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S. 1.3 Fundamentos Matemáticos Realidad Aumentada Curso Presencial – Consorcio Identic Julio 2011 Carlos González Morcillo [email protected] Http://www.esi.uclm.es/www/cglez Profesor Titular de Universidad Escuela Superior de Informática Universidad de Castilla-La Mancha consorcio www.identic.es [Trp 2] Contenidos 1. Transformaciones Geométricas 2. Representación Matricial 3. Transformaciones Afines 4. Composición 5. Visualización 3D 5.1. Pipeline de Visualización 5.2. Proyección en Perspectiva Realidad Aumentada Transform. Matrices T. Afines Composición Visualización Carlos González Morcillo ([email protected]) consorcio www.identic.es Carlos González Morcillo ([email protected]) [Trp 3] Realidad Aumentada Trans. Geométricas consorcio www.identic.es Transform. Matrices T. Afines Composición Visualización ● Necesarias herramientas para transformar primitivas. ● ¡Habitualmente polígonos! Transf. Geométrica Vértices + Aristas Vértices + Aristas Carlos González Morcillo ([email protected]) [Trp 6] Realidad Aumentada Ejemplo: Traslación consorcio www.identic.es Transform. Matrices T. Afines Composición Visualización Ejemplo de aplicación sobre todos los vérti- ces del modelo 3D Carlos González Morcillo ([email protected]) [Trp 10] Realidad Aumentada Ejemplo: Rotación consorcio www.identic.es Transform. Matrices T. Afines Composición Visualización
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S.1.3Fundamentos
Matemáticos
Realidad AumentadaCurso Presencial – Consorcio IdenticJulio 2011
Carlos González [email protected]://www.esi.uclm.es/www/cglezProfesor Titular de UniversidadEscuela Superior de InformáticaUniversidad de Castilla-La Mancha
consorciowww.identic.es
[Trp 2]
Contenidos1. Transformaciones Geométricas2. Representación Matricial3. Transformaciones Afines4. Composición5. Visualización 3D 5.1. Pipeline de Visualización
5.2. Proyección en Perspectiva
Realidad Aumentada Transform. Matrices T. Afines Composición Visualización
Carlos González Morcillo ([email protected])
consorciowww.identic.es
Carlos González Morcillo ([email protected]) [Trp 3]
Realidad Aumentada
Trans. Geométricasconsorciowww.identic.es
Transform. Matrices T. Afines Composición Visualización
● Necesarias herramientas para transformar primitivas.
● ¡Habitualmente polígonos!
Transf.Geométrica
Vértices+
Aristas
Vértices+
Aristas
Carlos González Morcillo ([email protected]) [Trp 6]
Realidad Aumentada
Ejemplo: Traslaciónconsorciowww.identic.es
Transform. Matrices T. Afines Composición Visualización
Ejemplo de aplicación sobre todos los vérti-ces del modelo 3D
Carlos González Morcillo ([email protected]) [Trp 10]
Realidad Aumentada
Ejemplo: Rotaciónconsorciowww.identic.es
Transform. Matrices T. Afines Composición Visualización
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Carlos González Morcillo ([email protected]) [Trp 12]
Realidad Aumentada
Ejemplo: Escalaconsorciowww.identic.es
Transform. Matrices T. Afines Composición Visualización
Necesario mecanismo unificado para aplicar transformaciones!
aa
Carlos González Morcillo ([email protected]) [Trp 15]
Realidad Aumentada
Repres. Homogéneaconsorciowww.identic.es
Transform. Matrices T. Afines Composición Visualización
Representación Homogénea: Añade parámetro adicional h
P (x,y) → Ph (x,y,h) De forma que P(x,y) = P(xh/h, yh/h) siendo h ≠ 0
Permite realizar transformaciones sólo mediante multiplicaciones (matricialmente)
Carlos González Morcillo ([email protected]) [Trp 16]
Realidad Aumentada
Repres. Homogéneaconsorciowww.identic.es
Transform. Matrices T. Afines Composición Visualización
Ejemplo en traslación:
MismoResultado!
Carlos González Morcillo ([email protected]) [Trp 18]
Realidad Aumentada
Repres. Homogéneaconsorciowww.identic.es
Transform. Matrices T. Afines Composición Visualización
Rotación 2D Escalado 2D
¿Cómo definir las transformaciones inversas, en Rotación, Traslación y
Escalado? ¿Y de forma general?
Carlos González Morcillo ([email protected]) [Trp 19]
Realidad Aumentada
Transform. Afinesconsorciowww.identic.es
Transform. Matrices T. Afines Composición Visualización
Rotación X Rotación Y Rotación Z
Traslación Escalado
Expresadas en el Sistema de Referencia
Universal.
aa
Carlos González Morcillo ([email protected]) [Trp 20]
Realidad Aumentada
Composiciónconsorciowww.identic.es
Transform. Matrices T. Afines Composición Visualización
Multiplicación de Matrices es asociativa pero no conmutativa!
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
Rz(π/4) Sx(2)
Sx(2) Rz(π/4)
Carlos González Morcillo ([email protected]) [Trp 21]
Realidad Aumentada
Composiciónconsorciowww.identic.es
Transform. Matrices T. Afines Composición Visualización
Matriz Neta: Obtenida de la composición de las matrices de transformación.
y
x
Rz(α)p y
x
y
x
y
T(-p) T(p)
Ejemplo: Rotar el modelo α grados sobre el punto P. ¿Cuál es la MN?
Nota: Las transformaciones se expresan respecto del SRU. Carlos González Morcillo ([email protected]) [Trp 22]
Realidad Aumentada
Visualización 3Dconsorciowww.identic.es
Transform. Matrices T. Afines Composición Visualización
Relación entre Sistemas de Coordenadas
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Carlos González Morcillo ([email protected]) [Trp 23]
Realidad Aumentada
Pipeline 3Dconsorciowww.identic.es
Transform. Matrices T. Afines Composición Visualización
Coordenadas de Modelo (Locales)1. Transformación de Modelado Coordenadas Universales (del Mundo)2. Transformación de Visualización Coordenadas de Visualización (de Cámara)3. Transformación de Proyección Coordenadas Normalizadas (cubo Unitario)4. Transformación de Recorte Coordenadas Recortadas5. Transformación de Pantalla Coordenadas de Pantalla
Carlos González Morcillo ([email protected]) [Trp 25]
Realidad Aumentada
Transf. Modeladoconsorciowww.identic.es
Transform. Matrices T. Afines Composición Visualización
Aplicamos la transfor-mación global a cada vértice del modelo.
Carlos González Morcillo ([email protected]) [Trp 27]
Realidad Aumentada
Tr. Visualizaciónconsorciowww.identic.es
Transform. Matrices T. Afines Composición Visualización
Carlos González Morcillo ([email protected]) [Trp 31]
Realidad Aumentada
Tr. Proyecciónconsorciowww.identic.es
Transform. Matrices T. Afines Composición Visualización
Carlos González Morcillo ([email protected]) [Trp 34]
Realidad Aumentada
Modelo Generalconsorciowww.identic.es
Transform. Matrices T. Afines Composición Visualización
La matriz general de proyección en perspectiva se expresa como:
Carlos González Morcillo ([email protected]) [Trp 36]
Realidad Aumentada
Pipeline 3Dconsorciowww.identic.es
Transform. Matrices T. Afines Composición Visualización
