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10Figuras planas.
Áreas
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ACTIVIDAD
Existen multitud de aplicaciones de cálculo de áreas de figuras planas, como el ejemplo.
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Pitágoras de Samos y su tiempo
Busca en la web
Enlace al teorema de Pitágoras
Enlace historia de Pitágoras
222 cba
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Esquema de contenidos
Figuras planas. Áreas
Teorema de Pitágoras
Teorema
Aplicaciones
Longitud de la circunferencia
Áreas de polígonos
Paralelogramo
Triángulo
Trapecio
Polígono regular
Figuras planas
Ángulos en
Polígonos
Circunferencia
Áreas de figuras circulares
(Círculo, sector circular y corona circular)
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El teorema de Pitágoras
Un triángulo rectángulo tiene un ángulo recto (90º).
A B
C
SIGUIENTE
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El teorema de Pitágoras
Un triángulo rectángulo tiene un ángulo recto (90º).
Los lados que forman el ángulo recto se denominan catetos, b y c.
c
b
A B
C
SIGUIENTE
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El teorema de Pitágoras
Un triángulo rectángulo tiene un ángulo recto (90º).
Los lados que forman el ángulo recto se denominan catetos, b y c.
El lado mayor se llama hipotenusa, a.
a
c
b
A B
C
SIGUIENTE
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El teorema de Pitágoras
TEOREMA DE PITAGORAS
En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.
a
c
b
A B
C 222 cba
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Aplicaciones del teorema de Pitágoras
a
c
b
A B
C
Ejemplo: determinar si es rectángulo o no el siguiente triángulo de lados 10, 8 y 6 cm.
Tomamos el mayor de los lados, a, como hipotenusa y los otros, b y c, son los catetos.
6
8
10
c
b
a
Comprobamos si se cumple el teorema de Pitágoras.
100100 36801 222222 cba
El triángulo es rectángulo.
Si a2=b2+c2 es rectángulo.
Si a2<b2+c2 es acutángulo.
Si a2>b2+c2 es obtusángulo.
El triángulo:
SIGUIENTE
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Ejemplo: determinar la diagonal de un rectángulo de lados 12 y 27 cm.
La diagonal del rectángulo mide 28,55 cm.
55,288737291442712
22
222
d
cbd
d12 cm
27 cm
SIGUIENTE
Aplicaciones del teorema de Pitágoras
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Aplicaciones del teorema de Pitágoras
Ejemplo: determinar la altura de un triángulo equilátero de lado 4 cm.
4 cm
4 cmh
SIGUIENTE
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Aplicaciones del teorema de Pitágoras
Ejemplo: determinar la altura de un triángulo equilátero de lado 4 cm.
4 cm
4 cmh
cm 22
4
4h
22
4
SIGUIENTE
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Aplicaciones del teorema de Pitágoras
Ejemplo: determinar la altura de un triángulo equilátero de lado 4 cm.
47,42046124
2
44
22
222
h
h
4 cm
4 cmh
cm 22
4
4h
22
4
SIGUIENTE
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Aplicaciones del teorema de Pitágoras
Ejemplo: determinar la altura de un triángulo equilátero de lado 4 cm.
La altura del triángulo mide 4,47 cm.
47,42046124
2
44
22
222
h
h
4 cm
4 cmh
cm 22
4
4h
22
4
SIGUIENTE
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Aplicaciones del teorema de Pitágoras
Ejemplo: determinar la apotema de un hexágono de lado 7 cm.
cm 5,32
7
cm 7
¿Y si tuviésemos un pentágono?
SIGUIENTE
cm 7
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Aplicaciones del teorema de Pitágoras
Ejemplo: determinar la apotema de un hexágono de lado 7 cm.
cm 5,32
7
¿Y si tuviésemos un pentágono?
7a
5,32
7
SIGUIENTE
cm 7
cm 7
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Aplicaciones del teorema de Pitágoras
Ejemplo: determinar la apotema de un hexágono de lado 7 cm.
83,725,6112,25495,37
2
77
22
222
a
a
cm 5,32
7
¿Y si tuviésemos un pentágono?
7a
5,32
7
SIGUIENTE
cm 7
cm 7
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Aplicaciones del teorema de Pitágoras
Ejemplo: determinar la apotema de un hexágono de lado 7 cm.
La apotema del hexágono mide 7,83 cm.
83,725,6112,25495,37
2
77
22
222
a
a
cm 5,32
7
¿Y si tuviésemos un pentágono?
7a
5,32
7
cm 7
cm 7
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Áreas de paralelogramos
Vamos a calcular áreas de paralelogramos…
SIGUIENTE
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Áreas de paralelogramos
Vamos a calcular áreas de paralelogramos…baÁrea rectángulo
SIGUIENTE
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Áreas de paralelogramos
Vamos a calcular áreas de paralelogramos…rectángulo
cuadrado2lllÁrea
SIGUIENTE
baÁrea
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Áreas de paralelogramos
Vamos a calcular áreas de paralelogramos…rectángulo
cuadrado
rombo2
dDÁrea
SIGUIENTE
2lllÁrea
baÁrea
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Áreas de paralelogramos
Vamos a calcular áreas de paralelogramos…rectángulo
cuadrado
rombo
romboide hbÁrea
SIGUIENTE
2
dDÁrea
baAréa
2lllÁrea
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Áreas de triángulos y trapecios
2
hbÁrea
triángulo
trapecio
2
hbBÁrea
SIGUIENTE
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Áreas de polígonos regulares
22
aPapotemaperímetroÁrea
Polígono regular
La apotema es el segmento que une el centro del polígono con el punto medio de un lado.
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Áreas de figuras planas
Calcular el área de la siguiente figura:
SIGUIENTE
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Áreas de figuras planas
Calcular el área de la siguiente figura: Figura 1:
5 cm
7 cm2 5,17
2
75
21 cm
hbÁrea
SIGUIENTE
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Áreas de figuras planas
Calcular el área de la siguiente figura: Figura 1:
Figura 2:
5 cm
7 cm
10 cm
2 5,172
75
21 cm
hbÁrea
2 352
107
22 cm
hbÁrea
SIGUIENTE
7 cm
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Áreas de figuras planas
Calcular el área de la siguiente figura: Figura 1:
Figura 2:
Figura 3:
5 cm
7 cm
7 cm
10 cm
12 cm.
18 cm
6 cm
2 5,172
75
21 cm
hbAréa
2 352
107
22 cm
hbAréa
2 902
61812
23 cm
hbBAréa
SIGUIENTE
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Áreas de figuras planas
Calcular el área de la siguiente figura: Figura 1:
Figura 2:
Figura 3:
5 cm
7 cm
7 cm
10 cm
12 cm.
18 cm
6 cm
2 5,172
75
21 cm
hbAréa
2 352
107
22 cm
hbAréa
2 902
61812
23 cm
hbBAréa
2cm 5,14290355,173 2 1 ÁreaÁreaÁreatotalÁrea
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Longitud de la circunferencia
La longitud de la circunferencia de radio r es:
En una circunferencia de radio r, la longitud de un arco de α grados es:
rL 2
º360
2
rL
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Áreas de figuras circulares
Calcular el área de la siguiente figura:
2rÁrea Círculo
Sector circular
Corona circular
º360
2
rÁrea
22 rRÁrea
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Ángulos en los polígonos
Si un polígono tiene n lados, la suma de sus ángulos interiores es 180 (n – 2).
Cada ángulo interior de un polígono regular mide:
n
n 2180
El ángulo central de un polígono está formado por dos radios consecutivos.
La amplitud del ángulo central de un polígono regular de n lados es:
n
360
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Ángulos de la circunferencia
Ángulo central: es el ángulo que tiene su vértice en el centro de la circunferencia.
Su medida es igual a la de su arco.
SIGUIENTE
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Ángulos de la circunferencia
Ángulo inscrito: es el ángulo que tiene su vértice en la circunferencia y sus lados en dos rectas secantes.
Su medida es igual a la mitad de su arco.
SIGUIENTE
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Ángulos de la circunferencia
Ángulo semiinscrito: es el ángulo que tiene su vértice en la circunferencia y uno de sus lados es tangente y el otro secante.
Su medida es igual a la mitad de su arco.
SIGUIENTE
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Ángulos de la circunferencia
Ángulo interior: es el ángulo que tiene su vértice en un punto interior de la circunferencia.
Su medida es igual a la semisuma de los dos arcos que abarca.
SIGUIENTE
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Ángulos de la circunferencia
Ángulo exterior: es el ángulo que tiene su vértice en un punto exterior de la circunferencia y sus lados son secantes.
Su medida es igual a la semidiferencia de los dos arcos que abarca.
SIGUIENTE
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Ángulos de la circunferencia
Ángulo circunscrito: es el ángulo que tiene su vértice en un punto exterior y sus lados son tangentes.
Su medida es igual a la semidiferencia de los dos arcos que abarca.
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Actividad: Visualización del teorema de Pitágoras
Dirección: http://www.santillana.cl/matematica/escenas/unidad7c.htm
En la sección chilena de la Editorial Santillana, en esta actividad descubriremos de manera visual el teorema de Pitágoras.
Para desarrollarla, sigue este enlace.