ASIGNATURA FISICA II AÑO 2012 GUIA NRO. 12 INDUCCIÓN ELECTROMAGNÉTICA – INDUCTANCIA - OSCILACIONES ELECTRICAS Bibliografía Obligatoria (mínima) Capítulos 31 y 32 Física de Serway – Tomo II Apunte de cátedra: capítulos XII y XIII PREGUNTAS SOBRE LA TEORIA Las “preguntas sobre la teoría” pretenden desarrollar en el alumno la habilidad de expresar con sus propias palabras los conceptos fundamentales de la Guía. Es necesario tratar de responderlas para poder abordar la resolución de los “problemas” y contestar las “cuestiones”. INDUCCIÓN ELECTROMAGNÉTICA 1- Indicar qué ocurre en una espira conductora cerrada si varía el FLUJO DE CAMPO MAGNÉTICO que la atraviesa. 2- Exprese la LEY DE FARADAY de la INDUCCIÓN ELECTROMAGNÉTICA, explíquela conceptualmente. ¿Cuáles son las unidades de cada uno de los componentes de esta expresión? 3- La inducción electromagnética implica la presencia de un campo eléctrico no conservativo. ¿Qué significa esto? 4- En base a lo anterior describa el funcionamiento de un generador eléctrico. 5- ¿Qué sucede si la corriente de un SOLENOIDE varía en el tiempo? 6- ¿A qué se denomina AUTOINDUCCIÓN ELECTROMAGNÉTICA? 7- Indique la expresión matemática para la FEM AUTOINDUCIDA y las unidades de todos sus componentes. 8- Deduzca el COEFICIENTE DE AUTOINDUCCIÓN de un solenoide. 9- ¿Qué es una INDUCTANCIA? ¿Qué efectos produce en un circuito eléctrico? 10- Describa el fenómeno de INDUCCIÓN MUTUA. 11- Deduzca y explique las expresiones matemáticas de la INDUCTANCIA EQUIVALENTE correspondientes a las asociaciones de: a) inductancias en serie

b) inductancias en paralelo 12- ¿En qué condiciones se producen las CORRIENTES PARÁSITAS? ¿En qué casos resulta indeseable? ¿Qué aplicaciones tiene? INDUCTANCIA Y OSCILACIONES ELÉCTRICAS 13- ¿Qué es un circuito RL? 14- ¿Cuáles son las expresiones matemáticas que rigen la evolución de la corriente eléctrica en el tiempo durante los “transitorios” de un circuito RL? 15- ¿Qué significado tiene su CONSTANTE DE TIEMPO? 16- ¿Cómo podemos calcular la ENERGÍA ALMACENADA en un INDUCTOR? 17- ¿Y en un campo magnético en general, cuál es la DENSIDAD DE ENERGÍA presente? 18- ¿A qué se denomina circuito LC? 19- Para las oscilaciones eléctricas que se producen en un circuito LC deduzca las expresiones matemáticas de: a) la evolución en el tiempo la energía acumulada en el inductor y en el capacitor b) la variación función del tiempo de la carga en el capacitor y la corriente en el circuito c) la frecuencia angular de oscilación. 20- Plantee las semejanzas entre las oscilaciones eléctricas y las oscilaciones mecánicas. 21- ¿En qué consiste el denominado circuito RLC? 22- Para las oscilaciones eléctricas que se producen en un circuito RLC deduzca las expresiones matemáticas de: a) la evolución en el tiempo la energía acumulada en el inductor y en el capacitor b) la variación función del tiempo de la carga en el capacitor y la corriente en el circuito c) la frecuencia angular de oscilación. 23- Describa el funcionamiento de un TRANSFORMADOR ELECTRICO. 24- Unidades de: flujo magnético, coeficiente de autoinducción, constante de tiempo. PROBLEMAS Resolver los “problemas” implica la aplicación de conceptos o leyes que forman parte de la Guía a situaciones concretas.

1- La espira conductora de la figura se encuentra sumergida en un campo magnético uniforme saliente del plano de la hoja. ¿Cuál es el sentido de la corriente inducida si: a) la espira gira 90º sobre un eje vertical imaginario. b) la espira es aplastada cambiando su forma hasta la correspondiente a la línea de trazo. 2- Una bobina rectangular de 50 vueltas, de 5 cm por 10 cm, gira desde una posición donde el flujo magnético Φ = 0 hasta una posición donde el B está dirigido perpendicularmente al plano de la bobina. Calcule la fem media resultante en la bobina si el desplazamiento ocurre en 0,25 s y el módulo del B uniforme es de 0,5 T. 3- En la figura se muestra un marco conductor fijo con forma de “C”. Una barra también conductora puede moverse rozando el marco. Todo se encuentra sumergido en un campo magnético uniforme entrante al plano del papel. Si se tira de la barra hacia la derecha con una fuerza F, describa ¿qué fenómeno se produce? Ahora suponga que la resistencia es de 6 Ω, l = 1,2 m y que el campo magnético uniforme de 2,5 T está dirigido entrante al plano de la hoja. ¿Con qué velocidad debería moverse la barra para producir una corriente de 0,5 A en la resistencia? 4- La corriente de un solenoide en el vacío se incrementa a razón de 10 A/s. El área de la sección transversal del solenoide es de 10 cm2 y tiene 300 vueltas en sus 15 cm de longitud. ¿Cuál es la fem autoinducida que actúa en oposición al incremento de la corriente? 5- Una bobina cuadrada de 20 cm por 20 cm que consta de 100 vueltas de conductor gira alrededor de un eje vertical a 1500 rpm, como se indica en la figura. La componente horizontal del campo magnético terrestre en la región donde se coloca la espira es de 2 x 10-4 T. Calcular la máxima fem inducida en la bobina por el campo magnético terrestre.

6- La semiespira de la figura, de radio “a”, se encuentra en presencia de un campo magnético uniforme entrante al plano de la hoja y gira con velocidad angular constante tal como se muestra en la figura. Hallar la fem inducida en la misma. 7- Calcule la inductancia en un circuito RL en el cual R = 0,5 Ω y la corriente se incrementa a un cuarto de su valor final en 0,5 s. 8- Un inductor de 140 mH y una resistencia de 4,9 Ω se conectan con un interruptor a una batería de 6 V como se muestra en la figura. a) Si el interruptor se cierra entre A y B ¿cuánto tiempo pasa antes de que la corriente alcance los 220 mA? b) ¿Cuál es la corriente que circula por el inductor 10 s después de que el interruptor se cierra? c) Después de que el interruptor ha estado cerrado entre A y B un tiempo suficientemente largo para que la corriente alcance su valor máximo se abre y se cierra rápidamente entre A y C c1) ¿cuánto tiempo debe pasar antes de que la corriente caiga a 160 mA? c2) ¿en cuánto tiempo alcanzará la corriente el 25 % de su valor máximo? 9- Si se le solicita construir una inductancia de 1 H ¿qué criterios aplicaría y cuáles serían sus especificaciones? 10- Un circuito LC tiene una inductancia de 2,81 mH y una capacitancia de 9 pF en paralelo según se indica en la figura. El capacitor se carga inicialmente con una batería de 12 V cuando el interruptor S1 está abierto y el interruptor S2 cerrado. En el instante en que se abre S2 el interruptor S1 se cierra de manera que el capacitor queda conectado con el inductor. a) encuentre la frecuencia de oscilación.

¿cuáles son los valores máximos de la carga en el capacitor y de la corriente en el circuito? Calcule las siguientes cantidades en el instante t = 2,0 ms. a) la energía almacenada en al capacitor b) la energía almacenada en el inductor c) la energía total en el circuito 11- Una inductancia constante de L = 1,05 µH se conecta en serie con un capacitor variable en la sección de sintonía de una radio ¿qué capacidad sintonizará en la señal de una emisora que transmite con una frecuencia de 96,3 MHz? 12- Considere el circuito de la figura. Sea R = 7,6 Ω, L = 2,2 mH y C = 1,8 µF. a) calcule la frecuencia de la oscilación amortiguada del circuito b) ¿cuál es el valor de la resistencia crítica del circuito CUESTIONES Contestar las “cuestiones” implica la aplicación de conceptos o leyes que forman parte de la Guía a situaciones concretas. 1- Si se deja caer un imán dentro de un largo tubo de cobre ¿producirá corriente en el

tubo?

2- Se tiene una espira moviéndose respecto de un hilo conductor rectilíneo con corriente tal como se indica en la figura. ¿Qué sentido tendrá la corriente inducida en la espira?

4- Utilice la Ley de Lenz para dar respuesta a las siguientes preguntas relativas a la dirección de las corrientes inducidas: a) ¿Cuál es la dirección de la corriente inducida en la resistencia R de la figura “a” cuando el imán de la barra se mueve hacia la izquierda? b) ¿Cuál es la dirección de la corriente inducida en la resistencia R de la figura “b” en el instante que se cierra el interruptor S? c) ¿Cuál es la dirección de la corriente inducida en la resistencia R de la figura “c” cuando la corriente I disminuye rápidamente hasta cero? d) Una barra de cobre se mueve hacia la derecha mientras su eje se mantiene perpendicular al campo magnético, como se muestra en la figura “d”. Si el extremo superior de la barra es positivo en relación con el extremo inferior ¿cuál es la dirección del campo magnético? a) b) c) d)

5- Una placa de aluminio colocada entre los polos de un imán con forma de herradura se usa en algunas balanzas para disminuir la oscilación de la misma en el equilibrio ¿qué fenómeno ocurre que explique ésto? 6- Un resorte soporta un cierto peso. Se hace pasar una corriente constante por las espirales del resorte, transformando así en bobina. ¿En qué sentido son afectados :

a) la posición de equilibrio b) el período de sus pequeñas oscilaciones alrededor del punto de equilibrio.

7- Explique por que la ley de Lenz es una consecuencia directa del principio de conservación de la energía. 8- Un circuito que consta de una bobina, una resistencia y una batería se encuentra en estado estacionario, esto es, la corriente ha alcanzado un valor constante. ¿Tiene la bobina una inductancia? ¿Afecta la bobina el valor de la corriente del circuito? 9- ¿Depende la inductancia de la bobina de la corriente que circula por ella? ¿De qué parámetros depende la inductancia de la bobina? 10 Suponga que el interruptor del circuito RL de la figura ha sido cerrado por un lapso prolongado de tiempo y de repente se abre ¿cae instantáneamente la corriente a cero? ¿por qué aparece una chispa en el contacto del interruptor cuando éste se abre? 11- Si la corriente en un inductor se duplica ¿en qué factor se ve incrementada la energía almacenada? 12- Discuta la similitud que existe entre la energía almacenada en el campo eléctrico de un capacitor cargado y la energía almacenada en el campo magnético de una bobina por la cual circula una corriente.

13- En un circuito LC, cuando el mismo se encuentra oscilando, la carga en el capacitor algunas veces es cero, aún cuando exista una corriente en el circuito ¿cómo es posible ésto? APLICACIONES TECNOLOGICAS Generador eléctrico Transformador eléctrico Ensayo no destructivo: corrientes parásitas OBJETIVOS ESPECIFICOS DE LA UNIDAD TEMATICA N° 12 (GUIA NRO.12) Al finalizar esta unidad el alumno podrá: Describir el fenómeno de la inducción electromagnética en general y en ese marco explicar los fenómenos de autoinducción e inducción mutua en particular. Explicar la ley de Faraday-Lenz. Enunciar y explicar los conceptos de campo eléctrico no conservativo, fuerza electromotriz inducida y corriente eléctrica inducida. Aplicar los conocimientos sobre indución electromagnética para explicar el funcionamiento de generadores y transformadores eléctricos. Comprender y explicar que la autoinducción es un fenómeno intrínseco de los circuitos eléctricos mediante el análisis de transitorios en un circuito RL. Describir los elementos denominados inductores, sus especificaciones y características y demostrar que el valor de inductancia depende de sus parámetros geométricos. Deducir la energía asociada a una inductancia en función de parámetros macroscópicos, reconociendo a dicha energía como ubicada en el campo magnético de la misma. Deducir las expresiones matemáticas de la variación en el tiempo de la corriente eléctrica en un circuito RL. Describir el fenómeno de las oscilaciones eléctricas distinguiendo las amortiguadas de las que no lo son. Describir las equivalencias existentes entre un circuito oscilante LC y un oscilador mecánico ideal. Describir el concepto de frecuencia de resonancia de un circuito LC. Describir las equivalencias existentes entre un circuito oscilante RLC y un oscilador mecánico real.

Deducir las expresiones matemáticas de la variación en el tiempo de la corriente eléctrica y la carga en el capacitor para un circuito oscilante RLC. Distinguir entre circuitos RLC sobre o subamortiguados y de amortiguamiento crítico. Explicar la evolución de la energía en el inductor y en el capacitor durante la oscilación de un circuito LC, y durante la oscilación de un circuito RLC. Aplicar estos conocimientos para resolver situaciones problemáticas similares a las de la Guía.

APÉNDICE MATEMÁTICO –PRÁCTICA XII – FÍSICA II

Ecuaciones diferenciales de primer y segundo orden, a coeficientes

constantes.

Razón de cambio

La medición de razones y proporciones tiene gran aplicación en varias áreas de la

ingeniería, es necesario saber tal magnitud para dar una aproximación a problemas de la

vida real. Es posible realizar calcular diferencias para cualquier arreglo de datos. En

probabilidad y estadística se obtiene razón de interés compuesto, en física el trabajo que se

requiere en determinada condición de tiempo y espacio, crecimientos poblacionales,

circuitos eléctricos, temperatura etc. Es prudente hacer la observación los eventos

anteriores están en función del tiempo "t"

La representación de estos cambios se denota usando el símbolo de incremento por lo

tanto la razón de cambio "x" en el tiempo "t" se puede representa por

=

El numero de habitantes se duplica cada 5 anos, encontrar la razón de cambio y represente

los resultados gráficamente (ver imagen 1.1) para ilustración

,

La fuerza para mover un objeto es directamente proporcional a su aceleración encontrar la

razón de cambio

Las anteriores razones de cambio suponen un incremento o decremento constante, la

representación grafica de tales funciones es una función de la forma y = m x + b

Para obtener una mejor aproximación es necesario usar diferenciales, una razón de cambio

infinitesimal se puede obtener limitando los incremento a cero "0"

Ecuaciones diferenciales ordinarias

Para obtener una mejor aproximación es necesario usar diferenciales, una razón de cambio

infinitesimal se puede obtener limitando los incremento a cero "0"

Una ecuación diferencial es una ecuación que contiene derivadas o diferenciales (razones

de cambio infinitesimales),

Encontramos integrando

Esta es una ecuación diferencial ordinaria de primer orden, la característica que tiene viene

dada por poder despejar la razón de cambio e integrar con facilidad, otro ejemplo de

ecuaciones diferenciales son:

Esta es una ecuación diferencial de segundo orden, así llamado por el orden de la derivada.

El orden de una ecuación diferencial es el mismo que el de la derivada de mayor orden que

en ella aparece

Soluciones de una ecuación diferencial. Constantes de integración

Una solución o integral de una ecuación diferencial es una relación entre las variables, que

define a una de ellas como función de la otra, que satisface a la ecuación así.

Es una solución general de la ecuación diferencial

Ejemplo 2

En el problema anterior "a" es una constante arbitraria de la misma manera se puede

representar como c1 y c2 respectivamente dan una solución más general al problema a esta

constante arbitraria se la conoce como constante de integración

Ejemplo 3

Del problema anterior hallar una solución cuando y=2 dy/dx=-1 x=0

La solución general de la función es

para y=2 e dy/dx=-1 cuando x=0 aplicando relación entre variables

Sustituyendo los valores encontrados de c1 y c2 en la solución general encontramos nuestro

resultado

Una ecuación diferencial se considera resuelta cuando se ha reducido a una expresión en

términos de integrales, pueda o no efectuarse la integración.

Verificación de las soluciones de ecuaciones diferenciales

Antes de emprender el problema de resolver ecuaciones diferenciales, Mostraremos como

se verifica una solución dada. En los tratados sobre ecuaciones diferenciales se demuestra

que la solución general de una ecuación diferencial de orden "n", tiene "n" constantes

arbitrarias,

Demostrar que

Es una solución de la ecuación diferencial

Sustituyendo los valores en la ecuación diferencial original encontramos que la relación de

variables satisface la ecuación,

Demostrar que

Es una solución particular de la ecuación diferencial

Sustituyendo el valor y’ en la ecuación diferencial y reduciendo obtenemos

Ecuaciones diferenciales de primer orden

Las ecuaciones diferenciales de primer orden pueden dividirse en 2 grupos:

Grupo 1) Ecuaciones diferenciales de variables separables.

Una ecuación de primer orden puede reducirse a la forma

Siendo M y N funciones de X e Y

Grupo 1) Solución problemas implican Ecuaciones con variables separables.

1. cambios de masa

2. cambios temperatura

3. cambio población en el tiempo

los anteriores ejemplos son posible solución que se puede encontrar por medio de

ecuaciones de variables separables , para tal observación se be encontrar el incremento y la

razón de cambio

La observación de los problemas afirma que y es directamente proporcional a x esto se

representa por

Para encontrar la solución crear un igualdad necesitamos la razón de cambio representada

por "k"

La solución de este tipo ecuaciones diferenciales se observa en el ejemplo anterior

Una masa "mo" decae a una masa "mf" en un tiempo "t" encontrar la ecuación diferencial

que represente tal afirmación

la solución anterior se obtiene con la condición t=0 c=0

Grupo 2) Ecuaciones diferenciales homogéneas

Una ecuación lineal homogénea tiene la forma

donde "P" y "Q" son funciones de "X"

La solución de estas ecuaciones se obtiene haciendo

Z y U son funciones de x que deben determinarse por lo tanto

Determinamos "u" integrando la ecuación

Resolviendo la ecuación anterior obtenemos que

Integrando y sustituyendo en los valores anteriores obtenemos

Grupo 2) Solución problemas implican Ecuaciones diferenciales Homogéneas

1. Desleimiento continuo de una solución

2. Cinemática , oposición al movimiento

3. Circuitos eléctricos simples en serie

Un tanque contiene una solución con una densidad de "s" si se la vacía la misma solución

con una densidad "s1" encontrar la ecuación diferencial que defina el comportamiento del

problema

Supuesto que en la mezcla de volumen total "v" la cantidad de solución "s" en cualquier

volumen está dada por

supongamos que un volumen " " se vacía en el tanque. La cantidad de solución "s" está

dada por:

Podemos encontrar la razón de cambio

Por lo tanto –

En un circuito dado "E" y de intensidad "I" (amperios) el voltaje "E" se consume en vencer

la 1.residencia en R (ohmios) del circuito

2. la inductancia

Ecuación 1 : la siguiente ecuación emplearse en el caso de un circuito en serie combinación

resistencia e inductancia

Ecuación 2 : la siguiente ecuación representa un circuito acumulador y resistencia

Las anteriores formulas son en fundamento la ley conservación de la carga y energía (ley de

kirchoff)

La intensidad o corriente se define como el cambio de carga en el tiempo

La energía electromotriz representado con la letra "E" o "V" voltaje es directamente

proporcional a la corriente y resistencia del medio "R"

La capacitancia "C" (faradios) en un acumulador es directamente proporcional al voltaje

"E" e inversamente proporcional a la carga "Q"

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Circuito en serie combinación resistencia "R" y un acumulador "C"

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Circuito en seria combinación resistencia "R", acumulador "C" y transformador "L"

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Circuito en serie, combinación resistencia "R" y transformador "L"

El movimiento de un proyectil puede ser afectado en gran proporción por la fricción (aire)

Es posible usar la segunda ley de newton para dar una representación del problema

Usando la solución general ecuaciones homogéneas con "t"=0 y "v"=0

Dos tipos especiales de ecuaciones diferenciales de orden superior

Este tipo de ecuaciones diferenciales tiene la forma

En donde "X" es una función de "x" únicamente, o una constante para integrar

El proceso anterior se repite (n-1) veces, de esta manera se obtendrá la solución general,

que contendrá "n" constantes arbitrarias

Ejemplo –

Las siguientes ecuaciones tiene la forma

Donde "Y" es una función de "y" únicamente

Lo anterior es válido por

El segundo miembro es una función de y. Extrayendo la raíz cuadrada, las variables "x" e

"y" quedan separadas. Y podemos integrar otra vez

Ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden con coeficientes

constantes

Las ecuaciones tiene la forma

La solución de estas ecuaciones se obtiene al usar la sustitución

Por lo tanto derivando la sustitución obtenemos

Sustituyendo en la forma general obtenemos que

Donde y= es una solución de la ecuación y "r" son las raíces de la función y distintas

Cuando la raíz de la función es imaginaría y toma la forma la solución será:

Cuando las raíces de la función son iguales r1=r2 la solución del problema será

Resolver la ecuación con la condición s=4 t=0

Usando la sustitución y resolviendo para "r"

Sustituimos las condiciones iniciales en la solución

Encontrar la solución de la ecuación

Usando la sustitución encontramos

Resolviendo para "r" encontramos

Por lo tanto la solución general es:

Oscilador Armónico simple

Imagínese una masa "m" en una superficie sin fricción colgando de un resorte la

observación del movimiento nos da la suposición que al aumenta la fuerza "F" de igual

manera aumentara la longitud del resorte "X" lo anterior puede representarse como:

La fuerza es directamente proporcional a la longitud, para crear una igualdad podemos

calcular la razón de cambio

Sustituyendo en la ecuación inicial obtenemos que

Lo anterior de define como la ley de hooke aplicada a un resorte, es pertinente notar que la

ley de hooke solo es valida cuando el objeto puede recuperar su forma original. la razón de

cambio nos indica que la función de fuerza en razón de la distancia F(x) tiene la forma

y =m x + b una línea recta.

De lo anterior podemos definir una ecuación diferencial que resuelva la oscilación de un

resorte

La segunda ley de newton, la sumatoria de las fuerzas es igual a la masa por aceleración por

lo tanto

Aplicando la solución de las ecuaciones de segundo orden con coeficiente constantes

encontramos:

Cuando las condiciones de la formula anterior es t=0 , v=0 y x= Amplitud del resorte "Y"

Siendo A = amplitud del resorte posición alargamiento después de equilibrio y B=0

Es posible también escribir la solución de un problema de la forma anterior sin tener las

condiciones t=0 v=0 usando un Angulo de fase

=

La amplitud "X" puede definirse como

El Angulo de fase debe ser en radianes