Aspectos de sincronización en frecuencia para sistemas de...

Aspectos de sincronizacion en frecuencia parasistemas de comunicaciones multiportadora

Defensa de tesis doctoral

Gustavo Jose Gonzalez

Director: Juan Cousseau

Dpto. de Ingenierıa Electrica y de Computadoras – Universidad Nacional del Sur

Instituto de Investigaciones en Ingenierıa Electrica (IIIE) – CONICET

Laboratorio de Procesamiento de Senales y Comunicaciones (LaPSyC)

LaPSyCLaboratorio de Procesamiento de Señales y Comunicaciones

16 de Marzo de 2012

Aspectos de sincronizacion en frecuencia para sistemas de comunicaciones multiportadora

Tabla de Contenidos

1 Motivacion

2 Esquemas de modulacion multiportadoraModulaciones

3 Desplazamiento de frecuencia de portadora (CFO)Estimacion de CFO en sistemas OFDMEstimacion de CFO utilizando filtrado notchCompensacion de CFO en sistemas multiusuario

4 Nuevos paradigmas en sistemas de comunicacionesSistemas de radio cognitivaSistemas hıbridos

5 Resumen y conclusionesContribuciones principales y complementarias


Motivacion

Objetivos

Tratamiento formal de problematicas reales.

Baja complejidad de implementacion → Aproximaciones.

Problematicas de los sistemas de comunicaciones modernos

Canal de comunicaciones (inalambrico).

La escasez espectral.

Multiplexado por division en frecuencias ortogonales (OFDM)

Ecualizacion de canal sencilla.

Alta eficiencia espectral.

Problemas de sincronismo frecuencia → Interferenciainter-portadora.

Alto PAPR → Alto consumo.


Motivacion

Modulaciones mutiusuario

Acceso multiple por division en frecuencias ortogonales (OFDMA)

Basado en OFDM se obtiene OFDMA.

Facil EQ y baja MAI.

Se heredan los problemas de sincronismo.

Compensacion compleja (re-ortogonalizacion).

Modulacion multiportadora basada en banco de filtros (FBMC)

FBMC es una generalizacion de OFDMA

Disminuye problemas de sincronismo.

Aumenta complejidad.


Motivacion

Nuevos Sistemas

Ineficiencia en transmision

Sistemas hıbridos emplean OFDM en el DL (facil EQ en el movil) ySC (bajo PAPR) en el UL.

Ecualizacion en la BS.

Escasez espectral

Asignacion rıgida de bandas → bandas sobrecargadas y libres.

Redes de radios cognitivas CR → asignacion dinamica.

Requieren sensado espectral y diferenciacion de senales.


Esquemas de modulacion multiportadora

Modulaciones

Tabla de contenidos

1 Motivacion







Modulaciones

Consideraciones del sistema de comunicaciones

Sistema centralizado → BS controla el flujo de informacion.

Transmision en tramas formadas por bloques (sımbolomultiportadora).

Canal estatico durante la duracion de un bloque.

...

Trama

sımbolosnulos

sımbolosde datos

sımbolosde referencia



Modulaciones

Modulacion OFDM

El flujo de datos se transmite sobre subportadoras ortogonales.

Canal plano sobre cada subportadora → EQ trivial.

Problemas de sincronismo en frecuencia (CFO)

0 1 2 3 4 50

0.5

1

1.5

Amplitud

Subportadoras

Sincronizado Desincronizado

ξ



Modulaciones

Sincronismo en OFDM

Sincronismo temporal

Comienzo en libre IBI → facilcompensacion.

Si hay IBI → correccion detemporizado.

Sincronismo frecuencial

Destruye ortogonalidad →Estimacion y compensacion.

WiMAX: variacion de 0.1ppmen el LO → CFO 4-5%.

Interferenciadel bloqueanterior

Sımbolostransmitidos

Sımbolosrecibidos

CP

Librede IBI

CP...

... ...

...

L− 1

sımbolo (�− 1)-esimo

datos

datos

NCP

sımbolo �-esimo

10−2

10−10

2

4

6

8

10

12

Pper

(ξ)[dB]

ξ

SNR 5dBSNR 10dBSNR 15dB



Modulaciones

Modulacion OFDMA

Modulacion multiusuario basada en OFDM.

Las subportadoras se dividen entre los usuarios.

Los esquemas de asignacion son SCAS, ICAS y GCAS.

Errores de sincronismo en frecuencia → MAI.

CAS generalizada con N = 20, Na = 16, K = 2 y Nt = 2.



Modulaciones

Sincronismo en OFDMA. Compensacion

El enlace de subida es un problema multiparametrico → altacomplejidad.

En estimacion se utilizan metodos de subespacios, maximaverosimilitud o aproximaciones como EM.

La compensacion no es trivial, se utiliza cancelamiento sucesivo odeteccion lineal.

CP ventana DFT

usuario 1

usuario 3

usuario 2

sin IBI

con IBI



Modulaciones

Modulacion FBMC

Generalizacion de OFDMA → Filtro reemplaza ventana rectangular.

Filtros altamente selectivos en frecuencia → Reduce MAI.

Solo SCAS.

Aumenta la complejidad del sistema (modulacion/EQ/Sincronismo).

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Amplitud

Subportadoras

FBMC subport. 0FBMC subport. 2OFDMA subport. 0OFDMA subport. 2


Desplazamiento de frecuencia de portadora (CFO)

Estimacion de CFO en sistemas OFDM

Tabla de contenidos

1 Motivacion








Contexto de estimacion de CFO para sistemas OFDM

Estimacion gruesa (inicial) de CFO.

Secuencia de entrenamiento periodica → baja complejidad.

Sin errores de temporizado.

Canal no conocido → no se conocen los sımbolos recibidos.

CFO → desplazamiento en la fase de la AC → estimacion!.

1 2

fase

J

k

... ...i

Modelo TS recibida.

J − 1 terminos de laAC.

diferente rango →Ambiguedad.




Estado de la cuestion (Algoritmos suboptimos)

Caracterıstica Algoritmo de Morelli Algoritmo de Minn

Ambiguedad Diferencias de fase Estimacion gruesa → compensa-cion

Estimacion BLUE combina J/2 diferenciasde fase

BLUE combina las J − 1 fasesresiduales.

DesventajaNo se utilizan las J−1 fases dis-ponibles

No es robusto para bajas SNRs

Conclusiones

Utilizacion de toda la informacion disponible → Inclusion determinos de ruido de alto orden.

El uso de toda la informacion no esta relacionado con lametodologıa.




Funcion de autocorrelacion cıclica promediada

Usando propiedades cicloestacionarias se define la autocorrelacioncıclica promediada (ACA).

Es una generalizacion de la funcion de autocorrelacion clasica (gradode libertad adicional).

Se consideran los terminos de ruido de alto orden → toda lainformacion.

Se obtiene el estimador ML basado en la ACA y tambienestimadores suboptimos

1

p

2 J perıodo TS

k

i

i




Estimadores basados en la ACA

Estimador basado en sumas (SBE)

Generalizacion de Morelli (ACA reduce a AC).

Incluye ruido alto orden → Toda la informacion.

Mejor desempeno que Morelli.

Estimadores de combinacion directa (DCE)

Utiliza fase de la ACA.

Aprovecha grado de libertad adicional.

BLUE en dos instancias → DCE-A y DCE-B.

Buen desempeno a SNR y CFO bajos.




Complejidad de estimacion

Estimador Complejidad relativa [%] Comentarios

DCE-B 100 inv. MatrizDCE-A 52 inv. MatrizSBE 30 inv. MatrizMinn 27 inv. Matriz∼DCE-A 25 sin inv. Matriz∼DCE-B 20 sin inv. Matriz∼SBE 18 sin inv. MatrizMorelli 14 sin inv. Matriz

SBE, DCE-A y DCE-B requieren inversion de matrices → altacomplejidad

Versiones aproximadas (∼SBE y ∼DCE) → incremento de MSE.

∼SBE > MM pero procesa el doble de terminos.

Se obtiene la varianza de estimacion.

Desempeno de estimacion.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1010

−4

10−3

10−2

10−1

MSE

SNR [dB]

MLEMMMinnSBEvar SBECRLB

2 3 4 5 6 7 8 9 1010

−4

10−3

10−2

MSE

SNR [dB]

Minn

CRLB

MM

DCE-Avar DCE-A

2 3 4 5 6 7 8 9 1010

−4

10−3

10−2

MSE

SNR [dB]

MMMinnDCE-Bvar DCE-BCRLB

2 3 4 5 6 7 8

10−3

10−2

MSE

SNR [dB]

CRLB

SBEDCE-ADCE-B∼SBE∼DCE-A∼DCE-B



Estimacion de CFO utilizando filtrado notch

Tabla de contenidos

1 Motivacion








Filtrado notch.

Contexto de estimacion de CFO

La autocorrelacion de la TS → Sinusoidal compleja en ruido.

Amplitud depende del canal → Desconocida!

Frecuencia depende del CFO → Estimacion.

Filtro notch

Puede utilizarse filtrado notch para realizar estimacion de CFO.

Un filtro notch sintonizado a la frecuencia de la sinusoidal minimizala varianza a la salida.

En etapa inicial de investigacion.




Filtro notch de realizacion directa

Implementacion fuera de lınea.

IIR → minimizacion no cuadratica (sin forma cerrada) →Steiglitz-McBride.

Realizacion directa → Sesgo → Normalizacion compleja.

Parametros de sintonizacion y sensibilidad (BW 3 dB) acoplados →Complejidad de derivacion.

D(z−1, s1(i))

s1(i + 1)Estimacion cerrada

s1(i + 1)

Senal

Algoritmo “Steiglitz-McBride”.




Filtro notch realizacion lattice

Parametros de sintonizacion y sensibilidad (BW 3 dB) desacoplados.

No requiere normalizacion → Menor complejidad.

Estimacion cerrada aproximada → Baja complejidad.




Estimacion por filtrado notch. Complejidad

Metodo Complejidad relativa [%] Comentarios

Directo 100 iterativoLattice 36 iterativoLattice aprox. 29 iterativoRPHD 5 No iterativo

Analisis de convergencia

Suponiendo N → ∞ se demuestra queMSE (s1(i)) > MSE (s1(i + 1)).

Se encuentra una cota inferior para el MSE (i).

Resultados de estimacion de frecuencia

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10−90

−80

−70

−60

−50

−40

−30

−20

−10

0

MSE[dB]

SNR [dB]

DirectoLatticeLattice apr.

MSE vs SNR para N = 1000 y ω = 0,4π.

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000−110

−100

−90

−80

−70

−60

−50

MSE[dB]

DirectoLatticeLattice apr.

N

MSE vs. N para SNR=10 dB y ω = 0,4π.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−100

−80

−60

−40

−20

0

20

MSE[dB]

ω(xπ)

DirectoLatticeLattice apr.CRLB

MSE vs. ω para SNR=10 dB y N = 1000

Mejor desempeno en rangomedio de ω.

Menor complejidad.



Compensacion de CFO en sistemas multiusuario

Tabla de contenidos

1 Motivacion








Compensacion de CFO en sistemas OFDMA

Deteccion lineal es mas compleja pero de mejor desempeno.

La MAI se puede describir utilizando una matriz con las dimensionesdel sistema.

La compensacion requiere la inversion de la matriz → altacomplejidad.

La aproximacion de bandas reduce complejidad (BC) → interferenciaresidual.




Matriz de compensacion

Diferentes CFOs en cada usuario → Discontinuidades en lascolumnas de la matriz interferencia (Π).

Desplazamientos circulares relacionan las columnas de cada usuario.

Concentracion de energıa en |q − p| cercano a 0 o a N .

Subportadoras

Sub

port

ador

as

2 4 6 8 10 12 14 16

2

4

6

8

10

12

14

16

−25

−20

−15

−10

−5

(a) contorno

05

1015

20

0

5

10

15

20−30

−20

−10

0

SubportadorasSubportadoras

Pot

enci

a de

inte

rfer

enci

a [d

B]

(b) superficie

Matriz interferencia con N = 16, K = 2, Nt = 2, ξ(1) = 0,2, ξ(2) = −0,3 y CAS intercalado.




Aproximacion de bandas circulante

Se propone una matriz de compensacion de banda circulante (CBC).

Se derivan algoritmos (LU, FS y BS) para invertir matrices de bandacirculante.

En ciertas condiciones CBC se reduce a BC.

Si BC no considera terminos importantes → Perdida de desempeno.

ττ

BC CBC

τ2

1

1

1

1

Estructuras de las matrices BC y CBC.




Compensacion de CFO en sistemas FBMC

Filtros con bajos lobulos → Baja MAI.

Los usuarios no se interfieren → Compensar solo auto-interferencia.

Se obtiene una compensacion para la implementacion PHYDYAS.




Complejidad de compensacion

Complejidad OFDM vs FBMC

La complejidad del transmisor OFDMA es un tercio la de FBMC.

Complejidad del receptor.

Esquema Demod. [%] comp. CFO [%] act. CFO [%] EQ. [%]

FBMC 25,4 21 4 1OFDMA 2 12,5 100 0,5




Efectos de la tasa de actualizacion del CFO

Caso 1 CFO invariante en el tiempo. No es necesaria laactualizacion.

Caso 2 CFO lentamente variante en el tiempo. Actualizado cadaNu sımbolos. (Nu = 100)

Caso 3 CFO altamente variante en el tiempo. Actualizado cadasımbolo.

0 10 20 30 40 50 600

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2x 105

FBMC caso 1

FBMC caso 2

FBMC caso 3

OFDMA caso 1

OFDMA caso 2

OFDMA caso 3

Complejidadcomputacional

Ancho de banda de compensacion [τ ]

Desempeno compensacion OFDMA / OFDMA vs. FBMC

0 10 20 30 40 50 600.9

1

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

1.6

1.7x 10−3

MSE

Portadoras

BCCBCFull

Compensacion OFDMA

0 5 10 15 20 25 3010

−5

10−4

10−3

10−2

10−1

100

BER

SNR [dB]

FBMCOFDMA τ 10OFDMA τ 40

OFDMA vs FBMC. Vehicular A

0 5 10 15 20 25 3010

−6

10−5

10−4

10−3

10−2

10−1

100

BER

SNR [dB]

FBMCOFDMA τ 10OFDMA τ 20OFDMA τ 40

FBMC-SCAS vs OFDMA-ICAS.

0 2 4 6 8 10 12 14 1610

−5

10−4

10−3

10−2

10−1

100

BER

SNR [dB]

FBMC Nu 1FBMC Nu 100FBMC Nu 500OFDMA Nu 1OFDMA Nu 100OFDMA Nu 500

Actualizacion CFO. Canal altamente variante.


Nuevos paradigmas en sistemas de comunicaciones

Sistemas de radio cognitiva

Tabla de contenidos

1 Motivacion







Sistemas de radio cognitiva

Detectores de cicloestacionaridad

Procedimiento:

Se calcula la funcion de autocorrelacion cıclica.

Se obtiene una funcion costo (∑

de | · |2).Se compara contra un umbral.

Inducida por CP

Solo deteccion

0

1

2

3

4 02

46

810

0

0.5

1

CAF lagsfrec (xπ)

CAFmag

nitud

Inducida por Pilotos

Deteccion y diferenciacion.Se propone estadıstica de H0.

...

...

frecuencia

tiem

po

subportadoras

datos

pilotos

Desempeno deteccion y diferenciacion

−16 −15 −14 −13 −12 −11 −10 −9 −8 −7 −6 −550

55

60

65

70

75

80

85

90

95

100P

roba

bilid

ad d

e de

tecc

ión

corr

ecta

SNR [dB]

Nb 0Nb 1Nb 2Nb 3Nb 4

Deteccion de senales usando CP - canal AWGN.

−16 −15 −14 −13 −12 −11 −10 −9 −8 −7 −6 −550

55

60

65

70

75

80

85

90

95

100

Prob.dedeteccioncorrecta

[%]

AWGNCan. est.Can. din.

Deteccion de senales usando CP - dif. canales.

−10 −8 −6 −4 −2 0 240

50

60

70

80

90

100

Prob.dedeteccioncorrecta

[%]

AWGNCan. est.Can. din.

Deteccion de senales usando Pil - dif. canales.

Sin conocimiento del canal.

Problemas de sincronizado.

CR en estado de desarrollo.



Sistemas hıbridos

Tabla de contenidos

1 Motivacion







Sistemas hıbridos

Ecualizacion DFE para SC

S/P

Detección

Algoritmo adaptativopara actualizar G y gff fb

x x

+

...

...

FFT

x

x

...

...

Fn x

+-

Entrenamiento

-

z−1 z−1

x(n)

x(n)

zn (�)

Y0(�)

YP−1(�)

Gffn,0(�)

Gffn,P−1(�)

gfbn,Q (�) gfbn,1(�)

Para el UL se utiliza una senal SC con extension cıclica.

La PN se alimenta en el filtro de realimentacion

FF funciona en frecuencia y FB en tiempo.

El algoritmo de adaptacion es RLS.



Sistemas hıbridos

Desempeno de DFE

0 50 100 150 200 250−20

−18

−16

−14

−12

−10

−8

−6

−4

−2

0

MSE[dB]

Numero de bloques

LMSRLS

Curvas de aprendizaje para LMS y RLS.

8 9 10 11 12 13 14 15 16 1710

−6

10−5

10−4

10−3

10−2

10−1

100

SNR [dB]

SER

LMSRLSAWGN

SER para adaptacion LMS y RLS.

Importante ganancia en la velocidad de convergencia.

La capacidad de seguimiento del canal no es buena.

Es necesario incluir mas informacion del canal.


Resumen y conclusiones

Contribuciones principales y complementarias

Tabla de contenidos

1 Motivacion








Estimacion y compensacion de CFO

Estimacion de CFO en OFDM.

Se propuso una nueva familia de estimadores (SBE y DCE).Utilizan toda la informacion y son mas robustos.

Estimacion de frecuencia (CFO) por filtrado notch.

Realizacion lattice fuera de lınea.Mejor desempeno y menor complejidad.


Compensacion basada en matrices por bandas circulantes.Exhaustiva comparacion entre OFDMA y FBMC.





Sistemas de radio cognitiva.

Tecnicas (cicloestacionarias) de deteccion y diferenciacion de senales.Simplificacion en la estadıstica de la diferenciacion

Sistemas Hıbridos.

Estudio de ecualizadores para senales SC-CE.Se propone una adaptacion RLS para un filtro DCE en bloques.




Muchas gracias por su atencion

¿Preguntas?


Algoritmo de MorelliSea una TS {x(n),−Ncp ≤ n ≤ N − 1} de perıodo M y largo N + Ncp , donde N = MJ. La senalrecibida sin CP, resulta

r(n) = ej2πξN

nq(n) + w(n), para n = 0, . . . ,N − 1, (1)

donde q(n) =∑L−1

k=0 h(k)x(n − k) (mismo perıodo) y ξ el CFO. Un perıodo de q(n) ess(p) = q(p) para 0 ≤ p ≤ M − 1. Definamos la funcion autocorrelacion

Γ(k) =1

N − kM

N−1∑n=kM

r(n)r∗(n − kM), 0 ≤ k ≤ A − 1. (2)

Reemplazando (1) en la Ec. (2), resulta:

Γ(k) = ej2πξk

J (D + E(k) + F (k)), 0 ≤ k ≤ A − 1 (3)

donde w(n) = ej2πξk

J w(n) (equivalente a w(n)) y

D =1

N − kM

N−1∑n=kM

|q(n)|2 =1

M

M−1∑n=0

|s(n)|2,

E(k) =1

N − kM

N−1∑n=kM

q(n)w∗(n − kM)q∗(n − kM)w(n),

F (k) =1

N − kM

N−1∑n=kM

w(n)w∗(n − kM), (4)


Es facil notar que la informacion de CFO esta dividida en A componentes de Γ(k). Definiendo

θ(k) = arg{Γ(k)} =2πξk

J+ arg{χ(k)}, 0 ≤ k ≤ J − 1, (5)

donde χ(k) = D + E(k) + F (k), se puede estimar el CFO (notando que el rango es |ξ| < J/(2k)).

Para evitar la reduccion de rango, Morelli basa su estimacion en la diferencia de fases de Γ(k):

θd(k) = [θ(k)− θ(k − 1)]2π =

[2πξ

J+ γ(k)

]2π

, 1 ≤ k ≤ A, (6)

donde γ(k) = arg{χ(k)} − arg{χ(k − 1)}, 1 ≤ A ≤ J − 1. Ahora el rango de la estimacion es|ξ| < J/2.

Finalmente, definiendo θd = [θd(1), · · · , θd(A)]T y suponiendo una alta SNR, el BLUE resulta:

ξM =J

2π

1TC−1θ θd

1TC−1θ 1

, (7)

donde Cθ es la matriz de covarianza de θd.En la derivacion de Cθ se desprecian los terminos de ruido de alto orden (F (k) definido en laEc. (4) ) → la matriz resulta singular para k > J/2 y el mejor desempeno se obtiene paraA = J/2.


Matriz de covarianza de la ACASea una TS {x(n),−Ncp ≤ n ≤ N − 1} de perıodo M y largo N + Ncp , donde N = MJ. La senalrecibida sin CP, resulta

r(n) = ej2πξN

nq(n) + w(n), para n = 0, . . . ,N − 1, (8)

donde q(n) =∑L−1

k=0 h(k)x(n − k) (mismo perıodo) y ξ el CFO. Un perıodo de q(n) ess(p) = q(p) para 0 ≤ p ≤ M − 1.La ACA se define como

Γc(p, k) =1

J − k

J−k−1∑n=0

r(nM + p)r∗((n + k)M + p). (9)

Reemplazando (8) en (9) se obtiene

Γc(p, k) =1

J − k

J−k−1∑u=0

ej2πξkM

N |s(p)|2 + ej2πξ(p+uM)

N s(p)w∗(p + (u + k)M)

+e−j2πξ(p+(u+k)M)

N s∗(p)w(p + uM) + w(p + uM)w∗(p + (u + k)M).(10)

Se considera el termino de ruido de alto orden. Como (10) es no Gaussiana → teorema de lımitecentral, resultando:

Γc(p, k) ≈ e−j 2πεkJ |s(p)|2 + wc(p, k) (11)


donde:

μc(p, k) = E{Γc(p, k)} = E

⎧⎨⎩

1

J − k

J−k−1∑u=0

r(uM + p)r∗((u + k)M + p)

⎫⎬⎭ = e

−j 2πετN |s(p)|2

y wc(p, k) es una variable aleatoria Gaussiana de media cero.La ACA no es circularmente simetrica → componentes real e imaginaria por separado.Comenzando para el caso de p fijo y 1 ≤ k ≤ J − 1, es util definir los siguientes vectores:

rk (p) = [r(R)Tk (p) r

(I)Tk (p)]

T, (12)

r(R)k (p) = [Re{Γc(p, 1)} . . .Re{Γc(p, J − 1)}]T,

r(I)k (p) = [Im{Γc(p, 1)} . . . Im{Γc(p, J − 1)}]T,

μk (p) = [μ(R)Tk (p) μ

(I)Tk (p)]T, (13)

μ(R)k (p) = [Re{μc(p, 1)} . . .Re{μc(p, J − 1)}]T,

μ(I)k (p) = [Im{μc(p, 1)} . . . Im{μc(p, J − 1)}]T.

Con J grande, rk (p) → N (μk (p),Ck (p)). La matriz Ck (p) se separa en cuatro submatrices, como:

Ck (p) = [ΣRR(p),ΣRI(p);ΣRI(p),ΣII(p)] (14)

Σij (p) = E{(r

(i)k (p) − μ

(i)k (p))(r

(j)k (p) − μ

(j)k (p))T

}(15)

para i , j ∈ {R, I}.

Las componentes [Σij (p)]k1,k2 de esas matrices son:

[ΣRR(p)]k1,k2=

1

(J − k1)(J − k2)

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

(J − k1)(σ2|s(p)|2 + σ4/2) si k1 = k2 y k1 < J/2

+(J − 2k1)σ2|s(p)|2 cos(4πξk1/J)

(J − k1)(σ2|s(p)|2 + σ4/2) si k1 = k2 y k1 ≥ J/2

mın(J − k1, J − k2)(σ2|s(p)|2 cos(2πξ(k2 − k1)/J) + σ4/2) si k1 �= k2 y k1 + k2 < J

+(J − k1 − k2)σ2|s(p)|2 cos(2πξ(k1 + k2)/J)

mın(J − k1, J − k2)(σ2|s(p)|2 cos(2πξ(k2 − k1)/J) + σ4/2) si k1 �= k2 y k1 + k2 ≥ J,

(16)

[ΣRI(p)]k1,k2=

1

(J − k1)(J − k2)

⎧⎪⎨⎪⎩

mın(J − k1, J − k2)σ2|s(p)|2 sin(2πξ(k1 − k2)/J) si k1 + k2 < J

−(J − k1 − k2)σ2|s(p)|2 sin(2πξ(k1 + k2)/J)

mın(J − k1, J − k2)σ2|s(p)|2 sin(2πξ(k1 − k2) si k1 + k2 ≥ J,

(17)

[ΣII(p)]k1,k2=

1

(J − k1)(J − k2)

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

(J − k1)(σ2|s(p)|2 + σ4/2) si k1 = k2 y k1 < J/2

−(J − 2k1)σ2|s(p)|2 cos(4πξk1/J)

(J − k1)(σ2|s(p)|2 + σ4/2) si k1 = k2 y k1 ≥ J/2,

mın(J − k1, J − k2)(σ2|s(p)|2 cos(2πξ(k2 − k1)/J) + σ4/2) si k1 �= k2 y k1 + k2 < J

−(J − k1 − k2)σ2|s(p)|2 cos(2πξ(k1 + k2)/J)

mın(J − k1, J − k2)(σ2|s(p)|2 cos(2πξ(k2 − k1)/J) + σ4/2) si k1 �= k2 y k1 + k2 ≥ J,

(18)

y ΣIR(p) = ΣRI(p)T.

Consideremos ahora el caso de k fijo y 0 ≤ p ≤ M. Los vectores resultan:

rp(k) = [r(R)Tp (k) r

(I)Tp (k)]

T, (19)

r(R)p (k) = [Re{Γc(0, k)} . . .Re{Γc(M − 1, k)}]T,

r(I)p (k) = [Im{Γc(0, k)} . . . Im{Γc(M − 1, k)}]T,

μp(k) = [μ(R)Tp (k) μ(I)T

p (k)]T, (20)

μ(R)p (k) = [Re{μc(0, k)} . . .Re{μc(M − 1, k)}]T,

μ(I)p (k) = [Im{μc(0, k)} . . . Im{μc(M − 1, k)}]T.


Suponiendo J grande rp(k) → N (μp(k),Cp(k)). La matriz de covarianza se divide en cuatrosubmatrices:

Cp(k) = [ΔRR(k),ΔRI(k);ΔRI(k),ΔII(k)] (21)

Δij (k) = E{(r(i)p (k) − μ(i)

p (k))(r(j)p (k) − μ(j)p (k))T

}(22)

Los terminos de la ACA no estan correlados para diferentes p → la matriz de covarianza Cp(k)pueden obtenerse como

[Δi,j (k)]p1,p2 =

{[Σi,j (p1)]k,k si p1 = p20 si p1 �= p2.

(23)


Matriz de covarianza para el estimador SBE

El procedimiento para obtener la matriz de covarianza de SBE (Ξd) es el siguiente:

1 Se obtiene la matriz de covarianza de la suma sobre p de los terminos de la ACA:

rs(k) =

M−1∑p=0

Γc(p, k) = e−j2πξk

J S + ws(k) (24)

donde S =∑M−1

p=0 |s(p)|2 y ws(k) =∑M−1

p=0 w(p, k).

2 Para alta SNR, ε(k) = arg{rs(k)} se aproxima por una transformacion lineal.

3 Usando la propiedad afin se encuentra la matriz de covarianza de Ξd.

La ACA no estan correlacionada para p diferentes → la matriz de covarianza de rs(k) (Sk ) resulta:

Sk = [ΩRR ΩRI;ΩIR ΩII], cuyos componentes son:

[Ωi,j ]k1,k2 =

M−1∑p=0

[Σi,j (p)]k1,k2 , (25)

donde [Σi,j (p)]k1,k2 con i , j ∈ {R, I}, viene del apendice anterior. ws(k) no es conjugadosimetrico.


Considerando un regimen alto de SNR, la fase rs (k) de puede obtenerse como

ε(k) = arg

{e

−j2πξkJ S + ws(k)

}=

−2πξk

J+ arg

⎧⎨⎩

Im{ws(k)ej2πξk

J }S + Re{ws(k)e

j2πξkJ }

⎫⎬⎭

≈ −2πξk

J+

Im{ws(k)ej2πξk

J }S + Re{ws(k)e

j2πξkJ }

≈ −2πξk

J+

Im{ws(k)ej2πξk

J }S

. (26)

La transformacion lineal mostrada en (26) puede escribirse en forma matricial como

Uk =1

S

[diag

[sin

(2πξ1

J

), . . . , sin

(2πξ(J − 1)

J

)]

diag

[cos

(2πξ1

J

), . . . , cos

(2πξ(J − 1)

J

)]](27)

Luego la matriz de covarianza para ε(k) tiene la siguiente forma

Ξk = UkSkUTk , (28)


con componentes dados por

[Ξ(p)]k1,k2=

σ2

S(J − k1)(J − k2)

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

(J − k1)(1 + Mσ2/(2S)) − (J − 2k1) si k1 = k2 y k1 < J/2

(J − k1)(1 + Mσ2/(2S)) si k1 = k2 y k1 ≥ J/2mın(J − k1, J − k2) − (J − k1 − k2) si k1 �= k2 y k1 + k2 < Jmın(J − k1, J − k2) si k1 = k2 y k1 + k2 ≥ J.

(29)

Es interesante notar que Ξk no depende de ξ.La transformacion lineal que permite obtener Ξd(k) puede describirse en forma matricial como

T =

⎡⎢⎢⎢⎣

1 0 · · · 0 0−1 1 · · · 0 0

.

.

....

. . ....

.

.

.0 0 · · · −1 1

⎤⎥⎥⎥⎦ . (30)

Ahora es posible obtener la matriz covarianza de εd(k) como

Ξd = TΞkTT. (31)


Sesgo en estimadores basados en la funcionautocorrelacion para baja SNR

La expresion general de la fase esta dada por

β(k) = arg

{e−j2πξk

J E(k) + V(k)

}=

−2πξk

J+ arg

⎧⎨⎩

Im{V(k)ej2πξk

J }E(k) + Re{V(k)e

j2πξkJ }

⎫⎬⎭(32)

donde E(k) es termino de energıa y V(k) es el termino de ruido. Para alta SNR → despreciar eltermino V(k).Alternativamente, a continuacion se estudia la fase de (32) considerando que

1 la SNR → 0, es decir, V(k) es dominante sobre el de senal E(k),

2 J es suficientemente grande como para considerar que V(k) es aproximadamente Gaussiano.

El bosquejo de la demostracion es el siguiente:

1 El argumento del arcotangente en (32) tiene distribucion Cauchy.

2 El arcotangente de la distribucion Cauchy (wβ (k)) tiene media distinta de cero.

3 La estimacion final de CFO es sesgada.

Entonces, (32) puede escribirse como

β(k) ≈ −2πξk

J+ arg

{w1(k)

w2(k)

}. (33)


Para el caso del estimador SBE ( y el algoritmo de Morelli), las expresiones de w1(k) y w2(k) son

w1(k) = Re{ws(k)} sin

(2πξk

J

)+ Im{ws(k)} cos

(2πξk

J

), (34)

w2(k) = Re{ws(k)} cos

(2πξk

J

)− Im{ws(k)} sin

(2πξk

J

). (35)

donde ws(k) =∑M−1

p=0 w(p, k). Si σ1(k) y σ2(k) son respectivamente la desviacion estandar de

w1(k) y w2(k), y ρ(k) = E{w1(k)w2(k)}/(σ1(k)σ2(k)) es la correlacion normalizada, la variablealeatoria w1(k)/w2(k) → C(μc(k), γc(k)), donde C es la distribucion de Cauchy de mediana

μc(k) = ρ(k)σ1(k)/σ2(k) y parametro de escala γc(k) = σ1(k)√

1 − ρ(k)2/σ2(k).

La pdf de wβ(k) = arg{

w1(k)

w2(k)

}es

fw (x) =sec(x)2

πγc((tan(x) − μc)2/γ2c + 1)

. (36)

La media de wβ (k) es distinta de cero si μc(k) es distinta de cero → w1(k) y w2(k) estancorreladas. La expresion de ρ(k) es

ρ(k) =1

σ1(k)σ2(k)

[1

2sin

(4πξk

J

)([ΩRR]k,k − [ΩII]k,k ) + cos

(4πξk

J

)[ΩRI]k,k

](37)

donde [Ωi,j ]k1,k2 esta definido en (25). ρ(k) es cero si y solo si ξ es cero → β(k) es sesgada parabajo regimen de SNR.Gracias a la similaridad entre las formulaciones de las fases la misma conclusion es valida paratodos los algoritmos basados en la fase de la funcion autocorrelacion.


Estimacion de frecuencia utilizando filtrado notchLa senal de entrada al estimador se define como:

r(n) = A sin(ω0n + φ) + w(n), para 0 ≤ n ≤ N − 1, (38)

donde w(n) es WGN de varianza σ2.El filtro notch se basa en la realizacion lattice normalizada:

HL(z−1) =

(s2 + 1)

2

1 + 2s1z−1 + z−2

1 + s1(1 + s2)z−1 + s2z−2(39)

donde s1 = sin θ1 y s2 = sin θ2, ω = θ1 + π/2 y s2 = (1− tan(B/2))/(1 + tan(B/2)), con B es elancho de banda de 3dB.La senal de entrada pre-filtrada con el denominador fijo del filtro notch es: g(n) = Di (z

−1)r(n),donde

Di (z−1

) =1

1 + s1(i)(1 + s2)z−1 + s2z−2, (40)

y s1(i) es el parametro del filtro en la iteracion i .La estimacion en forma cerrada se obtiene minimizando:

PN (s1(i + 1)) =1

N − 2

N−1∑n=2

e2(n, s1(i + 1)) (41)

donde e(n, s1(i +1)) = g(n)+2s1(i +1)g(n− 1)+ g(n− 2). Para minimizar (41), se debe resolver

N−1∑n=2

(g(n) + 2s1(i + 1)g(n − 1) + g(n − 2)) g(n − 1) = 0


Lo que resulta en el estimador del parametro en forma cerrada:

s1(i + 1) =−∑N−1

n=2 g(n)g(n − 1) − g(n − 1)g(n − 2)

2∑N−1

n=2 g2(n − 1)(42)

Si N es suficientemente grande∑N−1n=2 g(n)g(n − 1) ≈ ∑N−1

n=2 g(n − 1)g(n − 2) ≈ ∑N−2n=1 g(n)g(n − 1)∑N−1

n=2 g2(n − 1) ≈ ∑N−2n=1 g2(n)

entonces (42) puede aproximarse por

s1(i + 1) =−∑N−2

n=1 g(n)g(n − 1)∑N−2n=1 g2(n)

(43)

La formula de adaptacion en forma cerrada obtenida en la Ec. (42) se la denomina estimacionbasada en lattice (LBE), mientras que la obtenida en la Ec. (43) estimacion aproximada basada enlattice (ALBE).


Analisis de convergencia para estimacion notch

Se muestra que para N → ∞, el MSE de s1(i + 1) < s1(i). La demostracion se basa en el ALBE.

Si N → ∞,∑N−2

n=1 g(n)g(n − 1) ≈ rg , con rg = rgs + rgw .

rgs =A2|Di (e

jω0 )|22

cos(ω0), (44)

rgw = −s1(i + 1)σ2gw y (45)

σ2gw =

σ

(1 − s22 )(1 − s21 (i))(46)

Para N grande,∑N−1

n=1 g2(n) ≈ εg , es decir que la energıa g(n). Luego

εg =A2|Di (e

jω0 )|22

+ σ2gw . (47)

Reemplazando las Ecs.(44), (45) y (47) en (43), se obtiene:

s1(i + 1) = f (s1(i)) =− A2|Di (e

jω0 )|22 cos(ω0) + s1(i)σ

2gw

A2|Di (ejω0 )|2

2 + σ2gw

(48)


Para obtener el MSE de s1(i + 1) como una funcion de s1(i), se considera una aproximacion deprimer orden de f (s1(i)) alrededor de s1(i) = so1 = − cos(ω0) (sintonizacion perfecta). Entonces

s1(i + 1) = f (so1 ) +∂f (s1(i))

∂ s1(i)

⌋s1(i)=so

1

(s1(i) − so1 ) + · · · (49)

donde f (so1 ) = so1 ,∂f (s1(i))

∂ s1(i)

⌋s1(i)=so

1

= f ′(so1 ) =1

(4SNR/(1− s22 ) + 1)(50)

y SNR =A2/2

σ2 . Luego, el MSE aproximado de s1(i + 1) dado s1(i) es

MSE(s1(i + 1)) = E{(

s1(i+ 1) − so1)2 |s1(i)

}

≈ E

{(f′(s1(0))

2(s1(i) − s

o1))2

}

= f ′(so1 )2MSE(s1(i)) (51)

Si f ′(so1 )2 < 1 el algoritmo converge. Entonces:

f ′(so1 )2 < 1 ⇒ 1 < 4

SNR

1 − s22+ 1 ⇒ 0 < SNR. (52)

Como f ′(so1 )2 < 1 ∀ s2 y SNR, la convergencia del algoritmo esta probada.

Como corolario, el MSE de s1(i) puede encontrarse resolviendo recursivamente la Ec. (51). Luego

MSE(s1(i)) = f ′(so1 )2iMSE0 (53)

donde MSE0 es la condicion inicial definida como MSE0 = (s1(0) − so1 )2.

Aspectos de sincronización en frecuencia para sistemas de...

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