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Oscilaciones Armonicas

L. Ripoll1

Departamento de matematicas, f�sica y estad�sticaUniversidad del Norte

Primer semestre, 2008

L. Ripoll (Departamento de matematicas, f�sica y estad�sticaUniversidad del Norte)Oscilaciones Armonicas 2008 1 / 21

Contenido

1 Oscilaciones mecanicasIntroduccionResorte horizontal

2 De�niciones en el M.A.SEcuacion diferencial del M.A.SPer�odo,velocidad y aceleracion en el M.A,SProblema(Determinacion de A y φ)Problema(M.A.S horizontal)

Problema(Oscilador armonico)M.A.S verticalProblema (Cuerdas elasticas)


Contenido





Introduccion

1 NOTA: Friccion despreciable (f = 0)

1

23456


Introduccion


12

3456


Introduccion


123

456


Introduccion


1234

56


Introduccion


12345

6


Introduccion


123456


De�niciones en el M.A.S

Desplazamiento X (t): el vector que va del origen hasta lapart�cula.Amplitud A : kXmaxk = A.Frecuencia f : numero de oscilaciones en la unidad de tiempo(s�1).Periodo T : tiempo gastado en una oscilacion completaFrecuencia ω : es ω = 2πf = 2π

T rads


Contenido





Ecuacion diferencial del M.A.S

De la de�nicion del M.A.S, tenemos que:

Frestitucion = Fresorte ) ma = �κX (1)

luego

md2xdt2

+ κX = 0 (2)

Entoncesd2xdt2

+κ

mX = 0 (3)


Solucion

Solucion: Por separacion de variables se obtiene:

x = C1 cos�r

κ

mt +C2

�(4)

Interpretacion:

C1 : C1 = Amplitud = kAkrκ

m: Se demuestra que

�rκ

m

�=rads, luego

rκ

m= ω

C2 : Es la constante de fase, as�C2 = Φ (5)

Φ : Indica la posicion inicial


Contenido





Per�odo,velocidad y aceleracion en el M.A,S

Per�odo (T ): Tenemos que ω =

rκ

m=) 2π

T=

rκ

mluego

T = 2π

rκ

m

Velocidad (v ):

v =dXdt=ddt(A cos (ωt + φ)) =) v = �Aω sen (ωt + φ)

Otra forma de v :v = �Aω

p1� cos2 (ωt + φ) =) v = �ω

pA2 � X 2

Velocidad maxima (vmax ): vmax = kAωkAceleracion (a):

a =dvdt=ddt(�Aω sen (ωt + φ)) =) a = �Aω2 cos (ωt + φ)

Otra forma de (a): a = �Aω2XAceleracion maxima (amax ). amax =

Aω2




rκ

m=) 2π

T=

rκ

mluego

T = 2π

rκ

m

Velocidad (v ):



p1� cos2 (ωt + φ) =) v = �ω

pA2 � X 2

Velocidad maxima (vmax ): vmax = kAωk

Aceleracion (a):



Aω2




rκ

m=) 2π

T=

rκ

mluego

T = 2π

rκ

m

Velocidad (v ):



p1� cos2 (ωt + φ) =) v = �ω

pA2 � X 2



Otra forma de (a): a = �Aω2X

Aceleracion maxima (amax ). amax = Aω2




rκ

m=) 2π

T=

rκ

mluego

T = 2π

rκ

m

Velocidad (v ):



p1� cos2 (ωt + φ) =) v = �ω

pA2 � X 2




Aω2


Determinacion de A y φ

ProblemaSi se conoce X0 (posicion inicial) y v0 (velocidad inicial), hallar A y φ

Procedimiento: Tenemos que X = A cos (ωt + φ) yv = �Aωsen (ωt + φ) .Para t = 0 entonces

X0 = A cos φ (6)v0 = �Aωsenφ (7)

Dividiendo (6) y (7) se tiene

Tgφ = � v0X0ω (8)

Elevando al cuadrado (6) y (7), y luego sumando estas ecuaciones setiene:

A =qX 20 +

v20X0ω (9)


Problema (M.A.S horizontal)

ProblemaUna part�cula ejecuta un M.A.S horizontal.En t = 0 pasa por la posicion de equilibrio y se mueve hacia laderecha. si A = 2 cm y f = 1,5Hz

a. Demostrar que X = 2 sen (3πt) , cm, sb. Hallar X para t = 0,25 s


Solucion:

a. Tenemos que X = A cos (ωt + φ), conocemos A = 2 cm yf = 1,5Hz =) ω = 3π rad

s

calculo de φ : Aplicamos Tgφ = � v0X0ω

.t Como

t = 0,X = X0 = 0 =)φ = �π

2rad

Luego X = 2 cos(3π � π2 ) =) X = 2 sen 3πt

b. Calculo de X (0,25 s) : X = 2 sen [3π (0,25 s)] = 1,4 cm


Contenido





Problema(Oscilador armonico)

ProblemaUn oscilador armonico simple de 5 g tiene un T = 0,6 s y A = 18 cm.Hallar v , f y φ en el instante en que x = �9 cm y se mueve a laderecha.

Figura de analisis


Solucion:


Calculo de ω =2π

T=) ω =

10π

3rad

Calculo de v : Usamos v = �ωpA2 � X 2 � +163 cms (+?)

Calculo de Fr : Fr = �κX = ��mω2�X =) Fr = +4935 dyn (+?)

Calculo de φ : Tomemos t = t0 = 0 cuando X = �9 cm = X0 (?)Entonces X0 = A cos (ωt0 + φ) =) �9 = 18 cos φ =)φ = 240�


Calculo de ω =2π

T=) ω =

10π

3rad



Calculo de φ : Tomemos t = t0 = 0 cuando X = �9 cm = X0 (?)

Entonces X0 = A cos (ωt0 + φ) =) �9 = 18 cos φ =)φ = 240�


Calculo de ω =2π

T=) ω =

10π

3rad



Calculo de φ : Tomemos t = t0 = 0 cuando X = �9 cm = X0 (?)Entonces X0 = A cos (ωt0 + φ) =) �9 = 18 cos φ =)φ = 240�


Contenido





M.A.S vertical

Ecuacion de equilibrio: mg � κy0 = 0.Ecuacion de movimiento:

mg � κ (y + y0) = ma =) ma+ κy = 0 =)d2ydt2

+� κ

m

�y = 0


M.A.S vertical

Ecuacion de equilibrio: mg � κy0 = 0.

Ecuacion de movimiento:


+� κ

m

�y = 0


M.A.S vertical

Ecuacion de equilibrio: mg � κy0 = 0.Ecuacion de movimiento:


+� κ

m

�y = 0


Contenido





Cuerdas elasticas

ProblemaUna bola de masa m estaconectado a dos ligas decaucho de longitud L (cadauna). tiene una tension T .Labola se desplaza unadistancia ypeque�na.Suponiendo que Tno cambia.

Demostrar que ω =

r2TmL

Solucion:

Equilibrio.


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