BloqueIV Transmisi n de Calor DOC 09 10

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TEMA 4

TRANSMISIÓN DE CALOR

4.1 Introducción. Mecanismos de Transmisión de Calor: conducción,

convección y radiación.

4.2 Transmisión de calor por conducción. Conducción a través de

cilindros huecos, esferas huecas y láminas planas. Conducción a

través de varios sólidos en serie.

4.3 Transmisión de calor por convección. Números adimensionales.

Convección forzada: correlaciones empíricas. Convección natural:

correlaciones empíricas. Coeficiente global de transmisión de calor.

4.4 Transmisión de calor en estado no estacionario. Números

adimensionales. Longitudes características. Relación de Sucec.

BIBLIOGRAFÍA ESPECÍFICA-BLOQUE 4

AGUADO. J., CALLES, J.A., CAÑIZARES, P., LOPEZ, B., RODRIGUEZ, F., SANTOS, A., SERRANO, D., Ingeniería de la Industria Alimentaria. Vol. 1. Conceptos Básicos. Síntesis S.A., Madrid, 1999.

SINGH, R.P., HELDMAN, D.R., Introducción a la Ingeniería de los Alimentos. Acribia, Zaragoza, 1998.

TOLEDO, R.T., Fundamentals of food process engineering. Van Nostrand Reinhold, New York, 1991.

CALLEJA, G., GARCIA, F. , MARTINEZ, A.L., PRATS, D., RODRIGUEZ, J.M., Introducción a la Ingeniería Química. Síntesis S.A., Madrid. 1999. Capítulo 10

EARLE, R.L., Ingeniería de los Alimentos (2ª ed.). Acribia, Zaragoza, 1988. Capítulo 4.

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4.1.- INTRODUCCIÓN. MECANISMOS DE TRANSMISIÓN DE CALOR: CONDUCCIÓN, CONVECCIÓN Y RADIACIÓN. INTRODUCCIÓN. MECANISMOS DE TRANSMISIÓN DE CALOR: CONDUCCIÓN, CONVECCIÓN Y RADIACIÓN.

La transmisión de calor es uno de los pilares fundamentales en el área de Tecnología de los Alimentos puesto que muchas de las operaciones unitarias implicadas en la conservación y preparación de alimentos se basan en ella: refrigeración, congelación, liofilización, esterilización, pasterización, escaldado, secado, evaporación....

En estas unidades u operaciones básicas se produce la transmisión de calor entre un producto y un agente calefactor o refrigerante.

El calentamiento y enfriamiento de productos alimentarios son necesarios para prevenir la degradación microbiana y enzimática; además los alimentos pueden adquirir las propiedades organolépticas deseadas (color, textura, olor, valor nutritivo) trabajando a temperaturas adecuadas.

En cualquier proceso físico y/o químico se produce una transmisión, generación o absorción de calor. Así, por ejemplo, en cualquier reacción química se produce o requiere una cantidad determinada de energía, según la reacción sea endotérmica o exotérmica en las que la entalpía de reacción se libera o aporta en forma de calor. La modificación de la temperatura del sistema influye sobre la velocidad de reacción (cte. cinética), selectividad y rendimiento, de manera que podemos influir en el proceso calentando o enfriando tanto los reactivos como los productos.

La transferencia de energía como consecuencia de la interacción sistema-entorno se produce en forma de calor o trabajo. Siempre que exista una diferencia de temperaturas entre dos puntos de mi sistema o entre sistema-entorno, se produce una transferencia de energía desde el cuerpo de mayor temperatura al cuerpo de menor temperatura (2º Principio de Termodinámica) o transmisión de calor. (Primer Principio de Termodinámica: el calor cedido por un sistema es igual al absorbido por otro). Sin embargo, la termodinámica se limita a los estados finales o de equilibrio de las transformaciones energéticas, proporcionando información de la cantidad de energía a aportar o eliminar (Balances de Energía), pero no sobre la velocidad con que se produce.

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Ahora el objetivo es obtener el perfil de temperaturas en cualquier punto del sistema. Una vez conocido, se pueden establecer los flujos de calor y, en consecuencia, se podrá dimensionar el equipo: área de contacto requerida en los cambiadores de calor, tiempo de esterilización de un alimento, espesor de un aislante para evitar pérdidas de calor, etc.

De ahí la importancia del estudio de la transferencia de calor, los mecanismos que la gobiernan y el diseño adecuado de sistemas para llevarla a cabo.

PROPIEDADES TÉRMICAS DE LOS ALIMENTOS

Calor específico El calor específico es la cantidad de calor necesaria por una unidad de masa de producto para provocar un determinado incremento de temperatura, sin que tenga lugar un cambio de estado (calor necesario para aumentar un grado de temperatura la unidad de masa).

( )TM

QCPΔ

=

donde Q es el calor ganado o perdido (kJ), M es la masa (kg), ΔT es el incremento de temperatura del material (ºC) y Cp es el calor específico (kJ/kg.°C).

El calor específico de un producto depende de su composición, humedad, temperatura y presión. El calor específico aumenta con la humedad.

Hay que distinguir entre Cp a presión constante y Cv a volumen constante:

Cp = T H

dd

Cv = T U

dd

H = U + PV

PV = nRT; n = 1mol

dH = dU + d(PV) = dU + RdT

Rdd

dd

+= T U

T H → Cp = Cv +R

4

El calor específico de los gases a presión constante, Cp, es mayor que el calor específico a volumen constante, Cv. En la mayoría de las aplicaciones se utiliza el calor específico a presión constante, Cp, ya que ésta se mantiene generalmente constante.

En procesos en los que tiene lugar un cambio de fase, como por ejemplo la congelación, se utiliza un calor específico aparente. Éste se obtiene sumando al calor sensible el calor involucrado en el cambio de fase (calor latente).

Dickerson (1969) propuso la siguiente expresión para productos cárnicos con un contenido en humedad entre el 26 y el 100% y zumos de frutas con humedad mayor del 50%:

Cp = 1.675 + 0.025 w

en la que w es el contenido en agua (en %).

Para productos de composición conocida puede usarse la siguiente expresión:

Cp = 1.424mc + 1.549mp + 1.675mf + 0.837ma + 4.187mm

en la que m es la fracción en peso y los subíndices c, p, f, a y m se refieren, respectivamente, a hidratos de carbono, proteína, grasa, cenizas y humedad. Las unidades del calor específico son kJ/kg.°C.

Tema de balances de energía: correlaciones de SIEBEL y CHOI y OKOS

Conductividad térmica

La conductividad térmica de un producto es una medida de la velocidad con la que el calor se transmite a través de un espesor unidad de ese material cuando existe un gradiente de temperatura unidad entre sus extremos (representa la capacidad de un material para transmitir calor a su través):

K.mW

C.ºmW

C.ºm.sJk ===

La conductividad térmica es muy variable, incluso entre los materiales más habituales; sirvan como ejemplo los siguientes valores:

Metales: 50-400 W/m.ºC

Aleaciones: 10-120 W/m.ºC

Agua: 0.597 W/m.ºC (a 20°C)

Aire: 0.0251 W/m.ºC (a 20°C)

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Materiales aislantes: 0.035- 0.173 W/m.ºC

TABLAS: A.2.2, A.3.1, A.3.2 (tablas de propiedades alimentos)

La mayoría de los alimentos con alto contenido en humedad tienen una conductividad térmica cercana a la del agua. Suelen aparecer tabuladas. Pueden utilizarse la siguientes ecuaciones obtenidas empíricamente por Sweat (1974, 1975):

Para frutas y vegetales con contenidos en agua mayores del 60%,

k = 0.148 + 0.00493w

donde k es la conductividad térmica (W/m.°C) y w el contenido en agua (en %).

Para carnes a temperaturas entre 0 y 60° C y contenido en agua de 60-80% (en base húmeda),

k = 0.08 + 0.0052w

Para pescados: k = 0.0324 + 0.3294w

También Sweat (1986) desarrolló la siguiente ecuación empírica mediante ajuste de unos 430 datos experimentales obtenidos con diversos alimentos sólidos y líquidos,

k = 0.25mc + 0.155mp + 0.16mf + 0.135ma + 0.58mm

en la que m es la fracción en peso y los subíndices c, p, f, a y m se refieren, respectivamente, a hidratos de carbono, proteína, grasa, cenizas y humedad (TABLA 4.1: composición alimentos)

Las ecuaciones anteriores sirven para predecir la conductividad de los alimentos con menos de un 15% de desviación. La conductividad térmica se expresa normalmente en W/m.°C; otras unidades equivalentes son W/m.K y J/s.m.K.

La variación de la conductividad térmica con la Tª depende del material considerado. En general aumenta para los gases u disminuye para los líquidos. En el caso de sólidos depende. Para los alimentos, el efecto de la temperatura es pequeño y suele despreciarse tomando un valor medio de la conductividad entre las temperaturas extremas.

K (T) = k0 (1 + βk T)

βk (K-1): cte empírica

k0 conductividad a Tª referencia

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TABLA- CUADRO 5.1

La conductividad térmica de algunos materiales biológicos y alimentos preparados depende de la dirección de propagación. La carne y el pescado son ejemplos en los que el calor se transmite mejor en la dirección longitudinal de sus fibras que perpendicular a las mismas.

Difusividad térmica

Se define como: Cpk⋅

=ρ

α

K = conductividad térmica (J/s.m.K)

ρ =densidad (kg/m3)

Cp = calor específico ( J/kg K)

sm

KkgJmkgKmsJ 2

3 ///

=⋅⋅

⋅⋅=α

TABLAS A.3.1, A.3.2

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Emisividad

Es la medida en que una superficie se asemeja a un cuerpo negro. La emisividad de un cuerpo negro es 1. Esta propiedad depende de la longitud de onda de la radiación emitida y de la temperatura media. Es adimensional (TABLA 4.3).

Utilizada para calcular flujos de calor emitidos por radiación.

4ATAq ⋅⋅⋅= εσ

σ = constante de Boltzman = 5.669 10-8 w/m2 K4

ε = emisividad de la superficie (ε = 1 para un cuerpo negro)

MECANISMOS DE TRANSMISIÓN DE CALOR

Se distinguen 3 mecanismos de transmisión de calor distintos, aunque normalmente en las aplicaciones prácticas se encuentran implicados al menos dos de ellos: conducción, convección y radiación. La conducción y la radiación son mecanismos de transmisión de calor puros, mientras que en la convección se produce simultáneamente un transporte de materia.

CONDUCCIÓN

Es la forma en que tiene lugar la transferencia de energía a escala molecular entre dos partes de un cuerpo o dos cuerpos distintos que se encuentran a distinta temperatura. Se produce mediante intercambio de energía cinética entre moléculas por contacto directo entre ellas al chocar o a través de electrones libres, en el caso de metales coductores.

A nivel microscópico (molecular) las partículas (átomos, moléculas, iones) están moviéndose (rotación-translación-vibración), el moviento es consecuencia de la energía interna que poseen, la cual es función de la temperatura.

Al aumentar la temperatura aumenta el grado de excitación térmico, de modo que aumenta la amplitud en sus movimientos pero sin que se observe movimiento alguno de translación a nivel macroscópico. El flujo de calor por conducción transcurre por cesión de energía de las moléculas con mayor energía interna (mayor temperatura) a las moléculas con menor energía por choques entre ellas.

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Otra teoría para explicar el mecanismo de la conducción de calor es análoga a la teoría de bandas para explicar el carácter conductor de electricidad de los metales. Es decir, la conducción de calor tiene lugar debido al desplazamiento de electrones libres de las bandas de valencia a las de conducción (un sólido buen conductor de electricidad es un buen conductor de calor).

La transmisión de calor por conducción sólo se produce de forma “pura” en sólidos opacos y fluidos estáticos, sin desplazamiento apreciable de sus partes constituyentes.

Cuando existe un gradiente de temperatura en un cuerpo, se produce un flujo de calor o transmisión de calor desde el punto de mayor temperatura al de menor temperatura. Este flujo de calor se calcula a partir de la Ley de Fourier de la conducción:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⋅⋅=

dxdTkAqx LEY DE FOURIER

qx = flujo de calor en la dirección x (W)

A = área de transmisión de calor (m2) perpendicular al flujo, en este caso, perpendicular al eje x.

k = conductividad térmica (W/m K)

dT/dx = gradiente de temperatura en la dirección x (K/m)

El signo (-) se debe a que dT/dx es negativo, ya que la temperatura disminuye al aumentar x, y así el flujo de calor queda (+)

CONVECCIÓN

El término de convección se aplica al mecanismo de transmisión de calor que se produce en un fluido debido al desplazamiento en su seno de porciones o grupos de moléculas que se mezclan con otras porciones del mismo a diferente temperatura. El mecanismo de transmisión de calor por convección se debe al desplazamiento de un fluido.

La convección no es un mecanismo puro ya que es consecuencia de dos efectos simultáneos. El primero es la transmisión de calor a nivel molecular entre 2 puntos a distinta temperatura por conducción y/o radiación, y el segundo se debe al desplazamiento y mezcla de las moléculas en el seno del fluido en movimiento. Ejemplo: un fluido que

x

Tª

qx

T1

T2

dx

dqx

l = espesor

T1> T2

x

y

z

x

Tª

qx

T1

T2

dx

dqx

l = espesor

T1> T2

x

Tª

qx

T1

T2

dx

dqx

l = espesor

T1> T2

x

y

z

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circula por el interior de una tubería donde existe una diferencia de temperaturas. Este desplazamiento del fluido en presencia de un gradiente de temperaturas entre el fluido y la pared de la conducción provoca un transporte de calor a nivel macroscópico (conducción a escala microscópica), aun cuando realmente la transmisión de calor entre las moléculas del fluido se realiza a nivel microscópico por radiación y/o conducción.

Dependiendo de la causa que provoca el movimiento del fluido se distingue:

Convección forzada: cuando el movimiento del fluido está provocado por fuerzas externas (agitadores, bombas y compresores)

Convección natural: cuando el movimiento se debe a diferencias de densidad del fluido provocadas por diferencias de temperatura en su seno (ej: circulación de aire en una habitación cuando esta se calienta o enfría, el aire caliente es menos denso que el frío y subirá hacia arriba).

El fenómeno de convección natural motiva que, en fluidos en movimiento por el interior de tuberías, no se manifieste exclusivamente el mecanismo de conducción pura aun cuando éste circule en régimen laminar. En el momento en que se establezca una diferencia de temperaturas en el fluido aparecen corrientes de convección como resultado de la diferencia de densidad. En consecuencia, se superponen los mecanismos de transmisión de calor por conducción y convección. Este efecto es especialmente importante en la industria alimentaria debido a que la elevada viscosidad de muchos de los fluidos empleados determina que éstos circulen en muchos casos en régimen laminar.

Un caso particular de gran interés es la transmisión de calor entre un sólido y un fluido que circula paralelo a la superficie del mismo y que se encuentran a distinta temperatura. Esta situación es típica en los cambiadores de calor, donde dos fluidos a diferente temperatura en contacto, están separados por una pared sólida para evitar la mezcla entre ambos.

Considérese una placa plana a una temperatura TW, sobre la cual circula un fluido que se encuentra a menor temperatura. Debido a las fuerzas de rozamiento la velocidad del fluido es nula en la interfase con el sólido y aumenta con la distancia a la placa hasta alcanzar una velocidad constante. La zona del fluido donde la velocidad varía con la distancia al sólido se denomina capa límite fluidodinámica, cuyo espesor viene representado por δ1. De forma análoga, existe un gradiente de temperaturas en el seno del fluido, y una capa límite

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térmica, cuyo espesor, δt, no tiene por qué coincidir con el de la capa límite fluidodinámica (es el espesor de la capa límite o zona ficticia donde se encuentra localizada toda la resistencia a la transferencia de calor, para x=δtérmica, la Tª del fluido en ese punto es el 99 % del valor de la Tbulk (en su seno, TB).

En la región más próxima al sólido, donde la velocidad del fluido es menor, el calor se transmite por el mecanismo de conducción y radiación debido a que el régimen de circulación es laminar y en consecuencia no hay mezcla del fluido en la dirección del flujo de calor (x). A distancias más alejadas del sólido aparecen los regímenes de transición y turbulento, con lo que se produce mezcla de fluido y en consecuencia el mecanismo de convección se suma a los dos anteriores. Dependiendo de cada situación particular uno o varios mecanismos prevalecerán sobre los demás, siendo la convección el mecanismo predominante en la mayoría de los casos.

Transmisión de calor entre un sólido y un fluido que circula paralelo a su superficie

Para determinar el flujo de calor por convección en el seno de un fluido en movimiento, independientemente de que se trate de convección forzada o natural, se utiliza una expresión empírica, que expresa el flujo de calor de forma proporcional a la diferencia de temperaturas entre el sólido y el fluido en un punto determinado (normalmente a distancia suficientemente alejada del sólido).

Perfil de velocidades

Perfil de temperaturas

TW

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q = h A (TW-TB) LEY DE NEWTON q = flujo de calor por convección (W) h = coef. individual de transmisión de calor por convección (W/m2 K) A = área de transmisión de calor (m2) TW = temperatura de la pared de la conducción o tubería TB = temperatura en el seno del fluido

Valores orientativos de coeficientes de transmisión de calor por convección (Cuadro 5.2 Aguado)

Fluido Tipo convección h (W/m2 K)

Aire Natural 5-30

Aire forzada 10-500

Aire (congelación) natural 5-10

Agua líquida natural 500-1000

Agua líquida forzada 500-6000

Agua ebullición forzada 3000-60000

Agua condensación forzada 6000-120000

Vapor de agua sobrecalentado forzada 30-300

RADIACIÓN

Este mecanismo de transmisión de calor se basa en la propiedad que tienen los cuerpos de emitir ondas electromagnéticas desde su superficie en un amplio intervalo de longitudes de onda. Todos los sólidos, líquidos y gases por encima de 0 K emiten radiación electromagnética que se propaga linealmente en todas direcciones a la velocidad de la luz. Existen diferentes tipos de radiación electromagnética (rayos X, gamma, ultravioleta, visible, infrarrojo, radiación térmica, ondas radio...), aunque aquí sólo interesa la radiación térmica, es decir, la que transporta energía en forma de calor y que comprende la radiación con longitudes de onda entre 0.1 y 100 micras

La transmisión de calor por radiación tiene lugar entre superficies mediante emisión y posterior absorción de radiación electromagnética. A diferencia de la conducción y la convección, la radiación no requiere de ningún medio para su propagación, de ahí que pueda tener lugar en el vacío.

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La energía irradiada (o emitida) por una superficie es proporcional a su temperatura absoluta a la cuarta potencia y depende de las características de la superficie. El flujo de calor emitido por un superficie se puede calcular como:

4ATAq ⋅⋅⋅= εσ

q = calor emitido por una superficie de área A (W) σ = constante de Boltzman = 5.669 10-8 w/m2 K4

ε = emisividad de la superficie, (adimensional; ε = 1 para cuerpo negro) TA = temperatura absoluta de la superficie (K)

Este fenómeno es importante a temperaturas elevadas.

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4.2.-TRANSMISIÓN DE CALOR POR CONDUCCIÓN EN ESTADO ESTACIONARIO: Conducción a Través de Láminas Planas, Cilindros Huecos y Esferas Huecas. Conducción a Través de Varios Sólidos en Serie.

Vamos a ver algunas aplicaciones de la transmisión de calor en estado estacionario. En estado estacionario, la temperatura de un sistema permanece constante en el tiempo, aunque puede variar con la posición.

GEOMETRÍA PLANA (Transmisión de calor por conducción en una lámina rectangular)

Considérese una lámina de sección transversal de paso rectangular, con una altura y anchura mucho mayores que su espesor, L, y cuyas caras se encuentran a distinta temperatura:

En estas condiciones se producirá transmisión de calor unidimensional a través de la coordenada x. En conducción el flujo de calor será:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⋅⋅=

dxdTkAqx LEY DE FOURIER

qx

T1

T2

L = espesor

x

y

zx1 x2

H =

alt

ura

W =

anch

ura

T = T(x)qx

T1

T2

L = espesor

x

y

zx1 x2

H =

alt

ura

W =

anch

ura

T = T(x)

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Integración de la ecuación.

Condiciones de contorno:

x = x1 para T = T1

x = x2 para T = T2

∫∫ ⋅⋅−= 2

1

2

1

T

T

x

x x dTkAdxq , suponiendo que la k no varía con la Tª

( )2112 )( TTkAqxx x −⋅⋅=⋅−

En estado estacionario qx es constante en todo el espesor del sólido (no depende de x), de ahí que lo saque de la integral.

( ))( 12

21

xxTTkAqx −

−⋅⋅= )( 12 xx − =espesor de la lámina, A = H·W

( ) ( )

AkeT

AkxxTT

q

kxxTT

Aq xx

⋅

Δ=

⋅−−

=⇒−−

=)()( 12

21

12

21

ΔT = fuerza impulsora

e/A·k = resistencia a la transferencia de calor

Expresada de otra forma:

)(

)(

11

1212

xxAk

qTT

xxAk

qTT

x

x

−⋅

−=

−⋅

−=

Expresión que permite calcular la temperatura en cualquier posición de la lámina plana.

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GEOMETRÍA CILÍNDRICA (Transmisión de calor por conducción a través de una tubería cilíndrica)

Considérese un sistema constituido por un cilindro hueco en el cual existe una diferencia de temperaturas entre la sección interna, r = Rin, y la externa r = R0. Por ejemplo: Tin > Tout

Este tipo de sistema, fácil de resolver matemáticamente, es de gran importancia en ingeniería pues representa a las conducciones o tuberías para la circulación de fluidos y a través de las cuales interesa determinar el flujo de calor entre el interior del tubo y el exterior. Considerando que la longitud del cilindro, L, es muy superior al radio del mismo, el problema se reduce a conducción unidimensional en la dirección del radio del cilindro (simetría radial):

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⋅⋅=

drdTkAqr LEY DE FOURIER



R = Rin para T = Tin → Ain = 2 π Rin L

R = Rout para T = Tout → Aout = 2 π Rout L

∫∫∫ ⋅⋅−=⋅⋅−= out

in

out

in

T

T

T

T

Rout

Rin r dTkRLdTkAdrq π2

suponiendo que k no varía con la Tª

( )outin

T

T

Rout

Rinr TTkdTkdrRL

q out

in

−=⋅−= ∫∫ π2

Rin

Rout

Tin

Tout

L

Rin

Rout

Tin

Tout

Rin

Rout

Tin

Tout

L

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( )outinin

outr TTkRR

Lq

−=ln2π

En estado estacionario qr es constante en todo el radio del sólido (no depende de r), de ahí que lo saque de la integral.

( )

in

out

outinr

RRTTkLq

ln2 −

⋅= π

Si ahora esta ecuación se multiplica y divide por la diferencia de radios en los extremos, se obtiene la expresión más habitual del caudal de calor a través del espesor de un cilindro:

( )( )

( )

in

out

outin

inout

inoutr

RLRL

TTkRR

RRLq

⋅⋅

−⋅

−−

=

ππ

π

22ln

2

( )( )

( )

in

out

outin

inout

inoutr

RRTTk

RRRRLq

ln

2 −⋅

−−

=π

Definimos ( ) ( )

in

out

inout

in

out

inout

in

out

inout

RR

RRL

RLRL

RRL

AA

AAA

ln

2

22

ln

2

lnlog

−=

⋅⋅−

=−

=π

ππ

π, sustituyendo en

la ecuación anterior:

( )( )inout

outinr RR

TTkAq−

−⋅= log ( )inout RR − =espesor del cilindro

( )( )

loglog AkeT

AkRR

TTqinout

outinr

⋅

Δ=

⋅−

−=


e/Aml·k = resistencia a la transferencia de calor

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)(

)(

log

log

inr

in

inoutr

inout

RRAk

qTT

RRAk

qTT

−⋅

−=

−⋅

−=

Expresión que permite calcular la temperatura en cualquier posición de del cilindro hueco.

GEOMETRÍA ESFÉRICA (Transmisión de calor por conducción a través de una esfera hueca)

Consideremos una esfera hueca que presenta una diferencia de temperaturas entre sus caras interna y externa (Tin > Tout). Se producirá un flujo de calor en la dirección radial de la esfera.

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⋅⋅=

drdTkAqr LEY DE FOURIER



R = Rin para T = Tin → Ain = 4 π Rin2

R = Rout para T = Tout → Aout = 4 π Rout2

∫∫∫ ⋅⋅−=⋅⋅−= out

in

out

in

T

T

T

T

Rout

Rin r dTkRdTkAdrq 24π

suponiendo que k no varía con la Tª

RinRout Tin

Tout

RinRout Tin

Tout

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( )outin

T

T

Rout

Rinr TTkdTkdrR

q out

in

−=⋅−= ∫∫ 24π

( )outinoutin

r TTkRR

q−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

114π

En estado estacionario qr es constante en todo el radio del sólido (no depende de r), de ahí que lo saque de la integral.

( )

outin

outinr

RR

TTkq 114−

−⋅= π

Si ahora esta ecuación se multiplica y divide por Rout y Rin, se obtiene la expresión más habitual del caudal de calor a través del espesor de un esfera hueca:

( )inout

outininoutr RR

TTRRkq−

−⋅⋅⋅= π4

Se define como radio medio geométrico:

( ) 2/1inoutgeom RRR ⋅=

inoutgeom RRRAgeom

⋅⋅=⋅= ππ 44 2

Sustituyendo en la ecuación anterior:

( )inout

outingeomr RR

TTkAq−

−⋅⋅= ( )inout RR − =espesor de la esfera

( )( )

geomgeom

inout

outinr

AkeT

AkRR

TTq

⋅

Δ=

⋅−

−=


e/ geomA ·k = resistencia a la transferencia de calor

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)(

)(

ingeom

rin

inoutgeom

rinout

RRAkqTT

RRAkqTT

−⋅

−=

−⋅

−=

Expresión que permite calcular la temperatura en cualquier posición de la esfera hueca.

RESUMEN: Para las tres geometrías estudiadas, podemos expresar el

flujo de calor como: eTkAq Δ

⋅=

Largo x ancho (Lámina plana)

Donde A = 2π logR ·L para un cilindro hueco

4π ( geomR )2·L para un esfera hueca

TRANSMISIÓN DE CALOR POR CONDUCCIÓN A TRAVÉS DE VARIOS SÓLIDOS EN SERIE.

)(WR

TqTOTAL

rΔ

=

ii

iTOTAL

AkespesorR

RR

⋅=

= ∑

( )

33

3

22

2

11

1

21

Ake

Ake

Ake

TTq

⋅+

⋅+

⋅

−=

qx

T1

x

y

z

H =

alt

ura

W =

anch

ura

T’1T’’1

T2

e1e2

e3

k1 k2 k3

qx

T1

x

y

z

x

y

z

H =

alt

ura

W =

anch

ura

T’1T’’1

T2

e1e2

e3

k1 k2 k3

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T1 y T2 son las temperaturas que medimos.

q es constante en estado estacionario

A1 = A2 = A3 = largo x ancho

El flujo de calor a través de cada lámina es el mismo e igual a q:

q1 = q2 = q3

( )

11

1

111

'

Ake

TTq

⋅

−=

( )

22

2

112

'''

Ake

TTq

⋅

−=

( )

33

3

213

''

Ake

TTq

⋅

−=

( )11

1111 '

AkeqTT⋅

⋅=−

( )22

2211 '''

Ake

qTT⋅

⋅=−

( )33

3321'' Ak

eqTT⋅

⋅=−

Sumando las tres igualdades:

33

33

22

22

11

11211111 ''''''

Akeq

Ake

qAk

eqTTTTTT⋅

⋅+⋅

⋅+⋅

⋅=−+−+−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

+⋅

+⋅

⋅=−33

3

22

2

11

121 Ak

eAk

eAk

eqTT

21

Para esferas huecas en serie, es decir, concéntricas o cilindros huecos concéntricos se aplicaría la misma ecuación utilizando logA ó geomA según

sea el caso.

Para simetría radial:

( )( )

21log

12

21

−⋅

−−

=

AkrrTTq

A

r ( )

1

2

1221log

ln2

rrrr

LA−

=− π

( )( )

32log

23

32

−⋅

−−

=

AkrrTT

q

B

r ( )

21

3

2332log

ln2

rrrr

LA−

=− π

( )( ) ( )

32log

23

21log

12

31

−−⋅

−+

⋅−

−=

Akrr

Akrr

TTq

BA

r

T2

T3

L

r2

r3

r1T1

T1> T2 > T3

kB kA

T2

T3

L

r2

r3

r1T1

T1> T2 > T3

kB kA

22

4.3.- TRANSMISIÓN DE CALOR POR CONVECCIÓN. NÚMEROS ADIMENSIONALES. CONVECCIÓN FORZADA: CORRELACIONES EMPÍRICAS. CONVECCIÓN NATURAL: CORRELACIONES EMPÍRICAS. COEFICIENTE GLOBAL DE TRANSMISIÓN DE CALOR.

Como ya dijimos, dependiendo de la causa que provoca el movimiento del fluido se distingue:

Convección forzada: cuando el movimiento del fluido está provocado por fuerzas externas (agitadores, bombas y compresores)

Convección natural: cuando el movimiento se debe a diferencias de densidad del fluido provocadas por diferencias de temperatura en su seno (ej: circulación de aire en una habitación cuando esta se calienta o enfría, el aire caliente es menos denso que el frío y subirá hacia arriba).

La ley que gobierna el flujo de calor por convección en estado estacionario es la ley de Newton:

q = h A (TW-TB) LEY DE NEWTON

q = flujo de calor por convección (W)

h = coef. individual de transmisión de calor por convección (W/m2 K)

A = área de transmisión de calor (m2)

TW = temperatura de la pared de la conducción o tubería

TB = temperatura en el seno del fluido

Los coeficientes individuales de convección, h, se calculan mediante correlaciones empíricas. El coeficiente depende de varios parámetros, como son el tipo y la velocidad de fluido, sus propiedades físicas, la diferencia de temperatura entre el fluido y el sólido y la geometría del sistema. Mediante el análisis dimensional se desarrollan correlaciones empíricas que permite predecir h. Estas correlaciones empíricas se expresan en función de números adimensionales.

23

NUMEROS ADIMENSIONALES EN TRANSMISION DE CALOR POR

CONVECCIÓN

Nº de Reynolds Nº de Nusselt Nº de Prandtl

(conv. Forzada)

Nº de Peclet Nº de Graetz Nº de Grashof (conv. Natural)

Número de Stanton Número de Biot Número de Fourier

Nomenclatura: D= diámetro de la tubería o dimensión característica (m)

mojado perímetropaso área 4

=D , para una conducción circular: D=diámetro

L’ = Longitud característica (estado no estacionario) Lámina plana: L’ =espesor/2 Cilindro: L’ = r/2 Esfera: L’ = r/3 L = longitud de la tubería

v= velocidad del fluido (m/s)

μ = viscosidad del fluido (kg/ms)

ρ = densidad del fluido (kg/m3)

Cp = calor específico del fluido (J/kgK)

k = conductividad térmica (W/mK)

β = coeficiente de expansión volumétrica (1/K)

α = difusividad térmica (k/ρ Cp)

h = coeficiente individual de transmisión de calor por convección

(W/m2K)

μρvDRe = k

CpPr μ=

khDNu =

kvCpDPrRePe ρ

=⋅=2

23 TgDGrμ

βΔρ=

LDPrReGz ⋅⋅=

vCphStρ

= khL'Bi =

2L'tFo α

=

24

A continuación se muestran varias correlaciones empíricas para calcular h tanto para convección natural como para forzada. Se tratarán los sistemas más habituales en convección durante el procesamiento de alimentos. Todas las correlaciones mostradas son aplicables sólo a fluidos newtonianos. En el libro de Heldman y Singh (1981) pueden encontrarse correlaciones para fluidos no newtonianos.

Definimos:

Flujo interno: el fluido se desplaza totalmente rodeado por la superficie sólida. Es el caso de circulación de fluidos por el interior de tuberías.

Flujo externo: el fluido circula alrededor de un sólido sumergido en su seno. Un ejemplo característico es el flujo de gases o líquidos a través de lechos de partículas sólidas.

CONVECCIÓN FORZADA EN FLUJO INTERNO

La forma general de todas las correlaciones incluye los números adimensinales de Nusselt, Reynolds y Prandtl:

( )PrRe,fNu =

Conducciones Horizontales

1.- Régimen laminar: Re<2100 (calculado con el diámetro

equivalente), mojado perímetropaso área 4

=eqD

1.1 Cuando (Re x Pr x D/L) = Gz < 100 14.0

w

b2/3Gz)(0.0451

Gz085.066.3u ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

⋅+⋅

+=Νμμ

1.2 Cuando (Re x Pr x D/L) = Gz > 100

( )14.0

w

b3/1Gz86.1u ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⋅=Ν

μμ

μb es la viscosidad del fluido calculada a la temperatura del

seno del fluido. μw es la viscosidad del fluido calculada a la temperatura de la

pared interior de la conducción.

El resto de las propiedades evaluadas a la Tª del seno del fluido. Si la Tª del fluido varía a lo largo de la conducción se estiman a una Tª media.

25

2.- Régimen transición: 2100 < Re < 10000 (calculado con la dimensión característica o diámetro equivalente),

mojado perímetropaso área 4

=eqD

Existen correlaciones empíricas:

( )14.0

w

b3/2

3/13/2 1Pr125Re116.0u ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+−⋅=Ν

μμ

LD

También puede utilizarse la siguiente figura para estimar coeficientes individuales de convección.

3.- Régimen turbulento: Re > 10000 (calculado con el diámetro

equivalente), mojado perímetropaso área 4

=eqD

0.7 < Pr < 700; L/D > 60

( )14.0

w

b3/18.0 Pr)Re(023.0u ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⋅⋅=Ν

μμ

26

CONVECCIÓN FORZADA EN FLUJO EXTERNO

Cuando un fluido circula alrededor de cuerpos sumergidos; la

transmisión de calor depende de la geometría del cuerpo, su posición, la

proximidad de otros cuerpos, el caudal y las propiedades del fluido.

Para flujo alrededor de esferas aisladas, calentándose o enfriándose,

puede utilizarse la siguiente correlación:

Objetos esféricos, 1 < Re < 70000; 0.6 < Pr < 400:

( ) 3/15.0 Pr)Re(6.02u ⋅⋅+=Ν

Las propiedades del fluido deben evaluarse a la temperatura de la

película Tf, que es:

2omediafluidpared

f

TTT

+=

La siguiente correlación es general para cualquier geometría:

( ) 3/1m Pr)Re(Cru ⋅⋅=Ν

Para el cálculo del Re y Nu calculados para el fluido en movimiento, se utiliza la dimensión característica.

Los coeficientes Cr y m se obtienen de la siguiente tabla (Tabla 10-5 del Perry’s):

Configuración Dimensión característica Re Pr Cr m

Lámina plana paralela al flujo

Longitud de la lámina 1000-300000 > 0.6

0.648 0.50

Cilindro de sección circular

Diámetro del cilindro 1-4 4-40 40-4000 4000-40000 40000-250000

> 0.6

0.989 0.911 0.683 0.193 0.0266

0.330 0.385 0.466 0.618 0.805

Cilindro de sección no circular

Cuadrado, diámetro corto Cuadrado, diámetro largo Hexágono, diámetro corto Hexágono, diámetro largo

5000-100000 5000-100000 5000-100000 5000-20000 20000-100000

> 0.6

0.104 0.250 0.155 0.162 0.0391

0.675 0.588 0.638 0.638 0.782

Esfera* Diámetro 1-70000 0.6-400 0.6 0.5

* Sustituir Nu por (Nu-2.0)

27

CONVECCIÓN NATURAL

La convección natural es debida a diferencias de densidad que se producen en los fluidos al calentarse por contacto con superficies más calientes. La menor densidad del fluido más caliente provoca una fuerza de flotación, resultado de la cual este fluido asciende mientras que el fluido más frío ocupa su lugar.

Las correlaciones empíricas para el cálculo de coeficientes de convección tienen la forma:

( )mPrGrau ⋅⋅==Νk

hD

Las propiedades se evalúan a la temperatura de la película:

Tf = (Tw + Tb)/2

En la siguiente tabla se indican diversos valores de las constantes a y m de la ecuación anterior (coeficientes que dependen del fluido y el sólido) para convección natural desde láminas y cilindros verticales y horizontales.

Configuración PrGr ⋅ * a m

Superficies verticales D = dimensión vertical < 1m

< 104

104 < PrGr ⋅ < 109

> 109

1.36 0.59 0.13

1/5 1/4 1/3

Cilindros horizontales D = diámetro < 20 m

< 10-5

10-5 < PrGr ⋅ < 10-3

10-3 < PrGr ⋅ < 1 1 < PrGr ⋅ < 104

104 < PrGr ⋅ < 109 > 109

0.49 0.71 1.09 1.09 0.53 0.13

0 1/25 1/10 1/5 1/4 1/3

Lámina plana horizontal 105 < PrGr ⋅ < 2 107 (FU)

2 107 < PrGr ⋅ < 3 1010 (FU) 3 105 < PrGr ⋅ < 3 1010 (FD)

0.54 0.14 0.27

1/4 1/3 1/4

* FU cara superior y FD cara inferior

28

CÁLCULO DEL COEFICIENTE GLOBAL DE TRANSFERENCIA DE CALOR

En la mayoría de loas situaciones reales, la transferencia de calor tiene lugar mediante convección y conducción simultáneamente.

Supongamos la circulación de un fluido caliente (vapor de agua) por el interior de una conducción cuya temperatura en la superficie externa es menor debido a que se encuentra en contacto directo con el aire frío. El calor se transmitirá desde el interior hacia el exterior. El flujo de calor tendrá lugar a través de tres capas, en la interior por convección, en la metálica por conducción y en la exterior por convección.

Existen tres resistencias en serie:

convección interior + conducción + convección exterior

Tint > T∞

Podemos expresar el flujo de calor que se transmite del interior al exterior en estado estacionario como:

RinRout T1

T2

Tint

T∞

RinRout T1

T2

Tint

T∞

CoordenadaRadial (r)

Tª

qr

Tint Tint> T∞

espesor conducción

T1T2T∞

Rint Rext

espesor de la capa límite ficticia interior donde se encuentra localizada toda la resistencia al flujo de calor

espesor de la capa límite ficticia exterior donde se encuentra localizada toda la resistencia al flujo de calor

0Coordenada

Radial (r)

Tª

qr

Tint Tint> T∞

espesor conducción

T1T2T∞

Rint Rext

espesor de la capa límite ficticia interior donde se encuentra localizada toda la resistencia al flujo de calor

espesor de la capa límite ficticia exterior donde se encuentra localizada toda la resistencia al flujo de calor

0

29

q = Ui Ai (Tint-T∞)

Ai = área interna de la tubería

Ui = coeficiente global de transferencia de calor basado en esa área interna

q = Uext Aext (Tint-T∞)

Aext = área externa de la tubería

Uext = coeficiente global de transferencia de calor basado en esa área externa

Da lo mismo porque en estado estacionario el flujo de calor es el mismo, está basado en el área interna o en la externa.

( )

ii AU

TTq

⋅

−= ∞

1int

ii AU ⋅1 = Resistencia global a la transmisión de calor

∑= iTOTAL RR

extextiiii AhAkespesor

AhAU ⋅+

⋅+

⋅=

⋅111

log

Ai = 2πRint L

Aext = 2πRext L

logA = 2π logR L;

int

log

lnRR

espesorRext

=

( )extextiiii Ah

qAk

espesorqAh

qAU

qTT⋅

+⋅

⋅+

⋅=

⋅=− ∞

logint

(Tint – T1) (T1 – T2) (T2 – T∞)

extext

i

log

i

i

i

AhA

AkAespesor

h1

1U

⋅+

⋅⋅

+=

30

4.4.- TRANSMISIÓN DE CALOR EN ESTADO NO ESTACIONARIO. NÚMEROS ADIMENSIONALES. LONGITUDES CARACTERÍSTICAS. RELACIÓN DE SUCEC.

La transmisión de calor en estado no estacionario es aquella etapa del proceso de calentamiento o del de enfriamiento en la que la temperatura cambia con el tiempo. Durante este período, la temperatura es función de la posición y del tiempo. Ésta es la diferencia con respecto al estado estacionario, en el que la temperatura sólo varía con la posición. Durante el intervalo inicial de estado no estacionario tienen lugar importantes reacciones en los alimentos. En el procesado térmico, el estado no estacionario puede incluso predominar durante el proceso; por ejemplo, en los procesos de pasterización y esterilización el período no estacionario representa una parte muy importante del proceso.

______________________________________________________________________

Pasteurización: tratamiento térmico que se aplica a la destrucción de microorganismos y la inactivación de enzimas de algunos alimentos líquidos. Se efectúa de dos formas:

Lenta: a 63 ºC durante 3 minutos en recipientes abiertos con agitación

Rápida: a 72 ºC durante 15 segundos en cambiadores de placas o tubos

Esterilización: tratamiento físico o químico que destruye o elimina todos los microorganismos viables, generalmente se refiere a un calentamiento, aunque hay otras técnicas como radiaciones, filtración o el empleo de agentes químicos. Estrictamente no se puede lograr una esterilización total de un alimento ya que siempre existe la posibilidad de que sobrevivan las esporas de algunos microorganismos termo resistentes, por esto se usa el término esterilización comercial: tratamiento térmico para destruir casi todos los microorganismos, principalmente los patógenos, productores de toxinas y los que deterioran el producto, aunque pueden quedar otros presentes incapaces de reproducirse en las condiciones de actividad acuosa, pH, potencial de óxido-reducción, temperatura, concentración de sales y de conservadores, etc. que prevalecen en el alimento.

31

Esterilización en frío: proceso de destrucción de microorganismos con gases (óxidos de propileno y etileno), por ultrafiltración, o radiaciones electromagnéticas nucleares (radapertización); el producto no sufre daños térmicos con estos métodos, por lo que se usa para especias y materiales termosensibles.

Esterilización de la leche: El tratamiento térmico supera la temperatura de ebullición. Normalmente 110 - 115 C durante 15 minutos (esterilización de la leche una vez envasada).

Leche U.H.T.: (Ultra High Temperature).Sometida a un tratamiento por calor, llamado "alto-corto".Se llegan a alcanzar temperaturas de 150º C durante 1-2 seg. A continuación enfriada y envasada en condiciones asépticas.

Por ello, el análisis de la variación de la temperatura con el tiempo durante los períodos de estado no estacionario es esencial en el diseño de esos procesos.

Dado que la temperatura es función de dos variables independientes, tiempo y posición, la siguiente ecuación diferencial en derivadas parciales es la que describe la situación para el caso unidimensional (en una sola dirección, x)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

⋅⋅

=∂∂

2

2

xT

Cpk

tT

ρ

En las tres direcciones del espacio:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

⋅⋅

=∂∂

2

2

2

2

2

2

zT

yT

xT

Cpk

tT

ρ

donde T es la temperatura (ºC), t es el tiempo (s) y x la posición (m). La coombinación de propiedades k/ρCp se denomina difusividad térmica, α (m2/s).

Para resolver esta ecuación es necesario el uso de matemáticas avanzadas. Myers (1971) resolvió esta ecuación para posibles situaciones habituales en transmisión de calor en estado no estacionario. Es importante destacar que la solución analítica de esta ecuación sólo es posible para algunas geometrías sencillas, como la esfera, el cilindro infinito o la lámina infinita.

32

Un cilindro infinito es un cilindro de diámetro finito y longitud infinita; una lámina infinita es una lámina rectangular con una dimensión finita (espesor) y los otros cuatro lados de longitud infinita.

Los números adimensionales que se van a utilizar en transferencia de calor en estado no estacionario son dos:

L’ = Longitud característica (volumen/área) Lámina plana: L’ =espesor/2 Cilindro: L’ = r/2 Esfera: L’ = r/3

Importancia Relativa de las Resistencia Interna y Externa a la Transmisión de Calor

Sea un objeto sumergido en un fluido. Si el fluido está a una temperatura diferente de la temperatura inicial del sólido, la temperatura en el interior de éste aumentará o disminuirá hasta alcanzar un valor en equilibrio con la temperatura del fluido.

Conforme el tiempo aumenta, el flujo de calor del objeto caliente al fluido frío origina los perfiles de temperatura en el sólido.

khL'

h/1k/'L

convecciónpor calor de transfla a aresistenciconducciónpor calor de transfla a aresistenciBiotºNBi ====

2L'tFourierºNFo α

==

Ts

Tb

Espesor de la capa límite ficticia térmica debida a la resistencia a transferencia de calor por convección externa

convecciónconducción

t

Ts

Tb

Espesor de la capa límite ficticia térmica debida a la resistencia a transferencia de calor por convección externa

convecciónconducción

t

Ts

Tb

r

t = 0

Tsólido > Tfluido

Ts

Tb

r

t = 0

Tsólido > Tfluido

33

Durante el período de calentamiento en estado no estacionario la temperatura en el interior del sólido (inicialmente a una temperatura uniforme) variará con la posición y el tiempo. Considerando el centro del sólido como el punto de interés, el flujo de calor desde el fluido hacia ese punto encontrará dos resistencias en serie: resistencia al flujo de calor por convección en la capa del fluido que rodea al sólido en sus inmediaciones y resistencia al flujo de calor por conducción en el interior del sólido. El número de Biot nos da la relación entre estas dos resistencias:

CASO 1.- Para números de Biot menores de 0.1 es despreciable la resistencia interior a la transmisión de calor, o sea, k es mucho mayor que h. (k > h)

CASO 2.- Para números de Biot mayores de 40 la resistencia superficial a la transmisión de calor, es despreciable, en otras palabras, el valor de h es considerablemente mayor que el de k. (h > k)

CASO 3.- Para valores del número de Biot entre 0.1 y 40 hay que considerar ambas resistencias, interior y exterior, a la transmisión de calor.

Si está condensando vapor de agua sobre un tallo de brócoli, la resistencia exterior a la transmisión de calor será despreciable; al contrario, en una lata que contiene zumo de tomate caliente enfriándose en una corriente de aire frío habrá que considerar las resistencias exterior e interior a la transmisión de calor.

khL'

h/1k/'L

convecciónpor calor de transfla a aresistenciconducciónpor calor de transfla a aresistenciBiotºNBi ====

Ts

Tb

Toda la resistencia en el exterior

extext AhAU ⋅≅

⋅11

Bi < 0.1k > h

Toda la resistencia en el interior

Ake

AU ext ⋅≅

⋅1

Bi > 40h > k

Resistencia en interior y exterior

Ake

AhAU extext ⋅+

⋅=

⋅11

40 > Bi > 0.1

Ts

Tb

Toda la resistencia en el exterior

extext AhAU ⋅≅

⋅11

Bi < 0.1k > h

Toda la resistencia en el interior

Ake

AU ext ⋅≅

⋅1

Bi > 40h > k

Resistencia en interior y exterior

Ake

AhAU extext ⋅+

⋅=

⋅11

40 > Bi > 0.1

34

CASO 1. Resistencia interna a la transmisión de calor despreciable. Resistencia a la transferencia de calor por convección en la superficie externa como controlante. k > h ⇒ Bi < 0.1

Para números de Biot menores de 0.1 la resistencia interna a la transmisión de calor es despreciable. Esta condición se da en la mayoría de los procesos de calentamiento y enfriamiento en los que intervienen objetos metálicos. Esto no sucede con alimentos sólidos, pues su conductividad térmica suele ser relativamente baja.

Una resistencia interna a la transmisión de calor despreciable también significa que la temperatura es uniforme en el interior del sólido. Esta condición se cumple en cuerpos con conductividad térmica alta, en los que el calor se transmite instantáneamente, de forma que no existen gradientes de temperatura en el interior del sólido. Otra situación posible es un tanque agitado conteniendo un alimento líquido, en el que no hay gradientes de temperatura debido a la buena mezcla del líquido.

En este caso el gradiente de temperaturas tiene lugar en la capa límite ficticia térmica. El sólido tiene la misma temperatura en cualquier punto porque su k es alta pero ésta va cambiando con el tiempo como consecuencia de la transferencia de calor al exterior (o desde el exterior). Es decir en este caso, la temperatura del cuerpo no varía con la posición, sólo con el tiempo.

Sea un objeto a temperatura uniforme (alta, Ts) sumergido en un fluido frío a una temperatura Tf.

caliente objeto el por cedido)( qTTAhq fsextextotransmitid =−=

El balance de calor en estado no estacionario queda como:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⋅⋅=

dtdTCpVq s

sss ρsólido el

por cedido

Vs ρs =Wsólido

El diferencial tiene signo negativo porque conforme aumenta el tiempo, la temperatura del objeto disminuye.

Igualando:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⋅⋅=−

dtdTCpVTTAh s

sssfsextext ρ)(

35

dtCpV

AhTT

dT

sss

extext

fs

s

⋅⋅=

−−

ρ)(

Integrando desde t=0 hasta t:

tdCpV

AhTTTT t

tsss

extext

fs

fs ∫ = ⋅⋅−=

−

−0

0)(ln

ρ

FoBit

CpLh

tCpV

Ah

fs

fs eeeTTTT

ss

ext

sss

extext

⋅−⋅

⋅⋅−⋅

⋅⋅−

===−

− ρρ '

0)(

FoBieT

T ⋅−=Δ

Δ

max

Si por el contrario, el objeto a una temperatura baja se sumerge en un fluido caliente (cuya temperatura se mantiene constante):

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⋅=−

dtdTCpVTTAh s

ssssfextext ρ)(

dtCpV

AhTT

dT

sss

extext

sf

s

⋅⋅=

− ρ)(

tdCpV

AhTTTT t

tsss

extext

sf

sf ∫ = ⋅⋅−=

−

−0

0)(ln

ρ

FoBit

CpLh

tCpV

Ah

sf

sf eeeTTTT

ss

ext

sss

extext

⋅−⋅

⋅⋅−⋅

⋅⋅−

===−

− ρρ '

0)(

FoBieT

T ⋅−=Δ

Δ

max

khL'Bi = 2L'

tFo α=

ρα

⋅=

Cpk

tL

hL

⋅⋅⋅

=⋅⋅

⋅⋅=⋅

'Cp'Cptk

khL'FoBi 2 ρρ

36

CASO 2. Resistencia externa a la transmisión de calor despreciable. Resistencia a la transferencia de calor por conducción como controlante.

h > k ⇒ Bi > 40

La solución analítica es posible para geometrías sencillas. Las curvas representadas en las gráficas ΔT/ΔTmax vs Fo corresponden con dichas soluciones. La curva correspondiente a k/hL’ =0 (Bi = hL’/k = ∞) representa la situación de resistencia exterior a la transmisión de calor despreciable.

CASO 3. Resistencia interna y externa a la transmisión de calor no despreciables. Ambas resistencias controlan.

0.1 < Bi < 40

La solución analítica es compleja incluso para formas geométricas sencillas, como la esfera, el cilindro infinito y la lámina infinita. La solución de esos casos se ha representado en diagramas ΔT/ΔTmax vs Fo para distintos valores del número de Biot.

Las gráficas utilizadas para resolver problemas de transferencia de calor en estado no estacionario son aplicables a geometrías sencillas: lámina plana, cilindro, esfera.

Como variables independientes:

2'LtFo ⋅

=α instante de tiempo

kLhBi '⋅

= resistencia controlante

Rr

Ll , posición del punto

Como variable calculada: maxTT

ΔΔ siendo maxTΔ la calculada par t=0

37

OBJETOS FINITOS

Para calcular la variable maxTT

ΔΔ en un objeto tridimensional (objeto

finito) se usa la relación de SUCEC (1975):

zyxobjetoT

TT

TT

TT

Tmaxmaxmaxmax Δ

Δ⋅

ΔΔ

⋅Δ

Δ=

ΔΔ

Supongamos que tenemos un cilindro finito. Para calcular en número de Biot y el de Fourier necesito establecer una dimensión característica. Pero, por tratarse de un cilindro finito, tengo dos superficies de exposición: la superficie lateral y las dos superficies circulares de las tapas del cilindro (2 direcciones: axial y radial).

Puedo asimilar un cilindro finito como la intersección de un cilindro infinito y una lámina infinita: Myers (1971):

initaalá

initocilindro

finitocilindro T

TT

TT

T

infminmaxinfmaxmax Δ

Δ⋅

ΔΔ

=Δ

Δ

La transmisión de calor en dirección radial es similar a la que tendría lugar en un cilindro infinito, es decir la transmisión de calor hacia el centro geométrico tiene lugar sólo en dirección radial, asumiendo las bases del cilindro demasiado alejadas para considerar su efecto en la transmisión de calor.

La transmisión de calor a través de las bases del cilindro es similar a la que tendría lugar en una lámina infinita. Si se considera el cilindro finito como una lámina infinita se explicará el flujo de calor desde las bases (dirección axial) mientras que se ignorará el flujo de calor radial.

38

lyxfinitocilindro T

TT

TT

Tmaxmaxmax Δ

Δ⋅

ΔΔ

=Δ

Δ

x = mitad del espesor de la lámina (l/L =0)

y = centro del cilindro infinito (r/R = 0)

La transmisión de calor hacia un objeto finito de forma cilíndrica, como por ejemplo un bote (como los utilizados habitualmente para esterilizar alimentos), requiere la utilización de diagramas temperatura-tiempo tanto del cilindro infinito como de lámina infinita. Entonces si se quiere conocer la temperatura en el centro geométrico de un cilindro finito en un determinado instante deben realizarse los pasos siguientes:

A. Cilindro infinito:

1.- Calcular el número de Fourier usando r/2 como longitud característica.

2.- Calcular el número de Biot usando r/2 como longitud característica.

3.- Determinar maxTT

ΔΔ del cilindro infinito usando la

gráfica ΔT/ΔTmax vs Fo correspondiente.

Lámina infinitade espesor 2LL caract = 2L/2=L

Espesor = 2L

D

Cilindro infinitode diámetro DL caract = D/4

Cilindro finito deAltura = L Diámetro = D

y

z

x

Lámina infinitade espesor 2LL caract = 2L/2=L

Espesor = 2L

D

Cilindro infinitode diámetro DL caract = D/4

Cilindro finito deAltura = L Diámetro = D

y

z

x

39

B. Lámina infinita:

1.- Calcular el número de Fourier usando espesor/2 como longitud característica.

2.- Calcular el número de Biot usando espesor/2 como longitud característica.

3.- Determinar maxTT

ΔΔ de la lámina infinito usando la

gráfica ΔT/ΔTmax vs Fo correspondiente

La relación entre las temperaturas para un cilindro finito se calcula mediante:

initaalá

initocilindro

finitocilindro T

TT

TT

T

infminmaxinfmaxmax Δ

Δ⋅

ΔΔ

=Δ

Δ

si se conocen la temperatura del fluido y la temperatura inicial del sólido, de puede calcular la temperatura en el centro del cilindro finito.

El mismo método puede utilizarse para calcular la temperatura en el centro de un objeto con forma de ladrillo (un cubo o un paralepípedo):

alturainitaalá

anchurainitaalá

longitudinitaalá

finitodoparalepípe T

TT

TT

TT

T

,infminmax,inf

minmax,infminmaxmax Δ

Δ⋅

ΔΔ

⋅Δ

Δ=

ΔΔ

Un paralepípedo finito es el resultado de la intersección de 3 láminas infinitas.

40

PROBLEMAS DE TRANSMISIÓN DE CALOR. BLOQUE IV.

1.- Una lámina de corcho de 10 cm de espesor tiene una cara a –12 ºC y la otra a 21 ºC. Cuál es la velocidad de transmisión de calor a través de 1 m2 de pared si la conductividad térmica media en ese intervalo de temperaturas vale 0.042 J/m s ºC.

Solución: 13.86 W; 13.86 W/m2

2.- Una cara de una plancha de acero inoxidable con un espesor de 1 cm se mantiene a 110 ºC, mientras que la otra cara está a 90 ºC (según la figura adjunta). Suponiendo condiciones de estado estacionario, calcular el flujo de calor a través de la plancha. La conductividad térmica del acero inoxidable es 17 W/m ºC.

Solución: 34000 W/m2

3.- La pared del horno de panadería está hecha con ladrillo refractario de 10 cm de espesor cuya conductividad térmica es de 0.22 J/m s ºC. En ella hay una serie de piezas de acero cuya área transversal total representa el 1% del área total de la pared interna del horno, y que tienen una conductividad térmica de 45 J/m s ºC. Calcular:

a) Calor transmitido a través de la pared por el ladrillo y el acero.

b) Las pérdidas de calor por cada m2 de pared del horno, si la parte interior de la pared está a 230 ºC y la pared exterior a 25 ºC.

Solución: a) qladrillo/Ai = 446.49 W/m2; qacero/Ai = 992.5 W/m2 b) Pérdidas de calor: 1369 W/m2

90 ºC

110 ºC

1 cm

x

90 ºC

110 ºC

1 cm

x

41

4.- Una tubería de acero (conductividad térmica = 43 W/m ºC) que tiene un espesor de 2 cm y un radio interno de 6 cm se utiliza para transportar vapor de agua desde una caldera a un intercambiador de calor que está a una distancia de 40 m. La temperatura en la superficie interna del tubo es de 115 ºC y en el exterior de 90 ºC. a) Calcular la pérdida de calor hacia los alrededores suponiendo estado estacionario. b) ¿Qué espesor de aislante (k = 0.035 W/m ºC) habría que poner alrededor de la tubería para que en la superficie sólo hubiera una temperatura de 25 ºC?

Nota.- La pérdida de calor máxima autorizada por motivos económicos es de 1 kW

Solución: a) 939 kW b) 9.65 cm 5.- La pared (3 m x 6 m) de un tanque de almacenamiento de hormigón (conductividad térmica = 1.37 W/m ºC) tiene un espesor de 15 cm. Se debe colocar un aislante para que el caudal a través de la pared sea igual o inferior a 500 W (ver figura). Si la conductividad térmica del aislante es de 0.04 W/m ºC, calcular el espesor del aislante requerido. La temperatura de la superficie exterior de la pared es de 38 ºC y la pared interior de 5 ºC.

Solución: 0.043 m

6.- Se desea limitar las pérdidas de calor con una pared de espuma de poliestireno cuyo coeficiente de transmisión de calor es 8 J/m s ºC. La temperatura a una lado de la pared es de 20 ºC, y al otro lado –19 ºC ¿Cuál es el espesor necesario de poliestireno? qmax admitido = 1 kW/m2.

Solución: 31.2 cm

7.- La pared de una cámara frigorífica está formada por 11 cm de ladrillo en el exterior, 7.5 cm de cemento y por último 10 cm de corcho. La temperatura media en el interior del frigorífico es de –18 ºC, y la temperatura en la superficie exterior es de 18 ºC. Calcular a) la velocidad de transmisión de calor a través de la pared, y b) la temperatura de la interfase entre las capas de cemento y corcho. Las conductividades térmicas del ladrillo, cemento y corcho son, respectivamente, 0.69, 0.76 y 0.043 J/m s ºC

Solución: a) 13.93 W/m2, b) 14.4 ºC

Ais

lan

te

Hormigón

38 ºC5 ºC

500 W

? 15 cm

Ais

lan

te

Hormigón

38 ºC5 ºC

500 W

? 15 cm

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8.- Se desea utilizar una tubería de acero inoxidable (k = 17 W/m ºC) para transportar un aceite caliente. La temperatura en la superficie interior ha de ser 130 ºC, siendo la tubería de 2 cm de espesor y 8 cm de diámetro interior. La tubería está aislada con una capa de 0.04 m de espesor de un material aislante de conductividad térmica 0.035 W/m ºC, siendo la temperatura en la cara exterior de 25 ºC. Calcular la temperatura en la superficie de contacto entre el acero y el aislante suponiendo estado estacionario.

Solución: 129.8 ºC

9.- Se calienta una disolución de azúcar en un recipiente con camisa calefactora construido con acero inoxidable de 1.6 mm de espesor. El calor procede de la condensación de vapor de agua a 200 kPa en la camisa. Los coeficientes de transmisión superficiales de vapor condensante y de la disolución de azúcar son, respectivamente, 12000 y 3000 J/m2 s ºC, y la conductividad térmica del acero inoxidable 21 W/m ºC. Si la superficie de transmisión de calor es de 1.4 m2 y la temperatura de la disolución de azúcar de 83 ºC, calcular la cantidad de vapor de agua que se condensa por minuto. (Suponer Aext = Aint + 10% Aint).

Solución: 2.93 kg/min 10.- Por el interior de una tubería horizontal (diámetro interno = 2.5 cm) circula agua con un caudal de 0.02 kg/s y se calienta desde 20 hasta 60 ºC. La temperatura de la superficie interior de la tubería es de 90 ºC. Estimar el coeficiente de transmisión de calor por convección si la tubería tiene una longitud de 1 m.

Solución: 287 W/m2 ºC 11.- Calcular el coeficiente de transmisión de calor por convección cuando aire a 90 ºC pasa a través de un lecho de guisantes. Suponiendo que la temperatura de la superficie del guisante es de 30 ºC y el diámetro de cada guisante es de 0.5 cm. La velocidad del aire a través del lecho es de 0.3 m/s.

Solución: 37.4 W/m2 ºC

12.- Estimar el coeficiente de transmisión de calor por convección, para la pérdida de calor desde una tubería horizontal de 10 cm de diámetro por cuyo interior circula vapor de agua. La temperatura de la tubería sin aislar es de 130 ºC y la temperatura del aire es de 30 ºC.


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13.- Calcular la velocidad de pérdida de calor por convección experimentada por las paredes laterales de un recipiente de cocina con forma de cilindro vertical de 1.2 m de diámetro y 0.9 m de altura. La parte exterior del aislamiento del recipiente en contacto con el aire está a 49 ºC y la temperatura del aire es de 17 ºC.

Solución: 530 W

14.- Calcular el coeficiente de transmisión de calor superficial de un puré de legumbres que está fluyendo a 3m/min sobre una superficie plana de 0.9 m de longitud y 0.6 m de ancho, si se está condensando vapor de agua en la otra cara de la lámina de forma que la superficie que está en contacto con el puré está a 104 ºC. Suponer que las propiedades del puré de legumbres son: ρ = 1040 kg/m3, Cp = 3980 J/kg ºC, μ = 0.002 N s/m2, k = 0.52 J/m s ºC.


15.- ¿Cuál será la velocidad con que pierde calor el recipiente de cocina del problema 13 si se provoca una corriente de aire de forma que el aire se mueve alrededor del recipiente con una velocidad de 61 m/min.

Solución: 461 W

16.- Un horno tiene sus paredes construidas de un determinado tipo de ladrillo de 15 cm de espesor. Si el coeficiente de convección de la pared al aire es de 11 Kcal/m2 h ºC, la temperatura de la cara interior del horno 700 ºC y la del aire 20 ºC, calcular:

a) Pérdida de calor por hora y m2 de superficie

b) Temperatura de la cara exterior del horno en estas condiciones

Nota.- Conductividad del ladrillo: 0.25 kcal/m ºC h

Solución: a) q/A = 4111459 J/h m2 b) 109.3 ºC

17.- Calcular los valores respectivos de U para una pared formada por 10 cm de ladrillo de conductividad térmica 0.7 J/m s ºC y una lámina de aluminio de 1.3 mm puesta en serie con el ladrillo, y que tiene una conductividad de 208 J/m s ºC. Los coeficientes individuales de transmisión de calor son de 9.9 y 40 J/m2 s ºC.


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18.- Una tubería de diámetro interno 2.5 cm es utilizada para tratar un fluido alimentario a 80 ºC. El coeficiente individual de transmisión de calor por el lado interno del tubo es de 10 W/m2 ºC. La tubería tiene un espesor de 0.5 cm, está constituida en acero (k = 43 W/m ºC). La temperatura ambiente en el exterior es de 20 ºC. El coeficiente individual de transmisión de calor para el lado externo de la tubería es de 100 W/m2 ºC. Calcular a) la transferencia de calor (pérdida de calor) y b) el coeficiente global de transmisión de calor por cada metro de tubería, utilizando el área externa y el área interna de la tubería.

Solución: Área interna: a) 43.9 W, b) 9.325 W/m2 ºC, Área externa: a) 43.9 W, b) 6.66 W/m2 ºC 19.- a) Calcular el coeficiente global de transmisión de calor para una tubería de diámetro nominal 1’’ (Cat. 40) utilizada en un intercambiador de calor multitubular cuyo coeficiente individual de transmisión de calor interior es de 568 W/m2 K y exterior de 5678 W/m2 K. La pared del tubo tiene una constante de conductividad de 55.6 W/m ºC. b) Si la temperatura del fluido en el interior del tubo es 80 ºC y la exterior es 120 ºC, ¿cuál es la temperatura en la pared interna del tubo?

Solución: a) Ui = 511.43 W/m2 ºC; b) 116 ºC

20.- Un fluido circula por el interior de un tubo de porcelana de 3 cm de diámetro interno y 1 cm de espesor, a una temperatura tal que la cara interna del tubo se encuentra a 110 ºC. La pared externa se mantiene a 30 ºC refrigerada por aire. Calcular:

a) calor perdido por metro lineal y hora

b) Id. Si el tubo está recubierto por una capa de amianto de 2 cm de espesor, manteniendo la temperatura de la capa externa del amianto a 30 ºC y la temperatura de la cara interna de la porcelana a 110 ºC

c) La temperatura de la pared externa de la porcelana en las condiciones del apartado anterior.

Nota.- kporcelana = 1.3 kcal/m ºC h

kamianto = a 0 ºC 0.130 kcal/m ºC h

a 100 ºC 0.165 kcal/m ºC h

Solución: a) 1279.5 kcal/h; b) 118.32 kcal/h; c) 102.6 ºC

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21.- Un alimento líquido (Cp = 4.0 kJ/kg ºC) fluye por la tubería interior de un cambiador de calor de tubos concéntricos. El alimento entra al intercambiador a 20 ºC y sale a 60 ºC. El caudal másico de alimento es de 0.5 kg/s. Por la sección anular del cambiador circula agua, en contracorriente con el alimento, que entra al cambiador a 90 ºC; su caudal másico es de 1kg/s. El calor específico medio del agua es de 4.18 kJ/kg ºC. Suponer condiciones en estado estacionario. En estas condiciones calcular:

a) La temperatura de salida del agua del cambiador de calor.

b) La diferencia de temperatura media logarítmica.

c) La longitud del cambiador si el coeficiente global de transmisión de calor es 2000 W/m2 ºC y el diámetro interno de la tubería interior es 5 cm.

d) Repetir los cálculos si el cambiador es de flujo en corrientes paralelas.

Solución: a) 70.9 ºC, b) 39.5 ºC, c) 6.45 m, d) 70.9 ºC, 31.8 ºC, 8m

22.- Un vapor de agua a una presión de 143.27 kPa, condensa en el espacio anular exterior de un intercambiador concéntrico de 5 m de longitud. El líquido alimenticio fluye con un caudal de 0.5 kg/s en la tubería interna. El tubo interno tiene un diámetro interno de 5 cm. El calor específico del líquido alimenticio es de 3.9 kJ/kgºC. La temperatura del líquido a la entrada es de 40ºC y la de salida es de 80ºC.

a) calcular el coeficiente global promedio de transferencia de calor

b) si la resistencia a la transferencia de calor causada por la tubería de acero interior es despreciable y el coeficiente individual debido al vapor es muy elevado (se aproxima a infinito), calcular el coeficiente individual para el líquido alimenticio que circula por la tubería interior.

Solución: a) Ui = 2104.7 W/m2 ºC b) hi = 2104.7 W/m2 ºC

23.- Calcular el calor emitido por 100 m2 de una superficie de hierro pulida (e = 0.06). La temperatura de la superficie es de 37 ºC.

Solución: 3141 W

24.- Calcular el tiempo necesario para que la temperatura en el centro de una manzana de 6 cm de diámetro mantenido en el seno de una corriente de agua a 2 ºC alcance los 3 ºC. La temperatura inicial (uniforme) de la manzana es de 15 ºC. El coeficiente h en el agua es de 50 W/m2 ºC. Las propiedades de la manzana son: k = 0.355 W/m ºC, Cp = 3.6 kJ/kg ºC, ρ = 820 kg/m3

Solución: 1.09 h

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25.- Calcular la temperatura del zumo de tomate (ρ = 980 kg/m3) en un recipiente semiesférico con una camisa de vapor después de 5 min de calentamiento (ver figura). El radio del recipiente es de 0.5 m. El coeficiente de transmisión de calor por convección en la camisa de vapor es de 5000 W/m2 ºC. La temperatura de la superficie interna del recipiente es 90 ºC. La temperatura inicial del zumo de tomate es de 20 ºC. Suponer que el calor específico del zumo de tomate es de 3.95 kJ/kg ºC.

Solución: 83.3 ºC

26.- En un tanque discontinuo, se ha de calentar un líquido de 20 a 80 ºC en un sistema de calefacción en el que se puede suponer un coeficiente global de transmisión de calor de 400 kcal/h m2 ºC utilizando como agente de calefacción vapor de agua saturado a 120 ºC. La superficie de calefacción es de 2 m2 y la masa de líquido en el tanque 200 kg. El calor específico es 1 kcal/kg ºC. Calcular el tiempo necesario para calentar cada carga.

Solución: 13.74 min

27.- Calcular la temperatura en el centro geométrico de un producto alimenticio contenido en una lata inmersa en agua en ebullición a 100 ºC durante 30 minutos. La temperatura inicial es de 35 ºC (del alimento).

Datos.- k alimento = 0.34 W/m ºC

Cp alimento = 3.5 kJ/kg ºC

ρ alimento = 900 kg/m3

h = 2000 W/m2 ºC

Dimensiones de la lata: Diámetro: 3 3/16’’; Altura: 4 7/16’’

Solución: 49.6 ºC

VaporVapor

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28.- Un método para preparar cacahuetes tostados “dietéticos” (sin grasas) consiste en sumergir una cesta de alambre de cacahuetes pelados crudos en un recipiente de manitol y sorbitol fundidos, en vez de aceite caliente. Cuando los cacahuetes están bien tostados se separan, se escurren; se salan ligeramente y se empaquetan.

Los cacahuetes inicialmente se encuentran a 15 ºC y se introducen a 165 ºC.

a) calcular el tiempo para que la temperatura interior sea de 105 ºC

b) Temperatura en la superficie de los cacahuetes

Datos: cacahuetes esféricos con D = 7.5 10-3 m

Kcacahuete = 0.5 W/m K

ρcacahuete = 1150 kg/m3

Cpcacahuete = 1700 J/kg K

h = 80 W/m2 K

Solución: a) 36.6 s; b) 120 ºC

29.- Se sumerge un filete de bacalao de dimensiones 6 x 1 x 2 cm en aceite caliente a 180 ºC. El filete ha estado en el frigorífico y se encuentra a una temperatura de 0 ºC. Calcular: a) la temperatura en el punto central después de 5 min, b) cuánto calor ha adquirido el filete en este tiempo.

Datos k bacalao = 0.5 W/m K, α bacalao = 0.17 10-6 m2/s

Solución: a) 151 ºC

1 cm

6 cm2 c

m

h = 100 W/m2 K

h = 150 W/m2 K

x

y

z 1 cm

6 cm2 c

m

h = 100 W/m2 K

h = 150 W/m2 K

x

y

z

BloqueIV Transmisi n de Calor DOC 09 10

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