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9.- ARRASTRE Y SUSTENTACIN DE CUERPOS SUMERGIDOS. 9.1.- Sustentacin. Entendemos por sustentacin la componente de la fuerza resultante que acta sobre un cuerpo en el interior de un fluido y que es perpendicular a la direccin que marca el movimiento relativo del fluido. Para calcular dicha sustentacin usaremos la expresin siguiente:

2

( )2LvF kg C A=

En esta expresin, el coeficiente C se denomina coeficiente de sustentacin y es adimensional, es la densidad del fluido medida en UTM/m3 y v es la velocidad relativa del fluido respecto del cuerpo medida en m/s, de esta manera, la fuerza de sustentacin da en kgf. 9.2.- Arrastre. El arraste es la componente de la fuerza resultante que acta sobre un cuerpo en el interior de un fluido y que es paralela a la direccin que marca el movimiento relativo del fluido respecto del objeto. Para calcular la fuerza de arrastre usaremos la expresin siguiente:

2

( )2DvF kg C A=

En esta expresin, el coeficiente C se denomina coeficiente de sustentacin y es adimensional, es la densidad del fluido medida en UTM/m3 y v es la velocidad relativa del fluido respecto del cuerpo medida en m/s, de esta manera, la fuerza de sustentacin da en kgf. Los coeficientes dependen del nmero de Reynolds y del ngulo de ataque del fluido sobre el cuerpo. Los coeficientes de sustentacin pueden determinarase como:

2 sinLC pi = Mientras que los coeficientes de resistencia del medio puedes ser calculados, segn la teora de la capa lmite, enunciada por Prandtl, segn la cual, en un fluido en movimiento otdas las prdidas tienen lugar en una capa adyacente al contorno del cuerpo que se denomina capa lmite. Para placas planas con una longitud L mantenida paralela al movimiento relativo del fluido los coeficientes de resistencia del medio sern:

Coeficientes de resistencia del medio Nmero de Reynolds Coeficiente de resistencia del medio (CD)

Hasta 500.000 1,328DC

vL

=

2105-107

106-109

0,200,074

DE

CR

=

( )2,580,455

logD EC

R=

500.000-20.000.000 ( )2,58

0, 455 1700logD EE

CRR

=

Para flujo laminar, adems tenemos las expresiones del tensin cortante en la pared que tiene un valor de :

2

0 0,33xE

v

R

=

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Ejemplo 41.- Una esfera de plomo de 30 mm de dimetro, desciende a travs de un determinado fluido a una velocidad constante de 3 m/s, determina la densidad relativa de la bola, sabiendo que la densidad relativa del fluido es de 1,89 y que el coeficiente de rozamiento es 0,055. Para resolver este problema tendremos que calcular la fuerza de arrastre, que es la fuerza que se opone al movimiento del cuerpo a travr del fluido en la direccin paralela al movimiento, segn se vio anteriormente, la fuerza de arrastre viene dada por:

2

( )2DvF kg C A=

Donde v representa la velocidad relativa del fluido respecto al cuerpo, por lo tanto, si la esfera de plomo desciendo a travs del fluido a una velocidad de 3 m/s, v sern esos 3 m/s. Ahora, debemos tener en cuenta que para que la esfera descienda a una velocidad constante, debe haber equilibrio entre fuerzas, por lo tanto las fuerzas que actan hacia arriba, es decir, el empuje y el rozamiento, deben ser igual que las fuerzas que actan hacia abajo, es decir:

2

22

2

liq bola D

liq bola D bola bola

vgV C A mg

vgV C A gV

+ =

+ =

De donde podemos despejar la densidad relativa pedida: 2

2bola liq D bolavC A

gV = +

Sustituyendo los datos de los que disponemos en el problema nos queda un valor para la densidad de la bola de:

( ) 223

31890 0,0551890 4 0,03 2419429,81 0,033

bola pipi

= + =

kg/m3

Lo cual implica que la densidad relativa es: 2, 419

r =

Ejemplo 42.- Una placa rectangular lisa de 1,2 m por 30 m, se mueve a travs de una masa de agua en la dimensin de su longitud. La resistencia sobre la placa es de 900 kgf. Determina la velocidad de la placa sabiendo que el coeficiente de rozamiento es 0,95. Sabiendo cunto vale la resistencia y que la placa se mueve en la dimensin de su longitud, estamos en condiciones de poder calcular la velocidad de la la placa sin ms que sustituir en la ecuacin de la resistencia de arrastre:

( )2 2

( ) 900 0,951000 1, 2302 2Dv vF kg C A= =

De donde sacamos el valor de la velocidad como: 0, 23v = m/s

Ejemplo.-43.- Una barra cilndrica de altura 0,4 m y de seccin 1500 cm2 es lanzada verticalmente hacia arriba desde el suelo con una velocidad inicial de 20 m/s. Sabiendo que la densidad relativa de la barra es de 1,5 y el coeficiente de rozamiento es 0,87 determina el tiempo que tarda la barra en ascender y la ecuacin que nos da la altura de la barra en fucnin del tiempo: DATO: Densidad del aire=1,293 kg/m3 Las fuerzas que actan sobre el cuerpo son el peso y la resistencia o arrastre que es la fuerza paralela a la direccin de movimiento y, por lo tanto, a la velocidad, esto implica que la ecuacin diferencial que nos queda es la siguiente:

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2

2Ddv v

m mg C Adt

= En esta ecuacin, debemos separar variables para poder resolver, dando lugar a lo siguiente:

2

12D

dvgdtC Av

mg=

+

Integrando y teniendo en cuenta que en el punto ms alto, la velocidad es nula:

0

0

20 1

2

t

Dv

dvgdtC Av

mg=

+

Esta integral es del tipo arcotangente y su resultado se muestra a continuacin:

0

0

02 1 2arctan arctan2 2D D

D Dv

vmg v mggt tC A g C Amg mg

C A C A

= = +

Ahora, si sustituimos los valores numricos que nos da el problema obtenemos una solucin para t que representa el tiempo que tarda el cuerpo en cuestin en llegar al punto de velocidad cero, es decir, al punto de mxima altura:

4

4

1 29020 20arctan 116,1

9.81 0,871,293150010 290200,871,293150010

t

= + =

s

El problema tambin nos manda determinar la altura en funcin del tiempo, para ello, tendremos en cuenta que de la siguiente ecuacin, podemos sacar la velocidad en funcin del tiempo:

0

20 1

2

t v

Dv

dvgdtC Av

mg=

+

Integrando:

0

02 1 2arctan arctan arctan2 2 2

v

D D

D D Dv

vmg v mg vgt tC A g C Amg mg mg

C A C A C A

= = +

Sustituyendo los valores numricos de los que disponemos:

14,89 arctan 7,80146

vt

=

Lo cual, nos permite despejar la velocidad como sigue:

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14,89 arctan 7,80 arctan 7,80146 14,89 146

arctan 7,80 tan 7,80146 14,89 146 14,89

146 tan 7,8014,89

v t vt

v t v t

tv

= =

= + = +

= +

Ahora, si tenemos en cuenta que la velocidad es la derivada temporal de la posicin, podremos determinar la altura a la que se encuentra la barra en funcin del tiempo sin ms que integrar la expresin anterior:

0 0

146 tan 7,8014,89

146 tan 7,8014,89

h t

dh tdt

tdh dt

= +

= +

Integrando y teniendo en cuenta que: tan ln cosxdx x=

Para realizar la integral, haremos el cambio de variable:

7,80 14,8914,89 14,89

t dtx dx dt dx= + = =

Teniendo en cuenta esto, la integral nos queda: 146 tan 14,89 2174 tanh x dx h xdx= =

Deshaciendo el cambio de variable: 0

2174 ln cos 7,8014,89

t

th

= +

Evaluando la integral:

( )2174 ln cos 7,80 ln cos 7,8014,89

12174lncos 7,80

14,89

th

ht

= +

=

+

Que es la expresin de la altura en funcin del tiempo.