Breviario de Logaritmos

7/24/2019 Breviario de Logaritmos

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LOGARITMOS

I.

DEFINICION DE LOGARITMO

El logaritmo de un nmero positivo N en base b, positivo y distinto de la

unidad, es el exponente X al que hay que elevar la base para obtener dicho

nmero. Es decir bx =N , o bien x= logbN .

Por ejemplo, el logaritmo en base 3 de 9 es 2, porque elevando la base ( 3 ) al

nmero obtenido ( 2 ) resulta 9 , que es el nmero del logaritmo. Esto escrito

se denota de la siguiente manera:

Log 3 9 = 2, es decir 32 = 9 (se eleva la base al resultado para

obtener el nmero.)

Otro ejemplo puede ser el de log 28,que es un nmero x al que se debe

elevar la base 2 para obtener 8, es decir, 2x= 8. X=3, por lo tanto log 28 = 3.

Las relaciones bx= N y x = log bN son equivalentes: bx =N es la

forma exponencial y x= log bN es la forma logartmica. Como consecuencia,

a cada propiedad de la potenciacin, le corresponde una propiedad de la

logaritmizacin.

I.I PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS :

1. La suma de logaritmos de dos nmeros es igual al logaritmo de la

multiplicacin de los nmeros. Es decir:

Log xy + log x z = logxy z

EJEMPLO: log 23(5) = log 23 + log 25

2. El logaritmo del cuociente de dos nmeros positivos es igual a la diferencia

de los logaritmos de ambos. O sea:

Log xy log xz = log x y: z


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EJEMPLO: log 517: 24 = log 517 log 524

3. Cambio de base

Logxy =x

y

z

z

log

log

EJEMPLO: log 215 =2log

15log

3

3

4. logxx = 1

EJEMPLO: log 55 = 1 porque 51= 5

5.

Igualdad de Logaritmos.

log xy = logxk slo si y = k

EJEMPLO: log 7(3x+4) = log 7(4x+3) => 3x+4 = 4x+3 => -x =-1

Luego x = 1

6.

yx

xlog

= y

7.

Logaritmo de un argumento elevado a una potencia

log xyz = z log xy

8. Logaritmo elevado a una potencia

( log xy ) z= log z xy

I.II ECUACIONES EXPONENCIALES LOGARITMICAS

Se llaman ecuaciones exponenciales logartmicas, aquellas ecuaciones

que presentan la incgnita en el exponente.

EJEMPLOS: 3x= 1 23x-1= 3x+2


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Se llaman ecuaciones logartmicas, aquellas ecuaciones que presentan la

incgnita como argumento de una funcin logartmica.

EJEMPLOS: log x = 2 log (3x-1) = log (x+2)

Para resolver ecuaciones exponenciales podemos igualar las bases y

aplicar.

EJEMPLO: 3X= 1

luego 3X= 30

entonces x = 0

I.III COLOGARITMOS

El cologaritmo de un nmero positivo es el logaritmo de su recproco.

Por ejemplo:

colog N = log 1 = log 1- log N = -log N ya que log 1 = 0

N

II EJERCICIOS RESUELTOS DE COMPRENSION

II.I RESOLVER LAS SIGUIENTES ECUACIONES

a) log 3x = 2

32= x , x = 9

b) log 4y = - 3

2

4 3/2= y , y = 1

8


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II.II RESOLVER:

a) logx 25 = 2

x2= 25 , x = + 5 luego x = 5 es solucin y x = -5 no es solucin

porque la base de un logaritmo no puede ser negativa.

b) log (3x2+2x 4 ) = 0

100=3x2+2x 4 luego 3x2+ 2x 5 = 0 , finalmente

x1= - 5/3 y x2= 1

II.II PROBLEMAS EXPLICATIVOS DE ECUACIONES LOGARITMICAS

1.

Calcular x

52x+2= 35x-1

(2x+2) log 5 = (5x-1) log 3

2x log 5- 5x log 3 = - log 3 2log 5

x(2log 5 5log 3) = - log 3 2log 5

x = log 3+ 2log 5 = 1,898 x = 1,8985log 3- 2log 5

2. Calcular x

log 2(9x-1+ 7) = 2+log 2(3x-1+ 1)

log2(3 2x-2+ 7) = 2+log2(3 x-1+ 1)

log 2(3 2x-2+7) = log 24 +log 2(3x-1+ 1)

log 2(32x-2 +7) = log 2 4 (3x-1+ 1)

(32x-2+7) = 4 (3x-1+ 1)

32(x-1) 4(3x-1) + 3 = 0 u = 3x-1


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u2 4u +3 = 0

(u-1) (u-3) = 0

u1= 1

u2= 3

1 = 3x-1 y 3 = 3 x-1

30=3x-1 x = 2

x = 1

3.

x2 + y 2= 425 |log x + log y =2 |

----------------------

x2 +y2 = 425

log 10xy = 2 / 10x

x2+ y2 = 425

10log xy= 102

x2+ y2= 425

xy= 100 / 2

x2+ y2=425

2xy = 200

x2+ 2xy + y2= 625

x + y = 25 => y1=25 x , y2= -25 - x

x( 25- x ) = 100 x(-25- x) = 100

25x x2=100 -25x x2= 100


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x2 25x + 100 = 0 x2+25x +100 = 0

x = 25 15 x=-25 15

2 2

Soluciones: (20,5); (5,20);

Estas soluciones no cumplen (-5,-20); (-20,-5)

4.

RESOLVER LA ECUACION:

6x 32x+2 = 20

6x 32x= 18 , luego se aplica logaritmo

log 6x+ log 32x = log 18log 6x+ log 32x= log 3 + log 6

x log 6 + 2x log 3 = log 3 +log 2 + log 3

x(log 2 +log 3 + 2 log 3) = 2 log 3 +log 2

x = 2log3+log2

3log3+log2


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III. GUIA DE EJERCICIOS PROPUESTOS

III.I EXPRESA EN FORMA DE LOGARITMO CADA IGUALDAD

a)

4x= 16

b) 10x= 1,48

c)

ax= bc

d

d)

px = a+b

a-b

e)

( 2/3)x= 27

8

III.II EXPRESA EN LA FORMA EXPONENCIAL LAS SIGUIENTES

IGUALDADES.

a)

log ax = y

b)

log101000 = x

c)

logaa2=2

d) log(1/8) = 3


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e) log p/qq = -1

f) log (x-y)(x3-3x2y+3xy2-y3) =3

III.III CALCULA EL VALOR DE X EN LAS SIGUIENTES

EXPRESIONES

a)

log 4x = 1

b)

log 9/16x = 3/2

c)

log x 27 = 3

d) log x243 = 5

e)

log x = -2

III.IV DESARROLLA

a)

log 36/256/5 = x

b) log 64x = 5/6

c) log aac+ log pp3+ log bb- log ac =

d)

log 0,0001 =

e)

log 10-4+log 1 =

100


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III.V APLICANDO LAS PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS

DESARROLLA

a)

log 3 a =

b

b)

log (a5b4) =

c) log (a4-b4) =

d)

log (a2b3)4=

III.VI CALCULA EL VALOR DE LOS SIGUIENTES LOGARITMOS

a)

log 2(832)=

b) log 5(25125) =

c)

log1/5(625125) =

d)

log 1/3(27243) =

e) log3(1000)log3=


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III.VII RESOLVER LAS SIGUIENTES ECUACIONES

a)

log(x+3)+log(x-5) = 2 log(x-b)

b)

m3x+1/3=q3/7x+1

c)

log (3x-4)-log x+log 5= log (15x+2)-log(x+2)

d)

1/5 log (x+5) = log 2

e) log (x+7)+1/2 log(x+5) = log (x2+10x+43)

f) log3(log3(5x+2)) = 1

III.VIII RESOLVER LOS SIGUIENTES SISTEMAS

a) 3 log2x+5 log2y =13

4 log2x+7 log2y = 18

b) 6 log7x- 7 log7 y =-8

log 7x-4 log7y = -7


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c) 5 log2x-log2y4= -11

log2 x7log2y3= -5

d) 2 log x-log y =3

log x+log y =1

e)

log(x+1)-log 2 = log y

log x-log (y+1) = log 3

f)

log2(x+2y) = 1

log3(2x+y) =0

g) log2(x+y)-log2 (x-y) = -2

3x 3y=81


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RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS PROPUESTOS

I. V.

a) log 4 16=x a)log3+loga-logb

b)

log 101,48=x b)5loga+4logb

c)

log a(bc/d)=x c)log(a2+b2)+log(a+b)+log(a-b)

d)

log p(a+b/a-b)=x d)8loga+12logb

e)

log 2/3(27/8)=x

II. VI.

a)ay=x a)8

b)10x=1000 b)5

c)a2=a2 c)-7

d)(1/2)3=1/8 d)-8

e)(p/q)-1=q/p e)3

f)(x-y)3=(x-y)3

III. VII.

a)x=4 a)5,1

b)x=27/64 b)log q - 1/3log m

c)x=3 3(log m 1/7 log q)

d)x=3 c)x=5

e)x=2 d)x=27

e)x=4

f)x=5

g)x=6IV. h)x=2

a)x=1/2

b)x=32

c)x=5

d)x=-4


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e)x=-6 VIII.

a)x=2 y=4

b)x=7 y=49

c)2,16

d)

e)no tiene solucin

f)(0,1)

g)(10,-6)


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