BLOQUE 4Saberes Conocimientos HabilidadesActitudes y valores SUGERENCIA DE EVIDENCIAS DE APRENDIZAJEUNIDAD DE COMPETENCIARealiza transformaciones algebraicas IIdentifca las operaciones de suma, resta y multiplicacin de polinomios en una variable.Identifca el producto de binomios, aplicando patrones de productos notables.Comprende las tcnicas de extraccin de factor comn simple y por agrupacin.Comprende las tcnicas de factorizacin basadas en productos notables de diferencia de cuadrados y de trinomios cuadrados perfectos.BLOQUE 4Saberes Conocimientos HabilidadesActitudes y valores SUGERENCIA DE EVIDENCIAS DE APRENDIZAJEUNIDAD DE COMPETENCIAEjecuta sumas, restas y multiplicaciones con polinomios en una variable.Emplea productos notables para determinar y expresar el resultado de multiplicaciones de binomios.Formula expresiones en forma de producto, utilizando tcnicas bsicas de factorizacin.Utiliza los productos notables de diferencia de cuadrados, y de trinomios cuadrados perfectos.Establece relaciones entre procesos inversos al multiplicar y factorizarValora la conveniencia de anticipar resultados al multiplicar binomios, mediante patrones establecidos.Refexiona respecto a la ventaja de realizar diversas transformaciones algebraicas para simplifcar o interpretar resultados.Propone maneras creativas de solucionar un problema.Reconoce sus errores en los procedimientos algebraicos y busca solucionarlos.Construye e interpreta modelos aritmticos, algebraicos y grfcos aplicando las propiedades de los nmeros reales y expresiones algebraicas, relacionando magnitudes constantes y variables, y empleando las literales para la representacin y resolucin de situaciones y/o problemas algebraicos, concernientes a su vida cotidiana y escolar, que le ayudan a explicar y describir su realidad.Identifca las caractersticas presentes en tablas, grfcas, mapas, diagramas o textos, provenientes de situaciones cotidianas y los traduce a un lenguaje algebraico.Efecta sumas, restas y multiplicaciones con polinomios en una variable.Obtiene el producto de binomios conjugados; el producto de binomios con un trmino comn; eleva un binomio al cuadrado.Factoriza expresiones cuyos trminos poseen un factor comn numrico, un factor con variables, o un factor binomio.Agrupa trminos para obtener un factor comn, o formar diferencia de cuadrados, o formar trinomios cuadrados perfectos.Factoriza usando una o varias tcnicas mediante agrupacin de trminos.Resuelve o formula problemas de su entorno u otros mbitos; interpreta soluciones y argumenta stas utilizando distintas formas de comunicacin y representacin matemtica.138B4B4INTRODUCCINEn este bloque iniciamos propiamente el anlisis de la rama de las matemticas conocida como lgebra.lgebra es la rama de las matemticas que emplea nmeros, letras ysignosparageneralizarlasdistintasoperacionesaritmticas. Estudia las estructuras, las relaciones y las cantidades.Iniciaremosconelanlisisdelosconceptosbsicosparaunaadecuada comprensin de la misma.1. Calcula el permetro de la siguiente fgura. 2. Calcula el rea de la siguiente fgura. 3.Encuentraunmodelomatemtico(frmula)paracalcularelreadelasiguiente fgura. Evaluacin diagnsticaB4139B4Realiza transformaciones algebraicas I4.Realiza las siguientes operaciones.3(4 + 8 6) + 2[3 4( 5 3)] = 345623= 4096= 6423( ) =PolinomiosConsidera las siguientes situaciones y responde lo que se te indica.1. Para su festa de graduacin, los alumnos de tercer grado elaboran tortas para su ventadentrodelacafeteradelaescuelayutilizan$120.Sivendenlastortasa $10: a) Encuentra un modelo que represente las ganancias de los alumnos en relacin con el nmero de tortas vendidas.b) Tienen ganancias si venden solamente 6 tortas?c) Cuntas tortas deben vender para recuperar la inversin?d) Si prepararon 30 tortas, cul es la ganancia mxima que pueden obtener?2.Durante sus vacaciones de verano, Roberto trabaja vendiendo libros casa por casa. Su salario es $80 diarios ms $50 por cada libro vendido. a)Encuentra un modelo que represente las ganancias de Roberto en relacin con el nmero de libros vendidos. b) Cul es su salario de un da si vende 12 libros?3.Carlostieneunterrenocomoelmostradoenlasiguientefgura.Encuentraun modelo para calcular el permetro y hallarlo cuando x toma el valor de 4 m.4.Encuentra un modelo para calcular el rea de la siguiente fgura y calclala cuando x vale 8 m.Actividad introductoria140B4B4 EnelbloqueIiniciamoselestudiodelasexpresionesalgebraicascomo modelosmatemticosycalculamoselvalornumricodetalesexpresiones. Analizaremosahorauntipoparticulardeexpresinalgebraicallamado polinomio y conoceremos sus elementos. La expresin algebraica ms simple es:Trmino o monomio: Es una expresin algebraica que no contiene operaciones ni de suma ni de resta.Por ejemplo, son trminos o monomios:3x, -6xy, r2, 5x2y3,3 xLos elementos de un trmino o monomio son:CONCEPTOS BSICOS B4141B4Realiza transformaciones algebraicas IUn trmino puede tener una, dos o ms variables y cada una de ellas tener el mismo exponente o exponentes diferentes. En particular, aquel trmino que no contiene variables, se le llama trmino independiente.A la parte literal tambin se le llama factor literal.Todo trmino tiene un grado.Grado de un trmino en una variable es el exponente de dicha variable.Grado de un trmino es la suma de los grados de cada una de las variables que contiene.Por ejemplo -6x2y3 es un trmino de 2 grado en x, es de 3 grado en y, y en general, es un trmino de 5 grado. Un polinomio es una expresin algebraica que consta de dos o ms trminos separados por operaciones de suma o resta. Por ejemplo:10x 120,50x + 80,x3 + 3x2 6,133462 2x xy y - +Siunpolinomiotienedostrminossellamabinomio,sitienetressellama trinomio y si tiene cuatro o ms, se generaliza a polinomio. Un polinomio puede tener una o ms variables, y tiene tambin un grado.El grado de un polinomio en una variable es el mayor exponente de esa variable dentro del polinomio.El grado de un polinomio es igual al grado del trmino de mayor grado dentro de l.Porejemplo,elsiguientepolinomiotienecuatrotrminos(unodeellos independiente) y tres variables:x x y z4 2 32 4 + - +El primer trmino es de 4 grado, el segundo de 5 grado, el tercer trmino de 1 grado y el cuarto trmino no tiene grado por ser un trmino independiente.1 Por lo tanto, este polinomio es de:4 grado en x3 grado en y1 grado en z5 grado en generalEn los siguientes polinomios se indica el grado conrespecto a cada una de sus variables.1 Algunos autores le llaman grado cero al grado del trmino independiente.142B4B41. 5a5b 3a3b2 + 10ab3 + 5a 7b es un polinomio de grado 5 respecto de a, y de grado 3 respecto de b.2. 3 x2y4 + 7x2y2 + 5xy 1 es un polinomio de grado 2 respecto de x, y de grado 4 respecto de y.3.3m4n3 + 13m3n2 + 3m2n 6m + 7 es un polinomio de grado 4 respecto de m, y de grado 3 respecto de n.En los siguientes polinomios se indica el grado respecto a la variable.1. p(x) = x2 + 5x + 6 es un polinomio de grado 2, o de 2 grado.2. r(x) = 2x5 + 3x4 7x3 + 3x2 + 4x 8 es un polinomio de grado 5.3. q(x) = 3x + 1 es un polinomio de grado uno, o de 1er. grado.4. m(x) = x3 + 3x2 + 3x + 10 es un polinomio de grado 3, o de 3er. grado. 5. s(x) = 5 es un polinomio de grado 0 y se llama polinomio constante.6. p(x) = 0 a este polinomio no se le asigna grado y se llama polinomio nulo.Se puede obtener el valor numrico de un polinomio sustituyendo las variables porvalores numricos dados y efectuar las operaciones indicadas.EjemplosI. En el parntesis se indica el nmero de trminos que forman cada polinomio y a un costado el nombre que reciben:1. ( 2 )x3 + 1binomio2. ( 4 )3x3 + 2x2 x + 9polinomio3. ( 2 )m3 + m binomio4. ( 3 )x2 + 5x 3trinomio5. ( 1 )(6m5)(2m) monomio6. ( 1 )5x3 monomio7. ( 2 )x3 + 2x(x)(3) binomio8. ( 2 )(x3)2 + 1 binomio9. ( 2 )x2 1 binomio10. ( 3 )x3 + 2x 6 trinomioII. Enla tabla se muestran los factores numrico y literal del trmino algebraico que se indica. Trmino Factor numrico Factor literal3x2 3x2 4x3y4 x3y n5 1 n55mn2 5 mn2

B4143B4Realiza transformaciones algebraicas IIII.Enesteejerciciosemuestra cmo se evala el polinomio p(x) = x2 + 3x 5 para x = 1,x = 3,x = 5yx = 34 p(1) = (1)2 + 3(1) 5 = 1 + 3 5 = 1 p(3) = (3)2 + 3(3) 5 = 9 + 9 5 =13 p(5) = (5)2 + 3(5) 5 = 25 15 5 = 5 p3434334591694535162=+ = + =I. Indica en el parntesis el nmero de elementos que forman los siguientes polinomios y en la lnea el nombre que reciben:1. ( )5x3 + x 22. ( )4x4 + 2x+ 9 3. ( )m3 + 2m 4. ( )5x3 + x2 + 6x 2 5. ( )(6m5)(3m)2 6. ( )8x3 17. ( )x3 + 5x2 + 3 8. ( )(3x3)2 9 9. ( )x4 16 10. ( )5x5 II. Completa la tabla con los factores del trmino que se indica.Trmino Factor numrico Factor literal8x3 10x2y3 5mn2x2yz III. Evala los polinomios para los valores que se indican. 1.p(x) = x2 + 5x 3, para x = 1, x = 2, x = 3yx = 12 2.p(x) = 3x2 + x 3, para x = 0, x = 1, x = 1yx = 32 3.p(x) = x3 + 2x2 - 3x 5, para x = 0, x = 1, x = 1yx = 2Actividad 144B4B4 El trmino polinomio ya debe ser conocido por ti, sin embargo, cabe plantearse la pregunta: qu utilidad tiene? Algunas respuestas son las siguientes:Modelar y expresar en forma simplifcada una situacin problemtica. Porejemplo,lagananciadelosalumnosvendedoresdetortasdescrita anteriormente, el cual puede representarse como: G = 10x 120Donde x representa el nmero de tortas vendidas y 120 lo que invirtieron.Tambin, el salario de Roberto:S = 50x + 80Donde x representa el nmero de libros vendidos y 80 su salario diario, lo que permite simplifcar una situacin problemtica. Mostrar una generalizacin del lenguaje aritmtico.Por ejemplo, al calcularel permetro del terreno de Carlos: P = x + (6x + 3) + (3x 4) + (8x + 5) + (4x 1)O el rea de la fgura:A x x x xx x x=( ) +( )( )++2 2 58 2 32( )( )( ) Dondegeneralizamoslasoperacionesaritmticasylastraducimosal lgebra.Hacer operaciones en el lenguaje algebraico: suma, resta, multiplicacin y divisin.Porejemplo,podemossimplifcarelpermetroyelreadelasiguiente manera:P x = + 22 3A x =272OPERACIONES CON POLINOMIOSB4145B4Realiza transformaciones algebraicas IResultadosqueseobtienendelasumaylamultiplicacindelostrminos algebraicos.Analizaremos pues las reglas que nos permiten operar polinomios.Suma y restaLa suma y la resta de polinomios estn basadas en la suma y resta de trminos semejantes.Dosomstrminossonsemejantessitienenlamismaparte literal y la, o las variables iguales, tienen los mismos exponentes, es decir, si slo diferen en sus coefcientes.Por ejemplo, los siguientes trminos son semejantes pues slo diferen en sus coefcientes:3xy2, -6xy2, xy2Mientras que:5xy, 4xy2 y -3x2ynosonsemejantes,puesaunquecontienenlamismaparteliteral,los exponentes de las variables iguales son distintos.Para reducir trminos semejantes, solamente se suman o restan los coefcientes dedichostrminosrespetandolasleyesdelossignos,mantenindosela misma parte literal, por ejemplo:3xy2- 6xy2+ xy2= (3 6 + 1)xy2 = -2xy24x2 + 7x2 3x2 5x2 = 3x26x2y2 + (12x2y2) + x2y2 = 6x2y2 12x2y2 + x2y2 = 5x2y2Enlareduccinosimplifcacindetrminossemejantesjuegaunpapel importante la eliminacin de los diferentes smbolos de agrupacin: ( ), [ ], { }.Para eliminar un smbolo de agrupacin precedido por un signo positivo, sim-plemente se elimina. Por ejemplo:(3x + 2y 3z) = 3x + 2y 3zPara eliminar un smbolo de agrupacin precedido por un signo negativo, di-cho smbolo se elimina cambiando el signo de todos los trminos dentro de l. 146B4B4Por ejemplo:-[x3 + 4x2 - 6] = -x3 - 4x2 + 6Paraeliminarunsmbolodeagrupacinprecedidoporunnmeropositivo,simple-menteseeliminamultiplicandoelnmeroportodoslostrminosdentrodelres-petando los signos de cada uno de ellos. Por ejemplo:4(5x + 3y 8z) = 20x + 12y 32zPara eliminar un smbolo de agrupacin precedido por un nmero negativo, se elimina multiplicandocadatrminodentrodelporelnmeroycambiandolossignos.Por ejemplo:-4{4a 3b + 7c} = -16a + 12b 28cParaeliminarsmbolosdeagrupacinanidados,seeliminandeadentrohaciafuera respetando las reglas anteriores. Por ejemplo:4{2x + 3y -3[x + 2z - 5(x - 3y 2z)]} = 4{2x + 3y -3[x + 2z - 5x + 15y + 10z]} = 4{2x + 3y -3[-4x+15y + 12z]} = 4{2x + 3y +12x - 45y - 36z} = 4{14x - 42y 36z} = 56x 168y 144zVeamos otro ejemplo:Simplifcar la siguiente expresin3(x +y 2z) 4(y +3z) + 2(3x 5z) = 3x + 3y 6z 4y 12z + 6x 10z = 9x y -28zEnlasumayrestadepolinomioslomsimportanteesidentifcarlostrminos semejantes. Alsumardosomspolinomios,seasocianysereducensustrminos semejantes.EjemplosObserva algunas sumas de polinomios con su resultado correspondiente. El resultado est en negritas(3x +2) + (2x + 3) = 3x + 2 2x + 3 = (3x 2x) + (2 + 3) = x + 5(5x2 + 6x +1) + (7x +2) = 5x2 + 6x + 1 7x + 2 = 5x2 + (6x 7x) + (1 + 2) = 5x2 x + 3B4147B4Realiza transformaciones algebraicas I( 4x2 + 6x 3) + (7x2 4x + 5) = 4x2 + 6x 3 7x2 4x + 5 = ( 4x2 7x2) + (6x 4x) + (3 + 5) =11x2 + 2x + 2(12m2+9m10)+(8m2+3m+15)+(m23)=12m2+9m10+8m2+3m+15+ m2 3=(12m2 + 8m2 + m2) + (9m + 3m) + (10 + 15 - 3) = 21m2 + 12m + 2(8a5b 6a3b2 + 6ab3 + 5a) + (17a5b + 3a3b2 + 4ab3 7b) = 8a5b 6a3b2 + 6ab3 + 5a + 17a5b + 3a3b2 + 4ab3 7b= (8a5b + 17a5b) + ( 6a3b2 + 3a3b2) + (6ab3 + 4ab3) + 5a 7b =25a5b 3a3b2 + 10ab3 + 5a 7b (3bcd4 + 6cd2 + 2cd 1) + (3d2c + 2cd4b +1) = 3bcd4 + 6cd2 + 2cd 1 3d2c + 2cd4b +1 = (3bcd4 + 2bcd4) + (6cd2 3cd2) + 2cd + (1 + 1) = bcd4 + 3cd2 + 2cdRecuerdaqueenunaresta,alacantidadqueserestaselellamasustraendo,ala cantidad a la cual se le resta, minuendo y al resultado de la operacin, resta o diferencia.A - B =Cminuendosustraendoresta o diferencia Alrestardospolinomiosdebeidentifcarseculeselminuendoyculel sustraendo para hacer la operacin correctamente.Alrestardosomspolinomios,secambiaelsignoatodoslos trminosdelpolinomioqueseresta(sustraendo)paraconvertir la operacin en una suma y efectuarla como tal.Acontinuacin,semuestranalgunasrestasdepolinomiosconsuresultado correspondiente.EjemplosI. Observa las restas realizadas. El resultado est en negritas1. (2x + 5) (2x +3) = 2x +5 + 2x -3 = (2x + 2x) + (5 3)= 4x + 2148B4B42. (x2 + 4x + 4) (7x + 9) = x2 + 4x + 4 7x 9 = x2 + (4x 7x) + (4 9)=x2 3x 53. (4x2 + 2x 1) (x2 2x 1) = 4x2 + 2x 1 x2 + 2x + 1 = (4x2 x2) + (2x + 2x) +(1 + 1)=3x2 + 4x 4. (7m3 + 3m2 4m + 5) (3m4 6m3 + 2m 2) = 7m3 + 3m2 4m +5 3m4 + 6m3 2m + 2 == 3m4 + (7m3 + 6m3) -3m2 + (4m 2m) + (5 + 2) =3m4 + 13m3 + 3m2 6m + 7 5. (5x2yz4 + 6xy2 + 2yz 1) (3y2x + 2x2z4y +10) = 5x2yz4 + 6xy2 + 2yz 1 + 3y2x 2x2z4y 10 =(5x2yz4 2x2yz4) + (6xy2 + 3xy2) + 2yz + (1 10) = 3 x2yz4 + 9xy2 + 2yz 11II. De (4x2 + 3x 9) resta (2x2 8x + 3)La operacin pedida es: (4x2 + 3x 9) - (2x2 8x + 3) = 4x2 + 3x 9 - 2x2 + 8x 3 = 2x2 +11x - 12III. Resta (4x 8y + 5) de (9x + 8y + 7)La operacin indicada es: (9x + 8y + 7) - (4x 8y + 5) = 9x + 8y + 7 - 4x + 8y - 5 = 5x + 16y + 2De la suma de (4x2 + 3xy 8y2) y (3x2 5xy 2y2) sustrae (4xy x2 2y2)Multiplicacin y divisinEnlamultiplicacinydivisindepolinomiossonindispensableslas propiedades de los exponentes y radicales analizadas en el bloque II. Recordmoslas:Actividad B4149B4Realiza transformaciones algebraicas IReglas de los exponentesPropiedades de los exponentes y de los radicalesRegla Ejemplo aritmtico Ejemplo algebraico1( )( ) a a an m n m=+( )( ) 2 2 2 1283 4 7= =b3 b4 = b72( ) a an m nm= ( )( ) 3 3 3 65612 4 8= =(x3)4 = x123( ) ab a bn n n=( )( ) ( )( ) ( )( ) 3 5 3 5 9 25 22522 2[ ] = = =(2a3)4 =24(a3)4 = 16a124ababnnn=25258125333= =xyxy=4445aaanmn m=555532=777440=222693=xxx532=6 a0=1771 7440==x0 = 17aann=121233= xx=4418a an n1= ( ) 36 36 612= =x x133=9a a amnm n n m= =( ) ( ) ( ) 8 8 2 1643 344=( )= = x x x10 5 2105=( ) =10ab a bn n n= 144 9 16 9 16 3 4 12 = = = = ( )( ) ( )( )8 29 1233 4xy xy =11ababnnn=27642764344868 233333= = = =o bienxxxxxxxxx6464326242= = = =Parasimplificarlasoperacionesconradicales,debernexpresarseenforma estndar, es decir, cumplir las siguientes condiciones: 1. El radicando debe ser positivo y sin fracciones.2. El ndice del radical debe ser el menor posible.3.Elexponentedecadafactordelradicandodebeserunnmeronatural, menor que el ndice del radical.4. En una fraccin no habr radicales en el denominador.Acontinuacin,semuestranalgunasexpresionesysucorrespondiente simplificacin, representada con exponentes positivos, o bien, con radicales.1. x4x5x3 = x12 2. a5a2a-4 = a3 3.b bb b231417122 -=4.(3x)0 = 1 150B4B45. x yx yxy3 22=6. yyyyy y32510155= = =15 - 107.5x0 = 5(1) = 58. xyx yx y2 334254=

9.x y xyxy-1 233 636( )= = 10. x y x yyxyxyx xy xx x xy xx--3 212323232( )= = = == =

11. 111532+ ( )+ ( )= + ( )iii12. (x2y3)2 =x4y613. xyyxy3 523 3=14.(x4)5=x20 15. xyxyxyxyxy32236 23 634( )( )= = 16. 4 86 4329 6x y x y( ) = 17.(x -2)(x3) = x 18. b2 + b4 = b2 + b419.x x x6623= =20. 8 8 8 82yxyxxxy xxy xx= = =21.256 412 16 2043 4 5x y z xyz =Los siguientes radicales se muestran en su forma estndar.1.- =- 5 53 3x x 2.x y x y4 862 43=3.x x x x x x x5 3 3 2 3 3 3 2 3 2 3= = = 4.50 25 2 5 22 5 2 4 2xy xyy xy y = ( )( ) =B4151B4Realiza transformaciones algebraicas I5.250 125 2 5 24333 3xy xy y yxy = ( )( ) =6.81 310 1542 3 2 34x y x y x y = I.Representa en forma estndar los siguientes radicales.1.- = 273x 4.644 86xy = 2.323 7x y =5.1926 83xy =3.5410 3x =6.6252 104xy =

II.Simplificalasexpresionesqueseindicanyescribeelresultadoconexponentes positivos, o bien, con radicales segn corresponda.1.x5x2

11. a ba b+ ( )+ ( )=52 2.xx43= 12.(3a2)3 =3.b2 b5 = 13.xxx3 24=

4.(x3)2 + 4x6 =14.(2x4y3)5= 5.1027 52 3xyxy=15.xyxy2322( )( )=

6.(3xyz)0 = 16.166 412xy( )=

7.xyx y123342= 17.xyxy2 34 3 =8.(x -3)(x5) = 18.x10= 9. x y-2 35( )=-19. 646 153x y = 10.43 212xy-( )=20.164 8 124xyz =

Actividad 152B4B4OrdenacinUnpolinomiopuedeexpresarseconunaomsvariables,lascualespueden representarse por diferentes letras: a, b, c, x, y, z, etctera; o bien, una misma letracondistintossubndices:a1,a2,a3,a4Estasvariablesrepresentan tambinexponentesnumricosdistintos;yelexponentemayorrespectode una de las variables indica el grado del mismo. Para facilitar la multiplicacin de polinomios es necesario ordenarlos en relacin con los exponentes de alguna desusvariables.Laformaenqueseordenanlostrminosdeunpolinomio puede ser creciente o decreciente; esta ltima es la ms frecuente.Formacreciente:Seordenanlostrminosdelpolinomiodelmenoral mayor exponente respecto de una de sus variables.Formadecreciente: Seordenanlostrminosdelpolinomiodelmayoral menor exponente respecto de una de sus variables.Polinomio Ordencreciente Orden decreciente1 2x2y + 5x3y 2xy + 4 4 2xy + 2x2y + 5x3y 5x3y + 2x2y 2xy + 42 3a + 1 5a2b + a5 + 7a2b21 + 3a 5a2b + 7a2b2 + a5a5+ 7a2b2 - 5a2b + 3a + 13 2x 5x2 10 10 + 2x 5x2 5x2 + 2x 104 x3 4x2 + 7x + 2x4 5 5 + 7x 4x2 +x3 + 2x42x4 + x3 4x2 +7x 55 3y3 - 3x2y 4xy2 +x33y3 4xy2- 3x2y + x3

(en x)x3 - 3x2y 4xy2+ 3y3

(en y)x3 - 3x2y 4xy2+ 3y3 (en x)3y3 4xy2- 3x2y + x3 (en y)Almultiplicarsedospolinomiosdebenconsiderarsetrescasos:monomio pormonomio,monomioporpolinomioypolinomioporpolinomio.Enesta operacin, adems de aplicarse las propiedades de los exponentes, se aplican tambin las propiedades de la multiplicacin de los nmeros reales.Paramultiplicardosomsmonomios,semultiplicanlos coeficientes y se suman los exponentes de las variables comunes, respetando, en ambos casos, las leyes de los signos.EjemplosLossiguientes productos se efectan con monomios.1. (x)(x)(x)(x)(x) = x52. (3x)(2x)(x) = 6x33. (5x3)(2x5) = 10x84. (2x2y3)( 7x3y4) = 14x5y75. (3xy2)3(2x3y3)(4x2y)2 = (27x3y6)( 2x3y3)(16x4y2) = 864x10y11 B4153B4Realiza transformaciones algebraicas IParamultiplicarunmonomioporunpolinomio,seaplicala propiedaddistributiva,multiplicandoelmonomioporcadauno de los trminos del polinomio.1.3x2(x2 + 5x + 3) = 3x2(x2) + 3x2(5x) + 3x2(3) = 3x4 + 15x3 + 9x2 2.7x2y(2x2y3 + 4xy2 3x + 2y 1) = 14x4y4 + 28x3y3 21x3y + 14x2y2 7x2y3.2x(5x2 4x + 10) = 10x3 8x2 + 20xParamultiplicarunpolinomioporunpolinomioseaplicala propiedaddistributivamultiplicandocadatrminodelprimer polinomio por todos los trminos del segundo polinomio; al final se reducen trminos semejantes. 1.(x + 3)(x + 5) = x(x +5) + 3(x + 5) = x2 + 5x + 3x + 15 = x2 + 8x + 152.(x + 7)(x 4) =x(x 4) + 7(x 4)= x2 4x + 7x 28 = x2 + 3x 28 3.(x + 3)2 = (x + 3)(x + 3) = x2 + 3x + 3x + 9 = x2 + 6x + 94.(2x + 3y)( 2x + 7y) = 4x2 + 14xy + 6xy + 21y2 = 4x2 + 20xy + 21y25.(x + 1)(2x2 - 5x + 4) = 2x3 - 5x2 + 4x + 2x2 - 5x + 4 = 2x3 - 3x2 - x + 46.(2x2 + 5x + 4)(x2 + 3x + 5) = 2x4 + 6x3 + 10x2 + 5x3 + 15x2 + 25x + 4x2 + 12x + 20 = 2x4 + 11x3 + 29x2 + 37x + 20DivisinAl igual que en la multiplicacin, al dividir dos polinomios deben considerarse tres casos: monomio entre monomio, polinomio entre monomio y polinomio entrepolinomio.Enestaoperacinseaplicanlaspropiedadesdelos exponentes.Paradividirdosmonomios,sedividenosesimplificansus coeficientes y se restan los exponentes de las variables comunes.Ejemplos1. xxx523= 2. xyxyxy4 322 2= 3. =10523 53 23xyxyy

4.35353 3724xyxyxy=154B4B45. 238989894 3 232 3212 9 64 2 68 78 7( )( )= = =xy zxyzx yzxyzxyxy6.41213182 323236xyxyy y==Paradividirunpolinomioentreunmonomioseaplicala propiedad disociativa al dividir cada trmino del polinomio entre el monomio. Ejemplos1. 6 9 336393332 3 13 2 3 22x x xxxxxxxxx x+ += + + = + +2.10 15 2051051552052 34 3 2 2 4 3 2 23 2x y x y xyxyx yxyx yxyxyxyx y+ -= + - == + xxy -43. x x xxxxx5 32312 36 6212- += - +4.5 9 725292723 2 532x x xx xx - += - +Paradividirunpolinomioentreotropolinomio,serealizanlossiguientes pasos.1.Seordenanlostrminosdeldividendoydeldivisorenformadecreciente respecto de una de las variables, y se deja en el dividendo un espacio para los trminos de coeficiente cero.2. Se divide el primer trmino del dividendo entre el primer trmino del divisor para encontrar el primer trmino del cociente.3.Semultiplicaeltrminoencontradodelcocienteporcadaunodelos trminosdeldivisor,yseescribeelresultadoconsignocontrariodecada trmino, bajo los trminos semejantes correspondientes del dividendo.4.Seefectaunasumaconlostrminossemejantesdeldividendoylos halladosenelpaso3,encontrandoelresiduoobienunnuevodividendo, bajando tambin el siguiente trmino del dividendo original.5.Paraencontrarlossiguientestrminosdelcocienteserepitelomismoa partir del paso 2, hasta que el residuo sea cero o el exponente de la variable respectodelacualseordensea,porlomenos,unaunidadmenoral exponente mayor del divisor. Ejemplos1. Dividir 3 11 26 8 3 43 2x x x x + - + - ; o bien 3 11 26 83 43 2x x xx+ - +- B4155B4Realiza transformaciones algebraicas IProcedimiento:x2 + 5x 23x3 = x23x 43x3 + 11x2 26x + 83x3x3+ 4x2 15x2= 5x 15x2 26x3x 15x2 + 20x6x = 2 6x + 8 3x 6x 8 0Resultado: 3 11 26 83 43 2x x xx+ - +- = x2 + 5x 22. Dividir 6 4 3 2 32 3- + - + x x x x; o bien3 4 63 23 2x x xx- - ++Procedimiento:x2 2x+ 1 3x3 = x23x +23x3 4x2 x + 63x3x3 2x2 6x2= 2x 6x2 x 3x 6x2 + 4x3x = 13x + 6 3x 3x 24Resultado: 3 4 63 23 2x x xx- - ++=x xx22 143 2- +++ 3. Dividir x x x x4 24 8 4 5 - + - + , o bienx xx x424 54 8- +- + Procedimiento: x2 + 4x+ 8x4 = x2 x2 4x +8 x4 + ___ + ___ 4x+ 5x2 x4 + 4x3 8x2 4x3= 4x4x3 8x24x x2 4x3 + 16x232x8x2 = 8 8x2 36x + 5 x2 8x2 +32x 64 4x 59Resultado: x xx x424 54 8- +- += x2 + 4x+ 8 4 594 82xx x+- + 156B4B4I. Efecta las operaciones que se indican.1. (3x2 + 2x 2) + (2x2 + 5x + 5) = 2. (12m2 + 9m 10) + (8m2 + 3m + 15) = 3. (5x3 + 6x2 3x +1) + (5x4 6x3 + 2x 5) =4. (8a5 6a3 + 6a + 5) + (17a5 + 3a3 + 4a 7) = 5. (3cd4 + 6d2 + 2cd 1) + (3d2 + 2cd + 1) =6. (x2 2x + 4) (x2 4x 3) =7. (7y + 2y2 + 5) (y2 6 5y) =8. (5x2 + 4) (2x2 1) =9. (5x2 3x +6) (9x2 5x 3)= 10.5a 3b + c + (4a 5b c) =11.8x (15y + 16z 12x) (13x + 20y) (x + y + z) =12.(2x 2y) { [3x ( 2y z) 4x] (3y 2z) } = 13.3a + (4a + 7b 4c) (3a + 5b 3c) (b c) =14.9x + 13y 9z 7x 3{y +[2z (5x 9y + 5z) 3z] }=15.6a 7ab + b 3ac + 3bc c [(8a + 9ab 4b) (5ac + 2bc 3c)] =16. (2x) (2x) (2x) (2x) (2x) = 17. (5x) (7x) (x) =18. (4x3)3 (2x5) = 19. (15x5y3) ( 9x7y3) = 20. (x4y2)2 (5xy4) (3x2y2) = 21. 5x2 (3x2 + 4x + 5) = 22. xy2(3x2y + 5x3y2 x + 7y 10) =23. 2x3(x2 + 3x + 6) = 24. (x + 7) (x + 8) =25. (x + 2) (x 8) = 26. (x + 4)2 =27. (5x + 2y) (3x 7y) =28. (x 1) (x2 + x + 1) = 29. (x2 + 4x + 4) (x2 2x + 1) = 30. xx65=31. 8432xyxy=32. -=553 54 7x yx y 33. 3572 53xyxy= 34. xyzxy z4 32 335 ( )= Actividad B4157B4Realiza transformaciones algebraicas I35. 532 32 52xyxy=36.8 10 623 2x x xx+ +=37. 15 12 633 2 2 3x y xy x yxy+ +=

38. 12 10 345 3 105x x xx+ +=39. 24 36 4088 6 57x x xx- += 40. x x xx3 224 2 84- - +- =41. 35 6 312 72+ --=x xx

42. xx x42648 4-+ -=43. xx293-+=44. x xx25 63- +-= Enlasiguientetablaseresumenlasoperacionesefectuadasconloscoeficientesy exponentes, de acuerdo con la operacin indicada entre dos trminos y que atienden una misma variable.En la operacin Los coeficientes se Los exponentes seSuma Suman Dejan igualResta Restan Dejan igualMultiplicacin Multiplican SumanDivisin Dividen RestanPotenciacin Elevan a la potencia MultiplicanRadicacin Extraen raz Dividen158B4B41.Simplifica los trminos semejantes en los siguientes polinomios.a) 8x -3x+7x=b) 3x +9y 2x 6y=c) 7a2 15b3 + 5b3 + 9a2 4b3 =d) 3a+ 4c + 9c 7b 7a- 15c = e) 0.01 b2c 0.2 c2b - 0.8 c2b + 0.99 b2c=2.Eliminar parntesis y reducir trminos semejantes en los siguientes polinomios.a) (10b +4) +(6 9b) (3b-7)=b) 20 + (-7 +2x) (-3x-7)=3.Dados los polinomios:A: 2b2c 3b + 6cB: 4b - c2b + 12 b2cC: 4 2c Ejecuta las siguientes operaciones.a) A + B=b) A - C=c) B - A=4.El permetro de un rectngulo es 8x 6 y un lado mide 3x +7, cunto mide el otro lado?5. Realiza las siguientes operaciones.a) 2137 2x x =

b) =2334 7x x c) 3342z = d)234655 4y y y = e) =32452a af) x x x = 3124 7 6.Despusderealizarunanlisisencadauna de las siguientes figuras, encuentra el polinomio que represente el permetro o el valor de uno de sus lados.Actividad B4159B4Realiza transformaciones algebraicas I160B4B47.Resuelve las siguientes operaciones.a) 3 52 2x x =b) 6 45 5x x = c) x x3 2 =d) 4 64 7x x =e) 7 55 3x x =f)( ) = 3 65 7x xg)974 = xh) ( ) ( ) = 11 23 3x xi) ( ) ( ) = 5 64 4x xj)4 123 5x x = ( )k) ( ) = 6 73 2x xl) 25535 7x x =m) 56133 5x x = n) 411234 6x x =8. Resuelve los siguientes productos algebraicos de un monomio por un polinomio.a) 5(c+4) b) 4(5-x)c) 4(-2c+5)d)5(-a+b)e) 7x2-3(x+4) f ) -10(-9+4x)g) -11+4(b+2c)+5-7bh)-m(n-1)i)-(x+6)j)-2(a-2b)k) -a(-c+6bc)B4161B4Realiza transformaciones algebraicas Il)4(3x-2)m)z-6(-1+x)n) 3(x+y+z)) 2-(x-12)+4yo) 3(5x-4y)p) 4y(y+2y2)q) 2a(3a-b+1)r)x(1+2x-y)s)2a(b-a)t)(a-3ab)bu) 2xy(x+3x-x2)v) x2(1+2x-y2) 9. Multiplica los siguientes polinomios.a) ( )( ) 3 5 3 13 53 2 3x x x x x + - + -b) ( )( ) 5 3 4 7 2 15 3x x x x - - + -c) ( )( ) 25 5 2 3 37 4 2x x x x + + - + -d) ( )( ) x x x x x3 2 4 3 22 2 3 5 4 4 + - - - +e)x x + ( ) + 1 22( )f ) ( ) x x x + + -( )3 2 3 122g)(x + 5)(x - 5) h)(2x + 5)(2x - 5)i) (5xy - 6)(5xy + 6)j) (12 + 9ab)(12 9ab) k)(3xyv - 4ab)(3xyv + 4ab) l) (3ab2c - 4ad2)(3ab2c + 4ad2)m) (11axt2v2 + w4)(11axt2v2 - w4) n)(5.32 + 4)(5.32 - 4) )[(a+4) - b][(a+4) + b]o)[(x - y) + z][(x - y) - z]p)(2c + d + e)(2c + d - e) q)(a + b + 5)(a + b - 5)r) (a b + 5)(a + b + 5)s) (a2 - b2 - ab)(a2 + b2 + ab) t) (10 + 2a + 3b)(10 2a - 3b)u)(3 x + y)(3 + x + y) v)(a + b + 7)(a b + 7) w) (-a b + 7)(a + b + 7) x)(10x2a + 9bc)(9bc - 10x2a)10. Realiza las siguientes divisiones.am nn)-

1646 43= ba b cab c)3684 3 536=

162B4B4cx y cx y c)-- 26 33 3 422 5( )= dx yxy)( )8 33 3 =ea b c a b c a b c)- 16 24 42 4 6 4 3 2 3 3+223 3 24a b c=fx y z xy z x y zxyzgx x x xx x)-)

15 25 3555 6 8 334 4 3 3 5 7 3 224 3 22+= + ++ ==16 6h) x yx yi)=j) x xx xxx x4 223213 365 682 4 + ++ +=I. Subraya la respuesta correcta.1. Es un trmino de 5 grado: a) -3x2yz2b) 5x5y c) 4x4yz d) -5xy2z42. Es un trmino de tercer grado en x:a) -3x2yz2b) 4xyz c) 2x3y4z2d)6a2b3c3. Es un trinomio:a) a + b b) a3 + b3 c3 + d3c) 2x + 3y 5z d) 3x4. Es un polinomio de 4 grado:a) 3x2yz + 2 b) a3 + b3 c3 + d3c) x5 + y d) 3x4y 2xy3 + 6xy5. El valor numrico de x2 + 3x 6 si x = 2 es a) 16 b) 3 c) -60 d) 4AutoevaluacinB4163B4Realiza transformaciones algebraicas I6. La simplificacin de 3x2y 5xy + 6xy2 + 2xy xy2 + 4x2y 2xy2 es:a) 7x2y 10xy - 48xy2b) 7x2y 3xy +3xy2c) 7x2y + 3xy - 3xy2d) 7x2y 3xy - 3xy27. El resultado de (3x + 2y + 4) + (2y 2x + 1) es:a) x + 4y + 5 b) 5x + 4y - 3 c) x - 4y - 5 d) -6x + 4y + 48. El resultado de (3x2 + 4x 3) (2x + x2 5) es: a) 4x2 - 8x + 15 b) 2x2 - 2x - 8 c) 2x2 + 2x + 8 d) 2x2 - 2x + 89. El resultado de 3x2(x2y)2(3xy2)3 es:a) 18x9y8b)81x9y8c) 81x8y d) 81x9y910. El resultado dexyzxyz2 452 43( )( ) es a) x2y2z2b) z2c) x8y4z2d) x4y8z2II. Resuelve las operaciones indicadas.1. (3x 5y + 7z 8) + (4z 3 + 5y x) = 2. (5x2 + 6x 3) 3(3x2 + 8x 9) + 2(3x2 5x + 4)= 3. 4x + 3y 2{4x + 2z - 3[4x + 3y- (2x 3y+ 2z) - 2(4x 5z)]}=4. 4n2m3(3mn3p 8m2np3 + 6mnp3) = 5. (3x4 2x3 +3x2 5x + 4)(x2 3x + 2) =6. 36a bc9ab c5 6 83 4= 7. 36x y z- 72x y z- 3 x y z6x yz3 2 5 4 3 3 8 4 52 30 8.x x x x x2 3 22 3 2 3 1 + + III. Simplifica los siguientes radicales. 1. 4 12 5 27 3 108 - + = 2. 725 7 4x yz Autoevaluacin164B4B41. En un terreno rectangular como el que se muestra en la figura, se va a construir un parque con andadores laterales de 2 m de ancho en los lados ms cortos y de 1 m de ancho en los lados ms largos. En el resto de la superficie se va a empastary a sembrar rboles. a)Siellargodelasuperficieempastadaeseldobledelancho,encuentrauna expresin polinomial que permita encontrar el rea de todo el parque.b)Siunladodelasuperficieempastadamide8m,cuntomideelotroladode dicha superficie?c)Cules son las dimensiones del terreno que se requiere para lo anterior?2. El rectngulo PQRS ha sido subdividido en cuatro rectngulos como se indica en la figura. La superficie de tres de ellos es la indicada. a)Encuentraunpolinomioquepermitacalcularla superficie del cuartorectngulob)Halla las dimensiones del rectngulo PQRSc)Halla una expresin polinomial para calcular el permetro del rectngulo PQRSd)Halla una expresin polinomial para calcular el permetro del polgono PVUTRSe)CulessonlosvaloresdelpermetroyelreadelrectnguloPQRSsixvale6 unidades?Evaluacin formativaB4165B4Realiza transformaciones algebraicas IEscala de RangoNombre del alumno:Escala de valoracin:0 Nulo 1 Deficiente 2 Aceptable 3 SatisfactorioAspectos observables S No EstimacinComprendi el problema 1Encontr el polinomio para el reaEncontr el lado faltanteEncontr las dimensiones del terrenoEncontr el polinomio para calcular el rea del rectnguloEncontr el polinomio para calcular el permetroEncontr el polinomio para calcular el permetro del polgonoCalcul el rea y el permetro del rectngulo dadoTotal:CalTotal==1024Observaciones: Nombre de quien revis: