FRACCIONES CONTINUASLas fracciones continuas, tan presentes en la historia de las matemáticas, están en la

actualidad prácticamente olvidadas, especialmente en las aulas de Secundaria. Si acaso aparecen es como mera “gimnasia algebraica”.

Pero son uno de los temas más interesantes dentro de la teoría de números, así como también uno de los más antiguos. Su origen se remonta a la antigua Grecia, Euclides (330 a.C – 275 a.C) estudió por primera vez este tipo particular de fracciones en el Libro 8 de los Elementos.

En esta sesión veremos las fracciones continuas relacionadas con problemas de recubrimientos. También relacionado con ellas está el concepto de máximo común divisor y el algoritmo de Euclides.

Empezaremos con la definición: Una fracción continua simple es aquella que tiene la forma siguiente:

Los numeradores son todos iguales a 1, y los coeficientes ai, 1 ≤ i ≤ n son números naturales y a0 es la parte entera de la fracción (mayor entero menor que la fracción). Esta forma (fracción de múltiples barras) es poco práctica, por eso se pensó en otra notación, menos complicada. La más aceptada es: [a0; a1, a2, a3,…, an]

Vemos un ejemplo con la fracción:

Y expresado en la notación anterior sería (También, y esto es

general, se podría expresar como [5; 2, 1, 2, 1] pues el último castillo también se puede

poner en la forma , pero se suele poner la primera expresión).

EJERCICIO 0: De las siguientes fracciones continuas, ¿cuál es la mayor? Canguro Matemático del año 2011 (Nivel 4 pregunta 24):

A)

; B)

; C)

; D)

; E)

Si se permite que los numeradores o los denominadores parciales tomen valores arbitrarios, la expresión resultante es una fracción continua generalizada.

Vemos otro ejemplo con fracciones negativas

EJERCICIO 1: Expresar las siguientes fracciones como fracciones continuas:

a) b) c) d)

EJERCICIO 2: Determinar la fracción racional asociada a las fracciones continuas simples:a) [2; 3, 2, 4] b) [−3; 2, 4, 5] c) [0; 3, 5, 8, 6]

EJERCICIO 3: La fracción continua correspondiente a es [2; 1, 4, 3]. ¿Qué fracciones

corresponden a las siguientes fracciones continuas: a) [2; 1, 4, 4] b) [2; 1, 4, 5] c) [2; 1, 4, 6] d) [2; 1, 4, 7]e) Halla la fracción para la fracción continua [2; 1, 4]f) ¿Puedes hallar la fórmula de la fracción para la fracción continua [2; 1, 4, n]?

EJERCICIO 4: Determinar las fracciones simples asociadas a las fracciones continuas simples: a) [1; 3, 5, 7]; [1; 3, 5]; [7; 5, 3, 1] b) [1; 1, 1, 2]; [1; 1, 1]; [2; 1, 1, 1]

El último ejercicio es un ejemplo de una propiedad general que dice lo siguiente:

Si y , entonces la fracción continua

simple

Repasaremos a continuación un algoritmo conocido, el algoritmo de Euclides, que recordamos; es un procedimiento por el cual se obtiene el máximo común divisor de dos números enteros. Se basa en el hecho de que el m.c.d.(a, b) = m.c.d.(b, r) donde r es el resto de la división entre a y b.

Por ejemplo si queremos calcular el m.c.d.(972, 421) mediante el algoritmo de Euclides los cálculos se disponen de la siguiente manera

2 3 4 5 6972 421 130 31 6 1130 31 6 1 0

El último divisor cuando el resto da 0 es el m.c.d. En nuestro caso el m.c.d.(972, 421) = 1, pero lo realmente interesante es que viendo la fracción continua simple

correspondiente a la fracción coincide con los cocientes parciales de las

divisiones sucesivas del algoritmo de Euclides. Y esto es así ya que:972 = 2·421 + 130; 421 = 3·130 +31; 130 = 4·31 + 6; 31 = 5·6 + 1; 6 = 1·6 + 0

Y por lo tanto se tiene entonces que:

EJERCICIO 5: Calcula las fracciones continuas simples utilizando el algoritmo de Euclides de las siguientes fracciones:

a) b) c) d)

Desde el punto de vista geométrico, el elemento más sencillo al que se puede aplicar el concepto de proporción, es un segmento, dividiéndolo en dos partes. Entre las proporciones aplicadas sobre él, consideramos la que resulta cuando se efectúa la división del mismo en extrema y media razón que da lugar a la proporción áurea. Dado un segmento AB y un punto interior C que lo divide en dos partes AC y CB, con AC > CB, denotando por a y b con a > b, las medidas de AC y CB respectivamente, se plantea la proporción de tal forma que la relación entre la parte mayor a y la parte menor b sea igual a la relación

entre la totalidad a + b y la parte mayor, a, es decir:

Operando y denotando por , se obtiene la ecuación áurea , cuya solución

positiva es el número de oro . La siguiente figura geométrica susceptible de hallar su proporción es el rectángulo, definiendo su proporción como el cociente entre las longitudes mayor y menor de sus lados.

Si denotamos por R al rectángulo de lados a y b, su proporción

Consideremos el rectángulo de dimensiones 45 x 16 unidades

Vamos a rellenarlo con el menor número posible de cuadrados. Como paso inicial efectuamos la división entre 45 y 16, obtenemos de cociente 2 y

resto 13, esto se puede expresar así: , geométricamente

esto significa que el rectángulo se puede descomponer en:

Hacemos ahora lo mismo con el rectángulo (más pequeño que el inicial) de dimensiones 16 x 13

Como quiera que , geométricamente se corresponde con:

Siguiendo con el proceso vamos obteniendo

, que geométricamente significa:

Hemos dividido el rectángulo de 45x16 en dos cuadrados de 16x16; otro más de dimensiones 13x13; cuatro de 3x3 y tres de 1x1. El proceso se acaba cuando hemos llegado a cuadrados de dimensiones 1x1. En realidad el lado de los cuadrados más pequeños coincide con el máximo común divisor de los números que representan de las dimensiones del rectángulo inicial.

La fracción expresada en forma continua, da el

número de los cuadrados utilizados en la descomposición del rectángulo de dimensiones 45x16.

EJERCICIO 6: Los tres rectángulos de la figura están recubiertos por cuadrados. Suponiendo que la longitud del lado de la baldosa cuadrada más pequeña del primer rectángulo es 1. Expresar la razón de las longitudes de lo lados de los tres rectángulos como fracciones continuas.

EJERCICIO7: (Utilizando papel cuadriculado) Descomponer en el menor número de cuadrados un rectángulo de dimensiones: a) 9x7 b) 30x16 (semejante al 15x8) c) 33x13 d) 42x9 (semejante al 14x3)

Las fracciones continuas finitas representan números racionales. Análogamente a las expresiones decimales periódicas también existen las fracciones continuas simples periódicas que corresponden a los números irracionales cuadráticos, (soluciones de ecuaciones del tipo (Ax 2 + Bx + C = 0; con A, B, C números enteros). En general la fracción continua simple que representa un número irracional es infinita. Veamos un ejemplo:

En este momento observamos que el valor obtenido es uno que ya ha aparecido y es en este momento en que los valores comienzan a repetirse.

Este resultado lo expresaremos de la forma:

EJERCICIO8: Obtener una fracción continua que exprese los números irracionalesa) b) c) d)

Y ahora el ejercicio inversoEJERCICIO 9: Obtener el número irracional cuya fracción continua es la siguiente:a) b) c) d)

Un rectángulo de uso común con la proporción es el formato DIN A4 o cualquier otro rectángulo de la serie DIN. Es el único rectángulo con la propiedad de que al dividir su lado mayor en dos partes iguales se obtienen dos rectángulos de la misma proporción.Un rectángulo de plata, es aquel cuya proporción es el número de plata (solución de la ecuación Está relacionado con el octógono regular; en

efecto, puede formarse un rectángulo de plata con el lado del octógono y una de sus diagonales (la perpendicular al lado de apoyo del octógono)El rectángulo de proporción forma parte del hexágono regular, siendo sus lados una de las diagonales del hexágono y el lado del mismo.

EJERCICIO 10: Escribir las fracciones continuas simples correspondientes a (un número y

a su inverso) a) ; b) ; c) ; d)

En la tabla siguiente se muestran las fracciones continuas correspondientes a los primeros 50 números irracionales cuadráticos:

n n1 [1] 262 273 284 [2] 295 306 317 328 339 [3] 3410 3511 36 [6]12 3713 3814 3915 4016 [4] 4117 4218 4319 4420 4521 4622 4723 4824 4925 [5] 50

Si nos fijamos, la última cifra del periodo siempre es el doble de la primera o parte entera; también, prescindiendo de la última cifra del periodo las demás del periodo forman un palíndromo o número capicúa. Además la longitud de los periodos de la tabla sigue la siguiente serie: 0,1,2,0,1,2,4,2,0,1,2,2,5,4,2,0,1,2,6,2,6,6,4,2,0... que parece indicar una cierta regularidad.

La fracción continua de un número irracional cuadrático puede encontrarse fácilmente de forma algebraica utilizando el método de Bombelli y CataldiPor ejemplo:

Vamos ahora a intentar aplicar el procedimiento geométrico de cubrimientos con cuadrados a un rectángulo de dimensiones x1 (proporción )

Después de varias iteraciones nos damos cuenta de que hay una regularidad en la sucesión del número de cuadrados del mismo tamaño que se van dibujando y que parece ser que el proceso no va a terminar nunca. La figura sugiere que el rectángulo EBFG es semejante al HBIK. Todos los cuadrados son semejantes, por tanto el rectángulo de la parte superior derecha también será semejante al EBFG y a HBIK, y el proceso sigue indefinidamente. De esta forma, el número de cuadrados necesarios es infinito y el lado de los mismos tiende a cero.

EJERCICIO 11: Demuestra que los rectángulos FBEC y FBGH, del desarrollo del rectángulo de dimensiones x1, son semejantes

En otros problemas geométricos se puede buscar el desarrollo en fracción continua de una magnitud geométrica cuyo valor numérico no está dado. Hallemos, por ejemplo, la razón entre la base y el lado lateral de un triángulo isósceles con el ángulo de 108º del que no conocemos las longitudes de sus lados.

En el triángulo ABC los ángulos son iguales a 108º; 36º y 36º respectivamente. Trazamos BB1 = b

Tenemos , pero el triángulo

B1AC es semejante al ABC y tanto como representan la razón entre la base y el

lado lateral de dos triángulos isósceles de ángulos 108º, 36º y 36º de lo que el proceso será

infinito y por lo tanto

Como vemos pues el razonamiento geométrico puede servir de puente entre la Teoría de números y el Álgebra.

SOLUCIONES:

EJERCICIO 0: A) ; B) ; C) ; D) ; E)

EJERCICIO 1:a) [3; 6, 2]; b) [0; 1, 2, 12]; c) [0; 7]; d) [– 2; 1, 1, 2, 1, 2]EJERCICIO 2:

a) ; b) ; c)

EJERCICIO 3:

a) ; b) ; c) ; d) ; e) ; f)

EJERCICIO 4:

a) ; b)

EJERCICIO5:

a) ; b) ;

c) ; d)

EJERCICIO6:a) [1; 4]; b) [2; 1, 4]; c) [1; 2, 1, 4]EJERCICIO7:a)

b)

c)

d)

EJERCICIO8:a) ; b) ; c) ; d)EJERCICIO9:

a) ; b) ; c) ; d)

EJERCICIO10:

a) ; ; b) ; c)

d)

EJERCICIO 11: En efecto BG = 1 – 4· EC = = ;

Fracción continua

En matemáticas, una fracción continua es una expresión de la forma:

donde a0 es un entero y todos los demás números an son enteros positivos. Si se permite

que los numeradores o los denominadores parciales tomen valores arbitrarios, que podrían ser

funciones en algún contexto, la expresión resultante es una fracción continua generalizada. Cuando

fuera necesario distinguir la forma típica de arriba de una generalizada aquella se

denominará fracción continua regular o simple.

Índice

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1 Motivación

2 Apuntes históricos

3 Cálculo de una fracción continua

4 Notación

5 Formalización

o 5.1 Reducidas

o 5.2 Mejores aproximaciones racionales

6 Algunos desarrollos notables

o 6.1 Número

o 6.2 Raíz cuadrada de 2

o 6.3 Número áureo

o 6.4 Número e

7 Aplicaciones

o 7.1 Irracionalidad del número

o 7.2 La ecuación de Pell

o 7.3 Números cuadráticos

8 Véase también

9 Referencias

Motivación

El motivo del estudio de las fracciones continuas es el deseo de dar una representación

«matemáticamente pura» de los números reales. Estamos familiarizados con la representación

decimal:

donde a0 puede ser cualquier entero y los otros ai pertenecen a {0, 1, 2, …, 9}. Así el

número   , por ejemplo, se representa con la sucesión (3, 1, 4, 1, 5, 9, 2, …).

Esta representación tiene algunos problemas. Por ejemplo, la constante 10 se usa

porque los cálculos se hacen en el sistema decimal; bien podría usarse el octal o el binario.

Otro problema es que muchos racionales no tienen representación finita; por ejemplo, 1/3 lo

hace con la sucesión infinita (0, 3, 3, …).

La representación en fracción continua de los números reales evita ambos problemas.

Por ejemplo, consideremos el número 415/93, que vale aproximadamente 4.4624. Esto es

aproximadamente 4, pero es algo mayor que 4, sobre 4+1/2. Pero el denominador 2 no es

correcto; lo sería uno algo mayor, sobre 2+1/6, ya que 415/93 es aproximadamente

4+1/(2+1/6). Pero el denominador 6 no es correcto; lo sería uno algo mayor, sobre

4+1/(2+1/(6+1/7)). Esto es exacto. Quitando las partes redundantes de la expresión

4+1/(2+1/(6+1/7)), se obtiene su notación abreviada [4; 2, 6, 7].

Así, puede representarse en fracción continua cualquier número real, y se cumplen

estas cómodas propiedades:

La representación en fracción continua de un número real es finita si y solo si ese número

es racional.

La representación en fracción continua de un racional «simple» es generalmente corta.

La representación en fracción continua de un racional es única siempre que no acabe en

1. (de hecho: [a0; a1, ... an, 1] = [a0; a1, ... an + 1].)

Los términos de una fracción continua se repetirán si y solo si representa a un irracional

cuadrático, es decir, si es solución de una ecuación cuadrática con coeficientes enteros.

Por ejemplo, la fracción continua [1; 1, 1, ... ] representa al número áureo y [1; 2, 2, 2, … ]

a  .

El truncado de la representación en fracción continua de un número x da una aproximación

racional que es, en cierto sentido, la «mejor posible» (véanse los teoremas 6 y 7, más

abajo, para una formalización de este aserto).

La última propiedad, falsa si empleáramos la representación convencional, es muy

importante. Si truncamos una representación decimal, obtenemos una aproximación racional,

pero habitualmente no la mejor. Por ejemplo, truncando 1/7=0.142857… en varios sitios

obtendremos aproximaciones como 142/1000, 14/100 o 1/10. Pero es claro que el mejor

racional que aproxima a 1/7 es el propio 1/7. Si truncamos la representación decimal de π

obtendremos aproximaciones como 31415/10000 o 314/100. La representación en fracción

continua de π comienza con [3; 7, 15, 1, 292,.. ]. Si truncamos esta representación

obtendremos las excelentes aproximaciones: 3, 22/7, 333/106, 355/113, 103993/33102, … Los

denominadores de 314/100 y 333/106 son casi iguales pero el error en la aproximación de

314/100 es nueve veces mayor que el de 333/106, así como la aproximación a π con [3; 7, 15,

1] es 100 veces más precisa que 3.1416.

Apuntes históricos

Las fracciones continuas se utilizan desde antiguo. Aryabhata (476-550) las usó para

resolver ecuaciones diofánticas, así como para dar aproximaciones precisas de números

irracionales. Brahmagupta (598-668) profundizó en el estudio de las ecuaciones llamadas hoy de

Pell. Desarrolló los fundamentos del método chakravala, usando cálculos parecidos a los de las

fracciones continuas. Investigó la resolución de la ecuación   encontrando

la menor solución: x = 1 766 319 049, y = 226 153 980

En el siglo XII, el método fue mejorado por Bhaskara II. Un algoritmo, análogo al de las

fracciones continuas, permitió resolver un caso general. La diferencia más notable era que

admitía números negativos en la fracción, acelerando la convergencia.

La aparición en Europa fue posterior e italiana. Rafael Bombelli (1526-1572) usó un

antecesor de las fracciones continuas para calcular aproximaciones de la raíz cuadrada de

13. Pietro Antonio Cataldi (1548-1626) se dio cuenta de que el método de Bombelli valía para

todas las raíces cuadradas; lo utilizó para la de 18 y escribió un opúsculo sobre este asunto.

Remarcó que las aproximaciones obtenidas son alternativamente superiores e inferiores a la

raíz cuadrada buscada.

En Inglaterra hubo un progreso decisivo. El 3 de enero de 1657, Pierre de

Fermat desafió a los matemáticos europeos con varios problemas, entre los que estaba la

ecuación ya resuelta por Brahmagupta. La respuesta inglesa fue rápida. William

Brouncker (1620-1684) encontró la relación entre la ecuación y la fracción continua, así como un

método algorítmico equivalente al de los hindúes para el cálculo de la solución. Utilizó una

fracción continua para construir una sucesión que convergía a  , y aproximó   con 10

decimales significativos. Estos resultados fueron publicados por John Wallis, que aprovechó

para demostrar las relaciones de recurrencia utilizadas por Brouncker y Baskara II. Dio,

además, el nombre de fracción continua en la frase: «Nempe si unitati adjungatur fractio,

quae denominatorem habeat continue fractum». En esta época, Christiaan Huygens (1629-

1695) descubrió que las fracciones continuas son la herramienta ideal para determinar el

número de dientes que deben tener las ruedas de engranajes de un reloj. Las utilizó para la

construcción de un autómata planetario.

En el siglo siguiente se resuelven algunas cuestiones teóricas. El uso mostró que el

algoritmo de las fracciones continuas permitía resolver la ecuación de Pell utilizando el hecho

de que la fracción es periódica a partir de un punto. Leonhard Euler (1707-1783) demostró que, si

un número tiene una fracción continua periódica, entonces es solución de una ecuación de

segundo grado con coeficientes enteros. El recíproco, más sutil, es obra de Joseph-Louis de

Lagrange (1736-1813) . Johann Heinrich Lambert (1728-1777) encontró una nueva utilidad de las

fracciones continuas: las usó para demostrar la irracionalidad de  .

Esta utilización vino a ser frecuente durante el siglo XIX. Évariste Galois encontró una

condición necesaria y suficiente para que una fracción continua

seainmediatamente periódica. Joseph Liouville (1809-1882) utilizó el desarrollo en fracción

continua generalizado para construir los primeros ejemplos de números trascendentes: los

números de Liouville. Charles Hermite (1822-1901) estableció nuevos métodos para demostrar la

trascendencia de  , base del logaritmo neperiano. Estos son retomados por Ferdinand von

Lindemann que demostró en 1882 que   es trascendente con el corolario de la imposibilidad

de la cuadratura del círculo.Georg Cantor (1845-1918) demostró que los puntos de un segmento

pueden ponerse en biyección con los del interior de un cuadrado con la ayuda de fracciones

continuas. El siglo XX vio la explosión de un gran número de publicaciones sobre este asunto.

Más de 1500 matemáticos han encontrado elementos dignos de publicación.

Cálculo d

e una fracción continua

Consideremos un número real r. Sea e la parte entera y d la parte decimal de r; entonces la representación en fracción continua de r es

[e; a1, a2,...], donde [a1; a2,...] es la representación en fracción continua de 1/d.

Para calcular la representación en fracción continua de un número r, se escribe en primer lugar la parte entera de r. Se resta esta parte

entera a r. Si la diferencia es0 se para; en otro caso se halla el inverso de la diferencia y se repite. Este proceso tendrá fin si y solo si  r es racional.

Hallar la fracción continua de 3.245 (3 49/200)

FIN

la fracción continua de 3.245 (3 49/200) es [3; 4, 12, 4]

También podría representarse con [3; 4, 12, 3, 1]

Notación

Se puede expresar una fracción continua como

o, en la notación de Pringsheim,

o esta otra notación similar a la anterior

Se pueden definir las fracciones continuas infinitas como un límite:

Este límite existe para cualquier elección de enteros positivos a1, a2, a3 ...

Formalización

Llamaremos fracción continua de orden n a toda expresión de la forma:

donde   es un real no negativo y los demás son estrictamente positivos. Emplearemos también la

notación: 

[editar]Reducidas

Sea   una fracción continua: definimos la sucesión pk/qk por:

y la recurrencia, para k ≥ 2

La fracción pk/qk se llama la k-sima reducida de la fracción continua.

Teorema 1. Para todo k ≤ n se tiene:

Además, para todo k, 1 ≤ k ≤ n,

Consideraremos a partir de ahora fracciones continuas enteras, esto es, aquellas para los que

todo ai sea entero positivo.

Teorema 2. Las reducidas de una fracción continua entera son fracciones irreducibles.

Sea x un número real positivo, podemos ponerlo como a0+x0, donde a0 =[x] es la parte entera

de x y 0 \le; x0 <1. Si   entonces , del mismo modo,  , de manera que

.

Si  , pondríamos  , etc. Tenemos entonces para

k>1,   y   (siempre que  ). Tenemos:

.

La sucesión (ak) está determinada por x y se llama desarrollo en fracción continua de

x.

Teorema 3. El desarrollo en fracción continua de x es finito si y solo si x es racional.

Teorema 4. Dada una sucesión infinita   de enteros positivos tales que   

si  , la sucesión de reducidas

converge.

Podemos así dar un sentido a una fracción continua entera infinita y escribir:

donde  .

Teorema 5. Sea x un real representado por una fracción continua entera

infinita  . Entonces (an) coincide con el desarrollo en fracción continua

de x.

[editar]Mejores aproximaciones racionales

Teorema 6. La k-ésima reducida pk / qk del desarrollo en fracción continua

de x es la mejor aproximación de x por una fracción de denominador menor o igual

a qk :

.

Teorema 7. Sea x un número real positivo no nulo y p/q una fracción

irreducible tal que:

Entonces, p/q es una de las reducidas del desarrollo de x en

fracción continua.

Teorema 8. (Hurwitz) Sea x un irracional positivo. Existe una cantidad

infinita de racionales tales que:

.

Además, la constante   es la mejor posible.

En este último sentido el número áureo,  , es uno de los

irracionales que peor se aproxima con fracciones continuas; sus

reducidas, (5/3, 8/5, 13/8, 21/13, etc.), distan casi exactamente   

de  .

[editar]Algunos desarrollos notables

[editar]Número 

 = [ 3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, …] o bien

Utilizando fracciones continuas generalizadas obtenemos

desarrollos con estructuras más regulares

[editar]Raíz cuadrada de 2

Sea r= , su parte entera vale 1, así que   y  . Ahora bien, utilizando la identidad  ,

tenemos que  . Por tanto   y  . Concluimos que todos los   a partir de k=1 valen 2 y todos los   

valen  . El desarrollo en fracción continua es, por tanto:

[editar]Número áureo

[editar]Número e

[editar]Aplicaciones

[editar]Irracionalidad del número 

Las fracciones continuas ofrecen una manera de conocer la irracionalidad de un número. Si su desarrollo es infinito entonces el número es irracional. Esta

técnica fue utilizada por Euler, que determinó la fracción continua del número  .

El desarrollo en fracción continua de e,es:

La barra utilizada aquí es una notación frecuente; indica una repetición hasta el infinito de la sucesión de enteros que cubre.

O estas otras:

Se concluye que ni e ni √e son racionales.

[editar]La ecuación de Pell

La ecuación de Pell es una ecuación diofántica, es decir, con coeficientes enteros y para la que las soluciones pedidas son enteras también. Tiene la

forma:

Donde n es un entero que no es cuadrado perfecto y a es un entero no nulo. Aquí consideraremos que  . Una solución (h,

k) verificará: 

h/k √n son superiores a 1 y √n lo es estrictamente, de ahí:

En el teorema 7 se demostró que la fracción   debe ser una reducida de  . Toda solución de la ecuación debe estar en la sucesión de reducidas

de  . Este hecho, demostrado por Lagrange, permite dar soluciones, si bien más teóricas que algorítmicas, a la ecuación de Pell.

[editar]Números cuadráticos

A diferencia de la exponencial, la raíz cuadrada de 2 es particularmente fácil de desarrollar en fracción continua. Esta propiedad proviene del hecho de

que, a partir de cierto punto, volvemos a encontrar un cociente completo ya aparecido. La fracción continua es periódica a partir de cierto punto. La raíz

de 11 tiene la misma

propiedad: 

Se deduce que a0 = 3, a1 = 3, x0 = 1/2(3 + √11) y x1 = 3 + √11. Calculamos la fracción continua de x1:

Se ve que x2 es igual x0, lo que permite concluir:

La periodicidad a partir de un punto es propia de los números de la forma  , donde   y   son racionales,   no nulo, y   un entero que no es

cuadrado perfecto. Las regularidades son mayores para las raíces cuadradas. Por ejemplo:

Exceptuando el último número del periodo, los anteriores forman un número palíndromo. Además, el último término del periodo es el doble del primero

(en el caso tratado, 8, que es el doble de 4).