Axioma

A veces se compara a los axiomas consemillas, porque de ellos surge toda la teora de la cual son axiomas.Unaxiomaes una proposicin que se considera evidente y se acepta sin requerir demostracin previa. En un sistema hipottico-deductivo es toda proposicin no deducida (de otras), sino que constituye una regla general de pensamiento lgico (por oposicin a lospostulados).1Enlgicaymatemticas, unaxiomaes una premisa que, por considerarse evidente, se acepta sin demostracin, como punto de partida para demostrar otras frmulas. Tradicionalmente los axiomas se eligen de las consideradas afirmaciones evidentes, porque permiten deducir las dems frmulas.Enlgicaun postulado es una proposicin no necesariamente evidente: unafrmula bien formada(planteada) de unlenguaje formalutilizada en unadeduccinpara llegar a unaconclusin.En matemtica se distinguen dos tipos de proposiciones: axiomaslgicosy postulados.La palabraaxiomaproviene del sustantivogriego, que significa lo que parece justo o, que se le considera evidente, sin necesidad de demostracin. El trmino viene del verbo griego (axioein), que significa valorar, que a su vez procede de (axios): valioso o digno. Entre losfilsofosgriegos antiguos, un axioma era lo que pareca verdadero sin necesidad de prueba alguna.LgicaArtculo principal:Lgica proposicionalLalgicadel axioma es partir de unapremisacalificada deverdaderapor s misma (el axioma), y de sta inferir otrasproposicionespor medio delmtodo deductivo, de lo cual se obtienen conclusiones coherentes con el axioma. A partir de los axiomas, y dereglas de inferencia, han de deducirse todas las dems proposiciones de una teora dada.Axioma lgicoLos axiomas son ciertas frmulas en unlenguaje formalque son universalmente vlidas, esto es frmulas satisfechas por cualquier estructura y por cualquier funcin variable. En trminos coloquiales son enunciados verdaderos en cualquier mundo posible, bajo cualquier interpretacin posible, con cualquier asignacin de valores. Comnmente se toma como axioma un conjunto mnimo detautologassuficientes para probar una teora.MatemticasPara que todos los procedimientos matemticos usados sean vlidos se debe partir de una base que respalde cada procedimiento, cada paso lgico usado, y debe, en consecuencia,demostrarsecada afirmacin no trivial. Son estas demostraciones los pilares fundamentales de toda rama de las matemticas, ya que sin ellos puede ponerse en duda la veracidad de cualquier afirmacin.Las afirmaciones a las que se hace referencia se llamanaxiomas. Sern, por lo tanto, afirmaciones que se aceptan como verdaderas debido a su trivialidad, pudiendo en ocasiones ser demostradas cuando no lo son.El otro tipo de afirmaciones a las que se hace referencia diciendo:afirmacin no trivial, son losteoremas, que son ya, afirmaciones no tan triviales y muchas veces poco intuitivas. Estas afirmaciones deben ser demostradas usando los axiomas u otros teoremas ya demostrados. Una consecuencia inmediata de un teorema se llamarcorolario.Muchas partes de lamatemticaestn axiomatizadas, lo que significa que existe un conjunto de axiomas de los cuales es posible deducir todas las verdades de esa parte de la matemtica. Por ejemplo, de losaxiomas de Peanoes posible deducir todas las verdades de laaritmtica(y por extensin, de otras partes de la matemtica).El formalismo surgido como consecuencia de la crisis fundacional de principios del siglo XX dio lugar al llamadoprograma de Hilbert. Dicho programa abogaba por la formalizacin de diferentes ramas de las matemticas mediante un conjunto de axiomas explcitos, en general formulados enlenguajes formalesdeprimer orden. Eso significa que junto con los axiomas lgicos ordinarios de una teora de primer orden se introducan smbolos extralgicos (para constantes, funciones y predicados) y ciertos axiomas matemticos que usaban dichos signos que restringan su comportamiento. Cada teora matemtica necesita un conjunto diferente de signos extralgicos, por ejemplo la aritmtica de primer orden requiere la funcin siguiente y una constante que designe al primer de los nmeros naturales (a partir de esos dos signos nuevos una constante y una funcin, son definibles la suma, la multiplicacin, la relacin de orden menor o igual y todas las nociones necesarias para la aritmtica).El programa de Hilbert hizo concebir la posibilidad de unas matemticas en que la propia consistencia de axiomas escogidos fuera verificable de manera relativamente simple. Sin embargo, el teorema de incompletitud de Gdel y otros resultados mostraron la inviabilidad del programa de Hilbert para los fines con los que fue propuesto.Limitaciones de los sistemas axiomticosA mediados del siglo XX,Kurt Gdeldemostr sus famososteoremas de incompletitud. Estos teoremas mostraban que aunque un sistema de axiomas recursivos estuvieran bien definidos y fueranconsistentes, los sistemas axiomticos con esos sistemas de axiomas adolecen de limitaciones graves. Es importante, notar aqu la restriccin de que el sistema de axiomas searecursivamente enumerable, es decir, que el conjunto de axiomas forme un conjunto recursivamente enumerable dada una codificacin o gdelizacin de los mismos. Esa condicin tcnica se requiere ya que si el conjunto de axiomas no es recursivo entonces lateorani siquiera serdecidible.Con esa restriccin Gdel demostr, que si la teora admite unmodelode cierta complejidad siempre hay una proposicinPverdadera pero no demostrable. Gdel prueba que en cualquiersistema formalque incluyaaritmticapuede generarse unaproposicinPmediante la cual se afirme queeste enunciado no es demostrable.

Sistema axiomticoEnlgicaymatemticas, unsistema axiomticoconsiste en un conjunto deaxiomasque se utilizan, mediante deducciones, para demostrarteoremas. Ejemplos de sistemas axiomticos deductivos son lageometra euclidianacompilada porEuclidesen losElementos1y el sistema axiomtico de lalgica proposicional.HistoriaEl primer intento se remonta a la axiomatizacin de los Elementos de Euclides (siglo IV-III a.C.), aplicado a lageometra plana. Euclides enuncia cincopostuladosy cinco nociones comunes (axiomas), de los que deduce sus teoremasgeomtricos. Al mismo tiempo,Aristtelesaporta el primer enfoque de lalgica formalen elrganon, recogiendo diversos axiomas dePlatny otros filsofos.En matemticas, sin embargo, el primer intento de axiomatizacin lleg en 1888, cuandoRichard Dedekindpropuso un conjunto de axiomas sobre los nmeros.2Al ao siguiente,Giuseppe Peanoretoma los trabajos de Dedekind y expone sus axiomas aritmticos.Gottlob Frege, en 1884, con su obraDie Grundlagen der Arithmetiky la posteriorGrundsetze der Arithmetik, trata de reducir la aritmtica a la lgica.Bertrand Russellen su intento de 1901 descubri la paradoja del mismo nombre: paradoja de Russell, y para resolverla trabaj conAlfred North Whitehead, enPrincipia Mathematica. En 1899, David Hilbert reformula los axiomas de la geometra, y tambin explica los conceptos que Euclides dej implcitos, por ejemplo, Euclides no dice que hay al menos tres puntos en el plano, o que hay al menos un punto en el plano que no pertenece a la lnea, etc.En el Congreso celebrado en 1900,David Hilbertplante varios problemas, entre los que inclua la demostracin de la consistencia de los axiomas de las matemticas y la axiomatizacin de lafsica. En 1931,Kurt Gdeldemostr que cualquier sistema axiomtico equivalente a losaxiomas de Peanoes incompleto y que si este sistema es consistente, no se puede utilizar para probar su consistencia (teorema de incompletitud de Gdel).

Sistemas axiomticos formales e informalesUn sistema axiomtico puede tener expresados sus axiomas de manera formal o de manera informal: Unaaxiomatizacin formalusa unlenguaje formaly en l cada axioma es una cadena finita de signos en el alfabeto del lenguaje formal, siguiendo reglas combinatorias que hacen de la secuencia unafrmula bien formada. Unaaxiomatizacin informalusa unalengua naturalformalizaday definiciones no ambiguas, los libros de matemtica y otras disciplinas formales normalmente redactan los axiomas de esta manera.Los sistemas de axiomas formales son ms sencillos de estudiar y son preferibles para caracterizar las propiedades de los sistemas matemticos. En particular admiten una caracterizacin semntica muy clara en lateora de modelosy sus propiedades deductivas pueden ser tratadas en lateora de la demostracin. Por el contrario, las axiomatizaciones informales slo son tiles cuando se tiene un modelo concreto en mente y se pretenden buscar propiedades que se cumplen en el modelo.Componentes de un sistema axiomtico formal

Un sistema axiomtico formal consta de los siguientes elementos: Un alfabeto S para construir expresiones formales que incluye: Un conjunto de smbolos paraconectivas lgicas,cuantificadores Un conjunto de smbolos para designar variables Un conjunto de smbolos para constantes (que tendrn en un modelo una interpretacin fija). Un conjunto de smbolos que sern interpretados comofunciones. Un conjunto de smbolos que sern interpretados comorelaciones. Una gramtica formal que incluir: Reglas debuena formacin, que reproducen la "morfologa" del lenguaje formal. Reglas de inferenciaque permitirndeducirunas proposiciones de otras, estas reglas reproducen la "sintaxis" del lengua formal. Un conjunto de axiomas inicial, o expresiones bien formadas son el punto de partida de cualquier deduccin.Para el conjunto de expresiones bien formadas exresadas en el lenguaje formal anterior puede definirse una S-estructura en la que a cada variable constante o cada ocurrencia libre de una variable reciba un valor dentro del modelo (es decir, las constantes y variables libres sern conjuntos preasignados de la S-estructura). Las funciones y relaciones sern definidas como funciones y relaciones matemticas dentro de la S-estructura. Una vez definidas las constantes, variables libres, funciones y relaciones resulta trivial atribuir un significado concreto a las expresiones del lenguaje formal en la S-estructura.

Modelos para un sistema axiomtico formalSi un conjunto de proposiciones (frmulas bien formadas) de un sistema axiomtico formal admiten una S-estructura donde se satisfacen, entonces se dice que dicha estructura es un modelo para el conjunto de proposiciones. Un sistema de axiomas que admite un modelo es un sistema de axiomas consistente. Un sistema formal bien construido satisface "teorema de validez" que viene a afirmar que cualquier proposicin deducible de los axiomas o teorema del sistema axiomtico, se satisface tambin, en todos los modelo que sean un modelo en el que se satisfacen los axiomas. La propiedad recproca no siempre se cumple, una proposicin que se satisface en todos los modelos de una teora no tiene porqu ser deducible del sistema de axiomas. Este ltimo punto es ilustrado por losteoremas de incompletitud de Gdel, que viene a afirmar que una sistema formal de ciertos sistemas matemticos con un conjunto de axiomas que satisface determinada propiedad formal (ser un recursivamente enumerables) admitir un modelo en el que algunas proposiciones sern ciertas pero no sern deducibles. Es decir, lateoraasociada al sistema axiomtico formal ser esencialmenteincompleta.EjemplosLateora de gruposes un sistema axiomtico se puede basar en el siguiente conjunto de tres axiomas G1, G2 y G3:(G1) para todox,yyz:(G2) para todox:(G3) para todox, existe unytal queEste conjunto de axiomas no es nico, ya que pueden ser substituidos por otros equivalentes. En teora de grupos el asunto importante es que el conjunto de teoremas sean los mismos en dos axiomatizaciones diferentes. Eso implica que las dos clase de modelos que satisfacen los dos sistemas de axiomas coindiden. Los tres axiomas anteriores pueden escribirse sin usar ninguna lengua natural usando slo smbolos de una lenguaje de primer orden como:(G1)(G2)(G3)Dondefdebe interpretarse como la funcin definida sobreGxGque da un elemento deGdando operacin de grupo,xison signos de variables (puede definirse una coleccin infinita numeralbe de las mismas) yc1es una constante que requiere la teora que se interpretar como el elemento neutro (es decir, los axiomas postulan que dicho elemento existe).Geometra no euclidiana

Los tres tipos de geometras homogneas posibles, adems de la geometra euclidea de curvatura nula, existen lageometra elpticade curvatura positiva, y lageometra hiperblicade curvatura negativa. Si se consideran geometras no-eucldeas homogneas entonces existe una infinidad de posibles geometras, descritas por lasvariedades riemannianasgenerales.Se denominageometra no euclidianaono eucldea, a cualquier forma degeometracuyos postulados y propiedades difieren en algn punto de los establecidos porEuclidesen su tratadoElementos. No existe un solo tipo de geometra no eucldea, sino muchos, aunque si se restringe la discusin a espacios homogneos, en los que la curvatura del espacio es la misma en cada punto, en los que los puntos del espacio son indistinguibles pueden distinguirse tres tipos de geometras: Lageometra euclidianasatisface los cinco postulados de Euclides y tiene curvatura cero. Lageometra hiperblicasatisface slo los cuatro primeros postulados de Euclides y tiene curvatura negativa. Lageometra elpticasatisface slo los cuatro primeros postulados de Euclides y tiene curvatura positiva.Todos estos son casos particulares degeometras riemannianas, en los que la curvatura es constante, si se admite la posibilidad de que la curvatura intrnseca de la geometra vare de un punto a otro se tiene un caso de geometra riemanniana general, como sucede en lateora de la relatividad generaldonde la gravedad causa una curvatura no homognea en elespacio-tiempo, siendo mayor la curvatura cerca de las concentraciones de masa, lo cual es percibido como un campo gravitatorio atractivo.HistoriaEl primer ejemplo de geometra no euclidiana fue lahiperblica, teorizada inicialmente porImmanuel Kant, formalizada posterior e independientemente por varios autores a principios delsiglo XIXtales comoCarl Friedrich Gauss,Nikoli Lobachevski,Jnos BolyaiyFerdinand Schweickard.Los desarrollos de geometras no eucldeas se gestaron en sus comienzos con el objetivo de construir modelos explcitos en los que no se cumpliera elquinto postulado de Euclides.La geometra Euclideana haba sido desarrollada por los griegos y expuesta por Euclides en la obraLos elementos. En su primera obra publicada, "Pensamientos sobre la verdadera estimacin de las fuerzas vivas" (Gedanken von der wahren Schtzung der lebendigen Krfte undBeurteilung der Beweise derer sich Herr vonLeibnizund anderer Mechaniker in dieserStreitsache bedient haben) (1746),Immanuel Kantconsidera espacios de ms de tres dimensiones y afirma:Una ciencia de todas estas posibles clases de espacio sera sin duda la empresa ms elevada que un entendimiento finito podra acometer en el campo de la Geometra... Si es posible que existan extensiones con otras dimensiones, tambin es muy probable que Dios las haya trado a la existencia, porque sus obras tienen toda la magnitud y variedad de que son capaces.Esas posibles geometras que Kant entrev son las que hoy se llaman geometras euclidianas de dimensin mayor que 3.Por otra parte, ya desde la antigedad se consider que elquinto postuladodel libro de Euclides no era tan evidente como los otros cuatro pues, al afirmar que ciertas rectas (las paralelas) no se cortarn al prolongarlas indefinidamente, habla de una construccin mental un tanto abstracta. Por eso durante muchos siglos se intent sin xito demostrarlo a partir de los otros cuatro. A principios del siglo XIX, se intent demostrarlo porreduccin al absurdo, suponiendo que es falso y tratando de obtener una contradiccin. Sin embargo, lejos de llegar a un absurdo se encontr que existan geometras coherentes diferentes de la eucldea. Se haba descubierto as la primera geometra no eucldea (en concreto el primer ejemplo que se logr era una geometra llamada hiperblica).Geometras de curvatura constanteGeometra hiperblica

Modelo del disco Poincarpara la geometra hiperblica con una teselacin {3,7} de rombos truncados.Artculo principal:Geometra hiperblicaA principios del siglo XIX, y de modo independiente,Gauss(1777-1855),Lobachevsky(1792-1856),Jnos BolyaiyFerdinand Schweickardlograron construir la geometra hiperblica, a partir del intento de negar elquinto postulado de Euclidesy tratar de obtener una contradiccin. En lugar de obtener una contradiccin lo que obtuvieron fue una curiosa geometra en la que los tres ngulos de un tringulo sumaban menos de 180 sexagesimales (en la geometra eucldea los ngulos de cualquier tringulo suman siempre exactamente 180).La naturalidad de esta geometra qued confirmada a finales del siglo, cuandoBeltramidemostr que la geometra hiperblica coincide con la geometra intrnseca de cierta superficie yKleindio la interpretacinproyectivade la geometra hiperblica. Ambos resultados prueban que es tan consistente como la Geometra eucldea (es decir, si la geometra hiperblica lleva a alguna contradiccin, entonces la geometra eucldea tambin).Algunos afirman queGaussfue el primero en considerar la posibilidad de que la geometra del Universo no fuera la eucldea. Sabiendo queen la geometra hiperblica la suma de los ngulos de cualquier tringulo es menor que dos rectos, se dice que subi a la cima de tres montaas con unteodolito, aunque la precisin de sus instrumentos no fue suficiente para decidir la cuestin con tal experimento. Sin embargo, otros afirman que cuando escribi que trataba de corregir los efectos de posibles curvaturas se refera a corregir el efecto de la curvatura terrestre en los estudios cartogrficos que estaba realizando.Geometra elptica

La esfera es un modelo de geometra elptica bidimensional, losmeridianosresultan serlneas geodsicasmientras que losparalelosson lneas de curvatura no mnima.Artculo principal:Geometra elpticaLa geometra elptica es el segundo tipo de geometra no-eucldea homognea, es decir, donde cualquier punto del espacio resulta indistinguible de cualquier otro. Una variedad de Riemann de curvatura positiva constante es un ejemplo de geometra elptica. Un modelo clsico de geometra elptican-dimensional es lan-esfera.En la geometra elptica las lneas geodsicas tienen un papel similar a las lneas rectas de la geometra eucldea, con algunas importanes diferencias. Si bien la mnima distancia posible entre dos puntos viene dada por una lnea geodsica, que adems son lneas de curvatura mnima, el quinto postulado de Eucldes no es vlido para la geometra elptica, ya que dada una "recta" de esta geometra (es decir, una lnea geodsica) y un punto no contenido en la misma no se puede trazar ninguna geodsica que no corte a la primera.Geometra eucldeaArtculo principal:Geometra eucldeaLa geometra eucldea es claramente un caso lmite intermedio entre la geometra elptica y la geometra hiperblica. De hecho la geometra eucldea es una geometra de curvatura nula. Puede demostrarse que cualquier espacio geomtrico ovariedad de Riemanncuya curvatura es nula es localmente isomtrico al espacio eucldeo y por tanto es un espacio eucldeo o idntico a una porcin del mismo.Aspectos matemticosArtculo principal:Espacio maximalmente simtricoLos espacios de curvatura constante eltensor de curvaturade Riemann viene dado en componentes por la siguiente expresin:

dondees eltensor mtricoexpresado encoordenadas curvilneascualesquiera. Entensor de Ricciy lacurvatura escalarson proporcionales respectivamente al tensor mtrico y a la curvatura:

y dondees la dimensin del espacio.Otro aspecto interesante es que tanto en la geometra hiperblica, como en la geometra elptica homogneas elgrupo de isometradel espacio completo es ungrupo de Liede dimensin, que coincide con la dimensin del grupo de isometra de un espacio Euclideo de dimensinn(aunque los tres grupos son diferentes).Geometras de curvatura no constante Geometra riemanniana generalA propuesta de Gauss, la disertacin deRiemannvers sobre la hiptesis de la Geometra. En su tesis, Riemann considera las posibles geometras que infinitesimalmente (i.e.en regiones muy pequeas) sean eucldeas, cuyo estudio se conoce hoy en da comogeometras riemannianas. Estas geometras resultan en general no-homogneas: algunas de las propiedades del espacio pueden diferir de un punto a otro, en particular el valor de la curvatura.Para el estudio de estas geometras Riemann introdujo el formalismo del tensor decurvaturay demostr que la geometra eucldea, la geometra hiperblica y la geometra elptica son casos particulares de geometras riemanninanas, caracterizadas por valores constantes deltensor de curvatura. En una geometra riemanninana general, el tensor de curvatura tendr valores variables a lo largo de diferentes puntos de dicha geometra.Eso hace que la geometra no sea homognea, y permite distinguir unos puntos de otros. Esto es relevante en la teora de la relatividad general, ya que en principio es posible hacer experimentos de medicin de distancias y ngulos que permitan distinguir unos puntos del espacio de otros, tal como especifican numerosos experimentos mentales imaginados por Einstein y otros en los que un experimentador encerrado en una caja puede realizar experimentos para decidir la naturaleza del espacio-tiempo que le rodea.Finalmente un aspecto interesante de la geometra riemanniana es que si la curvatura no es constante entonces el grupo de isometra del espacio tiene dimensin estrictamente menor quesiendola dimensin del espacio. En concreto segn la relatividad general un espacio-tiempo con una distribucin muy irregular de la materia podra tener un grupo de isometra trivial de dimensin 0.Geometra del espacio-tiempo y teora de la relatividadArtculo principal:Curvatura del espacio-tiempoBasndose en la ideas y resultados de Riemann, hacia 1920Einsteinaborda en su Teora de laRelatividad generalla cuestin de la estructura geomtrica del Universo. En ella muestra cmo la geometra delespacio-tiempotiene curvatura, que es precisamente lo que se observa comocampo gravitatorio, y cmo, bajo la accin de la gravedad, los cuerpos siguen las lneas ms rectas posibles dentro de dicha geometra, lneas que se denominangeodsicas.Adems, laEcuacin de Einsteinafirma que para cada observador, la curvatura media del espacio coincide, salvo un factor constante, con ladensidadobservada, dando cumplimiento as a la fantstica visin de Gauss: la geometra desentraada por los griegos es la estructura infinitesimal del espacio; al generalizar dicha estructura geomtrica, tiene curvatura.