aspectos fundamentales de la geometría algebraica

8/10/2019 aspectos fundamentales de la geometría algebraica

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UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA

FACULTAD DE CIENCIAS

ESCUELA PROFESIONAL DE MATEMATICA

Aspectos Fundamentales de la

Geometrıa Algebraica

por

Gerardo Zubiaga Rivera

Tesis para Optarel Tıtulo Profesional de

LICENCIADO en MATEMATICA

Prof. Manuel Toribio CanganaAsesor

UNI, julio del 2010.



CIP - CATALOGO DE PUBLICACION

Zubiaga Rivera, Gerardo

Aspectos Fundamentales de la Geometrıa Algebraica /

Gerardo Zubiaga Rivera. – EPM - FC - UNI, 2010.

71 p.

Tesis (Licenciatura)—Universidad Nacional de Ingenierıa,Facultad de Ciencias, Escuela Profesional de Matematica,Lima, 2010. Asesor: Manuel Toribio Cangana



A Mi Madre Esther Rivera



Agradezco a los Profesores Manuel Toribio, Carlos Chavez, Lord Barrera y Chris-

tian Valqui por la orientacion y sus sabios consejos para la culminacion del presente

trabajo. Tambien deseo agradecer a mi Madre y a mi familia, por su apoyo incondi-

cional, y a todas aquellas personas que de una u otra forma me ayudaron a terminar

este trabajo.

iv



RESUMEN

A lo largo de todo el trabajo, k denotara un cuerpo fijo algebraicamente cerrado.

En el capıtulo 1 definimos las herramientas principales de la geometrıa

algebraica, a saber, las variedades algebraicas. Dedicamos una seccion a las

variedades afines y otra a las variedades proyectivas, con un preambulo acerca de la

necesidad de introducir las variedades proyectivas en nuestro estudio (teorema de

Bezout). Definimos el anillo de funciones, que nos permite tender un puente entre

los elementos topologicos (variedades) y los elementos algebraicos. Terminamos

definiendo la categorıa de variedades, es decir, los morfismos entre estos objetos,

y probando la equivalencia de dicha categorıa con la de k-algebras finitamente

generadas.

En el capıtulo 2 empezamos por definir los conceptos de punto y

variedad singulares, en sus versiones geometrica y algebraica. Tambien incluimos

una seccion dedicada a los anillos de valoracion discreta, herramienta del algebra

que nos resultara muy util, para finalmente probar la existencia de una sola curva

proyectiva no singular en cada clase de equivalencia birracional. Hacemos esto con

ayuda de una herramienta abstracta llamada curva abstracta no singular , que es

fija para cada extension finitamente generada K/k de grado de trascendencia 1.

En el capıtulo 3 echamos un vistazo a los objetos de la geometrıa

algebraica moderna, los esquemas. Para esto es necesario primero definir el con-

cepto de haz y los correspondientes morfismos entre estos. Damos a continuacion

los conceptos basicos de la categorıa de esquemas, incluyendo la prueba de la

equivalencia entre dicha categorıa y la de anillos conmutativos con identidad.

Terminamos este capıtulo con la definicion del funtor que relaciona a los esquemas

v



con las variedades algebraicas, definidas en la primera parte del trabajo.

Finalmente hacemos hincapie en los principales resultados obtenidos en

este trabajo, ası como tambien damos referencias de hacia donde esta orientado el

mismo, y de que maneras se puede continuar esta investigacion.

vi



INDICE

1 VARIEDADES ALGEBRAICAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1 Variedades Afines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 El Teorema de los Ceros de Hilbert y el Teorema de Bezout . 5

1.3 Variedades Proyectivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.4 El Anillo de Funciones de una Variedad . . . . . . . . . . . . . . 17

1.5 Funciones Regulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.6 Morfismos entre Variedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.7 Aplicaciones Birracionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2 CURVAS NO SINGULARES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.1 Variedades no Singulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.2 Anillos de Valoracion Discreta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.3 Clasificacion de Curvas no Singulares . . . . . . . . . . . . . . . 40

3 ESQUEMAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.1 Prehaces y haces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.2 Esquemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.3 Variedades como Esquemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4 CONCLUSIONES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

vii



BIBLIOGRAFIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

viii



1 VARIEDADES ALGEBRAICAS

1.1 Variedades Afines

En esta primera seccion definimos los objetos basicos de la geometrıaalgebraica, las variedades afines, y revisamos algunas de sus principales propiedades.

Definicion 1.1.1. Definimos el n-espacio afın como el conjunto de n-uplas de k y

lo denotamos por An(k) o simplemente An. A1 es la recta afın , mientras que A2 es

el plano afın .

Definicion 1.1.2. Dado un subconjunto S de k[x1, . . . , xn], definimos el conjunto

algebraico afın determinado por S , y denotado por Z (S ), como el conjunto de raıces

comunes a los elementos de S :

Z (S ) := p ∈ An : f ( p) = 0, ∀f ∈ S

.

Si S es un polinomio, Z (S ) es llamado hipersuperficie .

Observacion 1.1.1. Es claro que si S ⊆ T ⊆ k[x1, . . . , xn], entonces

Z (T ) ⊆ Z (S )

(a mas restricciones, menos soluciones). Es claro tambien que el conjunto S ⊆k[x1, . . . , xn] y el ideal S de k[x1, . . . , xn] generado por S determinan el mismo

conjunto algebraico:

Z (S ) = Z (S ).

Ademas, por ser k[x1

, . . . , xn

] un anillo noetheriano (seccion 1.4), todo ideal es finita-

mente generado, luego todo conjunto algebraico esta determinado por una cantidad

finita de polinomios:

Z (S ) = Z (f 1, . . . , f r),

1



Ejemplo 1.1.3. Otros ejemplos importantes son la par´ abola semic´ ubica de Neil ,

o c´ ubica cuspidal , dada por la ecuacion y2 = x3, y el folio de Descartes dado por

y2 = x3 + x2.

Cubica cuspidal Folio de Descartes

Ejemplo 1.1.4. Si X ⊆ An y Y ⊆ Am son conjuntos algebraicos, entonces X ×Y ⊆An+m tambien lo es. En efecto, si X = Z (S ) para algun S ⊆ k[x1, . . . , xn] y

Y = Z (T ) para algun T ⊆ k[y1, . . . , ym] es f acil ver que X × Y = Z (S ∪ T ),

considerando a S y T como subconjuntos de k[x1, . . . , xn, y1, . . . , ym].

Definicion 1.1.3. Definimos ahora, para un conjunto X ⊆ An, el ideal de X ,

denotado por I (X ), como sigue:

I (X ) :=

f ∈ k[x1, . . . , xn] : f ( p) = 0, ∀ p ∈ X

.

Este conjunto es, en efecto, un ideal, que ademas es radical.

Observacion 1.1.2. Si Y ⊆ An es un conjunto algebraico, I (Y ) es el mayor ideal

que define a Y . Ası como el operador Z , I es tambien “decreciente”: si X ⊆ Y ⊆ An,

entonces

I (Y ) ⊆ I (X ).

3



Ademas, si {Y α} es una familia de subconjuntos de An, se cumple que

I

α

Y α

=

α

I (Y α).

Bajo ciertas condiciones, Z e I son inversos uno del otro, pues

a = I (Z (a))

para todo ideal a de un conjunto de puntos, e

Y = Z (I (Y ))

para todo conjunto algebraico Y . Consecuentemente, para dos conjuntos algebraicos

X, Y ⊆ An, se cumple que

I (X ) = I (Y ) si y solo si X = Y.

El ideal de un punto p = (a1, . . . , an) ∈ An viene dado por

I ( p) = x1 − a1, . . . , xn − an,

y es un ideal maximal.

Definicion 1.1.4. Dado un conjunto algebraico Y ⊆ An, a veces es posible escribir

Y como union de conjuntos algebraicos mas pequenos. Decimos entonces que un

espacio topologico Y es reducible si podemos escribir Y = Y 1 ∪ Y 2, donde Y 1, Y 2 Y

son subconjuntos cerrados no vacıos distintos de Y . Si Y no es reducible decimos

que es irreducible .

Observacion 1.1.3. El espacio Y es irreducible si cumple cualquiera de las tres

propiedades equivalentes siguientes:

4



1. Si F, G ⊆ Y son cerrados tales que F ∪ G = Y , entonces F = Y o

G = Y .

2. Si U, V ⊆ Y son abiertos tales que U ∩ V = ∅, entonces U = ∅ o V = ∅.

3. Todo abierto de Y es denso en Y .

Ademas, se tiene que Y es irreducible si y solo si I (Y ) es primo. En efecto, si

Y = Y 1 ∪ Y 2, basta tomar f ∈ I (Y 1) \ I (Y ) y g ∈ I (Y 2) \ I (Y ), entonces f, g /∈ I (Y )

pero f g ∈ I (Y 1) ∩ I (Y 2) = I (Y ), luego I (Y ) no es primo. Recıprocamente, si

f, g /∈ I (Y ) y f g ∈ I (Y ), tomamos Y 1 = Y ∩ Z (f ) y Y 2 = Y ∩ Z (g) para obtener el

resultado.

Proposicion 1.1.1. Sea Y ⊆ An un conjunto algebraico. Entonces podemos expre-

sar Y de manera ´ unica como uni´ on finita de conjuntos algebraicos irreducibles, es

decir, Y = Y 1 ∪ · · · ∪ Y r, donde Y i ⊆ Y j, para todo j = i. Tal descomposici on es

llamada descomposicion de Y en conjuntos algebraicos irreducibles.

Demostraci´ on. Definamos S como la familia de conjuntos algebraicos que no son

union finita de conjuntos algebraicos irreducibles y veamos que S = ∅. Tomemos

un elemento maximal I (Y ) de la familia formada por los I (Y ) con Y ∈ S (que

existe, pues k[x1, . . . , xn] es noetheriano). Como Y es reducible, podemos escribir

Y = Y 1 ∪ Y 2 con Y 1, Y 2 Y . Luego I (Y ) I (Y 1), I (Y 2) y Y 1, Y 2 /∈ S, es decir, estos

admiten descomposicion. Ası, Y es union finita de conjuntos algebraicos irreducibles

(las componentes de Y 1 y Y 2), una contradiccion. Luego S = ∅ y cualquier conjunto

algebraico se puede escribir de la forma Y =r

i=1 Y i, para algunos Y i irreducibles. Si

Y i ⊆ Y j, bastara con desechar Y i. Para la unicidad, supongamos que Y =r

i=1 Y i =

s

j=1 X j. Tendremos que Y i = Y i ∩Y = j Y i ∩X j . Pero Y i es irreducible, luego Y i ⊆

X j(i) para algun j(i). Repitiendo el procedimiento para X j(i), obtenemos X j(i) ⊆ Y k,

luego Y i = X j(i) = Y k y r ≤ s. Analogamente, s ≤ r, y las descomposiciones son

iguales, salvo una permutacion.

5



Definicion 1.1.5. Decimos que un conjunto algebraico irreducible en An, con la

topologıa inducida, es una variedad afın . Un subconjunto abierto de una variedad

afın es una variedad cuasi-afın .

Ejemplo 1.1.5. Dado que k es infinito, An es irreducible, pues I (An) = 0 es un

ideal primo.

Ejemplo 1.1.6. Para n = 1, se tiene que k[X ] es un DIP, luego cualquier con-

junto algebraico propio de A1 se puede escribir como Z (f ), para algun f ∈ k[X ].

Concluimos que los unicos conjuntos algebraicos no vacıos propios de A1 son los

subconjuntos finitos, y las unicas variedades son los puntos.

1.2 El Teorema de los Ceros de Hilbert y el

Teorema de Bezout

Enunciamos en esta seccion dos teoremas fundamentales de la geometrıa

algebraica, como son el Teorema de los Ceros de Hilbert (Nullstellensatz) y el Teo-

rema de Bezout. Para probar el Teorema de los Ceros, enunciamos un resultado

cuya prueba se puede encontrar en [Matsumura2, teo. 5.3, pag. 33].

Teorema 1.2.1. Si m es un ideal maximal de k[x1, . . . , xn], entonces m es de la

forma x1 − a1, . . . , xn − an, para algunos ai ∈ k.

La relacion exacta entre I y Z nos la termina de dar el Nullstellensatz,

o Teorema de los Ceros de Hilbert, que pasamos a enunciar.

Teorema 1.2.2. (Teorema de los Ceros de Hilbert.) Sea a ⊆ k[x1, . . . , xn] un ideal.

Entonces I (Z (a)) =√ a.

Demostraci´ on. Es claro que a ⊆ I (Z (a)), luego√ a ⊆

I (Z (a)) = I (Z (a)). Veamos

que I (Z (a)) ⊆ √ a. Escribimos a = f 1, . . . , f r y sea f ∈ I (Z (a)). Consideremos

b = f 1, . . . , f r, 1−f xn+1 ⊆ k[x1, . . . , xn+1]. Si b = k[x1, . . . , xn+1], entonces b ⊆ m,

6



para algun ideal maximal m ⊆ k[x1, . . . , xn+1]. Tendremos que existen a1, . . . , an+1 ∈k tales que m = x1 − a1, . . . , xn+1 − an+1. Pero m es el nucleo del homomorfismo

sobreyectivo xi ∈ k[x1, . . . , xn+1] → ai ∈ k. Luego, (k[x1, . . . , xn+1]/m) ∼= k. Como

b ⊆ m, Z (m) ⊆ Z (b), luego (a1, . . . , an+1) ∈ Z (b), es decir, f i(a1, . . . , an) = 0

para todo 1 ≤ i ≤ r y 1 − f (a1, . . . , an)an+1 = 0, lo que implica que 1 = 0, una

contradiccion. Ası, b = k[x1, . . . , xn+1] , y 1 =r

i=1 hif i + h(1 − f xn+1), para

algunos h, hi ∈ k[x1, . . . , xn+1] ⊆ k(x1, . . . , xn+1). Haciendo xn+1 = 1

f , obtenemos

1 =

hif i, hi = hi(x1, . . . , xn, 1

f ). Para algun N suficientemente grande tendremos

f N =

hif i ∈ a, h

i ∈ k[x1, . . . , xn]. Por lo tanto, f ∈ √ a.

Observacion 1.2.1. Entre las consecuencias del teorema de Hilbert tenemos lo si-

guiente: si X ⊆ An, entonces X = Z (I (X )). En efecto, sabemos que X ⊆ Z (I (X )).

Supongamos ahora que Y es un conjunto cerrado tal que X

⊆Y ; tendremos entonces

que I (Y ) ⊆ I (X ), luego Z (I (X )) ⊆ Y , lo que prueba la afirmacion.

Corolario 1.2.1. Se tienen biyecciones entre conjuntos algebraicos de An e ideales

radicales de k[x1, . . . , xn]; entre conjuntos algebraicos irreducibles e ideales primos;

entre puntos e ideales maximales.

Demostraci´ on. Asociemos a cada variedad afın Y el ideal I (Y ). Si I (Y 1) = I (Y 2),

tendremos que Y 1 = Y 1 = Z (I (Y 1)) = Z (I (Y 2)) = Y 2 = Y 2. Recıprocamente, si I

es un ideal radical de k[x1, . . . , xn], entonces Y = Z (I ) es una variedad afın, luego

I (Y ) = I (Z (I )) =√

I = I .

Sabemos que si Y es irreducible, I (Y ) es primo. Si p ⊆ k[x1, . . . , xn] es un ideal

primo, Y = Z (p) es irreducible, pues I (Y ) = I (Z (p)) =√ p = p.

Finalmente, si p = (a1, . . . , an) ∈ An, entonces m p = x1 − a1, . . . , xn − an es maxi-

mal. Sea entonces m un ideal maximal en k[x1, . . . , xn]. Como k es algebraicamente

cerrado, m es de la forma m = x1 − a1, . . . , xn − an, luego p = (a1, . . . , an) define

I ( p) = m.

En cuanto al teorema de Bezout, solo lo enunciaremos, mencionando

que se puede encontrar la prueba, por ejemplo, en [Fulton, secci on 5.3]. Previa-

7



mente, pasaremos a discutir algunos puntos acerca de la motivacion para dicho

teorema y para la definicion del espacio proyectivo.

Al estudiar la interseccion entre una conica (digamos, una elipse) y una

recta en el plano, vemos que estas se intersectan en a lo mas dos puntos. Una recta

y una cubica se intersectan en a lo mas tres puntos y dos conicas se intersectan en

cuatro puntos como maximo. Es natural preguntarse si dos curvas planas dadas

por polinomios f, g de grados r, s respectivamente se intersectaran en a lo mas

rs puntos y bajo que circunstancias se obtiene el teorema optimo: las dos curvas

dadas se intersectan en exactamente rs puntos. Vemos que:

1. Las dos curvas podrıan tener alguna componente irreducible encomun. Por ejemplo, si consideramos las curvas dadas por xy = 0 y x(y − x) = 0,

vemos que las dos curvas estan compuestas por el eje y, y por lo tanto tienen

infinitos puntos en comun. Debemos entonces considerar curvas sin componentes

irreducibles en comun.

2. Sabemos que en R esto no siempre se cumple. Si consideramos

x2 + y2 − 1 = 0 y x = 2, las curvas no se intersectan en R2. Sin embargo, se

intersectan dos veces en C2, en los puntos (2, ±i√

3). Por lo tanto, debemos asumir

que el cuerpo base k es algebraicamente cerrado (lo cual haremos durante todo el

trabajo).

3. Siguiendo con el ejemplo de la circunferencia y la recta, vemos que

x2 + y2

−1 = 0 y x = 1 se intersectan solamente una vez en (1, 0), incluso en

C

2.

Sin embargo, resolviendo el sistema formado por las ecuaciones obtenemos y2 = 0,

luego la solucion y = 0 es una raız doble, por lo que debemos contarla dos veces.

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Similarmente, la curva y2 = x3 y la recta y = tx se intersectan en solo dos puntos,

(t2, t3) y (0, 0), pero este ultimo es un punto doble, por ser un punto singular de

la curva (definimos punto singular al final de este capıtulo, y con mas detalle en

el siguiente capıtulo). Ası, debemos tambien tener en cuenta la multiplicidad de

interseccion de dos curvas en un punto.

4. Mientras estas condiciones extra nos dan la igualdad en los ejemplos

de arriba, aun no podemos reemplazar la desigualdad por una igualdad en el caso de

interseccion de dos curvas planas cualesquiera. En efecto, consideremos el caso de

dos rectas paralelas. No importa que tan cuidadosamente contemos intersecciones,

dos rectas paralelas simplemente no se intersectan. Ası que para obtener una igual-

dad en nuestra ecuacion, necesitamos suposiciones mas fuertes, suposiciones que

fuercen a dos rectas paralelas a “intersectarse.” Anadiremos entonces puntos “en el

infinito” al plano afın hasta que dos rectas distintas cualesquiera se intersecten exac-

tamente una vez. Necesitaremos anadir un punto en el infinito para rectas paralelas.

Pensemos en anadir un punto en el infinito donde y = x y y = x + 1 eventualmente

se corten. ¿Y que con las rectas y = 2x y y = 2x + 1? Ellas tambien necesitaran

un punto en el infinito, ası que preguntamos, “¿Puede ser el mismo punto que ya

anadimos?” Por supuesto la respuesta debe ser no, pues si y = 2x compartiera un

punto en el infinito con y = x, entonces las rectas y = 2x y y = x se intersec-

tarıan dos veces: una en el origen y una en el infinito. Ası, el segundo par de rectas

paralelas debe tener su propio punto en el infinito. Siguiendo este argumento a su

conclusion logica, vemos que necesitamos exactamente un punto en el infinito para

cada posible pendiente de una recta.

Una manera de especificar coordenadas en nuestro nuevo plano proyec-

tivo, es como sigue. Para puntos (x, y) en el plano afın, especificamos el mismopunto en el plano extendido por [x : y : 1]. Para un punto en el infinito que esta

contenido en rectas de pendiente y/x, especificamos el punto por [x : y : 0]. Esto

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Una de las cosas verdaderamente sorprendentes acerca de nuestra dis-

cusion hasta el momento es que al movernos al plano proyectivo y forzar la igualdad

en vez de la desigualdad para dos curvas de grado 1 (es decir, forzar dos rectas

distintas a que se intersecten exactamente una vez), obtenemos la igualdad en vez

de la desigualdad para dos curvas cualesquiera sin componentes comunes.

1.3 Variedades Proyectivas

Pasamos ahora a definir las variedades proyectivas.

Definicion 1.3.1. Consideremos sobre An+1\{0} la relacion de equivalencia definida

por z ∼ w ⇔ z = λw para algun λ ∈ k∗. Definimos el n-espacio proyectivo

sobre k como el cocienteAn+1 \ {0} ∼, y lo denotamos por Pn(k) o simple-

mente Pn. Si p ∈ Pn esta determinado por el punto (a0, a1, . . . , an) ∈ An+1 \ {0},

decimos que (a0, a1, . . . , an) son coordenadas homogeneas para p, y escribimos

p = (a0 : a1 : · · · : an).

Dado que no todo ai es nulo, se tiene que (λa0, λa1, . . . , λ an) es tambien

un sistema de coordenadas homogeneas para p, para todo λ ∈ k∗. Es decir, p =

(a0 : a1 : · · · : an) = (λa0 : λa1 : · · · : λan), ∀λ ∈ k∗

.

Definicion 1.3.2. Sea f ∈ k[x0, x1, . . . , xn]. Decimos que p ∈ Pn es una raız de f ,

lo que denotamos por f ( p) = 0, si f (a0, a1, . . . , an) = 0 para cualquier eleccion de

coordenadas homogeneas (a0, a1, . . . , an) para p.

Observacion 1.3.1. Resulta claro que p es una raız de f si y solo si f i( p) = 0

para todo i, donde f =

f i es la descomposicion de f en formas de grado i.

En efecto, si f i(a0, a1, . . . , an) = 0 para cualquier eleccion de coordenadas ho-mogeneas (a0, a1, . . . , an) para p, entonces la suma es tambien nula y f ( p) = 0.

Recıprocamente, supongamos que f ( p) = 0 y fijemos coordenadas homogeneas

11



(a0, a1, . . . , an) para p. Sea g(λ) =

f i(a0, a1, . . . , an)λi ∈ k[λ]. Tendremos que

g(λ) =

f i(λa0, λa1, . . . , λ an) = f (λa0, λa1, . . . , λ an) = 0

para todo λ ∈ k, luego f i(a0, a1, . . . , an) = 0 para todo i, es decir, f i( p) = 0 para

todo i. Esto nos permite restringir nuestro estudio a polinomios homogeneos.

Definido el concepto de raız de un polinomio en el caso proyectivo, pode-

mos definir, como lo hicimos en el caso afın, los conjuntos algebraicos proyectivos

de manera analoga.

Definicion 1.3.3. Sea S ⊆ k[x0, x1, . . . , xn]. Definimos el conjunto algebraico

proyectivo determinado por S como

Z P (S ) := p ∈ Pn : f ( p) = 0, ∀f ∈ S

.

Estos conjuntos tambien conforman los cerrados de la Topologıa de

Zariski para el espacio proyectivo.

Observacion 1.3.2. Como en el caso afın, es claro que

Z P (S ) = Z P (S ),

luego un conjunto algebraico proyectivo esta definido por un numero finito de poli-

nomios. Pero ademas, si Z P (S ) = Z P (f (1), . . . , f (l)), podemos expresar cada poli-

nomio como suma de formas, f ( j) =

f ( j)i , y por lo dicho anteriormente, tendremos

que

Z P (f (1), . . . , f (l)) = Z P (f (1)0 , . . . , f (1)r1

, . . . , f (l)0 , . . . , f (l)

rl).

Es decir, todo conjunto algebraico proyectivo esta definido por un numero finito de

formas, o equivalentemente, por un ideal homogeneo (es decir, un ideal generado

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por polinomios homogeneos).

Una diferencia importante con el caso afın la da el ideal maximal

m = x0, x1, . . . , xn. Como ningun elemento de Pn tiene todas sus coordenadas

homogeneas nulas, tendremos que Z P (m) =

∅.

Ejemplo 1.3.1. Sea p ∈ Pn. Podemos suponer que alguna de sus coordenadas

homogeneas es 1, digamos a0: p = (1 : a1 : · · · : an). Luego, { p} = Y = Z P (x1 −a1x0, . . . , xn − anx0). En efecto, si q = (b0 : b1 : · · · : bn) ∈ Y , entonces b0 = 0 y

q = (b0 : a1b0 : · · · : anb0) = p.

Ejemplo 1.3.2. La curva cubica torcida parametrizada en terminos de coordenadas

homogeneas por (x30 : x2

0x1 : x0x21 : x3

1) = (z 0 : z 1 : z 2 : z 3) ∈ P3, (x0 : x1) ∈ P1, esta

dada por las ecuaciones z 0z 2 = z 21 , z 0z 3 = z 1z 2, z 1z 3 = z 22 .

Definicion 1.3.4. Al igual que en el caso afın, definimos el ideal de X por

I P (X ) :=

f ∈ k[x0, x1, . . . , xn] : f ( p) = 0, ∀ p ∈ X

para todo X ⊆ Pn. Es facil ver que, ademas, I P (X ) es un ideal radical homogeneo,

para todo X ⊆ Pn.

Observacion 1.3.3. Si X ⊆ Y , entonces

I P (Y ) ⊆ I P (X ).

Definicion 1.3.5. Un conjunto algebraicon proyectivo Y ⊆ Pn es irreducible si

no puede ser expresado como union de dos conjuntos algebraicos proyectivos mas

pequenos. En este caso, decimos que Y es una variedad proyectiva , mientras que un

subconjunto abierto de una variedad proyectiva es una variedad cuasi-proyectiva .

Observacion 1.3.4. Todo conjunto algebraico proyectivo se escribe de manera

unica como union de variedades proyectivas.

13



Observacion 1.3.5. Al igual que en el caso afın, si Y ⊆ Pn es un conjunto alge-

braico, entonces Y es irreducible si y solo si I P (Y ) es primo.

En el espacio proyectivo tambien tenemos un resultado similar al teo-

rema de los ceros, conocido como el Teorema de los Ceros Proyectivo. Para probarlo,

basta ver a los conjuntos algebraicos proyectivos como subconjuntos de An+1

.

Definicion 1.3.6. Sea Y ⊆ Pn. Definimos el cono de Y , y lo denotamos por C (Y ),

como su preimagen en An+1 \ {0} vıa la proyeccion canonica unida con el 0. Es

decir:

C (Y ) := p = (a0, a1, . . . , an) ∈ An+1 : (a0 : a1 : · · · : an) ∈ Y o p = 0

.

Observacion 1.3.6. El cono de un conjunto algebraico proyectivo es simplemente

la union de las rectas afines que definen los elementos de Y ⊆ Pn unida con el origen

de An+1. Resulta claro pues que si Y = ∅, entonces

I (C (Y )) = I P (Y ).

En efecto, si f ∈ I (C (Y )), tendremos que f ( p) = 0 para todo p ∈ C (Y ), luego

f ( p) = 0 para todo p

∈Y si p

= 0. Recıprocamente, si f

∈I P (Y ), fijemos p

∈C (Y )

no nulo. Tendremos que p ∈ Y y f ( p) = 0, luego f ( p) = 0. Si p = 0, supongamos

que f ( p) = 0. Entonces f = f 0 + f 1 + · · · con f 0 ∈ k∗. Como I P (Y ) es homogeneo,

entonces f 0 ∈ I P (Y ) y k[x0, x1, . . . , xn] = I P (Y ), es decir, Y = ∅, una contradiccion.

Tambien se cumple que

C (Z P (a)) = Z (a)

(el cono de un conjunto algebraico proyectivo es un conjunto algebraico afın) para

cualquier ideal homogeneo a ⊆ k[x0, x1, . . . , xn] tal que Z P (a) = ∅. Si p ∈ C (Z P (a))

14



es no nulo, entonces p ∈ Z P (a), luego f ( p) = 0 para todo f ∈ a, y f ( p) = 0. Si

p = 0 y f ( p) = 0 para algun f ∈ a, tendremos que f = f 0 + f 1 + · · · con f 0 = 0.

Como a es homogeneo, f 0 ∈ a y 1 = a, contradiciendo la suposicion Z P (a) = ∅.

Recıprocamente, si p ∈ Z (a) y f ∈ a, se tiene que f ( p) = 0, y por ser a homogeneo,

f i( p) = 0, luego λif ( p) = f (λp) = 0 para todo λ ∈ k∗ y f ( p) = 0, lo que prueba la

afirmacion.

Es facil ver que C (Y 1 ∪ Y 2) = C (Y 1) ∪ C (Y 2) para conjuntos algebraicos

Y 1, Y 2 ⊆ Pn. Luego cada componente irreducible de un cono es tambien un cono.

Si Y = Y 1 ∪ · · · ∪ Y r ⊆ Pn es la descomposicion de Y , donde Y i = Z P (ai) (ai ⊆k[x0, x1, . . . , xn] ideal primo) para todo i = 1, . . . , r, entonces

C (Y ) = C (Y 1) ∪ · · · ∪ C (Y r) = Z (a1) ∪ · · · ∪ Z (ar).

Teorema 1.3.1. (Teorema de los Ceros Proyectivo.) Dados un ideal homogeneo

a ⊆ k[x0, x1, . . . , xn] y el ideal maximal m = x0, x1, . . . , xn, se cumple que:

(a) Z P (a) = ∅ si y s´ olo si mN ⊆ a, para alg´ un N ∈ Z+ (es decir, m ⊆ √ a).

(b) Si Z P (a)

=

∅, entonces I P (Z P (a)) =

√ a.

Demostraci´ on.

(a) Z P (a) = ∅ ⇔ Z (a) ⊆ {0} ⇔ √ a ⊃ m.

(b) I P (Z P (a)) = I (C (Z P (a))) = I (Z (a)) =√ a.

Corolario 1.3.1. Existe una correspondencia biyectiva entre conjuntos algebraicos

proyectivos e ideales radicales homogeneos de k[x0, x1, . . . , xn] que no contienen a m,

y entre conjuntos algebraicos proyectivos irreducibles e ideales primos homogeneos

de k[x0, x1, . . . , xn] que no contienen a m.

15



En adelante escribiremos simplemente Z e I en lugar de Z P e I P , si es

que no hay lugar a confusion.

Observacion 1.3.7. Veamos ahora que el n-espacio proyectivo puede ser cubierto

por n−espacios afines, y que las variedades (cuasi-)proyectivas pueden ser cubiertas

por variedades (cuasi-)afines.

Sea U i el abierto definido por xi, es decir,

U i = p = (a0 : a1 : · · · : an) ∈ Pn : ai = 0

.

Claramente, Pn =n

i=0 U i. Definamos ϕi : U i → An por

ϕi(a0 : a1 : · · · : an) =

a0ai

, a1

ai, . . . ,

ai−1

ai, ai+1

ai, . . . ,

an

ai

,

y veamos que es un homeomorfismo. Consideremos i = 0, ϕ0 = ϕ y U 0 = U . ϕ es

claramente biyectiva, luego basta ver que ϕ identifica cerrados de U con cerrados de

An. Para un polinomio homogeneo f ∈ k[x0, x1, . . . , xn] definamos

α(f ) = f (1, x1, . . . , xn) ∈ k[x1, . . . , xn],

y para un polinomio g ∈ k[x1, . . . , xn] de grado e definimos el polinomio homogeneo

β (g) de grado e por

β (g) = xe0 · g

x1

x0, . . . ,

xn

x0

∈ k[x0, x1, . . . , xn].

Sea Y ⊆ U un cerrado de U , y veamos que ϕ(Y ) = Z (α(a)), donde a = I P (Y ). En

efecto, si p = ϕ(1 : a1 : · · · : an) = (a1, . . . , an) ∈ ϕ(Y ), entonces

α(f )( p) = f (1 : a1 : · · · : an) = 0

16



para todo f ∈ a homogeneo. Y si p = (a1, . . . , an) ∈ Z (α(a)) y f ∈ a es homogeneo,

entonces

f (1 : a1 : · · · : an) = α(f )( p) = 0.

Como f es arbitrario, concluimos que (1 : a1 : · · · : an) ∈ Y y p ∈ ϕ(Y ).

Recıprocamente, si W = Z (b)

⊆An (b = I (W )), entonces ϕ−1(W ) = Z P (β (b))

∩U .

En efecto, si p = (1 : a1 : · · · : an) ∈ ϕ−1(Y ) y g ∈ b, entonces

β (g)( p) = g(a1, . . . , an) = 0,

luego p ∈ Z (β (b)). Y si p = (1 : a1 : · · · : an) ∈ Z (β (b)), sea g ∈ b, entonces

g(a1, . . . , an) = β (g)( p) = 0.

Como g es arbitrario, concluimos que (a1, . . . , an) ∈ W y p ∈ ϕ−1(W ).

Ejemplo 1.3.3. La variedad de Segre. Sean x0, . . . , xn las coordenadas para Pn,

y0, . . . , ym las coordenadas para Pm, y t0, . . . , tN las coordenadas para PN , donde

N = (n +1)(m + 1) − 1 = n + m + nm. Definimos S : Pn ×Pm → PN por la formula

S ((x0 : · · · : xn) × (y0 : · · · : ym)) = (x0y0 : x0y1 : · · · : xnym).

S esta bien definida, pues si xiy j = 0 para todo i, j, y si x0 = 0, entonces x0y0 =

· · · = x0ym = 0, luego y j = 0 para todo j. Ademas, es inyectiva. En efecto, si

(x0y0 : · · · : xnym) = (x0y0 : · · · : x

nym), entonces xiy j = λxiy j, para algun λ = 0,

para todo i, j. Si y j = 0, entonces xi = (λyjyj

)xi, luego (x0 : · · · : xn) = (x

0 : · · · : xn).

Similarmente, (y0 : · · · : ym) = (y0 : · · · : ym). Finalmente, la imagen de S es una

subvariedad de PN , llamada variedad de Segre, ya que S (Pn × Pm) = Z , donde

Z = Z (

tij tkl − tiltkj : i, k = 0, . . . , n; j, l = 0, . . . , m

).

17



Ejemplo 1.3.4. La superficie cu´ adrica en P3. Del ejemplo anterior, es claro que la

superficie Q definida por la ecuacion xy − zw = 0 es una variedad de Segre dada

por la inyeccion de Segre de P1 ×P1 a P3. Si t = (α0, α1) ∈ P1, el conjunto S (t×P1)

es la recta en P3 dada por α1x = α0w, α1z = α0y. Haciendo variar t obtenemos

una familia de rectas {Lt} tal que Lu ∩ Lt = ∅ siempre que Lu = Lt. Similarmente,

S (P1 × t) es una recta, y al variar t obtenemos otra familia de rectas {M t} con la

misma propiedad, y ademas se cumple que Lt ∩ M u =un punto, para todo t, u.

1.4 El Anillo de Funciones de una Variedad

Habiendo definido los conceptos de variedad afın y proyectiva, asocia-

remos a estos objetos un anillo, que nos permitira trasladar cuestiones geometricas

y topologicas a cuestiones puramente algebraicas.

Definicion 1.4.1. Dado el conjunto algebraico Y ⊆ An, definimos el anillo de

funciones de Y o su anillo coordenado como el cociente k[x1, . . . , xn]/I (Y ), y lo

denotamos por A(Y ). Las clases de polinomios en A(Y ) tambien pueden ser vistas

simplemente como restricciones de funciones polinomiales a Y .

Ejemplo 1.4.1. Si Y = An es el n-espacio afın, entonces I (Y ) =

0

, luego A(Y ) =

k[x1, . . . , xn].

Ejemplo 1.4.2. Si Y es un punto, entonces A(Y ) = k. En efecto, si Y =

{(a1, . . . , an)}, escribimos cualquier polinomio f ∈ k[x1, . . . , xn] de la forma f =

(x1−a1)f 1 + · · ·+ (xn −an)f n + c (dividiendo sucesivamente por xi −ai), y tomando

clase modulo I (Y ), vemos que f = c en A(Y ).

Ejemplo 1.4.3. Sea Y = Z (y − x2). Definimos el homomorfismo ϕ : k[x, y] → k[x]

por ϕ(f ) = f para todo f ∈ k[x] y ϕ(y) = x2. Si f (y) ∈ (k[x])[y] esta en el nucleo

de ϕ, es decir, si ϕ(f ) = f (x2) = 0, se tendra que f ∈ I (x2) = y − x2, luego

N (ϕ) = y − x2. Concluimos que A(Y ) = k[x, y]

y − x2∼= k[x].

18



Ejemplo 1.4.4. Sea Y = Z (y2−x3). Veamos que A(Y ) ∼= k[x, y]

y2 . En efecto, basta

ver que si f (x, y) = f 0(x)+f 1(x)y +f 2(x)y2+f 3(x)y3+· · · es una funcion polinomial

definida en Y , entonces f (x, y) = f 0(x) + f 1(x)y + f 2(x)x3 + f 3(x)x3y + · · · =

(f 0(x) + f 2(x)x3 + · · · ) + (f 1(x) + f 3(x)x3 + · · · )y.

Una importante clase de anillos la conforman los anillos noetherianos ,

que son aquellos donde todo ideal es finitamente generado. Existen definiciones

equivalentes que pasamos a repasar:

Proposicion 1.4.1. Sea A un anillo. Son equivalentes:

1. A es noetheriano.

2. Toda cadena ascendente de ideales en A es estacionaria.

3. Toda familia de ideales de A posee un elemento maximal respecto de la

inclusi´ on.

Demostraci´ on.

1.⇒2. Sea a1 ⊆ a2 ⊆ · · · ⊆ an ⊆ · · · una cadena ascendente de ideales en A.

Sea a =

n∈Z+ an. a es claramente un ideal, y por 1. es finitamente

generado: a = a1, . . . , ar. Ası, ai ∈ a j(i) para todo i = 1, . . . , r, para

algun j(i) ∈ Z+. Fijemos N = max{ j(i) : i = 1, . . . , r}. Tendremos

que a ⊆ aN ⊆ aN +k ⊆ a, para todo k ∈ Z+. Por lo tanto la cadena es

estacionaria.

2.⇒3. Sea F = {aα} una familia arbitraria de ideales en A, y elijamos aα1 ∈ F .

Si aα1 no es un elemento maximal de la familia, podemos elegir aα2

∈F

tal que aα1 ⊆ aα2. Inductivamente podemos definir una cadena de

elementos de F que por 2. debe ser estacionaria. Concluimos que F

posee un elemento maximal.

19



3.⇒1. Sea a ⊆ A un ideal, y definamos F como la familia de ideales en A

finitamente generados que esten contenidos en a. Por 3., F posee un

elemento maximal, digamos b = a1, . . . , ar. Basta ver que b = a.

Supongamos entonces que a posee un elemento a que no esta en b, y

definamos b = b, a ⊆ a. b es un ideal finitamente generado, incluido

en a y que contiene propiamente a b, claramente una contradiccion.

Luego a = b es finitamente generado.

Cabe recalcar que las imagenes homomorfas de anillos noetherianos

tambien son anillos noetherianos. En efecto, toda imagen homomorfa de un anillo

es isomorfa a un cociente de dicho anillo, y toda cadena de ideales en el anillo

cociente corresponde a otra cadena similar en el anillo original.

Ejemplos de anillos noetherianos son los anillos principales, tales como Z, k y k[x].Mas ejemplos de anillos noetherianos se obtienen a partir del siguiente teorema,

conocido como el Teorema Base de Hilbert.

Teorema 1.4.1. Si A es un anillo noetheriano entonces A[x] es un anillo noethe-

riano.

Demostraci´ on. Sea A un anillo noetheriano y a ⊆ A[x] un ideal. Definimos b ⊆ A

como el ideal formado por todos los coeficientes principales de a, que es en efecto

un ideal, y debe ser finitamente generado. Escribimos entonces b = a1, . . . , ar, y

fijamos f i = aixni + · · · el correspondiente elemento en a para todo i = 1, . . . , r. Sea

N > max{ni : i = 1, . . . , r}. Para cada m ≤ N , definimos bm como el ideal formado

por todos los coeficientes principales de elementos en a de grado m unido con el

0, que resulta ser en efecto un ideal de A, y por lo tanto es finitamente generado.

Ası, tenemos que bm = a(m)1 , . . . , a

(m)rm , y fijamos los respectivos elementos en a,

f (m)i = ami xm + · · · ∈ a. Afirmamos entonces que a = {f i}∪ {f mi } = a. En efecto,

supongamos que a esta contenido propiamente en a y elijamos g ∈ a \ a de grado

mınimo, digamos g = axd + · · · . Si d > N , escribimos b como combinacion de los

20



generadores de b: b =

biai. Tendremos que ∂ (

bixd−nif i) = d, y como su coefi-

ciente principal es b, entonces ∂ (g −biX d−nif i) < d. Ası, por la minimalidad de d

tendremos que g −bix

d−nif i ∈ a, obligando a que g este en a, una contradiccion.

Similarmente, si d ≤ N , escribimos b como combinacion de los generadores de bd:

b =

bia

(d)i . Tendremos que ∂ (

bif

(d)i ) = d, luego ∂ (g −

bif

(d)i ) < d, llegando

nuevamente a una contradiccion. Concluimos que a = a es finitamente generado,

lo que concluye la prueba.

Corolario 1.4.1. k[x1, . . . , xn] es noetheriano para cualquier cuerpo k.

Como k[x1, . . . , xn] es un anillo noetheriano, el anillo cociente A(Y )

tambien lo es, para cualquier variedad Y . Es decir, cualquier cadena ascendente

de ideales es estacionaria. Al aplicar el operador Z a una cadena de este tipo,

obtenemos una cadena descendente de conjuntos cerrados en Y . Esto motiva la

siguiente definicion:

Definicion 1.4.2. Decimos que un espacio topologico es noetheriano si toda cadena

descendente de subconjuntos cerrados es estacionaria. Por lo dicho arriba, toda va-

riedad de An es un espacio topologico noetheriano. Definimos tambien la dimensi´ on

de un espacio topol´ ogico noetheriano X , denotada por dim X , como el supremo de

todos los N ∈Z+ tales que existe una cadena X 0 X 1

· · · X N de subconjuntos

cerrados irreducibles distintos en X . La dimensi´ on de una variedad afın o cuasi-afın

Y es simplemente su dimension como espacio topologico noetheriano, y es denotada

por dim Y . Podemos tambien definir la dimensi´ on de un anillo A (dim A) como el

supremo de todos los N ∈ Z+ tales que existe una cadena a0 ⊆ a1 ⊆ · · · ⊆ aN de

ideales primos distintos de A. Ası definida, es claro que

dim Y = dim A(Y ),

para cualquier conjunto algebraico Y ⊆ An.

Ejemplo 1.4.5. dimAn = n = dim k[x1, . . . , xn]. ([Hartshorne, teo. 1.9, pag. 6])

21



Proposicion 1.4.2. Una variedad Y ⊆ An tiene dimensi´ on n − 1 si y s´ olo si es de

la forma Y = Z (f ), para alg´ un polinomio irreducible f ∈ k[x1, . . . , xn].

Demostraci´ on. [Hartshorne, prop. 1.13, pag. 7]

Proposicion 1.4.3. (a) Si Y es un subconjunto de un espacio topol´ ogico

X , entonces dim Y ≤ dim X .

(b) Si X =

i U i es un cubrimiento abierto de X , entonces dim X =

sup{dim U i}.

(c) Si Y es un cerrado de un espacio topol´ ogico irreducible X de dimensi´ on

finita tal que dim Y = dim X , entonces X = Y .

Demostraci´ on. (a) Es claro, pues cualquier cadena de cerrados irreducibles F 0

F 1 · · · F n en Y corresponde a otra similar F 0 F 1 · · · F n en X .

(b) Sabemos por (a) que sup{dim U i} ≤ dim X . Si F 0 F 1 · · · F N es una

cadena de cerrados irreducibles en X , con F 0 = { p}, elegimos un abierto U i que

contenga a p. Tendremos que F j ∩ U i es un abierto denso en F j, luego obtenemos

una cadena de cerrados irreducibles F 0 ∩ U i F 1 ∩ U i · · · F N ∩ U i en U i y

dim X ≤ dim U i ≤ sup{dim U i}.

(c) Si tuvieramos Y X , a cualquier cadena de cerrados irreducibles en Y

podrıamos agregarle X para obtener una cadena similar en X , contradiciendo la

hipotesis.

Definicion 1.4.3. Sea Y ⊆ Pn una variedad. Entonces I (Y ) es un ideal primo

(homogeneo). Definimos el dominio S (Y ) = k[x0, x1, . . . , xn]/I (Y ), llamado el anillo

de funciones de Y , o su anillo coordenado homogeneo. S (Y ) es claramente un

anillo noetheriano, por lo que Y resulta ser un espacio topologico noetheriano. La

dimension de una variedad (cuasi-)proyectiva es simplemente su dimension como

espacio topologico noetheriano.

22



Ejemplo 1.4.6. Dado que n + 1 copias de An conforman un cubrimiento abierto

de Pn, concluimos de la proposicion anterior que dimPn = sup{dimAn} = n, y

dim S (Pn) = dim k[x0, x1, . . . , xn] = n + 1.

1.5 Funciones Regulares

En esta seccion definiremos los conceptos de variedad sobre k y de

funciones regulares.

Definicion 1.5.1. Sea Y ⊆ An una variedad cuasi-afın. Decimos que f : Y → A1

es una funci´ on regular en p ∈ Y si existe un abierto U ⊆ Y con p ∈ U tal que f = gh

en U , para algunos g, h ∈ k [x1, . . . , xn] y Z (h) ∩ U = ∅. Decimos que f es regular

en Y si es regular en todo punto.

Lema 1.5.1. Toda funci´ on regular f : Y → A1 es continua.

Demostraci´ on. Como los cerrados no triviales de A1 son los subconjuntos finitos,

basta ver que f −1(a) es cerrado en Y , para todo a ∈ A1. Equivalentemente, debemos

probar que f −1(a)∩U es cerrado en toda parte U de un cubrimiento abierto. Existen

entonces g, h

∈ A(Y ) tales que f = g

h en U y h( p)

= 0 para todo p

∈ U . Luego

f −1(a) ∩ U = { p ∈ U : g( p) − ah( p) = 0} = Z (g −ah) ∩ U , lo que culmina la prueba.

Definicion 1.5.2. De manera similar al caso afın, sea Y ⊆ Pn una variedad cuasi-

proyectiva. Decimos que f : Y → A1 es regular en p ∈ Y si existe una vecindad U

de p tal que f = gh , para algunas formas g, h ∈ k[x0, x1, . . . , xn] del mismo grado con

h = 0 en U . f es regular si es regular en todo punto de Y . El lema anterior tambien

se cumple para el caso proyectivo.

Definicion 1.5.3. Definimos una variedad sobre k como una variedad afın, cuasi-

afın, proyectiva o cuasi-proyectiva.

23



Observacion 1.5.1. Sean f, g : Y → A1 funciones regulares definidas en una va-

riedad Y tales que f = g en algun abierto U ⊆ Y . Tendremos que el cerrado

Z = Z (f − g) contiene al abierto (denso) U , luego Z = Y y f = g.

Definicion 1.5.4. Sea Y una variedad. Definimos el anillo de funciones regulares

de Y por O(Y ) =

{f : Y

→A1 : f es regular

}.

Sean p ∈ Y , U, V ⊆ Y abiertos tales que p ∈ U ∩ V y f : U → A1, g : V → A1

funciones regulares. Escribimos f ∼ g si f = g en U ∩V . Por la observacion anterior,

∼ es una relacion de equivalencia. Denotamos la clase de f por U, f , y definimos

el anillo local de p en Y por el conjunto de clases de estas funciones regulares tales

que p ∈ U , y lo denotamos por O p(Y ) o simplemente O p. O p es efectivamente un

anillo local, pues m p = {U, f ∈ O p : f ( p) = 0} es un ideal. Ademas, O p/m p ∼= k

(basta considerar el homomorfismo evaluacion en p).

En

p∈Y O p escribimos U, f ∼ V, g si f = g en U ∩ V . El cociente por esta

relacion (de equivalencia) es llamado cuerpo de funciones de Y , y es denotado por

K (Y ). K (Y ) es efectivamente un cuerpo, pues la inversa de U, f es dada por

V, 1f , donde V = U \ Z (f )(= ∅). De manera natural, obtenemos homomorfismos

inyectivos O(Y ) → O p(Y ) → K (Y ), para todo p ∈ Y .

Teorema 1.5.1. Sea Y ⊆ An una variedad afın. Entonces

(a) O(Y ) ∼= A(Y );

(b) para todo p ∈ Y , O p ∼= A(Y )mp y dimO p = dim Y ;

(c) K (Y ) ∼= cf (A(Y )), K (Y ) es una extensi´ on finitamente generada de k

de grado de trascendencia igual a la dimensi´ on de Y .

Demostraci´ on. Claramente, A(Y ) ⊆

O(Y ), luego el homomorfismo natural de

A(Y )mp en O p es inyectivo. Ademas, si U, f ∈ O p, entonces f = gh

para al-

gunos g, h ∈ A(Y ) con h( p) = 0. Luego el homomorfismo tambien es sobreyectivo

y O p ∼= A(Y )mp. Ası, dimO p = dim A(Y ) − dim(A(Y )/m p) = dim A(Y ) = dim Y ,

24



y cf(A(Y )) = cf(O p) = K (Y ). Finalmente, como A(Y ) es un k-algebra finitamente

generado, K (Y ) es una extension finitamente generada, y su grado de trascendencia

es igual a dim A(Y ) = dim Y . Para ver (a), es claro que A(Y ) ⊆ O(Y ). Supongamos

entonces que f /∈ O(Y ), para algun f ∈ K (Y ). Sea a = {h ∈ A(Y ) : hf ∈ A(Y )}.

a es un ideal de A(Y ), y como 1 /∈ a, a es un ideal propio. Luego esta contenido en

algun ideal maximal m, que es de la forma m = m p, para algun p ∈ Y , y p ∈ Z (a).

Si tuvieramos que f es regular en p, entonces f = gh para algunos g, h ∈ A(Y ) con

h( p) = 0, una contradiccion. Ası, f /∈ O(Y ).

Teorema 1.5.2. Sea Y ⊆ Pn una variedad proyectiva con anillo coordenado S (Y ).

Entonces

(a) O(Y ) ∼= k;

(b) O p ∼= S (Y )(mp), donde m p es el ideal de S (Y ) generado por los elementos

homogeneos que se anulan en p.

(c) K (Y ) ∼= S (Y )(0).

Demostraci´ on. [Hartshorne, teo. 3.4, pag. 18]

1.6 Morfismos entre Variedades

Definido el concepto de variedad, veremos a continuacion los morfismos

entre estos objetos.

Definicion 1.6.1. Sean las variedades X, Y . Decimos que ϕ : X → Y es un

morfismo si es continua y para todo abierto V ⊆ Y y para toda funcion regular

f : V → A

1, se tiene que f ◦

ϕ : ϕ−1(V )→ A

1 es una funcion regular. Claramente,

la composicion de morfismos es un morfismo. Decimos entonces que ϕ : X → Y es

un isomorfismo si existe otro morfismo ψ : Y → X tal que ϕ◦ψ = idY y ψ◦ϕ = idX .

En tal caso, X e Y son isomorfas .

25



Observacion 1.6.1. Sea ϕ : X → Y un isomorfismo. ϕ induce un homomorfismo

de k-algebras ϕ∗ : O(Y ) → O(X ) dado por ϕ∗(f ) = f ◦ ϕ. Si f ◦ ϕ = 0, entonces

f (Y ) = 0 (pues ϕ es sobreyectiva). Luego ϕ∗ es inyectiva. Si g ∈ O(X ), entonces

g ◦ ϕ−1 ∈ O(Y ) y ϕ∗(g ◦ ϕ−1) = g. Ası, O(Y ) y O(X ) son k−algebras tambien

isomorfas. Concluimos que O(Y ), O p y K (Y ) son invariantes, salvo isomorfismos.

Proposicion 1.6.1. Sea U i ⊆ Pn el abierto definido por xi = 0. Entonces las

funciones ϕi : U i → An definidas en la secci´ on 1.1 son isomorfismos.

Demostraci´ on. En efecto, sabemos que ϕi es un homeomorfismo. Basta comprobar

que las composiciones entre funciones regulares y ϕi o ϕ−1i son tambien funciones re-

gulares, lo que resulta claro si las vemos simplemente como fracciones de polinomios.

Proposicion 1.6.2. Sean X una variedad, Y una variedad afın. Existe una co-

rrespondencia natural biyectiva entre morfismos de X a Y y homomorfismos de

k−´ algebras de A(Y ) a O(X ).

Demostraci´ on. Si ϕ : X → Y es un morfismo, definimos α(ϕ) : O(Y ) ∼=A(Y ) → O(X ) por α(ϕ)(f ) = f ◦ ϕ. Sea ahora h : A(Y ) → O(X ) un ho-

momorfismo de k−

algebras. Definimos ξ i = h(xi) ∈ O(X ), y ψ : X

→ An por

ψ( p) = (ξ 1( p), . . . , ξ n( p)). Veamos que ψ(X ) ⊆ Y . Si f =

aixi11 · · · xin

n ∈ I (Y ),

entonces

f (ψ( p)) =

aiξ i1i ( p) · · · ξ inn ( p)

=

aih(x1)i1( p) · · · h(xn)in( p)

= h(f )( p) = 0.

Luego f (ψ(X )) = 0 para todo f ∈ I (Y ) y ψ(X ) ⊆ Y . Tendremos que ψ es una

aplicacion de X a Y que induce h. Veamos que ψ es en efecto un morfismo.

26



Lema 1.6.1. Sean X una variedad, Y ⊆ An una variedad afın. Entonces ψ =

(ψ1, . . . , ψn) : X → Y es un morfismo si y s´ olo si ψi : X → k es regular en X , para

todo i.

Demostraci´ on. Claramente, si ψ es un morfismo, entonces ψi = xi ◦ ψ es regular.

Recıprocamente, si xi ◦ ψ es regular, entonces f ◦ ψ es regular (y continua) paratodo f ∈ A(Y ). Si Z = Z (f 1, . . . , f r) ⊆ Y es un cerrado, entonces ψ−1(Z ) =

Z (f 1 ◦ ψ, . . . , f r ◦ ψ) tambien lo es, luego ψ es continua. Finalmente, para una

funcion regular g : V → k (V ⊆ Y abierto), podemos escribir localmente g = g1g2

,

luego tambien se cumple que localmente g ◦ ψ = g1◦ψg2◦ψ . Ası, g ◦ ψ es regular.

Corolario 1.6.1. Sean X, Y variedades afines. Entonces X e Y son isomorfos si

y s´ olo si A(X ) y A(Y ) son isomorfos (como k−´ algebras ).

Demostraci´ on. Consecuencia inmediata de la proposicion anterior.

Teorema 1.6.1. Sean A un dominio y L su cuerpo de fracciones. Si K es una

extensi´ on algebraica finita de L y B es la clausura integral de A en K , entonces B

es un A-m´ odulo finitamente generado y un k-´ algebra finitamente generado.

Demostraci´ on. [Hartshorne, teo. 3.9A, pag. 20]

Proposicion 1.6.3. Sea ϕ : X → Y un morfismo. Entonces:

(a) para cada p ∈ X , ϕ induce un homomorfismo de anillos locales ϕ∗ p :

Oϕ( p)(Y ) → O p(X );

(b) ϕ es un isomorfismo si y s´ olo si es un homeomorfismo y ϕ∗ p es un

isomorfismo para todo p

∈X .

Demostraci´ on. (a) En efecto, si V, f ∈ Oϕ( p)(Y ), entonces ϕ−1(V ), f ◦ϕ ∈ O p(X ),

y esta correspondencia es un homomorfismo.

27



(b) Si ϕ es un isomorfismo, entonces es continua y existe ϕ−1, que tambien es

continua. Claramente, el homomorfismo definido en (a) es un isomomorfismo, para

todo p ∈ X . Recıprocamente, veamos que ϕ−1 es un morfismo, es decir, si V ⊆ X

es un abierto y f una funcion regular en V , veamos que f ◦ ϕ−1 es regular en ϕ(V ).

En efecto, si ϕ( p) ∈ ϕ(V ), por hipotesis tenemos que la preimagen de V, f vıa el

isomorfismo ϕ∗ p pertenece a Oϕ( p), es decir, f ◦ ϕ−1 es regular en ϕ( p).

1.7 Aplicaciones Birracionales

En esta seccion definiremos el concepto de equivalencia birracional, y

mostraremos por medio de un ejemplo el metodo de desingularizacion conocido como

explosion.

Lema 1.7.1. Sean las variedades X, Y y los morfismos ϕ, ψ : X → Y . Si existe un

abierto U ⊆ X tal que ϕ

U = ψ

U

, entonces ϕ = ψ.

Demostraci´ on. Supongamos que Y ⊆ Pn. Componiendo con el morfismo inclusion,

podemos suponer que Y = Pn. Consideremos la variedad Pn × Pn y el morfismo

ϕ × ψ : X → Pn × Pn. Sea ∆ = {( p, p) : p ∈ Pn} ⊆ Pn × Pn. Se tiene que

∆ = Z (

{xiy j

−x j yi : i, j = 0, 1, . . . , n

}) = Z es cerrado. En efecto, es claro que

∆ ⊆ Z . Recıprocamente, si ( p, q ) ∈ Z , supongamos primero que xi = 0. Tendremos

que para algun x j = 0, 0 = x j yi, luego yi = 0. Si xi = 0, por lo anterior tendremos

que yi = 0, luego y j = (yi/xi)x j y p = q . Por hipotesis, (ϕ × ψ)(U ) ⊆ ∆. Como

U = X y ∆ es cerrado, (ϕ × ψ)(X ) ⊆ ∆. Por lo tanto ϕ = ψ.

Definicion 1.7.1. Sean las variedades X e Y . Una aplicaci´ on racional , denotada

por ϕ : X Y (que en general no esta definida en todo X ), es una clase de

equivalencia de pares

U, ϕU

donde ∅

= U ⊆

X es un abierto, ϕU

: U →

Y es un

morfismo y U, ϕU , V, ϕV son equivalentes si ϕU = ϕV en U ∩ V . Gracias al lema

anterior, esta relacion es efectivamente de equivalencia. Dicha aplicacion racional es

dominante si para algun par U, ϕ, ϕ(U ) es denso en Y .

28



Observacion 1.7.1. La composicion de aplicaciones racionales dominantes es

tambien una aplicacion racional dominante. En efecto, si tenemos las aplicaciones

racionales dominantes X ϕ Y

ψ Z y V, ψ es un representante de ψ, escribi-

mos U = ϕ−1(V ). Ası, ϕ(U ) ⊆ V , y la composicion esta bien definida, por lo que

podemos considerar la categorıa de variedades y aplicaciones racionales dominantes.

Definicion 1.7.2. Definimos una aplicaci´ on birracional como una aplicacion

racional ϕ : X Y que admite inversa. En este caso, decimos que X e Y son

birracionales o birracionalmente equivalentes .

Lema 1.7.2. Sea Y ⊆ An la hipersuperficie definida por f ∈ k[x1, . . . , xn]. En-

tonces An \ Y es isomorfo a la hipersuperficie H ⊆ An+1 definida por xn+1f −1 ∈ k[x1, . . . , xn+1]. En particular, An \ Y es afın y su anillo de funciones es

k[x1, . . . , xn]f .

Demostraci´ on. Como A(H ) = A[xn+1]/xn+1f − 1 (A = k[x1, . . . , xn]), tendremos

que A(H ) = Af . Sea el morfismo ϕ : H → An definido por ϕ(a1, . . . , an+1) =

(a1, . . . , an). Claramente, ϕ corresponde al homomorfismo canonico de anillos

A → Af . ϕ es una biyeccion sobre su imagen {(a1, . . . , an) ∈ An : f (a1, . . . , an) =

1/an+1} = An \ Y , y ϕ−1(a1, . . . , an) = (a1, . . . , an, 1/f (a1, . . . , an)) es tambien un

morfismo (pues sus coordenadas son funciones regulares).

Proposicion 1.7.1. En cualquier variedad Y , existe una base para la topologıa que

consiste s´ olo de subconjuntos afines abiertos.

Demostraci´ on. Dado p ∈ Y , debemos mostrar que para todo abierto U ⊆ Y con

p ∈ U , existe un abierto afın V ⊆ U que contiene a p. Como U es una variedad,

podemos suponer que U = Y . Ademas, toda variedad esta cubierta por variedades

cuasi-afines, luego podemos suponer que Y es cuasi-afın en An. Sea W = Y \Y , que

es un cerrado en An, y sea a = I (W ) ⊆ k[x1, . . . , xn]. Como p /∈ W , existe f ∈ atal que f ( p) = 0. Sea H = Z (f ) ⊆ An. Tendremos que W ⊆ H y p /∈ H , es decir

29



p ∈ Y \ H que es un abierto de Y . Pero Y \ H es un cerrado de An \ H , que por el

lema anterior es afın, luego Y \ H es afın.

Teorema 1.7.1. Sean las variedades X e Y . Se tiene una biyecci´ on entre:

(a) el conjunto de las aplicaciones racionales dominantes de X a Y , y

(b) el conjunto de homomorfismos de k-´ algebras de K (Y ) a K (X ).

Adem´ as, esta correspondencia da una equivalencia de categorıas de la de variedades y

aplicaciones racionales dominantes con la de extensiones de k finitamente generadas

y sus homomorfismos.

Demostraci´ on. Sea ϕ : X →

Y una aplicacion racional dominante representada por

U, ϕU . Asociamos a ϕ el homomorfismo siguiente: si f ∈ K (Y ) es una funcion

racional representada por V, f , donde V ⊆ Y es un abierto y f una funcion

regular sobre V , entonces, como ϕU (U ) es denso en Y , ϕ−1U (V ) es un abierto no

vacıo de X , y f ◦ ϕU es regular en ϕ−1U (V ). Ası, f ◦ ϕU ∈ K (X ). Recıprocamente,

sea θ : K (Y ) → K (X ) un homomorfismo de k-algebras. Sabemos que Y esta

cubierto por variedades afines, luego podemos suponer que Y es afın. Sean y1, . . . , yn

generadores de A(Y ) como k-algebra, y sea U ⊆

X un abierto tal que θ(yi) sea

regular en U para todo i = 1, . . . , n. θ define ası un homomorfismo de k-algebras

A(Y ) → O(U ), que corresponde a un morfismo ϕ : U → Y (prop. 1.6.2). ϕ define

una aplicacion racional dominante de X a Y , y vemos que para todo f ∈ K (Y ),

f ◦ ϕ = g◦ϕh◦ϕ = θ(g)

θ(h) = θ( gh ). Ası, las correspondencias definidas son una inversa de la

otra. Para ver que se trata de una equivalencia de categorıas, basta ver que K (Y ) es

una extension de k finitamente generada, y que si K/k es una extension finitamente

generada, entonces K = K (Y ) para algun Y . Si Y es una variedad, K (Y ) = K (U )

para cualquier abierto afın de Y , luego podemos suponer que Y es afın. Como K (Y )

es el cuerpo de fracciones de A(Y ), que a su vez es un k-algebra finitamente generado,

K (Y ) es una extension finitamente generada. Recıprocamente, si K = k(y1, . . . , yn),

30



tomamos B = k[y1, . . . , yn], luego B es un cociente de k[x1, . . . , xn] y es el anillo

coordenado de alguna variedad afın Y .

Corolario 1.7.1. Sean las variedades X e Y . Son equivalentes:

(a) X e Y son birracionalmente equivalentes;

(b) existen abiertos U ⊆ X , V ⊆ Y isomorfos;

(c) K (X ) ∼= K (Y ) como k−´ algebras.

Demostraci´ on. De la definicion de cuerpo de funciones, es claro que (b) implica (c),

mientras que del teorema anterior se desprende que (c) implica (a). Veamos que (a)

implica (b). Sean U, ϕ, V, ψ representantes de aplicaciones racionales dominantes

inversas entre X e Y , con U

⊆ X , V

⊆ Y . Entonces ϕ

◦ψ es la identidad en el

abierto ψ−1(U ), y ψ ◦ ϕ lo es en ϕ−1(V ). Ası, ϕ−1(ψ−1(U )) ⊆ X es isomorfo a

ψ−1(ϕ−1(V )) ⊆ Y .

Proposicion 1.7.2. Toda variedad X de dimensi´ on positiva sobre k tiene la misma

cardinalidad de k.

Demostraci´ on. Como Pn = n

i=0 U i, donde U i ∼= An, entonces card(X ) ≤ (n +

1)card(k)n = card(k). Supongamos ahora que X

⊆ An es una variedad afın. Si

cada coordenada x1, . . . , xn tomara solo una cantidad finita de valores, X serıa

finito, luego al menos una coordenada (digamos x1) toma un numero infinito de

valores. Por teorıa de eliminacion, para que un punto con un valor dado de x1 este

en X , debe satisfacer una cantidad finita de ecuaciones e inecuaciones en x1. Por

lo tanto, los posibles valores de x1 son un conjunto finito o el complemento de un

conjunto finito. Pero sabemos que no es lo primero, luego es card(k) menos una

cantidad finita, es decir, card(k).

Observacion 1.7.2. Como consecuencia, dado que dos curvas cualesquiera tienen

la misma cardinalidad y consideramos la topologıa del complemento finito, estas son

homeomorfas.

31



Ejemplo 1.7.1. Un ejemplo de morfismo birracional es dado por las explosiones. La

explosion es un metodo para “resolver singularidades” en una curva plana C . En el

capıtulo 2 daremos la definicion exacta de punto singular. Por el momento, podemos

decir que un punto en una curva es no singular cuando la recta tangente a la curva

esta bien definida en dicho punto. Es decir, si la curva esta dada por C = Z (f ),

f ∈ k[x, y], y p ∈ C , p es no singular si la derivada parcial f x( p) = 0 o f y( p) = 0. En

tal caso, la recta tangente a C en p = (a, b) es dada por f x( p)(x−a)+f y ( p)(y−b) = 0.

Este problema es local, por lo que nos podemos restringir al caso de curvas afines

C ⊆ A2. Supongamos que C es dada por C = Z (−x3 + y2 − x2), que es singular

en el punto p = (0, 0) (los terminos de menor grado y2 − x2 = (y − x)(y + x) nos

dan las rectas tangentes a C en p). La idea es separar las dos ramas de la curva que

pasan por p reemplazando p por dos puntos, que corresponden a las dos tangentes

de C en p. Para esto debemos pasar al espacio de dimension 3 y modificar el planoreemplazando el punto p por el conjunto de rectas tangentes que pasan por p, es

decir, como las rectas que pasan por p son de la forma y = tx, consideramos el

conjunto B = {(x,y,t) ∈ A3 : y = tx}. B es un conjunto irreducible en A3 que

admite el morfismo proyeccion π : B → A2 dado por (x,y,t) → (x, y). Si x = 0,

la preimagen π−1(x, y) = {(x,y,y/x)}. Si x = 0 y y = 0, la preimagen π−1(x, y) es

vacıa. Si (x, y) = p, la preimagen es la recta L de puntos (0, 0, t), t ∈ k. Decimos que

(B, π) es la explosion del plano en el punto p. Vemos que si B

y U son los abiertosde B y A2 respectivamente dados por x = 0, entonces π induce un isomorfismo de

B en U con inversa dada por (x, y) → (x,y,y/x).

La imagen inversa de C = Z (−x3 + y2 − x2) por π es el conjunto de puntos (x, y, t)

tales que y = tx y −x3 + y2 − x2 = 0, es decir, y = tx y x2(−x + t2 − 1) = 0.

Vemos que π−1(C ) es reducible y se puede descomponer como la recta L definida

por x = y = 0 y una curva C cuyas ecuaciones son y = tx y −x + t2 − 1 = 0. Esta

curva es llamada la transformada estricta de C . Si proyectamos B sobre el plano(x, t) por π : B → A2 obtenemos un isomorfismo con inversa (x, t) → (x,xt,t).

Bajo esta proyeccion, C es isomorfa a la parabola C = Z (x + t2 − 1), que es no

32



singular. Como π : C → C es birracional, decimos que C es una desingularizaci´ on

de C . Ahora sobre p hay dos puntos, correspondientes a las dos rectas tangentes de

C en p: (0, 0, ±1).

33



2 CURVAS NO SINGULARES

2.1 Variedades no Singulares

En esta seccion, definimos el concepto de punto singular y variedadsingular, en sus versiones geometrica y algebraica.

Definicion 2.1.1. Sea Y ⊆ An una variedad afın y sea I (Y ) = f 1, . . . , f t. Decimos

que Y es no singular en p ∈ Y si la matriz

∂f i∂xj

( p)

tiene rango n − r, donde

r = dim Y ; el conjunto de puntos singulares de Y es denotado por Sing(Y ). Decimos

que Y es no singular si Y es no singular en todo punto.

Observacion 2.1.1. Geometricamente, como vimos en el capıtulo anterior, unpunto en una curva es no singular cuando la recta tangente a la curva que pasa

por dicho punto esta bien definida. En general, definimos el espacio tangente T p(Y )

a Y en p = (a1, . . . , an) como el espacio vectorial con origen en p dado por las

ecuaciones lineales

ni=1

∂f

∂xi( p)(xi − ai) = 0, f ∈ I (Y ). (2.1)

Tomando g =

j h j f j ∈ I , tendremos que

i

∂g

∂xi( p)(xi − ai) =

i

j

∂h j

∂xi

· f j + h j · ∂ f j∂xi

( p)(xi − ai)

=

i

j

h j · ∂f j∂xi

( p)(xi − ai)

= j

h j ( p)i

∂f j∂xi

( p)(xi − ai),

y bastara tomar un conjunto de generadores en 2.1.

34



Las ecuaciones que definen T p(Y ) tienen como matriz

∂f i∂xj

( p)

, luego

dim T p(Y ) = n − rang

∂f i∂x j

( p)

.

Ası, p ∈ Y es no singular si y solo si dim T p(Y ) = dim Y .

Definicion 2.1.2. Sea A un anillo local noetheriano con ideal maximal m y k =

A/m. En general se tiene que dimk m/m2 ≥ dim A ([Atiyah-Macdonald, cor. 11.15,

pag. 121]); en caso que dimk m/m2 = dim A, el anillo A es llamado regular local .

Gracias al siguiente resultado debido a Zariski, podemos decir cuando

una variedad es no singular de una manera intrınseca.

Teorema 2.1.1. Sea Y ⊆ A

n una variedad y p∈

Y . Entonces Y es no singular en

p si y s´ olo si O p es un anillo regular local.

Demostraci´ on. Sea p = (a1, . . . , an) ∈ An y m p = x1 − a1, . . . , xn − an. Definimos

θ : k[x1, . . . , xn] → kn por θ(f ) = ∇f ( p). Tenemos que los θ(xi−ai) = ei forman una

base de kn, luego la imagen de m p es kn. Restringiendonos a m p, si f ∈ m2 p escribimos

f =

i,j gij(xi − ai)(x j − a j), luego todas las derivadas parciales de f dependen

de los (xi

−ai), y

∇f ( p) = θ(f ) = 0. Recıprocamente, si θ(f ) = 0, escribimos

f =

f i(xi − ai), entonces ∂f ∂xi

=

gi(xi − ai) + f i y ∂f ∂xi

( p) = f i( p) = 0. Ası,

f i ∈ m p y f ∈ m2 p. Luego θ induce un isomorfismo θ : m p/m2

p → kn. Sea a = I (Y ) =

f 1, . . . , f t. Entonces rang

∂f i∂xj

( p)

= dim θ(a) = dim a/m2 p = dim(a + m2

p)/m2 p.

Por otro lado, si llamamos m al ideal maximal de O p = A(Y )mp, tendremos que

m/m2 = m p/(a + m2 p). En efecto, definimos

f

∈m p

−→ f

∈m pA(Y )mp = m

−→ f + m2

∈m/m2,

luego f → 0 ∈ m/m2 si y solo si f ∈ a + m2 p. Del isomorfismo θ se tiene

que dimm p/m2 p = n, y como m p/m2

p =

(a + m2 p)/m2

p

⊕ m p/(a + m2

p)

, entonces

35



entonces

f

gx +

f

gy + m2

p =

f

gx + m2

p

+

f

gy + m2

p

⊆

f

g + m p

x +

f

g + m p

y.

Concluimos de manera similar al ejemplo anterior que m p/m2 p es un k-espacio de

dimension 2, como esperabamos.

Definicion 2.1.3. Sea entonces Y una variedad. Decimos que Y es no singular en

p

∈Y si el anillo local O p es un anillo regular local. Decimos que Y es no singular

si es no singular en todo punto.

Para nuestro estudio, que esta centrado en curvas, la siguiente equiva-

lencia resultara muy util.

Teorema 2.1.2. Sea A un dominio local noetheriano de dimensi´ on 1. Entonces A

es un anillo regular local si y s´ olo si es un anillo de valoraci´ on discreta.

Demostraci´ on. [Atiyah-Macdonald, prop. 9.2, pag. 94]

37



2.2 Anillos de Valoracion Discreta

A continuacion definiremos una herramienta del algebra que nos

sera util en lo que resta del trabajo, ası como tambien algunas equivalencias y

propiedades.

Definicion 2.2.1. Sea K un cuerpo. Una valoraci´ on discreta sobre K es una funcion

sobreyectiva v : K ∗ → Z tal que

v(xy) = v(x) + v(y),

v(x + y) ≥ min{v(x), v(y)}.

Dado v , definimos

R = Rv =

r ∈ K : v(r) ≥ 0

,

m = mv =

r ∈ K : v(r) > 0

.

Observacion 2.2.1. De la primera ecuacion tenemos que v(1) = v(1)+ v(1), luego

v(1) = 0. Similarmente, 0 = v(rr−1) = v(r) + v(r−1), luego v(r−1) = −v(r).

Teorema 2.2.1. (R,m) es un anillo local de dimensi´ on 1. El ideal m es de la forma

m = t (t es llamado parametro uniformizante) y cualquier ideal no nulo de R es

de la forma tn, para alg´ un entero positivo n.

Demostraci´ on. Es claro que R es un anillo, y m es un ideal. Ademas, r ∈ R \m si y

solo si v(r) = 0, es decir v(r−1) = 0 y r es unidad en R, por lo tanto R es local y m es

maximal. Tomemos un ideal a de R y sea r ∈ a un elemento tal que v(r) es mınimo.

Veamos que a = r. En efecto, si s ∈ a, entonces v(s/r) = v(s) − v(r) ≥ 0, o sea,

s/r ∈

R y s = r(s/r) ∈

r. Ası, todo ideal es principal, en particular m =

t,

donde v(t) = 1. Finalmente, si v(r) ≥ v(r), entonces r/r ∈ R y r = r(r/r) ∈ r,

luego todo ideal es de la forma an = {r ∈ R : v(r) ≥ n}, para algun n ∈ Z>0, y

an = tn.

38



Definicion 2.2.2. Decimos que R es un anillo de valoraci´ on discreta (AVD) si

existe una valoracion discreta v sobre su cuerpo de fracciones K tal que R = Rv.

Lema 2.2.1. Un DIP local (R,m) es un AVD.

Demostraci´ on. Sea m =

t

. Definimos v : R

→Z≥0 por v(x) = max

{m

∈Z≥0 : x

∈tm}, para todo x ∈ R. En todo DIP, los conceptos de elemento primo e irreducible

coinciden, y todo DIP es un DFU. Si x ∈ R podemos escribir x = tnx, donde t

no divide a x. Entonces tn+1 esta contenido propiamente en x y x ⊆ tn.

Si t no divide a x, x /∈ m y x ∈ U(R), luego v(x) = 0. Ası, v esta bien definido

y v(R) = Z≥0. Veamos que v es una valoracion discreta. Si x, y ∈ R, escribimos

x = tnx, y = tmy, donde x, y ∈ U(R). Tendremos que v(xy) = n +m = v(x)+v(y)

y (suponiendo n ≥ m) v(x + y) = v(tm(tn−mx + y)) ≥ m = min{v(x), v(y)}, luego

v es una valoracion discreta. Extendiendo v al cuerpo de fracciones K de R por

v(a/b) = v(a) − v(b), veamos que Rv = R. Es claro que R ⊆ Rv. Recıprocamente,

si a/b ∈ Rv (es decir, v(a/b) = v(a) − v(b) ≥ 0) escribimos a = tna, b = tmb, donde

a, b ∈ U(R), luego a/b = tn−m(a/b) con a/b ∈ U(R) y a/b ∈ R. Por lo tanto,

Rv = R y R es un AVD.

Recordemos que, si R es un dominio con cuerpo de fracciones K , y x ∈ K

es un elemento que es raız de un polinomio monico con coeficientes en R, decimos

que x es entero sobre R. Decimos que R es ıntegramente cerrado si todo elemento

entero sobre R esta en R.

Teorema 2.2.2. Sea R un dominio local noetheriano de dimensi´ on 1. Entonces R

es un AVD si y s´ olo si es ıntegramente cerrado.

Demostraci´ on. Sea R un AVD con cuerpo de fracciones K y valoracion discreta v.

Entonces R es claramente un dominio euclidiano con la norma dada por v (v(0) = 0),

y por lo tanto un DFU. Como todo DFU es ıntegramente cerrado en su campo de

fracciones, concluimos que R es ıntegramente cerrado. Supongamos ahora que R es

39



Corolario 2.2.1. Si R es un dominio de Dedekind, entonces Rp es un AVD, para

todo ideal primo p ⊆ R.

Demostraci´ on. R es un dominio noetheriano ıntegramente cerrado de dimension 1,

luego Rp tambien lo es, y ademas es local. Por el teorema anterior, Rp es un AVD.

Proposicion 2.2.1. Si A ⊆ B son AVD con el mismo cuerpo de fracciones F ,

entonces A = B.

Demostraci´ on. En efecto, sean vA y vB las respectivas valoraciones y supongamos

que B \ A = ∅. Tendremos que vB(b) ≥ 0 y vA(b) < 0 para algun b ∈ B \ A

no nulo. Sea x ∈ F . Entonces existe n ∈ Z+ tal que nvA(b) < vA(x), luego

vA(bn

) < vA(x) y 0 < vA(xb−n

). Ası, xb−n

= a ∈ A y x = abn

∈ A[b]. Tendremosque F ⊆ A[b] ⊆ B ⊆ F , llegando a la contradiccion B = F . Por lo tanto, A = B .

2.3 Clasificacion de Curvas no Singulares

En esta seccion demostraremos que toda curva es birracionalmente

equivalente a una curva proyectiva no singular. Para ello sera necesario definir

el concepto de curva no singular abstracta.

Sea K/k una extension finitamente generada con grado de trascendencia 1. Sea

C K = {R ⊆ K : R es un AVD de K/k}. (Es decir, v(x) = 0 para todo x ∈ k∗.)

Lema 2.3.1. Para todo a ∈ K , {R ∈ C K : a /∈ R} es un conjunto finito.

Demostraci´ on. Claramente, {R ∈ C K : a /∈ R} = {R ∈ C K : a−1 = b ∈ mR}.

Si b ∈

k ⊆

R, b /∈ m

R y el conjunto es vacıo. Supongamos entonces que b /

∈ k.

Como k es algebraicamente cerrado, debemos tener k[b] ∼= k[x]. Ademas, como

K/k es finitamente generada, entonces K/k(b) tambien lo es, y como su grado de

trascendencia es 1, K/k(b) es algebraica. Luego K es una extension finita de k(b).

41



Sea B la clausura integral de k[b] en K . Del teorema 1.6.1, B es un k-algebra

finitamente generado (es noetheriano), es ıntegramente cerrado y de dimension 1

(dim k[b] = 1). Es decir, B es un dominio de Dedekind. Sea Y la variedad afın con

el k-algebra B como anillo de funciones regulares. Y sera una curva (dim B = 1)

no singular por ser B ıntegramente cerrado. Ademas, su cuerpo de funciones es K .

En efecto, si s ∈ K , s es algebraico sobre k(b), luego existe g ∈ k[b] tal que gs es

integral sobre k[b], luego esta en B. Esto prueba que el cuerpo de fracciones de B

es K . Supongamos ahora que b ∈ R, para algun R ∈ C K . Tendremos que k [b] ⊆ R,

y por ser R ıntegramente cerrado, B ⊆ R. Consideremos el ideal primo (y por lo

tanto maximal, pues dim B = 1) m = mR ∩ B de B. Tendremos una inclusion de

AVDs Bm ⊆ R. Por la ultima proposicion de la seccion anterior, Bm = R. Ası, R es

isomorfo al anillo local de algun punto xR de la curva Y . (Todo R ∈ C K es isomorfo

al anillo local de algun punto en una curva afın no singular con cuerpo de funcionesK ). Finalmente, si ademas b ∈ mR, entonces b se anula en xR, y esto pasa solo para

un numero finito de puntos, lo que concluye la prueba.

Corolario 2.3.1. Todo AVD de K/k es isomorfo al anillo local de un punto en

alguna curva afın no singular.

Demostraci´ on. Viene del lema anterior.

Llamaremos puntos a los elementos de C K . En tal caso, el punto p ∈C K es el AVD R p ∈ C K . Fijando una curva, todos estos son distintos entre sı

(proposicion 2.2.1) y existe un numero infinito de ellos (proposicion 1.7.2). Ası,

C K es infinito. Damos a C K la topologıa del complemento finito. Si U ⊆ C K es

un conjunto abierto, definimos el anillo de funciones regulares en U como O(U ) =

p∈U R p. Un elemento f ∈ O(U ) define una funcion de U en k por f ( p) = f + m p,

donde m p

es el ideal maximal de R p

(f ( p)∈

k, pues por corolario anterior, RP

/mP

=

k). Si f, g ∈ O(U ) definen la misma funcion, entonces f − g ∈ m p para todo p ∈ U ,

luego f = g (por el lema anterior). Ası, podemos identificar a los elementos de O(U )

42



con funciones de U en k. Ademas, (nuevamente por el lema anterior) todo f ∈ K

es funcion regular para algun abierto U , luego el cuerpo de funciones de C K es K .

Definicion 2.3.1. Definimos una curva no singular abstracta como un abierto U ⊆C K con su topologıa inducida, y con la nocion de funcion regular.

Haremos a las curvas abstractas formar parte de la categorıa de va-

riedades, para luego demostrar que efectivamente toda curva no singular es una

variedad.

Definicion 2.3.2. Un morfismo ϕ : Y → X entre curvas abstractas no singulares

o variedades es una aplicacion continua tal que para todo abierto U ⊆ X y toda

funcion regular f : U → k, f ◦ ϕ es una funcion regular en ϕ−1(U ).

Proposicion 2.3.1. Toda curva cuasi-proyectiva no singular Y es isomorfa a una

curva abstracta no singular.

Demostraci´ on. Sea K el cuerpo de funciones de Y . Entonces todo anillo local O p,

p ∈ Y , es un AVD de K/k, y a puntos distintos le corresponden subanillos distintos

de K . Sea entonces U ⊆ C K el conjunto de anillos locales de Y y sea ϕ : Y → U

la biyeccion definida por ϕ( p) = O p. Veamos que U ⊆ C K es abierto. Podemos

suponer que Y es afın (proposicion 1.7.1) con anillo de funciones A = A(Y ). A es

un k-algebra finitamente generado con cuerpo de fracciones K y U es el conjunto

de localizaciones en sus ideales maximales. Es decir, U es el conjunto de todos los

AVD de K/k que contienen a A. Supongamos que A = k[x1, . . . , xn]. Tendremos

que A ⊆ R p (R p ∈ U ) si y solo si xi ∈ R p para todo i = 1, . . . , n. Por lo tanto,

U =

U i, donde U i = { p ∈ C K : xi ∈ R p}. Pero { p ∈ C K : xi /∈ R p} es finito, luego

U i es abierto y U es abierto. Ası, U es una curva abstracta no singular. Para ver

que ϕ es un isomorfismo, basta ver que las funciones regulares son las mismas en

cualquier abierto. Esto es obvio pues para todo abierto V ⊆ Y , O(V ) =

p∈V O p.

43



Proposicion 2.3.2. Sean X una curva abstracta no singular, p ∈ X , Y una varie-

dad proyectiva y ϕ : X \ { p} → Y un morfismo. Entonces existe un ´ unico morfismo

ϕ : X → Y que extiende a ϕ.

Demostraci´ on. Supongamos que Y ⊆ Pn es un conjunto cerrado. Si ϕ extiende a

ϕ, entonces tendremos que ϕ(X ) ⊆ Y , luego podemos suponer que Y = Pn

. Sea elabierto U = Pn\Z (x0 · · · xn). Si ϕ(X \{ p})∩U = ∅, es decir, si ϕ(X \{ p}) ⊆

Z (xi),

entonces ϕ(X \ { p}) ⊆ Z (xi) ∼= Pn−1 (pues es irreducible), para algun i. Podemos

entonces asumir que ϕ(X \ { p}) ∩ U = ∅.

Sabemos que xixj

es una funcion regular en U , luego f ij = xixj

◦ ϕ es tambien regular

en un abierto de X , que podemos ver como funcion racional en X (f ij ∈ K , donde

K es el cuerpo de funciones de X ). Sea v la valoracion de K asociada al AVD R p.

Sea ri = v(f

i0), para i = 0, . . . , n. Como xi

xj= xi/x0

xj/x0, tendremos que v(f

ij) = r

i −r

j.

Sea rk = min{ri : i = 0, . . . , n}, entonces v(f ik) ≥ 0 para todo i = 0, . . . , n,

luego f 0k, . . . , f nk ∈ R p. Definimos ϕ( p) = (f 0k( p), . . . , f nk( p)) y ϕ(q ) = ϕ(q ), q = p.

Claramente, ϕ es unica. Para ver que es un morfismo, basta ver que induce funciones

regulares a partir de funciones regulares definidas en alguna vecindad de ϕ( p). Sea

el abierto U k = Pn \ Z (xk), entonces ϕ( p) ∈ U k, pues f kk = 1. U k es afın, con anillo

coordenado k[x0/xk, . . . , xn/xk]. Por construccion, las funciones correspondientes

f 0k, . . . , f nk son regulares en p. Por lo tanto, para cualquier funcion regular definida

en alguna vecindad V ⊆ U k de ϕ( p), la correspondiente funcion definida por ϕ sera

regular.

Teorema 2.3.1. Sea K una extensi´ on finitamente generada de k con grado de

trascendencia 1. Entonces la curva no singular abstracta C K es isomorfa a una

curva proyectiva no singular.

Demostraci´ on. Sea p ∈

C = C K

. Entonces existen una curva afın no singular X y

q ∈ X tal que R p ∼= Oq. Luego el cuerpo de funciones de X es K y X es isomorfo a

algun abierto de C . Es decir, todo punto p ∈ C posee una vecindad isomorfa a una

variedad afın.

44



Como C es cuasi-compacto, podemos cubrirlo con una cantidad finita de abiertos

U i isomorfos a variedades afines X i ⊆ Ani. X i es un abierto de Pni, y llamamos Y i

a su clausura. Y i ⊆ Pni es una variedad proyectiva, y ϕi : U i → Y i son isomorfismos

sobre su imagen.

Por la proposicion anterior, podemos extender ϕi a ϕi : C → Y i. Consideremos la

variedad proyectiva

Y i, y sea ϕ : C → Y i la aplicacion producto ϕ( p) =

ϕi( p).

Sea Y la clausura de la imagen de ϕ. Entonces Y es una variedad proyectiva y

ϕ : C → Y es un morfismo cuya imagen es densa en Y (por lo tanto, Y es una

curva).

Veamos que ϕ es un isomorfismo. Si p ∈ C , p ∈ U i para algun i. Tendremos un

diagrama conmutativo

C ϕ Y

π

U iϕi

Y i

de morfismos dominantes, luego tenemos las inclusiones de anillos locales

Oϕi( p)(Y i) → Oϕ( p)(Y ) → O p(C ), donde Oϕi( p)(Y i) ∼= O p(C ). Por lo tanto, por

1.6.3, ϕ∗ p : Oϕ( p)(Y ) → O p(C ) es un isomorfismo.

Sea q ∈ Y . Oq es dominado por algun AVD R ∈ C K (basta tomar la localizacion

de la clausura integral de Oq en algun ideal maximal). Pero R = R p para algun

p ∈ C y O

ϕ( p) ∼= R, luego q = ϕ( p). Ademas, ϕ es inyectivo, pues distintos puntosde C corresponden a distintos subanillos de K . Concluimos que ϕ : C → Y es un

morfismo biyectivo tal que ϕ∗ p es un isomorfismo, para todo p ∈ C . Nuevamente por

la proposicion 1.6.3, ϕ es un isomorfismo.

Corolario 2.3.2. Toda curva abstracta no singular es isomorfa a una curva cuasi-

proyectiva. Toda curva cuasi-proyectiva no singular es isomorfa a un abierto de una

curva proyectiva no singular.

Corolario 2.3.3. Toda curva es birracionalmente equivalente a una curva proyectiva

no singular.

45



Demostraci´ on. En efecto, si Y es una curva con cuerpo de funciones K , entonces Y

es birracionalmente equivalente a C K , que es no singular y proyectiva.

Corolario 2.3.4. Las siguientes categorıas son equivalentes:

(a) curvas proyectivas no singulares, y morfismos dominantes;

(b) curvas cuasi-proyectivas, y aplicaciones racionales dominantes;

(c) extensiones de k finitamente generadas de grado de trascendencia 1, y

k-homomorfismos.

Demostraci´ on. Conocemos el funtor de a) a b). Para definir el funtor de b) a c),

hacemos corresponder a Y el cuerpo K (Y ). Este es un funtor por el teorema 1.7.1.

Sea entonces K un cuerpo del tipo c). Le asociamos la curva C K , que es una curva

proyectiva no singular, por el teorema. Si K 2 → K 1 es un k-homomorfismo, este

induce vıa el funtor de b) a c) una aplicacion racional entre las curvas correspondi-

entes. Esta se puede representar por un morfismo ϕ : U → C K 2, donde U ⊆ C K 1

es un abierto. De la proposicion 2.3.2, tenemos una extension ϕ : C K 1 → C K 2. Si

K 3 → K 2 → K 1 son dos homomorfismos, se sigue la unicidad de la proposicion 2.3.2

que los correspondientes morfismos C 1 →

C 2 →

C 3 y C 3 →

C 1 son compatibles.

Por lo tanto, K → C K es un funtor de c) a a). Es claramente inverso del funtor

a)→b)→c), luego obtenemos una equivalencia de categorıas.

46



3 ESQUEMAS

3.1 Prehaces y haces

Definicion 3.1.1. Sea Top(X ) la categorıa formada por los subconjuntos abiertosde un espacio topologico X , donde los unicos morfismos entre estos objetos son las

inclusiones; ası, convenimos que Hom(V, U ) = ∅ si V U , y que Hom(V, U ) admite

un solo elemento si V ⊆ U . Un prehaz F de anillos en X es un funtor contravariante

de Top(X ) en la categorıa de anillos, tal que F (∅) es el anillo trivial cero, denotado

simplemente por 0; si ı : U → V es una inclusion de abiertos en X , entonces

definimos el homomorfismo de anillos ρV U por ρV U := F (ı) : F (V ) → F (U ).

Si F es un prehaz en X y U ⊆ X es un subconjunto abierto, la asignacion V → F (V )para todo conjunto abierto V ⊆ U determina obviamente un prehaz en U , llamado

restricci´ on de F a U , y es denotado por F

U ; esto es, si V 1 ⊆ V 2 ⊆ U , tendremos

ıV 1V 2 : V 1 → V 2 y F

U (ıV 1V 2) = ρV 2V 1 .

Para un prehaz F en X , nos referiremos a los elementos de F (U ) como las secciones

de F sobre U , y F (X ) es el conjunto de secciones globales de F . Llamaremos a ρU V

el homomorfismo restricci´ on y tambien escribiremos s

V

en lugar de ρU V (s) cuando

s ∈ F (U ).

Definicion 3.1.2. Un prehaz F en X es llamado haz si para todo subconjunto

abierto U de X y todo cubrimiento U =

i∈I U i, se cumplen:

i) Si s ∈ F (U ) es tal que s

U i= 0 para todo i ∈ I , entonces s = 0.

ii) Si para cada i ∈ I tenemos si ∈ F (U i) tal que si

U i∩U j

= s j

U i∩U j

para

todo i, j

∈I , entonces existe s

∈F (U ) con sU i

= si para todo i

∈I .

Observacion 3.1.1. El elemento s de la condicion ii) es unico. En efecto, sea s ∈F (U ) tal que s

U i

= si para todo i; luego para cada i ∈ I se cumple (s − s)

U i= 0;

se sigue de i) que s = s.

47



Definicion 3.1.3. Decimos que un par (X,F ), donde X es un espacio topologico y

F es un haz de anillos, es un espacio anillado.

Ejemplo 3.1.1. Dada la variedad Y sobre k, asociamos a cada abierto U de Y el

anillo de funciones regulares O(U ) =

p∈U O p. Ası definido, y por las propiedades

vistas en el capıtulo 1, O es un haz de anillos en Y , mientras que (Y,O) es un espacio

anillado.

Ejemplo 3.1.2. Dado el espacio topologico X , asociamos a cada abierto U el anillo

F (U ) de funciones continuas U → R, considerando a R con su topologıa usual. F

es un prehaz con la restriccion usual de funciones, y es un haz pues una funcion

f : U → R es continua si y solo si es continua en cada restriccion f

U i, para todo

cubrimiento abierto {U i} de U .

Ejemplo 3.1.3. Dado el espacio topologico X , asociamos a cada abierto U el espacio

vectorial F (U ) formado por todas las funciones reales localmente constantes definidas

en U , modulo las funciones constantes. Decimos que F es un prehaz de espacios

vectoriales . Sin embargo, dado s ∈ F (U ), existe un cubrimiento {U i} de U tal que

s

U i= 0, mientras que si U no es conexo, F (U ) = {0}. Por lo tanto, F no es un haz.

Definicion 3.1.4. Si F es un prehaz en X y p ∈ X , definimos el tallo F p de F en

p como el lımite directo de los anillos F (U ), donde U varıa en la familia de abiertos

de X que contienen a p, relativo al sistema de homomorfismos ρV U para U ⊆ V . Esdecir,

F p = lim−→

p∈U

F (U ) =

p∈U

F (U )/ ∼,

donde s ∼ t, con s ∈ F (U ), t ∈ F (V ) si existe W ⊆ U ∩ V vecindad de p tal que

s

W = t

W

. Los elementos de F p son denotados por s p := U, s, donde U es una

vecindad de p y s ∈ F (U ).

Observacion 3.1.2. Sean F un haz sobre X , U un abierto de X y sea s∈F (U ) una

seccion tal que s p = 0 para todo p ∈ U . Entonces s = 0. En efecto, si U, s = s p = 0

para todo p ∈ U , entonces para cada p existe una vecindad U p ⊆ U tal que s

U p= 0.

Luego, por la propiedad de haz, s = 0.

48



Definicion 3.1.7. Sea f : X → Y una funcion continua. Dado el haz de anillos F

sobre X , definimos el haz imagen directa f ∗F sobre Y por f ∗F (V ) = F (f −1(V )).

Definicion 3.1.8. Un morfismo de espacios anillados (X,F X ) → (Y, F Y ) es un par

(f, f ) formado por una aplicacion continua f : X → Y y un morfismo f : F Y →f ∗F X de haces de anillos sobre Y .

Ejemplo 3.1.5. Sean X y Y dos variedades y ϕ : X → Y un morfismo. Entonces

existe un morfismo de espacios anillados (X,OX ) → (Y,OY ) inducido de forma

natural, donde ϕ es la funcion continua y el morfismo de haces de anillos OY → ϕ∗OX

esta dado por

OY (U ) −→ OX (ϕ−1(U ))

g −→ ϕ

U (g) = g ◦ ϕ.

Observacion 3.1.4. Sea p ∈ X . El morfismo de haces f : F Y → f ∗F X consiste

en particular de homomorfismos de anillos f V : F Y (V ) → F X (f −1(V )), para toda

vecindad V de f ( p). Haciendo variar V a lo largo de todas las vecindades de f ( p),

f −1(V ) varıa a lo largo de todas las vecindades de p, luego tomando lımites directos

obtenemos la aplicacion inducida

F Y,f ( p) = lim−→

f ( p)∈V

F Y (V ) f p−→ lim

−→

p∈f −1(V )

F X (f −1(V )) = F X,p,

dada por

V, s −→ f −1(V ), f V (s).

Veamos que esta bien definida. Si V, s = U, t ∈ F Y,f ( p), donde s ∈ F Y (V ), t ∈F Y (U ), entonces s

W

= t

W

, para alguna vecindad W de p. Usando los diagramas

50



conmutativos

F Y (V ) f

V

f ∗F X (V )

F Y (U ) f

U

f ∗F X (U )

F Y (W )

f W f ∗F X (W ) F Y (W )

f W f ∗F X (W )

vemos que

f V (s)

f −1(W ) = f U (t)

f −1(W )

,

es decir,

f −1(V ), f V (s) = f −1(U ), f U (t).

Definicion 3.1.9. Un morfismo de espacios localmente anillados es un morfismo

(f, f ) de espacios anillados tal que, para cada p ∈ X , la aplicacion inducida de

anillos locales f p : F f ( p) → F p es un homomorfismo local de anillos locales (es decir,

la preimagen del ideal maximal de F p coincide con el ideal maximal de F f ( p)).

Un isomorfismo de espacios localmente anillados es un morfismo que posee inversa.

Es decir, (f, f ) es un isomorfismo si y solo si f es un homeomorfismo y f es un

isomorfismo de haces.

Definicion 3.1.10. Sea B una base para el espacio topologico X . Decimos que

una coleccion de anillos F (U ) para U

∈B y aplicaciones ρV U : F (V )

→F (U ) para

abiertos basicos U ⊆ V forman un B-haz si satisfacen los axiomas de haces en los

abiertos basicos.

Proposicion 3.1.1. Sea B una base para el espacio topol´ ogico X . Entonces todo

B-haz en X se extiende de manera ´ unica a un haz sobre X .

51



Demostraci´ on. Sea U ⊆ X un abierto. Definimos F (U ) como el lımite inverso de

los anillos F (V ) donde V varıa sobre los abiertos V ∈ B contenidos en U . Es decir,

F (U ) = lim←−

V ⊆U,V ∈B

F (V )

= (f V )V ⊆U,V ∈B

∈ V ⊆U,V ∈B

F (V ) : f V W

= f W si W ⊆

V ⊆

U, W,V ∈

B .

Definimos ademas las proyecciones naturales ρU V : F (U ) → F (V ) por (f W ) → f V .

Comprobemos primero los axiomas de prehaz. Los homomorfismos restriccion estan

dados por la propiedad universal del lımite inverso: si U ⊆ U son abiertos de X ,

tendremos que V ⊆ U , para todo abierto basico V ⊆ U , luego ρU

V : F (U ) → F (V )

esta bien definido y ρU

V = ρV V ◦ ρU

V , donde V es un abierto basico contenido en U

((ρV

V ◦ρU

V )(f

W ) = ρ

V

V (f

V ) = f

V

V = f

V = ρU

V (f

W )). Por la propiedad universal

del lımite inverso, existe un unico ρU U : F (U ) → F (U ) tal que ρU V ◦ ρU U = ρU

V .

Si U = U , tendremos que ρU V ◦ ρUU = ρU

V , luego ρU U = id.

Para abiertos U ⊆ U ⊆ U de X , tendremos que

ρU V ◦ ρU U = ρU

V ,

para abiertos basicos V ⊆ U . Similarmente,

ρU

V ◦ ρU U = ρU V ,

ρU

V ◦ ρU U = ρU

V .

Reemplazando estas dos ultimas ecuaciones en la primera, obtenemos

ρU

V ◦ ρU U ◦ ρU U = ρU

V ◦ ρU U ,

52



y finalmente, por la unicidad de la propiedad universal,

ρU U ◦ ρU U = ρU U .

Es decir, las restricciones se comportan bien para los abiertos de X .

Comprobemos ahora los axiomas de haz. Si U ⊆

X es un abierto, {

U i}

es un

cubrimiento abierto de U y (f W ) ∈ F (U ) es tal que (f W )

U i= 0, vemos que

f V = ρU V (f W ) = (ρU i

V ◦ ρUU i)(f W ) = 0,

para cualquier abierto basico V ⊆ U i. Luego (f W ) = 0.

Ahora, dados el abierto U ⊂ X , el cubrimiento abierto {U i} de U y secciones

(f W i) ∈ F (U i) tales que (f W i)U i∩U j= (f W j)U i∩U j

, para todo i, j, tendremos que

f W i ∈ F (W i) para algun abierto basico W i ⊆ U i, luego W i ⊆ U . Podemos definir

entonces (f W ) ∈ F (U ) tomando todas las secciones f W i ∈ F (W i) para algun abierto

basico W i ⊆ U i, para algun i. Ademas, si V i ⊆ U i es un abierto basico, tendremos que

las proyecciones de F (U ) y F (U i) sobre F (V i) son precisamente f V i , luego debemos

tener ρU U i(f W ) = (f W )

U i= (f W i).

Finalmente, si U ∈ B, la nueva definicion concuerda con la original. En efecto, si

f U ∈ F (U ), tomamos

f V =

f U , V = U

f U

V

, V U.

Ası, (f V ) pertenece a la nueva definicion de F (U ), y cualquier otro elemento deV ⊆U,V ∈B F (V ) distinto de (f V ) no puede, por definicion, pertenecer a dicho con-

junto.

53



3.2 Esquemas

Definicion 3.2.1. Sea A un anillo y X = Spec A el conjunto de ideales primos de

A. Para cada subconjunto S de A, sea V (S ) = {p ∈ X : S ⊆ p} y sea C la coleccion

de estos conjuntos. Si a = S , se tiene que V (S ) = V (a) = V (√ a), ası que C puede

ser considerado como la coleccion de conjuntos de la forma V (a), donde a es un idealradical de A. Si S = {f 1, . . . , f n}, escribimos V (S ) = V (f 1, . . . , f n). Vemos que:

(a) V (0) = X y V (1) = ∅.

(b) Dados los ideales a1, a2 de A, se tiene que

V (a1a2) = V (a1 ∩ a2) = V (a1) ∪ V (a2).

(c) Dada la familia {ai}i∈I de ideales de A, se tiene que

i∈I

V (ai) = V

i∈I

ai

= V

i∈I

ai

.

Ası, existe una topologıa sobre X tal que la familia de subconjuntos

cerrados de X coincide con C. La topologıa ası obtenida es llamada topologıa espec-

tral o topologıa de Zariski de X .

Denotaremos a los elementos de X por x. Al referirnos al correspondiente ideal

primo de A escribiremos px.

Proposicion 3.2.1. Sean x, y ∈ X = Spec A. Se cumplen las siguientes afirma-

ciones:

(a) V (px) =

{x

}.

(b) {x} es cerrado si y s´ olo si px es maximal.

Demostraci´ on.

54



(a) En efecto, {x} =

a⊆pxV (a) = V (

a⊆px

a) = V (px).

(b) Como px ⊆ py si y solo si y ∈ V (px), px es maximal si y solo si x es el

unico punto de V (px).

Definicion 3.2.2. Para todo f ∈ A, definimos X f = X \ V (f ), llamado el abierto

b´ asico determinado por f . {X f } es efectivamente una base para la topologıa de X :si U ⊆ X es un abierto, U es de la forma U = X \ V (a), para algun ideal a ⊆ A, y

X \ V (a) = X \ V

f ∈a

f

= X \f ∈a

V (f ) =f ∈a

X \ V (f ) =f ∈a

X f .

Observacion 3.2.1. Los elementos de X f = (Spec A)f (los ideales primos que no

contienen a f ) estan en correspondencia uno a uno con los ideales primos de Af .

Ademas, los abiertos basicos son cerrados bajo intersecciones finitas, es decir

ni=1

X f i = X g,

donde g = f 1 · · · f n ∈ A. En efecto, basta probarlo para i = 2, y el resultado

es inducido facilmente. x ∈ X f 1 ∩ X f 2, es decir, x /∈ V (f 1) ∪ V (f 2), si y solo si

f 1, f 2 /∈ px, o equivalentemente, si y solo si f 1f 2 = g /∈ px.

Mas aun, se tiene que X f

⊆ X g si y solo si alguna potencia de f es multiplo de g,

es decir

X f ⊆ X g ⇔ f n = gh, para algun h ∈ A.

En efecto, V (g) ⊆ V (f ) (f ∈ px para todo x ∈ V (g)) si y solo si f ∈ x∈V (g) px =

g, lo que prueba la afirmacion.

Lema 3.2.1. Sea {f i}i∈I un conjunto de elementos de A. Entonces X =

i∈I X f i

si y s´ olo si 1

∈ f i

i∈I .

55



Demostraci´ on. Como

i∈I X f i = X \i∈I V (f i), entonces

X =i∈I

X f i ⇔i∈I

V (f i) = ∅

⇔ x ∈ X : f i ∈ px, ∀i ∈ I

⇔ x ∈ X : f ii∈I ⊆ px

⇔ f ii∈I = A.

Corolario 3.2.1. X es cuasi-compacto.

Demostraci´ on. Basta probar que todo cubrimiento por abiertos basicos admite un

subcubrimiento finito. Si X = i∈I X f i , entonces 1

∈ f i

i∈I , luego 1 = n

j=1 g jf ij

y X =n

j=1 X f ij.

Definamos ahora un haz de anillos O sobre X = Spec A. Para ello,

en virtud de la ultima proposicion de la seccion anterior, bastara definir un B-haz

sobre los abiertos basicos X f . Definimos entonces

O(X f ) = Af

(ası, para f = 1, se tiene que O(X ) = O(Spec A) = A; esto generaliza la relacion

entre una variedad afın y su anillo coordenado). Si X g ⊆ X f , entonces existe h ∈ A

tal que g n = f · h, y el homomorfismo restriccion puede ser definido de la siguiente

manera:

Af −→ Ag

a

f m

−→ a · hm

gnm

.

Veamos que estos abiertos basicos junto con estas restricciones constituyen un B-

haz:

56



Proposicion 3.2.2. Sea X = Spec A y supongamos que X f est´ a cubierto por abier-

tos X f i ⊆ X f .

(a) Si g ∈ Af es tal que su imagen es 0 en cada Af i, entonces g = 0.

(b) Supongamos que tenemos elementos gi

∈ Af i tales que para todo par

gi, g j, estos tienen la misma imagen en Af if j . Entonces existe g ∈ Af

cuya imagen en Af i es gi, para todo i.

Demostraci´ on. Supongamos que g = b/f n y sea a = {a ∈ A : ab = 0}. Son

equivalentes:

i) g = 0 en Af .

ii) Existe un entero positivo m tal que f m · b = 0 en A.

iii) f ∈ √ a.

iv) x ∈ X y a ⊆ px ⇒ f ∈ px.

Las equivalencias i) ⇔ ii) ⇔ iii) son claras por definicion. Veamos que iii) ⇔ iv). Si

a

⊆px, entonces

√ a

⊆

√ px = px. Por iii), f

∈px. Recıprocamente, por iv), f

∈px

para todo px ⊇ a, luego f ∈ px⊇a

px = √ a.

Supongamos entonces que g = 0 en Af , entonces existe x ∈ X con a ⊆ px tal que

f /∈ px, es decir, x ∈ X f . Luego x ∈ X f i, para algun i. Obtenemos el diagrama

conmutativo

Af

Af i

Apx

(Af y Af i estan contenidos de manera natural en Apx), y como la imagen de g en

Af i es cero, lo mismo pasa con la imagen de g en Apx, y con la imagen de b = g · f n.

Luego, existe a /∈ px tal que ab = 0, y a ∈ a, una contradiccion. Por lo tanto, g = 0.

57



Probemos ahora (b), primero para f = 1, Af = A y X f = X . Escribimos gi =

hi/f nii ∈ Af i , luego gαf nαα = hα. Como X es cuasi-compacto, podemos elegir un

subcubrimiento finito, y para un n suficientemente grande obtenemos gif ni = hi,

para algun hi ∈ A. Como gi y g j son iguales en Af if j , tendremos que

f

n

j · hi = (f if j )

n

gi = (f if j)

n

g j = f

n

i · h j .

Por otro lado, como 1 ∈ . . . , f i, . . . y X =

X f i ⊆

X f ni, entonces 1 ∈ f ni i.

Tendremos que 1 =

eif ni , para algunos ei ∈ A. Veamos que g =

eihi es el

elemento que buscamos. Para todo j , en Af j se tiene

f n j · g =

f n j eihi =

f ni eih j = h j = f n j · g j,

y g = g j en Af j .

Para el caso general, hacemos X = X f , A = Af y f i = f f i, y aplicamos el caso ya

probado.

Definicion 3.2.3. El haz sobre Spec A recien construido es llamado haz estructural

de X , y el par (Spec A,O) es llamado el espectro de A.

Observacion 3.2.2. Tambien podemos definir el haz estructural de la siguiente

manera: si U es un abierto de Spec A, definimos

O(U ) =

s : U →

x∈U

Apx : s(x) ∈ Apx y s es localmente constante

.

En efecto, de [Hartshorne, prop. 2.2, pag. 71], se tiene que, ası definido, el haz

cumple que O(X f ) = Af , para todo f ∈ A. De la unicidad de la ultima proposicion

de la seccion anterior, podemos considerar este como el haz estructural. Ademas,

para todo x ∈ X se tiene que Ox, el tallo de O en x, es isomorfo al anillo local Apx .

Definicion 3.2.4. Un esquema afın es un espacio localmente anillado (X,OX ) que

es isomorfo (como espacio localmente anillado) al espectro de algun anillo. Un

58



esquema es un espacio localmente anillado (X,OX ) tal que cada punto tiene una

vecindad U de manera que el espacio anillado (U,OX

U

) es un esquema afın. Si

(X,OX ) es un esquema, y si no hay lugar a confusion, escribiremos simplemente

X para denotar tanto al esquema como al espacio topol ogico. Un morfismo de

esquemas es un morfismo de espacios localmente anillados. Un isomorfismo es un

morfismo que posee inversa. Ası, los esquemas junto con los morfismos de esquemas

forman una categorıa que denotaremos por Sch.

Observacion 3.2.3. Para dar un morfismo entre esquemas afines X = Spec A e

Y = Spec B basta dar un homomorfismo entre los respectivos anillos OY (Y ) = B y

OX (X ) = A. En efecto, si

ϕ : B −→ A

es un homomorfismo, basta definir

ψ : X −→ Y

por p → ϕ−1(p), y si U = Spec Bf es un abierto basico de Spec B, definimos

ψ#(U ) : OY (U ) = Bf −→ ψ∗OX (U ) = OX (ψ−1(U )) = OX (Spec Aϕ(f ))

(es claro que

x ∈ ψ−1(U ) ⇔ ϕ−1(px) ∈ U

⇔ f /∈ ϕ−1(px)

⇔ ϕ(f ) /∈ px

⇔ x ∈ Spec Aϕ(f ),

de ahı la ultima igualdad) por a/f n → ϕ(a)/ϕ(f )n. Si ψ(x) = y, entonces ψ# define

un homomorfismo de anillos locales Bpy → Apx definido por a/t → ϕ(a)/ϕ(t), que

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basico Spec(k[x, y])g esta compuesto por todos los ideales primos de k[x, y] excepto

aquellos f tales que f | g y aquellos x − a, y − b tales que (a, b) ∈ Z (g). El haz

estructural le hace corresponder a este abierto el anillo (k[x, y])g.

Definicion 3.2.5. En general, si X es un espacio topologico y Z un subconjunto

cerrado irreducible de X , un punto generico de Z es un punto ξ tal que Z =

{ξ

}.

Ejemplo 3.2.4. Sea X = { p, q 1, q 2} el espacio topologico con abiertos ∅, { p}, X 1 =

{ p, q 1}, X 2 = { p, q 2} y X . Definimos el haz O sobre X por

O(X ) = O(X 1) = O(X 2) = k[x]x, O({ p}) = k(x),

con restricciones O(X ) → O(X i) la identidad y O(X i) → O({ p}) la inclusion obvia.

X es claramente un esquema, pues los puntos q i tienen vecindades X i isomorfas al

esquema afın del ejemplo 3.2.1. Lo mismo sucede con p. Sin embargo, X no es un

esquema afın, pues

X = SpecO(X ) = Spec k[x]x.

Definicion 3.2.6. Sea S un esquema. Un esquema sobre S (o un S -esquema ) es

un esquema X , junto con un morfismo de esquemas ϕ : X → S . Se dice que S es

el esquema base y el morfismo ϕ es el morfismo estructural del S -esquema X . Si

X, Y son S -esquemas, un morfismo de esquemas f : X → Y es un morfismo de S -esquemas, si el diagrama

X f

Y

S

es conmutativo, donde las flechas oblicuas son los morfismos estructurales. Definimos

de manera natural la composicion de morfismos de S -esquemas. Ası, los S -esquemas

juntos con los morfismos de S -esquemas forman un categorıa que denotamos por

Sch(S ). Si A es un anillo, entonces por abuso de notacion escribiremos Sch(A)

para denotar a la categorıa de esquemas sobre Spec A.

61



3.3 Variedades como Esquemas

En esta seccion vemos la relacion existente entre las nociones de es-

quema y variedad. El concepto de esquema es, en efecto, una generalizacion del

concepto de variedad. Sin embargo, para que una variedad sea un esquema, es nece-

sario agregar puntos genericos por cada subconjunto irreducible para que la variedadpueda ser vista como esquema.

Lema 3.3.1. Sea Y una variedad algebraica y sea t(Y ) el conjunto de todos los

subconjuntos cerrados e irreducibles de Y . Se cumplen las siguientes afirmaciones:

(a) t(Y ) es un espacio topol´ ogico, donde los cerrados de t(Y ) son los con-

juntos t(F ) = {Z ∈ t(Y ) : Z ⊆ F } con F cerrado en Y .

(b) Si F, F ⊆ Y son cerrados en Y , entonces F ⊆ F si y solo si t(F ) ⊆t(F ).

(c) La aplicaci´ on α : Y → t(Y ) definida por p → { p} es un homoeomor-

fismo entre Y y el subespacio de puntos cerrados de t(Y ). Adem´ as, la

aplicaci´ on U → α−1(U ) es una biyecci´ on entre los abiertos de t(Y ) y

los abiertos de Y que preserva la inclusi´ on.

Demostraci´ on.(a) Veamos que t(F 1 ∪ F 2) = t(F 1) ∪ t(F 2) para cerrados

F 1, F 2 ⊆ Y . Si G es un conjunto cerrado e irreducible en F 1 ∪ F 2 (luego un conjunto

cerrado en Y ), entonces G = (G ∩ F 1) ∪ (G ∩ F 2) implica que G ⊆ F 1 o G ⊆ F 2.

Luego G ∈ t(F 1) ∪ t(F 2) y t(F 1 ∪ F 2) ⊆ t(F 1) ∪ t(F 2). Por otro lado, un conjunto

cerrado e irreducible de F 1 o F 2 es un conjunto cerrado e irreducible de F 1 ∪ F 2,

luego t(F 1) ∪ t(F 2) ⊆ t(F 1 ∪ F 2).

Si G es un conjunto cerrado irreducible de

i∈I F i ({F i}i∈I familia de

cerrados en Y ), entonces G es un conjunto cerrado irreducible en cada F i, luego

t(

i∈I F i) ⊆ i∈I t(F i). Por otro lado, si G ∈ i∈I t(F i) tenemos que G ⊆ i∈I F i

62



y G es un cerrado irreducible en

i∈I F i, por lo tanto

i∈I t(F i) ⊆ t(

i∈I F i). Ası,i∈I t(F i) = t(

i∈I F i).

Por lo tanto, los conjuntos de la forma t(F ) con F cerrado en Y con-

forman los cerrados para una topologıa en t(Y ).

(b) Es claro que si Z ∈ t(F ) (es decir, si Z es un cerrado irreduciblede Y contenido en F ), entonces Z ⊆ F y Z ∈ t(F ). Recıprocamente, supongamos

que p ∈ F , luego { p} ∈ t(F ) ⊆ t(F ) y, finalmente, p ∈ t(F ).

(c) Para un conjunto cerrado de V tenemos que

α−1(t(F )) = p ∈ Y : { p} ⊆ F

= F,

luego α−1(t(F )) es un conjunto cerrado. Por lo tanto, α es continua. Ademas,

Z ∈ t(Y ) es un punto cerrado si y solo si {Z } = {Z }. Veamos que {Z } = t(Z ).

En efecto, si {Z } ⊆ t(F ) para algun cerrado F ⊆ Y , entonces Z ⊆ F y, por (b),

t(Z ) ⊆ t(F ). Ası, Z ∈ t(Y ) es un punto cerrado si y solo si {Z } = t(Z ), es decir,

si Z es un punto de Y . Luego α(Y ) es precisamente el conjunto formado por los

puntos cerrados de t(Y ). Tambien tenemos que

α(F ) ={ p} ∈ t(Y ) : p ∈ F

= t(F ) ∩ α(Y ),

y se cumple la primera afirmacion. Por otro lado, puesto que α−1(t(F )) = F , la

inversa F → t(F ) establece una correspondencia biunıvoca entre conjuntos cerrados

de Y y los conjuntos cerrados de t(Y ), luego existe una correspondencia biunıvoca

entre conjuntos abiertos de Y y los conjuntos abiertos de t(Y ), y por (b), esta

preserva la inclusion.

Lema 3.3.2. Sea Y una variedad y sea F un cerrado de Y . Entonces la aplicaci´ on

φ : t(Y \ F ) → t(Y )\t(F ) dada por Z → Z

63



es un homeomorfismo.

Demostraci´ on. Denotemos por U al abierto Y \ F . No hay dificultad

en verificar que la aplicacion dada por Z → Z ∩ U es la aplicacion inversa de φ,

luego φ es una biyeccion. Por otro lado, los abiertos de t(Y )\t(Y \U ) son de la forma

t(Y )\t(Y \W ), donde W es un abierto de Y contenido en U . Los abiertos de t(U )son de la forma t(U ) \ t(U ∩ G) = t(U ) \ t(U \ W ), donde G es un cerrado de Y y W

es un abierto de Y contenido en U . Ademas, φ−1(t(Y )\t(Y \W )) = t(U )\t(U \W )

para todo subconjunto abierto W de Y contenido en U . Por consiguiente, φ es un

homeomorfismo.

Lema 3.3.3. Sea Y una variedad afın con anil lo de coordenadas el k-´ algebra A =

k[x1,...,xn]/I (Y ). Para p ∈ Y sea m p el ideal maximal de A formado por todas las

funciones f ∈ A tales que f ( p) = 0. Entonces existe un homomorfismo φ p : Amp → k

tal que φ p(f /g) = f ( p)/g( p).

Demostraci´ on. Fijemos un punto p ∈ V . El homomorfismo A/m p →Amp/m pAmp dado por f + m p → f

1 + m pAmp es un isomorfismo. En efecto, para

definir el homomorfismo inverso tomamos un elemento f g + m pAmp ∈ Amp/m pAmp

donde g ∈ m p. Puesto que m p es un ideal maximal tenemos que m p + g = 1,

luego existen λ ∈ m p y t ∈ A tales que λ + tg = 1, y es inmediato verificar que la

aplicacion f g + m pAmp → f t +m p esta bien definida y es la aplicacion requerida. Por

otro lado, el homomorfismo A → k dado por f → f ( p) es sobreyectivo con nucleo

m p, luego tenemos el isomorfismo A/m p∼−→ k dado por f + m p → f ( p). Finalmente,

definimos φ p : Amp → k como el homomorfismo compuesto

Amp → Amp/m pAmp

∼−→ A/m p∼−→ k

64



donde el primer homomorfismo es la proyeccion canonica. Veamos que φ p(f /g) =

f ( p)/g( p) para f /g ∈ Amp : tenemos

f /g → f /g + m pAmp → f t + m p → f ( p)t( p)

donde t ∈

A es tal que λ + tg = 1, para algun λ ∈ m p. Luego t( p)g( p) = 1, por lo

que φ p(f /g) = f ( p)t( p) = f ( p)/g( p).

Proposicion 3.3.1. Sean Y una variedad, y α : Y → t(Y ) la aplicaci´ on definida

por p → { p}. Entonces (t(Y ), α∗OY ) es un esquema.

Demostraci´ on. Sean U un abierto de Y y G = t(Y ) \ t(Y \ U ) un abierto de t(Y ).

Afirmamos que (t(U ), α∗OU ) y (G, α∗OY G) son isomorfos como espacios anillados.

En efecto, sabemos que φ : t(U ) → G definido en el lema 3.3.2 es un homeomorfismo.

Sea entonces W un abierto de Y contenido en U . Tendremos que

α∗OY

G

t(Y ) \ t(Y \ W )

= OY

α−1

t (Y ) \ t (Y \ W )

= OY (W ),

y

φ∗(α∗OU )

t(Y ) \ t(Y \ W )

= α∗OU

φ−1

t(Y ) \ t(Y \ W )

= α∗OU

t(U ) \ t(U \ W )

= OU

α−1

t(U ) \ t(U \ W )

= OU (W ),

y como OY (W ) ∼= OU (W ), entonces

φ# : (α∗OY )G

→φ∗(α∗OU )

es un isomorfismo. Esto prueba la afirmacion.

65



Por otro lado, si {U i} es un cubrimiento abierto de Y , tendremos que

{t(Y ) \ t(Y \ U i)} es un cubrimiento abierto de t(Y ) (si para algun Z ∈ t(Y )

tuvieramos Z /∈ t(Y ) \ t(Y \ U i) para todo i, obtendrıamos Z ⊆ Y \ U i = ∅,

una contradiccion), es decir

t(Y ) =

i t(Y ) \ t(Y \ U i) ∼= i t(U i).

Ası, sera suficiente probar que t(Y ) es un esquema cuando Y es afın. Veamos que

t(Y ) es un esquema afın. Sean entonces A el anillo coordenado de Y y X = Spec A.

Sea el morfismo de espacios localmente anillados (β, β #) : (Y, OY ) → (X,OX ) (OX

el haz estructural de X ) dado por

β : Y

−→ X

p → m p.

Sabemos que los puntos cerrados de X son los ideales maximales, luego β es un

homeomorfismo entre Y y los puntos cerrados de X (pues β (Z (I )) = β (Y ) ∩ V (I )).

Ademas, para un abierto U ⊆ X ,

β #(U ) : OX (U ) −→ β ∗OY (U ) = OY

β −1(U )

s

−→ β #(U )(s) : β −1(U )

→k

p → φ p

s(m p)

,

donde φ p es el homomorfismo definido en el lema anterior. Veamos que β #(U )(s)

es regular. En efecto, por definicion de s, existen una vecindad U ⊆ U de β ( p) y

elementos a, b ∈ A tales que s(q) = ab ∈ Aq, para todo a ∈ U . Luego, si β −1(U ) es

una vecindad de p y q ∈ β −1(U ), entonces

β #(U )(s)(q ) = φq(s(mq)) = φqa

b

= a(q )

b(q ) .

66



Por lo tanto, β #(U )(s) es regular. Ademas, es claro que β # es un homomorfismo

(pues φ p lo es), y β # es un morfismo de haces. Veamos que es un isomorfismo. Basta

ver que β # lo es para la base {X f }f ∈A. En efecto, sabemos que β −1(X f ) = Y \Z (f ).

Como OX (X f ) = Af =

p∈Y \Z (f ) Amp∼= OY (Y \ Z (f )), entonces

Af

I

Af

OX (X f )

β#(X f )

OY (V \ Z (f ))

conmuta, y β # es un isomorfismo.

Habiendo probado que existe un isomorfismo Y ∼= Spec A de espacios

anillados, veamos que lo mismo sucede para t(Y ) ∼= Spec A.

Sea γ : Spec A → t(Y ) dado por p → Z (p). γ es un homoemorfismo.

Sabemos que es biyectiva (los ideales primos de A corresponden a subvariedades de

Y ), y ademas γ (V (I )) = t(Z (I )). Ademas, γ hace conmutar

Y α

β

t(Y )

Spec A

γ

y el haz de anillos de t(Y ) es dado por

α∗OY (U ) = OY (α−1(U )) = OY

β −1

γ −1(U )

,

mientras que el correspondiente haz imagen directa para t(Y ) es dado por

γ ∗OX (U ) = OX (γ −1(U )).

67



Luego definimos γ # : α∗OV → γ ∗OX por

γ #(U ) = β #(γ −1(U ))−1.

Como β # es un isomorfismo, γ # tambien lo es. Por lo tanto, t(Y ) ∼= Spec A y t(Y )

es un esquema.

Observacion 3.3.1. En la proposicion anterior, ademas de probar que t(Y ) es un

esquema, hemos probado que cuando Y es afın con anillo de coordenadas A, se

tiene un isomorfismo de esquemas t(Y ) ∼= Spec A. Veamos que este es, ademas,

un isomorfismo de esquemas sobre k. En efecto, basta dar un homomorfismo

k → α∗OY (t(Y )) = OY (Y ), y enviamos λ ∈ k a la funcion constante λ en Y .

Similarmente, el homomorfismo k → A dado por λ → λ + I (Y ) corresponde a un

morfismo de esquemas Spec A → Spec k, y ambos se corresponden por γ :

Spec A γ

t(Y )

Spec k

Ası, tenemos un isomorfismo t(Y ) ∼= Spec A de esquemas sobre k .

Observacion 3.3.2. La aplicacion t : Var (k) →

Sch(k) es, ademas, un funtor

entre la categorıa de variedades algebraicas sobre k y la de esquemas sobre k. En

efecto, dado un morfismo de variedades f : X → Y , definimos el morfismo de

espacios anillados t(f ) : t(X ) → t(Y ) por Z → f (Z ). Es claro que f (Z ) ⊆ Y

es irreducible, luego f (Z ) ∈ t(Y ). Por otro lado, un conjunto cerrado de t(Y ) es

de la forma t(F ), donde F es cerrado en Y , y no hay dificultad en verificar que

t(f )−1(t(F )) = t(f −1(F )), de donde se sigue que t(f )−1(t(F )) es cerrado en X . Por

68



lo tanto, t(f ) es continua. Esta aplicacion hace el diagrama

V f

αV

W

αW

t(V )

t(f ) t(W )

conmutativo. Para el abierto U = t(Y ) \ t(F ), tenemos los respectivos anillos de

secciones sobre U

α∗OY (U ) = OY (α−1(U )) = OY (Y \ F )

t(f )∗α∗OX (U ) = α∗OX (t(f )−1(U )) = OX (f −1(Y \ F )).

Definimos entonces t(f )#(U ) : OY (Y \ F ) → OX (f −1(Y \ F )) por s → s ◦ f . Esto

prueba la afirmacion.

Corolario 3.3.1. Para n ≥ 0 tenemos

t(An) ∼= Ank .

69



4 CONCLUSIONES

En cualquier rama de las matematicas, existen problemas, a veces tan

difıciles que nadie espera poder algun dıa resolver por completo, pero que sirven

para guiar el curso de los trabajos, para estimular la investigacion y para medir el

progreso en el campo. Uno de estos problemas para la geometrıa algebraica es el

problema de la clasificacion. En su forma mas fuerte, se busca clasificar todas las

variedades algebraicas salvo isomorfismos. Podemos dividir el problema en partes.

La primera parte es clasificar las variedades algebraicas salvo equiva-

lencia birracional. Como hemos visto, esto es equivalente a clasificar extensiones

de k finitamente generadas salvo isomorfismos. Para esto, se define un invariante

birracional, llamado genero, que toma valores no negativos g ≥ 0. Para g = 0, existeuna unica clase de equivalencia birracional, formada por todas aquellas curvas bi-

rracionalmente equivalentes a P1. Para g > 0, existe una familia continua de clases

de equivalencia birracional. En particular, las curvas con g = 1 son llamadas curvas

elıpticas . Ası, para curvas, la respuesta a la clasificacion birracional esta dada por

el genero.

La segunda parte es identificar un buen subconjunto de una clase de

equivalencia birracional, como las variedades proyectivas no singulares, y clasificar

estas salvo isomorfismos. En el caso de curvas, como hemos visto, para cada clase

de equivalencia birracional existe exactamente una curva proyectiva no singular.

La tercera parte es estudiar que tan lejos esta una variedad arbitraria

del subconjunto bueno. En particular, queremos saber que debemos agragarle a una

curva para obtener una variedad proyectiva (ya sabemos que a cualquier curva se

le puede agregar una cantidad finita de puntos para obtener una curva proyectiva)y tambien queremos conocer la estructura de las singularidades, y como se pueden

resolver para obtener una variedad no singular. Como vimos al final del primer

70



capıtulo, un buen metodo de desingularizacion es el de las explosiones , que se puede

generalizar a variedades de dimension arbitraria.

En cuanto a la teorıa de esquemas revisada en la ultima parte de este

trabajo, podemos decir que es el resultado del trabajo de Alexaner Groethendick y

sus colaboradores, y al poder trabajar con anillos arbitrarios, permite fusionar la ge-

ometrıa algebraica con la teorıa de numeros. En lo que a teorıa de numeros se refiere,

permitio probar las conjeturas de Weil y la conjetura de Mordell; y en geometrıa

algebraica permitio resolver los problemas de Brill-Noether-Petri, ası como tambien

permitio el desarrollo de la clasificacion de superficies en todas las caracterısticas.

En este trabajo, hemos desarrollado esquemas del tipo Spec A, la

generalizacion de una variedad afın. Sin embargo, existe tambien la generalizacionde variedades proyectivas, a saber, los esquemas proyectivos . Su construccion es

paralela a la de las variedades proyectivas, y sus diferencias con los esquemas afines

son analogas a las diferencias entre variedades afines y proyectivas. Se considera

un anillo graduado S , y se define Proy S como el conjunto de los ideales primos

homogeneos que no contienen al ideal S + (el ideal de S formado por los elementos

de grado ≥ 1). Estos esquemas completan la categorıa de esquemas sobre k, y hacen

del funtor t definido en la seccion 3.3 un funtor plenamente fiel . Los esquemas queconforman la imagen de t son los esquemas integrales separados de tipo finito sobre

k. Esto nos dice que los anillos asociados a los abiertos de estos esquemas son, como

en el caso de variedades algebraicas, k-algebras finitamente generadas sin elementos

nilpotentes.

71

aspectos fundamentales de la geometría algebraica

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