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I.- IDEA DE CONJUNTONos da la idea de conjunto una agrupación, colección o reunión de objetos que se denominan elementos.

Ejemplos: El conjunto de lapiceros. El conjunto de

departamentos del Perú. El conjunto de números

pares.

II.- NOTACIÓNLos conjuntos se denotan por letras mayúsculas y los elementos con letras minúsculas, números, figuras, etc.

Ejemplos: A = {a, e, i, o, u} B = {Omar, Giovanna, Edith,

Erika} C = {15, 20, 25, 30} D =

{ , , , , }

III.- REPRESENTACIÓN GRÁFICALos conjuntos se representan gráficamente por figuras cerradas, llamadas Diagramas de Venn – Euler.

Ejemplos:

IV.-DETERMINACIÓN DE CONJUNTOS

Los conjuntos se determinan de dos formas:A) Por extensión : Cuando se

enumeran todos sus elementos. Ejemplos:P = {Ana, Sandra, Carla}Q = {Chincha, Pisco, Ica, Nazca, Palpa}R = {7; 8; 9; 10; 11}

B) Por comprensión: Es cuando se da una propiedad o

característica que cumplen todos sus elementos.

Ejemplos:A = {x/x N; x8}B = {X/X es un departamento del Perú}C = {x/x N 4 x 10}

V.- PERTENENCIA Y NO PERTENENCIA

Dado:

Alumno(a) :.............................................................................Profesor (a) : Jorge Vega Juárez Fecha :

Colegio PrivadoDoscientas Millas

Peruanas

6°PRIMARIA

6°PRIMARIA

Tema : TEORÍA DE CONJUNTOS

C

BA

C

BABA

UUU

U

12

10

9

8

7

6

111

BA

ACADEMIA PREUNIVERSITARIA Pag. -2-200 MILLAS

: Se lee; pertenece a : se lee; no pertenece aDe acuerdo a la gráfica podemos afirmar: 6 A 8 B 11 A7 A 9 B 12 A 8 A 10 B 13 B

VI.- Clases de conjuntosA) Conjunto Vacio o Nulo: Cuando

no posee elementos. Se representa por:

={ } Ejemplos:A = {números naturales mayores

que 7 y menores que 8} B = {los alumnos que tienen 5

metros de estatura}Además podemos diferenciar que: 0 {0} {}

B) Conjunto Unitario: Es cuando tiene un solo elemento.

Ejemplos: A = {x/x N 8 x 10}

B = {satélites de la tierra}

C) Conjunto Finito: Es cuando se pueden enumerar o contar sus elementos en su totalidad.

Ejemplos:A = {x/x N x 99}B = {los países de América del Sur}

D) Conjunto Infinito: Es cuando sus elementos no se pueden determinar en su totalidad.

Ejemplos: A = {x/x N x 5} B = {las estrellas del universo}

E) Conjunto Universal: Es el conjunto que dentro del cual están todos los demás conjuntos, teniendo una referencia se representa por el símbolo U.

Ejemplos: A = {rosa, jazmín} B = {clavel, margarita, dalia}

F) Conjunto Potencia: Esta formado por todos los subconjuntos que es posible formar de un conjunto dado. Se simboliza por P. La notación P(A), se lee potencia del conjunto A.

A = {a, b, c}P(A)= {{a};{b};{c};{a,b};{a,c};

{b,c};{a,b,c};}

Para halla el número de subconjuntos, se aplica la formula: 2n, de donde “n” es el número de elementos. Número de subconjuntos = 2n = 23 =

8

VII.-Operaciones con conjuntosA) Intersección: Dado los conjuntos

A y B, el conjunto formado por los elementos comunes a A y B, se le llama intersección de A y B.Símbolo: se lee intersección.A B = {x/x A B}

B) Unión o Reunión: Dado los conjuntos A y B, el conjunto formado por los elementos que pertenecen a A o B, se llama unión o reunión de A y B.A B = {x/x A x B}

C) Diferencia: Dado dos conjuntos; A y B , el conjunto formado por los elementos que están en A y no están en B, se llama diferencia entre A y B.A - B = {x/x A x B}


D) Diferencia Simétrica: Diferencia simétrica de los conjuntos A y B, es el conjunto de los elementos de A y de B excepto los que pertenecen a la intersección.Símbolo: se lee diferencia simétrica.A B = (A – B) (B – A)A B = (A B) - (B A)

E) Complemento: Siendo A un subconjunto cualquiera del conjunto universal U. El complemento de A Con respecto a U se define como el conjunto de elementos de U que no pertenece a A.Se simboliza el complemento de A por A`.A`= {x U /x A}

PROBLEMAS RESUELTOS 1.- Escribe por extensión: A = {x2-1/x N; 3 x <7}Solución: en x2 –1 tenemos:32 – 1 = 842 – 1 = 1552 – 1 = 2462 – 1 = 35A = {8; 15; 24; 35}

2.- Escribe o en cada caso sobre el conjunto B.B = {2; 3; {a}; 5}

a B 3 B {a} B 5 B {2} B

{3} B {{a}} B {2;3} B {3; {a}} B B 3 + 2 B

3.- Si: A = {1; 3; 4; 5; 6; 7; 8}B = {2; 4; 6; 8; 10; 12}Halla:a.- A Bb.- A Bc.- A - Bd.- B - Ae.- A B

Solución:a.- A B = {4; 6; 8}b.- A B = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 10; 12}c.- A – B = {1; 3; 5; 7}d.- B – A = {2; 10; 12}e.- A B = {1; 2; 3; 5; 7; 10 ; 12}

4.- Durante todas las mañanas del mes de enero Fernando desayuna chocolate y/o leche. Si durante 19 mañanas desayuna chocolate y 15 mañanas desayuna leche. ¿Cuántas mañanas desayunan chocolate con leche?

Solución:19 + 15 = 34 –Enero 31 días 3

5.- Supongamos que la clase de primer año de una universidad está formada por 100 estudiantes. De estos, 40 son mujeres, 73 estudian historia, 12 son mujeres que no estudian historia, ¿cuántos hombres no estudian historia?

Solución:Hombres = 100 – 40 = 60M(40) H(60)

Hist Hist


6.- En un salón de 36 alumnos, se nota que 20 son mujeres, de las cuales 3 no estudian matemáticas. Si del total de alumnos del salón 24 estudian matemáticas. ¿cuántos hombres no estudian matemáticas?

Solución:M(20) H(16)

7.- De 74 personas entrevistadas, 41 gustan correr todas las mañanas y 52 gustan escuchar buena música. Si de 7 de ellas no gustan ni de una ni de otra actividad. ¿cuántas de dicha personas escuchan buena música solamente?

Solución: Escuchan música y/o corren:74 – 7 = 64Realizan ambas actividades:(52 + 41) – 67 = 26Luego sólo escuchan música52 – 26 = 26

8.- En un grupo de 55 personas, 25 hablan inglés , 32 francés, 33 alemán y 5 los tres idiomas. ¿cuántas personas del grupo hablan sólo dos de estos tres idiomas?

Solución:

20 - a – b + b + 27 – b – c + 33 = 55 a + b + c = 25

PROBLEMAS PROPUESTOS

1).- De 120 amigos que tengo, 92 juegan ajedrez y 32 NINTENDO. ¿cuántos practican ambos juegos a la vez, si todos juegan por lo menos alguno de estos entretenimientos?

Rpta: ........................................

2).- En la sección del 1° grado A hay 36 alumnos, de los cuales 16 gustan del curso de geografía y 28 del curso de historia; si todos gustan de por lo menos uno de los dos cursos, ¿cuántos alumnos gustan a la vez de los dos cursos?

Rpta: ........................................

3).- De un grupo de estudiantes de historia y matemáticas, W estudian ambos cursos. Si M estudian matemáticas. ¿cuántos estudian sólo matemáticas?

Rpta: ........................................

4).- En una sección de 6° de primaria los alumnos están pensando estudiar medicina o computación. Si 7 estudiaran ambas cosas, 19 estudiaran medicina, ¿cuántos estudian solamente medicina?

Rpta: ........................................

28 y x12

3 917 7

mat

I(25) F(32)

A(33)

5a c

28-a-c

20-a-b 27-b-c

55


5).- Si el conjunto A tiene 34 elementos, el conjunto B tiene 18 elementos comunes, ¿cuántos elementos pertenecen a A pero no pertenecen a B?

Rpta: ........................................

6).- Se observó en una reunión que 46 personas usaban relojes; 24 usaban pulseras y 12 usaban ambas cosas, ¿cuántas personas asistieron a la reunión si todas llevaban al menos una de las dos prendas?

Rpta: ........................................

7).- En el problema anterior, ¿cuántas personas usan solamente pulseras?

Rpta: ........................................

8).- Del problema 6, ¿cuántas personas emplean solamente relojes?

Rpta: ........................................

9).- De un grupo de personas que leen revistas Gente o Caretas, se conoce que 72 leen revistas Gente o Caretas, se conoce que 72 leen Gente, 51 Caretas y 34 solo Gente. ¿cuántas personas leen solo Caretas?

Rpta: ........................................

10).- Durante todas las noches de octubre Liliana escucha música o lee un libro. Si escucha música 21 noches y lee un libro 15 noches. ¿cuántas noches escucha música y lee un libro simultáneamente?

Rpta: ........................................11).- Expresar por extensión a los

siguientes conjuntos, y luego indica su cardinal:

R={ x2 + 1 / “x” es par; 4< x < 13 }

T={ 3x - 4 / “x” N; 11< x < 20 }

12.- Responde verdadero o falso:

B= { 12; m; {7}; 5+4 ; 7 ; 0 }

* 7 B ( ) * 5 B

( )

* p B ( ) *6x2 B

( )

* {7} B ( ) *1910 B

( )

* 9 B ( ) * n(B)=5

( )

¿Cuántas son verdaderas?

a) 2 b) 6 c) 4 d) 5 e) 3


L= { a ; 34 ; 3; k ; p ; d ; 3 ; a }

* {43} L ( )* {a;k;a} L

( )

* {4;p} L ( )* {d;3;b} L

( )

12


* {5-2} L ( )* { {3} } L

( )

* 34; k; p L ( )* {d;d;d;d} L

( )

¿Cuántas son falsas?

a) 6 b) 0 c) 1 d) 4 e) 5

14.- Si el siguiente conjunto es unitario:

H= { a+15 ; b2 –4 ; 45 }

Calcular ( a + b )

a) 33 b) 24 c) 25 d) 50 e) 37


P= { m -7 ; 33 ; 4p+9 ; 33 }

Calcula ( m + p2 )

a) 84 b) 76 c) 52 d) 90 e) 67

16.- Dados los siguientes conjuntos:

A= { 5 ;-11 ; 3 ; 14 ; 1 ; 2 }B= { 2 ; 4 ; 6 ; 5 ; 7 ; 3 }

Calcula:I.- A B II.- A B III.- A – B IV.- B – AV.- A B

17.- Dados los siguientes conjuntos:

A= { 0 ;-25 ; 1 ; 9 ; 30 ; 55 ; 2 }B= { 1 ; 3 ; 60 ; 25 ; 55 ; 9 ; 2 }

Calcula:

I.- A B II.- A B III.- A – B IV.- B – AV.- A B


T= { 2 ; {4 ; 5} ; { {3} } ; ; 7 ; 9 }

* {7 ; 4} T ( ) * {5 ; 4} T

( )

* 5+4 T ( ) * { 3 } T

( )

* T ( ) * 7 ; 9 T (

)

* { { {3} } } T ( ) * { } T

( )

¿Cuántas son verdaderos?

a) 2 b) 3 c) 6 d) 5 e) 1

19.- Si:n(A B)=20 n(A)= 12n(B)= 15

¿Cuántos elementos hay en: (A B)

a) 8 b) 7 c) 3 d) 5 e) 4

20.- Si:n(A B)=32 n(A)= 23n(B)= 17


a) 8 b) 7 c) 3 d) 5 e) 4


21.- Si:n(U)=22 n(A)= 14n(B)= 11 n(A-B)=6

Calcula: n(A B)’ a) 3 b) 6 c) 5 d) 8 e) 7

22.- Si:n(U)=28 n(A)= 16n(B)= 20 n(B-A)=10

Calcula: n(A B)’ a) 9 b) 1 c) 2 d) 6 e) 4

23.- De un total de 35 personas se sabe:

- 18 leen el Comercio.- 24 leen la República- 9 leen sólo el Comercio

I.- ¿Cuántos leen sólo la República?II.- ¿Cuántos leen el Comercio y la

República?

III.- ¿Cuántos no leen ninguno de

éstos dos diarios?

Rpta.-..................................................


- 15 gustan del teatro.- 19 gustan del cine.- 8 gustan del cine y el teatro.

I.- ¿Cuántos gustan sólo del cine?

II.- ¿Cuántos gustan sólo del teatro?

III.- ¿Cuántos no gustan ni del cine

ni del teatro?

Rpta.-...............................................


M= { 5 ; d ; {a} ;14 ; {5} ; 3 }

* d ; 3 M ( ) * {5 ; a} M

( )

* {5} M ( ) * {5} M

( )

* M ( ) * {14 ; 3} T (

)

* { {a}; {5} } M ( ) * 7x3 M

( )

¿Cuántas son verdaderos?

a) 5 b) 0 c) 1 d) 7 e) 8

26.- Dados los siguientes conjuntos:E= { 6 ;-0 ; 21 ; 13; 20 ; 41 }D= { 21 ; 13 ; 4 ; 11 ; 6 ; 0 ; 5 }

Calcula:I.- A B II.- A B III.- A – B

IV.- B – A V.- A B


Q= { x+11 ; 21 ; 21 ; y2 -4 }

Calcula ( x + y )


a) 24 b) 16 c) 19 d) 15 e) 9

28.- Si:n(A B)=42 n(A)= 30n(B)= 28


a) 18 b) 12 c) 16 d) 15 e) 14


- 21 comen pollo.- 30 comen pescado.- 13 comen pollo y pescado.

I.- ¿Cuántos comen sólo la pescado?II.- ¿Cuántos no comen pollo ni pescado?III.- ¿Cuántos no comen pescado?

Rpta.-..................................................

CLAVES12) e 13) e 14) e15) b 18) d 19) b20) a 21) c 22) c25) a 27) d 28) c

Col2004/6°P/ARIT-01 22-03-04 V.A.A

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