Apuntes y prácticas de Cálculo Numérico Grado en Qu´ımica … · 2016. 4. 14. ·...

Apuntes y prácticas de Cálculo Numérico

Grado en Qúımica

Universidad de Alcalá

CURSO 2015-16

Profesores de la asignatura:

Roberto Costas

Fernando Garćıa

Carlos Hermoso

Edmundo Huertas

Contents

1 Introducción al Cálculo Numérico 1

1.1 Cálculos exactos versus cálculos aproximados . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Errores. Notación en Coma Flotante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3 Propagación de errores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.4 Problemas numéricos. Condicionamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2 Solución de ecuaciones de una variable. Caso de sistemas. 9

2.1 Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2 Método de Newton-Raphson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.3 Método de Jacobi para sistemas de ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . 12

3 Interpolación 15

3.1 Polinomio interpolador. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.2 Interpolación de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.3 Método de Diferencias Divididas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.4 Comentarios adicionales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

4 Integración numérica; resolución numérica de ecuaciones diferenciales 23

4.1 Integración numérica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244.1.1 Regla de los Trapecios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244.1.2 Regla de Simpson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4.2 Introducción a la resolución numérica de ecuaciones diferenciales . . . . . . 274.2.1 Método de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274.2.2 Métodos de Taylor de mayor orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294.2.3 Métodos de Runge-Kutta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

I Prácticas de Cálculo Numérico. Grado en Qúımica 31Práctica 1. Introducción a Octave 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33Práctica 2. Introducción a Octave 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34Práctica 3. Método de Newton-Raphson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35Práctica 4. Método de Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36Práctica 5. Interpolación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37Práctica 6. Integración numérica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39Práctica 7. Ecuaciones diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

Introducción al Cálculo Numérico

1.1 Cálculos exactos versus cálculos aproximados

Decimos que un número está representado de forma exacta, si en dicha representación nohay error: por ejemplo,

√3, π, e, 2/3 son representaciones exactas de distintos números.

En cambio, una aproximación conlleva necesariamente un cierto error: por ejemplo,1′732050808 es una aproximación de

√3, y 0′666666 es una aproximación de 2/3. Si bien

las representaciones exactas son clásicas en Matemáticas, y tienen indudables ventajas,cuando queremos trabajar con calculadoras y herramientas informáticas (salvo que uti-licemos software especializado) en general es necesario aproximar. Esto tiene ventajas ydesventajas: por una parte, cuando aproximamos podemos realizar cálculos de manerarápida, sin consumir excesiva memoria en nuestros aparatos; sin embargo, el error crececonforme vamos operando con cantidades que inicialmente ya teńıan un cierto error. Acambio, los cálculos realizados con cantidades exactas producen a su vez resultados exactos,pero al precio de generar expresiones progresivamente más complicadas, y costosas dealmacenar y manejar. Por ejemplo, si evaluamos el polinomio f(x) = x2 − x − 2 enx = π obtenemos f(π) = π2 − π + 2, que es una expresión más complicada que la inicial(π); sin embargo, si aproximamos x ≈ 3′141592654 se tiene que f(π) ≈ 4′728011750,que es del mismo tamaño que la expresión inicial. Asimismo, decimos que un métodode resolución de un problema es exacto si produce soluciones exactas; por ejemplo, pararesolver la ecuación x2 − x − 4 = 0 podemos aplicar la fórmula usual, que nos devuelvecomo soluciones (exactas):

x =1±

√17

2=

1

2±

√17

2.

A cambio, decimos que un método es aproximado si proporciona una aproximación dela solución. Los métodos exactos tienen la indudable ventaja de producir resultados libresde errores. Sin embargo, por un lado no siempre es posible aplicar este tipo de métodos.Por ejemplo, no existe ninguna fórmula general que permita calcular las soluciones de unaecuación polinómica de grado superior a 4, o de ecuaciones que no son polinómicas: siqueremos resolver x2+ln(x) = 0, no existen métodos exactos que proporcionen la solución;sin embargo, un método aproximado, aplicado a esta ecuación, arroja la solución 0′652919.

2 Introducción al Cálculo Numérico

Por otra parte, cuando el problema incorpora datos que tienen que ver con procesos demedida (y que en consecuencia están afectados de un cierto error), pierde sentido abordarsu resolución de manera exacta. Podemos resumir del siguiente modo las caracteŕısticasde las representaciones y métodos exactos/aproximados:

Rep. exacta Rep. aproximada

Libre de errores Conlleva un cierto errorProduce cantidades exactas Propagación del errorLento, consume memoria Rápido, consume poca memoria

Poco realista en contextos aplicados RealistaNo siempre podemos producirla

Podemos definir el Cálculo Numérico como la parte de las Matemáticas que se encarga dedesarrollar métodos aproximados para resolver problemas matemáticos, y de estu-diar el error cometido. Las caracteŕısticas de los métodos numéricos son, esencialmente,las que constan en la columna de la derecha del cuadro anterior.

1.2 Errores. Notación en Coma Flotante.

Cuando realizamos cálculos aproximados, o con cantidades aproximadas, es importantemedir el error que estamos cometiendo. En este sentido, consideramos la siguiente defini-ción.

Definición 1.2.1. Sea z la solución exacta a un problema, y sea z̃ la solución aproximada.Se define el error absoluto como

ϵa(z) = ∥z − z̃∥,

donde ∥·∥ representa el valor absoluto, cuando z, z̃ son números reales, o el módulo cuandose trate de cantidades vectoriales.

Se define el error relativo como

ϵr(z) =∥z − z̃∥∥z∥

.

Esta última cantidad puede darse también en porcentaje (multiplicando por 100 dichacantidad)1.

Ejemplo 1.2.1. Si z = 631 y z̃ = 630, se tiene un error absoluto de 1, y un error relativode 1/631; en porcentaje, 0′1585% (es decir, muy bajo). Sin embargo, si z = 11 y z̃ = 10,se tiene también un error absoluto de 1, pero en cambio un error relativo de 1/11, enporcentaje, 9%.

Definición 1.2.2. Decimos que el número p⋆ aproxima a p con t cifras significativas si tes el mayor entero no negativo para el cual

∥p− p⋆∥∥p∥

< 5× 10−t.

Ejemplo 1.2.2. Si p = 0′54617 y p⋆ = 0′54610, se tiene que

∥p− p⋆∥∥p∥

= 0′0001281652233 < 0′0005 = 5× 10−4.

Por lo tanto, p⋆ es una aproximación de p con cuatro cifras significativas.

1Si z = 0, solo se trabaja con errores absolutos.

1.2 Errores. Notación en Coma Flotante. 3

En buena medida, la importancia del Cálculo Numérico tiene que ver con la utilizaciónmasiva de ordenadores para realizar cálculos. En este sentido, en un ordenador los númerosse almacenan y manipulan mediante su representación en coma flotante: utilizandola notación decimal, ésta es2

± 0′d1d2 . . . dk × 10n, 1 ≤ d1 ≤ 9, 0 ≤ di ≤ 9 para i = 2, . . . , k

donde:

• la primera posición corresponde al signo.

• la parte 0′d1d2 . . . dk recibe el nombre de mantisa.

• el exponente n puede ser positivo o negativo, y está acotado en valor absoluto.

Como consecuencia, para cada número solo podemos almacenar una cantidad finita ded́ıgitos. Esto supone un problema, con respecto a la concepción habitual de las Matemáti-cas. En concreto, buena parte de las Matemáticas que manejamos operan sobre el conjuntode los números reales, R. Sin embargo, en este conjunto todas las cantidades irracionales(√3, π, e, etc.) tienen infinitas cifras decimales que no se repiten. En consecuencia,

cuando trabajamos con ellas en un ordenador (salvo que se utilicen paquetes de softwareapropiado, llamados de “cálculo simbólico”) no tenemos más remedio que aproximarlas.En concreto, para representar un número en coma flotante tenemos que producir unamantisa con k d́ıgitos; si el número es

y = 0′d1d2 . . . dkdk+1dk+2 . . .× 10n,

tenemos dos opciones:

• Truncamiento:fl(y) = 0′d1d2 . . . dk × 10n.

• Redondeo: si dk+1 ≥ 5, sumamos 1 a dk, y truncamos el desarrollo en el decimalk-ésimo; si dk+1 < 5, truncamos el desarrollo en el decimal k-ésimo sin sumar nada.

El error que resulta al sustituir un número por su representación en coma flotante (yasea por truncamiento o por redondeo) se llama error de redondeo. Observemos que encoma flotante podemos representar números positivos (resp. negativos) en un intervalo[a, b]; por ejemplo, bajo determinadas condiciones este intervalo es [10−78, 1076]. Por lotanto, para el ordenador cualquier número por debajo del extremo de la izquierda, es 0(esto se conoce como underflow error); si en los cálculos aparecen cantidades por encimadel extremo de la derecha, el ordenador no puede representarlo y produce un mensaje deerror (overflow error).

Ejemplo 1.2.3. Consideremos el número π, que puede escribirse, en forma decimal, como

π = 3′14159265 . . .

2En realidad, lo que damos aqúı es lo que se llama la “forma normalizada”. Hay otras formas equiva-

lentes, si no exigimos que la mantisa esté comprendida entre 0 y 1. Observemos también que aqúı utilizamos

notación decimal, aunque en los ordenadores se utiliza no el sistema decimal, sino el binario, donde cada

número se representa mediante una secuencia de 1 y 0.


Si consideramos una mantisa de cinco d́ıgitos, entonces el truncamiento a cinco decimalesproduciŕıa 3′1415, que en forma normalizada daŕıa

0′31415× 101.

Si aplicamos el redondeo, puesto que el último decimal (5) está seguido por un númeromayor o igual que cinco (9), se tendŕıa

0′31416× 101

El error de redondeo, en el primer caso, es del orden de 10−5; en el segundo caso, el errores del orden de 10−6.

1.3 Propagación de errores

Cuando se resuelve un problema matemático por métodos numéricos y aunque las opera-ciones se lleven a cabo exactamente, obtenemos una aproximación numérica del resultadoexacto. Es importante tratar de conocer el efecto que sobre el resultado final del problematiene cada una de las operaciones realizadas.

Para estudiar cómo se propaga en error, veamos cuál es el efecto que cada una delas operaciones básicas tiene sobre el error final cuando se aplican sobre dos númerosx1 ± ϵa(x1), x2 ± ϵa(x2), entonces

ϵa(x1 + x2) = ϵa(x1) + ϵa(x2)ϵa(x1 − x2) = ϵa(x1) + ϵa(x2)ϵa(x1 × x2) = ϵa(x1) + ϵa(x2)ϵa(x1/x2) = ϵa(x1) + ϵa(x2).

Cuando el problema consiste en calcular el resultado y = f(x), tenemos la siguiente fórmulaaproximada de propagación del error:

ϵa(y) = |f ′(x)|ϵa(x).

En un caso más general, en que una función depende de, por ejemplo, dos variables(y = f(x1, x2)), la fórmula aproximada de propagación del error maximal es:

ϵa(y) = |fx1(x1, x2)|ϵa(x1) + |fx2(x1, x2)|ϵa(x2),

dodne fxi(x1, x2) la derivada de f respecto la variable xi, i = 1, 2.

Ejemplo 1.3.1. Determinar el error máximo cometido en el cálculo y = x1x22 para x1 =2′0± 0′1 y x2 = 3′0± 0′2.

En este caso el error cometido seŕıa:

ϵa(y) = |x22|ϵa(x1) + |2x1x2|ϵa(x2),

sustituyendo los datos, tenemos que y = 18, y

ϵa(y) = (3′0)2 × 0′1 + 2× 2′0× 3′0× 0′2 = 3′3.

Por lo que el resultado seŕıa y = 18± 3′3.

Veamos otro ejemplo

1.4 Problemas numéricos. Condicionamiento 5

Ejemplo 1.3.2. Sea el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

x+ a y = 5

b x+ 2y = d

}

en donde a = 1′000± 0′002; b = 1/a y d = b− a ¿Con qué exactitud podemos determinarel producto xy?

Una vez resolvemos el sistema por el método que queramos llegamos a que

x =10− ad2− ab

, y =d− 5b2− ab

.

Con estas ecuaciones obtenemos la siguiente expresión para el producto:

xy =(10− ad)(d− 5b)

(2− ab)2,

por tanto, usando la teoŕıa anterior ϵa(a) = 0′002, aśı dado que b = 1/a entonces

ϵa(b) = 1/(a2)ϵa(a) = ϵa(a).

Dado que d = b−a entonces ϵa(d) = 2ϵ(a). Además ϵa(10−ad) = |d|ϵ(a)+ |a|ϵ(d) = 2ϵ(a);ϵa(d− 5b) = ϵ(d) + 5ϵ(b) = 7ϵ(a); ϵa

(

(2− ab)2)

= 12ϵ(a); aśı

ϵa(xy) =ϵa ((10− ad)(d− 5b))

(2− ab)2+

(10− ad)(d− 5b)ϵa(

(2− ab)2)

(2− ab)4= 680ϵa(a).

Sustituyendo valores, obtenemos xy = −50′0± 1′4.Sin embargo, una forma mucho más adecuada de resolver este problema consiste en

sustituir en la expresión original de xy los valores de b y d por sus correspondientes ex-presiones en función de a. Sustituyendo y operando, obtenemos que el producto y el errorasociado vienen dados por:

xy = −a2 − 13a−36

a⇒ ϵa(xy) = (2|a|+ 13 + |36/a2|)ϵa(a) = 0′10,

por tanto xy = −50′00± 0′10.Si ambos resultados son correctos ¿Por qué el error es mucho menor en el segundo

caso que en el primero? La respuesta es simple: en el segundo caso hemos eliminadooperaciones intermedias, permitiendo que algunos errores se cancelen mutuamente. Engeneral, cuanto menor sea el número de pasos intermedios que efectuemos para alcanzarla solución, menor será el error cometido.

1.4 Problemas numéricos. Condicionamiento

El hecho de trabajar con cantidades aproximadas es generalmente inevitable en Mate-mática Aplicada. Esto no siempre es problemático, pero en determinados casos puedeocasionar efectos dramáticos. Aqúı veremos dos ejemplos de este tipo. En primer lugar,veamos el efecto que puede llegar a tener el error de redondeo. Es necesario tener cuidadocuando por efecto de dicho error, acabamos trabajando con cantidades muy pequeñas. Porejemplo, supongamos que tenemos que resolver la ecuación

a× x = b,

donde a, b son dos números que conocemos, y x es la incógnita que deseamos determinar.Supongamos ahora que a = 10−7, b = 10−6. Veamos entonces la respuesta que obtenemos,según el número de d́ıgitos que consideremos en la mantisa:


• Si utilizamos 7 d́ıgitos, obtenemos la respuesta exacta: x = 10.

• Si utilizamos 6 d́ıgitos, para el ordenador a = 0. Por lo tanto, obtendŕıamos comorespuesta: la ecuación no tiene solución (ya que correspondeŕıa a 0·x = 10−6).

• Si utilizamos 5 d́ıgitos, tendriamos que a = b = 0. Por lo tanto, obtendŕıamos comorespuesta: la ecuación tiene infinitas soluciones (ya que correspondeŕıa a0 · x = 0).

Como segundo ejemplo, consideremos el siguiente sistema lineal:

⎧

⎪

⎪

⎨

⎪

⎪

⎩

10x1 + 7x2 + 8x3 + 7′2x4 = 327′08x1 + 5′04x2 + 6x3 + 5x4 = 238x1 + 5′98x2 + 9′89x3 + 9x4 = 33

6′99x1 + 4′99x2 + 9x3 + 9′98x4 = 31

La solución del sistema es

x1 = −81, x2 = 137, x3 = −34, x4 = 22.

Si ahora consideramos el siguiente sistema, cuyos coeficientes están muy próximos al an-terior,

⎧

⎪

⎪

⎨

⎪

⎪

⎩

10x1 + 7x2 + 8x3 + 7′2x4 = 327x1 + 5x2 + 6x3 + 5x4 = 22′98x1 + 6x2 + 10x3 + 9x4 = 32′987x1 + 5x2 + 9x3 + 10x4 = 31′2

La solución de este sistema es

x1 = 7′28, x2 = −9′36, x3 = 3′54, x4 = −0′5,

¡¡muy diferente de la anterior!!.Este fenómeno no sucede habitualmente, sino únicamente para determinados ejemplos

(problemas). En ese caso se dice que se trata de un problema mal condicionado: esdecir, decimos que un problema está mal condicionado cuando pequeños cambios en losdatos (input) dan lugar a grandes diferencias en las respuestas (output). Este tipo deproblemas suponen una complicación real cuando aplicamos métodos numéricos, puestoque solo con errores de redondeo ya se introducen pequeñas diferencias. También en elcaso en que los coeficientes de nuestro problema provienen de un proceso de medida, yaque todos los procesos de medida introducen pequeños errores.

Los problemas mal condicionados tienen una dificultad intŕınseca debida al problemaen śı, y no tanto al método matemático que estemos utilizando. Sin embargo, suponenun desaf́ıo a la hora de desarrollar métodos mejores, ya que un método mejor t́ıpicamentemanejará esos casos de manera más eficiente.

Los problemas mal condicionados no siempre pueden solucionarse satisfactoriamente,pero en determinados casos pueden detectarse a priori; para ello se puede calcular elcondicionamiento o número de condición del problema, que es un parámetro que midehasta qué punto el problema está o no mal condicionado. El cálculo efectivo de este tipode números está más allá de los objetivos de este curso.

Cuestiones:

1.4 Problemas numéricos. Condicionamiento 7

1. Calcula el error absoluto y el relativo que se produce cuando redondeamos el valor de2/3 a la quinta cifra decimal. Indica el número de d́ıgitos significativos que tendŕıala aproximación considerada.

2. Escribe el valor en coma flotante de√3 cuando utilizamos una mantisa de:

(a) cinco d́ıgitos; (b) siete d́ıgitos.Repite el ejercicio para el valor −1/π2.

3. Describe el problema que plantea el tratamiento de números irracionales en unacomputadora.

4. Define el concepto de condicionamiento de un problema, y las consecuencias delmismo; proporciona ejemplos.

Solución de ecuaciones de una variable. Caso de sistemas.

El objetivo de este tema es, por un lado, el de describir un método numérico para re-solver una ecuación, escrita en la forma f(x) = 0. El estudiante conoce métodos exac-tos para resolver este tipo de problemas cuando f(x) posee determinadas caracteŕısticasmuy espećıficas: por ejemplo, si se trata de una función lineal (2x − 3 = 0), cuadrática(x2 − 3x + 2 = 0), irracional en algunos casos (x −

√x+ 1 − 1 = 0), etc. Sin embargo,

para una forma general de f(x) (por ejemplo, x2 + log(x) = 0), no existen métodosexactos que sean aplicables. De hecho, ni siquiera existe cuando f(x) es una funciónpolinómica de grado superior a 4. En este tema describiremos un método numérico, elMétodo de Newton-Raphson, que permite resolver este problema y estudiaremos el errorque se comete.

Por otro lado, estudiaremos el método de Jacobi para sistemas de ecuaciones linealescon el cual podremos aproximar las soluciones de un sistema lineal de forma reiterativa.

2.1 Preliminares

Comenzamos el tema con las siguientes definiciones preliminares:

Definición 2.1.1. Sea f : R → R una función real. Se dice que α ∈ R es una ráız o uncero de f(x), si f(α) = 0.

Ejemplo 2.1.1. Las ráıces de f(x) = x2 − 4 son x1 = −2, x2 = 2. Las ráıces def(x) = sen(x) son todos los (infinitos) números de la forma x = kπ, con k ∈ Z.

Definición 2.1.2. Una sucesión de números reales es una secuencia ordenada e infinitade números reales

x1, x2, x3, x4, . . . , xn, . . .

Al término xn se le llama término n-ésimo de la sucesión.

Ejemplo 2.1.2. Sea la sucesión de término n-ésimo xn = n2; los términos de estasucesión son:

1, 4, 9, 16, 25, 36, . . . , 100, . . . , 10000, . . .

10 Solución de ecuaciones de una variable. Caso de sistemas.

Sea la sucesión de término n-ésimo xn = 1/n; los términos de esta sucesión son:

1,1

2,1

3,1

4, . . . ,

1

10, . . . ,

1

100, . . .

Definición 2.1.3. Se dice que una sucesión de números reales es convergente, si amedida que n crece, los términos de la sucesión van aproximándose cada vez más a uncierto valor ĺımite (x), que se llama ĺımite de la sucesión. Si xn representa el término n-ésimo de la sucesión, y x representa dicho valor ĺımite, cuando la sucesión es convergentese dice que

limn→∞

xn = x.

Por tanto en el ejemplo anterior, la sucesión de término n-ésimo xn = n2 no es con-vergente. Sin embargo, la sucesión de término n-ésimo xn = 1/n śı lo es, y

limn→∞

1

n= 0.

2.2 Método de Newton-Raphson

En lo que sigue, supondremos que la ecuación que deseamos resolver ha sido escrita en laforma f(x) = 0; es decir, que las soluciones que buscamos son de hecho las ráıces de lafunción f(x). Obsérvese que si la ecuación está escrita inicialmente como f1(x) = f2(x),basta reescribirla como f1(x) − f2(x) = 0. Para resolver este problema, describiremos acontinuación el Método de Newton-Raphson; esencialmente, la idea del método deNewton es partir de un valor inicial, que se supone relativamente próximo a la ráız que sebusca, y producir de manera iterativa una sucesión que converja a dicho valor. Para queel método funcione adecuadamente, es conveniente haber detectado primero un intervalo[a, b] en el cuál la función f(x) y sus derivadas hasta segundo orden estén definidas, quecontenga una única ráız de f(x), y donde la derivada f ′(x) no se anule (de modo quef(x) sea estrictamente creciente o decreciente en [a, b]). En estas condiciones, escogemosx0 = a ó x0 = b, y ponemos en marcha un proceso iterativo que puede comprenderse biengráficamente:

x

y

x0x1x2x3

Solución

(0) Partimos de un valor x0, que da lugar al punto (x0, f(x0)) de la gráfica de y = f(x).

2.2 Método de Newton-Raphson 11

(1) Calculamos la recta tangente a la gráfica de y = f(x), en el punto (x0, f(x0)):

y − f(x0) = f ′(x0)(x− x0).

(2) Calculamos la coordenada x del punto de corte de la recta anterior con el eje X;para ello, imponemos y = f(x0) + f ′(x0)(x − x0) = 0, y al despejar el valor de xobtenemos

x1 = x0 −f(x0)

f ′(x0).

(3) Reiteramos el proceso, ahora utilizando x1, en lugar de x0, etc.

(4) En el paso n, tendremos

xn+1 = xn −f(xn)

f ′(xn).

De ese modo generamos una sucesión x0, x1, x2, . . . , xn, . . .. Si dicha sucesión con-verge, el ĺımite será la ráız que estamos buscando.

Ejemplo 2.2.1. Consideremos la ecuación f(x) = x7 − 6x+ 2. Esta ecuación es polinó-mica, de grado 7. Se puede comprobar que no tiene ráıces enteras. Además, como

limx→∞

f(x) = ∞, limx→−∞

f(x) = −∞,

y f(x) es continua, es seguro que posee al menos una ráız real (de hecho, posee más deuna). En particular, como f(1) = −3 y f(2) = 118, entre 1 y 2 debe haber una ráız.Vamos a encontrarla aplicando el método de Newton-Raphson. Para ello, la secuencia deiteraciones, con x0 = 2, nos proporciona los siguientes valores:

n xn f(xn) f ′(xn)0 2 118 4421 1′733031674 38′55288077 183′64309802 1′523097943 11′87634629 81′390662103 1′377180144 3′132751665 41′757606724 1′302157845 0′535177234 28′125563425 1′283129702 0′027782999 25′240745526 1′282028982 0′88376× 10−4 25′080292597 1′282025458 −6×−9 25′07978000

A partir de la séptima iteración tenemos ya un valor de f(x) muy próximo a 0 (−6×10−9).Por lo tanto, podemos dar como solución x = 1′282025458 (véase sesión de prácticas paramás detalles).

Es importante observar lo siguiente:

• El método funciona siempre que tengamos un “buen” valor inicial; no permite en-contrar todas las soluciones (para cada una hace falta un valor inicial apropiado), nitampoco permite certificar la no existencia de solución.

• No sirve cualquier valor inicial, x0: si escogemos un valor “malo” para x0, el métodopuede no converger (véase sesión de prácticas).

El siguiente resultado proporciona una condición suficiente para un “buen” valor inicial.


Teorema 2.1. (Regla de Fourier)Sea f : [a, b] → R, con derivadas de hasta segundo orden continuas en [a, b], que verificalas siguientes condiciones:

(i) f(a)× f(b) < 0;(ii) f ′(x) ̸= 0 en [a, b];(iii) f ′′(x) ̸= 0 en [a, b].Entonces, el método de Newton-Raphson converge si tomamos x0 = a ó x0 = b de modoque f(x0)× f ′′(x0) > 0.

Gracias a este resultado tenemos que en el caso de la ecuación f(x) = x7 − 6x + 2,hemos visto que f(1) = −3 y f(2) = 118, luego f(1)×f(2) < 0. Además, f ′(x) = 7x6−6,que se anula cuando

0 < x = 6√

6

7< 1 ⇒ f ′(x) ̸= 0, para x ∈ [1, 2],

y f ′′(x) = 42x5, que únicamente se anula en x = 0 /∈ [1, 2]. Por lo tanto, se cumplen lascondiciones (i), (ii), (iii) del teorema anterior. Si tomamos x0 = 2, vemos que f(2) > 0y f ′′(2) > 0, luego se cumplen las condiciones del teorema (regla de Fourier). En conse-cuencia, la convergencia del método de Newton-Raphson para x0 = 2 estaba garantizadapor la regla anterior.

Finalmente, se tiene el siguiente resultado, que permite acotar el error obtenido encada iteración del método de Newton-Raphson.

Teorema 2.2. Supongamos que se dan las hipótesis de la regla de Fourier, y que se escogeel punto inicial x0 según ese criterio. Sea En el error cometido en la n-ésima iteración, esdecir En = |xn−α|, donde α es la ráız que se desea aproximar (i.e. f(α) = 0). Entonces,

En ≤M22m1

(xn − xn−1)2

siendoM2 = max

x∈[a,b]|f ′′(x)|, m1 = min

x∈[a,b]|f ′(x)|.

Teniendo en cuenta este resultado, veamos el error cometido en el ejemplo anterioral estimar la ráız de f(x) = x7 − 6x + 2 a partir de x0 = 2, mediante 8 iteraciones delmétodo de Newton-Raphson. En nuestro caso, [a, b] = [1, 2], y tanto f ′(x) = 7x6−6 comof ′′(x) = 42x5 son estrictamente crecientes en [1, 2]. Por lo tanto, M2 = 42 × 25 = 1344(ya que, por ser creciente, f ′′(x) alcanza su máximo en x = 2), m1 = 1 (ya que, por sercreciente, f ′(x) alcanza su mı́nimo en x = 1). Aśı,

En ≤1344

2(1′282025458− 1′282028982)2 = 8′345283072× 10−9.

2.3 Método de Jacobi para sistemas de ecuaciones lineales

La base del método consiste en construir una sucesión convergente definida iterativamente.El ĺımite de esta sucesión es precisamente la solución del sistema. A efectos prácticos siel algoritmo se detiene después de un número finito de pasos se llega a una aproximaciónal valor de x de la solución del sistema Ax = b.

2.3 Método de Jacobi para sistemas de ecuaciones lineales 13

La sucesión se construye descomponiendo la matriz del sistema A en la forma

A = D +R,

donde D es la diagonal y R el resto. De modo que si D es invertible, entonces

x = D−1(b−Rx),

y el método de Jacobi se define de la forma:

x(k+1) = D−1(b−Rx(k)),

donde k es el contador de iteración. Con esto se tiene que si x(k) = (x(k)1 , · · · , x(k)m )T ,

entonces

x(k+1)j =1

djj

⎛

⎝bi −∑

j ̸=i

ai,jx(k)j

⎞

⎠ , j = 1, 2, . . . ,m.

Usualmente se toma x(k) = 0. Y el método converge siempre que la norma de la matrizD−1R sea en valor absoluto menor que 1.

Cuestiones.

1. Queremos aproximar el valor de√2 utilizando apropiadamente el método de Newton-

Raphson. Para ello:

(a) Escoge una función apropiada, f(x), sobre la cuál aplicar el método.

(b) Comprueba si el intervalo [1, 2] satisface las hipótesis de la regla de Fourier, yescoge un valor apropiado para x0.

(c) Aproxima el valor de√2 utilizando utilizando cinco iteraciones del método de

Newton-Raphson.

(d) Acota el error cometido en dicha aproximación.

2. Indica qué sucede si durante la aplicación del método de Newton-Raphson, encon-tramos un máximo o mı́nimo de la función f(x).

3. Justifica si puede afirmarse que cuando no se cumplen las hipótesis de la regla deFourier, el método de Newton-Raphson no converge.

4. Aplicando el método Jacobi y usando Octave comprueba que las soluciones de lossistemas lineales ⋆1 y ⋆2 del tema uno son correctos.

Interpolación

Consideremos el siguiente ejemplo.

Ejemplo 3.0.1. En una prueba experimental de sedimentación discontinua se han deter-minado los siguientes datos:

t (s) 0 300 600 900 1200Zi (m) 0′35 0′21 0′129 0′094 0′083

Aventura una posible relación entre las variables t y Zi, y determina el valor de esta últimatranscurridos 120 segundos.

Este ejemplo ilustra un problema habitual: experimentalmente, observamos que dosvariables parecen estar relacionadas entre śı; queremos entonces encontrar una relaciónentre ambas, que en particular permita predecir el valor de una de ellas a partir de la otra(que puede ser, por ejemplo, más fácil de observar o medir). A falta de un modelo previoque sugiera cómo pueda ser esta relación, una alternativa razonable es recoger datos sobreambas variables, y tratar de concluir algo a partir de ellos. Esos datos se corresponderáncon una tabla como la de abajo, donde se observan los valores obtenidos para las variablesx, y en diversas instancias del fenómeno:

x x0 x1 · · · xny y0 y1 · · · yn

Cada pareja de valores (xi, yi) se puede representar como un punto del plano. Una vezrepresentados todos, es posible que el dibujo obtenido sugiera una relación entre las vari-ables del tipo y = f(x), de modo que una de ellas (y) sea una función de la otra (x). Porejemplo, en el caso anterior, se tiene:

16 Interpolación

0 200 400 600 800 1000 1200

0.35

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

Es posible que el dibujo nos diga cómo es esa relación: si los puntos sugieren una recta,será lineal (y = ax + b); si sugieren una parábola, cuadrática (y = ax2 + bx + c); sisugieren una función exponencial, exponencial (y = aebx), etc. Por ejemplo, la figura dearriba podŕıa sugerir linealidad, pero también una función exponencial,... Como sucede ennuestro ejemplo, puede ser que no haya una evidencia concluyente en la nube de puntosacerca de la forma de la función, en cuyo caso no podemos sino aproximar dicha funciónmediante otra, que podamos calcular, y que en particular coincida con la función f(x) enlos valores x = xi que hemos medido. Hay muchas técnicas para hacer esto; en este temaabordaremos una de ellas, llamada interpolación polinómica. La idea es aproximar lafunción f(x) mediante un polinomio P (x) de grado más alto posible (n, si contamos conn+ 1 datos), es decir,

P (x) = a0 + a1x+ a2x2 + . . .+ anx

n

donde a0, a1, . . . , an deben ser determinados. Queremos entonces encontrar P (x), es decir,el valor de los ai’s, bajo la condición de que P (x) interpola los puntos de la tabla anterior,es decir, P (xi) = yi para i = 0, 1, . . . , n. Volviendo al ejemplo primero del tema, queremosconstruir un polinomio de grado máximo que pase por los puntos de la figura anterior; lagráfica del polinomio solución se muestra en rojo.

0 200 400 600 800 1000 1200

0.35

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

3.1 Polinomio interpolador.

Sea una tabla de valoresx x0 x1 · · · xny y0 y1 · · · yn

3.2 Interpolación de Lagrange 17

donde x0, x1, . . . , xn son n + 1 valores diferentes. Queremos determinar un polinomioP (x) = a0+a1x+a2x2+ · · ·+anxn, de grado a lo sumo n1, cuya gráfica pase por los n+1puntos (xi, yi), con i = 0, 1, . . . , n; es decir, P (x) debe verificar, para todo i = 0, 1, . . . , n,

P (xi) = yi.

Dicho polinomio recibe el nombre de polinomio interpolador de la tabla anterior. Losvalores xi’s reciben el nombre de abscisas o nodos. Si entendemos que P (x) está aprox-imando una función f(x) (en principio, desconocida), se dice que P (x) es el polinomiointerpolador de la función f(x) en los nodos xi. Se puede comprobar que dichopolinomio existe, y es único. En efecto, los valores (desconocidos) a0, a1, . . . , an satisfacenel siguiente sistema de ecuaciones lineales:

⎧

⎪

⎪

⎪

⎨

⎪

⎪

⎪

⎩

a0 + a1 x0 + a2 x20 + · · ·+ an xn0 = y1a0 + a1 x1 + a2 x21 + · · ·+ an xn1 = y2

......

...a0 + a1 xn + a2 x2n + · · ·+ an xnn = y1

La matriz de coeficientes de este sistema es

A =

⎛

⎜

⎜

⎜

⎝

1 x0 x20 · · · xn01 x1 x21 · · · xn1...

......

. . ....

1 xn x2n · · · xnn

⎞

⎟

⎟

⎟

⎠

El determinante de la matriz es de un tipo especial, llamado de Vandermonde (se llamanaśı los determinantes donde las filas o columnas corresponden a las sucesivas potenciasde una de ellas; por ejemplo, en este caso las columnas corresponden a las potencias de{x0, x1, . . . , xn}), y su valor es

|A| = (x1 − x0)(x2 − x0) · · · (xn − xn−1),

donde cada factor es de la forma xi − xj , con i ̸= j (es decir, es el producto de todas lasdiferencias posibles entre los xi’s). Por lo tanto, si todos los xi’s son distintos, |A| ̸= 0 y enconsecuencia el sistema tiene solución única. Como consecuencia, el polinomio interpoladores único también. De hecho, el método anterior sugiere una posibilidad para encontrardicho polinomio, resolviendo el sistema lineal de arriba. Sin embargo, en general este esun problema mal condicionado, y por lo tanto proceder de esta forma no es una estrategiaaconsejable. En las siguientes secciones describiremos alternativas mejores para construirel polinomio interpolador.

3.2 Interpolación de Lagrange

Definimos el siguiente cociente, para k = 0, 1, . . . , n:

Ln,k(x) =(x− x0)(x− x1) · · · (x− xk−1)(x− xk+1) · · · (x− xn)

(xk − x0)(xk − x1) · · · (xk − xk−1)(xk − xk+1) · · · (xk − xn).

Observemos que:

1En general, el grado obtenido será n; sin embargo, en algunos casos la disposición de los puntos pueden

conducir a un polinomio de grado inferior a n.

18 Interpolación

• Tenemos n+ 1 funciones Ln,k(x), con k = 0, 1, . . . , n.

• En el numerador de Ln,k(x) tenemos una función de x, el producto de todos losx− xi’s con k ̸= i (es decir, salvo x− xk).

• En el denominador de Ln,k(x) tenemos un número, el producto de todos los xk−xi’scon k ̸= i (es decir, salvo xk − xk).

De forma abreviada, se escribe

Ln,k(x) =n∏

i=0,i ̸=k

x− xixk − xi

.

Se tiene entonces el siguiente resultado.

Teorema 3.1. El polinomio interpolador, P (x), puede escribirse como

P (x) =n∑

k=0

yk × Ln,k(x).

Veamos por qué este resultado es cierto. Para ello, observemos que Ln,k(xi) = 0 cuandoi ̸= k, y Ln,k(xi) = 1 cuando i = k. En consecuencia, P (xi) = yi, y efectivamente P (x)interpola los (xi, yi)’s.

Ejemplo 3.2.1. Consideremos

x 1 2 3y 1 1/2 1/3

Puesto que tenemos 3 nodos, en principio esperamos que el polinomio interpolador tengagrado 2. Aśı

L0(x) =(x− x1)(x− x2)(x0 − x1)(x0 − x2)

=(x− 2)(x− 3)

2,

L1(x) =(x− x0)(x− x2)(x1 − x0)(x1 − x2)

=(x− 1)(x− 3)

−1,

L2(x) =(x− x0)(x− x1)(x2 − x0)(x2 − x1)

=(x− 1)(x− 2)

2.

Con estos datos y según el teorema anterior, se tiene que

P (x) = 1(x− 2)(x− 3)

2+

1

2

(x− 1)(x− 3)−1

+1

3

(x− 1)(x− 2)2

,

luego

P (x) =1

6x2 − x+

11

6.

De hecho, podemos comprobar, sustituyendo en dicha expresión que P (1) = 1, P (2) = 1/2,P (3) = 1/3. En este caso, podemos pensar que la función f(x) que estamos interpolandoes f(x) = 1/x. Si comparamos las gráficas de f(x) y P (x) (ver Sesión de prácticas), sepuede comprobar que están razonablemente próximas en el intervalo [1, 3], pero se alejanfuera de él.

Suponiendo que los nodos están ordenados de manera creciente, se llama intervalode interpolación al intervalo [x0, xn]. En general, el polinomio interpolador P (x) esun buen aproximante de la función (desconocida) f(x) cuando x pertenece al intervalo deinterpolación, pero fuera del intervalo el error en(x) = |f(x)−Pn(x)| aumenta rápidamente(véase sesión de prácticas).

3.3 Método de Diferencias Divididas. 19

3.3 Método de Diferencias Divididas.

La forma de Lagrange para el polinomio interpolador tiene el inconveniente de que si seañaden nuevos nodos, todo debe ser recalculado otra vez. En esta sección veremos unaalternativa, más eficiente, y que tiene la ventaja de adaptarse muy bien a la incorporaciónde nuevos datos. El método recibe el nombre de método de diferencias divididas, ométodo de Newton.

De nuevo consideramos una tabla de valores

x x0 x1 · · · xny y0 y1 · · · yn

donde x0, x1, . . . , xn son n + 1 valores diferentes, y los yi’s son los valores que toma unafunción f(x), desconocida, en los xi’s; es decir, f(xi) = yi para i = 0, 1, . . . , n. Lasdiferencias divididas de f con respecto a los xi’s se definen de manera recurrente, de lasiguiente manera:

• La diferencia dividida de orden 0 de f con respecto a xi, que representamosf [xi], es simplemente el valor de f(x) en x = xi:

f [xi] = f(xi).

• La diferencia dividida de orden 1 de f con respecto a xi, xi+1, que represen-tamos f [xi, xi+1], es

f [xi, xi+1] =f [xi+1]− f [xi]

xi+1 − xi.

• La diferencia dividida de orden 2 de f con respecto a xi, xi+1, xi+2, querepresentamos f [xi, xi+1, xi+2], es

f [xi, xi+1, xi+2] =f [xi+1, xi+2]− f [xi, xi+1]

xi+2 − xi.

• En general, la diferencia dividida de orden k de f con respecto a xi, xi+1, . . . , xi+k,que representamos f [xi, xi+1, . . . , xi+k],es

f [xi, xi+1, . . . , xi+k−1, xi+k] =f [xi+1, . . . , xi+k]− f [xi, . . . , xi+k−1]

xi+k − xi.

Las diferencias anteriores se pueden determinar de un modo eficiente mediante el sigu-iente esquema iterativo, donde consideramos cinco nodos.

x f(x) k = 1 k = 2 k = 3 · · ·x0 f [x0]

f [x0, x1] =f [x1]−f [x0]

x1−x0

x1 f [x1] f [x0, x1, x2] =f [x1,x2]−f [x0,x1]

x2−x0

f [x1, x2] =f [x2]−f [x1]

x2−x1f [x0, x1, x2, x3] =

f [x1,x2,x3]−f [x0,x1,x2]x3−x0

x2 f [x2] f [x1, x2, x3] =f [x2,x3]−f [x1,x2]

x3−x1· · ·

f [x2, x3] =f [x3]−f [x2]

x3−x2f [x1, x2, x3, x4] =

f [x2,x3,x4]−f [x1,x2,x3]x4−x1

x3 f [x3] f [x2, x3, x4] =f [x3,x4]−f [x2,x3]

x4−x2· · ·

f [x3, x4] =f [x4]−f [x3]

x4−x3f [x2, x3, x4, x5] =

f [x3,x4,x5]−f [x2,x3,x4]x5−x2

x4 f [x4] f [x3, x4, x5] =f [x4,x5]−f [x3,x4]

x5−x3

f [x4, x5] =f [x5]−f [x4]

x5−x4x5 f [x5]

20 Interpolación

Teorema 3.2. El polinomio interpolador se puede escribir como:

P (x) = f [x0]+f [x0, x1] (x−x0)+f [x0, x1, x2] (x−x0)(x−x1)+f [x0, x1, x2, x3] (x−x0)(x−x1)(x−x2)+· · ·

Ejemplo 3.3.1. Consideremosx 0 1 3y 1 3 −1

La tabla de diferencias divididas es:

x f(x) k = 1 k = 20 1

21 3 −4/3

−23 −1

Aśı,

P (x) = 1 + 2 (x− 0)−4

3(x− 0)(x− 1) = −

4

3x2 +

10

3x+ 1.

3.4 Comentarios adicionales.

La interpolación polinómica proporciona un polinomio que interpola (es decir, pasa por)los puntos dados. Sin embargo, hay muchas mejoras que pueden contemplarse (el objetivoes simplemente que el lector conozca la existencia de estos métodos, no que profundiceahora en ellos).

• Además de condiciones sobre el valor que la función toma en determinados puntos(que es la información que hemos utilizado en los métodos anteriores), podemos tenertambién condiciones sobre la derivada de la función. En ese caso, se utiliza otro tipode interpolación, llamada la interpolación de Hermite.

• Aunque el polinomio interpolador pasa por todos los puntos dados, puede teneroscilaciones indeseadas entre dos de esos puntos (véase sesión de prácticas). Unmodo de evitarlo es utilizar un método alternativo, llamado interpolación spline.

• En determinadas situaciones, es preferible encontrar no una función que pase ex-actamente por los puntos, sino una función que, en general, pase “cerca” de ellos,reproduciendo la forma que sugieren. Un modo de hacerlo es aplicar los métodos deregresión, que vimos en Estad́ıstica.

• En lugar de polinomios interpoladores se pueden utilizar funciones trigonométricas.Esto da lugar a la interpolación trigonométrica.

Cuestiones

1. El polinomio interpolador del ejemplo 1 es

−4′629629578×−14 x4+3′08641882×10−12 x3+3′541666672×−7 x2−0′5719444446×10−3 x+0′35.

Utilizando dicho polinomio, estime el valor de la variable Zi a los 120 segundos.Indica también si tendŕıa sentido pensar que la función que relaciona ambas variableses lineal.

3.4 Comentarios adicionales. 21

2. Aplicque el método de diferencias divididas a los datos del ejemplo 2.

3. Aplique el método de Lagrange a los datos del ejemplo 1.

4. Ind́ıquese si los polinomios interpoladores determinados mediante el método de La-grange y el método de diferencias divididas coinciden necesariamente, y por qué.

22 Interpolación

Integración numérica; resolución numérica de ecuaciones

diferenciales

Es bien conocido que la mayoŕıa de integrales definidas no se pueden calcular con exactitud.Por ejemplo, si consideramos la integral

∫ 2

0e−x

2

dx,

que aparece en Estad́ıstica, el valor de dicha integral no admite una expresión exacta,porque la primitiva de la función e−x

2

no puede escribirse en términos de funciones ele-mentales. En consecuencia, la única posibilidad es aproximar su valor. La primera cuestióna estudiar en este tema (integración numérica) es el desarrollo de métodos para aproximarel valor de

∫ b

af(x)dx.

Por otra parte, cuando consideramos ecuaciones diferenciales sucede algo similar: la mayorparte de ellas no pueden ser resueltas de manera exacta. Sin embargo, en muchas aplica-ciones realmente no necesitamos la expresión de la función y(t), solución de la ecuación,sino más bien su valor para un determinado t = ta, es decir y(ta). Por ejemplo, podemosconsiderar la ecuación de segundo orden

d2θ

dt2−

g

Lsinθ = 0,

que describe el movimiento de un péndulo de longitud L. Sea además θ(t0) = θ0, θ′(t0) =θ′0, que describen las condiciones de partida del péndulo. Nos preguntamos entonces por laposición del péndulo al cabo de un tiempo ta, es decir, por el valor de θ(ta). Sin embargo, laecuación diferencial anterior (salvo bajo ciertas hipótesis) no puede ser resuelta de maneraexacta, y en consecuencia únicamente podemos aproximar el valor de θ(ta).

24 Integración numérica; resolución numérica de ecuaciones diferenciales

θ

L

La ecuación diferencial anterior es de segundo orden. Nosotros nos restringiremos a ecua-ciones de primer orden que den lugar a problemas de valor inicial del tipo

y′ = f(y, t), y(t0) = y0.

En general, puede entenderse que esto describe la evoluación de un sistema que parte de unestado inicial descrito por la condición y(t0) = y0; nuestro objetivo puede ser, entonces,conocer el estado de dicho sistema cuando la variable t alcanza el valor t = ta > t0.Este problema puede resolverse de manera aproximada (especialmente cuando el valort = ta está relativamente próximo al valor t = t0), y corresponde a la resolución numéricade ecuaciones diferenciales. Nosotros veremos aqúı con más detalle el más sencillo de losmétodos numéricos que se utilizan para este fin, el método de Euler, y esbozaremos algunasideas sobre otros métodos, más utilizados en la práctica.

4.1 Integración numérica

Sea una función f(x), continua sobre un intervalo acotado [a, b]; por simplicidad, supon-dremos además que f(x) es no negativa en [a, b]. Nuestro objetivo es aproximar el valor

de∫ ba f(x)dx. Puesto que f(x) ≥ 0 en [a, b], el valor de esta integral definida coincide con

el área limitada por la gráfica de la función y = f(x) y el eje de abcisas entre x = a yx = b. Basándonos en esto, veamos dos de los métodos más habituales para aproximar elvalor de la integral: la regla de los trapecios, y la regla de Simpson.

4.1.1 Regla de los Trapecios

Subdividamos el intervalo [a, b] en n partes iguales, cada una de ellas de anchura h = b−an .Se tiene entonces la partición x0, x1, . . . , xn, donde xi = a+ i h con i = 0, 1, . . . , n. Sea Aiel área limitada por la gráfica de f(x) y el eje de abcisas entre x = xi, x = xi+1 (véaseabajo).

4.1 Integración numérica 25

a = x0 xi xi+1 b = xn

y = f(x)Ai

La suma de todos los Ai’s es igual al valor de la integral que deseamos aproximar, y lacuestión es cómo aproximar el valor de cada Ai. En el método de los trapecios, la idea esaproximar Ai mediante el área del trapecio de altura h, cuyas bases son f(xi), f(xi+1).

a = x0 xi xi+1 b = xn

y = f(x)Ai

Por tanto, se tiene que

∫ b

af(x)dx =

n−1∑

i=0

Ai ≈n−1∑

i=0

f(xi) + f(xi+1)

2h =

h

2[f(x0)+2f(x1)+· · ·+2f(xn−1)+f(xn)].

Además, si k es una cota de la derivada segunda f ′′(x) en [a, b], es decir |f ′′(x)| ≤ k conx ∈ [a, b], se tiene que el error cometido al aproximar la integral buscada por el método


de los trapecios, cumple:

En ≤k (b− a)3

12n2.

4.1.2 Regla de Simpson

En este caso, de nuevo subdividimos el intervalo [a, b] en n partes iguales, donde ahorarequerimos que n sea par; de nuevo, cada una de ellas tiene anchura h = b−an , y denotamosxi = a + i h, donde i = 0, 1, . . . , n. Representamos por Bi el área limitada por la gráficade f(x), y el eje de abscisas entre x = x2i y x = x2i+2 (a diferencia de la regla de lostrapecios, obsérvese que entre x2i y x2i+2 tenemos otra subdivisión, correspondiente ax2i+1). El valor de la integral buscada es igual a la suma de todos los Bi’s, y de nuevo lacuestión es cómo aproximar el valor de Bi. Para ello, procedemos de la siguiente forma:

• Para cada subintervalo [x2i, x2i+2], con i par (es decir, i = 0, 2, 4, . . . , 2n−2), determi-namos el polinomio interpolador de f(x), en los nodos x2i, x2i+1, x2i+2; por lo tanto,se trata del polinomio (de segundo grado) que pasa por los puntos P2i = (x2i, f(x2i)),P2i+1 = (x2i+1, f(x2i+1)), P2i+2 = (x2i+2, f(x2i+2)). Representamos dicho polinomiopor pi(x), i = 0, 2, . . . , 2n− 2.

• El valor de cada Bi se aproxima mediante∫ x2i+2

x2i

pi(x)dx.

Obsérvese que, puesto que se trata de la integral de un polinomio de segundo grado,se puede calcular de manera exacta.

Aśı, se tiene que∫ b

af(x)dx =

∑

Bi ≈

n−12

∑

i=1

[∫ x2i+2

x2i

pi(x)dx

]

.

a = x0 x2i x2i+1 x2i+2 b = xn

y = f(x)Bi

pi(x)

4.2 Introducción a la resolución numérica de ecuaciones diferenciales 27

Las integrales anteriores se pueden calcular expĺıcitamente, para obtener la forma cerradaque se utiliza en la práctica:∫ b

af(x)dx ≈

h

3[f(x0) + 4f(x1) + 2f(x2) + 4f(x3) + · · ·+ 2f(xn−2) + 4f(xn−1) + f(xn)] .

Si k es una cota de la derivada cuarta f (IV )(x) en [a, b], es decir |f (IV )(x)| ≤ k conx ∈ [a, b], se tiene que el error cometido al aproximar la integral buscada por el métodode Simpson, cumple:

En ≤k (b− a)5

180n4.

4.2 Introducción a la resolución numérica de ecuaciones diferenciales

Sea el problema de valor inicial⎧

⎨

⎩

dy

dt= f(t, y)

y(t0) = y0.(4.1) system

Supongamos que el problema tiene solución única y(t) (desconocida), derivable hasta ordenN . Nuestro objetivo es determinar el valor wi = y(ti), donde ti = t0 + i h, con i ≥ 1; elvalor h recibe el nombre de paso. Veámos tres métodos para resolver este problema: elmétodo de Euler, los métodos de Taylor de mayor orden, y los métodos de Runge-Kutta.

4.2.1 Método de Euler

Recordemos previamente el polinomio de Taylor de orden n de una función y(t) ent = a: si y(t) es una función derivable con continuidad hasta orden n + 1, el polinomiode Taylor de orden n de y(t) en t = a es:

Pn(t) = y(a) +y′(a)

1!(t− a) +

y′′(a)

2!(t− a)2 + · · ·+

y(n)(a)

n!(t− a)n.

Se cumple además quey(t) = Pn(t) +Rn(t),

donde Rn(t) recibe el nombre de resto de Taylor de orden n en t = a, y responde(entre otras) a la expresión

Rn(t) =y(n+1)(ξ)

(n+ 1)!(t− a)n+1

con ξ ∈ [a, t]. Si el valor t está próximo al valor a, entonces

y(t) ≈ Pn(t).

Si tomamos n = 1, a = t0,y(t) ≈ y(t0) + y′(t0)(t− t0). (4.2) tay

Geométricamente, la aproximación anterior equivale a sustituir la función y(t) por larecta tangente a la gráfica de la función en t = t0. Volviendo a nuestro problema, nuestroobjetivo es calcular el valor y(t) cuando ti = t0 + i h, con i ≥ 1. La idea es

y(t0) → y(t1) → y(t2) → · · · y(ti−1) → y(ti).

Es decir, a partir de los datos iniciales calculamos y(t1), a partir de este valor calculamosy(t2), etc. Veamos cómo proceder para aproximar y(t1) = y(t0 + h):


• Sustituimos a = t0, t = t1 = t0 + h:

y(t1) ≈ y(t0) + y′(t0)h.

• Puesto que y(t) es la solución del problema de valor inicial (system4.1), se tiene que y(t0) =

y0, y′(t0) = f(t0, y0). Por tanto,

y(t1) ≈ y0 + f(t0, y0)h.

Ahora, para calcular y(t2) = y(t1 + h):

• Sustituimos a = t1, t = t2 = t1 + h:

y(t2) ≈ y(t1) + y′(t1)h.

• Puesto que y(t) es la solución del problema de valor inicial (system4.1), se tiene quey′(t1) =

f(t1, y1), donde y1 = y(t1), determinada en el paso anterior. Por tanto,

y(t1) ≈ y1 + f(t1, y1)h.

De modo más conciso, y escribiendo wi = y(ti), el método de Euler consiste en lo siguiente:

1. Inicialmente, w0 = y(t0).

2. En la iteración i-ésima, calculamos f(ti−1, wi−1).

3. wi = wi−1 + f(ti−1, wi−1)h.

La idea geométrica del método se representa en el gráfico de abajo.

t0 t1 t2

Observamos que el error crece, a medida que nos alejamos del valor inicial, t0.


4.2.2 Métodos de Taylor de mayor orden

El método de Euler utiliza el polinomio de Taylor de orden 1. Para obtener mayor pre-cisión, podemos considerar un orden mayor en el polinomio de Taylor. Sin embargo, enese caso tenemos el problema de aproximar las derivadas y′′(t), y′′′(t), etc. En el caso deorden 2, podemos aproximar y′′(t) teniendo en cuenta lo siguiente:

y′′(t) =d

dty′(t) =

d

dt(f(t, y)).

Puesto que y = y(t), para calcular ddt(f(t, y)) podemos aplicar la Regla de la Cadena, conlo cual

y′′(t) =∂f

∂t(t, y) +

∂f

∂y(t, y) y′(t) =

∂f

∂t(t, y) +

∂f

∂y(t, y) f(t, y).

De modo similar se pueden aproximar las derivadas de y(t) de mayor orden. Las expre-siones correspondientes involucran a f(t, y), y a sus derivadas parciales. Sin embargo,la complejidad de las expresiones anteriores crece con el orden: para representar y′′(t)necesitamos las derivadas primeras de f ; para representar y′′′(t), las derivadas segundas,etc.

4.2.3 Métodos de Runge-Kutta

La aproximación de las derivadas de orden superior de y(t) en los métodos de Taylorimplica calcular, y evaluar, derivadas parciales de la función f(t, y), lo cual resulta costoso.Por ello, en la práctica se intenta aproximar dichas derivadas por expresiones lineales contérminos de la forma f(t + α, y + β). El tipo de métodos resultante recibe el nombre demétodos de Runge-Kutta. El más popular es el método de Runge-Kutta de cuartoorden. Representando wi = y(ti), el método consiste en:

1. Inicialmente, w0 = y(t0).

2. En la iteración i-ésima, necesitamos calcular:

• k1 = hf(ti−1, wi−1).• k2 = hf

(

ti−1 +h2 , wi−1 +

12k1

)

.

• k3 = hf(

ti−1 +h2 , wi−1 +

12k2

)

.

• k4 = hf(ti, wi−1 + k3).

3. Finalmente,

wi = wi−1 +1

6(k1 + 2k2 + 2k3 + k4).


Cuestiones:

1. Determina el valor de∫ 2

1

1√xdx,

mediante el método de los trapecios, considerando una partición del intervalo en 4subintervalos iguales. Análogamente mediante el método de Simpson. Estima elerror cometido en cada caso.

2. Determina el valor de n (es decir, de la partición) necesaria para calcular

∫ π/2

0cos(x)dx,

con un error inferior a 10−6:

(a) por el método de los trapecios;

(b) por la regla de Simpson.

3. Utiliza el método de Euler para determinar y(0′3) donde y(t) es la solución delproblema de valor inicial:

y′ = y − t2 + 1, y(0) = 0′5,

considerando un paso h = 0′1. Indica cuáles de las siguientes cantidades se puedenconsiderar exactas: y(0), y′(0), y(0′1), y′(0′1), y(0′2), y′(0′2), y(0′3).

Prácticas de Cálculo Numérico

Grado en Qúımica


Cálculo Numérico y Estad́ıstica Aplicada Grado en Qúımica Curso 2015-2016

Práctica 1 Iniciación a Octave

1. Reaĺıcense las siguientes manipulaciones básicas:

(a) 7 + 2000

(b) 5000× 4(c) 90000/3

(d) (32)2(e) (20/10)/2

(f)√49

2. Calcúlese

(5′23 + 2× 4′23)3 −√

13

2 + 3× 9

y obténgase el resultado en forma decimal en formato corto y formato largo.

3. Asignese los valores 6, 10 y A a las variables x, y, z. Ṕıdala al programa quemuestre lo que almacena cada variable. Realice después la operación x2 + 3y + 5yz.Finalmente, deshaga las asignaciones.

4. Almacene las expresiones

5 sin

(

2π

3

)

y ln

(

cos

(

e√9π

))

en dos variables A y B. Calcúlese A, B y AB en formato largo.

5. Ejecuta los comandos eps, realmin, realmax. El primer comando nos da la menordistancia entre dos números que utiliza el programa, los dos últimos nos dan elnúmero real más pequeño y más grande que usa el programa.

6. Calcúlense los siguientes valores en formato corto y largo, qué podemos decir dedichos valores:

(a) π4 + π5 − e6

(b) π6 + π7 − e8 − 1000− 2500/3451(c) π − 4

√

92 + 192/22

(d) eπ − π − 777725/38888

7. Represente gráficamente las funciones

f(x) = 5x cos(

e4x2)

, g(x) =1− e−x

1′5 + cos(x)

respectivamente en los intervalos [0,π/3], y [0, 5].

8. Representar gráficamente todas las ramas de la función

f(x) =1000(x− 1)

(101x− 100)(100x− 99)

Nota: comenzar con el intervalo de valores [0, 1] para la x, disminuyendo su amplitudprogresivamente.



Práctica 2 Iniciación a Octave

1. Definida la función

f(x, y) =ex√31y + arccos(x)

(ln(πx+ y) + y2x) sin(y),

obtenga el d́ıgito que figura en la posición 15 de la parte decimal del valor f(1/3,π/16).

2. Resuelva las ecuaciones:

(a) 2x4 − 15x3 − 9x2 + 127x− 105 = 0, [4](b) x5 − 5x2 + 7x3 − 35 = 0, [1]

(c)5

2x+ 4=

x− 25

− 3, [2]

(d) |x2 − 5x+ 1| = 5, [4](e) x8 − 3x6 − 2x7 + 6x5 − 3x4 + 7x3 + 7x2 − 21x+ 6 = 0, [6]

Ayuda: Represente la gráfica en distintos intervalos para localizar las ráıces, seaceptarán aproximaciones de ráıces con dos cifras significativas.

3. Resuelva las siguientes ecuaciones y el sistema de ecuaciones dado:

(a) x5 − 4′5x4 − 8x3 + 46′5x2 − 11x− 60 = 0, [5](b) x5 + 6x2 − x− 1 = 0, [3](c) cos(5x) = ln(x2), [6]

(d)

{

x2

25+

y2

16− 1 = 0,

x2

16−

y2

16− 1 = 0

}

, [4]

Ayuda: Represente la gráfica en distintos intervalos para localizar las ráıces, seaceptarán aproximaciones de ráıces con dos cifras significativas.

4. Calcúlense:

(a) La derivada de la función f(x) = x5 sin(x) + xex2

. Obténgase el valor de f ′(0).

(b) La derivada tercera de f(x) y f ′′′(0).

(c) La derivada parcial siguiente:

∂3

∂y∂x2(x5e3y).

Ayuda: Obtener la derivada manualmente, y obtenga aproximaciones de dichasderivadas con dos cifras significativas.



Práctica 3 Método de Newton-Raphson

1. Determı́nese el volumen molar del ox́ıgeno mediante la ecuación de Van Der Waals

(

P +a

V 2

)

(V − b) = RT,

siendo la presión de 100 atm, y la temperatura 700 K, para un gas con a = 1′36,b = 0′0318

2. Dada la ecuación x = e−x, se pide:

(a) Demuestre que tiene una única solución en el intervalo [0, 1].

(b) Verifique, mediante una representación gráfica, que la ecuación tiene una únicasolución próxima a x0 = 5.

(c) Aproxime el valor de la solución con 8 cifras significativas, utilizando el métodode Newton-Raphson.

3. Dada la ecuación ln(x) = 1/x, se pide:

(a) Verifique mediante una representación gráfica que la ecuación tiene una soluciónen el intervalo [1, 2]. Demuestre que la solución es única.

(b) Aproxime dicha solución, mediante el método de Newton-Raphson.

4. Aproxime el valor de 3√41, con 6 cifras significativas, usando el método de Newton-

Raphson.

5. La ecuacion de estado Redlich-Kwong es

(

P +a√

TV (V + b)

)

(V − b) = RT,

donde a = 17′19344 y b = 0′0221141 para el ox́ıgeno molecular si T = 373K y P = 30atm. Calcule el volumen molar.



Práctica 4 Método de Jacobi

1. Trabajando en formato largo, determı́nese aplicando el método de Jacobi la solucióndel sistema lineal:

⎧

⎨

⎩

−4x1 − x2 − x3 = 3−2x1 + 6x2 + x3 = 9−x1 + x2 + 7x3 = −6

la solución del sistema con al menos tres cifras significativas. Calcula la soluciónexacta y calcule el error absoluto obtenido. Repita el problema en la que se obtengan4 cifras significativas.


⎧

⎨

⎩

7x+ 3y + z = 5x+ 4y = −3

2x+ y − 7z = −6

la solución del sistema con al menos cuatro cifras significativas. Calcula la soluciónexacta y calcule el error absoluto obtenido. Repita el problema en la que se obtengan5 cifras significativas.


⎧

⎪

⎪

⎨

⎪

⎪

⎩

10x1 + 7x2 + 8x3 + 7′2x4 = 327′08x1 + 5′04x2 + 6x3 + 5x4 = 238x1 + 5′98x2 + 9′89x3 + 9x4 = 33

6′99x1 + 4′99x2 + 9x3 + 9′98x4 = 31

la solución del sistema con al menos cuatro cifras significativas. Calcula la soluciónexacta y calcule el error absoluto obtenido.


⎧

⎪

⎪

⎨

⎪

⎪

⎩

10x1 + 7x2 + 8x3 + 7′2x4 = 327x1 + 5x2 + 6x3 + 5x4 = 22′98x1 + 6x2 + 10x3 + 9x4 = 32′987x1 + 5x2 + 9x3 + 10x4 = 31′2

la solución del sistema con al menos cuatro cifras significativas. Calcula la soluciónexacta y calcule el error absoluto obtenido.



Práctica 5 Interpolación

1. Se sospecha que las elevadas cantidades de tanino en las hojas de haya madurasinhiben el crecimiento de las larvas de la polilla de invierno (Operophtera bromataL. Geometridae), que dañan seriamente estos árboles en ciertos años. La siguientetabla proporciona los pesos medios de dos muestras de larvas durante los primeros28 primeros d́ıas después del nacimiento. La primera muestra se obtuvo en hojasjóvenes de haya, y la segunda en hojas maduras del mismo árbol.

Dı́a 0 6 10 13 17 20 28Peso medio muestra 1 6′67 17′33 42′67 37′33 30′10 29′31 28′74Peso medio muestra 2 6′67 16′11 18′89 15′00 10′56 9′44 8′89

(a) Determı́nese el polinomio interpolador para cada una de las muestras.

(b) Utilizando dicho polinomio, determı́nese el valor conjeturado para el peso delas larvas a los 15 d́ıas de su nacimiento, tanto en el caso de hojas jóvenes comode hojas maduras.

(c) Utilizando el polinomio anterior, determı́nese el peso medio aproximado máximopara cada muestra (determinando el máximo del polinomio inerpolador).

2. A 400 ◦C y con concentraciones [CO]=[NO2]=0′10 mol/l., se obtuvieron los sigu-ientes datos para la reacción dada:

CO+NO2 → CO2 +NO

Tiempo (s.) 0 10 20 30[CO] (mol/l.) 0′1 0′067 0′05 0′04

(a) Determı́nese el polinomio interpolador para los datos anteriores.

(b) Utilizando dicho polinomio, determı́nese la concentración del monóxido de car-bono a los 25 segundos.

(c) A partir de una representación de los datos, y de los coeficientes del polinomioobtenido, ind́ıquese si cabe pensar en la concetración de monóxido de carbonovaŕıa linealmente con el tiempo.

3. Considése la función f(x) = cos(x). Se quiere aproximar dicha función mediante unpolinomio interpolador en el intervalo [0, 2π].

(a) Tómando como nodos los valores

xn =π

4n, n = 0, 1, . . . , 8.

Calcúle los valores que toma la función en dichos nodos.

(b) Utilizando los nodos anteriores, determı́nese el polinomio interpolador.

(c) Represente gráficamente ambas funciones, y observe si la aproximación es buenadentro y fuera del intervalo de interpolación.


(d) Determine el error cometido al aproximar la función por el polinomio interpo-lador en los siguientes puntos: x = π/3; x = 3π/8; x = 3π; x = −π/3.

(e) Determine el error cometido al aproximar la función por el polinomio interpo-lador en los nodos, y explice razonadamente el resultado obtenido.

4. En un proceso de desalinización usando un equipo de ósmosis inversa se han reg-istrado los siguientes datos:

∆p (bar.) 5 10 15 20 25Flujo (mL/h.) 103 202 287 386 501

Determina el flujo para una cáıda de presión de 23 bar.



Práctica 6 Integración numérica

1. Sea f(x) = e−x2.

(a) Represente gráficamente la función f(x), con x ∈ [−2, 2].(b) Aproxime el valor de la siguiente integral:

∫ 2

0e−x

2dx,

utilizando el método de los trapecios, con n = 4, n = 6.

(c) Calcule las derivadas primera y segunda de f(x); acote el valor de f ′′(x) conx ∈ [0, 2], y determine el error cometido en el apartado (b), con ambos valoresde n.

(d) Repita el apartado (b), utilizando ahora la Regla de Simpson.

(e) Calcule las derivadas tercera y cuarta de f(x); acote el valor de f (IV )(x) conx ∈ [0, 2], y determine el error cometido en el apartado (b), con ambos valoresde n.

(f) Determine el valor de n necesario para aproximar el valor de la integral anteriorcon un error inferior a 10−9, tanto por el método de los trapecios, como con laregla de Simpson.

2. Un cable para un puente suspendido tiene la forma de una parábola con la ecuacióny = kx2. Sea h la altura del cable de su punto más bajo a su punto más alto, y sea2w la anchura total del puente (véase figura). Se puede probar que la longitud delcable L está dada por:

L = 2

∫ w

0

√1 +

4h2

w4x2 dx.

Uno de estos puentes es el Humber Bridge (Reino Unido); dicho puente tiene unaanchura de 1400 metros, y cada una de sus torres tiene una anchura de 155 metros.Calcúlese la longitud del cable parabólico en este caso, con una precisión inferior auna diezmilésima.

40 Integración numérica; introducción a la resolución numérica de ecuaciones diferenciales

3. La integral ∫ 1

−164(8− x)

√1− x2 dx,

permite determinar la fuerza ejercida por el agua marina circundante sobre unaventana circular de observación de un buque para la investigación marina, cuyoradio es de 1 pie, cuando el centro de la ventana está a 8 pies de distancia del niveldel agua.

(a) Determine el valor de la fuerza sobre la ventana, utilizando el método de Simp-son, tomando n = 210 subintervalos. Indiquea qué sucede si tomas 211 subin-tervalos, y 212 (compara el incremento en el número de subintervalos, y ladiferencia de valores que obtienes). Indique asimismo si el cálculo es rápido ono, en Octave.

(b) En este caso, no podemos determinar el error cometido con la regla de Simpsoncon la fórmula explicada en clase. Explica por qué (NOTA: calcule la derivadacuarta de f(x) = 64(8 − x)

√1− x2, y comprueba si es posible acotarla en el

intervalo [−1, 1]).

4. Cacule ∫ 1

0cos(x2) dx

utilizando tanto el método de los trapecios como la regla de Simpson, con n = 6.Calcule el error cometido en cada caso.



Práctica 7 Ecuaciones diferenciales

1. La concentración de un reactivo B vara con el tiempo según la siguiente ecuación:

dCBdt

= −5× 1015 exp(−1500

T

)C2B,

(t en minutos, CB en mol/l., T en ◦K) y la temperatura vaŕıa con el tiempo segúnla expresión T = 29 + 5t. Si partimos de una concentración inicial de 7 mol/l.:

(a) Utilizando Octave determine el valor de la concentración al cabo de 2 minutos;integre la ecuación mediante el método de Euler utilizando 20 iteraciones.

(b) Indique el error cometido en la aproximación proporcionada por el método deEuler.

(c) Compare los resultados que obtienes utilizando un método Runge-Kutta.

2. Sea el problema de valor inicial:

dy

dx= xy2 − y

x, y(1) = 1.

(a) Utilizando Octave determine el valor y(1′4); integre la ecuación mediante elmétodo de Euler, utilizando 20 iteraciones.

(b) Indique el error cometido en la aproximación proporcionada por el método deEuler.

(c) Compare los resultados que obtienes utilizando un método Runge-Kutta.

3. Sea la ecuación diferencial lineal y′ = y + ex.

(a) Comprueba quey(t) = et(t+ C),

siendo C una constante, es la olución general de la ecuación.

(b) Utilizando Octave, determine la solución particular y(x) que satisface la condicióninicial y(0) = 0. Aproxime el valor de y(2) con 15 cifras significativas.

(c) La función y(x) es la solución del problema de valor inicial

y′ = y + ex, y(0) = 0.

Utilice el método de Euler, y el de Runge-Kutta, para aproximar el valor y(2),y compara lo que obtengas con el resultado del apartado (b).

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