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Matematica Discreta, curso 20132014

Ejercicios Tema 5. Maquinas de estado finitoy expresiones regulares

Objetivos: Al acabar el tema el alumno debe ser capaz de:

1. Dar la definicion formal de maquina de estado finito y automata finito (determinista).

2. Dada una maquina de estado finito, calcular la secuencia de salida para una secuencia deentrada.

3. Dibujar el diagrama de estados de una maquina de estado finito a partir de su tabla de estados,y vice-versa.

4. Construir una maquina de estado finito (sencilla) que realice una accion determinada.

5. Construir un automata de estado finito que reconozca cierto tipo de entradas.

6. Hallar el lenguaje reconocido por un automata.

7. Construir expresiones regulares sobre un alfabeto dado.

8. Hallar el conjunto regular definido por unas expresiones regulares dadas y determinar si unacadena pertenece o no a un conjunto regular dado.

9. Conocer la relacion entre lenguajes regulares y automatas finitos (un lenguaje es regular si, ysolo si, existe un automata finito que lo reconoce).

10. Entender el concepto de simplificacion/minimizacion de automatas y saber minimizar un au-tomata de estado finito dado.

Ejercicios:

1. Dibuja el diagrama de estados para la maquina de estado finito cuya tabla de estados es lasiguiente. Partiendo del estado s0, calcula la salida para la cadena de entrada 1000110.

Estados Transicion SalidaEntrada Entrada

0 1 0 1s0 s0 s4 1 1s1 s0 s3 0 1

s2 s0 s2 0 0s3 s1 s1 1 1s4 s1 s0 1 0

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2. Dibuja el diagrama de estados para la maquina de estado finito cuya tabla de estados es lasiguiente. Partiendo del estado inicial s0, calcula la salida para la cadena de entrada abbccc.

Estados Transicion SalidaEntrada Entrada

a b c a b cs0 s0 s3 s2 0 1 1s1 s1 s1 s3 0 0 1s2 s1 s1 s3 1 1 0s3 s2 s3 s0 1 0 1

3. Halla la tabla de estados para la maquina de estado finito cuyo diagrama de estados es:

s0 s1

1, 0 0, 1

0, 0

1, 0

Que debe recordar cada estado?Encuentra las cadenas x I para las cuales la secuencia de salida termina en 1.

4. Construye una maquina de estado finito que modele una maquina expendedora de bebidas queacepta monedas de 5, 10 y 20 centimos. La maquina acepta monedas hasta que se introducen 25centimos y devuelve cualquier cantidad que supere los 25 centimos. Entonces, el cliente puedepulsar los botones y elegir una bebida de cola (C), una cerveza (Z) o una t onica (T).

5. Construye una maquina de estado finito con conjunto de entradas I = {0, 1} que cambie losbits de lugar par de una cadena de entradas y deja los restantes sin cambiar, es decir, parauna secuencia de entradas x1x2x3x4x5x6x7 la salida es x1x2x3x4x5x6x7 , siendo xi elcomplemento de xi.

6. Disena una maquina de estado finito que en un instante determinado produzca la salida 1 sila entrada hasta ese instante contiene k unos, donde k es multiplo de 3, y produce salida 0 encaso contrario.

7. Determina si la cadena 11101 pertenece o no a cada uno de los conjuntos siguientes:

a) {0, 1}

b) {1}{0}{1}

c) {11}{1}{01}

d) {11}{01}

e) {111}{0}{1}

f) {111, 000}{00, 01}

8. Sea I = {x , y, z }, dados los lenguajes finitos A = {x,xy,z} y B = {, y} halla los conjuntosAB yBA.

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f) F={s1, s3}

s0 s2s1 s3

1

0

0

1 0

1

0

1

12. Para cada uno de los conjuntos descritos a continuacion, halla un automata finito que loreconozca:

a) Conjunto de cadenas con ceros yunosen las cuales hay un exactamente dos ceros.

b) Conjunto de cadenas concerosyunosen que empiezan concero y contienen exactamenteun uno.

c) Conjunto de cadenas con ceros y unos de longitud 2 en las cuales las dos ultimasentradas son iguales (es decir, terminan en 00 o 11).

d) Conjunto de cadenas con ceros yunosen las cuales hay un numero par de unos.

e) Conjunto de cadenas con ceros y unos en las cuales hay un numero par de unos y unnumero par de ceros.

f ) Conjunto de cadenas con ceros y unos en las cuales hay un numero par de unos y elnumero de ceroses multiplo de 3.

g) Conjunto de cadenas concerosyunosen las cuales hay el numero deunosno es multiplode 4.

13. Construye un automata de estado finito con conjunto de entradas Ique dada una cadena deentrada determine si dicha cadena termina o no con abaen cada uno de los casos siguientes:a) I={a, b} b) I={a,b,c}

14. Describe un automata finito que acepte cada uno de los lenguajes siguientes:

a) L= {a, b}

b) L= {(01)n1 / n >0}

c) L= {abx/x {a, b}} {bax/x {a, b}}

d) L= {x / x {0, 1} x no contiene el substring 001}

e) L= {abx/x {a, b}

el numero de as

en xes multiplo de 3}f) L= {abx/x {a, b} el numero de as en abxes multiplo de 3}

15. Halla el automata cociente de (S = {s0, s1, s2, s3, s4}, I = {0, 1}, f , s0, F = {s3, s4}) con latabla de transicion

Estados TransicionEntrada

0 1s0 s1 s2s1 s2 s3

s2 s2 s4s3 s3 s3s4 s4 s4

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16. Halla el automata cociente del automata cuyo diagrama de transicion es:

s0 s2

s4

s1

s3

a

b

b a

a

b

b

a

a

b

17. Halla el automata cociente de (S={s0, s1, s2, s3, s4, s5, s6}, I={0, 1, 2}, f , s0, F ={s3, s4, s5, s6})con la tabla de transicion

Estados TransicionEntrada

0 1 2s0 s2 s4 s1s1 s1 s6 s0s2 s0 s5 s2s3 s1 s4 s5

s4

s4

s6

s5

s5 s4 s4 s6s6 s5 s5 s4