Apuntes Teoria Electomagnética_NOV2011 (1)
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APUNTES DE
TEORIA ELECTROMAGNTICA
Trayecto III Lapso: VIII semestre
Prof. Juan Bosco Gonzlez O.
Acarigua, noviembre de 2011
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TEORA ELECTROMAGNTICA
- 2 - Ing. Juan Bosco Gonzlez O.
UNIDAD I: ANLISIS VECTORIAL
1.1 Introduccin
1.2 Gradiente de una funcin escalar
1.3 Operador del (nabla)
1.4 Divergencia
1.5 Rotacional
1.6 Relaciones constitutivas
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TEORA ELECTROMAGNTICA
- 3 - Ing. Juan Bosco Gonzlez O.
UNIDAD II: CAMPOS ELCTRICOS Y MAGNTICOS
2.1 Relaciones circuitos-campos
2.2 Ley de tensiones y ley de corrientes de Kirchhoff
2.3 Ley de Gauss
2.4 Ley de Faraday
2.5 Ecuaciones de Maxwell
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TEORA ELECTROMAGNTICA
- 4 - Ing. Juan Bosco Gonzlez O.
El electromagnetismo es el estudio de fenmenos elctricos y magnticos causados por
cagas elctricas en reposo o en movimiento.
Hay dos tipos de cargas: positivas y negativas. Ambos tipos de cargas son fuentes de un
campo elctrico.
Un campo es la distribucin espacial de una cantidad, la cual puede o no ser funcin del
tiempo. Un campo elctrico variable con el tiempo est acompaado por un campo
magntico, y viceversa. En otras palabras, los campos elctricos y magnticos variables
con el tiempo estn acoplados, produciendo un campo electromagntico. En
determinadas condiciones, los campos electromagnticos variables con el tiempo
producen odas que radian de la fuente.
Las cantidades bsicas del modelo electromagntico pueden dividirse en dos categoras
generales: cantidades de fuente y cantidades de campo. La fuente de un campo
electromagntico siempre consiste en cargas elctricas en reposo o en movimiento. Sin
embargo, un campo electromagntico puede ocasionar una redistribucin de las cargas, lo
cual a su vez modificara el campo; por esto no siempre es muy clara la separacin entre la
causa y el efecto.
Carga elctrica: Usaremos el smbolo q (en ocasiones Q) para denotar la carga elctrica. La
carga elctrica es una propiedad fundamental de la materia y nicamente existe en
mltiplos enteros positivos o negativos de la carga del electrn, -e.
El principio de la conservacin de la carga elctrica, es un postulado fundamental o ley de
la fsica. Establece que la carga elctrica se conserva; es decir, no se crea ni se destruye. Es
una ley de la naturaleza y no puede derivarse de otros principios o relaciones.
Las cargas elctricas pueden moverse de un lugar a otro y redistribuirse bajo la influencia
de un campo electromagntico, pero la suma algebraica de las cargas negativas y positivas
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TEORA ELECTROMAGNTICA
- 5 - Ing. Juan Bosco Gonzlez O.
en un sistema cerrado (aislado) no cambia. El principio de conservacin de la carga
elctrica debe satisfacerse en cada momento y en todas las circunstancias.
Aunque en el sentido microscpico la carga elctrica existe o no existe en un punto de
manera discreta, estas variaciones abruptas a escala atmica no tienen importancia al
considerar el efecto electromagntico de grandes conjuntos de cargas. Al construir una
teora electromagntica macroscpica o gran escala, se obtienen muy buenos resultados
al usar la densidad media alisada.
Sabemos por la ley de Coulomb que la fuerza ejercida sobre una carga q1 viene dada por la
ecuacin: , donde es el vector dirigido de q2 a q1.
INTENSIDAD DEL CAMPO ELCTRICO:
La fuerza entre dos cargas puntuales q1 y q2, establecida por la ley de Coulomb podra
entenderse que se debe a la interaccin entre una carga q1 y el campo producido por q2, o
viceversa. En ese sentido, se define la intensidad de campo elctrico E como la fuerza por
unidad de carga ejercida sobre una carga de prueba colocada en el campo. Segn esto, la
intensidad del campo elctrico producido por una carga puntual q1 es:
DISTRIBUCIN DE CARGA:
Carga volumtrica:
Se define la densidad volumtrica de carga, , como una cantidad fuente, de la siguiente
manera: , donde q es la cantidad de carga en un volumen muy
pequeo v. v debe ser lo suficientemente pequeo para representar una variacin
precisa de , pero lo suficientemente grande como para contener un gran nmero de
cargas discretas.
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TEORA ELECTROMAGNTICA
- 6 - Ing. Juan Bosco Gonzlez O.
Cuando una carga est distribuida a travs de un volumen dado, cada elemento de carga
contribuye al campo elctrico en un punto externo; de all que para obtener el campo
elctrico, se requiere un proceso de integracin. Adems es til considerar distribuciones
continuas (porque son diferenciables) de carga y definir una densidad de carga por:
, y de la expresin (1) para el campo elctrico se tiene que:
; y
Carga laminar (superficial):
En el caso de que una carga laminar est distribuida sobre una superficie o una lmina.
Entonces, cada carga diferencial dQ que est sobre la lmina produce un campo elctrico
diferencial en el punto P (fuera de la lmina):
Si la densidad de carga superficial s (C/m2) y si ninguna otra carga se halla presente en la
regin, entonces el campo elctrico total en P es:
Carga lineal:
Si la carga est distribuida sobre una lnea, cada elemento diferencial de carga a lo lago de
la lnea produce un campo elctrico diferencial en P: . Y si la densidad lineal
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- 7 - Ing. Juan Bosco Gonzlez O.
de carga es l (C/m) y no existe ninguna carga en la regin, entonces el campo elctrico
total en P es:
NOTA: Para las tres distribuciones de carga referidas y en sus correspondientes integrales para E,
el vector unitario es variable y depende de las coordenadas del elemento de carga dQ. As
pues, no puede ser sacado del integrando.
Excepto en algunas situaciones especiales, las densidades de carga varan de un punto a
otro; por consiguiente, son, en trminos generales, funciones puntuales de las
coordenadas espaciales.
La corriente es la razn de carga de cambio de la carga con respecto al tiempo, es decir,
, don de la propia I tambin puede depender del tiempo. La unidad de
corriente es el coulomb por segundo (C/s), lo cual equivale a un ampere (A). Una corriente
debe fluir a travs de un rea finita (por ejemplo, un alambre conductor con rea
transversal finita), por tanto, no se trata de una funcin puntual. En el electromagnetismo
se define una funcin puntual vectorial densidad de corriente, , que mide la cantidad de
corriente que fluye por un rea unidad normal a la direccin del flujo de la corriente. La
densidad de corriente, , es un vector cuya magnitud es la corriente por unidad de rea
(A/m2) y su direccin es la del flujo de corriente.
En el electromagnetismo hay cuatro cantidades de campo vectoriales fundamentales: la
intensidad de campo elctrico , densidad de flujo elctrico (o desplazamiento elctrico)
, densidad de flujo magntico e intensidad de campo magntico .
La intensidad de campo elctrico es el nico vector necesario al analizar la electrosttica
(los efectos de cargas elctricas estacionarias) en el espacio libre; se define como la fuerza
elctrica por unidad de carga de prueba. El vector desplazamiento elctrico , es til en el
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- 8 - Ing. Juan Bosco Gonzlez O.
estudio de campos elctricos en medios materiales. La densidad de flujo magntico , es
el nico vector necesario al analizar la magnetosttica (los efectos de corrientes elctricas
estacionarias) en el espacio libre, y se relaciona con la fuerza magntica que acta sobre
una carga que se mueve con determinada velocidad. El vector densidad de flujo
magntico es til en el estudio de campos magnticos en medios materiales.
En la tabla N1 siguiente se presentan las cuatro cantidades fundamentales del campo
elctrico, as como sus unidades. Si no hay variacin temporal (como en los casos estticos
o estacionarios), las cantidades de campo elctrico y y las cantidades de campo
magntico y forman dos pares vectoriales separados. Sin embargo, en los casos
dependientes del tiempo, las cantidades campos elctricos y magnticos estn acoplados;
es decir, si y son variables con el tiempo producirn y , y viceversa. Las cuatro
cantidades son funciones puntuales. Las propiedades de los materiales (o medios)
determinan las relaciones entre y y entre y . Estas relaciones se denominan
relaciones constitutivas de un medio.
Tabla N1. Cantidades fundamentales del campo electromagntico
Smbolos y unidades para las cantidades del campo
Cantidad de campo Smbolo Unidad
Elctrico
Intensidad de campo elctrico E V/m
Densidad de flujo elctrico (desplazamiento elctrico)
D C/m2
Magntico
Densidad de flujo magntico B T (V.s/m
2)
Intensidad de campo magntico H A/m
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TEORA ELECTROMAGNTICA
- 9 - Ing. Juan Bosco Gonzlez O.
Unidades en el SI y constantes universales.
Tabla N2. Unidades del SI Fundamentales
Cantidad Unidad Abreviatura
Longitud metro m
Masa kilogramo kg
Tiempo segundo s
Corriente ampere A
Todas las otras unidades usadas en el electromagnetismo, incluyendo las que aparecen en
la tablaN2, son unidades derivadas que se expresan en funcin de metros, kilogramos,
segundos y amperes. Por ejemplo, la unidad de carga, coulomb (C), es ampere-segundo
(A.S); la unidad de intensidad de campo elctrico (V/m) es kg.m/A.s3; la unidad de
densidad de flujo magntico, tesla (T), es kg/A.s2.
En el modelo electromagntico hay tres constantes universales, adems de las cantidades
de campo de la tabla 1. Estas constantes se relacionan con las propiedades del espacio
libre (vacio) y son: velocidad de la onda electromagntica (incluyendo la luz) en el espacio
libre c,; permitividad del espacio libre ,; y permeabilidad del espacio libre, . La
velocidad de la luz en el espacio libre, para los fines prcticos es , hasta
varias cifras decimales1.
Las otras dos contantes, y , se relacionan con los fenmenos elctricos y magnticos,
respectivamente; es la constante de proporcionalidad entre la densidad de lujo
elctrico D y la intensidad de campo elctrico E en el espacio libre, de manera que
(en el espacio libre).
1 .
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TEORA ELECTROMAGNTICA
- 10 - Ing. Juan Bosco Gonzlez O.
es la constante de proporcionalidad entre la densidad de flujo magntico B y la
intensidad de flujo de campo magntico H en el espacio libre, de manera que .
Los valores de y se determinan de acuerdo con el sistema de unidades elegido y no
son independientes. En el sistema SI, adoptado de manera casi universal para el trabajo
electromagntico, se elige la permeabilidad del espacio libre como
. Donde H/m representa Henry por metro.
Con los valores de c y establecidos en las ecuaciones, el valor de la permitividad del
espacio libre se obtiene de las siguientes relaciones2:
, o sea, .
Donde F/m es la abreviatura de farad por metro. En la tabla N3 se resumen las tres
constantes universales y sus valores.
NOTA: El ampere se define como aquella corriente contante que fluye en direcciones opuestas en
dos conductores rectos paralelos de longitud infinita, seccin transversal despreciable y separados
por una distancia de un metro en el vaco y que produzca una fuerza repulsiva de
por cada metro de longitud entre los dos conductores. Se sabe que la
fuerza entre dos conductores paralelos es,
Y, por consiguiente, .
Es evidente que la definicin de ampere se ha formulado de tal manera que quede asignado un
sencillo valor numrico exacto a la permeabilidad del espacio libre.
2 es la velocidad con la cual una onda electromagntica se propaga en el espacio libre. Es
evidente que el valor numrico de depende del valor definido para la velocidad de la luz en el vaco.
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TEORA ELECTROMAGNTICA
- 11 - Ing. Juan Bosco Gonzlez O.
Tabla N3. Contantes Universales en Unidades del SI.
Constantes Universales
Smbolo Valor Unidad
Velocidad de la luz en el espacio libre
Permeabilidad del espacio libre
Permitividad del espacio libre
CAMPOS ELCTRICOS ESTTICOS.
La electrosttica es el estudio de los efectos de las cargas elctricas en reposo y de los campos
elctricos que no cambian con el tiempo.
Postulados Fundamentales de la Electrosttica en el espacio libre.
Para la electrosttica en el espacio libre se deben considerar slo una de las cuatros cantidades de
campo vectoriales fundamentales del modelo electromagntico (tabla N1), especficamente, la
intensidad de campo elctrico E. Asimismo, en la formulacin slo entra la permitividad en el
espacio libre, , de las tres contantes universales mencionadas en la tabla N 3.
Intensidad de campo elctrico.
Se define como la fuerza por unidad de carga que experimenta una carga de prueba estacionaria
muy pequea al colocarse en una regin donde existe un campo elctrico. Es decir,
La intensidad de campo elctrico E es entonces proporcional a la fuerza F y tiene su misma
direccin. Si F se mide en newton (N) y la carga q en coulomb (C), E tiene unidades de newton por
coulomb (N/C), lo cual equivale a voltio por metro (V/m).
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TEORA ELECTROMAGNTICA
- 12 - Ing. Juan Bosco Gonzlez O.
La carga de prueba q no puede ser cero en la prctica; de hecho, no puede ser menor que la carga
de un electrn. Sin embargo, el carcter finito de la carga de prueba no har que el campo E
medido difiera notablemente de su valor calculado si la carga de prueba es lo suficientemente
pequea como para no perturbar la distribucin de carga de la fuente. Una relacin inversa de la
ecuacin (1) da la fuerza F sobre una carga estacionaria q en un campo elctrico E:
Los dos postulados fundamentales de la electrosttica en el espacio libre especifican la divergencia
y el rotacional de E. stos son:
Divergencia de un campo electrosttico E en el espacio libre:
Esta ecuacin implica que un campo elctrico esttico no es solenoidal a menos que .
NOTA:
Si la divergencia de un campo vectorial es nula, entonces el campo vectorial es solenoidal y
puede expresarse como el rotacional de otro campo vectorial. Sea B un campo vectorial. Este
enunciado alternativo establece que si , se puede definir un campo vectorial A tal que
.
Rotacional de un campo electrosttico E es nulo:
Esta ecuacin establece que los campos elctricos estticos son irrotacionales.
Si el rotacional de un campo vectorial es nulo, entonces, el campo vectorial puede expresarse
como el gradiente de un campo escalar. Sea E un campo vectorial. Entonces, si , se
puede definir un campo escalar V tal que: . .
Los postulados [3] y [4] son concisos, sencillos e independientes del sistema de
coordenadas, adems, pueden usarse para derivar otras relaciones, leyes y teoremas de la
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TEORA ELECTROMAGNTICA
- 13 - Ing. Juan Bosco Gonzlez O.
electrosttica. Por otra parte, estas ecuaciones son relaciones puntuales; es decir, se
aplican a todos los puntos del espacio. Se conocen como la forma diferencial de los
postulados de la electrosttica, ya que las operaciones de divergencia y rotacional
implican derivadas espaciales.
El campo total debido a un conjunto o una distribucin de cargas puede obtenerse de
manera ms conveniente con una forma integral de la ecuacin [3]. Para ello, se toma el
volumen en ambos lados de la ecuacin [3] para un volumen arbitrario V, se tiene:
Teniendo en cuenta el teorema de la divergencia, la ecuacin [5] se convierte en:
Donde Q es la carga total contenida en el volumen V limitado por la superficie S. La
ecuacin [6] es una forma de la ley de Gauss, una de las relaciones ms importante de la
electrosttica.
Tambin puede obtenerse una forma integral de la relacin del rotacional de la ecuacin
[4], integrando sobre una superficie abierta e invocando el teorema de Stokes. Se
tiene entonces en el espacio libre que:
LEY DEL VOLTAJE DE KIRCHHOFF
La integral de lnea se aplica a un contorno cerrado arbitrario C. La ecuacin [7] establece
que la integral de lnea escalar (o circulacin) de la intensidad de campo elctrico
esttico a lo largo de una trayectoria cerrada es nula. El producto escalar
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TEORA ELECTROMAGNTICA
- 14 - Ing. Juan Bosco Gonzlez O.
integrando a lo largo de cualquier trayectoria es el voltaje entre los extremos de dicha
trayectoria. Por consiguiente, la ecuacin [7] es una expresin de la ley del voltaje de
Kirchhoff de la teora de circuitos, que indica que la suma algebraica de las cadas de
voltaje a lo largo de un circuito cerrado es cero.
La ecuacin [7] tambin implica que la integral de lnea escalar del campo irrotacional E a
lo largo de cualquier trayectoria de un punto (digamos P1) a otro (digamos P2) es
cancelada por la de P2 a P1 a lo largo de cualquier otra trayectoria, es decir, la integral de
lnea de un campo elctrico esttico depende nicamente de los puntos inicial y final.
La integral de lnea de E del punto P1 a P2 representa el trabajo realizado por E al mover
una unidad de carga P1 a P2. Por lo tanto, la ecuacin [7] nos dice que el trabajo efectuado
al mover una unidad de carga a lo largo de una trayectoria cerrada de un campo
electrosttico es cero. Es un enunciado de la conservacin del trabajo a la energa en un
campo electrosttico. Es por esta razn que se puede afirmar que un campo irrotacional
es un campo conservativo.
Tabla N 4. Postulados de la electrosttica en el espacio libre.
Forma diferencia Forma integral
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TEORA ELECTROMAGNTICA
- 15 - Ing. Juan Bosco Gonzlez O.
LEY DE COULOMB
Experimentalmente se encuentra que las fuerzas entre dos
cargas elctricas fijas puntuales : a) acta segn la
lnea que une las posiciones de ambas cargas; b) es
proporcional al producto , y c) es inversamente
proporcional al cuadrado de la distancia r de separacin de
las mismas.
Si las cargas no son puntuales se presenta la complicacin de
carecer de un sentido definido la distancia entre las cargas.
Adems, la presencia de puede modificar la distribucin de
cargas en , y viceversa, lo que nos conduce a una complicada
variacin de la fuerza con la distancia.
Se tiene que para cargas puntuales estacionarias: , donde es la
fuerza que ejerce sobre , es una constante de
proporcionalidad3, y es el vector unitario en la
direccin de a . Las fuerza es repulsiva si las
cargas son del mismo signo y atractiva en caso
contrario.
Cuando se coloca una carga puntual q2 en el
campo creado por otra carga puntual q1, q2
experimenta una fuerza debida a la intensidad
3 , donde la nueva constante se denomina permitividad del espacio libre y tiene una magnitud de
; obsrvese que , si se
usa el valor aproximado , entonces, .
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TEORA ELECTROMAGNTICA
- 16 - Ing. Juan Bosco Gonzlez O.
de campo elctrico de q1 en q2. Al combinar las ecuaciones [2] y [9] se tiene,
.
La ecuacin [13] es una forma matemtica de la ley de Coulomb. Establece que la fuerza
entre dos cargas puntuales es proporcional al producto de las cargas e inversamente
proporcional al cuadrado de la distancia que las separa.
En la ecuacin [13] se observa que es una fuerza de repulsin cuando q1 y q2 son
ambas positivas o negativas (la direccin de es de q1 a q2 y el producto q1q2 es
positivo) y una fuerza de atraccin cuando q1 y q2 tienen signos opuestos (el producto q1q2
es negativo).
Ejemplo N1.
Dos cargas , ubicadas en el vaco en
. Encontrar la fuerza que ejerce en .
Solucin
Sea el vector la fuerza sobre y un vector unitario en la direccin de a , es
decir, , por tanto,
Empelando la ecuacin [13] se tiene que:
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TEORA ELECTROMAGNTICA
- 17 - Ing. Juan Bosco Gonzlez O.
La magnitud de la fuerza es de 30N y su direccin la especifica el vector unitario que se ha
puesto entre parntesis para resaltar la magnitud de la fuerza. La fuerza sobre tambin
puede considerase como la suma de las tres componentes de fuerzas,
La fuerza expresada por la ley de Coulomb es una fuerza mutua, pues cada una de las dos
cargas experimentan una fuerza de la misma magnitud, aunque en direccin opuesta. De
igual modo se pudo haber escrito
Supngase que se desea hallar la intensidad de
campo elctrico creado por una sola carga q, en
reposo en el espacio libre ilimitado. Para ello, se
dibuja una superficie esfrica de radio arbitrario R con
centro en q; es decir, una superficie cerrada hipo-
ttica (una superficie gaussiana) alrededor de la
fuente, a la cual se le aplica la ley de Gauss para
determinar el campo. Puesto que una carga puntual
no tiene direcciones preferentes, su campo elctrico debe ser radial y tener la misma
intensidad en todos los pun tos de la superficie esfrica.
Al aplicar la ecuacin [6] a la figura N1(a) se tiene:
, o sea, , por lo tanto:
(INTENSIDAD DE CAMPO ELETRICO DE UNA CARGA PUNTUAL AISLADA SITUADA EN EL ORIGEN)
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TEORA ELECTROMAGNTICA
- 18 - Ing. Juan Bosco Gonzlez O.
La ecuacin [8] nos indica que la intensidad de campo elctrico de una carga puntual
positiva tiene direccin radial hacia afuera y magnitud proporcional a la carga e
inversamente proporcional al cuadrado de la distancia a la carga. Esta frmula bsica es
muy importante en la electrosttica.
Si la carga q no est situada en el origen del
sistema de coordenadas elegido, se deben
efectuar los cambios apropiados al vector unitario
y determinar la distancia R para reflejar la
posicin de la carga y el punto donde se
determinar .
Sea el vector de posicin de q y el punto del campo P, como se ilustra en la fig.1(b),
Entonces, a partir de la ecuacin [8], , donde es el vector
unitario trazado de q a P. Puesto que , se tiene que:
(INTENSIDAD DE CAMPO ELCTRICO DE UNA CARGA PUNTUAL AISLADA EN UNA POSICIN
ARBITRARIA).
CAMPO ELCTRICO DEBIDO A UN SISTEMA DE CARGAS DISCRETAS
Suponga que un grupo de n cargas puntuales discretas situadas en diferentes posiciones
crea un campo electrosttico. Puesto que la intensidad de campo elctrico es una funcin
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TEORA ELECTROMAGNTICA
- 19 - Ing. Juan Bosco Gonzlez O.
lineal de (proporcional a) , es aplicable el principio de superposicin, y el campo
total en un punto es la suma vectorial de los campos causados por todas las cargas
individuales. Denotemos las posiciones de las cargas (puntos fuentes) con los
vectores posicin , y la posicin del punto campo donde se calcular la
intensidad elctrica, con 4. A partir de la ecuacin [11] se puede escribir:
(INTENSIDAD DE CAMPO ELCTRICO DE UN SISTEMA DE CARGAS PUNTUALES DISCRETAS)
Aunque la ecuacin [14] es una expresin concisa, es complicada de usar porque muchas
veces es necesario sumar vectores con diferentes magnitudes y direcciones. Una
estrategia ms sencilla sera encontrar a partir del potencial elctrico.
CAMPO ELCTRICO DEBIDO A UNA DISTRIBUCIN CONTINUA DE CARGA.
Se puede obtener el campo elctrico creado por una distribucin de carga continua
integrando (superponiendo) la contribucin de un elemento de carga a toda la
distribucin de carga. En la Fig.2 se presenta una distribucin de carga de volumen. La
densidad volumtrica de carga es, en trminos generales, una funcin de las
coordenadas. Ya que un elemento diferencia de carga se comporta como una carga
puntual, la contribucin a la intensidad de campo elctrico en el punto fuente P de la
4 Cuando sea necesario distinguir la notacin de la posicin de un punto fuente de la de un punto campo, se
seguir el convenio aceptado de usar coordenadas con prima para la fuente y coordenadas sin prima para el campo.
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TEORA ELECTROMAGNTICA
- 20 - Ing. Juan Bosco Gonzlez O.
carga en un elemento de volumen diferencial es , se tiene
entonces que:
(INTENSIDAD DE CAMPO ELCTRICO DE UNA DISTRIBUCIN VOLUMTRICA).
Si la carga est distribuida sobre una superficie con densidad superficial de carga
, se expresa:
(INTENSIDAD DE CAMPO ELCTRICO DE UNA DISTRIBUCIN SUPERFICIAL DE CARGA).
Para una carga lineal se tiene:
Donde es la densidad de una lnea de carga y L es la lnea (no necesariamente
recta) por la cual se distribuye la carga.
(INTENSIDAD DE CAMPO ELCTRICO DE UNA DISTRIBUCIN LINEAL DE CARGA).
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TEORA ELECTROMAGNTICA
- 21 - Ing. Juan Bosco Gonzlez O.
LEY DE GAUSS Y APLICACIONES
La ley de Gauss relaciona el flujo de a travs de una superficie cerrada con la carga total
contenida en su interior. Se obtiene directamente del postulado de la divergencia de la
electrosttica , recordemos (ver pgina 12) que si se toma la integral de
volumen a ambos lados de esta ecuacin para un volumen arbitrario V, se tiene
y que al aplicar el teorema de la divergencia, esta ecuacin se
convierte en .
La ley de Gauss [19] establece que el flujo de salida total del campo a travs de
cualquier superficie cerrada en el espacio libre es igual a la carga total encerrada en la
superficie, dividida por .
Debe tenerse en cuenta que la superficie S puede ser cualquier superficie cerrada
hipottica (matemtica) elegida por conveniencia; no tiene que ser una superficie fsica.
Cundo usar la ley de Gauss?
a) La ley de Gauss es til para determinar el campo de distribuciones de carga con
ciertas condiciones de simetra, tal como que la componente normal de la
intensidad de campo elctrico sea constante sobre una superficie cerrada. En estos
casos la integral de superficie del lado izquierdo de la ecuacin [19] sera muy fcil
de calcular y la ley de Gauss sera una forma mucho ms eficiente de determinar la
intensidad del campo elctrico que las ecuaciones [16] a [18].
b) La ley de Gauss no es muy til cuando no existen condiciones de simetra. Los
puntos cruciales para la aplicacin de la ley de Gauss son, primero, la identificacin
de las condiciones de simetra y, segundo, la eleccin de una superficie apropiada
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TEORA ELECTROMAGNTICA
- 22 - Ing. Juan Bosco Gonzlez O.
donde la componente normal de debida a la distribucin de carga dada sea
constante. Tal superficie se conoce como superficie gaussiana.
EJEMPLO N1. Use la ley de Gauss para determinar la intensidad de campo elctrico de
una lnea de carga recta, infinitamente larga, con densidad uniforme en el aire.
Solucin: Este problema tambin puede resolverse
empleando la ecuacin [18].
Como la lnea de carga es infinitamente larga, el campo
resultante debe ser radial y perpendicular a la lnea de
carga y no puede existir una componente de
a lo largo de la lnea. Aprovechando la simetra radial,
se construye una superficie gaussiana cilndrica de radio
y longitud arbitraria L con la lnea de carga como eje,
tal como se muestra en la figura.
En coordenadas cilndricas la posicin de cualquier
punto P en el espacio se especifica por las
coordenadas , la coordenada es la distancia
al eje ; es el ngulo acimutal del plano que
contiene al punto P y el eje , medido desde el plano
en el sentido de rotacin a derechas; y es la
distancia al plano 5.
es constante en esta superficie y . De la ecuacin [19] se tiene:
5 Es comn usar para la variable radial de las coordenadas cilndricas y r para la variable radial (diferente)
de las coordenadas esfricas. Tambin se acostumbra llamar a a la variable angular de las coordenadas
cilndricas dedo que se usa para un ngulo distinto en coordenadas esfricas. El ngulo es el mismo tanto en coordenadas esfricas como en las cilndricas.
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TEORA ELECTROMAGNTICA
- 23 - Ing. Juan Bosco Gonzlez O.
No hay contribucin de la cara superior e inferior del cilindro porque en la cara superior
, pero no tiene componente en , de manera que . Sucede lo
mismo en la cara inferior. La carga total encerrada por el cilindro es . Sustituyendo
en la ecuacin [19] se obtiene:
Obsrvese que la longitud L de la superficie gaussiana cilndrica no aparece en la expresin
final, por lo cual se pudo haber elegido un cilindro de longitud igual a la unidad.
Nota: Por qu esta superficie gaussiana cilndrica no funcionar si la lnea de carga es de
longitud finita?
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TEORA ELECTROMAGNTICA
- 24 - Ing. Juan Bosco Gonzlez O.
Ejercicios Propuestos.
1. Compruebe que el campo de la ecuacin [8] satisface la ecuacin [4] y
que por lo tanto es conservativo.
2. Determine la intensidad de campo elctrico en P (0.2, 0, 2.3) debida a una carga
puntual de +5 nC en Q (0.2, 0.1, 2.5) en el aire. Todas las dimensiones estn en
metros.
Respuesta: 214,5 .
3. Dadas dos cargas puntuales, q1=10 C en (2, 0, 4) y q2= -60 C en (0, 1, 2),
determine:
a. La intensidad de campo elctrico en q1 debido a q2 y
b. La magnitud de la fuerza experimentada por q1.
Todas las dimensiones se dan en metros.
Respuesta: (a) 20 [kV/m], (b) 0,6 [N], atraccin.
4. Determine la intensidad de campo elctrico de una lnea de carga recta,
infinitamente larga, con densidad uniforme en el aire.
Respuesta:
5. Suponga una lnea de carga infinitamente larga de 50 pC/m paralela al eje y en
x=2 m y z=1 m; obtenga la intensidad elctrica en el punto (1, 5, 3).
Respuesta:
6. Obtngase una frmula para la intensidad de campo elctrico en el eje de un disco
circular de radio b que tiene una densidad de carga superficial de carga uniforme .
Respuesta:
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TEORA ELECTROMAGNTICA
- 25 - Ing. Juan Bosco Gonzlez O.
UNIDAD III: MATERIALES ELCTRICOS Y MAGNTICOS
3.1 Materiales dielctricos
3.1.1 Permitividad
3.1.2 El dipolo elctrico
3.1.3 Polarizacin
3.2 Materiales magnticos
3.2.1 Dipolo magntico
3.2.2 Relaciones de frontera
3.2.3 Fuerzas magnticas
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TEORA ELECTROMAGNTICA
- 26 - Ing. Juan Bosco Gonzlez O.
APENDICES
A.1 Mltiplos y submltiplos de unidades
Factor por el cual se multiplica la unidad Prefijo Smbolo
1000 000 000 000 000 000 =1018
exa E
1000 000 000 000 000= 1015
peta P
1000 000 000 000= 1012
tera T
1000 000 000=109 giga G
1000 000=106 mega M
1000=103 kilo k
100=102 hecto* h
10=101 deca* da
0,1=10-1
deci* d
0,01=10-2
centi* c
0,001=10-3
mili m
0,000 001=10-6
micro
0,000 000 001=10-9
nano n
0,000 000 000 001=10-12
pico p
0,000 000 000 000 001=10-15
femto f
0,000 000 000 000 000 001=10-18
atto a
*Estos prefijos por lo general slo se utilizan para medidas de longitud, rea y volumen.
A.2 Magnitudes Bsicas
Magnitud Smbolo Unidad S.I. Abreviatura
Longitud L, l metro m
Masa M, m kilogramo kg
Tiempo T, t segundo s
Intensidad de corriente I, i amperio a
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A.3 Magnitudes elctricas y sus smbolos usados normalmente en el anlisis de circuitos elctricos.
Magnitud Smbolo Unidad S.I. Abreviatura
Carga elctrica Q, q culombio C
Potencial elctrico V, v voltio V
Resistencia R ohmio
Conductancia G siemens S
Inductancia L henrio H
Capacitancia (capacidad) C faradio F
Frecuencia f hertz Hz
Fuerza F newton N
Energa, trabajo W, w julio J
Potencia P, p vatio W
flujo magntico weber Wb
Densidad de flujo magntico B tesla T
Unidades derivadas empleadas en estos apuntes
Cantidad Unidad Smbolo SI Frmula
Cantidad de electricidad Coulomb C
Capacitancia elctrica Faradio F
Diferencia de potencial elctrico
Voltio V
Energa Joule J
Fuerza newton N
Inductancia elctrica Henry H
Intensidad del campo Voltio por metro E
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elctrico
Intensidad del campo magntico
Ampere por metro H
Permitividad (capacitividad) del espacio libre
Faradio por metro
Permeabilidad del espacio libre
Henry por metro
Potencia vatio W
Resistencia elctrica ohm
Trabajo Joule J
Voltaje Voltio V
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TEORA ELECTROMAGNTICA
- 29 - Ing. Juan Bosco Gonzlez O.
BIBLIOGRAFA
Cheng, David K, Fundamentos de electromagnetismo para ingeniera, Addison Wesley
Iberoamericana, S.A. Mxico, 1997.
Edminister, Joseph, Teora y problemas de electromagnetismo, MacGrawHillSerie de
compendios Schaum, Colombia, 1981.
Hayt, William; y Buck J., Teora electromagntica, McGrawHill, 7 edicin, Mxico, 2006.
Lorrain, Paul; y Corson D., Campos y ondas electromagnticas, Selecciones cientficas,
Espaa, 1972.