Ayudantia6-2015.1(Pauta)
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7/24/2019 Ayudantia6-2015.1(Pauta)
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Universidad Tecnica Federico Santa Mara
Departamento de Matematica
Ayudanta 6 Mate 420 de abril, 2015
Profesor: Pablo Gonzalez Lever / Ayudante: Vctor Valdebenito Silva
1. Dada la funcion T : [0, 2] R20 R2 definida porT(, ) = ( cos sin4, sin sin4) = (x, y).
a) Considerar el rectangulo R = [0, /4] [0, 2]. Dibujar la imagen deT(R) = .Sol:
Observar que se trata de una transformacion a coordenadas polares de la rosa de ocho petalos = sin4 con radio maximo 2. Como el angulo se mueve entre 0 y
4, se trata solo de un
petalo, el cual se encuentra en el primer cuadrante.
Figura 1: imagen deT(R) =
b) Calcular la masa del cilindro Scon base y altura dada por la superficie z=
4 x2 y2con densidad proporcional a la distancia de cada punto del solido al plano xy .Sol:
Se define la funcion densidad de masa como
(x,y,z) =K|z|Luego, para encontrar la masa bajo esta transformacion, es necesario calcular el jacobiano
J(, ) = cos sin4 ( sin sin4+ 4 cos cos4)sin sin4 (cos sin4+ 4 sin cos4) = sin
2 4
Luego, la masa del solido viene dada por
m= K
/40
2
0
42 sin2 4
0
z sin2 4dzdd
=k
2
/40
8sin2 4d 4 /40
sin2 4d
=5k
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2. Sea R2 una lamina delimitada por las curvasy= x3, y= x3 + 2, y+x= 0, y+x 3 = 0.
Si la densidad en cada punto de la lamina viene determinada por la funcion(x, y) = 1 + 3x2
y si para k [0, 3] se define la rectal: x+y= k.a) Calcular el momento de inercia de la lamina respecto a la recta l, el cual sera denotado por
I(k).Sol:
La inercia viene dada por la integral
I(k) =
(x, y)d2(x, y)dxdy
Aqu, (x, y) es la densidad de masa que en este caso viene dada por (x, y) = 1 + 3x2.
Por otra parte,d2(x, y), es la distancia de todos los puntos (x, y) al eje de interes, que eneste caso esx+y= k. Recordando que la distancia de un punto a una recta es el valor absolutode la ecuacion general de la recta sobre la raz de los coeficientes de la misma. Entonces,
d(x, y) =|x+y k|
2
Para resolver, consideramos el cambio
u= y x3 u [0, 2]v= x+y v [0, 3]
J1(u, v) =3x2 11 1
= 1 + 3x2 J(u, v) = 11 + 3x2Luego, la inercia viene dada por la integral
I(k) =1
2
3
0
2
0
(v k)2dudv= 3k2 9k+ 9
b) Determinark de modo que I(k) sea mnimo.Sol:
Derivando obtenemos
I(k) = 6k 9I(k) = 6>0
Como la segunda derivada es positiva, tenemos que al igualar la primera derivada a cero,obtendremos un mnimo. As
6k 9 = 0 k= 32
es el valor que da la inercia mnima.
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3. Considerar la curva
(s) = a cos sa2 +b2 , a sin
sa2 +b2 , b
sa2 +b2 .
Hallar la curvatura y la torsion de (s).Sol:
Hacemos = 1a2+b2
.
(s) = (a sin s,a cos s,b)Observar que||(s)|| = 1 T(t) =(s). De esto tambien se deduce que (s) esta parame-trizada por longitud de arco.Por formulas de Frenet tenemos
T(s) = (a2 cos s,a2 sin s, 0) =k(s)N(s) k(s) =a
2
N(s) = ( cos s, sin s, 0) B(s) =T(s)N(t) = (b sin s,b cos s,a)
Si usamos una vez mas las formulas de Frenet tenemos
B(s) = (b2 cos s,b2 sin s, 0) =(s)N(s)
(s) = b2
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4. Considerar la superficie de ecuacion xyz = 3, > 0. Demostrar que el volumen encerradopor el plano tangente en un punto cualquiera de la superficie y los planos coordenados esconstante.
Sol:Digamos queP = (a,b,c) es un punto de la superficie.Definimos la superficieF(x,y,z) =xyz 3.El plano tangente a esta superficie viene dado por
F P0= 0
Donde P0= (x a, y b, z c) yF = (yz,xz,xy), por lo que el plano tangente sera
bc(x a) +ac(y b) +ab(z c) = 0
x
3a
+ y
3b
+ z
3c
= 1
Luego, el volumen bajo este plano es
V =
3b
0
a(3yb )0
3ccx
acy
b
dxdy
=ac
2
3b
0
3 y
b
2dy
=9abc
2
=
93
2
pues (a,b,c) esta sobre la superficie. Queda entonces demostrado.
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