PRINCIPIOS DE LA PROBABILIDAD

Avance de Los Conceptos que se Desarrollaran

1. Definiciones Fundamentales de Experimentos, Resultados y Conjuntos.

2. Forma en que los sucesos pueden ser mutuamente excluyentes y dependientes.

3. Los 3 enfoques básicos del estudio de la Probabilidad.

4. Las 2 Reglas de La Probabilidad.

5. Importancia de las Uniones e Intersecciones.

6. Métodos de los Arboles de Probabilidad

7. Los Numerosos Usos de las tablas de Probabilidad.

8. Como puede utilizarse la Probabilidad Condicional para determinados sucesos.

9. Aplicación del Teorema de Bayes a la Probabilidad Condicional.

10. Como puede dar respuesta la combinatoria a numerosas cuestiones en la empresa.

Probabilidad

El Enfoque de Frecuencia Relativa.

El Enfoque Subjetivo.El Enfoque Clásico.

LOS 3 ENFOQUES BASICOS DEL ESTUDIO DE LA PROBABILIDAD

La Regla de la Multiplicación

La Regla de la Suma.

LAS 2 REGLAS DE LA PROBABILIDAD.

Introducción

PROBABILIDAD

Arboles de Probabilidad

Reglas de la Probabilidad

Enfoques de la Probabilidad

Técnicas Combinatoria

s

Frecuencia Relativa

Clásico

SubjetivoRegla de la

Multiplicación

Regla de la Suma

Teorema de Bayes

Multiplicación

Variaciones Con Repetición

Combinaciones

Permutaciones

Probabilidad Condicional

IntroducciónCualquiera que sea la profesión que ustedes elijan, una

cosa es segura: tendrán necesidad de tomar decisiones. Y mas de la mitad de veces habrán de hacerlo en condiciones de incertidumbre y con un conocimiento bastante incompleto de las condiciones imperantes o de las consecuencias ultimas. Por ejemplo, los inversores tienen que decidir si deben invertir en un valor concreto basándose en sus expectativas sobre rendimientos futuros.

“La Estadística demuestra que el Matrimonio es la Causa determinante del Divorcio”

Groucho Marx

PROBABILIDADEs la Verosimilitud Numérica, medida entre o

y 1 que ocurra un suceso incierto

1era Propiedad: 0P(E) 1 2da Propiedad: P(E)=1

ENFOQUES DE LA PROBABILIDAD

La historia esta llena de referencias a los principios de la Probabilidad. En el siglo XVII Jacob Bernoulli (1654-1705), miembro de una familia suiza de Matemáticos estableció muchas de las leyes básicas de la Probabilidad Moderna.

Thomas Bayes (1702-1761) y Joseph Lagrange (1736-1813) también se cuentan entre los pioneros de la teoría de la Probabilidad.

FRECUENCIA RELATIVAEn el método de frecuencia relativa se utilizan datos pasados

obtenidos en observaciones empíricas. Se tiene en cuenta la frecuencia con que ha ocurrido un suceso en el pasado y se estima la posibilidad de que vuelva a ocurrir a partir de estos datos históricos

Ejemplo:Supongamos que durante el ultimo año natural hubo 50 nacimientos en un Hospital de la Localidad. 32 de los recién nacidos fueron niñas. El enfoque de frecuencia relativa revela que la probabilidad de que el recién nacido siguiente (o cualquier recién nacido tomado al azar) sea una niña viene determinada por:

ENFOQUE SUBJETIVOEn muchas ocasiones no se dispone de datos históricos. Por consiguiente no es posible calcular la Probabilidad a partir del comportamiento anterior. La única alternativa es la de estimar la probabilidad según nuestro mejor criterio.

Un ejemplo podría ser la Probabilidad de que una mujer sea elegida Presidenta de Estados Unidos. Como no hay datos históricos en que apoyarse, deberemos recurrir a nuestras opiniones y creencias para hacer una estimación subjetiva.

ENFOQUE CLASICODe los 3 métodos de asignar una Probabilidad, el enfoque clásico es el que mas a menudo se relaciona con los juegos de envite y los de azar. La Probabilidad clásica de un suceso E viene determinada por:

Ejemplo:La probabilidad clásica implica determinar a priori (antes del hecho) la probabilidad de un suceso. Así pues, antes de extraer una carta de una baraja de 52 cartas la probabilidad de que sea un As se puede determinar que es:

REGLAS DE LA PROBABILIDADNuestra explicación anterior de intersecciones y

uniones sugería que nos interesa calcular las probabilidades de sucesos tales como “AyB” y “AoB”. Estos cálculos pueden hacerse con ayuda de las 2 reglas básicas de la probabilidad.

REGLA DE LA SUMALa regla de la Suma se aplica para hallar la probabilidad

“AoB” (es decir se SUMA). Y esta regla afirma que:1. Si A y B son sucesos mutuamente excluyentes, habremos de sumar la

Probabilidad de suceso A a la Probabilidad del Suceso B.

2. Si A y B son sucesos NO mutuamente excluyentes, habremos de sumar la Probabilidad de suceso A a la Probabilidad del Suceso B y restar la probabilidad conjunta de los sucesos A y B.

Ejemplo:Probabilidad de sacar un As o una carta de corazones

en una sola extracción de una baraja. Es decir buscamos P(A o H). Observar que “As” (A) y “corazones” (H) no son mutuamente excluyentes. Los 2 ocurren su se saca un As de corazones. Entonces:

Ejemplo:Probabilidad de sacar un As o una carta de corazones

en una sola extracción de una baraja. Es decir buscamos P(A o H). Observar que “As” (A) y “corazones” (H) no son mutuamente excluyentes. Los 2 ocurren su se saca un As de corazones. Entonces:

REGLA DE LA MULTIPLICACIONLa regla de la Multiplicación para hallar la

probabilidad conjunta “AyB” (es decir producto). Y esta regla afirma que:

1. Si A y B son sucesos independientes, habremos de multiplicar la probabilidad del suceso A por la Probabilidad del suceso B.

2. Si A y B son sucesos dependientes habremos de multiplicar la probabilidad del suceso A por la Probabilidad del suceso B siempre que A haya ocurrido ya.Probabilida

d Condiciona

l

Ejemplo:Probabilidad condicional se puede tomar de una tabla de

probabilidades. Supongamos que la Señora Highwater quisiera calcular la probabilidad de que una montura sea grande sabiendo que es de plástico. Se representa así:

La probabilidad de que el suceso A ocurra dado que, haya ocurrido ya el suceso B, se llama probabilidad

condicional.

ARBOLES DE PROBABILIDADESCuando tenemos que hallar las probabilidades de

Varios suceso conjuntos, suele ser útil dibujar un árbol de probabilidades, asociadas a un conjunto completo de sucesos específicos. Un Árbol de Probabilidades o Diagrama de Árbol indica todas estas probabilidades asociadas.

Teorema de Bayes

Ejemplo:Todas las grandes empresas tienen departamentos de control de calidad cuya

función principal es garantizar que sus productos cumplan determinadas especificaciones de producción. El diagrama soporta un índice de defectos del 10%. Es decir, el 10% de las unidades producidas en la fabrica no cumplen las especificaciones mínimas. Entonces P(D) = 0.10 y P(d) =0.90.

D1 (.10)

d1 (.90)

D2 (.10)

D2(.90)

D2 (.10)

d2 (.90)

D1&D2 = (.1)(.1) = (0.01) Suceso A

d1&d2 = (.9)(.9) = (0.81) Suceso D

d1&D2 = (.9)(.1) = (0.09) Suceso C

D1&d2 = (.1)(.9) = (0.09) Suceso B

TEOREMA DE BAYESSea {A1,A2,...,Ai,...,An} un conjunto de sucesos

mutuamente excluyentes y exhaustivos, y tales que la probabilidad de cada uno de ellos es distinta de cero. Sea B un suceso cualquiera del que se conocen las probabilidades condicionales P(B | Ai). Entonces, la probabilidad P(Ai | B) viene dada por la expresión:

TECNICAS COMBINATORIASLos métodos para determinar cuantos subconjuntos

se pueden obtener de un conjunto de objetos se denominan técnicas combinatorias.

PERMUTACIONES

MULTIPLICACIÓN

VARIACIONES

COMBINACIONES

PERMUTACIONESCon las 3 únicas letras: A, B y C¿Cuántas permutaciones de orden 3

podemos obtener?. Las permutaciones son disposiciones en que cuenta el orden. La lista de permutaciones de los 3 elementos es:

A B C B C AA C B C A B B A C C B A

Obsérvese que las 6 permutaciones diferentes e obtienen por mera reordenación de los elementos. Como en la permutación cuenta el orden , una ordenación distinta da lugar a una permutación diferente

Un conjunto de elementos en que la composición y el orden son importantes es

una permutación

COMBINACIONESSupongamos que en la feria ahora ya se han elegido a los 3 cerdos ganadores y

que a cada uno se le concede una cinta sin distinguir entre los puestos 1ero, 2do y 3ero. En este caso el orden de selección no es importante.

Un conjunto de elementos en que solo la composición es

importante (el orden es indiferente) es una

combinación

Hay 120 maneras de premiar con una cinta a 3 de los 10 cerdos.

VARIACIONES CON REPETICION Las variaciones con repeticion son una tecnica combinatoria en que el

orden cuenta. Se distinguen de las permutaciones y combinaciones porque se permite la repeticion. En el caso de las variaciones con repeticion, se puede utilizar el mismo elemento mas de una vez. El numero de variaciones con repeticion de n elementos tomados r en r es:

METODO DE LA MULTIPLICACIONEl emtodo de la multiplicaion es el que se emplea cuando hay que

elgir de dos o mas grupos diferentes. Si hay M elecciones posibles en un grupo y N elecciones posibles en otro, el numero total de disposiciones es M*N.

Como se aproxima el cumpleaños de la abuela, tiene que comprarle un regalo que consiste en un ramo de flores y una tarjeta de felicitacion. Una tienda ofrece un surtido de M= 3 clases diferentes de ramos y N= 5 tipos diferentes de tarjetas. Si se elige una clase de ramo y un tipo de tarjeta el numero total de posibles es:

M*N = 3*5 = 15