Si A 1 , A 2 , . . . , A n son:

Sucesos incompatibles 2 a 2 .

Y cuya unión es e l espacio muestral (A 1 A 2 . . . A n = E) .

Y B es ot ro suceso.

Resu l ta que:

Las probabi l idades p(A 1) se denominan probabi l idades a pr ior i .

Las probabi l idades p(A i /B) se denominan probabi l idades a posterior i .

Las probabi l idades p(B/A i) se denominan veros imi l i tudes .

Ejemplos

El 20% de los empleados de una empresa son ingenieros y ot ro 20% son economistas . E l 75% de los ingenieros ocupan un puesto d i rect ivo y e l 50% de los economistas también, mientras que los no ingenieros y los no economistas so lamente e l 20% ocupa un puesto d i rect ivo . ¿Cuá l es la probabi l idad de que un empleado d i rect ivo e leg ido a l azar sea ingeniero?

La probabi l idad de que haya un acc idente en una fábr ica que d ispone de a larma es 0 .1 . La probabi l idad de que suene esta s í se ha produc ido a lgún inc idente es de 0 .97 y la probabi l idad de que suene s i no ha suced ido n ingún inc idente es 0 .02.

En e l supuesto de que haya func ionado la a larma, ¿cuá l es la probabi l idad de que no haya hab ido n ingún inc idente?

Sean los sucesos :

I = Produc i rse inc idente .

A = Sonar la a larma.

Teorema de Bayes

El teorema de Bayes parte de una situación en la que es posible conocer las probabilidades de que ocurran una serie de sucesos Ai.

A esta se añade un suceso B cuya ocurrencia proporciona cierta información, porque las probabilidades de ocurrencia de B son distintas según el suceso Ai que haya ocurrido.

Conociendo que ha ocurrido el suceso B, la fórmula del teorema de Bayes nos indica como modifica esta información las probabilidades de los sucesos Ai.

Ejemplo: Si seleccionamos una persona al azar, la probabilidad de que sea diabética es 0,03. Obviamente la probabilidad de que no lo sea es 0,97.Si no disponemos de información adicional nada más podemos decir, pero supongamos que al realizar un análisis de sangre los niveles de glucosa son superiores a 1.000 mg/l, lo que ocurre en el 95% de los diabéticos y sólo en un 2% de las personas sanas.

¿Cuál será ahora la probabilidad de que esa persona sea diabética?

La respuesta que nos dá el teorema de bayes es que esa información adicional hace que la probabilidad sea ahora 0,595.Vemos así que la información proporcionada por el análisis de sangre hace pasar, la probabilidad inicial de padecer diabetes de 0,03, a 0,595.Evidentemente si la prueba del análisis de sangre hubiese sido negativa, esta información modificaría las probabilidades en sentido contrario. En este caso la probabilidad de padecer diabetes se reduciría a 0,0016.

Probabilidad total. Teorema de Bayes

 

Ejemplos

Teorema de Bayes

 

El Teorema de Bayes viene a seguir el proceso inverso al que hemos visto en el Teorema de la probabilidad total:

Teorema de la probabilidad total: a partir de las probabilidades del suceso A (probabilidad de que llueva o de que haga buen tiempo) deducimos la probabilidad del suceso B (que ocurra un accidente).

Teorema de Bayes: a partir de que ha ocurrido el suceso B (ha ocurrido un accidente) deducimos las probabilidades del suceso A (¿estaba lloviendo o hacía buen tiempo?).

Tratar de explicar estar fórmula con palabras es un galimatías, así que vamos a intentar explicarla con un ejemplo. De todos modos, antes de entrar en el ejercicio, recordar que este teorema también exige que el suceso A forme un sistema completo.

 

Ejercicio 1º: El parte meteorológico ha anunciado tres posibilidades para el fin de semana:

a) Que llueva: probabilidad del 50%.

b) Que nieve: probabilidad del 30%

c) Que haya niebla: probabilidad del 20%.

Según estos posibles estados meteorológicos, la posibilidad de que ocurra un accidente es la siguiente:

a) Si llueve: probabilidad de accidente del 10%.

b) Si nieva: probabilidad de accidente del 20%

c) Si hay niebla: probabilidad de accidente del 5%.

Resulta que efectivamente ocurre un accidente y como no estabamos en la ciudad no sabemos que tiempo hizo (nevó, llovío o hubo niebla). El teorema de Bayes nos permite calcular estas probabilidades:

Las probabilidades que manejamos antes de conocer que ha ocurrido un accidente se denominan "probabilidades a priori" (lluvia con el 60%, nieve con el 30% y niebla con el 10%).

Una vez que incorporamos la información de que ha ocurrido un accidente, las probabilidades del suceso A cambian: son probabilidades condicionadas P (A/B), que se denominan "probabilidades a posteriori".

Vamos a aplicar la fórmula:

a) Probabilidad de que estuviera lloviendo:

La probabilidad de que efectivamente estuviera lloviendo el día del accidente (probabilidad a posteriori) es del 71,4%.

b) Probabilidad de que estuviera nevando:

La probabilidad de que estuviera nevando es del 21,4%.

c) Probabilidad de que hubiera niebla:

La probabilidad de que hubiera niebla es del 7,1%

EnunciadoSean     sucesos incompatibles dos a dos, tales que siempre ocurre alguno de ellos, y sea     un suceso cualquiera del

que se conocen las probabilidades condicionales   Entonces las probabilidades     vienen dadas por la expresión:

Demostración

Por definición de probabilidad condicionada

despejando   , se tiene:

La probabilidad   , por el teorema de la probabilidad total, es igual a

Sustituyendo en la ecuación anterior, obtenemos la fórmula de Bayes.

Ejemplo

Tenemos tres urnas:     con tres bolas rojas y cinco negras,     con dos bolas rojas y una negra y     con dos bolas rojas y tres negras. Escogemos una urna al azar y extraemos una bola. Si la bola ha sido roja, ¿cuál es la probabilidad de haber sido extraída de la urna   ?

Llamamos     al suceso sacar bola roja. La probabilidad pedida es   . Utilizando el teorema de Bayes, tenemos:

Ejercicio 8-1:

Tres máquinas, A, B y C, producen el 45%, 30% y 25%, respectivamente, del total de las piezas producidas en una fábrica. Los porcentajes de producción defectuosa de estas máquinas son del 3%, 4% y 5%.

a. Seleccionamos una pieza al azar; calcula la probabilidad de que sea defectuosa. b. Tomamos, al azar, una pieza y resulta ser defectuosa; calcula la probabilidad de

haber sido producida por la máquina B. c. ¿Qué máquina tiene la mayor probabilidad de haber producido la citada pieza

defectuosa?

Solución:

Sea D= "la pieza es defectuosa" y N= "la pieza no es defectuosa". La información del problema puede expresarse en el diagrama de árbol adjunto.

a. Para calcular la probabilidad de que la pieza elegida sea defectuosa, P(D), por la propiedad de la probabilidad total,

P(D) = P(A) · P(D/A) + P(B) · P(D/B) + P(C) · P(D/C) == 0.45 · 0.03 + 0.30 · 0.04 + 0.25 · 0.05 =

0.038

b. Debemos calcular P(B/D). Por el teorema de Bayes,

c. Calculamos P(A/D) y P(C/D), comparándolas con el valor de P(B/D) ya calculado. Aplicando el teorema de Bayes, obtenemos:

Ejercicio 8-2:

Tenemos tres urnas: A con 3 bolas rojas y 5 negras, B con 2 bolas rojas y 1 negra y C con 2 bolas rojas y 3 negras. Escogemos una urna al azar y extraemos una bola. Si la bola ha sido roja, ¿cuál es la probabilidad de haber sido extraída de la urna A?

Solución:

Llamamos R= "sacar bola roja" y N= "sacar bola negra". En el diagrama de árbol adjunto pueden verse las distintas probabilidades de ocurrencia de los sucesos R o N para cada una de las tres urnas.

La probabilidad pedida es P(A/R). Utilizando el teorema de Bayes, tenemos: