Autómata finito

Un autómata finito (AF) o máquina de estado finito es un modelo computacional que

realiza cómputos en forma automática sobre una entrada para producir una salida.

Este modelo está conformado por un alfabeto, un conjunto de estados y un conjunto de transiciones

entre dichos estados. Su funcionamiento se basa en una función de transición, que recibe a partir de

un estado inicial una cadena de caracteres pertenecientes al alfabeto (la entrada), y que va leyendo

dicha cadena a medida que el autómata se desplaza de un estado a otro, para finalmente detenerse

en un estado final o de aceptación, que representa la salida.

La finalidad de los autómatas finitos es la de reconocer lenguajes regulares, que corresponden a

los lenguajes formales más simples según la Jerarquía de Chomsky.

Índice

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1  Historia

2  Definición formal

o 2.1  Representación como diagramas de estados

o 2.2  Representación como tabla de transiciones

o 2.3  Funcionamiento

o 2.4  Generalización de la función de transición

3  Autómata finito determinista

4  Autómata finito no determinista

5  Equivalencias entre autómatas finitos

o 5.1  Conversión de un AFND-ε a un AFND

o 5.2  Conversión de un AFND a un AFD

o 5.3  Minimización de un AFD

6  Generalizaciones de autómatas finitos

7  Véase también

8  Referencias

o 8.1  Bibliografía

9  Enlaces externos

[editar]Historia

El modelo neuronal de McCulloch-Pitts también utiliza diagramas con estados y transiciones, además de los

conceptos de entrada y salida.

El origen de los autómatas finitos probablemente se remonta a su uso implícito en máquinas

electromecánicas, desde principios del siglo XX.1 Ya en 1907, el matemático ruso Andréi

Márkovformalizó un proceso llamado cadena de Markov, donde la ocurrencia de cada evento

depende con una cierta probabilidad del evento anterior.2 Esta capacidad de "recordar" es utilizada

posteriormente por los autómatas finitos, que poseen una memoria primitiva similar, en que la

activación de un estado también depende del estado anterior, así como del símbolo o palabra

presente en la función de transición.

Posteriormente, en 1943, surge una primera aproximación formal de los autómatas finitos con el

modelo neuronal de McCulloch-Pitts. Durante la década de 1950 prolifera su estudio,

frecuentemente llamándoseles máquinas de secuencia; se establecen muchas de sus propiedades

básicas, incluyendo su interpretación como lenguajes regulares y su equivalencia con

las expresiones regulares.1Al final de esta década, en 1959, surge el concepto de autómata finito no

determinista en manos de los informáticos teóricos Michael O. Rabin y Dana Scott.3

En la década de 1960 se establece su conexión con las series de potencias y los sistemas de

sobreescritura.4 Finalmente, con el desarrollo del sistema operativo Unix en la década de 1970, los

autómatas finitos encuentran su nicho en el uso masivo de expresiones regulares para fines

prácticos, específicamente en el diseño de analizadores léxicos (comando lex) y la búsqueda y

reemplazo de texto (comandos ed y grep).5 A partir de ese tiempo, los autómatas finitos también se

comienzan a utilizar en sistemas dinámicos.1

[editar]Definición formal

Formalmente, un autómata finito es una 5-tupla (Q, Σ, q0, δ, F) donde:6

 es un conjunto finito de estados;

 es un alfabeto finito;

 es el estado inicial;

 es una función de transición;

 es un conjunto de estados finales o de aceptación.

[editar]Representación como diagramas de estados

Este autómata finito está definido sobre elalfabeto Σ={0,1}, posee dos estados s1 y s2, y sus transiciones son

δ(s1,0)=s2, δ(s1,1)=s1, δ(s2,0)=s1 y δ(s2,1)=s2. Su estado inicial es s1, que es también su único estado final.

Los autómatas finitos se pueden representar mediante grafos particulares, también

llamados diagramas de estados finitos, de la siguiente manera:

Los estados Q se representan como vértices, etiquetados con su nombre en el interior.

Una transición δ desde un estado a otro, dependiente de un símbolo del alfabeto, se representa

mediante una arista dirigida que une a estos vértices, y que está etiquetada con dicho símbolo.

El estado inicial q0 se caracteriza por tener una arista que llega a él, proveniente de ningún otro

vértice.

El o los estados finales F se representan mediante vértices que están encerrados a su vez por

otra circunferencia.

[editar]Representación como tabla de transiciones

Artículo principal: Tabla de transición de estados.

Otra manera de describir el funcionamiento de un autómata finito es mediante el uso de tablas de

transiciones o matrices de estados. Dos posibles tablas para el ejemplo de la imagen anterior

podrían ser las siguientes:

salidaq ∈ Q

símboloσ ∈ Σ

llegadaδ(q,σ) ∈

Q

s1 0 s2

0 1

→*s1 s2 s1

s2 s1 s2

s1 1 s1

s2 0 s1

s2 1 s2

La primera representa explícitamente los parámetros y el valor que toma cada ocurrencia de la

función de transición.7 La segunda es más compacta, y marca con una flecha el estado inicial, y con

un asterisco los estados finales.

[editar]Funcionamiento

El esquema general es el de una cinta lectora que avanza sólo hacia delante y de a una celda, según la función

de transición.

En el comienzo del proceso de reconocimiento de una cadena de entrada, el autómata finito se

encuentra en el estado inicial y a medida que procesa cada símbolo de la cadena va cambiando de

estado de acuerdo a lo determinado por la función de transición. Cuando se ha procesado el último

de los símbolos de la cadena de entrada, el autómata se detiene en el estado final del proceso. Si el

estado final en el que se detuvo es un estado de aceptación, entonces la cadena pertenece al

lenguaje reconocido por el autómata; en caso contrario, la cadena no pertenece a dicho lenguaje.

Note que el estado inicial   de un autómata finito siempre es único, en tanto que los estados

finales pueden ser más de uno, es decir, el conjunto   puede contener más de un elemento.

También puede darse el caso de que un estado final corresponda al mismo estado inicial.

[editar]Generalización de la función de transición

Si Σ es un alfabeto, entonces se denota Σ* al conjunto de todas las cadenas de

caracteres o palabras que se pueden conformar con dicho alfabeto.

Una función de transición δ se puede generalizar a una función δ*, que opera sobre estados

y secuencias de símbolos, en lugar de símbolos individuales del alfabeto. Así, esta nueva función de

transición se define  , permitiendo caracterizar los autómatas de manera más

abreviada y sin perder expresividad.6

La función δ* puede expresarse también de manera recursiva, definiendo para toda cadena x ∈ Σ*,

todo símbolo a ∈ Σ, y un estado q ∈ Q:6

, que es la base inductiva, siendo ε la cadena vacía, y

, que es la inducción propiamente tal.

Se llama configuración de un autómata finito a un "instante" en el cómputo de la máquina; es decir,

al estado actual en que se encuentra dicho cómputo, junto con la palabra que ha sido procesada

hasta ese momento. Formalmente, se define como un par ordenado (q, x) ∈ Q × Σ*. De este modo,

se puede definir además la configuración inicial del autómata, como el par (q0,x), donde x es la

entrada; y la configuración final, como el par (q,ε), con q ∈ F.

De este modo, el lenguaje regular aceptado por un autómata finito A puede denotarse como L(A) =

{w; δ*(q0,w)∈ F}, es decir, como el conjunto de todas las configuraciones iniciales que conllevan a

estados finales.

[editar]Autómata finito determinista

AFD que reconoce el lenguaje regularconformado exclusivamente por las cadenas con un número par de ceros

y par de unos.

Artículo principal: Autómata finito determinista.

Un autómata finito determinista (abreviado AFD) es un autómata finito que además es un sistema

determinista; es decir, para cada estado q ∈ Q en que se encuentre el autómata, y con cualquier

símbolo a ∈ Σ del alfabeto leído, existe siempre a lo más una transición posible δ(q,a).

En un AFD no pueden darse ninguno de estos dos casos:

Que existan dos transiciones del tipo δ(q,a)=q1 y δ(q,a)=q2, siendo q1 ≠ q2;

Que existan transiciones del tipo δ(q,ε), salvo que q sea un estado final, sin transiciones hacia

otros estados.

Un ejemplo interesante de autómatas finitos deterministas son los tries.

[editar]Autómata finito no determinista

AFND con transiciones δ(q0,b)=q0 y δ(q0,b)=q1, que acepta el lenguaje regular sobre el alfabeto {a,b} conformado

por todas las palabras que terminan en b; es decir, que equivale a la expresión regular (a|b)*b+.

AFND-ε a cuyo estado 2 se puede acceder pasando por el estado 3, sin procesar símbolos de entrada.

Artículo principal: Autómata finito no determinista.

Un autómata finito no determinista (abreviado AFND) es aquel que, a diferencia de los autómatas

finitos deterministas, posee al menos un estado q ∈ Q, tal que para un símbolo a ∈ Σ del alfabeto,

existe más de una transición δ(q,a) posible.

Haciendo la analogía con los AFDs, en un AFND puede darse cualquiera de estos dos casos:

Que existan transiciones del tipo δ(q,a)=q1 y δ(q,a)=q2, siendo q1 ≠ q2;

Que existan transiciones del tipo δ(q,ε), siendo q un estado no-final, o bien un estado final pero

con transiciones hacia otros estados.

Cuando se cumple el segundo caso, se dice que el autómata es un autómata finito no

determinista con transiciones vacías o transiciones ε (abreviado AFND-ε). Estas transiciones

permiten al autómata cambiar de estado sin procesar ningún símbolo de entrada.

Formalmente, se distingue de la 5-tupla que define a un autómata finito determinista en su función

de transición. Mientras en un AFD esta función se define de la siguiente manera:

en un AFND se define como:

Para el caso de los AFND-ε, se suele expresar la función de transición de la forma:

donde P(Q) es el conjunto potencia de Q.

Esto significa que los autómatas finitos deterministas son un caso particular de los no

deterministas, puesto que Q pertenece al conjunto P(Q).

La interpretación que se suele hacer en el cómputo de un AFND es que el automáta

puede estar en varios estados a la vez, generándose una ramificación de

las configuraciones existentes en un momento dado. Otra interpretación puede ser

imaginar que la máquina "adivina" a qué estado debe ir, eligiendo una transición entre

varias posibles.

Note finalmente que en un autómata finito no determinista podemos aceptar la

existencia de más de un nodo inicial, relajando aún más la definición original.

[editar]Equivalencias entre autómatas finitos

Se dice que dos autómatas finitos son equivalentes, si ambos reconocen el

mismo lenguaje regular.

Toda expresión regular (que define a su vez un lenguaje regular) puede ser expresada

como un autómata finito determinista,8 y viceversa.9 Dada una expresión regular, es

posible construir un AFND-εque reconozca dicho lenguaje, por ejemplo mediante

el algoritmo de Thompson. Luego, todo AFND-ε puede transformarse en un AFND

equivalente, así como todo AFND puede transformarse en un AFD equivalente,

mediante el método llamado construcción de conjunto potencia. Así, por transitividad,

para cualquier autómata finito no determinista siempre existe un autómata finito

determinista equivalente, y viceversa.3

Normalmente en el diseño de autómatas finitos, lo primero que se hace es construir un

AFND-ε, que es el más sencillo de construir, por poseer menos restricciones en su

función de transiciones. Luego dicho autómata se reduce a un AFND, y finalmente a

un AFD, el cual por sus características deterministas ya puede ser implementado sin

problemas utilizando un lenguaje de programación.

[editar]Conversión de un AFND-ε a un AFND

La conversión de un AFND-ε en un AFND se basa en el concepto de clausura-ε, que

corresponde a una clausura transitiva contextualizada en la teoría de autómatas.

Dado un estado q, se llama clausura-ε(q) al conjunto de todos los estados a los que

se puede acceder a partir de q, procesándose a lo más un único símbolo de la

entrada. Puede definirse recursivamente de la siguiente manera:10

(Base inductiva) Para todo estado q, q ∈ clausura-ε(q).

(Inducción) Dados dos estados p y r, si p ∈ clausura-ε(q) y r ∈ δ(p,ε),

entonces r ∈ clausura-ε(q).

El algoritmo para eliminar las transiciones vacías es el siguiente:

1. Se calcula la clausura-ε del estado inicial, formándose un conjunto A que

corresponderá al estado inicial del nuevo autómata.

2. Para cada símbolo del alfabeto, se verifican los estados alcanzables a partir

de algún estado contenido en A, y se calcula la clausura-ε de dichos estados

alcanzables. Si dichas clausuras producen nuevos conjuntos distintos deA,

estos serán nuevos estados a los que se accederá a partir de A y del símbolo

correspondiente.

3. Se repite lo anterior para cada nuevo conjunto, hasta que no existan

transiciones posibles para ningún símbolo del alfabeto.

Ejemplo

Eliminación de las transiciones vacías de unAFND-ε.

AFND-ε inicial.

En este caso se obtiene un AFD, que es un caso particular de AFND.

En el ejemplo de la figura, se tendrá inicialmente:

clausura-ε(1) = {1,2,3,4,6} = A

Para A:

Para el símbolo a: 4 va a 5, y clausura-ε(5) = {5,7} = B.

Para el símbolo b: no existen transiciones posibles.

Para B:

Para el símbolo a: no existen transiciones posibles.

Para el símbolo b: 5 va a 6, y clausura-ε(6) = {6} = C.

Para C:

Para el símbolo a: no existen transiciones posibles.

Para el símbolo b: no existen transiciones posibles.

Con esto concluye el algoritmo y se obtiene el autómata de la figura.

En algunos casos puede ocurrir que al quitar las transiciones épsilon obtengamos

directamente un AFD, pues la única razón de no-determinismo era justamente la

presencia de dichas transiciones.

[editar]Conversión de un AFND a un AFD

Artículo principal: Construcción de subconjuntos.

Conversión de un AFND a un AFD.

AFND inicial.

Proceso de conversión.

AFD final.

Todo AFND (QN, Σ, q0, δN, FN) puede convertirse en un AFD (QD, Σ, q0, δD, FD)

equivalente, que mantiene el alfabeto Σ y el estado inicial q0 originales. La

conversión implica pasar por un AFD intermedio con estados y transiciones

redundantes, que al no ser accesibles a partir del estado inicial, son eliminados

para obtener el AFD definitivo.

Para definir el AFD intermedio, se deben seguir los siguientes pasos:

1. Primero se redefine el conjunto de estados QN = {q0, q1, ..., qm} original,

como uno conformado por todos los subconjuntos de QN. Los nuevos

estados finales serán todos aquellos estados que contengan a alguno de

los estados finales originales.

2. Posteriormente, se redefine el conjunto de transiciones original, por

transiciones del tipo δD(S,a), donde a∈Σ, y S es la unión de todos los

estados q de QN para los cuales existía la transición δN(q,a).

3. Por último, se eliminan los estados inaccesibles o inalcanzables (junto

con sus transiciones de salida), es decir, aquellos a los que no se puede

acceder a partir del estado inicial. Luego de esta depuración, se obtiene

el AFD final.

Ejemplo

En las figuras de ejemplo, como el AFND inicial posee tres estados (q0, q1, q2),

entonces el AFD intermedio poseerá siete ({q0}, {q1}, {q2}, {q0, q1}, {q0, q2}, {q1, q2},

{q0, q1, q2}), y como el estado final original era q2, entonces los estados finales del

AFD intermedio son {q2}, {q0, q2}, {q1, q2} y {q0, q1, q2}. Con respecto a las nuevas

transiciones, note por ejemplo que se mantuvo la transición δN(q0,1)=q0, siendo

ahora llamada δD({q0},1)={q0}; sin embargo, dado que originalmente se daba que

δN(q0,0)=q0 y δN(q0,0)=q1, ahora estas dos transiciones fueron reemplazadas por

δD({q0},0)={q0, q1}. Para terminar, note que los estados {q1}, {q2} y {q1, q2} no están

conectados con el resto del autómata que posee el estado inicial; por tanto, son

eliminados. Asimismo es eliminado también {q0, q1, q2}, pues a pesar de estar

conectado con el resto del autómata, no es accesible a partir de {q0}. Así

finalmente, eliminando estos cuatro estados, así como sus respectivas

transiciones, se obtiene el AFD buscado.

[editar]Minimización de un AFD

Dos estados de un autómata finito determinista son estados equivalentes si al

unirse en un sólo estado, pueden reconocer el mismo lenguaje regular que si

estuviesen separados. Esta unión de estados implica la unión tanto de sus

transiciones de entrada como de salida. Si dos estados no son equivalentes, se

dice que son estados distinguibles. Un estado final con un estado no-final nunca

serán equivalentes.

Un AFD está minimizado, si todos sus estados son distinguibles y alcanzables.

Un algoritmo de minimización de AFD es el siguiente:

1. Eliminar los estados inaccesibles del autómata.

2. Construir una tabla con todos los pares (p, q) de estados restantes.

3. Marcar en la tabla aquellas entradas donde un estado es final y el otro es

no-final, es decir, aquellos pares de estados que son claramente

distinguibles.

4. Para cada par (p, q) y cada símbolo a del alfabeto, tal que r = δ(p,a) y s =

δ(q,a):

1. Si (r, s) ya ha sido marcado, entonces p y q también son

distinguibles, por lo tanto marcar la entrada (p, q).

2. De lo contrario, colocar (p, q) en una lista asociada a la entrada

(r, s).

5. Agrupar los pares de estados no marcados.

Luego del tercer paso, si la tabla creada queda completamente marcada,

entonces el AFD inicial ya era mínimo.

La complejidad computacional del problema de minimizar un AFD es polinomial.

De hecho, existen algoritmos más eficientes aún que el mostrado en este artículo

(aunque menos intuitivos).11 Sin embargo, el problema de minimizar unautómata

finito no determinista es NP-completo y PSPACE-completo.12 13

Ejemplo

Minimización de un AFD.

AFD con estados redundantes.

AFD minimizado.

En la primera figura del ejemplo, se muestra un autómata con el estado

inaccesible d, el cual puede eliminarse inmediatamente. Luego se construye la

tabla de pares de estados, y a continuación se marcan, de acuerdo a la tercera

línea del algoritmo, las filas y columnas correspondientes a los estados

finales c y g, salvo la celda que representa el par (c,g), puesto que al ser ambos

estados finales, pueden ser estados equivalentes. Posteriormente, se marcan las

celdas restantes de acuerdo a la cuarta línea del algoritmo, notando que el par

(b, f) queda asociado con el par (c, g), y así finalmente se obtiene el autómata

final, agrupando los estados b y f, así como c y g, tal y como se muestra en la

segunda figura del ejemplo.

Tablas para la búsqueda de estados equivalentes

b

c

e

f

ga b c e f

b

c

e

f

ga b c e f

b

c

e

f

ga b c e f

[editar]Generalizaciones de autómatas finitos

Ejemplo de Máquina de Mealy, un tipo de transductor de estados finitos, que generaliza

los autómatas finitos.

Existes diversas generalizaciones posibles de hacer sobre los autómatas finitos,

para aumentar su uso y expresividad. Así, por ejemplo, se definen

los transductores de estados finitos como autómatas finitos que están dotados

además de un alfabeto de salida, distinto al de entrada, y que pueden poseer más

de un estado inicial.14 Las máquinas de Moore y máquinas de Mealy son

conocidos ejemplos de transductores, que se utilizan sobre todo para

modelar sistemas secuenciales.15 16

Es incluso posible aumentar el poder de cómputo de un autómata finito,

permitiendo un alfabeto adicional sobre éste, que actúe sobre una memoria de

tipo pila para ser considerada en cada transición. Esta es la idea utilizada por los

llamados autómatas con pila, los cuales son capaces de reconocer lenguajes

libres de contexto, que están un nivel por sobre los lenguajes regulares en

la Jerarquía de Chomsky.17

[editar]Véase también

Lenguaje regular

Teoría de autómatas

Sistema combinacional

Autómata con pila

Máquina de Turing

Máquina abstracta

[editar]Referencias

1. ↑ a b c Wolfram, Stephen (2002). «Starting From Randomness» (en inglés). A

New Kind of Science. Wolfram Media. pp. 958. Consultado el 31 de marzo de

2010.

2. ↑  Basharin, Gely P.; Langville, Amy N.; Naumov, Valeriy A. (2004). «The Life

and Work of A. A. Markov» (en inglés).Linear Algebra and its

Applications 386:  pp. 3-26. Consultado el 31 de marzo de 2010.

3. ↑ a b Rabin, Michael O.; Scott, Dana (1959). «Finite automata and their

decision problems» (en inglés). IBM Journal of Research and

Development (IBM Corp. Riverton, NJ, USA) 3 (2):  pp. 114-125. ISSN 0018-

8646. Consultado el 05 de abril de 2010.

4. ↑  Wolfram, Stephen (2002) (en inglés). A New Kind of Science. Wolfram

Media. pp. 893. Consultado el 31 de marzo de 2010.

5. ↑  Thompson, Ken (1968). «Programming Techniques: Regular expression

search algorithm» (en inglés).Communications of the ACM 11 (6):  pp. 419-

422. Consultado el 01 de abril de 2010.

6. ↑ a b c Chakraborty, Samarjit (17 de marzo de 2003). «Formal Languages and

Automata Theory. Regular Expressions and Finite

Automata» (en inglés). Computer Engineering and Networks Laboratory.

Swiss Federal Institute of Technology (ETH) Zürich:  pp. 17. Consultado el 30

de marzo de 2010.

7. ↑  Brena, Ramón (2003). «Autómatas y Lenguajes. Un enfoque de

diseño» (en español). Tecnológico de Monterrey, México:  pp. 205.

Consultado el 31 de marzo de 2010.

8. ↑  Berry, G.; Sethi, R. (1987). «From regular expressions to deterministic

automata» (en inglés). TCS: Theoretical Computer Science 48:  pp. 117-126.

Consultado el 01 de abril de 2010.

9. ↑  Neumann, Christoph (2005) (en inglés). Converting Deterministic Finite

Automata to Regular Expressions. Consultado el 01 de abril de 2010.

10. ↑  van Noord, Gertjan (2000). «Treatment of epsilon moves in subset

construction» (en inglés). Computational Linguistics (MIT Press. Cambridge,

MA, USA) 26 (1):  pp. 61-76. ISSN 0891-2017. Consultado el 05 de abril de

2010.

11. ↑  Hopcroft, John E. (1971). «An n log n algorithm for minimizing states in a

finite automaton» (en inglés). Theory of Machines and

Computations (Academic Press, Nueva York):  pp. 189-196. Consultado el 09

de abril de 2010.

12. ↑  Jiang, Tai; Ravikumar, B. (1993). «Minimal NFA problems are hard» (en

inglés). SIAM Journal on Computing(Society for Industrial and Applied

Mathematics Philadelphia, PA, Estados Unidos) 22 (6):  pp. 1117-

1141. ISSN 0097-5397. Consultado el 09 de abril de 2010.

13. ↑  Malcher, Andreas (2004). «Minimizing finite automata is computationally

hard» (en inglés). Theoretical Computer Science (Elsevier Science

Publishers Ltda. Essex, Reino Unido) 327 (3):  pp. 375-390. ISSN 0304-3975.

Consultado el 05 de abril de 2010.

14. ↑  Koskenniemi, Kimmo (1984), A general computational model for word-form

recognition and production, Morristown, NJ, Estados Unidos: Association for

Computational Linguistics, pp. 178-181, consultado el 10 de abril de 2010

15. ↑  Moore, Edward F. (1956). «Gedanken-experiments on Sequential

Machines» (en inglés). Automata Studies, Annals of Mathematical

Studies (Princeton, N.J.: Princeton University Press) (34):  pp. 129–153.

Consultado el 10 de abril de 2010.

16. ↑  Mealy, George H. (1955). «A Method for Synthesizing Sequential

Circuits» (en inglés). Bell Systems Technical Journal 34:  pp. 1045-1079.

17. ↑  Hopcroft, John E.; Ullman, Jeffrey D. (1969), Formal languages and their

relation to automata, Boston, MA, Estados Unidos: Addison-Wesley Longman

Publishing Co., Inc., pp. 262, consultado el 10 de abril de 2010