ARITMÉTICA MODULAR

BREVE RESEÑA HISTÓRICA

• Uno de los aportes más significativos de Gauss a la Teoría de Números, es la formalización de la Aritmética Modular en su famoso Disquisitiones rithmeticae (Investigaciones sobre aritmética) de 1801.

ARITMÉTICA MODULAR

• Es un sistema aritmético para clases de equivalencia de números enteros llamadas clases de congruencia. Algunas veces se le llama, sugerentemente, aritmética del reloj, ya que los números «dan la vuelta» tras alcanzar cierto valor llamado módulo.

RELACIONES DE CONGRUENCIA

• La aritmética modular puede ser construida matemáticamente mediante la relación de congruencia entre enteros, que es compatible con las operaciones en el anillo de enteros: suma, resta, y multiplicación. Para un determinado módulo n, ésta se define de la siguiente manera:a y b se encuentran en la misma "clase de congruencia"

módulo n, si ambos dejan el mismo resto si los dividimos entre n, o, equivalentemente, si a − b es un múltiplo de n.

EJEMPLO63 83 (mod 10)

63 1060 603

83 1080 803

APLICACIONES DE LA ARITMÉTICA MODULAR

• Se aplica en teoría de números, álgebra abstracta, criptografía, y en artes visuales y musicales.

EL RELOJ ARITMÉTICO

• Jaime estaba haciendo su tarea de aritmética con la observación de su papá era una tarea del séptimo grado y pareció ser muy fácil. El primer ejercicio era 7+2=X y Jaime coloco 9 por respuesta. El siguiente ejercicio era 9+4=X y Jaime escribió 1 por respuesta. Su padre le preguntó: ¿Estás seguro que la respuesta es la correcta, Jaime?, él replico “seguro papá, este es un reloj aritmético”. Jaime apunto al 9 en la cara del reloj (la dirección en que las manecillas se mueven) cuatro espacios más, él llego a la respuesta “1”. Él explico des pues que comenzando a las 12 en punto, 4 horas añadidas a 9 horas daría la 1 en punto, y en el reloj aritmético esto podría ser escrito como 9+4=1

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