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UNIVERSIDAD NACIONAL DE HUANCAVELICAFACULTAD DE CIENCIAS DE INGENIERÍA
ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE CIVIL-HUANCAVELICA
“Año de integración nacional y reconocimiento de nuestro
diversidad”
6 . Hallar el area de la regionlimitada por y=sen (2 x ) , x=−2 π , y=0
A=A1+A2+A3+A4…A1=A3 ; A2+A4
A=2 A1+2 A2
A1=2 ∫−2 π
−32
π
sen(2x )
A1=−2( cos (2 x)2 )|−2π
−32
π
A1=−cos (2x )|−2π−32
π
A1=−cos [2(−32 π )]−[−cos (2 (−2 π ) ) ]
A1=−cos (−3 π )+cos (−4 π )
Análisis Matemático Lic. Cesar Castañeda Campos
UNIVERSIDAD NACIONAL DE HUANCAVELICAFACULTAD DE CIENCIAS DE INGENIERÍA
ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE CIVIL-HUANCAVELICA A1=−(−1 )+1
A1=2u2
A2=2 ∫−32
π
−π
sen(2x )
A1=−2( cos (2 x)2 )|−32
π
−π
A1=−cos (2x )|−32
π
−π
A1=−cos [2 (−π ) ]−[−cos (2(−32 π ))]A1=−cos (−2π )+cos (−3 π )
A1=−1−1
A1=|−2|u2
A1=2u2
A=2 A1+2 A2
A=2u2+2u2
A=4u2
7.Hallar el área de laregion limitada por y=sen (2 x ) , y=cos (3x /2)x=−2π
Análisis Matemático Lic. Cesar Castañeda Campos
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10.Hallar el area de laregion limitada por x2+ y2=5( x2
x2+ y2 )
Solucion:
Despejandola variable y
x2+ y2=5( x2
x2+ y2 )(x2+ y2 )2=5 x2
x2+ y2=±√5|x|
y2=−x2±√5|x|…………….(1)
De laecuacion (1 ) sacamosdos ecuaciones :
y2=−x2+√5|x|…………… ..(2)
y2=−x2−√5|x|…………… ..(3)
De laecuacion (2 ) podemosdeducir dosecuaciones :
y2=−x2+√5|x|
y=±√−x2+√5|x|
y=√−x2+√5|x|………….. (a)
y=−√−x2+√5|x|………….(b)
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ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE CIVIL-HUANCAVELICA De laecuacion (3 ) podemosdeducir dos ecuaciones :
y2=−x2−√5|x|
y=±√−x2−√5|x|
y=√−x2−√5|x|…………… ..(c )
y=−√−x2−√5|x|…………… ..(d )
Por lo tanto tenemos :
y=√−x2+√5|x|………….. (a)
y=−√−x2+√5|x|………….(b)
y=√−x2−√5|x|…………… ..(c )
y=−√−x2−√5|x|…………… ..(d )
Analizandola ecuacion(a) y=√−x2+√5|x|
−x2+√5|x|≥0
x2−√5|x|≤0
***Si x≥0entonces|x|=x
x2−√5 x≤0
x (x−√5)≤0
x∈ [0 ;√5 ] Λ ¿
***Si x<0entonces|x|=−x
x2+√5 x ≤0
x (x+√5)≤0
x∈ [−√5; 0 ] Λ←∞;0>¿ x∈ ¿
Analizandola ecuacion (c ) y=√−x2−√5|x|
−x2−√5|x|≥0
x2+√5|x|≤0
Análisis Matemático Lic. Cesar Castañeda Campos
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ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE CIVIL-HUANCAVELICA ***Si x≥0entonces|x|=x
x2+√5 x ≤0
x (x+√5)≤0
x∈ [−√5; 0 ] Λ ¿
***Si x<0entonces|x|=−x
x2−√5 x≤0
x (x−√5)≤0
x∈ [0 ;√5 ] Λ←∞;0>¿∅
Enla forma general tenemos :
y=√−x2−√5 x ; x∈¿
y=√−x2+√5x ; x∈ [0 ;√5 ]
y=−√−x2−√5 x ; x∈¿
y=−√−x2+√5 x ; x∈ [0 ;√5 ]
Graficando las siguientes funciones :
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R1
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ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE CIVIL-HUANCAVELICA Hallando el areade laregion :
Comoes simétrico hallamos solo esl primer cuadrante
Área (R1 )=∫0
√5
f ( x )dx
Área (R1 )=∫0
√5
(√−x2+√5 x )dx
Área (R1 )=∫0
√5 (√( √52 )
2
−(x−√52 )
2)dxUsando la propiedad∫ √a2−u2du=u
2√a2−u2+ a
2
2arcsen ( ua )+c
Área (R1 )=∫0
√5 (√( √52 )
2
−(x−√52 )
2)dx
Área (R1 )=[ (x−√52 )2 √(√52 )
2
−(x−√52 )
2
+(√52 )
2
2arcsen( x−√5
2√52
)]Área (R1 )=[ (2x−√5 )
2√− x2+√5 x+ 5
8arcsen( 2 x−√5
√5 )]Área (R1 )=[ (2√5−√5 )
2√−√52+√5√5+ 5
8arcsen (2√5−√5
√5 )]−[ (2(0)−√5 )2
√−(0)2+√5(0)+ 58arcsen( 2(0)−√5
√5 )]Área (R1 )=[ 58 arcsen (1 )]−[ 58 arcsen (−1 )]Área (R1 )=[ 58 ( π2 )]−[ 58 (−π
2 )]Área (R1 )=5 π
16+ 5 π16
Área (R1 )=5 π8u2
Comohay cuatroregiones igualesmultiplicamos por cuatro
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0
√5
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Área (R )=4 (5 π8 )u2
11.Hallar el area de la region limitadapor : x2+ y2=6( y2
x2+ y2 )
Solución:
x2+ y2=6( y2
x2+ y2 )(x2+ y2 )2=6 y2
x2+ y2=√6 yx2=√6 y− y2
x2= y (√6− y )
x=√ y (√6− y ) x=0 √ y (√6− y )=0
y=0; y=√6
Area (R )=∫0
√6
√ y (√6− y )dy
Area (R )=∫0
√6
√√6 y− y2dy
Desarrollo por sustitucióntrigonométrica
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Área (R )=5 π2u2
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∫0
√6
√√6 y− y2dy
Dando forma :
∫0
√6
y1 /2(√6− y )1/2dy
sen (θ )=√ y4√6
y= [sen (θ ) . 4√6 ]2
θ=arcsen(√ y4√6 ) dy=√6 .2 . sen (θ ) .cos (θ)dθ
cos (θ )=√√6− y4√6
Reemplazando :
∫0
√6
y1 /2(√6− y )1/2dy=∫
0
√6
sen (θ ) . 4√6 .cos (θ ) . 4√6 .√6 .2 . sen (θ ) .cos (θ)dθ
∫0
√6
y1 /2(√6− y )1/2dy=12∫
0
√6
sen (θ ) .cos (θ ) . sen (θ ) .cos (θ)dθ
∫0
√6
y1 /2(√6− y )1/2dy=12∫
0
√6
[ sen (θ ) ]2 . [cos (θ)]2dθ
Mediante integrales trigonométricas
sen(θ)2=12(1−cos (2θ))
cos (θ)2=12(1+cos (2θ))
sen(θ)2+cos (θ)2=1
12∫0
√6
[sen (θ ) ]2. [cos (θ)]2dθ=12 {∫0
√612(1−cos (2θ)) . 1
2(1+cos (2θ))dθ}
12∫0
√6
[sen (θ ) ]2. [cos (θ)]2dθ=12 {∫0
√614sen(2θ)2dθ}
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12∫0
√6
[sen (θ ) ]2. [cos (θ)]2dθ=3 {∫0
√6
sen (2θ)2dθ}12∫
0
√6
[sen (θ ) ]2. [cos (θ)]2dθ=32 {∫
0
√6
[1−cos (4θ)]dθ }∫0
√6
y1 /2(√6− y )1/2dy=3
2θ−38sen (4θ )+C
Reemplazandoθ :
∫0
√6
y1 /2(√6− y )1/2dy={32 [arcsen(√ y4√6 )]−38 sen (4 [arcsen(√ y4√6 )])}|0
√6
¿ {32 [arcsen( 4√64√6 )]−38 sen (4 [arcsen( 4√64√6 )])}¿135u2
14.Hallar el area de laregion limitrada por x=−12 y2 ,4 y2
Solución:
¿∗x=8−12 y2
12 y2=8−x
12 y2=−(x−8)
y2=−112
(x−8)
( y−0)2=4 (−148 )(x−8)Susvértices
V (h; k)
V (8 ;0)
LR=|4 P|= 112
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Focoes igual F ( p+h ;0)⟹F (−148
+8 ;0)
La parábola seabre a laizquierda
¿∗x=4 y2
y2=14x
( y−0)2=4 ( 116 )(x−0)Susvértices
V (h; k)
V (0 ;0)
LR=|4 P|=14
Focoesigual F ( p ;0)⟹ F ( 116
;0)
La parábola abre a la derecha
Graficando :
Calculando los valores de loslímites inferiores
Igulando las siguientes funciones
x=8−12 y2 , x=4 y2
8−12 y2=4 y2
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x=4 y2
x=8−12 y2
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ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE CIVIL-HUANCAVELICA 8=16 y2
12= y2
±(√ 12 )= y
Hallando el área :
Área(R)=∫−√ 12
√ 12((8−12 y2)−(4 y2 ))dy
Área(R)=∫−√ 12
√ 12(8−16 y2)dy
Área(R)=(8 y−16 y33 ){ √ 12−√ 12
Área (R )=[8(√ 12 )−163 (√ 12 )3]−[8(−√ 12 )−163 (−√ 12 )
3]Área (R )=[8(√ 12 )−163 (√ 12 )
3]−[8(−√ 12 )−163 (−√ 12 )3]
Área (R )=[ 8√2− 163√8 ]−[−8√2
+ 163√8 ]
Área (R )= 8
√2− 163√8
+ 8
√2− 163√8
= 8
√2− 83√2
+ 8
√2− 83√2
= 323√2
.- x=12− y2 ; x=4 y2
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Área (R )=16√23
u2
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(485, √125
)
0 12
(−485
,−√125
)
Hallamosel puntode intersección :
12− y2=4 y2
12−5 y2=0
Y=√ 125 , x=485
Hallamosel volumenal rotar en y=6
V=π ⟦∫485
12
( (√12−x−(−6))2−(−√12−x−(−6))2 )dx+∫0
485 ((√ x4−(−6))
2
−(−√ x4−(−6))2)dx ⟧
V=
π ⟦∫485
12
(12−x+12√12−x+36−12+x+12√12−x−36 )dx+∫0
485
( x4 +12√ x4 +36− x4+12√ x4−36)dx ⟧
V=π ⟦∫485
12
(24 √12−x )dx+∫0
485
(24√ x4 )dx ⟧Escriba aquí la ecuación.
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ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE CIVIL-HUANCAVELICA Resolvemosla primera integral :
u=12
du=−dx
V=π ⟦−24∫485
12 (u 12)du+ 242 ∫
0
485 (x 12 )dx⟧
V=π ⟦−24 (u 3232 )485
12
+12( x32
32
)0
485 ⟧
Reemplazamos :
V=π ⟦−16 (12−x )32485
12 +8( x32)0
485 ⟧
Procedemos areemplazar los valoresde x :
V=π ⟦+16(12−485 )32+8( 48
5)32⟧
V=π ⟦+16( 125 )32+8( 48
5)32⟧
V=π ⟦80 √123
√53 ⟧
Respuesta :
V=π ⟦ 80125 √603⟧u315 . Hallar el área de laregión limitada por y=x2−12 , y=8−x2 .
Solución:
y=x2−12
x2−12= y
( x−0 )2= y+12
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( x−0 )2=4 ( 14 ) ( y−(−12 ) ) Si : ( x−h )2=4 P ( y−k )
V (0 ,−12 ) P=14>0concavahacia arriba
Tabulando :
X -3 -2 -1 0 1 2 3
Y -3 -8 -11 -12
-11 -8 -3
y=8−x2
8−x2= y
−x2= y−8⇒ x2=− y+8
( x−0 )2=4 (−14 ) ( y−8 ) Si : ( x−h )2=4 P ( y−k )
V (0,8 ) P=−14
<0concavahacia abajo
Tabulando:
X -3 -2 -1 0 1 2 3
Y -1 4 7 8 7 4 -1
⇒ x2−12=8−x2
2 x2=20
x2=10 x=±√10
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Área= ∫−√10
√10
[ (8−x2)−(x2−12 ) ]dx
Área= ∫−√10
√10
[−2x2+20 ]dx
Área=[−2 x33 +20 x ]|−√10
√10
Área=[(−2 (√10 )3
3+20 (√10 ))−(−2 (−√10 )3
3+20 (−√10 ))]
Área=40√103
−(−40√103 )=80√103 u2
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