Ate agora vimos:´ · 2017. 8. 14. · Integral dupla Aplicac¸˜oes a f` ´ısica Ate agora...

Integral dupla Aplicacoes a fısica

Ate agora vimos:

1 Como calcular integrais duplas

2 Motivacao da integral dupla: Calculo de volume

3 Calculo de areas de regioes planas.

Mas calcular volumes nao e a unica aplicacao da integral duplas.

Existem outras aplicacoes que estao mais proximas do nosso dia a dia.

M. J. Resende (UFF) www.professores.uff.br/mjoao 2015-1 1 / 8

Ate agora vimos:

Seja D⊂R2 uma lamina plana, com densidade (massa por unidade de area)dada pela funcao δ : D⊂R2→R.

∆m = δ ·∆A

Se δ for constante, dizemos que a lamina e homogenea. Nesse caso a massasera a constante de densidade vezes a area da superfıcie.

Observacao: Claro que trabalhar com objetos planos e estranho, mas nasproximas aulas veremos integral tripla e aı podermos usar objetos que seraosolidos no espaco.

∆m = δ ·∆A

Valor medio

Dado um conjunto finito de pontos X = {x1, · · · ,xn}, podemos calcular a suamedia fazendo:

X =x1 + · · ·+ xn

Seja D⊂R2 e f : D→R uma funcao.

Media (uniforme) de uma funcao

Media de f = f =1

Area(D)

Media ponderada de uma funcao

Media ponderada de f com densidade δ =1

massa(D)

δ f dA

Se δ e constante entao esta media coincide com a media uniforme.

Valor medio

X =x1 + · · ·+ xn

Media de f = f =1

Area(D)

massa(D)

δ f dA

Valor medio

X =x1 + · · ·+ xn

Media de f = f =1

Area(D)

massa(D)

δ f dA

Valor medio

X =x1 + · · ·+ xn

Media de f = f =1

Area(D)

massa(D)

δ f dA

Valor medio

X =x1 + · · ·+ xn

Media de f = f =1

Area(D)

massa(D)

δ f dA

Valor medio

X =x1 + · · ·+ xn

Media de f = f =1

Area(D)

massa(D)

δ f dA

Valor medio

X =x1 + · · ·+ xn

Media de f = f =1

Area(D)

massa(D)

δ f dA

Valor medio

X =x1 + · · ·+ xn

Media de f = f =1

Area(D)

massa(D)

δ f dA

Valor medio

X =x1 + · · ·+ xn

Media de f = f =1

Area(D)

massa(D)

δ f dA

Centro de Massa

O centro de massa e o ponto do objeto, onde deverıamos concentrar toda a suamassa para que o objeto tenha um comportamento equilibrado do ponto devista mecanico.

Centro de massa

D(x,y)

xδ dA

yδ dA

Centro de Massa

Centro de massa

D(x,y)

xδ dA

yδ dA

Centro de Massa

Centro de massa

D(x,y)

xδ dA

yδ dA

Centro de Massa

Centro de massa

D(x,y)

xδ dA

yδ dA

Centro de Massa

Centro de massa

D(x,y)

xδ dA

yδ dA

Momento de Inercia

O momento de inercia e para a rotacao de um objeto o que a massa e para atranslacao, ou seja,

massa ←→ quanto difıcil e colocarum objeto em translacao;

momento de inerciaem torno de um eixo

←→quanto difıcil e colocar

um objeto a girarem torno desse eixo.

Momento de Inercia

←→ quanto difıcil e colocarum objeto em translacao;

Momento de Inercia

Movimento de Translacao

Momento de Inercia

−→v

Momento de Inercia

−→v

Energia cinetica = 12 mv2

Momento de Inercia

−→v

Movimento de Rotacao

Momento de Inercia

−→v

Momento de Inercia

−→v

−→vVelocidade Angular = ω

Velocidade = ωr

Energia cinetica = 12 mr2ω2

Momento de Inercia

−→v

−→vVelocidade Angular = ω

Velocidade = ωr

Energia cinetica = 12 mr2ω2

Momento de Inercia

Momento de inercia polarO momento de inercia polar e dado por:

r2δ dA

onde r(x,y) =√

x2 + y2 e a distancia de (x,y) a origem.

Momento de InerciaO momento de inercia em relacao a um eixo E e dado por:

r2δ dA

onde r(x,y) e a distancia de (x,y) ao eixo E.

Momento de Inercia

r2δ dA

onde r(x,y) =√

r2δ dA

Momento de Inercia

r2δ dA

onde r(x,y) =√

r2δ dA

Integral dupla Exercıcios

Exemplos

1 Calcule a massa de uma placa com a forma da regiaoD = {(x,y) ∈R2 : 2x2 ≤ y≤ 1+x2 e x≥ 0}, sabendo que a densidade demassa em cada ponto e dada por δ (x,y) = x+2y.

2 Calcule a massa de uma placa homogenea que tem o formato de um lacoda rosacea de quatro petalas r = cos(2θ).

3 A densidade em qualquer ponto de uma lamina semicircular eproporcional a distancia ao centro do cırculo. Determine o centro demassa da lamina.

4 Calcule o momento de inercia polar de uma placa homogenea com aforma do disco x2 + y2 = 2x.

Exemplos

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