los vectores enmarcados por el color azul según la ilustración 16, tenemos que considerar la misma V1 es decir la velocidad de B’ vista desde el punto fijo A (VB’) dibujada en la ilustración 21, pues este eslabón es común para ambas partes del mecanismo en general.

V 1=ω1∗L1=0.025rad /s∗50mm=12.5mm /s

Para poder formal el polígono de velocidades es necesario considerar que la suma vectorial de la V1, la velocidad lineal relativa de E vista desde B’ (VE/B’), la velocidad lineal relativa de G vista desde E (VG/E), es igual a la velocidad lineal absoluta de G vista desde el punto fijo A. La velocidad lineal relativa del punto E vista desde B’ gobierna la velocidad que tendrá la el vector denotado como L22 en su extremo (V22), la velocidad lineal relativa de G vista desde E gobierna la velocidad que tendrá el vector nombrado como L4 en su extremo (V4), mientras que la velocidad absoluta de G gobierna la velocidad de cambio de la magnitud del vector L5 (V5). Lo anterior lo podemos ver representado en la ilustración 22 y en las ecuaciones que le siguen.

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Ilustración 21 representación vectorial del segunda parte del mecanismo

V⃗ G=V⃗ B '+V⃗ E /B '+V⃗ G /E o V⃗ 5=V⃗ 1+V⃗ 22+V⃗ 4

A partir de las ecuaciones anteriores y como se ha dicho anteriormente, se entiende que al vector que representa a V1 se le debe sumar el vector que representa a V22 y el vector que representa a V4 obteniendo como resultado un vector que represente a V5.

V22 representa la velocidad lineal relativa que tendrá el punto E visto desde el punto B’, cuya magnitud depende de la velocidad angular que tendrá el vector L22 (omega22), la cual al ser la velocidad de un vector que representa a un lado de un eslabón triangular, y del cual se conoce la velocidad angular que tiene otro de sus lados representado por otro vector (L21) que nace en el mismo punto donde nace el vector L22, podemos decir que la velocidad angular de L21 y L22 son iguales si consideramos al punto B’ como eje de rotación del eslabón triangular. Según lo anterior podemos representar la magnitud que tendrá V22 a partir de un círculo de “centro, radio” (opción que ofrece GeoGebra), colocando el centro al final del vector V1 e introduciendo un valor que represente la magnitud de V22 en función de omega21, que en este caso es igual a omega 22, como radio. Para obtener omega21 es necesario dividir la magnitud de V21, encontrada en el análisis anterior de la parte del mecanismo “amarilla” (ilustración 16), y representada por el segmento TU, según la ilustración 20, entre la longitud del vector L21, obteniendo así la velocidad angular del vector L22, la cual al ser multiplicada por la magnitud del vector L22 proporcionara la velocidad lineal relativa del punto E visto desde B’ cuya línea de acción es perpendicular al vector L22 y la orientación del mismo está

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dada por el mismo acomodo de los eslabones que componen al mecanismo. Lo anterior lo podemos ver representado en las siguientes imágenes.

Ilustración 22 delimitación de la magnitud de V22

Ilustración 23 representación gráfica de V22

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Si recordamos, V4 representa la velocidad lineal relativa que tendrá el punto G visto desde el punto E, con esto podemos decir que la línea de acción de V4 es perpendicular al vector que una a E con G, es decir, el vector L4, y el punto de inicio del vector V4 será el final del vector V22. Sin embargo no podemos indicar el sentido ni la magnitud de éste último vector sino hasta que se identifique la línea de acción del vector que representa a la velocidad de cambio de longitud de L5, es decir, V5 o VG. Dicha línea de acción tiene una dirección constante de 120° según la configuración del mismo mecanismo, y para completar la ecuación de la suma vectorial indicada anteriormente, V5 debe nacer en el mismo punto donde inicia V1 y, y terminar en el punto donde culmina V4. La ilustración 24 muestra el desarrollo geométrico para obtener lo mencionado anteriormente.

Ilustración 24 obtención del polígono de velocidades de la segunda parte del mecanismo

Una vez dibujado el polígono de velocidades es necesario desarrollar la medición de cada uno de los vectores e identificar así las magnitudes de las velocidades que son incógnitas, las velocidades lineales de cada vector para un ángulo de entrada de 80° y una velocidad de entrada de 0.25 rad/s se muestran en la siguiente imagen.

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Ilustración 25 medición de las magnitudes de las velocidades lineales

La magnitud TW, según la ilustración 25, representa la velocidad lineal relativa del punto E vista desde el punto B’ (VE/B’ o V22), por lo que para obtener la velocidad angular que tendrá el vector L22 se hace uso de la siguiente ecuación:

ω22=V⃗ 22L22

=2.3640

=0.059 rad /s

La magnitud WV, según la ilustración 25, representa la velocidad lineal relativa del punto G vista desde el punto E (VG/E o V4), por lo que para obtener la velocidad angular que tendrá el vector L4 se hace uso de la siguiente ecuación:

ω4=V⃗ 4L4

=7.4200

=0.037 rad /s

La magnitud B’V, según la ilustración 25, representa la velocidad lineal absoluta del punto G vista desde el punto fijo A (VG o V5), como este vector no presenta algún movimiento angular, la magnitud de B’V es el valor de la velocidad del cambio de magnitud del vector L5.

V⃗ 5=9.07mm/ s

Al comprar los resultados anteriores con los de la ilustración 13 para un ángulo de entrada de 80°, podemos corroborar que son correctos.

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ANÁLISIS DE ACELERACIONES

ANÁLISIS MATEMÁTICO

Una vez obtenidas las ecuaciones de velocidad para poder obtener las ecuaciones que determinan la aceleración de las partes del mecanismo, es necesario derivar las ecuaciones de velocidad para poder obtenerlas, para ello se emplean las fórmulas de cálculo diferencial que nos dicen:

ddx

(uvw )=u (v 'w' )+v (u'w' )+w(u' v ')

Aplicando esta misma fórmula a las ecuaciones de velocidad antes obtenías se obtienen cuatro ecuaciones de la siguiente forma:

−L1α1 sin θ1−L1ω12cos θ1−L21α 21sin θ21−L21ω21

2cos θ1−α 3 cosθ3=0

L1α1 cosθ1−L1ω12 sinθ1+ L21α 21cosθ21−L21ω21

2sin θ1−α3 sin θ3=0

−L1α1 sin θ1−L1ω12cos θ1−L22α 22sin θ22−L22ω22

2cos θ22−L4α 4 cosθ4−L4ω42 cosθ4−α 5cosθ5=0

L1α1 cosθ1−L1ω12 sinθ1+ L22α 22cosθ22−L22ω22

2sin θ22+L4α 4 sin θ4−L4ω42sin θ4−α5 sinθ5=0

Al ingresar estas ecuaciones en el software EES obtenemos la siguiente tabla paramétrica, que se presenta a continuación:

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Ilustración 266 valores de las aceleraciones de cada eslabón.

Ilustración 277 valores de las aceleraciones de cada eslabón.

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CONCLUSIÓNEl método que se realizó nos permite conocer la posición, velocidad y aceleración de los eslabones que componen el mecanismo, es importante resaltar que no todos los mecanismos serán iguales, por tanto se debe analizar cada caso detalladamente, por ejemplo en nuestro ejercicio el motor de combustión tiene un eslabón sólido en forma de triángulo, debido a esto la velocidad y aceleración en 21, 22 y 23 será la misma, con esto se debe de modificar las ecuaciones para que el software te arroje un resultado correcto.

Al representarlo en Geogebra se obtiene un resultado gráfico de cómo se comportaran las velocidades, aceleraciones y la posición de cada uno de los eslabones, de esta manera es más fácil comprender el comportamiento de mecanismo, pero no es tan exacto como el software EES proffesional. Este tipo de análisis de mecanismos nos abre las puertas para lograr analizar mecanismos más complicados que se nos presenten en nuestra vida laboral.

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