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Universidad de Costa Rica Facultad de Ciencias Básicas

Escuela de Matemática Departamento de Matemática Aplicada

MA-0213 MATEMÁTICA PARA ECONOMÍA Y ESTADÍSTICA I

I Ciclo 2013 CARTA AL ESTUDIANTE

NATURALEZA DEL CURSO: Teórico-práctico PERÍODOS SEMANALES: 5 períodos de 50 minutos cada uno

CRÉDITOS: El curso tiene 4 créditos. De acuerdo con el Reglamento de Régimen Académico Estudiantil

(http://cu.ucr.ac.cr/normativa/regimen_academicoestudiantil.pdf), a 4 créditos corresponde una dedicación de 12 horas por semana para el estudiante. De estas 12 horas, aproximadamente 4 horas corresponden a los períodos de lecciones (250 minutos); en consecuencia, 8 horas corresponden a trabajo del estudiante fuera de clases. En la sección “APOYO EXTRACLASE”, se da información y recomendaciones al estudiante para organizarse y aprovechar mejor sus 8 horas semanales de trabajo extraclase. CONOCIMIENTOS PREVIOS: Para el mejor aprovechamiento de este curso, el estudiante debe contar con un manejo ágil de los temas y contenidos de Precálculo que se detallan en http://diagnostico.emate.ucr.ac.cr/ , la página del examen de Diagnóstico en Matemática de esta universidad. OBJETIVOS GENERALES 1. Que el estudiante conozca y utilice la teoría básica de la lógica simbólica, de conjuntos, y del cálculo diferencial e integral en una variable, con el fin de que comprenda y aproveche dichos conocimientos como herramientas en el planteo y en la resolución de problemas de Economía, Estadística y Matemática.

2. Que el estudiante se familiarice con el lenguaje y los razonamientos matemáticos, así como con el rigor que estos conllevan.

3. Que el estudiante logre no sólo realizar cálculos o emitir conclusiones correctas, sino que también logre organizar y expresar sus ideas en argumentos explícitos y justificados, tanto para su autocontrol como para la comunicación y la validación por otros. OBJETIVOS ESPECÍFICOS . Que el estudiante: 1. Comprenda, justifique y use apropiadamente conceptos y propiedades básicas de Lógica Simbólica y de la Teoría de Conjuntos.

2. Reconozca y utilice de manera oportuna y razonada las propiedades de campo ordenado de los números reales.

3. Conozca de manera intuitiva y también de manera formal, los conceptos y las propiedades de límites, continuidad, derivada, antiderivada, integral definida, integral impropia de funciones de una variable real.

4. Reconozca la articulación lógica y la aplicación teórica y práctica de los teoremas claves del Cálculo de una variable real; que comprenda y pueda desarrollar las demostraciones seleccionadas.

5. Domine el cálculo justificado de límites de las funciones elementales, esto incluye la válida y justificada aplicación de la regla de L’Hôpital-Bernoulli.

6. Domine formal y operativamente el cálculo justificado de derivadas, y se inicie a su aplicación en problemas asociados a su área.

7. Logre solvencia el cálculo justificado de integrales definidas e indefinidas mediante los métodos de sustitución y por partes.

8. Reconozca las integrales impropias y aplique técnicas iniciales para el estudio de su convergencia, con miras en su aplicación a Probabilidades y Estadística. 9. Se inicie a los conceptos y pasos de la demostración por Inducción. 10. Se inicie al estudio de límites de sucesiones y series.

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CONTENIDOS Y CRONOGRAMA GUÍA TEMA I: FUNDAMENTOS DE LÓGICA Y DE TEORÍA DE CONJUNTOS; INTRODUCCIÓN AXIOMÁTICA A LOS NÚMEROS REALES. Duración estimada: 4 semanas, del 11 al 24 de MARZO y del 1 al 14 de ABRIL. Proposiciones y conectivas. Reglas lógicas e inferencias; validez o invalidez de argumentos. Lógica de predicados y cuantificadores; reglas de inferencia. Noción de conjunto. Diagramas de Venn. Inclusión e igualdad de conjuntos; propiedades. Conjunto potencia. Complemento, unión, intersección de conjuntos, diferencia. Propiedades de las operaciones y de relaciones entre conjuntos; estrategias de exploración y demostración; aprovechamiento de los diagramas de Venn. Conjuntos finitos, cardinalidad y el principio de adición. Conceptos de producto cartesiano de conjuntos. EJE TRANSVERSAL DEL CURSO: Propiedades de los números reales. Con base en el TEMA I se inicia, como ejemplos de aplicación, el tratamiento de este eje: Axiomas de campo ordenado y deducción de propiedades algebraicas de los números reales. Subconjuntos IN, Z, Q, I. Representación sobre la recta numérica y completitud de IR; concepto de valor absoluto y distancia; vecindarios; inducción. Con base en un material de texto de referencia, el profesor hará una introducción inicial a los temas y le dará seguimiento a la relevancia de estos en los diversos temas del curso. El estudiante procurará a lo largo del curso, irse familiarizando con el enfoque axiomático y reconocer en su trabajo la aplicación válida de conceptos y propiedades formales de los números reales. Se recomienda el repaso oportuno de los siguientes temas: álgebra, ecuaciones e inecuaciones lineales, cuadráticas, con valores absolutos, logarítmicas y exponenciales. Nota: En este curso no se enfatiza la resolución de ecuaciones o inecuaciones trigonométricas. EJE TRANSVERSAL DEL CURSO: Propiedades de las funciones de una variable real. El Cálculo trata de relaciones y funciones entre magnitudes, y de sus propiedades. A lo largo del curso se irán recordando y agregando definiciones de puntos, intervalos y propiedades claves de una función (dominio, recorrido, continuidad /discontinuidad, monotonía, extremos locales, extremos absolutos, concavidad, tasa media de cambio en un intervalo, tasa de cambio en un punto, derivabilidad, integrabilidad, medida de áreas delimitadas por curvas y muchos más). Y se irán recordando y agregando el respectivo reconocimiento geométrico de estos elementos y su respectiva demostración matemática, apoyada, ahora por nuevas y eficientes técnicas que provee el conocimiento del Cálculo. Para un mejor aprendizaje del Cap.II y siguientes, se le recomienda al estudiante el repaso oportuno de los temas correspondientes al plano cartesiano y funciones; verificar, en particular, que tiene fluidez para trabajar con las funciones lineales, cuadráticas, polinómicas, racionales, de potencia, exponenciales, logarítmicas, trigonométricas y sus inversas, así como para construir nuevas funciones y sus gráficas a partir de estas funciones básicas y sus respectivas gráficas. En el STEWART y en libros de Cálculo equivalentes, el capítulo inicial y algunos anexos se dedican al repaso de estos conceptos; en BIBLIOGRAFÍA se incluyen varias referencias. TEMA II: PROPIEDADES BÁSICAS, LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES (énfasis en comprensión de conceptos y propiedades). Duración estimada: 2 semanas, del 15 al 28 de ABRIL. Material de texto: STEWART (2008): Secs 2.2-2.6, y materiales complementarios. Lectura recomendada: STEWART, 2.1. Reconocimiento gráfico y definición formal. Secciones 2.2, 2.4 y 2.6. Reconocimiento de situaciones de existencia/inexistencia de continuidad y de límite en gráficas completas; justificación. Límites laterales hacia un punto. Tipos de discontinuidad. Definición formal de límite y de continuidad de la función en un punto (concordancia con situaciones sobre gráficas). Límites “infinitos” (noción intuitiva y definición formal) y concepto de asíntotas verticales en un punto. Límites “al infinito” : concepto, reconocimiento gráfico y asíntotas

horizontales hacia +, - (Sec. 2.6); el cálculo se posterga para la 2da. parte del curso. Leyes de límites y de continuidad, incluyendo teorema para el cambio de variable. Introducción al cálculo de límites mediante leyes -Secciones 2.3 y 2.6. Análisis y justificación de continuidad de una función; determinación del dominio de continuidad de una función; problemas con parámetros (Sec.2.5). Obsérvese que los límites notables de funciones trigonométricas se incluirán posteriormente, una vez conocido el concepto de derivada y el tema del Teorema de Valores Intermedios se posterga para el TEMA IV del curso.

TEMA III: RAZONES DE CAMBIO, RECTAS, LÍMITES Y DERIVADAS. Duración estimada: 3,5 semanas, del 29

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de ABRIL al 22 de MAYO. Material de texto: STEWART (2008): 2.7, 2.8 y 3.1-3.6; y materiales complementarios. Lecturas recomendadas: STEWART, 2.1 y ARYA,et al. (2009), Cap.12 (notación y aplicaciones usuales en ciencias económicas) “Un solo concepto matemático abstracto (como la derivada) puede tener interpretaciones diferentes en cada ciencia. Cuando desarrolle las propiedades del concepto matemático, de una vez por todas podrá dar la vuelta y aplicar esos resultados a todas las ciencias. (…) ´Las matemáticas comparan los fenómenos más diversos y descubren las analogías secretas que los unen´” (Stewart 2008, p. 230, cita atribuida a Joseph Fourier). Sec.2.7: Situaciones de límite que conducen a un mismo concepto matemático: el valor de la derivada de f para un valor x =a dado; problemas de rectas secantes, rectas tangentes y de razones de cambio. Sec. 2.8: Definición de la función derivada en un intervalo abierto. Derivabilidad implica continuidad. Reconocimiento gráfico de la derivabilidad; mediante definición de derivada en un punto, análisis de existencia/ inexistencia y del valor f ’(a) para un valor x =a dado. Secciones 3.1-3.4: Derivadas de las funciones básicas (sin demostración de las derivadas de seno, exponencial y logaritmo natural). Existencia y fórmulas de la derivada de la multiplicación por constante, suma (resta) de funciones derivables en un valor dado x =a. Derivadas de orden superior. Reglas de Derivación para el producto y para el cociente de funciones derivables. A partir de la derivada de senx, deducción de las derivadas de las demás funciones trigonométricas. Visualización de límites como derivadas. Secc.3.4: Derivada de una función compuesta (Regla de la cadena). Adicional: Visualización de límites como cocientes de derivadas; demostración de la Regla elemental de l´Hopital y aplicaciones a límites trigonométricos. ARYA,et al. 2009, Sec.12.2: Problemas básicos de razones de cambio relacionadas. HASTA AQUÍ EL 1ER PARCIAL. Secciones 3.5.-3.6: Derivación implícita, derivada de funciones inversas; derivación logarítmica. TEMA IV: TEOREMAS DE FUNCIONES CONTINUAS EN UN INTERVALO CERRADO; TEOREMA DEL VALOR MEDIO

Y COROLARIOS. Duración estimada: 3 semanas, del 23 de MAYO al 11 de JUNIO. STEWART (2008): Secs.2.5; 4-1-4.6; 4.9, 5.5 y materiales complementarios. Sec.2.5 (cont. y fin): Teorema de los Valores Intermedios para funciones continuas; ejemplos de aplicaciones. Sec. 4.1: Teorema de Valores Extremos para funciones continuas en un intervalo cerrado; Teorema de Fermat; optimización de funciones continuas en intervalos cerrados. Sec.4.2: Teorema de Rolle y el Teorema del Valor Medio: justificación intuitiva y justificación formal. Corolarios sobre antiderivadas y, Sec. 4.9: definición, cálculo y gráficas de antiderivadas; concepto de ecuaciones diferenciales, resolución. Secs.4.3, 4.4, 4.5, 4.6: Corolarios del TVM para determinar monotonía y concavidad. Relación entre las gráficas de un función y las de sus derivadas sucesivas. Trazo de gráficas de funciones; condiciones de primero y segundo orden para optimización sobre abiertos; cálculo de límites (incluyendo al infinito- sec. 2.6) y la Regla de L’Hopital. Sec 14.1 de ARYA y LARDNER (2009) y Sec. 5.5 del STEWART: Cálculo de diferenciales y cálculo de antiderivadas o integrales indefinidas por sustitución.

TEMA V: INTEGRACIÓN. Duración estimada: 3,5 semanas, del 12 de JUNIO al 05 de JULIO. Se señalan como guía

las secciones respectivas del texto de STEWART (2008): Secs.2.5; 5.1-5.5; 7.1 y 7.8. Esto no excluye el recurso a otros materiales complementarios. Sec.5.1 y 5.2. Áreas bajo curvas positivas. La distancia recorrida como el área bajo la curva de velocidad positiva. Sumas de Riemann, introducción a límites de sucesiones y a series. Integral definida. Propiedades básicas. 1 semana. STEWART Sec.5.3 y 5.4 y HAEUSSLER et al (2008) Sec 14.7, 14.9: Teorema fundamental del cálculo-“Parte2”: Cálculo de integrales definidas. Cálculo de áreas. El Teorema del cambio total. Cálculo por sustitución de integrales definidas (en Sec. 5.5). HAEUSSLER et al, Sec 15.1: Integración por partes; teoría y ejemplos de STEWART Sec. 7.1. HAEUSSLER et al, Sec 15.7 : Definición de integrales impropias e introducción al análisis de convergencia de Integrales impropias de 1ª y de 2ª. especies; teoría y ejemplos de STEWART Sec. 7.8. HAEUSSLER et al, Sec 14.10: Introducción al cálculo de áreas entre curvas. STEWART Sec.5.3: Teorema fundamental del cálculo-“Parte1”: Funciones definidas mediante integrales; derivación y propiedades. Definición de la función logaritmo natural como integral definida; introducción a la deducción de propiedades de funciones logarítmicas y exponenciales.

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MATERIALES DE TEXTO

Para los temas de Lógica y Conjuntos: una compilación de textos tomados de KOLMAN, MURILLO, JOHNSONBAUGH, VALVERDE, VEERARAJAN y ARIAS – ver BIBLIOGRAFÍA.

Para los temas de Cálculo, en “Contenidos” se señalaron las secciones de referencia común: del libro de “Cálculo. Trascendentes tempranas” de James Stewart (2008), con complementos de HAEUSSLER et al. (2008), ARYA et al. (1999), BIANCO et al. (2001) y ÁVILA (2003). Del STEWART existen varias ediciones, con y sin “varias variables”; “varias variables” no es tema de MA 213, aunque sí los es de los cursos siguientes.

En complemento a los textos mencionados, la Cátedra seleccionará, de manera puntual, ejercicios y material adicionales. Se informará de estos materiales tanto en clase, como en la plataforma virtual del curso (ver INTERNET, más abajo). La selección de textos y de ejercicios provendrá, fundamentalmente, de las fuentes que se indican en la sección de bibliografía.

Habrá un folder de MA213- Coordinación en la fotocopiadora de Ciencias Económicas. Deben poner atención a las anotaciones que esta coordinación hace sobre algunos de los materiales arriba mencionados, pues su finalidad es completarlos para ajustarlos a los objetivos del curso.

SOFTWARE Se recomienda aprovechar software matemático para realizar exploraciones y ejercicios tales como los que presenta el texto de STEWART. Por su fácil y gratuita utilización, se recomienda explorar Wolfram Alpha y Wolfram Demonstrations Project (para interactuar con este último se debe instalar el lector). También se recomienda Geogebra , gratuito, intuitivo y versátil. Mathematica es un programa profesional, que, como estudiante de la UCR, usted puede descargar y utilizar de manera totalmente gratuita; consulte la página www.emate.ucr.ac.cr . APOYO EXTRACLASE Es responsabilidad del estudiante asumir activamente su aprendizaje. El estudiante debe estar consciente de que para comprender todos los detalles, ampliar lo visto en clase y prepararse adecuadamente para aprovechar la siguiente sesión de clase, debe dedicar alrededor de 4 horas entre cada sesión de clases y la siguiente; y, si no es fluido en Pre Cálculo, el estudiante deberá invertir más tiempo en el estudio oportuno de estos temas. Con el fin de apoyar al estudiante en su esfuerzo extraclase, la Universidad le ofrece múltiples opciones: las horas de consulta del profesor, horas de “estudiadero” (o sea “salas de estudio acompañado”), sesiones semanales de ejercicios, tutorías, etc. Los respectivos horarios se les comunicarán en sus respectivas escuelas y en el sitio web del curso. INTERNET La página de la Coordinación del curso se encuentra en la plataforma de cursos Claroline, accesible desde la página de la Escuela de Matemática: www.emate.ucr.ac.cr. En ella se podrán encontrar la Carta al Estudiante, los avisos del curso y materiales propios de la cátedra, tales como exámenes de ciclos anteriores, precisiones para los exámenes parciales, recomendación de programas de graficación o de cálculo, y de recursos que se ofrecen en Internet (tutoriales, animaciones, prácticas...). Para recibir automáticamente los avisos de Cátedra debe inscribirse en la página de la Coordinación del

EVALUACIÓN Habrá exámenes cortos (peso total en la nota de aprovechamiento: 28%) y dos parciales de cátedra (peso de cada uno: 36%). Los exámenes cortos (de 20 a 30 minutos máximo de duración) se realizarán en el aula, aproximadamente cada 2 semanas de lecciones. Es responsabilidad del estudiante estar en contacto con su grupo y su profesor para enterarse oportunamente de la materia por evaluar y de cualquier cambio en las fechas de algún examen corto. Los exámenes cortos no se reponen; en caso de ausencia, se asigna una nota de 0. Sin embargo, para obtener la nota de Exámenes cortos (C), se elimina el examen corto de menor puntaje y se calcula el promedio de los restantes. En los exámenes cortos (o “quices”) las preguntas son tomadas de asuntos desarrollados en clase, de la lista de ejercicios que el profesor ha avisado que son “de quiz”, o muy similares; se espera, por lo tanto, que el

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estudiante conozca bien los temas y pueda resolverlos con agilidad. Los exámenes cortos serán corregidos por el profesor del grupo respectivo, como retroalimentación oportuna al estudiante sobre aspectos varios, en particular sobre la forma de redactar y justificar sus respuestas. En los exámenes parciales el estudiante debe poder mostrar habilidades y comprensión más complejas que en los quices; para prepararse para un examen parcial, los estudiantes deben poner especial atención a los ejercicios que les presenten mayor reto. La nota de aprovechamiento será el promedio ponderado de las tres notas: la nota de Exámenes cortos (C) tiene un peso de 28%, y cada parcial tiene un peso de 36%. Para efectos de promoción rigen los siguientes criterios, los cuales se refieren a la nota de aprovechamiento redondeada, en enteros y fracciones de media unidad, según el reglamento vigente:

Si la nota de aprovechamiento es mayor o igual que 7.0 el estudiante aprueba el curso.

Si la nota de aprovechamiento es 6.0 o 6.5 el estudiante tiene derecho a realizar el examen de ampliación, en el cual, debe obtener una nota mayor o igual a 7.0 para aprobar el curso. Si aprueba se le reportara 7.0 como nota final, de lo contrario se le reportara su nota de aprovechamiento.

Si la nota de aprovechamiento es menor que 6.0 el estudiante pierde el curso.

Examen de Ampliación: La materia por evaluar en el Examen de Ampliación de un estudiante dado, depende del resultado de sus exámenes parciales: el estudiante será evaluado en la materia de los exámenes parciales en los que no haya obtenido una nota de al menos 7,0 sobre 10. Si el estudiante obtiene 7 o más en su examen de Ampliación, aprueba el curso con nota de 7.0. Si la nota del Ex de Ampliación es menor a 7,0 esta se promediará con los exámenes parciales superiores a 7,0 para obtener un promedio de Ampliación, el cual, si es de 7,0 o más conduce a la aprobación del curso con nota 7,0. FECHAS Y HORA TENTATIVAS DE LOS EXÁMENES DE CÁTEDRA.

1er Examen Parcial Sábado 18 de MAYO, 1pm.

Reposición 1er. Ex Parcial Miércoles 29 de MAYO, 1pm.

2do. Examen Parcial Miércoles 10 de JULIO, 1pm.

Reposición 2do. Ex Parcial Sábado 13 de JULIO, 8am.

Ampliación y suficiencia Viernes 19 de JULIO, 8am.

Las fechas que se indican son tentativas, pues estarán sujetas al calendario general de exámenes de la Facultad de Ciencias. Cualquier cambio les será comunicado oportunamente por su profesor y será exhibido en la página web del curso. CONSIDERACIONES RESPECTO DE LOS EXÁMENES. Grupos: Sin excepción, todos los estudiantes deben hacer sus exámenes en el grupo en el que están matriculados. Identificación: Tome en cuenta que, ante los casos de suplantación que se han suscitado, al realizar cualquier examen se exigirá, como requisito, la presentación de uno de los siguientes documentos: cédula de identidad, licencia de conducir, pasaporte o carné universitario. Calculadoras: En los exámenes de este curso se permite únicamente el uso de calculadoras científicas que no sean programables y que no sean graficadoras – conozca su calculadora antes de llevarla a examen. Exámenes de Reposición: Para tener derecho a realizar examen de reposición el estudiante debe entregar la fórmula oficial de solicitud confeccionada para tal efecto por la Escuela de Matemática (ver página web del curso o de la Escuela), acompañada del documento oficial que justifique debidamente la razón de su ausencia a examen, según las causas que el Reglamento de Régimen Académico Estudiantil considera como válidas. Dicha solicitud debe ser enviada al correo electrónico de la Coordinadora de MA213 o depositada en su casillero dentro de los 3 días hábiles siguientes a la realización de la prueba; además, el estudiante debe enviar correo electrónico avisando a su respectivo profesor(a), con copia a la Coordinadora.

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------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ BIBLIOGRAFÍA Lógica y teoría de conjuntos KOLMAN , Bernard , BUSBY, Robert C., ROSS, Sharon, Estructuras de Matemáticas Discretas para la Computación, 3ª. Ed. Prentice Hall Hispanoamericana, México, 1997. Capítulos 1, 2, secciones: 3.4, 4.1 MURILLO TSIJLI, Manuel, Introducción a la Matemática Discreta, 2da. Editorial Tecnológica de Costa Rica, Cartago, 2007. Caps.1 y 2. VEERARAJAN, T. Matemáticas discretas- Con teoría de gráficas y combinatoria, McGrawHill Interamericana, 2008.VALVERDE, L., Introducción al pensamiento lógico matemático, Ed Guayacán, Costa Rica, 2006. ARIAS F, BARRANTES H., Introducción a la matemática formal desde las funciones, Editorial UCR, 2010. Para ampliar y profundizar: CAMACHO, Luis A., Lógica Simbólica Básica, LIMUSA, México, 2005. COPI, I, Symbolic Logic, MacMillan, New York, 1954. Cálculo en el contexto matemático y de varias ciencias e ingenierías. STEWART, James, Cálculo. Trascendentes tempranas.* En sus diversas versiones y ediciones. La más reciente: 2008. EDWARDS C.H.. y PENNEY D., Cálculo con trascendentes tempranas*, 7a.ed., Pearson Education, México, 2008. Textos de cálculo en una variable*: de THOMAS, G. B., THOMAS y FINNEY, EDWARDS C.H. y PENNEY D., LARSON, signaturas 517 en la biblioteca. Para ampliar y profundizar: APOSTOL, T.: “Calculus”. Tomo I. Editorial Reverté. Barcelona, España, 1965. Pre cálculo, Cálculo, Teoría de conjuntos y más, en el contexto específico de Matemáticas para Ciencias Económicas y Sociales ARYA, Jadish C., LARDNER, Robin W, IBARRA Víctor, Matemáticas aplicadas a la Administración y a la Economía, 5ª- ed., PEARSON EDUCACIÓN, México, 2009. Esta y anteriores ediciones: excelente referencia para el repaso del pre cálculo y para ubicar los temas del curso en el contexto de las ciencias económicas. HAEUSSLER, Ernest F., Jr., PAUL, Richard S, WOOD Richard, Matemáticas para Administración y Economía, 12ava edición, PEARSON EDUCATION, México 2008. O en edición anterior: Matemáticas para Administración, Economía, Ciencias Sociales y de la Vida, 8ava. Edición, Prentice Hall Hispanoamericana S.A., México, 1997. Al igual que el ARYA, excelente referencia para el repaso del pre cálculo y para ubicar los temas del curso en el contexto de las ciencias económicas. BIANCO, CARRIZO et al. Análisis matemático I con aplicaciones a las Ciencias Económicas, Ed. Macchi, Buenos Aires, 2001. SYDSAETER,K. y HAMMOND, P, Matemáticas para el análisis económico, Prentice Hall, Madrid, 1996. Referencia para los estudiantes de Economía en su secuencia de cuatro cursos de Matemática. FIGUEROA, N. y RAMÍREZ, V., Notas para el Curso MA-0230 Matemática para Ciencias Económicas I, descargable en la página del respectivo curso: www.emate.ucr.ac.cr buscar en Claroline, Dpto. Matemáticas Aplicadas. Contiene PreCálculo y Cálculo Diferencial. ACUÑA y CALDERÓN, Ejercicios de Matemática para Administración- Precálculo, Editorial Tecnológica de Costa Rica, Cartago, 2009. Breve presentación de teoría; ejercicios modelo resueltos. Ejercicios con sugerencias o respuesta. CASTILLO, W. y CUENCA, R.* “Matemática para Economía y Estadística”.* 1981. DOWLIN E. “Cálculo para Administración, Economía y Ciencias*…” McGraw-Hill, México, 1990. Para ampliar y profundizar: CHIANG, A. “Métodos Fundamentales de Economía Matemática”. McGraw-Hill, México, 1984. Problemarios de Cálculo con respuestas o ejercicios resueltos; verificar con profesor(a) si la redacción de soluciones se considera completa en MA213. ÁVILA, J.F., Ejercicios de Cálculo. Límites, derivadas e integrales., 3ª. Ed. Editorial Tecnológica de Costa Rica, Cartago, 2003. Proyecto MATEM, Cálculo I, Escuela de Matemática, UCR. 1ª. Edición, 2008, Recopilado por: Lizeth SANCHO MORA. Síntesis y ejercicios modelo resueltos; incluye exponenciales y logaritmos desde el inicio. Para ampliar y profundizar: DEMIDOVICH, B. P. “Problemas y ejercicios de Análisis Matemático”. 8ava.Edición. Editorial MIR, Moscú, 1984. Resumen de teoría, ejercicios resueltos y ejercicios con pistas o sólo respuesta final. A su disposición para atender cualquier duda o sugerencia,

M.Sc. Adriana Garrido Quesada, Coordinadora. profesoraAGQ@yahoo.fr, Casillero 18 2do. piso FM . Oficina 411-III FM.