autocorrelacion

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Autocorrelación

Índice

• Definición

• Causas

• Consecuencias

• Detección

• Medidas correctivas

Definición de la autocorrelación

Definición de autocorrelación

La perturbación de una observación cualquiera ui

está correlacionada con la perturbación de

cualquier otra observación => las observaciones

no son independientes E(ui u j ) 0; i j

¿Cómo se expresa laausencia de correlación?

En los datos de sección cruzada es menos común,aunque posible => correlación espacial

Patrones de autocorrelación

Causas de la autocorrelación

210

t 2t

1. Existencia de tendencias y/o ciclos en los datos

2. Errores de especificación:

a) Omisión de variables explicativas:• Ejemplo:

Modelo correcto: yt

Estimamos:

x1t x2t ut

yt 0 1 x1t donde x2t ut

εt presentará un falso patrón de autocorrelación

b) Forma funcional incorrecta:• Si especificamos una relación lineal entre las

variables cuando realmente es cuadrática,

3. La relación entre las variables es dinámica y noestática

observaremos un falso patrón de autocorrelación

t

210

2t

• Ejemplo: si trabajamos con el siguiente modelo

yt 0 1 x1t

Pero el modelo correcto es:

yt x1t yt 1 ut

Tendremos que yt 1 ut

• Ejemplo: el fenómeno de la telaraña

4. Manipulación y transformación de datos

Consecuencias de la autocorrelación


Bajo los supuestos del Teorema Gauss- Markov los estimadores MCO son ELIO.

Si no se satisface el supuesto de independencia:

Es decir, E (ut ut s ) 0; s 0-Los estimadores MCO son lineales.

-Los estimadores MCO son insesgados.

-Los estimadores MCO no son eficientes.

¿Por qué noson eficientes?

Ya que los estimadores MCO no son eficientes:

i. las estimaciones de las varianzas de losestimadores son sesgadas

ii. las contrastaciones de hipótesis y los intervalos de confianza ya no son fiables.


Detección de la autocorrelación

Detección de la autocorrelación

Análisis gráfico de los residuos

Naturaleza del problema

-El supuesto de no autocorrelación se relaciona con las perturbaciones poblacionales ut (no observables directamente)

-Sólo disponemos de información sobre ût y no sonlo mismo que ut

- Es más, nuestros datos se basan en una muestra

Puede que ut sean homoscedásticos y no correlacionados y ût sean heteroscedásticos y

autocorrelacionados

(=> incrementar tamaño de muestra)

- Los residuos constituyen una proxy de loserrores, especialmente para muestras grandes.

- Los residuos se pueden representar gráficamente respecto al tiempo.

- También se pueden representar los residuosestandarizados (ût /σ^) respecto al tiempo.

-En vez de representar los residuos respecto al tiempo, se pueden representar ût respecto a ût-1

(detectando si la correlación entre los residuos es positiva o negativa).

Detección de la autocorrelaciónAnálisis gráfico de los residuos

Algunos test

-Prueba de las rachas o prueba de Geary

-Estadístico d de Durbin-Watson

(disponible en Eviews)

-Estadístico Breusch y Godfrey


-Estadístico de Box y Pearce (Q-statistics)


u

Supuestos:

Estadístico d de Durbin-Watson

1.Existe término constante en el modelo

2.X’s fijas en muestreo repetido

3.ut siguen un modelo autorregresivo de orden 1

ut t 1 at donde at es ruido blancoy -1< ρ <1

4.ut sigue una distribución normal

5.El modelo es estático, no dinámico

6.No hay valores perdidos (missing values)

ˆ )1 ˆ

ˆ

1

2 11

u

e

uˆ

nt 2

• H0: 0

• H1: ut t 1


at

• Si se cumplen los supuestos, se puede definir:

(uˆtd t

uˆt )

2ut

uˆt

2(1

t n ˆ 2 u

t ut t

– Esta aproximación es buena si n es suficientementegrande y ˆ

regresión:s el estimador de MCO de la siguiente

uˆt t 1 at t 2,3,...,n

1 ˆ

ˆ

1 ˆ

ˆ

ˆ )


• Puesto que 1 d 2(1

• El estadístico puede tomar los siguientes

valores

– d = 2 si 0

– d є (2, 4) si 0

– d є (0, 2) si 0 1


A modo de conclusión (pasos):

1. Estimar el modelo de regresión lineal y obtener los residuos

2. Calcular el estadístico de DW

3. Encontrar los valores du y dl

4. Toma de decisiones


¿Qué ocurre si seviolan los supuestos?

Estadístico Breusch y GodfreyEstadístico Breusch y Godfrey

Prueba

Es una prueba general que permite:

1.Modelos dinámicos

BG o ML

2.ut siguen un modelo autorregresivo de orden p

3.Promedios móviles del término de error

H0: ausencia de correlación

H1: ut ~ AR(p) ó ut ~ MA (q)

2p

Pasos

Prueba BG o ML

1. Estimar el modelo de regresión lineal

2. Regresar ût sobre X’s originales y ût-1, ût-2,…ût-p

3. Obtener el R-cuadrado de la regresión anterior

4. Breusch y Godfrey demostraron que

(n-p)R2 ~

Si el valor obtenido excede el valor crítico, podemos rechazar la H0 y, al menos, un es distinto de cero

Corrección de la autocorrelación

Corrección de la autocorrelación

Si hay evidencia de que haya autocorrelación:

1. Averiguar si es una autocorrelación pura o unproblema de mala especificación del modelo

2. Si es un problema de autocorrelación pura:

Método de MCG => transformar el modelo

3. Para muestras grandes: método de Newey- West para corregir errores estándar

4. En ocasiones, seguir utilizando MCO

Problema de autocorrelación pura: Método

1. Analizar si existe tendencia incluyendo lavariable tiempo (t) y observar el estadístico deDW

Si persiste la autocorrelación

2. Cambiar la forma funcional del modelo yobservar el estadístico de DW

Si persiste la autocorrelación

3. Puede ser un problema de autocorrelación pura

Conveniente realizar la prueba de normalidad deJarque-Bera para comprobar que û ~ N(0,σ2)

10

u 1

Mala especificación del modelo

Al trabajar con series temporales:de Mínimos Cuadrados Generalizados (MCG)

Para describir los procedimientos de estimación trabajaremos con el siguiente modelo

yt

ut t 1

xt ut

at 1

Dos casos:

1. Se conoce ρ.

2. Se desconoce ρ, y hay que calcularlo.

x1 )0y

1u

*1

*0 xy *

Cuando se conoce ρ:

La autocorrelación se resuelve transformando elmodelo.

El modelo transformado será:

yt t 1

*t

(1

t at

xt t 1 ) at

donde at ut t

El término de error ya no presenta autocorrelación

Estimar por MCO el modelo transformado,

es decir aplicar MCG.

:

u

uˆ

*1

*0y x *

Cuando se desconoce

Estimar a partir de los residuos

Si ut sigue un esquema AR(1): ut t 1 at

1. Se estima el modelo original para obtener losresiduos ût.

2. Estimar uˆ

t

t 1 at para obtener ˆ

3. Usar ˆ para obtener el modelo transformado*

t4. Y estimar

:

ˆ )

ˆ

*1

*0y * *

Cuando se desconoce

Procedimiento basado en el estadístico

Recordar que

d de DW

d 2(1 1 d

2En muestras grandes podemos obtener ˆ a partirdel estadístico de DW para transformar el modelo original, obteniendo

t xt at

Y estimar

:

ˆ

)ˆ0

ˆ *0

ˆ0

t

2

u

Pasos:

Procedimiento iterativo de Cochrane-Orcutt

1. Aplicar MCO al modelo original ignorando lapresencia de autocorrelación y recuperar los ût .

2. A partir de û , obtener una estimación preliminar den

como:t

uˆt uˆ

t 1

nˆ 2

t 2 t 1

3. Con ˆ calcular las variables transformadas: yt*, xt*y estimar el modelo transformado por MCOrecuperando la estimación del término constante

por medio de la relación (1

ˆ0 1̂

i

ii

i

4. Con y volver al modelo original y~recuperar los nuevos residuos ut y la nueva

estimación de ˆ

5. Repetir hasta alcanzar la convergencia. Uncriterio de convergencia sería:

ˆ 1

ˆ

ˆ

donde ˆ es la estimación de en lainteracción i-ésima y P es una tolerancia prefijada tan pequeña como se quiera

:

111 (1

xy 1

Métodos adicionales

1. Método de primeras diferencias

Cuando 1 el modelo transformado sereduce al modelo en primeras diferencias

yt yt xt xt ) ut ut )

at

con lo que sólo hay que calcular las primeras diferencias y estimar

Problema de autocorrelación pura: el métodode Newey-West para la corrección de errores estándar

El procedimiento de Newey-West genera errores estándar de los coeficientes de la regresión estimada que tienen en cuenta la autocorrelación.

Es una generalización del procedimiento de White

Genera errores estándar consistentes con la heterocedasticidad y la autocorrelación

Sólo válido para muestras grandes →t y F válidos

ˆ

Cuándo usar MCO ante un problema deautocorrelación pura

En muestras pequeñas, MCG y Newey-West pueden resultar peores que MCO en cuanto a las propiedades de los estimadores

Muestras pequeñas simejor que MCG

0.3 MCO es igual o

Reflexiones

¿Y si el modelo de regresión contienevariables explicativas cualitativas?

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