Area y Perimetro de Un Tunel
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UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA
FACULTAD DE INGENIERÍA GEOLÓGICA, METALÚRGICA Y MINAS
INTRODUCCION A LA MINERÍA
CODIGO: MI102- R
ÁREA Y PERÍMETRO DE UN TUNEL
NOMBRES Y APELLIDOS:
MINCHEZ ALDERETE, JUAN DIEGO
FECHA: 18 DE SETIEMBRE DEL 2015
ÁREA DE UNA ELIPSE
El área total de la elipse es igual a cuatro veces el área del primer cuadrante es, decir:
A=4∫0
4
ydx
∴ AT=23ab+
16ab π
ÁREA TOTAL DE UNA ELIPSE
la integral
A=4 ab∫0
1
√1−u2da
A=4 ab[12 u√1−u2+12arcSen(u )]
0
1
entonces el área de la elipse es
⇒ A=abπ (área de la elipse )
PERÍMETRO DE UNA ELIPSE
El perímetro total de la elipse es igual a cuatro veces el perímetro del primer cuadrante, es decir
P=4∫0
4
ds
ds=√dx 2+dy2
x2
a2+ y
2
b2=1 ¿ {x=acosθ ¿ ¿¿
¿¿
P=4 a[∫0
π /2dθ−ε
2
2∫0
π /2(cos2θ )dθ−∑
n=2
∞ 1 .3 . 5 .. .(2n−3 )ε2n
2n .n !∫0
π /2(cos2 nθ )dθ]
Antes de resolver este, por Wallis
∫0
π /2(cos2 nθ)dθ=
1 .3 . 5. . .(2n−1)2n .n!
.π2
; Para n=1 ,2 ,3 ,4 ,. . .
Entonces
P=4 a[ π2 −ε2
2.π4
−∑n=2
∞ [1 .3 .5 .. .(2n−3 )(2n−1 )εn]2
[2n .n! ]2(2n−1 ).π2 ]
P=2πa {1−(14ε2)−∑
n=2
∞ [(1 .3.5 .. .(2n−1 )2 .4 . 6 . ..(2n ) )
2
.ε2n
2n−1 ]}Entonces el perímetro de la elipse es
⇒ P=2 πa {1−∑n=1
∞ [( 1 .3 .5. . .(2n−1)2 .4 .6 .. .(2n) )
2
.ε2 n
2n−1 ]}
ÁREA DE UN TUNEL
El túnel está formado por dos formas geométricas por un lado tenemos la parte
alta que tiene la forma de una simielipse y la parte baja que tiene forma de un
rectángulo.
AT=A1+A2
Entonces
A1=a (23 b)=23ab
A2=a ´ b ´ π , donde ¿
{a ´=a2 ¿ ¿¿¿
∴ AT=23ab+
16ab π
ÁREA TOTAL DE UNA TÚNEL (FRONTAL)
PERÍMETRO DE UN TUNEL
∴ PT=a+43b+1
2aπ (1−1
2ε 2−3
64. ε4)
Perímetro total del tunel (frontal )
PT=P1+P2
Entonces
P1=a+2(23b)=a+4
3b
P2=
2πa ´ {1−∑n=1
∞ [(1 .3 .5. . .(2n−1)2 . 4 . 6 .. .(2n) )
2
.ε2 n
2n−1 ]}2
donde a´=12a
Entonces
P2=
2π (12a){1−∑
n=1
∞ [(1 .3 . 5 .. .(2n−1 )2 .4 . 6 .. .(2n) )
2
.ε 2n
2n−1 ]}2
P2=12aπ {1−∑
n=1
∞ [(1.3 .5 . ..(2n−1)2.4 .6 . .. (2n ) )
2
.ε2 n
2n−1 ]}Para n=2
P2=12aπ {1−1
4ε2−1
4ε2−(1. 3
2. 4 )2
.ε4
3 }P2=
12aπ (1−1
2ε2−3
64. ε 4)