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Autor de la obra Carlos Maroto Belmonte

© Carlos Maroto Belmonte, 2013

[email protected] http://campusdematematicas.com

Taller de Derivadas – CampusDeMatematicas.COM 2

¿Cómo se estructura el Taller? El taller contiene 4 módulos y cada módulo se estructura en las siguientes partes:

• Formulario • Ejercicios modelo resueltos • Ejercicios para practicar

Formulario Para revisar los conceptos y fórmulas fundamentales del módulo antes de empezar a trabajar. Ejercicios modelo resueltos Ejercicios resueltos que sirven de ejemplo de aplicación de los conceptos y fórmulas resumidas en el formulario.

Ejercicios para practicar Ejercicios propuestos para resolver por el alumno y practicar los conceptos y fórmulas del módulo.

Soluciones y Anexos Al final del taller el alumno puede corregir los ejercicios realizados con la lista de soluciones. También dispone de una sección en la que se detallan todos los procesos de resolución de los ejercicios para practicar. En un anexo final se adjuntan en una tabla todos los formularios de los módulos del taller.


Indice Potencias, sumas de funciones y producto de una constante por una función ...........4

Formulario................................................................................................................4 Ejercicios modelo resueltos .....................................................................................4 Ejercicios para practicar ..........................................................................................5

Producto y cociente de funciones. Derivación del resto de funciones.........................6 Formulario................................................................................................................6 Ejercicios modelo resueltos .....................................................................................6 Ejercicios para practicar ..........................................................................................7

Derivada de la función compuesta. Regla de la cadena .............................................8 Formulario................................................................................................................8 Ejercicios modelo resueltos .....................................................................................8 Ejercicios para practicar ..........................................................................................9

Exponenciales y logaritmos especiales, y derivación implícita..................................11 Formulario..............................................................................................................11 Ejercicios modelo resueltos ...................................................................................11 Ejercicios para practicar ........................................................................................12

Soluciones.................................................................................................................13 Resoluciones.............................................................................................................16

Potencias, sumas de funciones y producto de una constante por una función......16 Producto y cociente de funciones. Derivación del resto de funciones ...................17 Derivada de la función compuesta. Regla de la cadena........................................20 Exponenciales y logaritmos especiales, y derivación implícita ..............................25

Anexo: Tabla de derivadas........................................................................................28

Potencias, sumas de funciones y producto de una constante por una función



Formulario

• ky = (constante) ï 0=′y • xy = ï 1=′y • nxy = ï 1−=′ nnxy • )()( xgxfy ±= ï )()( xgxfy ′±′=′ • )(xfky ⋅= ï )(xfky ′⋅=′

Ejercicios modelo resueltos

Cálculo de derivadas.

a) 2351 24 −+−= xxxy

Resolución

352432

514 33 +−=+−=′ xxxxy

b) 25

314x

xy −=

Resolución

34

343425

32201

3220)2(

3154

314

xx

xxxxyxxy +=⋅+=−⋅−⋅=′⇒−= −−

c) x

xxy 32

52

3 ++=

Resolución

222

1122

3 32

15)1(3221

2353

215

xxxxxxyxxxy −+=−⋅+⋅+⋅=′⇒++= −−

d) 5

2

7

5

x

xy =

Resolución

⇒−

⋅=′⇒==⋅

=⋅

=−−

−23

21

252

25

2

5

2

2)1(

75

75

75

7

575 xyxx

x

xx

xy

3323 72

517251

725

xxxy −=⋅−=⋅−=′⇒



Ejercicios para practicar

Calcular las siguientes derivadas.

1) 27 3 += xy 2) 34 58 xxy −−= 3) 569 xy −= 4) 8=y 5) xxy −= 1010 6) 16 2 +−= xy 7) 65 23 +−= xxy 8) xxxy 235 −+= 9) 71353 24 +++−= xxxy 10) 572 369 +−−−= xxxy 11) 857 347 ++−+= xxxxy 12) 13264 235 −+−+= xxxxy

13) 523

31 23 −+−= xxxy

14) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+−⋅= 55

25

52 35 xxxy

15) 36x

y =

16) 25

314x

xy −=

17) 778 62 −+−= xxxy

18) 352

3 35 +−= xx

y

19) 35 xy =

20) 35xy =

21) xxxxy −++= 23

5 22

2

22) 652

9 74 −+−

−= xx

xy

23) 4 51x

y =

24) 5xxy =

25) 36

3

x

xy =

26) 5522 323

+−+−= xxxx

xy

Producto y cociente de funciones. Derivación del resto de funciones



Formulario

• )()( xgxfy ⋅= ï )()()()( xgxfxgxfy ′⋅+⋅′=′

• )()(

xgxfy = ï

( )2)()()()()(

xgxgxfxgxfy

′⋅−⋅′=′

• xay = ï aay x ln⋅=′ • Si a = e xey = ï xey =′

• xy alog= ï axy

ln11

⋅=′

• Si a = e xy ln= ï x

y 1=′

• xy sin= ï xy cos=′ • xy cos= ï xy sin−=′

• xy tan= ï x

xy 22

cos1tan1 =+=′

• xy cot= ï ( )x

xy 22

sin1cot1 −=+−=′

• xy arcsin= ï 21

1x

y−

=′

• xy arccos= ï 21

1x

y−

−=′

• xy arctan= ï 211x

y+

=′

• y = arccot x ï 211x

y+−

=′



a) xxy 23sin4 ⋅−=

Resolución 2ln23cos4 ⋅⋅−=′ xxy

b) xexxy ⋅−= 3

Resolución ( ) ( ) xxx exxexexy ⋅+−=⋅+⋅−=′ 1313 22



c) xxy ln2=

Resolución

xxxx

xxxy +=⋅+=′ ln21ln2 2

d) 11

3

2

−+

=xxy

Resolución ( ) ( )

( ) ( ) ( )2324

23

244

23

223

123

13322

13112

−

−−−=

−

−−−=

−

⋅+−−⋅=′

xxxx

xxxxx

xxxxxy



27) xexy 3= 28) ( ) xxy ln22 ⋅+= 29) xy x sin3 ⋅= 30) xxy tanlog ⋅=

31) xxxy cos131 23 ⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+=

32) ( )1arctan 2 +⋅= xxy 33) xxy 2logtan5 +=

34) xxx

y 5ln22 −+=

35) xxxxy cosln 23 −= 36) xxy cos5log 3 ⋅+=

37) 134

2 ++

=xxy

38) 23 34

−−

=x

xxy

39) 2lnx

xy =

40) 32 −

=x

xy

41) xxy 2arccos5 +=

42) x

xxeyx ln+

=

43) xxy x 3logcos5 +=

44) 312 2

−−

=xxy

45) 1

12 ++

=xx

y

46) ( ) xxy ⋅−= 13 47) ( ) xxxy arcsin23 5 ⋅−= 48) xxey x lncot += 49) ( ) xxxy sin125 ⋅−+= 50)

xxxxy

sin22sin3

+−

=

51) xxxxy

cos56 3 −

=

52) xxxxy

tantan

+−

=

53) xxy lncos ⋅=

54) xxxy

tancos

=

55) x

yxx

2log52 −

=

56) xxxy sinln2=

Derivada de la función compuesta. Regla de la cadena



( ))())(( xgfxgfy == o ï ( ) )()( xgxgfy ′⋅′=′

Formulario

Las anteriores reglas de derivación aplicadas a la función compuesta quedan así: • ( )nxfy )(= ï ( ) )()( 1 xfxfny n ′⋅=′ − • )(xfay = ï )(ln)( xfaay xf ′⋅⋅=′ • Si a = e )(xfey = ï )()( xfey xf ′⋅=′

• )(log xfy a= ï )(ln1

)(1 xf

axfy ′⋅⋅=′

• Si a = e )(ln xfy = ï )()(

1 xfxf

y ′⋅=′

• )(sin xfy = ï )()(cos xfxfy ′⋅=′ • )(cos xfy = ï )()(sin xfxfy ′⋅−=′

• )(tan xfy = ï ( ))(cos

)()()(tan1 22

xfxfxfxfy

′=′⋅+=′

• )(cot xfy = ï ( ))(sin

)()()(cot1 22

xfxfxfxfy

′−=′⋅+−=′

• )(arcsin xfy = ï ( )

)()(1

12

xfxf

y ′⋅−

=′

• )(arccos xfy = ï ( )

)()(1

12

xfxf

y ′⋅−

−=′

• )(arctan xfy = ï ( )

)()(1

12 xfxf

y ′⋅+

=′

• y = arccot f (x) ï ( )

)()(1

12 xfxf

y ′⋅+

−=′



a) ( )52 253 −+= xxy Resolución

( ) ( ) ( ) ( )56253505232535 4242 +⋅−+=−+⋅⋅−+=′ xxxxxxy

b) xy 4sin=

Resolución ( ) ( ) xxxxyxxy cossin4cossin4sinsin 3344 =⋅=′⇒==



c) ( )2ln 253 +−= xxy Resolución

( ) ( )( ) ⇒+−=+−= 325253 2ln2ln xxxxy( )( ) ( ) ( )

2252ln325

212ln3 25

42524

25

225

+−−

⋅+−=−⋅+−

⋅+−=′⇒xx

xxxxxxxx

xxy

d) 2

xx eey−+

=

Resolución

( ) ( )2

)1(21

21

2

xxxxxx

xx eeeeyeeeey−

−−− −

=−⋅+⋅=′⇒+⋅=+

=



57) ( )73 4+= xy 58) ( )3tan 2 −= xy 59) ( )xy logsin= 60) ( )23cos 2 −−= xxy 61) 125

3

2 −+= xxy 62) xey arctan= 63) ( )2ln 23 ++= xxy 64) ( )2arcsin xy = 65) xe

xxy cos3

2 1ln ⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +=

66) xxxx

eeeey −−

+−

=

67) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−+

=x

xy212arctan

68) ( ) ( )22 lncos xxy ⋅= 69) xy

1

5=

70) ( )x

xy 22

coscos

=

71) ( )4tan xy = 72) ( )232sin xxy += 73) ( )xxy += 32 2sin 74) xy lnarctan=

75) ( )xexy 2cos=

76) xxy

cos1cos1ln

+−

=

77) ( )( )xxy

2sin12sin1arctan

+−

=

78) xxy

ln1ln1

+−

=

79) xxxx

eeeey −−

+−

= ln

80) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

xxy 1arctan

81) ( )1lnln 2 ++= xxy 82)

xxy

−+

=11ln

83) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−+

++=

xxxxy

2

2

11ln

84) xxy

x

33 3⋅

=

85) 42

3

−=

xxy

86) ( )( )xxxy

3tan2cos

=

87) ( )xy 5cos2=

88) 5212

+−

=xxy



89) xx

ey cos= 90) 11

11ln4

4

−+

++=

xxy

Exponenciales y logaritmos especiales, y derivación implícita



Formulario

• Exponencial: )()( xgxfy = ï ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ′⋅+⋅′⋅=′

)()()()(ln)()( )(

xfxfxgxfxgxfy xg

Demostración

( ) ⇒′⋅=′⋅⇒⋅==⇒= )(ln)(1)(ln)()(lnln)( )()( xfxgyy

xfxgxfyxfy xgxg

⇒⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ′⋅+⋅′⋅=′⇒

′⋅+⋅′=

′⇒

)()()()(ln)(

)()()()(ln)(

xfxfxgxfxgyy

xfxfxgxfxg

yy

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ′⋅+⋅′⋅=′⇒

)()()()(ln)()( )(

xfxfxgxfxgxfy xg

• Logaritmos: )(log )( xfy xg= ï )(ln

)(ln)()()(ln

)()(

2 xg

xfxgxgxg

xfxf

y⋅

′−⋅

′

=′

Demostración ⇒=⇒=⇒=⇒= )(ln)(ln)(ln)(ln)()()(log )( xfxgyxfxgxfxgxfy

yyxg

( )⇒

′⋅⋅−′⋅=′⇒=⇒ 2)(ln

)()(

1)(ln)(ln)()(

1

)(ln)(ln

xg

xgxg

xfxgxfxfy

xgxfy

)(ln

)(ln)()()(ln

)()(

2 xg

xfxgxgxg

xfxf

y⋅

′−⋅

′

=′⇒

• Derivación implícita: ( ) ( )yxFyyyxFyxfyxf ,0),,(0),(0),( =′⇒=′⇒=′⇒=



a) xxy =

Resolución

( ) ( )1ln1ln1ln11lnlnln +⋅=′⇒+⋅=′⇒⋅+⋅=′⋅⇒⋅== xxyxyyx

xxyy

xxxy xx



b) ( )xy x lnlog=

Resolución

( ) ( ) ( ) ⇒=⇒=⇒=⇒=xxyxxyxxxx yy

lnlnlnlnlnlnlnlnlnln

( )

( )

( )( ) ( )xxx

x

xx

xx

xxxxy 222 ln

lnln1ln

lnln11

ln

1lnlnln1ln1

−=

−⋅=

⋅−⋅⋅=′⇒

c) 047 224 =+− yxyx

Resolución ( ) ⇒=′−−′+⇒=′+−′+ 071424071424 24232423 yxxyyyxyxyxxyyyxyx

( ) 2423

2324

7241441472

xyxyxxyyyxxyyxyx

−−

=′⇒−=′−⇒



91) x xy sin5= 92) xxy cos=

93) ( ) xexy ln=

94) ( ) ( )xxy +−= 1ln1

1 95) ( )xy xlnlog= 96) 1log 22 −= xy x

97) 2sin 1log xy x += 98) ( )2arctanlog xy x=

99) 01732 2 =−−− xyxyx 100) xyxy yx =⋅−⋅ 22 22 101) 025322 =+−++ yxyx

102) 2ln 32 =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

yxyx

103) ( ) yeyx y =++sin 104) 02 22 =−+++ xyyxyx 105) 0132 =−+− yxxy

Soluciones


Soluciones 1) 221xy =′ 2) 23 1532 xxy −−=′ 3) 430xy −=′ 4) 0=′y 5) 1100 9 −=′ xy 6) xy 12−=′ 7) xxy 215 2 −=′ 8) 235 24 −+=′ xxy 9) 131012 3 ++−=′ xxy 10) 258 34218 xxxy −−−=′ 11) 115287 236 +−+=′ xxxy 12) 221820 24 +−+=′ xxxy 13) 132 +−=′ xxy 14) 232 24 +−=′ xxy

15) 418

xy −=′

16) 34

3220x

xy +=′

17) 14216 53 +−−

=′ xx

y

18) 26 15215 xx

y −−=′

19) xy2

15=′

20) xy2

53=′

21) 14235 23 −++=′ xxxy

22) 12

3518 55 +−=′ xx

y

23) 4 94

5x

y −=′

24) 112

9x

y −=′

25) 362

3x

y −=′

26) 11521 223 −++−

=′ xxx

y

27) ( ) xexxy ⋅+=′ 323

28) x

xxxy 2ln22 +

+=′

29) ( ) xxxy 3cossin3ln ⋅+⋅=′ 30) ( )xx

xxy 2tan1log

10lntan

+⋅+⋅

=′

31) ( ) xxxxxxy sin131cos2 232 ⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+−⋅+=′

32) xxy arctan21+=′

33) xx

y⋅

+=′2ln1

cos5

2

34) 5ln5143 ⋅−+−

=′ xxx

y

35) ( ) xxxxxy cos2sin1ln32 −++=′ 36) xx

xxy sin

3cos 3

3 2⋅−=′

37) ( )22

2

1464

+

+−−=′

xxxy

38) ( )2

234

218143

−+−

=′x

xxxy

39) 3ln21

xxy −=′

40) ( )22

2

3233

−

−−=′

xxxy

41) 2ln21

52

⋅+−

−=′ x

xy

42) 22 ln1

xxexy

x −+=′

43) ( )3ln

1sincos5ln5x

xxy x +−⋅=′

44) ( )22

31122

−+−

=′x

xxy

45) ( )22 1

12++

−−=′

xxxy

46) x

xxxy2

133

2 −+=′

47) ( )2

54

1

23arcsin215x

xxxxy−

−+⋅−=′

Soluciones


48) xx

xey x 1sin

1cot 2 +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=′

49) ( ) ( ) xxxxxy cos12sin25 54 ⋅−++⋅+=′ 50) ( )

( )2sincossin2xx

xxxy+−

=′

51) ( )x

xxxxy 22

cossin56cos12 −+

=′

52) ( )2

2

tantan22tan2

xxxxxxy

++−−

=′

53) x

xxxy coslnsin +⋅−=′

54) xx

xxxxxy 22

tancossinsincos

⋅−−⋅

=′

55) ( )

L22

2

log2ln

1log2ln2

xx

xy

x +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=′

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+ x

xx

2log5ln2ln15

L

56) xxxxxxxxy coslnsinsinln2 2++=′

57) ( )632 421 +=′ xxy 58) ( )( )3tan12 22 −+=′ xxy 59) ( )

10lnlogcos

xxy =′

60) ( ) ( )1623sin 2 −⋅−−−=′ xxxy 61) ( )2152ln2 2125 3 +⋅⋅=′ −+ xy xx 62) x

x

eey 21+

=′

63) 2

2323

2

+++

=′xx

xxy

64) 41

2

x

xy−

=′

65) ( )xex

xx

xxxy cos3

2

2

2

sin1ln13

⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−

+−−

=′

66) ( ) xx

xx

xx eeee

eey −

−

− −+

+=′ 2

2

67) 211x

y+

=′

68) ( ) ( ) ( )x

xxxxy2

22 cos2lnsin2 +⋅−=′

69) 2

1

5ln5x

yx−

=′

70) ( ) ( )( )x

xxxxxy 322

coscossinsincos2 −

=′

71) ( )( )( )4

423

tantan12

xxxy +=′

72) ( ) ( )xxxxxy 216242cos 3523 ++⋅+=′ 73) ( ) ( ) ( )2122cos2sin 233 +⋅+⋅+=′ xxxxxy 74)

( )xxxy

ln1ln21

+⋅=′

75) ( ) ( )( )x

xx

exexexxy

2

22

cos2sin2 ⋅+−

=′

76) x

ysin

1=′

77) ( )

( )( ) ( )( )xxx

xy

2sin12sin12sin1

2cos

+−

⋅+

−=′

78) ( ) x

xxx

yln1ln1

ln11

2 −+

+−

=′

79) xx eey 22

2−−

=′

80) 1

1arctan 2 +−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=′

xx

xy

81) ( ) ( )1ln1

122

2

++⋅+

++=′

xxxxxy

82) 211x

y−

=′

83) 21

2x

y+

=′

84) ( )x

xxyx

3253ln232 +⋅

=′

85) ( )( ) xx

xxxy⋅−

−−=′ 22

22

42412

86) ( ) ( )( ) ( )( ) Lxxxxxy

3tan3tan2sin22cos

2

−⋅−=′

( ) ( )( )xxx 3tan12cos3 2+⋅−L

87) ( ) ( )xy x 5sin22ln5 5cos⋅−=′ 88)

( ) 15225

22 −⋅+

+=′

xxxy

Soluciones


89) ( )xx

xxxxey xx

2cos

cos2sincoscos +⋅

⋅=′

90) 41

2xx

y+

−=′

91) ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

⋅=′xxx

xxxy x

sincossin5lnsin5 2

92) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅−⋅=′

xxxxxy x coslnsincos

93) ( ) ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅=′

xxxexy xe

x

ln1lnlnln

94) ( ) ( ) ⋅−=′ + xxy 1ln1

1

( )

( ) ( )( )21ln2111ln1ln

xxx

xxxx

+⋅⋅−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+−

⋅+−−

⋅

95) ( )( )xxxylnln

1lnln2

−=′

96) ( ) ( ) ( )( ) ( )2222222

ln11ln1ln

xxxxxxxy

⋅−⋅−⋅−−

=′

97) ( ) ( )( ) ( )xxxxxxxxxy

sinlnsin11cos1lnsinsinln

22

22

⋅⋅++⋅⋅+−⋅

=′

98) ( ) ( )( ) ( )xxxxxxxxxy

arctanlnarctan1ln2arctanlnarctan12

22

2

⋅+⋅−⋅+

=′

99) x

yx

yyxy

7

276

−

−+=′

100) xxyxyyy yx

yx

−⋅−⋅⋅+⋅−

=′ 22

2ln222222ln2

101) 5232

−−−

=′yxy

102) 32232

232

yxyxyxyxy

++++

=′

103) ( )( ) 1coscos

−+++−

=′ yeyxyxy

104) yxyxy

221221

++−−

=′

105) 12

3 22

+−

=′xy

yxy

Resoluciones


Resoluciones


1) 22 21037 xxy =+⋅=′ 2) 2323 1532354)8( xxxxy −−=⋅−⋅−=′ 3) 44 30560 xxy −=⋅−=′ 4) 0=′y 5) 110011010 99 −=−⋅=′ xxy 6) xxy 1202)6( −=+⋅−=′ 7) xxxxy 2150235 22 −=+−⋅=′ 8) 235 24 −+=′ xxy 9) 131012013254)3( 33 ++−=++⋅+⋅−=′ xxxxy 10) 258258 3421803679)2( xxxxxxy −−−=+−⋅−⋅−=′ 11) 1152870135477 236236 +−+=++⋅−⋅+=′ xxxxxxy 12) 22182001223654 2424 +−+=−⋅+−⋅+⋅=′ xxxxxxy

13) 13012233

31 22 +−=−+⋅−⋅=′ xxxxy

14) ⇒−+−=⋅−⋅+⋅−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+−⋅= 12

525

525

52

25

52

5255

25

52 353535 xxxxxxxxxy

2320123552 2424 +−=−⋅+−⋅=′⇒ xxxxy

15) 443

3

18)3(666x

xyxx

y −=−⋅=′⇒== −−

16) 343425

25

3220)2(

3154

314

314

xxxxyxx

xxy +=−⋅−⋅=′⇒−=−= −−

17) ⇒−+⋅−−⋅=′⇒−+−=−+−= −− 0167)2(8778778 536262 xxyxxxxxxy

14216 53 +−−

=′⇒ xx

y

18) ⇒+⋅−−⋅=′⇒+−=+−= −− 035)5(2335

2335

23 26353

5 xxyxxxxy

26 152

15 xx

y −−=′⇒

19) xxyxxy2

1523555 2

123

3 =⋅=′⇒==

20) xxyxxxy2

53235555 2

123

33 =⋅=′⇒⋅=⋅==

21) ⇒−++=−++= xxxxxxxxy 2325

23

5 22122

22

142351223

21

252 2322

3

−++=−⋅+⋅+⋅=′⇒ xxxxxxy

Resoluciones


22) ⇒−+−−=−+−−= − 652965

29 2

747

4 xxxxxxy

12

351801275)4(

29 5

525

5 +−=−+⋅−−⋅−

=′⇒ − xx

xxy

23) 4 9

49

49

45

454 5

44

5 4

5

4

545111

xxxyx

xxx

y −=−=−=′⇒====−−

24) 11

211

211

295

21

5

21

52

9

2

929

xxxyxx

xx

xxy −=−=−=′⇒====

−−−

25) ⇒==⋅

=⋅

==−

−21

231

2333 6

36

3

6

36

363 xx

x

xx

xxxy

3323

23

62

316231

623

2)1(

63

xxxxy −=⋅−=⋅−=−⋅=′⇒−

26) ⇒+−+−=+−+−= − 55225522 31223

32

3

xxxxxxx

xxxy

⇒+−+−=+−+−=⇒ −−

−− 55225522 3121

31223

xxxxxxxxy

⇒−++−

=+−⋅+−⋅−−

⋅=′⇒ −−

115210135)1(22

)1(2 2223

2223

xx

xxxxy

11521 223 −++−

=′⇒ xxx

y


27) ( ) xxx exxexexy ⋅+=+=′ 3232 33 28) ( ) ( )

xxxx

xxxxy 2ln212ln02

22 ++=⋅++⋅+=′

29) ( ) xxx xxxxy 3cossin3lncos3sin3ln3 ⋅+⋅=⋅+⋅⋅=′ 30) ( ) ( )xx

xxxxx

xy 22 tan1log

10lntantan1logtan

10ln11

+⋅+⋅

=+⋅+⋅⋅=′

31) ⇒−⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −++⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⋅=′ )sin(1

31cos023

31 232 xxxxxxy

( ) xxxxxxy sin131cos2 232 ⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+−⋅+=′⇒

32) ( ) ( ) xxxxxx

y arctan2102arctan11

1 22 +=+⋅++⋅+

=′

33) xxxx

y⋅

+=⋅+⋅=′2ln1

cos5

2ln11

cos15 22

Resoluciones


34) ⇒⋅−+−⋅=′⇒−+=−+= −− 5ln51)2(25ln25ln2 322xxx

xxyxxx

xy

5ln5143 ⋅−+−

=′⇒ xxx

y

35) ( )⇒−+−⋅+=′ )sin(cos21ln3 232 xxxxx

xxxy

( ) ⇒+−+=−−+=′⇒ xxxxxxxxxxxxxxy sincos2ln3sincos2ln3 222222( ) xxxxxy cos2sin1ln32 −++=′⇒

36) ⇒−⋅+⋅+=′⇒⋅+=⋅+=−

)sin(cos310cos5logcos5log 3

132

31

3 xxxxyxxxxy

xxxxxx

x

xy sin3cossin

3

cos 33 2

3

32 ⋅−=⋅−=′⇒

37) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( )

⇒+

⋅+−+=

+

+⋅+−+⋅+⋅=′ 22

2

22

2

123414

102341014

xxxx

xxxxy

( ) ( )222

22

22

1464

16844

+

+−−=

+

−−+=′⇒

xxx

xxxxy

38) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )

⇒−

−−−⋅−=

−−⋅−−−⋅⋅−

=′ 23423

2

3423

23294

20132334

xxxxxx

xxxxxxy

( ) ( )2234

2

342334

218143

2318984

−+−

=−

+−+−−=′⇒

xxxx

xxxxxxxy

39) ( )

( )34422

2

ln212ln12ln2ln1

xx

xxx

xxxx

x

xxxxy −=⋅−=⋅−=

⋅−⋅=′

40) ( ) ( )

( ) ( )⇒

−

⋅−−

=−

−⋅−−⋅=′⇒

−=

−=

−

22

2

22

21

221

2

21

2 3

22

3

3

02321

33 x

xxx

x

x

xxxxy

xx

xxy

( ) ( ) ( )222

22

22

22

2

3233

3243

32

223

−

−−=

−

−−=

−

⋅⋅−−

=′⇒xxx

xxxx

xx

xxxx

y

41) 2ln21

52ln21

1522

⋅+−

−=⋅+

−

−=′ xx

xxy

42) ( )

2

2

2

2

2

ln1ln11ln11

xxex

xxxeexxe

x

xxexx

xeey

xxxxxxx

−+=

−−++=

⋅+−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++⋅

=′

43) ( ) ( )3ln

1sincos5ln53ln

11sin5cos5ln5x

xxx

xxy xxx +−⋅=⋅+−⋅+⋅⋅=′

44) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( )

⇒−

+−−=

−−−−

=−

−⋅−−−⋅−⋅=′ 2

22

2

2

2

2

312124

31234

301123022

xxxx

xxxx

xxxxy

( )22

31122

−+−

=′⇒x

xxy

Resoluciones


45) ( ) ( )( ) ( )2222

2

112

1012110

++

−−=

++

++⋅−++⋅=′

xxx

xxxxxy

46) ( ) ( ) ( ) ( ) ⇒⋅−+⋅−=′⇒⋅−=⋅−=−21

321

221

33

2110311 xxxxyxxxxy

xxxxy2

133

2 −+=′⇒

47) ( ) ( ) ( )2

54

2

54

123arcsin215

1123arcsin253

xxxxx

xxxxxy

−

−+⋅−=

−⋅−+⋅−⋅=′

48) xx

xexx

exey xxx 1sin

1cot1sin

1cot 22 +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=+

−⋅+=′

49) ( ) ( ) ( ) ( ) xxxxxxxxxxy cos12sin25cos12sin025 5454 ⋅−++⋅+=⋅−++⋅−+=′ 50) ( ) ( ) ( ) ( )

( )⇒

++⋅−−+⋅−

=′ 2sin22cos22sin3sin22cos31

xxxxxxxxy

( )⇒

+++−−−−+

=′⇒ 2sin22cossin6sin6cos22cossin6cos6sin22

xxxxxxxxxxxxxxy

( )( )( )

( )( )222 sin

cossin2sin4

cossin8sin22

cos8sin8xx

xxxxx

xxxxx

xxxy+−

=+−

=+−

=′⇒

51) ( ) ( ) ( )( )

⇒−⋅+⋅⋅−−⋅−⋅

=′ 232

cos)sin(cos156cos536

xxxxxxxxxxy

( ) ( ) ( )⇒

−⋅−−⋅−=′⇒

xxxxxxxxxxy 22

32

cossincos56cos518

⇒−++−−

=′⇒xx

xxxxxxxxxxxxy 222433

cossin5cos5sin6cos6cos5cos18

( )( )⇒

−+=

−+=′⇒

xxxxxxx

xxxxxxxxy 22

22

22

243

cossin56cos12

cossin5sin6cos12

( )x

xxxxy 22

cossin56cos12 −+

=′⇒

52) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )

⇒+

++⋅−−+⋅+−=′ 2

22

tantan11tantantan11

xxxxxxxxy

( ) ( ) ( )( )

⇒+

+⋅−−+⋅−=′⇒ 2

22

tantan2tantantan

xxxxxxxxy

( )⇒

+++−−−−

=′⇒ 23232

tantantan2tan2tantan

xxxxxxxxxxy

( )22

tantan22tan2

xxxxxxy

++−−

=′⇒

53) ( )x

xxxx

xxxy coslnsin1coslnsin +⋅−=⋅+⋅−=′

Resoluciones


54) ( )

⇒−−⋅+⋅

=′x

xxxxxxx

y 22

tancos

1costan)sin(cos1

( ) ( )⇒

−⋅−=

−−=′⇒

xx

xxxxxx

xx

xxxxxy 22 tan

coscossinsincos

tancos

tansincos

( )

xxxxxxx

xx

xxxxx

y 22

2 tancossinsincos

tancos

sinsincos

⋅−−⋅

=

−⋅−

=′⇒

55) ( ) ( )

( )⇒

⋅⋅−−⋅−=′ 2

2

2

log2ln

1152log5ln52ln2

xx

xy

xxxx

( )⇒

+−−=′⇒ 2

2

22

log2ln

52ln

2log5ln5log2ln2

xxx

xxy

xxxx

( )22

22

log

log5ln2ln

152ln

1log2ln2

x

xxx

xy

xx ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=′⇒

56) xxxxxxxxxxxxx

xxxxy coslnsinsinln2coslnsin1sinln2 222 ++=+⋅⋅+=′


57) ( ) ( ) ( ) ( )632263263 4213470347 +=⋅+=+⋅+=′ xxxxxxy 58) ( )( )( ) ( ) ( )( )3tan12023tan1 2222 −+=−⋅−+=′ xxxxy 59) ( ) ( )

10lnlogcos

10ln11logcos

xx

xxy =⋅⋅=′

60) ( ) ( ) ( ) ( )1623sin012323sin 22 −⋅−−−=−−⋅⋅−−−=′ xxxxxxy 61) ( ) ( )2152ln202352ln2 21252125 33 +⋅⋅=−+⋅⋅⋅=′ −+−+ xxy xxxx 62)

( ) xx

x

x eee

ey 22 11

1+

=⋅+

=′

63) ( )2

230232

123

22

23 +++

=++++

=′xx

xxxxxx

y

64) ( ) 422 1

221

1x

xxx

y−

=⋅−

=′

65) ( ) ( )( )

⇒−⋅⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++⋅

⋅+−⋅+⋅

+=′ )sin(1ln3102

11 cos

3

2cos

23

223

3

2 xexxe

xxxxx

xx

y xx

⇒⋅⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−⋅

−−⋅

+=′⇒ xe

xxe

xxxx

xxy xx sin1ln332

1cos

3

2cos

6

244

2

3

Resoluciones


( )( ) ⇒⋅⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−⋅

+−−

=′⇒ xex

xexxxxy xx sin1ln

13 cos

3

2cos

26

25

( )xex

xx

xxxy cos3

2

2

2

sin1ln13

⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−

+−−

=′⇒

66) ⇒⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

=+−

= −−

−

− 21

xx

xx

xx

xx

eeee

eeeey

( ) ( ) ( ) ( )( )

⇒+

−+⋅−−+⋅−−⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

⋅=′⇒−

−−−−−

−

−

2

21

)1()1(21

xx

xxxxxxxx

xx

xx

eeeeeeeeee

eeeey

( ) ( ) ( ) ( )( )

⇒+

−⋅−−+⋅+⋅

+−

⋅=′⇒−

−−−−

−

− 2

121

xx

xxxxxxxx

xx

xx eeeeeeeeee

eeee

y

( ) ( )( )

⇒+

−−+⋅

−+

⋅=′⇒−

−−

−

−

2

22

21

xx

xxxx

xx

xx

eeeeee

eeeey

( )( )

⇒+

+−−++⋅

−+

⋅=′⇒−

−−−−

−

−

2

2222 2221

xx

xxxxxxxx

xx

xx

eeeeeeeeee

eeeey

( )⇒

+

−+−++⋅

−+

⋅=′⇒−

−−

−

−

2

2222 2221

xx

xxxx

xx

xx

eeeeee

eeeey

( ) ( ) xxxx

xxxxxx

xx

eeee

eeeeeeeey −

−

−−−

−

−+

+=

+⋅

−+

⋅=′⇒ 2224

21

67) ( ) ( ) ( ) ( )( )

⇒−

−⋅+−−⋅+⋅

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−+

+

=′ 22 212022101

2121

1xxx

xx

y

( )( )

( ) ( ) ( )⇒

++−=

−++−

⋅

−+

+=′⇒ 222

2

2 2215

214221

2121

1xxx

xx

xx

y

( ) 22222 11

155

555

444415

xxxxxxxy

+=

+⋅=

+=

++++−=′⇒

68) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x

xxxxxx

xxxxy2

222

222 cos2lnsin221cosln2sin +⋅−=⋅⋅+⋅⋅−=′

69) ( ) 21

21

111 5ln5)1(5ln55ln515ln5

xxx

xy

xxxx −=−⋅=

′⋅=

′⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅=′ −−

70) ( )( ) ( ) ( )( )

⇒−⋅⋅−⋅⋅−

=′ 22

222

cossincos2coscos2sin

xxxxxxxy

( ) ( )( ) ( ) ( )( )x

xxxxxx

xxxxxxy 322

4

22

coscossinsincos2

cossincoscossincos2 −

=+−⋅

=′⇒

Resoluciones


71) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ⇒⋅+⋅⋅=′⇒== − 3242142144 4tan1tan21tantan xxxyxxy

( )( )( ) ( )( )

( )4423

342

4 tantan124tan1

tan21

xxxxx

xy +=⋅+⋅=′⇒

72) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )⇒+⋅+⋅+=+⋅⋅+⋅+=′ 16222cos132222cos 23232323 xxxxxxxxxxy( ) ( ) ( ) ( )xxxxxxxxxxxy 216242cos2124242cos 352333523 ++⋅+=+++⋅+=′⇒

73) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2122cos2sin1322cos2sin2 233233 +⋅+⋅+=+⋅⋅+⋅+=′ xxxxxxxxxxy 74) ( ) ( )xxxxxxy ln1ln2

11ln21

ln1

12 +⋅

=⋅⋅+

=′

75) ( )

( )( ) ( ) ( ) ( )( )x

xxxxx

x exexexxexxeex

exy

2

2222

2 cos2sin22sin

cos21 ⋅+−

=+⋅−⋅=′

76) ( ) ( ) ( ) ( )( )

⇒+

−⋅−−+⋅−−⋅

+−

⋅

+−

=′ 2cos1sin0cos1cos1)sin(0

cos1cos12

1

cos1cos11

xxxxx

xx

xx

y

( ) ( )( )

( )( ) ( ) ⇒+⋅−⋅

−++⋅=

+⋅−++⋅

⋅

+−

⋅=′⇒

xxxxx

xxxxx

xx

ycos1cos12

cos1cos1sincos1

sincos1cos1sin

cos1cos12

12

( ) xxx

xxy

sin1

sinsin

cos12sin2

22 ==−⋅=′⇒

77) ( )( )

( )( )

( )( ) ⇒

′

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

⋅

+−

⋅

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+−

+

=′xx

xx

xx

y2sin12sin1

2sin12sin12

1

2sin12sin11

12

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( )

( )( ) ( )( )

⇒+⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

+⋅+−

⋅⋅−−+⋅⋅−=′⇒

22sin12sin12sin11

2sin12sin12

22cos2sin12sin122cos

xxx

xx

xxxxy

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )( )

( ) ( )( ) ( )( )

⇒+⋅

+−++

⋅+−

+−−−⋅=′⇒

22sin12sin1

2sin12sin12sin12sin12

2cos2sin2cos2sin2cos2cos2

xx

xxxx

xxxxxxy

( )( )( ) ( )( )

( )

( )( ) ( )( )xxx

x

xxx

xy

2sin12sin12sin1

2cos

2sin122sin12sin1

2cos2

+−

⋅+

−=

+⋅⋅+−

−=′⇒

78) ( ) ( )

( ) ( )⇒

++−−−

⋅

+−

=+

⋅−−+⋅−⋅

+−

=′ 22 ln1ln1ln1

ln1ln12

1ln1

1ln1ln11

ln1ln12

1xx

xx

xxx

xxx

x

xx

y

( ) ( ) xx

xxxxxx

yln1ln1

ln11

ln12

ln1ln12

122 −

++−

=+−

⋅

+−

=′⇒

Resoluciones


79) ( ) ( ) ( ) ( )( )

⇒+

−+⋅−−+⋅−−⋅

+−

⋅

+−

=′−

−−−−

−

−

−

− 2

)1()1(

2

11xx

xxxxxxxx

xx

xx

xx

xx eeeeeeeeee

eeee

eeee

y

( ) ( )( )

⇒+

−−+⋅

+−

=′⇒−

−−

−

− 2

22

2

1xx

xxxx

xx

xx eeeeee

eeee

y

( )( )( ) ⇒+−

+−−++=′⇒ −−

−−−−

xxxx

xxxxxxxx

eeeeeeeeeeeey

222 2222

( ) ( ) xxxxxxxxxx

eeeeeeeeeey 222222

2222 22

42

22−−−

−−

−=

−=

−−+−++

=′⇒

80) ⇒⋅+

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=−⋅

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

⋅+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅=′ − 2

2

22

111

1arctan)1(11

11arctan1x

x

xx

x

x

xx

y

11arctan 2 +

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=′⇒

xx

xy

81) ⇒⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

++⋅

++=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

+⋅

++⋅

++=′

11

1ln12

121

111

1ln1

22222 xx

xxx

xxxxy

( ) ( )1ln11

11

1ln1

22

2

2

2

2 ++⋅+

++=

+++

⋅++

=′⇒xxx

xxx

xxxx

y

82) ( ) ( )( ) ( )

⇒−

++−⋅

−+

=−

−⋅+−−⋅⋅

−+

⋅

−+

=′ 22 111

112

11

)1(111

112

1

111

xxx

xxx

xx

xx

xx

y

( ) ( ) 211

1122

xxxy

−=

−⋅+=′⇒

83) ( ) ( )

( ) ⇒−+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅

+⋅++−−+⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⋅

+⋅

−+

++=′ 2

2

2

22

2

2

2 1

121211112

121

1

11

xx

xx

xxxxxx

xx

xxy

( ) ( )( ) ( ) ⇒−+⋅++

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

+⋅++−−+⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

+=′⇒xxxx

x

xxxxxx

x

y22

2

22

2

11

11

1111

( ) ( )⇒

−++

+−⋅++−−+⋅

+

++

=′⇒ 222

222

2

2

11

1111

1

xxx

xxxxxxx

xx

y

( ) ( ) ( ) ( )⇒

+

+−⋅++−−+⋅++=′⇒

2

2222

11111

xxxxxxxxxy

( ) ( )( ) ( )22

22

2

2222

12

111

111

xxxx

xxxxxy

+=

+

−−−=

+

+−−−+=′⇒

Resoluciones


84) ( )

( ) ⇒⋅⋅⋅−⋅⋅+⋅

=′ 2

323

3

332

133333ln3

xx

xxxxy

xxx

( ) ( )⇒

⋅−⋅⋅+⋅

=′⇒x

xxxxx

y

xxx

332

3332333ln3 3223

( )⇒

⋅−⋅+⋅=

⋅−⋅⋅+⋅=′⇒

xxxxx

xxxxxxy

xxxxxx

363318363ln3

36336333ln3 334323

( ) ( )x

xxxx

xxyxx

3253ln23

36163ln233 23 +⋅=

−+=′⇒

85) ( )( ) ( )

⇒

−⋅−

−−=

−

⋅−−⋅

−

=′

442

21234

243

42

1

2

322

424

22

322

2

3

xxx

xxxx

xxxx

xx

y

( )( )

( )( )

( )( ) xx

xxxxxx

xxxxx

xxxy⋅−

−−=

⋅−

−−=

⋅−

−−=′⇒ 22

22

22

222

322

224

42412

42412

42412

86) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )( )( )( )( )

⇒⋅+⋅−⋅⋅−⋅+⋅

=′ 22

3tan33tan12cos3tan22sin2cos1

xxxxxxxxy

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )( )x

xxxxxxxy3tan

3tan12cos33tan2sin22cos2

2+⋅−⋅−=′⇒

87) ( ) ( )( ) ( ) ( )xxy xx 5sin22ln555sin2ln2 5cos5cos ⋅−=⋅−⋅=′

88) ( )

( )

( )( )

( )( )

⇒−⋅+

−−+=

+−

−−+

=+

⋅−−+⋅−=′

1521252

521

1252

52

215212

2

22

22

2

2

222

2

2

2

xxxxx

xx

xxx

x

xxx

x

y

( ) ( ) 15225

1522252

2222

22

−⋅+

+=

−⋅+

+−+=′⇒

xxx

xxxxxy

89) ( ) ( )xx

xxxxex

xxx

xx

ey xx

xx

2cos

2cos

cos2sincoscos

cossincos1

cos2

1 +⋅⋅=

−⋅−⋅⋅⋅=′

Resoluciones


90) ( ) ( )

( ) ⇒−++

⋅++−−+⋅+⋅

−+

++⋅

−+

++=′ 2

4

4

344

4

3

4

4

4

4 11

1241111

124

11112

1

1111

1

x

xxxx

xx

xx

xx

y

( )( ) ⇒−+

+−−−+⋅+⋅

−+

++⋅

=′⇒ 24

44

4

3

4

4 11

11111

2

11

112

1

x

xxx

x

x

xy

( ) ( ) 4443

4

4

3

44

4

3

12

12

111

2

11111

2

xxxxx

xx

x

xxx

x

y+

−=

+

−=

−++

−

=−+⋅++

+

−

=′⇒


91) ( ) ( ) ( )⇒⋅=⇒=⇒== xx

yxyxxy xxx sin5ln1lnsin5lnlnsin5sin511

( ) ( ) ⇒⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

⋅=′⇒⋅⋅+⋅−

=′⋅⇒xxx

xxyyx

xxx

xy

y sincossin5lncos5

sin511sin5ln)1(1 22

( )⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

⋅=′⇒xxx

xxxy x

sincossin5lnsin5 2

92) ⇒⋅+⋅−=′⋅⇒⋅=⇒=x

xxxyy

xxyxy x 1coslnsin1lncoslnlnln cos

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅−⋅=′⇒⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅−⋅=′⇒

xxxxxy

xxxxyy x coslnsincoslnsin cos

93) ( ) ( ) ( ) ⇒⋅⋅+⋅=′⋅⇒⋅=⇒=xx

exeyy

xeyxy xxxex 1

ln1lnln1lnlnlnlnlnln

( ) ( ) ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅=′⇒⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⋅⋅=′⇒

xxxexy

xxexeyy xe

xx x

ln1lnlnln

lnlnln

94) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )⇒+−

=⇒−⋅+

=⇒−= +xxyx

xyxy x

1ln1lnln1ln

1ln1ln1lnln 1ln

1

( ) ( )( )( ) ⇒+

⋅+

⋅−−+⋅−

⋅−=′⋅⇒ 2

1ln2

11

11ln1ln2

)1(1

11

xxx

xxxxy

y

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( )( ) ⇒+⋅+⋅−

−⋅−−+⋅+−

⋅=′⇒ 21ln

2111ln11ln1

x

xxxxxxx

yy

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) ⇒+⋅⋅−

+−−⋅+−++−⋅−=′⇒ + 21ln

1

1ln21

1ln1ln1ln1ln1xxx

xxxxxxy x

Resoluciones


( ) ( )( ) ( )( )( )

( ) ( )( ) ⇒+⋅⋅−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+−

⋅+−⋅+−

⋅−=′⇒ + 21ln1

1ln21

11ln11ln

1xxx

xxxxx

xy x

( ) ( )( )

( ) ( )( )21ln

1

1ln21

11ln1ln

1xxx

xxxx

xy x+⋅⋅−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+−

⋅+−−

⋅−=′⇒ +

95) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ⇒=⇒=⇒=⇒=⇒= xxyxxyxxxxxy yyx lnln

lnlnlnlnlnlnlnlnlogln

( )

( )( )

( )( )( )

( )( )xxx

x

xx

xxx

xxxy

lnln1lnln

lnln

1lnln1

lnln

1ln1lnlnln1

222

−=

−⋅=

⋅⋅−⋅=′⇒

96) ( ) ( )( ) ( ) ⇒−=⇒−=⇒−=⇒−= 1lnln1lnln11log 22222222 xxyxxxxxy yyx

( )( )

( )( )⇒

⋅⋅−−⋅⋅−

⋅−=′⇒

−=⇒ 22

222

22

2

2

ln

211lnln212

11

1

ln1ln

x

xx

xxxxxy

xxy

( )

( )

( ) ( ) ( )( )( ) ⇒−⋅

−⋅−−

=

−−

−=′⇒ 222

22222

22

2

2

2

ln1

1ln1ln

ln

1ln21

ln

xxx

xxxx

xxx

xxx

y

( ) ( ) ( )( ) ( )222

2222

ln11ln1ln

xxxxxxxy

⋅−⋅−⋅−−

=′⇒

97) ( ) ( )( ) ⇒+=⇒+=⇒+= 222sin 1lnsinln1sin1log xxxxxy yyx( ) ( ) ⇒

+=⇒+=⇒

xxyxxy

sinln1ln1lnsinln

22

( )

( )( )⇒

⋅⋅+−⋅⋅+

⋅+=′⇒ 2

2

22

sinln

cossin

11lnsinln2121

11

x

xx

xxxxxy

( )

( )( )

( ) ( )( )

( ) ⇒⋅+

+⋅⋅+−⋅

=

⋅+−

+=′⇒x

xxxxxxxx

xx

xxx

xx

ysinln

sin11cos1lnsinsinln

sinlnsin

cos1ln1

sinln

2

2

22

2

2

2

( ) ( )( ) ( )xxx

xxxxxxysinlnsin1

1cos1lnsinsinln22

22

⋅⋅++⋅⋅+−⋅

=′⇒

98) ( ) ( ) ( )( ) ( )⇒=⇒=⇒= 222arctan lnarctanlnarctanlog xxxxxy yyx( ) ( ) ⇒=⇒=⇒ x

xyxxyarctanln

ln2ln2arctanln

( )

( )( )

( )( )

( ) ⇒⋅+

−=+

⋅⋅−⋅=′⇒

xxx

xx

x

xxx

xxxy

arctanlnarctan1

ln2arctanln2

arctanln1

1arctan

1ln2arctanln2

2

2

2

2

Resoluciones


( ) ( )( )

( )( ) ( )

( ) ( )xxxxxxxxx

xxxx

xxxxx

yarctanlnarctan1

ln2arctanlnarctan12arctanln

arctan1ln2arctanlnarctan12

22

2

2

2

2

⋅+⋅−⋅+

=+⋅

−⋅+

=′⇒

99) ( ) ⇒=′−−−′+⇒=−′+⋅−−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛′⋅⋅+⋅ 0776200176

2112 yxyx

yyxyyxyxy

yxy

xy

xyyx

yyyxyxy

xyyxyxyyx

7

27627672767

−

−+=′⇒−+=′⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⇒−+=′−

′⇒

100) ( ) ⇒′+⋅=⋅+⋅′⋅−′⋅+⋅ yxyxxyyyy yyxx 1222ln2222ln2 22

⇒′+=⋅−⋅′⋅−′⋅+⋅⇒ yxyxxyyyy yyxx 222ln2222ln2 22

⇒⋅+⋅−=′−⋅′⋅−′⋅⇒ xyyyxxyyy yxyx 222ln22ln222 22

( ) ⇒⋅+⋅−=′−⋅−⋅⇒ xyyyxxy yxyx 222ln22ln222 22

xxyxyyy yx

yx

−⋅−⋅⋅+⋅−

=′⇒ 22

2ln222222ln2

101) 5232325205322

−−−

=′⇒−−=′−′⇒=′−+′+yxyxyyyyyyx

102) ( ) ( ) ( ) ( )( )

⇒=−

′−⋅+−−⋅′+⋅

−+

03211 232232

32yx

yyxyxyxy

yxyx

( )( ) ( ) ⇒=−⋅+

′+−′+−′−+−⇒ 03232 32

3223232

yxyxyyxyyxyxyyxyx

( ) 32232

323232

2320233

yxyxyxyxyyxyxyyxyyx

++++

=′⇒=−−−′++−⇒

103) ( ) ( ) ( ) ( ) ⇒=′−′⋅+′⋅+++⇒′=′⋅+′+⋅+ 0coscos1cos yyeyyxyxyyeyyx yy

( )( ) ( ) ( )( ) 1coscoscos1cos

−+++−

=′⇒+−=′−++⇒ yy

eyxyxyyxyeyx

104) ( ) ⇒=−′+′+′++⇒=−′+′+′+⋅⋅+ 012222012122 yyyyxyxyyyyxyx( )

yxyxyyxyyxyxyyyyx

22122122112222122

++−−

=′⇒−−=′++⇒−−=′+′+′⇒

105) ( )12

33120032122

2222

+−

=′⇒−=′+⇒=−′+−′⋅+⋅xy

yxyyxyxyyxyyxy


Anexo: Tabla de derivadas

Forma simple Forma compuesta Regla de la cadena: ( ) ( ) ggfgf ′⋅′=′o

ky = (constante) 0=′y xy = 1=′y

nxy = 1−=′ nnxy ( )nxfy )(= ( ) )()( 1 xfxfny n ′⋅=′ − xay = aay x ln⋅=′ )(xfay = )(ln)( xfaay xf ′⋅⋅=′

Si a = e xey = xey =′ Si a = e )(xfey = )()( xfey xf ′⋅=′

xy alog= axy

ln11

⋅=′ )(log xfy a= )(ln1

)(1 xf

axfy ′⋅⋅=′

Si a = e xy ln= x

y 1=′ Si a = e )(ln xfy = )()(1 xfxf

y ′⋅=′

xy sin= xy cos=′ )(sin xfy = )()(cos xfxfy ′⋅=′ xy cos= xy sin−=′ )(cos xfy = )()(sin xfxfy ′⋅−=′

xy tan= x

xy 22

cos1tan1 =+=′ )(tan xfy = ( )

)(cos)()()(tan1 2

2

xfxfxfxfy

′=′⋅+=′

xy cot= ( )x

xy 22

sin1cot1 −=+−=′ )(cot xfy = ( )

)(sin)()()(cot1 2

2

xfxfxfxfy

′−=′⋅+−=′

xy arcsin= 21

1

xy

−=′ )(arcsin xfy =

( ))(

)(1

12

xfxf

y ′⋅−

=′

xy arccos= 21

1

xy

−

−=′ )(arccos xfy =

( ))(

)(1

12

xfxf

y ′⋅−

−=′

xy arctan= 21

1x

y+

=′ )(arctan xfy = ( ))(

)(11

2 xfxfy ′⋅

+=′

y = arccot x 211x

y+−

=′ y = arccot f (x) ( ))(

)(11

2 xfxfy ′⋅

+−

=′

Propiedades

• )()( xgxfy ±= ï )()( xgxfy ′±′=′ • )(xfky ⋅= ï )(xfky ′⋅=′ • )()( xgxfy ⋅= ï )()()()( xgxfxgxfy ′⋅+⋅′=′

• )()(

xgxfy = ï

( )2)()()()()(

xgxgxfxgxfy

′⋅−⋅′=′

autorización escrita del titular del copyright y...

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Transcript of autorización escrita del titular del copyright y...