Apunts d'Àlgebra

8/17/2019 Apunts d'Àlgebra

1/21

Apunts d’Àlgebra (05.557)

http://furniman.blogspot.com Página 1 de 21

UOC (Universitat Oberta de Catalunya) 05.557


2/21



L’ORIGEN DELS NOMBRES ...................................................................................................... 5

NOMBRES NATURALS ................................................................................................................... 5 NOMBRES ENTERS ....................................................................................................................... 5 NOMBRES RACIONALS .................................................................................................................. 5 NOMBRES IRRACIONALS ................................................................................................................ 5 NOMBRES REALS ........................................................................................................................ 5 NOMBRES COMPLEXOS ................................................................................................................. 5

EL PRINCIPI D’INDUCCIÓ DELS NOMBRES NATURALS ........................................................... 5 FORMULACIÓ BÀSICA DEL PRINCIPI D’ INDUCCIÓ .................................................................................... 5

Tipus 1: ............................................................................................................................... 6 Tipus 2: ............................................................................................................................... 6

NOMBRES COMPLEXOS ........................................................................................................... 6

FORMA BINÓMICA ....................................................................................................................... 6 OPERACIONS AMB NOMBRES COMPLEXOS ............................................................................................ 6

Suma i resta de complexos en forma binòmica: ........................................................................ 6 Producte de complexos en forma binòmica ............................................................................... 6 Conjugat d’un nombre complex .............................................................................................. 6 Divisió de nombres complexos en forma binòmica ..................................................................... 7

FORMA POLAR............................................................................................................................ 7 De la forma binòmica a la forma polar ..................................................................................... 7 De forma polar a binòmica ..................................................................................................... 7 Operacions aritmètiques amb nombres complexos en forma polar............................................... 7 Producte i divisió de nombres complexos en forma polar ........................................................... 7

EXPONENCIAL D’ UN NOMBRE COMPLEX ............................................................................................... 7 Operacions dels nombres complexos en forma exponencial ........................................................ 7

LES ARRELS DELS NOMBRES COMPLEXOS ............................................................................................. 8

ESPAIS VECTORIALS .............................................................................................................. 8

VECTORS A L’ ESPAI RN .................................................................................................................. 8 Operacions amb vectors ........................................................................................................ 8

DEFINICIÓ D’ ESPAI VECTORIAL ........................................................................................................ 8 Subespai Vectorial ................................................................................................................ 8 COMBINACIÓ LINEAL. SUBESPAI GENERAT ........................................................................................... 8 DEPENDÈNCIA I INDEPENDÈNCIA LINEAL. BASE I DIMENSIÓ D’ UN ESPAI VECTORIAL. .......................................... 8

Coordenades d’un vector en una base ..................................................................................... 8 Dimensió del subespai ........................................................................................................... 8

MATRIUS ................................................................................................................................ 9

TIPUS DE MATRIUS ...................................................................................................................... 9 OPERACIONS AMB MATRIUS. MATRIU INVERSA. ..................................................................................... 9

Suma de matrius .................................................................................................................. 9 Producte d’un nombre per una matriu ..................................................................................... 9

Producte de dues matrius ...................................................................................................... 9 DETERMINANTS ................................................................................................................... 10

DETERMINANT ASSOCIAT A UNA MATRIU QUADRADA D’ ORDRE 2 O 3 ........................................................... 10 DETERMINANT ASSOCIAT A UNA MATRIU QUADRADA D’ ORDRE 4 O SUPERIOR ................................................. 10 Adjunt d’un element ............................................................................................................ 10 Càlcul del determinant d’una matriu quadrada a partir dels adjunts. ......................................... 10

PROPIETATS DEL DETERMINANTS .................................................................................................... 10 CÀLCUL DE LA MATRIU INVERSA ..................................................................................................... 10 RANG D’ UNA MATRIU. CÀLCUL MITJANÇANT DETERMINANTS ..................................................................... 10

Càlcul del Rang d’una matriu ................................................................................................ 11 APLICACIONS ALS ESPAIS VECTORIALS ............................................................................................. 11

Dependència i independència lineal ....................................................................................... 11

Dimensió d’un subespai generat ........................................................................................... 11 MATRIU DE CANVI DE BASE EN UN ESPAI VECTORIAL ............................................................................. 11

EQUACIONS DE RECTES I PLANS .......................................................................................... 11


3/21



EQUACIONS D’ UNA RECTA AL PLA .................................................................................................... 11 EQUACIONS D’ UNA RECTA A L’ ESPAI ................................................................................................ 11 EQUACIONS D’ UN PLA A L’ ESPAI ..................................................................................................... 12

PRODUCTE ESCALAR I ORTOGONALITAT .............................................................................. 12

PRODUCTE ESCALAR, MÒDUL D’ UN VECTOR I ANGLE ENTRE VECTORS .......................................................... 12 Propietats .......................................................................................................................... 12 Mòdul o longitud d’un vector ................................................................................................ 12

Normalització d’un vector .................................................................................................... 12 Distància d’un vector ........................................................................................................... 12 Angle entre dos vectors ....................................................................................................... 12

VECTORS I BASES ORTOGONALS A ℝN .............................................................................................. 12 Complement Ortogonal ........................................................................................................ 12 Base Ortogonal ................................................................................................................... 12

VECTOR COMBINACIÓ LINEAL D’ UNA BASE ......................................................................................... 13 PROJECCIONS ORTOGONALS ......................................................................................................... 13

Descomposició ortogonal ..................................................................................................... 13 PROCÉS D’ ORTOGONALITZACIÓ DE GRAM-SCHMIDT .............................................................................. 13

SISTEMES D’EQUACIONS LINEALS (SEL) .............................................................................. 14

CLASSIFICACIÓ ........................................................................................................................ 14 EXPRESSIÓ MATRICIAL D’UN SEL ........................................................................................ 14

DISCUSSIÓ DE SEL ............................................................................................................... 14

TEOREMA DE ROUCHÉ-FRÖBENIUS .................................................................................................. 14

SISTEMES LINEALS HOMOGENIS .......................................................................................... 15

RESOLUCIÓ DE SEL PER GAUSS ............................................................................................ 15

RESOLUCIÓ DE SEL PER CRAMER ......................................................................................... 15

INTERPRETACIÓ GEOMÈTRICA DELS SEL ........................................................................................... 16 m rectes en el pla ............................................................................................................... 16

m plans a l’espai ................................................................................................................. 16 rectes com a intersecció de plans .......................................................................................... 16

CONCEPTE D’APLICACIÓ LINEAL .......................................................................................... 17

APLICACIONS ENTRE CONJUNTS ..................................................................................................... 17 APLICACIONS LINEALS ENTRE ESPAIS VECTORIALS ................................................................................ 17

MATRIU ASSOCIADA A UNA APLICACIÓ LINEAL ................................................................... 17

NUCLI I IMATGE D’UNA APLICACIÓ LINEAL ......................................................................... 17

TEOREMA DE LA DIMENSIÓ ........................................................................................................... 17

MONOMORFISMES I EPIMORFISMES. ................................................................................... 18

CANVIS DE BASE EN UNA APLICACIÓ LINEAL. ..................................................................... 18 VECTORS (VEP) I VALORS PROPIS (VAP) ............................................................................. 18

DIAGONALITZACIÓ D’ENDOMORFISMES .............................................................................. 19

DIAGONALITZACIÓ, CONCEPTES I RESULTATS ..................................................................................... 19 APLICACIÓ AL CÀLCUL DE POTÈNCIES D’ UNA MATRIU ............................................................................. 19

TRANSLACIÓ EN 2D .............................................................................................................. 19

TRANSLACIÓ EN UN PUNT ............................................................................................................. 19

ROTACIÓ EN 2D .................................................................................................................... 19

ROTACIÓ D’ UN PUNT AL VOLTANT DE L’ ORIGEN DE COORDENADES.............................................................. 19 ROTACIÓ D’ UN OBJECTE AL VOLTANT D’ UN PUNT DE ROTACIÓ GENÈRIC ........................................................ 19

ESCALATGE EN 2D ................................................................................................................ 19

ESCALATGE D’ UN PUNT A PARTIR DE L’ ORIGEN DE COORDENADES .............................................................. 19


4/21



ESCALATGE D’ UN OBJECTE A PARTIR D’ UN PUNT FIX GENÈRIC TANT EN 2D COM 3D ......................................... 19

NOTACIÓ MATRICIAL EFICIENT ........................................................................................... 20

COMPOSICIÓ DE TRANSFORMACIONS .................................................................................. 20

TRANSFORMACIONS AFINS EN 2D ....................................................................................... 20

TRANSFORMACIONS GEOMÈTRIQUES EN 3D ........................................................................ 21

ROTACIÓ D’ UN ANGLE Θ AL VOLTANT D’ UN EIX QUALSEVOL ER ................................................................... 21


5/21



Els nombres

L’origen dels nombres

Nombres Naturals

Es representen pel símbol N N = {1,2,3,...} N * = {0,1,2,3,...} 3 ϵ N (El 3 pertany al conjunt dels nombres naturals) És un conjunt ben ordenat (qualsevol subconjunt d’ N té un element que és el més petit de tots.)

Nombres Enters

Es representen pel símbol Z Z = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}

Nombres Racionals És el format per les fraccions Es representen pel símbol Q

Els nombres naturals i enters també són racionals. Es poden expressar en forma decimal amb nombre finit de decimals o amb nombre infinit però patró periòdic.

Nombres Irracionals No es poden representar mitjançant fraccions Es representen pel símbol I Altres irracionals són π, e i les arrels quadrades dels nombres primers. En forma decimal tenen infinits decimals sense patró.

Nombres Reals Es representen pel símbol R És la unió dels conjunts de nombres Racionals i Irracionals (R = Q U I)

Nombres Comp lexos Responen a la necessitat de treballar amb √ -1 (anomenat i o j ) Es representen pel símbol C És el conjunt format per les expressions de la forma a+bi , en què a i b són nombres reals i i és tal que el seu quadrat és

igual a –1

El principi d’inducció dels nombres naturals S’empra quan es vol demostrar que una determinada propietat és certa per a tot nombre natural n:

o Demostrar que la propietat és certa per a n = 1 o Demostrar que si és certa per a n, llavors ho és per a n+1.

Formulació bàsica del principi d’inducció Sigui P una propietat definida sobre el conjunt dels nombres naturals que satisfà les dues condicions següents:

1) P(1) és vertader2) Per a tot n si P(n) és vertader, també ho és P(n+1)

Llavors, la propietat es verifica per a tot nombre natural.

La primera propietat del principi d’inducció s’anomena pas base i la segona hipòtesi d’inducció. P(n) és la hipòtesi d’inducció que s’empra per a demostrar P(n+1)

N⊂ Z⊂ Q⊂ R⊂ C


6/21



Tipus 1:

Successió = Fórmula(n)

o Comprovem que el P(1) sigui cert.o Fem: successió + següent element = fórmula(n+1) (Trobem fórmula(n+1))o Fem: successió + següent element = ? (Per inducció substituïm successió per fórmula(n))o Successió + següent element ha de ser fórmula (n+1)

Tipus 2: Fórmula(n) = Concepte

o Comprovem que el P(1) sigui cert.o Fem: formula(n) + següent elemento formula(n) és correcte per induccióo Mirar si ho és el següent element.

Nombres Complexos

Forma Binómica z = a + bi (a és la part real i b la imaginària) Per a representar un nombre complex en el pla, representarem la part real en l’abscissa (eix x) i la part imaginària en

l’ordenada (eix y) Si un nombre complex no té part real, diem que és un nombre complex imaginari pur.

Operac ions amb nom bres complexos

Suma i resta de complexos en forma binòmica:

Per a sumar nombres complexos, sumem les parts reals i les parts imaginàries per separat. La suma gràfica es faria utilitzant la llei del paral·lelogram (imatge 1)

L’oposat de z és –z z = 1 + 3i -> -z = -1 -3i Per a restar nombres complexos fem la suma amb l’oposat. (imatge 2)

Producte de complexos en forma binòmica

Per a multiplicar un nombre complex per un nombre real, multipliquem les parts real i imaginària del nombre complexpel nombre real. a · z = a · (1 + 2i ) = a · 1 + a · 2i = a + 2ai

Per a multiplicar nombres complexos multipliquem aplicant la propietat distributiva, és a dir multiplicant-ho tot per tottenint en compte que i 2 = -1

Conjugat d’un nombre complex El conjugat de z es representa per El conjugat d’un nombre complex és un altre nombre complex amb la mateixa part real però amb la imaginaria

canviada de signe. (z = 1 + 2i -> ) En el pla, el conjugat d’un nombre complex s’obté fent una simetria respecte l’eix d’abscisses . (imatge 3) Si multipliquem un nombre complex pel seu conjugat obtenim un nombre real i positiu (o zero si z=0)

Imatge 3Imatge 1

Imatge 2


7/21



Divisió de nombres complexos en forma binòmica

a+bi / n = a/n + b/n i Per a dividir dos nombres complexos, multiplicarem i dividirem pel conjugat del denominador.

Forma Polar

rθ és la manera de representar un nombre complex en forma polar.

La distància del punt (a,b) a l’origen de coordenades s’anomena magnitud o mòdul i es representa com a r. L’angle que forma la recta que uneix els punts (a,b) i (0,0) amb l’eix positiu d’abscisses s’anomena argument i es representa com a θ.

De la forma binòmica a la forma polar

Per trobar r farem:o

Per trobar θ farem: o θ = arctan(b/a) (si a és positiu)o θ = arctan(b/a) + π (si a és negatiu i b és positiu)o θ = arctan(b/a) - π (si a i b són negatius)

De forma polar a binòmica

rθ = r cos(θ) + r sin(θ) i = r (cos(θ) + sin(θ) i) - Forma trigonomètrica

sin(θ) cos(θ)Si θ ϵ (π/2, π) sin(π -θ) -cos(π -θ)Si θ ϵ (-π,-π/2) -sin(π+θ) -cos(π+θ)Si θ ϵ (-π/2,0) -sin(-θ) cos(-θ)

Operacions aritmètiques amb nombres complexos en forma polar

Per a sumar o restar dos nombres complexos en forma polar els hem d’expressar en forma binòmica i sumar-los com a

tal.Producte i divisió de nombres complexos en forma polar

Per a multiplicar dos nombres en forma polar es multipliquen els mòduls i se sumen els arguments.rθ1·s θ2 = (r·s) θ1+ θ2

Per a dividir dos nombres en forma polar es divideixen els mòduls i es resten els arguments.rθ1 /s θ2 = (r/s) θ1- θ2

Exponencial d’un nombre complex

La forma exponencial d’un nombre complex és reθi

Operacions dels nombres complexos en forma exponencial

Producteo Es multipliquen els mòduls i se sumen els arguments.

Divisió

o Es divideixen els mòduls i es resten els arguments. Conjugació

o El conjugat d’un complex en forma exponencial és el nombre complex de mòdul igual i argument oposat o

Suma i restao Per a sumar o restar nombres complexos en forma exponencial, els hem d’expressar en forma binòmica. o

Potenciacióo Per a elevar un nombre complex en forma exponencial a la potencia n, elevem a n el mòdul i multipliquem per

n l’argument.

o


8/21



Les arre ls dels nomb res complexos A diferència dels nombres reals que poden tenir una o dos o cap solució, una arrel enèsima d’un nombre complex

sempre té n solucions. Per a resoldre-ho primer passarem el nombre a forma exponencial reθi Aplicarem la fórmula:

, k=0,1,2,3...

Ara anirem substituint la k per 0,1,2... fins arribar a n solucions.

Elements d’àlgebra lineal i geometria

Espais vectorials

Vectors a l’espai R n

Donats dos punts en Rn, P(p1,p2,…,pn) i Q(q1,q2,…,qn) es defineix el vector com el segment orientat que té origena P i final a Q.

o P(5,5) i Q(7,2)

o P(-2,-3,1) i Q(3,1,0) — Operacions amb vectors u+v=(u1+v1, u2+v2, …, un+vn) (u+v) Є Rn k·u=(k·u1, k·u2, …, k·un) (k·u) Є Rn

Definició d’espai vectorial Donat un conjunt i dues operacions: La suma d’elements d’V (+) i el producte d’un element d’V per un nombre Real (·)

si:

sumao Associativa: (u + v) + w = u + (v + w) (u,v,w ϵ V)o Conmutativa: u + v = v + u o Existència d’element neutre u + 0 = 0 + u = u o

Existència d’element oposat u + v = v + u = 0 Producteo Distributiva: k · (u + v) = k · u + k · v (k,h ϵ R) o Distributiva II: (k + h) · u = k · u + h · u o Associativa: k· (h · u) = (k · h) · u o Existència d’element neutre: 1 · u = u

Els elements d’un espai vectorial s’anomenen vectors

Subespai Vectorial Si W és subconjunt de V i la suma de dos elements d’W i el producte d’un escalar per W tenen com a resultat un nou

element d’W parlem de subespai vectorial.

Comb inació l ineal. Subespai generat Un vector de dimensió n, és combinació lineal d’n vectors si cada terme d’aquest és resultat de multiplicar cada vector

per una constant.o El vector(2,-3,1) és combinació lineal de (1,0,0),(0,3,1) i (0,0,1) pq. (2,-3,1)=2(1,0,0)+(-1)(0,3,1)+2(0,0,1)

Un subespai generat d’n vectors és el conjunt dels vectors generats de multiplicar cada vector per qualsevol nombre. Els vectors sobre els que actuen s’anomena sistema generador.

Dependènci a i independènci a lineal. Base i dimensió d’un espai vectorial. Un vector és linealment dependent d’uns altres si es pot escriure com a combinació lineal dels mateixos. Si no es pot és linealment independent. El rang d’un conjunt de vectors és el nombre màxim de vectors linealment independents. El conjunt d’n vectors B=[(1,0,…0), (0,1,…,0), (0,0,...,1) s’anomena base canònica. Si V té dimensió n, un sistema generador tindrà un mínim d’n vectors. Si V té dimensió n, un conjunt linealment independent tindrà un màxim d’n vectors. Si V té dimensió n, i n vectors linealment independents, es diu que és base de V.

Coordenades d’un vector en una base Si tenim una base de V (B) amb els vectors u1 ... un, per a cada vector (v) hi ha un únic conjunt de nombres reals tals

que v = c1·u1 + ... + cn·un. A aquest nombres se’ls anomena coordenades de v en la base B.

Dimensió del subespai S’anomena dimensió del subespai (dimW) al nombre de vectors d’una base.


9/21



Matrius

Una matriu A és una taula composta per m x n elements distribuïts en m files i n columnes. Un element se sól representar per aij. (i fila, j columna) m x n és la Dimensió o mida de la matriu. Dues matrius son iguals si tenen la mateixa dimensió i tots els elements són iguals en el mateix lloc. Si permutem files per columnes trobarem la matriu trasposada d’A (At)

Tipus de Matr ius A és una matriu fila si té una única fila (m=1) A és una matriu columna i té una única columna (n=1) A és una matriu nul·la si tots els seus elements són 0 A és una matriu quadrada d’ordre n si té el mateix nombre de files que de columnes ( m = n)

o La diagonal principal d’una matriu quadrada és el conjunt de tots els elements de forma aii A és una matriu quadrada simètrica si A = At A és una matriu quadrada diagonal si tots els elements excepte els de la diagonal principal són 0. A és una matriu quadrada identitat d’ordre n si és diagonal i tots els elements són 1. A és una matriu quadrada triangular superior si tots els elements situats per sota de la diagonal principal són 0. A és una matriu quadrada triangular inferior si tots els elements situats per sobre de la diagonal principal són 0.

Operacions amb m atr ius. Matr iu Inversa.

Suma de matrius Per sumar (o restar) dues matrius has de tenir la mateixa dimensió i se sumen (o resten) terme a terme La suma de matrius verifica les propietats següents:

o Associativa. (A + B) + C = A + (B + C)o Commutativa. A + B = B + Ao Element neutre A + 0 = 0 + A = Ao Hi ha element oposat A + (-A) = (-A) + A = 0 A=(aij) i –A = (-aij)

Producte d’un nombre per una matriu Es multiplica el nombre per cada un dels elements de la matriu. El producte d’un nombre (escalar) per una matriu verifica les propietats següents:

o k·(A+B) = k·A + k·Bo (k+h)·A = k·A + h·Ao k·(h·A) = (k·h)·Ao 1·A=A·1=A

Producte de dues matrius El nombre de columnes d’A ha de coincidir amb el nombre de files de B. S’obté una nova matriu amb tantes files com A i columnes com B.

El producte de matrius verifica les propietats següents:o És associatiu: (A·B)·C = A·(B·C)o NO és conmutatiu: A·B ≠ B·Ao Si A és una matriu quadrada d’ordre n: A·In=In·A=A (In és la matriu identitat d’ordre n) o Si A és una matriu quadrada d’ordre n, no sempre hi ha una matriu tal que A·B=B·A=In

Si existeix s’anomena matriu inversa (A-1) Una matriu que no té inversa s’anomena matriu singular

o És distributiu respecte a la suma: A·(B+C) = A·B+A·C (A+B)·C = A·C+B·C


10/21



Determinants

Determinant associat a una matriu quadrada d’ordre 2 o 3 Si la matriu és 1x1 el determinant és el nombre que compon la matriu. Si la matriu és 2x2, el determinant és el producte dels elements de la diagonal.

Si la matriu és de 3x3:

Determinant associat a una matriu quadrada d’ordre 4 o superior

Adjunt d’un element

És el determinant que resulta eliminant la fila i columna a la que pertany l’element. El signe de l’adjunt serà:

Càlcul del determinant d’una matriu quadrada a partir dels adjunts. Buscarem la fila o columna que més ceros tingui. El determinant és el resultat de sumar el producte de tots els termes de la fila o columna escollida pel seu adjunt.

Propietats del determin ants

El determinant d’una matriu és igual al de la seva transposada Si partim d’un determinant inicial i s’intercanvien de posicio dues files o dues columnes, el valor del nou determinant és

el mateix però de signe contrari Si un determinant té dues files o columnes iguals o proporcionals, el seu valor és 0. Si un determinant té una fila o columna tota de zeros, el seu valor és 0. Multiplicar un determinant per un número és equivalent a multiplicar una sóla fila o columna pel número. Si tots els element d’una fila o columna d’un determinant estan formats per dos sumands, el determinant es pot

descompondre com a suma de dos determinants. Si els elements d’una fila o columna són combinació lineal de les altres, el determinant val 0. Si a una fila o columna se li suma els elements d’una altra línea multiplicats per un número (ouna combinació lineal de

les altres) el valor del determinant no varia. El determinant d’un producte de matrius és igual al producte dels determinants. |A·B| = |A|·|B|

Càlcu l de la mat riu inv ersa

Una matriu té inversa (no és singular) si el seu determinant no és nul. Per calcular-la apliquem: , és a dir:

o Calculem el seu determinant i veiem que no és 0.o Calculem la matriu d’adjunts (A’) o Transposem (canviant files per columnes) la matriu (A’)T o Multipliquem la matriu transposada per 1 dividit pel determinant

Rang d’una matriu. Càlcul mitjançant determinants És el nombre de files o columnes linealment independents. Es denota com rg(A) S’anomena menor d’ordre h a qualsevol determinant que s’obtingui després de seleccionar h files i columnes d’una

matriu. S’anomena orlat d’un menor, el determinant que s’obté després d’afegir al menys, de forma ordenada, els elements

d’una nova fila i columna. El rang d’una matriu no nul·la és determinat per l’ordre del major menor no nul.


11/21



Càlcul del Rang d’una matriu Per a saber el rang d’una matriu partirem d’un nombre diferent de 0. Fem tots els determinants que podem (menors d’ordre 2) que inclouen el nombre anterior fins a trobar un diferent de

0. Si no en trobem cap, el rang és 1. Orlem el menor anterior. Si no n’hi ha cap diferent de 0, el rang serà 2. Repetim el procés fins que no puguem orlar el menor.

Aplic acions als espais vector ials

Dependència i independència lineal Un conjunt d’n vectors són linealment independents si el rang de la matriu que els allotja és n Un conjunt d’n vectors són linealment dependents si el rang de la matriu que els allotja és menor que n

Dimensió d’un subespai generat La dimensió d’un espai generat, coincideix amb el rang de la matriu

Matriu de canvi de base en u n espai vector ial

En aquest cas, el vector que tingui coordenades (1,1,0) en base B tindrà les coordenades següents en base A:

Equacions de rectes i plans

Equacions d’una recta al pl a Si tenim una recta r, que passa per dos punts P(p1,p2) i Q(q1,q2), podem considerar un vector director

v=

=(v1,v2)=(q1-p1,q2-p2). (x,y) és qualsevol altre punt de la recta.

Equació vectorial X=P+k·v, on k Є R (x,y)= (p1,p2)+k·(v1,v2)Equacions paramètriques ℝ Equació continua

Equació punt-pendent Equació explícita y=m·(x-p1)+p2 = m·x-m·p1+p2 o sigui y=m·x+n essent n=-m·p1+p2 l’ordenada a l’origen Equació genèrica Ax+By+C=0, on A=v2 , B=-v1 i C=-v2·p1 + v1·p2

Equacions d’una recta a l’espai Equació vectorial (x,y,z)= (p1,p2,p3)+k·(v1,v2,v3)Equacions paramètriques Equacions continues


12/21



Equacions d’un pla a l’espai

L’equació d’un pla a l’espai ℝes determina per un punt del pla P(p1,p2,p3) i dos vectors no nuls i no proporcionals (és adir, no paral.lels) u=(u1,u2,u3) i v(v1,v2,v3)

Equació vectorial (x,y,z)= (p1,p2,p3)+ k·(u1,u2,u3) + h·(v1,v2,v3) on k,h ℝ Equacions paramètriques

on k,h ℝ

Equacions general A partir de l’equació =0 s’obté Ax+By+Cz+D=0 Producte escalar i ortogonalitat

Producte escalar, mòdul d’un vector i angle entre vectors u=( u1,u2,...,un) ; v=( v1,v2,...,vn) u·v = u1·v1 + u2·v2 + ... + un·vn El producte escalar de dos vectors a ℝ dóna com a resultat un nombre real. En notació matricial es podría escriure com:

Propietats

u · v = v · u (u + v) · w = u · w + v · w (c · u) · v = c (u · v) = u · (c · v) u · u ≥ 0 (només es 0 si u = (0,0,...,0) -vector nul-)

Mòdul o longitud d’un vector

o |u|≥0 i |u|=0 si u=0o |c ·u| = |c |·|u| (on |c | és el valor absolut de c )o |u·v| ≤ |u|·|v| (desigualtat de Cauchy-Schwarz)o |u+v| ≤ |u| + |v| (desigualtat triangular)

Normalització d’un vector

vector unitari: És aquell vector de mòdul o longitud 1 normalització d’un vector: Consisteix en obtenir un vector unitari amb la mateixa direcció i sentit que un altre.

o v=u /|u|

Distància d’un vector

dist(u,v) = |u – v| (Es resten els vectors i es troba el mòdul)

Angle entre dos vectors

Val per a ℝ2

o ℝ3

θ Є [0,∏]

Vectors i bases ortog on als a ℝn Dos vectors son ortogonals (perpendiculars) si u · v = 0 El vector 0 = (0, 0, ..., 0) de ℝn és ortogonal a tot vector d’ ℝn

Complement Ortogonal

Complement Ortogonal: És el conjunt de tots els vectors u d’ ℝn que són ortogonals al subespai W Es denota per W ┴ Un complement ortogonal d’un subespai vectorial d’ ℝn és també un subespai vectorial d’ ℝn

Base Ortogonal

Si tenim una base d’un subespai vectorial (W), B és base ortogonal de W si els vectors que la componen sónortogonals entre ells. ui · u j = 0

Si a més tots els vectors que la componen són unitaris parlem de base ortonormal de W


13/21



Vector combinació lineal d’una base Si tenim una base B={u1, u2, ..., up} d’un subespai W a ℝn, podem trobar un vector v de W que sigui combinació lineal

de la base trobant les coordenades c1, c2, ..., cp

v = c1u1 + c2u2 + ... + cpup

Per a trobar les ci caldrà resoldre un sistema del tipus:

Si la base és ortogonal aquest sistema se simplifica bastant:

ci = v·ui / ui · ui (i=1,2,...,p)

Projecc ions Ortogonals Tenim un vector v de ℝn, un subespai vectorial W de ℝn i una base ortogonal B={u1, u2, ..., up} de W

PO(v,W ) = v* = c1u1 + c2u2 + ... + cpup amb c i = v · ui / ui· ui (i = 1,2,...,p)

Descomposició ortogonal

Qualsevol vector d’ ℝn es pot escriure com:v = v* + z ;

z = v – v* és un vector de W ┴ .

|z| és la distancia més curta d’un punt d’v a W

Procés d’ortogonalització de Gram-Schmidt Permet obtenir una base ortogonal per a qualsevol subespai ℝn no trivial (que no només conté el vector 0 de ℝn)Sigui W un subespai vectorial d’ ℝn i B={u1, u2, ..., up} una base qualsevol de W.1) Es pren v1=u1 i es considera W 1=2) Es pren v2=u2 – PO(u2, W 1) i es considera W 2=3) Es pren v3=u3 – PO(u3, W 2) i es considera W 3=4) Es pren v4=u4 – PO(u4, W 3) i es considera W 4=

...p) Es pren vp=up – PO(up, W p-1)


14/21



Sistemes d’equacions lineals (SEL)

Sistemes d’equacions lineals (SEL)

Un sistema d’ m equacions lineals amb n incògnites (SEL) és un conjunt de relacions de la forma:

ℝ s’anomenen coeficients del sistema. ℝ s’anomenen incògnites del sistema. ℝ s’anomenen termes independents del sistema. Dos sistemes d’equacions són equivalents si tenen el mateix nombre d’incògnites i les mateixes solucions, encara que

puguin tenir un nombre d’equacions diferents.

Classif icació Si un sistema d’equacions (lineal o no) té solució s’anomena sistema compatible. Si un sistema d’equacions (lineal o no) NO té solució s’anomena sistema incompatible. Si un sistema d’equacions lineal te una única solució s’anomena sistema compatible determinat. Si un sistema d’equacions lineal te infinites solucions s’anomena sistema compatible indeterminat.

Expressió matricial d’un SEL

Es possible expressar un sistema d’equacions lineals com a producte de matrius.

o equivalentment A·X=Bo A és la matriu de coeficientso X és el vector d’incògnites o B és el vector de termes independents

També existeix la matriu de coeficients ampliada

Discussió de SEL

Consisteix en determinar quin tipus de sistema és el SEL

Teo rema d e Ro uché-Fröben iu s Donat un sistema d’m equacions lineals i n incògnites es compleix que:

o Si rg(A) = rg(M) = n tenim un SCD (Sistema compatible determinat)o Si rg(A) = rg(M) = r < n tenim un SCI (Sistema compatible indeterminat)

Es diu que té n – r graus de llibertat

o Si rg(A) < rg(M) és un SI (Sistema incompatible)

A és la matriu de coeficients i M la matriu de coeficients ampliada.


15/21



Sistemes lineals homogenis

Un SEL és homogeni si tots els seus termes independents són 0.

és a dir A·X = 0o A és la matriu de coeficientso X és el vector d’incògnites

o En els SEL homogenis sempre rg(A) = rg(M), per tant són sempre compatibles Com a mínim accepten la solució trivial x1 = x2 = ... =xn = 0 Per saber si un SEL homogeni té només la solució trivial o en té infinites cal esbrinar si rg(A)=n

o Es cas afirmatiu és un SCD amb una única solució (la trivial)o En cas negatiu seran infinites solucions (la trivial inclosa)

Resolució de SEL per GAUSS

Consisteix en aplicar operacions sobre les files i columnes d’una matriu de coeficients ampliada M, de manera que estransformi en una nova matriu E amb les següents característiques:

o E i M representen sistemes d’equacions equivalents. o La matriu E està esglaonada inferiorment, és a dir, és de la forma:

és a dir

Les operacions que podem fer per arribar a la matriu esglaonada son:o Transposar dues fileso Transposar dues columnes (també s’altera l’ordre de les variables en el SEL) o Multiplicar una fila per un escalar no nul i sumar-la a una altra (sumar a una fila una combinació lineal de les

altres)o Eliminar una fila de zeros

Un cop tinguem la matriu esglaonada, aïllarem una incògnita en funció de les altres i substituirem a l’equació superior isuccessivament.

El nombre d’equacions no nul·les ens dona també el Rang de la Matriu.

Si tenim menys equacions que incògnites s’expressaran en funció de les altres i s’anomenaràgrau de llibertat.

Resolució de SEL per CRAMER

Per aplicar Cramer, la matriu de coeficients A ha de ser quadrada i de determinant no nul i es verifica que:o És compatible determinato

La solució s’obtè amb les expressions següents.

També podem resoldre per Cramer el cas de que tinguem més incògnites que funcions passant una d’elles a la columnade termes independents.


16/21



Interp retaci ó geomètric a dels SEL

m rectes en el pla És a dir m equacions amb dues incògnites (x,y) Per tant:

o Si el sistema és compatible determinat existeix un únic punt (x0, y0) on es tallen les m recteso Si el sistema és compatible indeterminat les m rectes tenen infinits punts en comú, és a dir, és la mateixa

recta expressada de diferents formeso Si el sistema és incompatible, no hi ha cap punt en comú (si m=2 són paral·leles)

m plans a l’espai Un pla es representa com una equació lineal de tres incògnites:

o ᴨ : ax + by +cz = d Per tant:

o Un SEL d’m equacions amb 3 incògnites es pot interpretar com un conjunt d’m plans a l ’espai o Si un SEL és compatible determinat existirà un únic punt (x0, y0, z0) on s’intersecaran els m plans.

Si tenim dos plans (m=2) mai es tallaran en un únic punt (o serà el mateix plà o es tallaran en unarecta)

o Si un SEL és compatible indeterminat hi haurà infinites solucions que verifiquin les m equacions, és a dir quees tallaran en una recta o serà el mateix pla.

o Si un SEL és incompatible els m plans no tindran cap punt d’intersecció.

rectes com a intersecció de plans Atès que la intersecció de dos plans dona una recta, podem determinar una recta així:

o Així doncs podem determinar la posició relativa d’una recta en un pla discutint un sistema de 3 equacions amb 3

incògnites.o Si el sistema és incompatible la recta està en un altre pla paral·lelo Si el sistema és compatible determinat la recta talla al pla en un punto Si el sistema és compatible indeterminat la recta pertanyerà al pla

D’altra banda podem estudiar la posició relativa de dues rectes amb un SEL de quatre equacions i 3 incògnites:

o

o Si el sistema és incompatible les rectes seran paral·leles o es creuaran però pertanyeran a plans paral·lels.o Si el sistema és compatible determinat les rectes es tallaran en un punt.o Si el sistema és compatible indeterminat les rectes seran la mateixa.


17/21



Aplicacions lineals

Concepte d’aplicació lineal

Apl icac ions ent re conjunts Una aplicació f d’un conjunt origen A en un conjunt destí B és una relació de correspondència que assigna a cada

element a Є A un únic element b Є B b és la imatge de a per f. Per extensió s’anomena imatge de A per f al subconjunt de B format per totes les imatges

dels elements de A. Es representa:

o Una aplicació és injectiva si a elements diferents del conjunt origen corresponen elements diferents del conjunt

destinació. Una aplicació és suprajectiva (o exhaustiva) quan tots els elements del conjunt origen tenen imatge. Una aplicació és bijectiva quan és injectiva i suprajectiva alhora.

Aplic acions l ineals entre espais vector ials Tenim dos espais vectorials (U,+,·) i (V,+,·) d’

ℝ. f és una aplicació entre U i V

U → V és una aplicació lineal o homomorfisme si:o u1, u2 ϵ U, f(u1 + u2) = f(u1) + f(u2)o u ϵ U, λ ϵ ℝ, f(λ · u) = λ · f(u)

Ó el que és equivalento u1, u2 ϵ U, λ1, λ2 ϵ ℝ, f(λ1 · u1 + λ2 · u2) = λ1 · f(u1) + λ2 · f(u2)

Una aplicació lineal s’anomena endorfisme quan l’espai origen és el mateix que el destí. f:U→ U

Matriu associada a una aplicació lineal

N’hi ha prou en conèixer com actua l’aplicació lineal sobre els elements d’una base origen per a conèixer com actuaràsobre qualsevol altre vector de l ’espai origen.

Exemple:

BU = {(1,0,1),(0,1,1),(-1,2,2)} és una base d’ ℝ3Les imatges són: {(2,4),(1,3),(0,3)}

M(f |Bℝ3, Bℝ2)= Per tant qualsevol vector u d’ ℝ3 expressat com a combinació lineal d’ Bu es pot resoldre:u = (-7,5,0) = -5·(1,0,1) + 1 · (0,1,1) + 2 · (-1,2,2)

Nucli i imatge d’una aplicació lineal

nucli o kernel de l’aplicació és el conjunt de tots els vectors de l ’espai origen la imatge dels quals sigui en vector nul.

Teorema de la dimens ió

Sigui f: U → V una aplicació lineal, es compleix que:dim U = dim Ker(f) + dim Im(f)


18/21



Monomorfismes i epimorfismes.

Si una aplicació lineal o homomorfisme éso injectiva parlem de monomorfisme o suprajectiva parlem d’ epimorfisme o bijectiva parlem d’ isomorfisme

Si f : U→ V és una aplicació lineal de les bases BU={u1,u2, … , un} i Bv={v1,v2, … , vn}:o Si f és un monomorfisme

Ker(f )={0} ( dim Ker(f ) és injectiva) M(f|BU, BV) té rang n = dim U

o Si f és un epimorfisme Im(f )=V ( dim Im(f ) = dim V) M(f|BU, BV) té rang m = dim V

Canvis de base en una aplicació lineal. C3 = {(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)} és una base d’ ℝ3

Les imatges són: C2 = {(1,0),(0,1)}

La matriu associada és M(f |C3, C2)=

Si tenim unes noves bases A={(1,0,0),(1,-1,0),(0,0,1)} i B={(2,0),(1,-1)} quina serà la matriu associada M(f|A,B)?

1. Calculem la matriu Q-1 associada al canvi de B a C2

2. Obtenim la matriu P associada al canvi de A a C3

3. Apliquem la fòrmula

Vectors (VEP) i valors propis (VAP)

Si f : U → U és un endomorfisme, es diu que un vector no nul de U, u ϵ U \ {0}, és vector propi de f (VEP) si existeixλ ϵ ℝ tal que f (u) = λ · u

El valor λ s’anomena valor propi associat al vector propi u(VAP)

o o u = (2,3) és vector propi d’f o λ = 4 és el valor propi associat.

La funció que permet trobar els valors i vectors propis d’f en foema de determinants és:|M|(f |A,B) - λ ·In|=0

|M|(f |A,B) - λ ·In| s’anomena polinomi característic d’ f . p( λ)=|M - λ ·In| Les arrels del polinomi característic determinen els VAP’s:

Ex: (5-λ)2 => VAP λ=5 (multiplicitat 2)

M - λ ·In és nucli de l’aplicació i per tant serà un subespai vectorial d’U


19/21



Diagonalització d’endomorfismes

Diagonal i tzació, con ceptes i resultats Sigui f :U → U un endomorfisme i sigui n = dim U, f és diagonalitzable si:

1) El polinomi característic descompon completament en factors reals de grau 1 (possiblement repetits)2) La multiplicitat de cada VAP coincideix amb la dimensió de l’espai vectorial generat pels seus VEP associats.

o És a dir, resolem un sistema homogeni per a cada λ. Si els vectors resultants son linealment independents, la

matriu és diagonalitzable (pels seus VAPS), l’ordre donaria el mateix.

Aplicació al càlcul de potències d’una matriu Tm = P · Dm · P-1 m ϵ ℕ

Transformacions Geomètriques

Translació en 2D

Translació en un p unt Per a traslladar un punt P a P’ fem (x’, y’) = (x,y) + (tx, ty) El vector (tx, ty) s’anomena vector de translació.

Rotació en 2D

Rotació d’un punt al voltant de l’origen de coordenades P’=R·P

P’ = R és la matriu de rotació Rotació d’un objecte al voltant d’un punt de rotació genèric

Apliquem una translació a l’objecte i al punt de rotació, de manera que l’últim coincideixi amb l’origen de coordenades Rodem l’objecte al voltant de l’origen de coordenades. Traslladem l’objecte a la posició inicial

Escalatge en 2D

Escalatge d’un punt a partir de l’origen de coordenades P’=S·P

P’ = R és la matriu d’escalatge Els factors d’escala sx i sy poden prendre qualsevol valor positiu

o Els factors d’escala superiors a 1 produeixen un allunyament respecte l’eix de coordenadeso Els factors d’escala inferiors a 1 produeixen un apropament respecte l’eix de coordenades

Escalatge d’un objecte a partir d’un punt fix genèric tant en 2D com 3D Apliquem una translació a l’objecte i al punt de rotació, de manera que l’últim coincideixi amb l’origen de coordenades Escalem l’objecte a partir de l’origen de coordenades. Traslladem l’objecte a la posició inicial


20/21



Notació matricial eficient

De tot l’anterior deduïm que tant la translació, com la rotació, com l’escalatge presenten expressions de la formageneral:

P’ = M1 · P + M2

o P’ =

o o M2 és un vector columna que conté els termes de translació. M2 = 0 en cas de rotacions i escalatges. La fórmula anterior té el problema de que s’ha de repetir per cada pas, hem de trobar una manera més genèrica:

o Translació d’un punt 2D / 3D

La inversa de la matriu de translació es pot obtenir reemplaçant els paràmetres tx i ty pels seusoposats -tx i -ty

o Rotació d’un punt al voltant de l’origen (2D)

al voltant de l’eix Z

al voltant de l’eix X

al voltant de l’eix Y

La inversa de la matriu de rotació s’obté reemplaçant els paràmetres θ per -θ

o Escalatge d’un punt a partir de l’origen:

La inversa de la matriu d’escalatges s’obté reemplaçant els paràmetres sx i sy pels seus inversos 1/sx i

1/sy

Composició de transformacions

Translació: T(tx2,ty2) · T(tx1,ty1) = T(tx1+tx2 , ty1+ty2) Rotació: R(θ2)· R(θ1) = R(θ1 + θ2) Escalatge: S(sx2,sy2)· S(sx1,sy1)= S(sx1·sx2,sy1·sy2)

Transformacions afins en 2D Una transformació afí en 2D és una transformació de coordenades de la forma:

o x’= a11x + a12y + b1 y’= a21x + a22y + b2


21/21


Transformacions geomètriques en 3D

Rotació d’un angle θ al voltant d’un eix qualsevol er 1. Apliquem una traslació de vector (tx,ty,tz) a l’objecte i a er de manera que aqeust passi per l ’origen de coordenades 2. Aconseguim que l’eix de rotació coincideixi amb algún dels eixos de coordenades, per al qual cal fer dues rotacions

d’angles ϕ i φ (tant a l’objecte com a er) per a primer portar e, sobre un pla coordenat (ex. yz rodant sobre y) i desprèssobre l’eix coordenat escollit (p.ex. z rodant al voltant d’x)

3. Aplicar a l’objecte la rotació d’angle θ al voltant de la nova posició de l’eix de rotació e’ r (que serà algún dels eixos

coordenats)4. Desfer les rotacions del pas 2 (aplicant una rotació -ϕ i –φ) 5. Desfer la translació inicial. (-tx,-ty,-tz)

Apunts d'Àlgebra

Documents

Transcript of Apunts d'Àlgebra