Articulo C-09-01 20 de julio de 2012 - SMIE · configuración de asentamientos diferenciales y...

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Sociedad Mexicana de Ingeniería EstructuralSociedad Mexicana de Ingeniería Estructural

CÁLCULO DE LA DISTRIBUCIÓN DE PRESIONES DE CONTACTO SUELO-CIMENTACIÓN,

PARA CARGAS GRAVITACIONALES SOBRE SUELOS COMPRESIBLES

Ramón Morales Ross1

RESUMEN

El objetivo de este estudio, es obtener los asentamientos y la distribución de presiones del suelo en cimentaciones superficiales complejas apoyadas en suelos blandos, ocasionadas por la acción de cargas gravitacionales, empleando como método de análisis la ISE: (Zeevaert, 1973). Las diferencias conceptuales básicas son el medio estructural utilizado, el factor transversal de áreas y de asentamientos, el factor final de ajustes de presiones por dovela con aplicación en formas irregulares. Con el advenimiento de la VCCE y la RPC, la VCC del Dr. Leonardo Zeevaert deja de ser referente de exactitud en los resultados.

ABSTRACT

The calculation of settlements and the soil reactions distribution on complex superficial foundations, supported on soft soils, due to acting gravitational loads, using the Soil-Structure Interaction Method ISE: (Zeevaert, 1973), is presented in this paper. The basic conceptual differences are means used, the cross area factor and settlements, the final factor adjustment pressures by segments with application in irregular shapes. The VCC Zeevaert’s Leonardo remains a benchmark in the results versus the new methods of the VCC and RPC here presented.

INTRODUCCIÓN

El análisis estructural de las fundaciones superficiales sujetas a cargas gravitacionales y sísmicas apoyadas en suelos blandos, consiste básicamente en determinar los asentamientos, la distribución de presiones de contacto y los elementos mecánicos. Este estudio se refiere al cálculo de los asentamientos diferidos y las presiones de contacto en apego a las NTC, 2004.

FUNDACIONES

El sistema de la fundación se forma de dos componentes: “la parte estructural” que puede dividirse en dos grupos de cimentaciones, conocidas como superficiales (isostáticas y continuas) y profundas, y “la parte natural”, representada por la masa del suelo.

CONFIGURACIÓN O DISTRIBUCIÓN DE PRESIONES EN LAS FUNDACIONES

En el ámbito de la ingeniería de cimentaciones se le denomina configuración o distribución de presiones en las fundaciones, a la respuesta del componente natural o masa del suelo a las cargas actuantes de la superestructura y subestructura del edificio, se le conoce también como presiones de contacto suelo-cimentación.

1 Miembro del Colegio de Ingenieros Civiles de Tabasco A. C., Ruiseñor No. 101 piso 3 esq. Velódromo de

la Cda. Deportiva C.P. 86180 Tel. (993) 161 3150 y (993) 1613170 Villahermosa Tabasco, e-mail: [email protected]

XVIII Congreso Nacional de Ingeniería Estructural Acapulco, Guerrrero 2012.

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TRANSFERENCIAS DE CARGAS DEL EDIFICIO-CIMENTACIÓN-SUELO

Las cargas verticales u horizontales del edificio son colectadas al suelo a través de los elementos verticales columnas o muros de la superestructura, que a su vez la transmiten a la cimentación y esta la distribuye a la masa del suelo. Supongamos la transmisión de la carga vertical, representada por sus vectores respectivos de cargas distribuidas en muros o cargas puntuales y momentos flectores aplicados en las secciones muros-cimentación y/o columnas-cimentación. La masa de suelo cubierta por la cimentación responde equilibrando estas cargas en términos de presiones de contacto o “carga superficial” qi (kPa), de tal manera que la resultante de las cargas actuantes aplicada debe coincidir con la resultante de la configuración de los esfuerzos de contacto o presiones del suelo. En conformidad a la tercera ley de Newton puede considerarse que esta configuración de presiones actúa como reacción en la cimentación y como acción en la masa del suelo. Al proceso de análisis, de aplicar simultáneamente a la estructura de cimentación y a la masa del suelo una configuración o distribución de presiones para lograr la compatibilidad de asentamientos en puntos discretos del suelo-cimentación, se le denomina Interacción Suelo-Estructura o ISE.

ESTRUCTURACIONES UTILIZADAS PARA EL ANÁLISIS DE INTERACCIÓN SUELO-ESTRUCTURA (ISE)

La ISE se realiza entre la parte natural de la fundación, a través de la ecuación matricial de asentamientos (EMA) de los puntos discretos o centroides de las franjas supuestas, representados por apoyos elásticos aquí denominados, “módulos de cimentación condensados por área tributaria ki (kN/m)”, que caracterizan la rigidez de la masa del suelo y la parte estructural que es el medio, mediante el cual se realiza el análisis para determinar el valor de las reacciones en los apoyos elásticos y como consecuencia las presiones de contacto, estableciéndose un proceso (EMA-medio estructural) de aproximaciones sucesivas, el cual termina, cuando los valores de las reacciones en dos ciclos consecutivos son iguales. A continuación se describen tres medios estructurales para este fin, a excepción del primero, los otros dos son nuevas alternativas. VIGA DE CIMENTACIÓN CONDENSADA (VCC)

La viga de cimentación, es el medio estructural utilizado en: (Zeevaert, 1980) para el análisis de la ISE, debido a su formulación cumple una función dual, ya que al finalizar la ISE, la viga de cimentación que en un principio era hiperestática se transforma en una viga isostática, razón por la cual se calculan manualmente los elementos mecánicos. El concepto de “VCC” es una definición dada en este estudio por dos razones, la primera por considerar que la “viga de cimentación” no cumple con la definición establecida en el artículo del MECYMCAC que menciona: “En el análisis elástico se encuentran estructuras originales con estados de cargas diferentes, que pueden resolverse en conformidad al principio de superposición a través de un sistema equivalente, que proporcione los mismos valores en la configuración de deflexiones y elementos mecánicos, que los calculados en la estructura original”. La viga de cimentación aludida, debe ser considerada condensada porque en el análisis de la ISE en cajones de cimentación con planta rectangular o cuadrada, representa las propiedades mecánicas y geométricas de las vigas hiperestáticas paralelas que forman la cimentación, no considera la participación de la losa tapa, losa de fondo y vigas transversales, en la ingeniería de cimentaciones está demostrado que es un excelente procedimiento para calcular la ISE en la dirección en estudio. Al finalizar el análisis y sustituir las reacciones calculadas en los resortes por las presiones de contacto, la viga hiperestática inicial es transformada en una viga isostática, por consiguiente, en esta “VCC” no podrán obtenerse la misma configuración de asentamientos diferenciales y elementos mecánicos que los que se obtendrían en la estructura plana de cimentación (tableros de losas con retículas de vigas) , por lo tanto, en apego al principio de superposición, no debe ser considerada como una viga de cimentación equivalente, en la solución de estos tipos de sistemas estructurales. En otras palabras las propiedades mecánicas, geométricas de todas las vigas en una dirección, así como, las cargas gravitacionales y sísmicas actuantes en la fundación, son atribuidas a una sola viga de cimentación según: (Zeevaert,1980). En puntos discretos de la VCC debe cumplirse con la condición de compatibilidad y equilibrio suelo-estructura a través de los apoyos elásticos, de tal manera, que al encontrar esta compatibilidad

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mediante un proceso iterativo se concluye con el proceso de análisis de la ISE, entonces, las reacciones calculadas en los apoyos elásticos son sustituidos por la configuración de presiones del suelo y la VCC que un principio era hiperestática con apoyos elásticos es transformada en una viga isostática (al sustituir los apoyos elásticos por las presiones de contacto suelo-cimentación), por este hecho, los elementos mecánicos, fuerza cortante y momento flector son obtenidos manualmente. La segunda razón es para diferenciarla de las dos alternativas aquí propuestas, porque finalmente lo que verdaderamente interesa son los objetivos alcanzados, tales como, los asentamientos de cuerpo rígido y la distribución de presiones de contacto y como consecuencia los asentamientos diferenciales o elásticos y los elementos mecánicos mediante la aplicación del MECYMCAC. La definición de “VCC” aquí dada al componente estructural de la cimentación, conlleva a redefinir al componente natural de la fundación como “módulo de cimentación condensado por área tributaria” para cada franja supuesta en el análisis de la ISE, con objeto de diferenciarlo de los “módulos de cimentación por área tributaria” en cada dovela de la losa de fondo. ALTERNATIVA 1: VIGA DE CIMENTACIÓN CUASI EQUIVALENTE (VCCE)

Se le denomina de esta manera, a la viga de cimentación que representa a la cimentación plana, su sección transversal media depende de la forma geométrica del cajón de cimentación, en general las secciones transversales huecas o en cajón (sección 1) representan a todos los elementos resistentes de la cimentación, está formada por la losa superior (losa tapa), losa inferior (losa de fondo) y las secciones transversales de las vigas en la misma dirección, la sección maciza (sección 2) representa a la viga transversal o a la viga longitudinal según la dirección de análisis. Este concepto puede utilizarse para calcular la distribución de presiones de contacto en los tableros de losas en cimentaciones planas de cualquier forma, sin embargo por su laboriosidad en formas irregulares, se sugiere aplicarlo preferentemente en las formas geométricas rectangulares y cuadradas. Una vez definidas las secciones transversales de la viga cuasi-equivalente, para el análisis de la ISE se procede de manera similar a la viga de cimentación condensada (VCC). ALTERNATIVA 2: RETÍCULA PLANA DE CIMENTACIÓN (RPC)

Se refiere al conjunto de componentes resistentes de la cimentación, en el caso particular de los cajones de cimentación serían: losa de fondo, losa tapa y vigas en ambas direcciones, formando una retícula. Generalizando el concepto, en este estudio se considera “retícula plana de cimentación”, toda aquella estructura que se refiera a una cimentación superficial continua. Por facilidad en la determinación de los asentamientos diferenciales y elementos mecánicos, no se consideró en el ejemplo resuelto el modelaje con elementos finitos de la losa tapa. La versatilidad de solucionar la ISE en cimentaciones de forma trapecial, triangular y circular mediante la alternativa de la “RPC”, debe hacer de este medio estructural el elegido para solucionar este tipo de problemas. Se reconoce que su función no es dual, pero al terminar el análisis de la ISE se cuenta con todas las cargas actuantes en el modelo de la RPC, facilitando la aplicación del “Método de equilibrio de cortantes y momentos en cimentaciones, con aplicación en computadora (MECYMCAC)”.

REQUISITOS QUE DEBEN CUMPLIR LAS PRESIONES DE CONTACTO: (NTC, 2004) Las Normas Técnicas Complementarias para Diseño y Construcción de Cimentaciones establecen en el segundo y tercer párrafo del inciso 4. Diseño Estructural de la Cimentación que: Los esfuerzos o deformaciones en las fronteras suelo-estructura necesarios para el diseño estructural de la cimentación, incluyendo presiones de contacto y empujes laterales, deberán evaluarse tomando en cuenta la rigidez y la resistencia de la estructura y de los suelos de apoyo. Las presiones de contacto consideradas deberán ser tales que las deformaciones diferenciales del suelo calculadas con ellas coincidan aproximadamente con las del sistema subestructura-superestructura. Para


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determinar distribuciones de este tipo, será aceptable suponer que el medio es elástico y continuo y usar las soluciones analíticas existentes o métodos numéricos. Será aceptable cualquier distribución que satisfaga las condiciones siguientes: a) Que exista equilibrio local y general entre las presiones de contacto y las fuerzas internas en la subestructura y las fuerzas y momentos transmitidos a ésta por la superestructura; b) Que los hundimientos diferenciales inmediatos más diferidos con las presiones de contacto consideradas sean aceptables en términos de las presentes Normas; y c) Que las deformaciones diferenciales instantáneas más la diferidas del sistema subestructura-superestructura sean aceptables en términos de las presentes Normas. SOLUCIONES NUMÉRICAS PARA DETERMINAR LA DISTRIBUCIÓN DE PRESIONES EN LAS

FUNDACIONES, EN APEGO A LAS NTC 2004

La configuración o distribución de presiones de contacto suelo-estructura de cimentación con geometría rectangular o cuadrada puede ser obtenida con los métodos de: (Flores y Esteva, 1970), (Zeevaert, 1973), (Zeevaert, 1980) o con cualquier otro método que cumpla con lo establecido en las Normas Técnicas Complementarias para diseño y Construcción de Cimentaciones. Con el primer método mencionado se determina la configuración de presiones cuando actúan cargas gravitacionales y con el segundo se puede calcular la distribución de presiones de contacto suelo-cimentación, debido a la acción de cargas verticales y cargas horizontales. FORMULACIÓN DEL PROBLEMA PARA LA OBTENCIÓN DE LA ECUACIÓN MATRICIAL DE

ASENTAMIENTOS EMA, EN LA MASA DEL SUELO CON CIMENTACIÓN FLEXIBLE O EN CAMPO LIBRE (ZEEVAERT, 1980)

El método para determinar las presiones de contacto fue ideado por: (Zeevaert, 1973), el cual por su naturaleza nombró ISE, por su sencillez, por lo racional de su solución y la congruencia en sus resultados es la ISE en la que se fundamenta este estudio. Las “hipótesis generales” de trabajo, la formulación de la ecuación matricial de asentamientos EMA de la masa del suelo, la utilización de apoyos elásticos aquí denominados módulos de cimentación condensados por área tributaria en la viga de cimentación, definida como VCC y cuyo análisis estructural lo realiza manualmente con el principio de superposición aplicando el método de flexibilidades, son algunos de los conceptos en que se basa la ISE. En la práctica, la masa del suelo se encuentra estratificada y limitada en su profundidad a un depósito de suelo firme con compresibilidad baja o muy baja y la estructura de cimentación que es la que transmite la carga total del edificio, en general sus secciones transversales tienen dimensiones diferente de cero, no obstante, para la obtención de la ecuación matricial de asentamientos EMA, se considera que la rigidez a flexión y corte de la cimentación es nula y la carga actuante corresponde a acciones. Por lo tanto, para determinar la ISE en estas condiciones, la compatibilidad de los desplazamientos en puntos discretos de la superficie de contacto de la masa del suelo y la estructura de cimentación debe ser establecida. Para lograr tal objetivo, el comportamiento de la masa del suelo debe considerarse que cumple con las siguientes “hipótesis generales”.

El sistema de la fundación se considera que es un medio elástico y continuo (NTC), dependiendo de la forma regular o irregular de la cimentación, la parte estructural se supone formado por franjas rectangulares, triangulares, trapeciales, segmentos circulares y la masa del suelo formada por columnas cuya sección transversal corresponde al tamaño de las franjas de la estructura de cimentación.

El suelo está formado por estratos horizontales, la utilización del módulo secante de deformación unitaria para la recompresión del estrato investigado Mn

ei (m2/kN), permite considerar la masa del suelo como un medio isótropo, homogéneo y elástico.

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Para el cálculo de las influencias Iji de esfuerzo unitario, la presión media de contacto que actúa en la

interfase de las franjas y columnas de la fundación (cimentación-suelo) se considera uniforme y unitaria, está suposición conduce a una distribución escalonada de presiones medias de contacto (Flores y Esteva, 1970).

Los asentamientos en los puntos discretos en estudio de la interfase de la franja de cimentación-columna del suelo, deben ser iguales.

El inicio para proceder a calcular los asentamientos y las presiones de contacto suelo-cimentación, provocados por las cargas actuantes del edificio, en cada centroide de las franjas supuestas en la fundación, es la formulación de la ecuación matricial de flexibilidad de la masa suelo, tal como se explica a continuación.

ASENTAMIENTOS VERTICALES

La determinación de los asentamientos verticales en la superficie de contacto suelo-cimentación, ya sean hundimientos o expansiones requiere el conocimiento de las propiedades esfuerzo-deformación-tiempo de los diferentes estratos de la masa del suelo. Suponiendo que se requiere determinar el asentamiento y el incremento medio de esfuerzo en los estratos subyacentes al punto “j” debido a una carga aplicada en un área tributaria āi, figura 1.

A, Ad /2A

d /2B

d /2C

d /2N

ZA

Z

Z

Z

B

C

N

B, B

C, C

N, N

Suelo firme

qi

a

j i

R =aqi i

N.D.C.

=jiA A

jiA =Iqji

Ai

A

=jiB B

jiB =Iqji

Bi

B

=jiC C

jiC =Iqji

Ci

C

=jiN N

jiN =Iqji

Ni

N

CFL

dA

d

d

d

B

C

N

Cimentación flexible

Figura 1 Representación gráfica suelo-cimentación flexible y expresiones matemáticas para la determinación del asentamiento y esfuerzo en cada estrato de la masa del suelo del punto “j”, debido

a una carga uniforme con área tributaria “a” aplicada en el punto “i”

Por consiguiente, el asentamiento vertical de cualquier estrato subyacente al punto “j” es

Nji

NNji (1)

Dónde:

)( 3 kNm Md Nei

Nc

N (2) y el asentamiento vertical de la superficie en el punto “j” debido a la carga uniforme en el punto “i” será la suma de los asentamientos de todos los estratos:

Nji

N

A

Nji (3)

El valor del incremento medio de esfuerzos de cualquier estrato subyacente N

ji en cualquier punto “j” de la masa del suelo se puede expresar en función de la carga unitaria superficial iq aplicada en el área tributaria āi, figura 1.

qI iNji

Nji (4)


6

Sustituyendo 4 en 3

qI iNji

N

A

Nji (5)

Suponiendo que una franja con área tributaria está cargada con qi= +1, en notación algebraica se obtendrá el asentamiento unitario vertical en los puntos j debido a la carga unitaria en i:

Ii

Nji

N

A

Nji (6)

Representando el cálculo de las influencias Iji de esfuerzo unitario en la forma que muestra la figura 2, se podrán calcular los asentamientos verticales unitarios de la superficie debido a la carga qi= +1 aplicada en el área tributaria del punto , de acuerdo con la siguiente ecuación matricial:

N

C

B

AT

Ni

Ni

Ni

Ni

N

Ci

CCCC

Bi

BBBB

Ai

AAAA

iIIIIIIIIIIIIIIIIIIII

111111

141312111

141312111

141312111

1

41

31

21

11

(7)

NTN

jiji I (8)

Cimentación flexible

1

B

A

C

N

I 11A

q =1

I 11B

I 11C

I 11N

I 21A

I 21B

I 21C

I 21N

I 31A

I 31B

I 31C

I 31N

I 41A

I 41B

I 41C

I 41N

I i1A

I i1B

I i1C

I i1N

2 3 4 i

A

B

C

N

1

L CF

Figura 2 Factores de influencia para la carga unitaria aplicada en la franja 1, en la cimentación flexible con cinco franjas supuestas

Esto es

N

C

B

A

Ni

Ci

Bi

Ai

NCBA

NCBA

NCBA

NCBA

i IIIIIIIIIIIIIIIIIIII

1111

41414141

31313131

21212121

11111111

1

41

31

21

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(9)

Utilizando la expresión (8) para los puntos 1, 2, 3,… i, se forma la matriz general para todos los puntos deseados como sigue:

7


iii

i

i

i

i

Tji

Tj

Tj

Tj

Tj

ji

1413121

444342414

343332313

242322212

141312111

4

3

2

1

(10)

La matriz expresada en (10) traspuesta y multiplicada por la matriz columnar de las cargas unitarias aplicadas en las áreas tributarias āi, proporciona la matriz columnar de los desplazamientos verticales de la superficie cargada. Por tanto, se obtiene finalmente

iiiiiii

i

i

i

i

i qqqqq

4

3

2

1

4321

444434241

334333231

224232221

141131211

4

3

2

1

(11)

o bien, en forma compacta las ecuaciones quedarían:

iT

jii q (12) Si las áreas tributarias se escogen iguales se obtendrá una matriz simétrica de desplazamientos unitarios, esto es: jiij . La expresión (12) se le denomina: ecuación matricial de asentamientos o hundimientos, EMA.

Tji .- Es la matriz de coeficiente de flexibilidad para la estructura libre correspondiente a las cargas unitarias superficial “qi = 1” en las franjas supuestas.

iq .- Es el vector de presiones de contacto, en las franjas supuestas.

i .- Es el vector de asentamientos en la superficie de la masa del suelo correspondiente a las acciones redundantes “qi” en las franjas supuestas. Notación Simbólica:

c .- Factor de recompresión (en el ejemplo resuelto se considera igual a uno). neiM .- Módulo secante de deformación unitaria para la recompresión o Módulo de compresibilidad

volumétrica en recompresión del estrato investigado (m2/kN), corresponde a la respuesta elástica máxima.

nid .- Espesor del estrato “N”.

N .- Deformación volumétrica de un estrato cualquiera N , para un tiempo determinado “t” (m3/kN).

Nji .- Incremento medio de esfuerzos kPa en los estratos subyacentes al punto “j” debido a una carga

aplicada en un área tributaria ia .


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Nji .- Asentamiento vertical en los estratos subyacentes al punto “j” debido a una carga aplicada en un área

tributaria ia en (m).

ji .- Asentamiento total en la superficie del suelo en el punto “j” debido a una carga superficial kPa, aplicada en el punto “i”. A, B, C, D.- Representan los estratos mostrados en la figura 2. LCF.- Longitud de la cimentación flexible.

niI .- Coeficientes de influencias del esfuerzo unitario o carga unitaria superficial qi= 1, se calcula con las

expresiones de (Zeevaert, 1973) para polígonos de forma regular. qi.- Carga superficial o esfuerzo de contacto (kPa), son las respuestas del suelo de apoyo a las cargas actuantes en la cimentación, su valor en cualquier franja o dovela debe ser menor al esfuerzo admisible en la superficie de contacto suelo-cimentación ocasionada por el peso del edificio. j.- Es el punto donde se calculan los efectos resultantes de la carga unitaria supuesta, aplicada en el punto “i” representa los diferentes centroides de las franjas y columnas consideradas en la fundación. i.- Es el punto donde se localiza el centroide del área tributaria en la cual se aplica la carga unitaria.

ASOCIACIÓN ENTRE LA ECUACIÓN MATRICIAL DE ASENTAMIENTOS EMA CON LA ESTRUCTURA DE CIMENTACIÓN PARA EL ANÁLISIS DE LA ISE

Una vez decidido el número de franjas en la superficie de contacto suelo-cimentación, haciendo uso del Excel se procede a calcular la ecuación matricial de asentamientos EMA. Con esta ecuación se obtienen los “módulos de cimentación condensados por área tributaria” ki (KN/m) en cada franja supuesta, mismos que fungen como apoyos elásticos discretos del medio estructural utilizado durante el proceso de análisis de la ISE. A continuación debe definirse y modelar el sistema estructural de la cimentación para hacer el análisis de la ISE, es decir, si se utiliza la viga de cimentación: (Zeevaert, 1980), aquí definida como VCC o si se opta por emplear alguna de las dos alternativas aquí propuestas y nombradas como VCCE y la RPC. El sistema estructural queda asociado a la masa de suelo en términos del análisis de la ISE, a través de sus apoyos elásticos o módulos de cimentación condensado por área tributaria. Finalmente el procedimiento iterativo para obtener la ISE consiste básicamente en las dos etapas siguientes: I) En Excel se formula y resuelve la matriz de flexibilidad del suelo y II) Auxiliándose de un programa comercial de análisis estructural y mediante el método de rigideces, se calculan las reacciones de los apoyos elásticos del medio estructural utilizado.

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HIPÓTESIS PARTICULARES PROPUESTAS, PARA CALCULAR LA ISE EN LA “RETÍCULA

PLANA DE CIMENTACIÓN” DE CUALQUIER FORMA GEOMÉTRICA, TOMANDO EN CUENTA TODOS LOS ELEMENTOS RESISTENTES

I) Análisis longitudinal, se traza un eje coordenado horizontal “X o Z” por el centroide de la cimentación plana, el cual debe coincidir con los centroides de las franjas verticales supuestas de la estructura de cimentación y de las columnas de suelo, las franjas verticales son perpendiculares al eje horizontal “X o Z”. II) Los apoyos elásticos discretos que representan la compresibilidad del suelo debido a las cargas actuantes, se ubican en cada centroide de las franjas supuestas de la estructura de cimentación y de las columnas de suelo consideradas, es decir el edificio queda apoyado por una hilera horizontal de resortes verticales que representan la rigidez del suelo y de los resortes horizontales que son supuestos para dar estabilidad al programa de análisis estructural empleado, a las constantes kh (kN/m) se le asignan valores arbitrarios. III) Los valores iniciales del módulo de cimentación condensados por área tributaria ki (kN/m) ubicados en los centroides de cada franja, se calculan resolviendo la ecuación matricial de asentamientos del suelo EMA, suponiendo valores a las presiones de contacto en cada una de las franjas verticales supuestas representadas por el vector de redundantes estáticas. El valor asignado a estas presiones puede ser cualquiera, se sugiere iniciar con valores unitarios {qi

1}=1, operando matricialmente se encuentran los valores del vector de asentamientos de la masa del suelo {i

1}, a continuación se calcula el valor de las reacciones en cada franja vertical {Ri

1}= {qi1} Ai, en el supuesto que las franjas o columnas del suelo tengan la misma área, se obtienen

finalmente los módulos de cimentación unitario por área tributaria ki1 = Ri

1/ i1. El superíndice 1 significa el

primer ciclo de la ISE en sentido longitudinal en la masa del suelo. IV) Estando apoyada la cimentación en los resortes que caracterizan a la masa del suelo, se procede a ejecutar el primer ciclo de análisis en la cimentación, auxiliándose de cualquier programa comercial de análisis estructural para determinar el valor de las reacciones Ri

1 de cada resorte en el medio estructural utilizado. Se invierte el proceso de cálculo, obteniéndose los valores de qi

1 = Ri1/ Ai, los cuales se sustituyen en EMA,

calculando nuevamente los valores de i2(m), Ri

2(kN) y ki2(kN/m) en la masa del suelo. Se repite este

procedimiento en el modelo estructural suelo-cimentación los ciclos necesarios hasta lograr que los valores de las reacciones que intervienen sean iguales en dos ciclos sucesivos, habiéndose logrado la convergencia se habrá obtenido la ISE en el sentido longitudinal "" ZoX de la cimentación. V) Análisis transversal, a continuación, se traza un eje de coordenadas vertical “X o Z” por el centroide de la cimentación plana, el cual debe coincidir con los centroides de las franjas horizontales supuestas en la estructura de cimentación y de las columnas de suelo, las franjas horizontales son perpendiculares al eje vertical “X o Z”. VI) Los apoyos elásticos discretos que representan la compresibilidad del suelo debido a las cargas actuantes, se ubican en cada centroide de las franjas de la estructura de cimentación y de las columnas de suelo consideradas, es decir el edificio queda apoyado por una hilera en el sentido del eje “Z” de resortes verticales y de los resortes horizontales necesarios para dar estabilidad al programa, con valores arbitrarios de kh (kN/m). VII) La ISE transversal se lleva a cabo analizando el medio estructural apoyado en resortes verticales (suelo) mediante la aplicación de cualquier programa comercial de estructuras, de acuerdo a los incisos III y IV. VIII) Se calcula el factor de ajuste longitudinal o transversal de presiones medias y se obtienen las presiones de contacto en las dovelas de la retícula plana de cimentación, formadas por el cruce de las franjas verticales y horizontales supuestas según los incisos I y V. Cuando el ajuste es en el sentido transversal debe considerarse el factor FTPi.

ijji PpPFTP / (13)


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Dónde: Pj = Presión de contacto en la franja transversal columna j.

ijPp = Promedio de las presiones por dovelas en las franjas transversales en la fija “i” columnas “j”. j = a, 1,….n, b. IX) Se calcula el factor de ajuste por áreas longitudinal o transversal, principalmente cuando el área de las dovelas no son iguales (formas trapeciales, triangulares y circulares), cuando el ajuste es en el sentido transversal debe considerarse el factor FTAij, dicho factor queda definido por la siguiente expresión:

i

ijij A

AFTA (14)

Siendo

nA

A ijn

i1 (15)

Dónde: FTAij =Factor transversal de áreas. Aij = Área de la dovela correspondiente a la ubicación ij (i = a,1…..,6,b), (j=a,1,….4,b).

iA = Área promedio de la franja transversal correspondiente a la ubicación de la dovela, (i = a,1…..,6,b). n= Es el número de dovelas correspondiente a la franja transversal i. Cuando la forma de la cimentación es rectangular o cuadrada, las dovelas formadas por el cruce de las franjas transversales y longitudinales tienen la misma área, entonces FTAij =1. Cuando la forma de la cimentación es irregular, tal como, trapecial, triangular o circular, las dovelas formadas por el cruce de las franjas transversales y longitudinales tienen diferente área, entonces FTAij 1 X) Factor de proporcionalidad entre las presiones actuantes y las áreas de cada dovela, se calcula dicho factor designado por la notación FRij, el cual ajusta las presiones en cada dovela, relacionando los factores transversales de presiones y de áreas mediante la expresión:

ij

ijij FTA

FTPFR (16)

Dónde: FRij = Factor final de ajuste de presiones de contacto por dovela. FTPij = Factor transversal de presiones. FTAij = Factor transversal de áreas. Esta secuela de cálculo puede emplearse en el análisis del suelo-cimentación o en el análisis suelo-cimentación-edificio, se le define por su naturaleza como una forma indirecta de obtener la configuración o distribución de presiones de contacto en cimentaciones rectangulares, cuadradas, trapeciales, triangulares, y circulares.

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EJEMPLO NUMÉRICO RESUELTO CON LA ISE, PARA CARGA GRAVITACIONAL

A continuación se procede a resolver un ejemplo en el que se requiere conocer la distribución de presiones de contacto utilizando los medios estructurales de la VCC, VCCE y RPC. Se resuelven auxiliándose de hojas de cálculo en Excel y del programa de análisis estructural STAAD.Pro. En el ejemplo resuelto, se considera conocida la información geotécnica básica, las características geométricas, propiedades mecánicas para el análisis y las cargas gravitacionales actuantes en los componentes resistentes de la estructura de cimentación. Cae fuera del alcance en este estudio la verificación de los efectos causados (estados límites) por las cargas gravitacionales actuantes, en la resistencia y rigidez de la masa de suelo y de la cimentación. La información geotécnica mínima requerida, tal como las propiedades mecánicas de la masa del suelo así como la información a los componentes estructurales de la cimentación, tales como secciones transversales, dimensiones geométricas en planta del cajón de cimentación, fueron tomados de un ejemplo de la clase de Cimentaciones II del programa de maestría en Geotecnia de la UNAM, impartida por el M. en I. Germán López Rincón y amablemente proporcionado por el M. en I. Alberto Vasquez Martínez. En la figura 3 se muestra la designación y tamaño de las secciones transversales de cada elemento resistente de la cimentación. El ancho de la sección transversal del ejemplo original en las vigas perimetrales es de 0.30m (40.00cm), con objeto de uniformizar las secciones transversales, el ancho de 0.30m (30cm) de estas vigas se modificó a un ancho de 0.40m (40.00cm), para fines de análisis se conservo el mismo peso propio de la cimentación del ejemplo original. La estructura de cimentación en planta está conformada en el sentido largo por 5 claros de 8.00m de longitud y en el sentido corto por 4 claros de 6.25m.

ESTRATIGRAFÍA DE LA MASA DEL SUELO O COMPONENTE NATURAL DE LA FUNDACIÓN Considerando que la masa del suelo está formada por estratos horizontales, entonces la primera columna (ver tabla 1) indica el número de estrato considerado. La segunda columna corresponde a la designación de los estratos según datos del ejemplo ya mencionado, la tercera columna significa la altura a partir de la profundidad de desplante de la cimentación hasta donde finaliza el estrato ajustado en este ejemplo, la cuarta columna es el espesor de cada estrato, la quinta columna significa la distancia medida de la profundidad de desplante de la cimentación (N.D.L. 0.00m) al centroíde del estrato correspondiente y por último la sexta columna proporciona los datos del módulo de deformación volumétrica C

N en m3/kN.

Tabla 1 Valores de la deformación volumétrica CN de cada estrato

C

N

Designación Estratos Hi (m) di (m) zi (m) m3/kN

1 4 5.906 5.906 2.953 --------- 2 5 27.559 21.654 16.732 1.78E-04

3 6 177.165 149.606 102.362 7.93E-04

4 7 183.071 5.906 180.118 ---------

5 8 263.779 80.709 223.622 4.88E-04

6 9 344.488 80.709 304.330 4.71E-04

7 10 348.425 3.937 346.456 ---------

8 11 445.668 97.244 397.243 5.09E-04

9 12 543.306 97.638 494.487 4.73E-04

10 13 553.149 9.843 548.424 ---------

11 14 586.613 33.465 570.078 1.81E-04

12 15 594.487 7.874 590.550 ---------


12

CN

Designación Estratos Hi (m) di (m) zi (m) m3/kN

13 16 681.101 86.614 637.794 3.29E-04

14 17 767.715 86.614 724.408 3.19E-04

15 18 769.684 1.969 768.896 ---------

16 19 872.046 102.362 820.865 2.12E-04

17 20 874.014 1.969 873.227 ---------

18 21 999.998 125.984 937.006 2.94E-04

19 22 1023.620 23.622 1011.809 ---------

20 23 1102.360 78.740 1062.990 9.49E-05

21 24 1181.100 78.740 1141.730 9.21E-05

22 25 1185.037 3.937 1183.069 ---------

23 26 1238.187 53.150 1211.809 8.29E-05

24 27 1263.777 25.591 1251.179 ---------

25 28 1287.399 23.622 1275.588 ---------

26 29 1322.832 35.433 1305.116 ---------

27 30 1437.005 114.173 1379.919 1.66E-06

28 31 1484.249 47.244 1460.627 ---------

29 32 1507.871 23.622 1496.060 2.51E-07

CIMENTACIÓN O PARTE ESTRUCTURAL DE LA FUNDACIÓN En las tablas 2 y 3 se presentan las dimensiones geométricas de los diferentes elementos estructurales que forman el cajón de cimentación, así como las propiedades mecánicas de los materiales empleados.

Tabla 2 Secciones transversales del cajón de cimentación

Secciones transversales Elemento Designación Ancho b (m) Peralte d (m) Columna C-1 0.70 0.70

Contratrabes CT-1 0.40 2.00 Losa tapa - - 7.87

Losa de fondo - - 0.40

Tabla 3 Propiedades mecánicas de los materiales para el análisis

Propiedades mecánicas Material )(MPaEc )(MPaEa Concreto 21701.91 -

Acero de refuerzo - 20588.24

La geometría, estructuración de la cimentación y las secciones transversales del cajón de cimentación, se muestran en las figuras 3 y 4 que está en conformidad al ejemplo original. Para fines de calcular las influencias de los esfuerzos en las franjas supuestas, se considera que la profundidad desplante es de 2.00 m. Con objeto de no considerar la influencia hidrodinámica del agua, el nivel de aguas freáticas se consideró por debajo del desplante de la cimentación.

13


(8.00m) (8.00m) (8.00m) (8.00m) (8.00m)

A B C D E F(40.00m)

(6.25m)

(6.25m)

(6.25m)

(6.25m)

1

2

3

4

5

(25.00m)

(0.40m) (0.40m) (0.40m)(0.40m)

(0.40m)

(0.40m)

(0.40m)

(0.40m)

C-1

(0.40m) (0.40m) (0.40m)

Z

X

CT-1 C-1 C-1 C-1 C-1 C-1

C-1 C-1 C-1 C-1 C-1 C-1

C-1 C-1 C-1 C-1 C-1 C-1

C-1 C-1 C-1 C-1 C-1 C-1

C-1 C-1 C-1 C-1 C-1 C-1

CT-1 CT-1 CT-1 CT-1

CT-1 CT-1 CT-1 CT-1 CT-1




CT-1 CT-1 CT-1 CT-1 CT-1 CT-1




CT-1: Contratrabe 0.40xx2.00m C-1: Columna 0.70mx0.70m

1

1'

Figura 3 Planta de cimentación

1 2 3 4 5

(0.40m)

(0.20m)(6.25m) (6.25m) (6.25m) (6.25m)

(25.00m)

(0.40m) (0.40m) (0.40m) (0.40m) (0.40m)

Vacio Vacio Vacio VacioCT-1 CT-1 CT-1 CT-1 CT-1

Losa Tapa

Losa Fondo

(2.00m) N.D.L.0.00m

N.L.T.+2.00m

Figura 4 Corte de cimentación 1-1’ CARGAS ACTUANTES CONSIDERADAS De acuerdo a las NTC-2004 se consideran todas las posibles cargas gravitacionales que pudieran causar inestabilidad a la estructura tales como: cargas muertas y cargas vivas máximas en la superestructura y la cimentación. En la figura 5 se observa la numeración de los nodos o columnas donde se consideran concentradas las cargas verticales de la superestructura y cimentación.

(8.00m) (8.00m) (8.00m) (8.00m) (8.00m)

A B C D E F(40.00m)

(6.25m)

(6.25m)

(6.25m)

(6.25m)

1

2

3

4

5

(25.00m)

5

Z

X

10 15 20 25 30

4 9 14 19 24 29

3 8 13 18 23 28

2 7 12 17 22 27

1 6 11 16 21 26

Figura 5 Ubicación de los nodos en el modelo de Cimentación


14

La tabla 4 contiene los valores de las cargas verticales que se consideran en los ejemplos y en particular en la retícula plana de cimentación. Los valores con signos (-) representan carga en el sentido vertical hacia abajo (), según la convención de signos utilizadas en el programa STAAD. Pro empleado en este ejercicio.

Tabla 4 Cargas gravitacionales actuantes en la cimentación

Superestructura Superestructura + Cimentación

CMTS+CVTS CMTS+CVTS+CMC Nodo Carga (kN) Nodo Carga Fy (kN)

1 -1287.56 1 -1521.825

2 -2575.13 2 -3043.651

3 -2575.13 3 -3043.651

4 -2575.13 4 -3043.651

5 -1287.56 5 -1521.825

6 -2575.13 6 -3043.651

7 -5150.25 7 -6087.301

8 -5150.25 8 -6087.301

9 -5150.25 9 -6087.301

10 -2575.13 10 -3043.651

11 -2575.13 11 -3043.651

12 -5150.25 12 -6087.301

13 -5150.25 13 -6087.301

14 -5150.25 14 -6087.301

15 -2575.13 15 -3043.651

16 -2575.13 16 -3043.651

17 -5150.25 17 -6087.301

18 -5150.25 18 -6087.301

19 -5150.25 19 -6087.301

20 -2575.13 20 -3043.651

21 -2575.13 21 -3043.651

22 -5150.25 22 -6087.301

23 -5150.25 23 -6087.301

24 -5150.25 24 -6087.301

25 -2575.13 25 -3043.651

26 -1287.56 26 -1521.825

27 -2575.13 27 -3043.651

28 -2575.13 28 -3043.651

29 -2575.13 29 -3043.651

30 -1287.56 30 -1521.825

Carga total Fy 280776.77

CMTS = Carga muerta total de la superestructura

CVTS = Carga viva total de la superestructura

CMC = Carga muerta total en la cimentación

15


(8.00m) (8.00m) (8.00m) (8.00m) (8.00m)

A B C D E F(40.00m)

(4.00m) (8.00m) (8.00m) (8.00m) (8.00m) (4.00m)

(6.25m)

(6.25m)

(6.25m)

(6.25m)

1

2

3

4

5

(25.00m)

(155.13 ton) (310.26 ton)

(620.52 ton)

(0.40m) (0.40m) (0.40m)(0.40m)

(0.40m)

(0.40m)

(0.40m)

(0.40m)

Col 0.70x0.70m(Tipo)

P=1521.83 kN P=3043.65 kN(310.26 ton) (310.26 ton) (310.26 ton) (155.13 ton)

(310.26 ton)P=3043.65 kN P=6087.30 kN

(0.40m) (0.40m) (0.40m)

Z

X

P=3043.65 kN P=3043.65 kN P=3043.65 kN P=1521.83 kN

(620.52 ton)P=6087.30 kN

(620.52 ton)P=6087.30 kN

(620.52 ton)P=6087.30 kN

(310.26 ton)P=3043.65 kN

(620.52 ton)(310.26 ton)P=3043.65 kN P=6087.30 kN

(620.52 ton)P=6087.30 kN

(620.52 ton)P=6087.30 kN

(620.52 ton)P=6087.30 kN

(310.26 ton)P=3043.65 kN

(620.52 ton)(310.26 ton)P=3043.65 kN P=6087.30 kN

(620.52 ton)P=6087.30 kN

(620.52 ton)P=6087.30 kN

(620.52 ton)P=6087.30 kN

(310.26 ton)P=3043.65 kN

(155.13 ton) (310.26 ton)P=1521.83 kN P=3043.65 kN

(310.26 ton) (310.26 ton) (310.26 ton) (155.13 ton)P=3043.65 kN P=3043.65 kN P=3043.65 kN P=1521.83 kN

Figura 6 Cargas Pij totales actuantes en la cimentación

OBTENCIÓN DE LA ECUACIÓN MATRICIAL DE ASENTAMIENTOS EMA PARA EL ANÁLISIS DE LA ISE EN EL SENTIDO LONGITUDINAL Y TRANSVERSAL EN UN TERRENO DE FORMA

RECTANGULAR DE 25X40 m, UTILIZANDO EL CRITERIO DE: (ZEEVAERT, 1980) Para calcular la Ecuación Matricial de Asentamientos EMA tanto en el sentido longitudinal y transversal, es necesario definir el número de columnas o franjas supuestas en ambos sentidos de la fundación. Para este ejercicio en particular se suponen 10 franjas transversales en el sentido longitudinal y 8 franjas longitudinales para análisis de la ISE en las direcciones o sentidos longitudinal y transversal. En la figura 7 y 8 se observa el trazo del número de franjas consideradas para cada sentido de la fundación, se designan los puntos a, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y b, los cuales se ubican en el centroide de cada una de las franjas transversales para el análisis de la ISE en el sentido longitudinal y a, 1, 2, 3, 4, 5, 6 y b se localizan en el centroide de las franjas longitudinales para el análisis de la ISE en el sentido transversal. Se considera un área de fundación de 25x40m como suelo en campo libre, es decir aun no tiene la estructura de cimentación considerada y por lo tanto solo se toma en cuenta las propiedades geotécnicas de la masa del suelo sin importar las características geométricas y mecánicas de la estructura de cimentación. Para la obtención de las ecuaciones matriciales de asentamiento (EMA) longitudinales y transversales se considera que el nivel de aguas freáticas se encuentra por debajo del desplante de la cimentación, el cual es identificado por la cota de 0.00 m, a partir de donde se miden la profundidad de los estratos de la tabla 1.

b ix

b =3.125mixB =25.00mTX

bb

ix

ix

b ix

b ix

b ix

b ix

b ix

Figura 7 Isométrico de franjas transversales para el análisis en el sentido longitudinal, a nivel de desplante de la cimentación


16

l

I =4.00miz

L =40.00mTZl

l

l

l

l

l

l

l

l

Figura 8 Isométrico de franjas longitudinales para el análisis en el sentido transversal, a nivel de desplante de la cimentación

CÁLCULO DE LA ECUACIÓN MATRICIAL DE ASENTAMIENTOS EMA PARA ANÁLISIS EN EL SENTIDO LONGITUDINAL La expresión que define la matriz de flexibilidad del suelo a la cual se le denomina, Ecuación Matricial de Asentamientos EMA, es la siguiente:

iiT

ji q (17) Para formar dicha matriz se deben obtener los factores de influencia de esfuerzos tomando como base la franja “a” sujeta a una carga unitaria qi, con la cual se calculan las influencias IN

ja en cada una de las otras franjas a diferentes profundidades, (ver tabla 1). Se utilizan las ecuaciones de: (Zeevaert, 1980) para cargas gravitacional en cimentaciones de forma regular, la ecuación matricial simétrica de asentamientos EMA para el análisis de la ISE en sentido longitudinal, es:

4

3

2

1

4

3

2

1

03688.104481.704666.304037.204208.104481.703307.104852.504837.204582.104666.304852.503224.104396.504573.204037.204837.204396.503197.104236.504208.104582.104573.204236.503187.1

qqqqq

EEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEE aa

(18)

CÁLCULO DE LA ECUACIÓN MATRICIAL DE ASENTAMIENTOS EMA PARA ANÁLISIS EN EL SENTIDO TRANSVERSAL

Al igual que para el cálculo de la matriz de asentamientos en el sentido longitudinal, la forma de proceder para calcular la matriz de asentamientos ji en el sentido transversal es idéntica. Para obtener la matriz de flexibilidad del suelo se debe calcular primero los factores de influencia tomando como base la franja “a” sujeta a una carga unitaria, con la cual se calculan las influencias IN

ja en cada una de las otras franjas a diferentes profundidades. La ecuación matricial simétrica de asentamientos EMA para el análisis de la ISE en sentido transversal, es:

3

2

1

3

2

1

03557.104084.804635.404951.204084.803212.104393.604651.304635.404393.603114.104785.504951.204651.304785.503074.1

qqqq

EEEEEEEEEEEEEEEE aa

(19)

17


MEDIOS ESTRUCTURALES DE LA VCC, VCCE Y RPC

P=24349.20 kN P=24349.20 kN P=24349.20 kN P=12174.61 kN

0.35m 7.65m 8.00m 8.00m 8.00m 7.65m 0.35m

ka k1 k2 k3 k4 k5 k6 k7 k8 kb

40.00m

4.00m 4.00m 4.00m 4.00m 4.00m 4.00m 4.00m 4.00m 2.00mka,k1, k2, k3, k4, k5, k6, k7, k8, kb = Módulos de cimentaciónpor área tributaria (ton/m) en dirección longitudinal

Ubicación de losapoyos elásticos

k

4.00m2.00m

2.00m

P=12174.61 kN P=24349.20 kN

E j e n e u t r o

2.00m

Sección transversal dela viga condensada

1 2 3 4 5 6

X

Y

Z

Y

2.00m

N.D.L.

N.D.C. = Nivel de desplante de cimentación

Figura 9 Viga de Cimentación Condensada, apoyos elásticos, cargas actuantes y su sección transversal para análisis de la ISE en el sentido o dirección longitudinal

0.35m 5.90m 6.25m 6.25m 4.72 m25.00m

0.35m

1.563m 3.125m 3.125m 3.125m 3.125m 3.125m 3.125m 3.125m 1.563m

ka, k1, k2, k3, k4, k5, k6, kb = Módulos de cimentación porárea tributaria (ton/m) en dirección transversal

Ubicación de losapoyos elásticos

2.00mE j e n e u t r o

kak k1k k2k k3k k4k k5k k6k kbk

P=15218.26 kN P=30436.50 kN

2.40m

Sección transversal dela viga condensada

EDCBA

Y

X

Z

Y

2.00m

N.D.L.N.D.C. = Nivel de desplante de cimentación

P=30436.50 kN P=30436.50 kN P=15218.26 kN

Figura 10 Viga de Cimentación Condensada, apoyos elásticos, cargas actuantes y su sección transversal para análisis de la ISE en el sentido o dirección transversal

A B C D E

(2.00m)

(6.25m) (6.25m) (6.25m) (6.25m)

(25.00m)

(0.35m)(0.35m)(1241.04 ton) (2482.08 ton)

(0.40m) (0.40m) (0.40m) (0.40m) (0.40m)(0.40m)

(0.20m)

Vacio Vacio Vacio Vacio

P=12174.60 KN P=24349.20 KN(2482.08 ton) (2482.08 ton) (1241.04 ton)

P=24349.20 KN P=24349.20 KN P=12174.60 KN

Figura 11 Sección transversal 1 de la viga cuasi equivalente para el análisis de la ISE en la dirección longitudinal

A B C D E

(2.00m)

(6.25m)

(25.00m)

PEje neutro

Y

Z

N.D.L.N.D.L. = Nivel de desplante de losa de fondo

(6.25m) (6.25m) (6.25m)

Figura 12 Sección transversal 2 de la VCCE para análisis en el sentido longitudinal


18

(2.00m)

(3102.60 ton) (1551.30 ton)

(8.00m) (8.00m) (8.00m) (8.00m) (8.00m)

1 2 3 4 5 6(40.00m)

(0.35m) (0.35m)

(0.40m)(0.40m) (0.40m) (0.40m) (0.40m) (0.40m)

Vacio Vacio Vacio Vacio Vacio

P=15218.25 KN (1551.30 ton)

P=30436.51 KN (3102.60 ton) (3102.60 ton) (3102.60 ton)

(0.40m)

(0.20m)

P=30436.51 KN P=30436.51 KN P=30436.51 KN P=15218.25 KN

Figura 13 Sección transversal 1 de la viga cuasi equivalente para el análisis de la ISE en la dirección transversal

(2.00m)

(8.00m) (8.00m) (8.00m) (8.00m) (8.00m)(40.00m)

1 2 3 4 5 6

Eje neutro

Y

Z

N.D.L.

N.D.L.= Nivel de desplante de losa de fondo

Figura 14 Sección transversal 2 de la VCCE para análisis en el sentido transversal

a

1

2

3

4

5

6

7

8

b

(8.00m)

(8.00m)

(8.00m)

(8.00m)

(8.00m)

(6.25m)

C.L. = Centroide de la losa de fondo delcajón de cimentaciónKa, K1,......K8,Kb = Módulos de cimentacióncondensado por área tributaria (ton/m) endirección longitudinal

(6.25m)

(6.25m)

(6.25m)

Figura 15 Vista en isométrico la ubicación de los apoyos elásticos para análisis en el sentido longitudinal de la RPC

C.L. = Centroide de la losa de fondo delcajón de cimentaciónKa, K1,......K6,Kb = Módulos de cimentacióncondensado por área tributaria (ton/m) endirección longitudinal

(8.00m)

(8.00m)

(8.00m)

(8.00m)

(8.00m)

(6.25m)

(6.25m)

(6.25m)

(6.25m)

Figura 16 Vista en isométrico la ubicación de los apoyos elásticos para análisis en el sentido transversal de la RPC

19


A continuación se anotan las presiones de contacto finales obtenidos en las 80 dovelas, con EMA y los medios estructurales de la VCC, VCCE y RPC.

Tabla 5 Configuración de presiones finales medias o configuración de presiones finales de contacto qmij en las 80 dovelas de la losa de fondo, obtenidas con EMA y la VCC

ISE Longitudinal Presiones medias qmij (kPa)

Franja qi (kPa) i= a,1…,8,b

Columna j

Fila i a () 1 () 2 () 3 () 4 () 5 () 6 () b ()

a 161.000 a () 231.971 132.461 139.343 140.216 140.216 139.343 132.461 231.971

1 103.500 1 () 149.127 85.157 89.578 90.137 90.137 89.578 85.157 149.127

2 111.069 2 () 160.029 91.382 96.127 96.735 96.735 96.127 91.382 160.029

3 115.118 3 () 165.863 94.716 99.627 100.255 100.255 99.627 94.716 165.863

4 117.667 4 () 169.539 96.814 101.843 102.480 102.480 101.843 96.814 169.539

5 117.667 5 () 169.539 96.814 101.843 102.480 102.480 101.843 96.814 169.539

6 115.118 6 () 165.863 94.716 99.627 100.255 100.255 99.627 94.716 165.863

7 111.069 7 () 160.029 91.382 96.127 96.735 96.735 96.127 91.382 160.029

8 103.500 8 () 149.127 85.157 89.578 90.137 90.137 89.578 85.157 149.127

b 161.000 b () 231.971 132.461 139.343 140.216 140.216 139.343 132.461 231.971

Tabla 6 Configuración de presiones finales medias o configuración de presiones finales de contacto qmij en las 80 dovelas de la losa de fondo obtenidas, con EMA y la VCCE



Columna j

Fila i a () 1 () 2 () 3 () 4 () 5 () 6 () b ()

a 177.784 a () 279.510 145.902 144.912 140.814 140.814 144.912 145.902 279.510

1 106.686 1 () 167.735 87.549 86.961 84.500 84.500 86.961 87.549 167.735

2 108.118 2 () 169.980 88.725 88.127 85.637 85.637 88.127 88.725 169.980

3 107.657 3 () 169.255 88.353 87.755 85.275 85.275 87.755 88.353 169.255

4 108.108 4 () 169.961 88.716 88.118 85.627 85.627 88.118 88.716 169.961

5 108.108 5 () 169.961 88.716 88.118 85.627 85.627 88.118 88.716 169.961

6 107.657 6 () 169.255 88.353 87.755 85.275 85.275 87.755 88.353 169.255

7 108.118 7 () 169.980 88.725 88.127 85.637 85.637 88.127 88.725 169.980

8 106.686 8 () 167.735 87.549 86.961 84.500 84.500 86.961 87.549 167.735

b 177.784 b () 279.510 145.902 144.912 140.814 140.814 144.912 145.902 279.510


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Tabla 7 Configuración de presiones finales medias o configuración de presiones finales de contacto qmij en las 80 dovelas de la losa de fondo obtenidas, con EMA y la RPC



Columna j

Fila i a () 1 () 2 () 3 () 4 () 5 () 6 () b ()

a 170.422 a () 253.147 136.480 150.667 141.412 141.412 150.667 136.480 253.147

1 98.735 1 () 146.657 79.069 87.284 81.922 81.922 87.284 79.069 146.657

2 109.520 2 () 162.676 87.706 96.824 90.873 90.873 96.824 87.706 162.676

3 113.980 3 () 169.304 91.275 100.765 94.569 94.569 100.765 91.275 169.304

4 115.696 4 () 171.863 92.657 102.284 96.000 96.000 102.284 92.657 171.863

5 115.696 5 () 171.863 92.657 102.284 96.000 96.000 102.284 92.657 171.863

6 113.980 6 () 169.304 91.275 100.765 94.569 94.569 100.765 91.275 169.304

7 109.520 7 () 162.676 87.706 96.824 90.873 90.873 96.824 87.706 162.676

8 98.735 8 () 146.657 79.069 87.284 81.922 81.922 87.284 79.069 146.657

b 170.422 b () 253.147 136.480 150.667 141.412 141.412 150.667 136.480 253.147

CONCLUSIONES En los tres ejemplos anteriores puede constatarse la distribución de presiones de contacto obtenidas en una cimentación superficial en cajón apoyada en suelo blando, con dimensiones de 25.00m x 40.00m. El análisis empleado es el de ISE, utilizando para la masa de suelo la EMA que es invariante y como medios estructurales la VCC, VCCE y la RPC. El objetivo es realizar un análisis comparativo de las presiones de contacto obtenidas con los medios estructurales mencionados, describiendo a continuación cada uno de los medios.

VIGA DE CIMENTACIÓN CONDENSADA (VCC), UTILIZADA COMO MEDIO ESTRUCTURAL TRADICIONAL PARA EL ANÁLISIS DE LA ISE

La mayoría de estudiosos, que determinan las presiones de contacto en suelo blando mediante el análisis de la ISE, utilizando para la masa del suelo la EMA y como medio estructural la VCC propuestas por: (Zeevaert, 1973) han concluido que los resultados son más exactos o racionales entre mayor sea el número de franjas consideradas para análisis de la ISE. Estas conclusiones, basadas en términos del valor numérico de la distribución de presiones, afirman que, con pocas franjas utilizadas se representa un sistema discreto, a diferencia de que al considerar un mayor número de franjas se tiende a la obtención de un sistema continuo, lo cual, conlleva a pensar que es racional esta conclusión. En su momento, la veracidad de esta afirmación implicaba el considerar como único medio estructural para solucionar la ISE a la denominada VCC. Con el advenimiento de las dos alternativas propuestas en este tratado y denominadas VCCE y RPC, deja de ser válido aceptar esta afirmación. VIGA DE CIMENTACIÓN CUASI EQUIVALENTE (VCCE), ALTERNATIVA 1, UTILIZADA COMO MEDIO ESTRUCTURAL PARA EL ANÁLISIS DE LA ISE La utilización de esta alternativa de solución para cargas verticales en el análisis de la ISE, es excelente y amigable, en cimentaciones de forma regular. Para el caso particular del ejemplo resuelto, las secciones transversales de la VCCE consideran la participación de todos los elementos resistentes, razón por la cual, para fines comparativos de resultados, debe ser considerada como el medio estructural que proporciona la exactitud deseada.

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RETÍCULA PLANA DE CIMENTACIÓN (RPC), ALTERNATIVA 3, UTILIZADA COMO MEDIO ESTRUCTURAL PARA EL ANÁLISIS DE LA ISE El modelo estructural completo de un cajón de cimentación o RPC consiste en, losa de fondo, losa tapa y vigas en ambas direcciones, formando una retícula. Puede decirse que este es el modelo ideal para la obtención; de las presiones de contacto y de los asentamientos diferidos de cuerpo rígido utilizando la ISE. El modelo estructural de la RPC utilizado para resolver el ejemplo aquí planteado, omite la participación de la losa tapa, por este hecho deja de ser el medio estructural ideal para la solución del problema, pero para fines didácticos y de ingeniería práctica los resultados son racionalmente aceptables, con la ventaja adicional de que es fácil de modelar y puede aplicarse en cimentaciones de forma trapecial, triangular y circular. La ausencia de la losa tapa es la razón por la que no se considera en este ejemplo a la RPC como referencia para el análisis comparativo. ANÁLISIS COMPARATIVO ENTRE LOS MEDIOS ESTRUCTURALES VCC, VCCE Y RPC

Presiones medias qmij (%)

a () 1 () 2 () 3 () 4 () 5 () 6 () b ()

a () VCC 82.993 90.791 96.154 99.575 99.575 96.154 90.791 82.993

VCCE 100.000 100.000 100.000 100.000 100.000 100.000 100.000 100.000 RPC 90.571 93.545 103.967 100.421 100.421 103.967 93.545 90.571

1 () VCC 88.908 97.261 103.007 106.672 106.672 103.007 97.261 88.908

VCCE 100.000 100.000 100.000 100.000 100.000 100.000 100.000 100.000 RPC 87.436 90.308 100.370 96.946 96.946 100.370 90.308 87.436

2 () VCC 94.149 102.995 109.079 112.960 112.960 109.079 102.995 94.149

VCCE 100.000 100.000 100.000 100.000 100.000 100.000 100.000 100.000 RPC 95.706 98.850 109.863 106.115 106.115 109.863 98.850 95.706

3 () VCC 97.994 107.201 113.534 117.573 117.573 113.534 107.201 97.994

VCCE 100.000 100.000 100.000 100.000 100.000 100.000 100.000 100.000 RPC 100.024 103.309 114.819 110.902 110.902 114.819 103.309 100.024

4 () VCC 99.753 109.125 115.571 119.683 119.683 115.571 109.125 99.753

VCCE 100.000 100.000 100.000 100.000 100.000 100.000 100.000 100.000 RPC 101.117 104.438 116.074 112.115 112.115 116.074 104.438 101.117

5 () VCC 99.753 109.125 115.571 119.683 119.683 115.571 109.125 99.753

VCCE 100.000 100.000 100.000 100.000 100.000 100.000 100.000 100.000 RPC 101.117 104.438 116.074 112.115 112.115 116.074 104.438 101.117

6 () VCC 97.994 107.201 113.534 117.573 117.573 113.534 107.201 97.994

VCCE 100.000 100.000 100.000 100.000 100.000 100.000 100.000 100.000 RPC 100.024 103.309 114.819 110.902 110.902 114.819 103.309 100.024

7 () VCC 94.149 102.995 109.079 112.960 112.960 109.079 102.995 94.149

VCCE 100.000 100.000 100.000 100.000 100.000 100.000 100.000 100.000 RPC 95.706 98.850 109.863 106.115 106.115 109.863 98.850 95.706

8 () VCC 88.908 97.261 103.007 106.672 106.672 103.007 97.261 88.908

VCCE 100.000 100.000 100.000 100.000 100.000 100.000 100.000 100.000 RPC 87.436 90.308 100.370 96.946 96.946 100.370 90.308 87.436

b () VCC 82.993 90.791 96.154 99.575 99.575 96.154 90.791 82.993

VCCE 100.000 100.000 100.000 100.000 100.000 100.000 100.000 100.000 RPC 90.571 93.545 103.967 100.421 100.421 103.967 93.545 90.571


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DIFERENCIA NOTABLE DE ANÁLISIS ENTRE LOS MEDIOS ESTRUCTURALES A excepción del medio estructural denominado RPC, la característica que hace la diferencia entre los otros medios estructurales, es su sección transversal, en la actualidad el autor ha descubierto cinco medios estructurales, en este estudio fueron brevemente presentados dos.

COMENTARIO FINAL En este ejemplo particular se visualiza que el mayor valor numérico de las presiones de contacto se localiza en las dovelas de esquina y adyacentes de la orilla obtenidas con la VCCE con respecto a la RPC y la VCC, hacía las dovelas centrales se invierte esta tendencia, es decir, los mayores valores numéricos de las presiones de contacto se observan en los calculados con la VCC, la RPC y una disminución en la VCCE. Analizando cada medio estructural por separado, se jerarquiza el comportamiento en el valor de la distribución de presiones por dovela, observándose mayor en las esquinas, disminuyendo ligeramente en las dovelas adyacentes de la orilla, con tendencia a disminuir hacia las dovelas centrales. Por lo tanto debe aplicarse el criterio de análisis del Dr. Leonardo Zeevaert de restringir el valor numérico de las presiones de la orilla en términos de la presión admisible, haciendo una estructura de cimentación más rígida. En este estudio se sugiere que para cimentaciones de forma regular, como las rectangulares o cuadradas, el análisis de la ISE se realice en el medio estructural denominado VCCE.

REFERENCIAS Flores V. A. (1968), “Análisis de cimentaciones sobre suelo compresible”, Instituto de Ingeniería de la UNAM, Informe 171, Flores V. A., Esteva L. (1970), “Análisis y diseño de cimentaciones sobre terreno compresible”, Facultad de Ingeniería, UNAM, México. Meli P. R. (2001), “Diseño estructural”, Limusa. Morales R. R. (2011),”Investigaciones personales sobre análisis de cimentaciones superficiales”, por publicarlo CICT. “Normas técnicas complementarias para diseño y construcción de cimentaciones”, Gaceta Oficial del Distrito Federal. Tomo II, No. 103-BIS, 6 de octubre de 2004. Rivera C. R., Zea C. C. (1997), “Curso de interacción suelo-estructura”, Universidad Juárez Autónoma de Tabasco, División Académica de Ingeniería y Arquitectura, Unidad Chontalpa. Research Engineers, Int. Headquarters, A Bentley solutions Center, “STAAD.Pro 2004”, USA. Zeevaert L. (1980), “Interacción suelo-estructura de cimentación”, Editorial Limusa México.

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