Apuntes MAPIQ IQ204-Libre

Notas de Matematicas aplicadas a la Ingeniera Qumica

Juan Paulo Garca Sandoval

1 de febrero de 2011

Apuntes de clase IQ204 2011A Juan Paulo Garca Sandoval

ii

Indice general

1. Ecuaciones diferenciales de la fsica-matematica 1

1.1. Definicion y clasificacion de las ecuaciones diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.1. Ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1.2. Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

Ecuaciones de variables separables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2Ecuaciones de reducibles a variables separables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4Ecuaciones lineales de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5Ecuaciones de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7Ecuaciones homogeneas de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8Ecuaciones reducibles a homogeneas de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10Ecuaciones exactas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12Ecuaciones reducibles a exactas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14Ecuaciones de Riccati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17Ecuaciones de primer orden no resueltas con respecto a la derivada . . . . . . . . . . . 18

Ecuaciones de la forma f (y, y) = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18Ecuaciones de la forma f (x, y) = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19Ecuaciones de primer orden no resueltas con respecto a la derivada de grado n 20Ecuaciones de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21Ecuaciones de Clairaut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.1.3. Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden y orden superior . . . . . . . . . 23Metodos de reduccion de orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

Metodo 1: Ecuaciones de la forma y(n) = f (x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23Metodo 2: Ecuaciones de la forma f

(x, y(k), y(k+1), . . . , y(n)

)= 0 . . . . . . . . 23

Metodo 3: Ecuaciones de la forma f(y, y, y, . . . , y(n)

)= 0 . . . . . . . . . . . 24

Metodo 4: Ecuaciones homogeneas con respecto a y y sus derivadas . . . . . . . 25Metodo 5: Ecuaciones homogeneas con respecto a x, y y sus diferenciales . . . . 26

Ecuaciones diferenciales lineales de orden n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30EDO lineales de orden n con coeficientes constantes homogeneas . . . . . . . . 31EDO lineales de orden n con coeficientes variables homogeneas . . . . . . . . . 32

Ecuaciones de Cauchy-Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33Metodos de solucion mediante series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

Metodo de Frobenius: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41EDO lineales de orden n no homogeneas: Metodo de coeficientes indeterminados 46EDO lineales de orden n no homogeneas: Metodo de variacion de parametros . 50

1.1.4. Solucion de sistemas en EDO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 571.1.5. Ecuaciones diferenciales parciales (EDP) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

EDP de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60Solucion de EDP cuasi-lineales con dos variables independientes . . . . . . . . . 62

EDP de segundo orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

iii


Metodo de las caractersticas para la solucion de EDP de segundo orden condos variables independien

Formas canonicas para EDP de segundo orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

Ecuaciones del tipo hiperbolico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

Ecuaciones del tipo parabolico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

Ecuaciones del tipo elptico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

1.2. Modelado de fenomenos de la fsica-matematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

1.2.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

1.2.2. Consideraciones de modelado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

1.2.3. Principio de conservacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

Balances de masa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

Balance de masa total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

Balance de masa para componentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

Balances de energa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

Balances de cantidad de movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

1.2.4. Modelado de fenomenos fsicos mediante ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) . . 78

1.2.5. Modelado de fenomenos fsicos mediante ecuaciones diferenciales parciales (EDP) . . . 78

1.3. Condiciones para las ecuaciones diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

1.3.1. Condiciones desde el punto de vista matematico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

1.3.2. Condiciones iniciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

1.3.3. Condiciones frontera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

1.3.4. Condiciones de continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

1.4. Cambio de coordenadas para las ecuaciones diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

1.4.1. Coordenadas cilndricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

1.4.2. Coordenadas esfericas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

2. Solucion de problemas de la fsica-matematica en ecuaciones diferenciales ordinarias 85

2.1. Problemas descritos por ecuaciones de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

2.2. Problemas descritos por ecuaciones de segundo orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

3. Transformadas de Laplace 103

3.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

3.2. Definicion de la transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

3.3. Condiciones suficientes y necesarias para la existencia de la integral de transformacion . . . . 105

3.3.1. Funciones seccionalmente continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

Funcion escalon unitario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

3.3.2. Funciones de orden exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

3.4. Transformadas de derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

3.5. Transformada inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

3.6. Teorema de sustitucion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

3.7. Solucion de EDO simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

3.8. Teorema de traslacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

3.9. Funcion impulso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

3.10. Convolucion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

3.11. Solucion de ecuaciones diferenciales, integrales e integro-diferenciales . . . . . . . . . . . . . . 118

3.12. Derivadas de transformadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

3.12.1. Solucion de ED con coeficientes variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

3.13. Integracion de transformadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

iv


4. Solucion de ecuaciones diferenciales parciales de la fsica-matematicapor transformadas de Laplace123

4.1. Transformacion de Laplace para derivadas parciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1234.2. Solucion de problemas de la fsica-matematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1244.3. Solucion de modelos matematicos propios de la Ingeniera Qumica . . . . . . . . . . . . . . . 127

4.3.1. Teora de la penetracion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1274.3.2. Reactor tubular con difusion despreciable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1294.3.3. Reactor tubular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1304.3.4. Intercambiador de calor de tubos concentricos a contracorriente . . . . . . . . . . . . . 1324.3.5. Conduccion de calor en una placa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

5. Metodo de Fourier para la solucion de ecuaciones diferenciales parcialesde la fsica-matematica141

5.1. Etapas generales del metodo de separacion de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1415.1.1. Problema homogeneo que genera una serie de Fourier de senos . . . . . . . . . . . . . 1425.1.2. Problema homogeneo que genera una serie de Fourier de cosenos . . . . . . . . . . . . 147

5.2. Problema de Sturm-Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1515.2.1. Ortogonalidad, norma, ortonormalidad y series generalizadas . . . . . . . . . . . . . . 154

5.3. Apliacion del metodo de separacion de variables en coordenadas cartesianas . . . . . . . . . . 1555.3.1. Problemas homogeneos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

Cuerda vibrante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155Placa en estado estacionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

5.3.2. Problemas no homogeneos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162Teora combinada de la renovacion de la superficie de la pelcula . . . . . . . . . . . . 163Aleta extendida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

5.3.3. Problemas con mas de dos variables independientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1705.3.4. Temperatura en una placa en estado no estacionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

5.4. Problemas en coordenadas esfericas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1725.4.1. Problemas simetricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

Partculas de un reactor nuclear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1745.5. Problemas en coordenadas cilndricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

5.5.1. Funciones de Bessel y sus propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1785.5.2. Ortogonalidad y norma de las funciones de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1805.5.3. Solucion de problemas que generan series de Fourier-Bessel . . . . . . . . . . . . . . . 1815.5.4. Solucion de problemas que involucren la ecuacion de Euler-Cauchyque generan una serie de Fourier185

v


vi

Prefacio

Un ingeniero que no sabe matematicas es como un escritor analfabeto, desde luego puede ser un escritorpero necesitara de alguien que lea y escriba por el.

Esta obra se enfoca en el planteamiento y solucion de problemas de ingeniera descritos por ecua-ciones diferenciales ordinarias o parciales y ecuaciones en diferencias, se considera que el estudiante yatiene conocimientos suficientes en algebra y calculo.

vii


viii

Captulo 1

Ecuaciones diferenciales de lafsica-matematica

1.1. Definicion y clasificacion de las ecuaciones diferenciales

Una ecuacion diferencial de orden n es aquella que contiene una variable dependiente, y, que puededepender de una (x) o varias variables independientes (x1, x2, . . . , xm), as como sus derivadas con respectoa la(s) variable(s) independiente(s) hasta el orden n.

Si se tiene una sola variable independiente, entonces la ecuacion diferencial es ordinaria (EDO), mientrasque si tiene dos o mas variables independientes entonces es una ecuacion diferencial parcial (EDP). Tambiense pueden tener sistemas de ecuaciones diferenciales en los cuales se un conjunto de ecuaciones diferencialeslas cuales contienen a varias variables independientes.

Las Ecuaciones Diferenciales (ED) se pueden clasificar de diversas formas:

Por el numero de variables independientes

Ordinarias (una variable independiente) Parciales (dos o mas variables independientes)

Por el orden de la maxima derivada

Primer orden (n = 1) Segundo orden y orden superior (n 2)

Por la posibilidad de despejar la derivada de orden mayor

Resuelta con respecto a la derivada (si se puede despejar la derivada de mayor orden) No resuelta con respecto a la derivada (no se puede despejar la derivada de mayor orden)

Por su propiedad de linealidad

Lineal No lineal

1


1.1.1. Ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO)

La forma mas general de una EDO de orden n es

F(x, y, y, y, . . . , y(n)

)= 0 (1.1)

si en esta EDO se puede despejar la derivada de orden mayor, es decir

y(n) = f(x, y, y, y, . . . , y(n1)

)(1.2)

a esta ecuacion se le denomina resuelta con respecto a la derivada, mientras que si en la EDO (1.1) no sepuede despejar y(n), entonces es una ecuacion no resuleta con respecto a la derivada.

La ecuacion (1.2) es lineal si tiene la forma general

an (x) y(n) + an1 (x) y(n1) + + a1 (x) y + a0 (x) y = f (x) (1.3)

donde los coeficientes an, an1, . . . , a1, a0 pueden ser constantes o funciones de la variable independiente, x,mas no de la variable dependiente.

Se dice que la ecuacion (1.3) es homogenea si todos los terminos contienen a la variable dependiente o asus derivadas, es decir, si f (x) = 0. Por otro lado, si f (x) = 0, entonces la ecuacion es no homogenea.

En la figura se presenta una clasificacion de las ecuaciones diferenciales ordinarias.

1.1.2. Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden

La forma general de una EDO de primer orden se obtiene a partir de la ecuacion (1.1)

F (x, y, y) = 0 (1.4)

y si en ella se puede despejar la primera derivada entonces esta resuelta con respecto a la derivada, es decir

y = f (x, y)

Dentro de este tipo de ecuaciones existen diferentes clasificaciones.

Ecuaciones de variables separables

La forma general de las ecuaciones de variables separables es

y = (x)

(y)

o de manera equivalente (y) dy = (x) dx

en donde ya se han separado las variables y se puede integrar la ecuacion para obtener (y)dy =

(x) dx+ C

en otros casos se tiene ecuaciones de la forma

1 (y)2 (x) dy = 2 (y)1 (x) dx

y para separar variables entonces se divide por 2 (x)2 (y) y se integra1 (y)

2 (y)dy =

1 (x)

2 (x)dx+ C

2

Apuntes

decla

seIQ

204

2011A

JuanPaulo

Garca

Sandova

l

Mtodos de solucin

Mtodos de solucin

particular

Ecuaciones diferenciales


ordinarias (EDO)


parciales (EDP)

Resueltas con respecto a la

derivada

Primer ordenSegundo orden u orden

superior

No resueltas con respecto a

la derivada

Lineal No lineal

Bernoulli

Homognea

Variables

separables

Exacta

Reducible a

homognea

Reducible a

exacta

Riccati

EDO de primer

orden de grado n

EDO de la forma

f(y,y) = 0

EDO de la forma

f(x,y) = 0

Otras EDO

de 1er orden

y = g(y)

x = g(y)

EDO de Larange

EDO de

Clairaut

Resueltas con respecto a la

derivada

No resueltas con respecto a

la derivada

No linealLineal

Mtodos de

reduccin de

orden

Coeficientes

constantesCoeficientes

variables

HomogneasNo

homogneas

Mtodo del

operador

diferencial

Coeficientes

indeterminados

Variacin de

parmetros

Mtodo

operacional

Transformadas

de Laplace

No

homogneasHomogneas

Otras EDO

Ecuaciones de

Cauchy-Euler

Ecuaciones de

Bessel

Ecuaciones de

Legendre

Ecuaciones de

Hermit

..

.

Mtodo de

solucin por

series y series

generalizadas

(Mtodo de

Frobenius para

2 orden)

y(n)

= f(x)

f(x,y(k)

,y(k+1)

,...,y(n)

) = 0

f(y,y,y,...,y(n)

) = 0

Homognea respecto

a y,y,y,...,y(n)

Homognea respecto

a x, y, dx, dy, dx2,

dy2, etc.

Ver la pgina

siguiente

Orden?

3


Ejemplo 1 Resolver (y2 + xy2

)y + x2 yx2 = 0

en esta ecuacion se pueden factorizar algunos terminos:

(1 + x) y2y + (1 y)x2 = 0para obtener una EDO de variables separables. Al dividir por (1 + x) (1 y) y multiplicar por dx se obtiene

y2

1 y dy +x2

1 + xdx = 0

que se puede integrar y2

1 y dy +

x2

1 + xdx = 0

De tablas se tiene quey2

1ydy = y ln (1 y) 12y2x2

1+xdx = ln (x+ 1) x+ 12x2as que la solucion es

y ln (1 y) 12y2 + ln (x+ 1) x+ 1

2x2 = C

efectuando algebra (1

2x 1

)x y

(1

2y + 1

)+ ln

(1 + x

1 y)= C

Ecuaciones de reducibles a variables separables

Si se tiene una ecuacion de la forma

dy

dx= y = f (ax+ by + c) (1.5)

no se pueden separar las variables, sin embargo al definir el cambio de variables

z = ax+ by + c

se ve que su derivada con respecto a x esdz

dx= a+ by

y al sustituir el valor de y de la ecuacion (1.5) se obtiene

dz

dx= a+ by = a+ bf (ax+ by + c)

y al remplazar z, se llega a la ecuacion de variables separables

dz

dx= a+ bf (z)

cuya solucion es dz

a+ bf (z)= x+ C

y por lo tanto la solucion final se obtiene sustituyendo el valor de z, es decirzax+by+c

dz

a+ bf (z)= x+ C

4


Ejemplo 2 Resolvery = sen (x y)

Se define que z = x y y su derivada con respecto a x es z = 1 y, as que al sustituir y se obtienez = 1 sen (x y) = 1 sen (z)

de donde se pueden separar las variables e integrardz

1 sen (z) =dx

para obtener

tan(4+z

2

)= x+ C

si se remplaza el valor de z,

z = x y = 2 tan1 (x+ C) 2

es posible despejar y para obtener la solucion final

y =

2+ x 2 tan1 (x+ C)

Ecuaciones lineales de primer orden

Las EDO lineales de primer orden de acuerdo a la ecuacion (1.3) tienen la forma general

a1 (x) y + a0 (x) y = f (x)

y al definir p (x) = a0 (x) /a1 (x) y q (x) = f (x) /a1 (x) se obtiene la forma habitual

y + p (x) y = q (x) (1.6)

para resolver esta ecuacion se multiplica por un factor integrante, v (x), el cual tiene la propiedad de volveruna derivada total el lado izquierdo de (1.6). As al multiplicar por este factor integrante se tiene que

v (x) y + v (x) p (x) y = v (x) q (x)

como se asume que el lado izquierdo es una derivada total entonces

d

dx(vy) = vy + vy

al comparar estas dos ecuaciones se concluye que

v = p (x) v

a esta ecuacion se le denomina ecuacion adjunta y sirve para determinar el factor integrante. Esta ecuaciones de variables separables

dv

v= p (x) dx

por lo que al integrar se obtiene la solucion dv

v=

p (x) dx

ln (v) ln (c) =p (x) dx

v = cep(x)dx

5


Generalmente, se elige c = 1, as que dicho factor integrante es

v (x) = ep(x)dx

entonces al multiplicar la EDO (1.6) por este factor, e.i.

ep(x)dxy + e

p(x)dxp (x) y = e

p(x)dxq (x)

se obtiene una derivada total en el lado izquierdo

d

dx

(ye

p(x)dx

)= q (x) e

p(x)dx

Ahora se puede integrar esta expresiond(ye

p(x)dx

)=

q (x) e

p(x)dxdx

yep(x)dx = C +

q (x) e

p(x)dxdx

y despejando y

y =

[C +

q (x) e

p(x)dxdx

]e

p(x)dx (1.7)

que tambien se puede escribir como sigue:

y =C +

q (x) v (x) dx

v (x)

v (x) = ep(x)dx

Ejemplo 3 Resolver la EDOx ln (x) y y = x3 (3 ln (x) 1)

Al dividir por x ln (x) se obtiene

y 1x ln (x)

y =x2 (3 ln (x) 1)

ln (x)

que es una EDO lineal de primer orden que comparando con (1.6) se ve que

p (x) = 1x ln (x)

y q (x) =x2 (3 ln (x) 1)

ln (x)

Por lo tanto, el factor integrante es:

v (x) = exp

[

dx

x ln (x)

]= exp

[

d ln (x)

ln (x)

]= exp { ln [ln (x)]}

= exp

{ln

[1

ln (x)

]}=

1

ln (x)

donde se ha utilizado la identidad d [ln (u)] = du/u. Al multiplicar la EDO lineal por este factor integrante

1

ln (x)y 1

x ln2 (x)y =

x2 (3 ln (x) 1)ln2 (x)

d

dx

[1

ln (x)y

]=

x2 (3 ln (x) 1)ln2 (x)

6


ademas el termino del lado derecho es igual a

d

dx

[x3

ln (x)

]=

3x2

ln (x) x

3

x ln2 (x)= x2

[3 ln (x) 1]ln2 (x)

as que la EDO lineal es equivalente a

d

dx

[1

ln (x)y

]=

d

dx

[x3

ln (x)

]integrando

d

[1

ln (x)y

]=

d

[x3

ln (x)

]1

ln (x)y = C +

x3

ln (x)

despejando y se obtieney = C ln (x) + x3

Ecuaciones de Bernoulli

Las ecuaciones de Bernoulli tienen la forma general

y + p (x) y = q (x) yn (1.8)

es decir que es una EDO de primer orden no lineal debido a que aparece el termino yn. Aqu q (x) = 0 yp (x) = 0, porque si q (x) = 0 o si p (x) = 0 la ecuacion es de variables separables. Para resolver esta EDO seutiliza el cambio de variables

z = y1n

as de tener una EDO que depende de (x, y) (x, z) se obtiene una EDO lineal en termino de z. Paraobservar esto se calcula la deriva de z con respecto a x

dz

dx= (1 n) yn dy

dxo[z = (1 n) yny]

y ahora se multiplica (1.8) por (1 n) yn

(1 n) yny + (1 n) p (x) y1n = (1 n) q (x)

el primer termino es z y el segundo contiene a z, as se puede escribir la EDO de la siguiente manera:

z + (1 n) p (x) z = (1 n) q (x) (1.9)

Esta ya es una EDO lneal cuya solucion es entonces:

Factor integrante : v (x) = e(1n)p(x)dx

Solucion : z (x) =C + (1 n) q (x) v (x) dx

v (x)

y remplazando el valor de z se obtiene la solucion

y =

[C + (1 n) q (x) v (x) dx

v (x)

]1/(1n)

7


Ejemplo 4 Resolver la EDO

y =3x2

x3 + y + 1

si se calcula la inversa:dx

dy=x3 + y + 1

3x2=

x

3+y + 1

3x2

y reacomodandodx

dy 1

3x =

(1 + y)

3x2

se obtiene una EDO de Bernoulli con n = 2, p = 1/3, y q = (1 + y) /3. Al multiplicar la ecuacion anteriorpor x2 se obtiene

x2dx

dy 1

3x3 =

(1 + y)

3

al definir z = x3 se tiene dz/dy = 3x2 (dx/dy), y la ecuacion anterior multiplicada por 3 produce la EDOlineal:

dz

dy z = (1 + y)

El factor integrante de esta EDO esv = e

dy = ey

as que al multiplicar por este factor se obtiene

eydz

dy zey = (1 + y) ey

d

dy

(zey

)= (1 + y) ey

que puede integrarse d(zey

)=

(1 + y) eydy

de tablas xeaxdx =

1

a

(x 1

a

)eax

as quezey = C ey (y + 1) ey

y despejando zz = Cey (2 + y)

Como z = x3, entonces

x = [Cey (2 + y)]1/3

Ecuaciones homogeneas de primer orden

La palabra homogeneastiene diferentes significados en diferentes contextos, en este caso una EDOhomogenea de primer orden es aquella que tiene la forma

y = f (x, y) (1.10)

en donde f (x, y) es una funcion homogenea de grado cero. Una funcion F (x, y) se dice que es homogeneade grado n si cumple con la identidad

F (tx, ty) = tnF (x, y)

8


por ejemplo, F (x, y) = x2 + 3xy + y2 es una funcion homogenea de grado n = 2, ya que

F (tx, ty) = (tx)2 + 3 (tx) (ty) + (ty)2 = t2(x2 + 3xy + y2

),

as una EDO de la forma (1.10) es homogenea si

f (tx, ty) = f (x, y)

por ejemplo si f (x, y) = x2y2

x2+xy entonces,

f (tx, ty) =(tx)2 (ty)2

(tx)2+ (tx) (ty)

=t2

t2x2 y2x2 + xy

=x2 y2x2 + xy

se observa que es homogenea. Un caso particular de la EDO (1.10) es cuando f (x, y) = (x, y) / (x, y), endonde (x, y) y (x, y) son funciones homogeneas del mismo grado, es decir

f (tx, ty) = (tx, ty)

(tx, ty)=

tn (x, y)

tn (x, y)= f (x, y)

que con esto se cumple que f (x, y) es homogenea de grado cero, y en este caso la EDO tambien se puedeescribir como sigue

(x, y) dy = (x, y) dx.

Siempre que se tiene una funcion homogenea se podra escribir como sigue:

f (x, y) = g( yx

)por lo tanto, las EDO homogeneas de primer orden tambien se pueden representar como:

y = g(yx

)por lo tanto, si se define el cambio de variables

v =y

x, (x, y) (x, v)

entonces la diferencial de y con respecto a x es

y = v + xv

pero como y = g (v), entonces se obtiene la EDO de variables separables

v + xv = g (v)

cuya solucion es dv

g (v) v =

dx

x

e integrando:

ln (Cx) =

vy/x

dv

g (v) ven donde se debe remplazar v por y/x una vez integrado el termino del lado derecho.

9


Ejemplo 5 Resolver

xy = y +y2 x2

esta ecuacion es equivalente a xdy =[y +

y2 x2

]dx, en donde se observa que los terminos que multi-

plican a dx y dy son homogeneos de grado uno, por lo tanto la EDO es homogenea. As la EDO se puedeescribir como sigue

y =y

x+

(yx

)2 1 = g

( yx

)entonces al definir el cambio de variable v = y/x, se tiene que

v + xv = v +v2 1,

efectuando algebradvv2 1 =

dx

x

e integrando (de tablas

dxx2a2 = ln

(x+

x2 a2)), la solucion es

ln(v +

v2 1

)= ln (Cx) .

Esta ecuacion se puede simplificar efectuando algebra:

Elevar a la e :y

x+

(yx

)2 1 = Cx

Multiplicar por x : y +y2 x2 = Cx2

Elevando al cuadrado : y2 x2 = C2x4 2yCx2 + y2

Se despeja y : y =C2x2 + 1

2C

as la solucion es

y =C

2x2 +

1

2C.

Ecuaciones reducibles a homogeneas de primer orden

Cuando se tiene una ecuacion de la forma

y = f(a1x+ b1y + c1a2x+ b2y + c2

)(1.11)

en donde (a1b2 a2b1) = 0, se puede reducir a una EDO homogenea si se define el cambio de variable

= x x0 (1.12a) = y y0 (1.12b)

donde (x0, y0) es la solucion del sistema algebraico

a1x0 + b1y0 + c1 = 0 (1.13a)

a2x0 + b2y0 + c2 = 0 (1.13b)

o en forma matricial: (a1 b1a2 b2

)(x0y0

)=

(c1c2

)10


cuya solucion es (x0y0

)=

(a1 b1a2 b2

)1(c1c2

)y existe siempre y cuando (a1b2 a2b1) = 0. As al sustituir este cambio de variables en el cociente de f seobtiene

a1x+ b1y + c1a2x+ b2y + c2

=a1 ( + x0) + b1 ( + y0) + c1a2 ( + x0) + b2 ( + y0) + c2

=a1 + b1

a2 + b2=a1 + b1

a2 + b2

que es un termino homogeneo de grado cero. Por otro lado, como x0 y y0 son constantes, entonces d = dxy d = dy, as que la ecuacion (1.11) es equivalente a

d

d= f

(a1 + b1

a2 + b2

)que es una ecuacion homogenea y puede resolverse como se explica en la seccion anterior haciendo v = /.

La condicion (a1b2 a2b1) = 0 es necesaria para que el sistema de ecuaciones (1.13) tenga una solucionvalida. Para el caso en que a1b2 a2b1 = 0, entonces el sistema (1.13) es linealmente dependiente y significaque el termino a2x+ b2y + c2 es equivalente a

a2x+ b2y + c2 =b2b1

(a1x+ b1y) + c2

y as la EDO (1.11) es rescrita como sigue:

y = f

(a1x+ b1y + c1

b2b1(a1x+ b1y) + c2

)= g (a1x+ b1y)

y esta ecuacion es un caso especial de la EDO (1.5) que es reducible a variables separables mediante el cambioz = a1x+ b1y.


(x+ y 2) dx+ (x y + 4)dy = 0(dy

dx= x+ y 2

x y + 4)

y = f(a1x+ b1y + c1a2x+ b2y + c2

)Esta ecuacion se puede reducir a homogenea si se hace el cambio de variables (1.12) en donde x0 y y0 sonla solucion del sistema

x0 + y0 2 = 0x0 y0 + 4 = 0

al sumar ambas ecuaciones se tiene que 2x0 + 2 = 0, por lo tanto x0 = 1 y y0 = 3, as que el cambio devariables es

= x+ 1 d = dx = y 3 d = dy

y la EDO original se reduce a

(( 1) + ( + 3) 2)d + (( 1) ( + 3) + 4) d = 0

( + ) d + ( ) d = 0(d

d=

+

=1 + 1

)

11


esta es una EDO homogenea de primer orden, as que se define v = /, por lo tanto d = vd + dv, y laEDO se transforma a:

( + v) d + ( v) (vd + dv) = 0(1 + v) d + (1 v) (vd + dv) = 0

reacomodando (1 + 2v v2) d + (1 v) dv = 0

por lo que se pueden separar variables

d

+

1 v1 + 2v v2 dv = 0

el termino 1v1+2vv2 es igual a

1 v1 + 2v v2 =

v 1v2 2v 1 =

v 1(v 1)2 2

as que al definir w = v 1, entonces se tiene qued

+

w

w2 2dw = 0

de tablas,

xdxx2a2 =

12 ln

(x2 a2) as que la solucion es

ln (C) +1

2ln[(v 1)2 2

]= 0

aplicando leyes de logaritmos

C

(v 1)2 2 = 1

remplazando ahora v

C

( )2 22 = 1

al igual que y :

C

(y x 4)2 2 (x+ 1)2 = 1

Ecuaciones exactas

Cuando se tiene la ecuacion

(x, y) = (x, y) + f (x) + g (y) = C

donde C es una constante, su derivada total sera

d(x, y) =(x, y)

xdx+

(x, y)

ydy = 0 (1.14)

donde

(x, y)

x=

(x, y)

x+df (x)

dx(x, y)

y=

(x, y)

y+dg (y)

dy

12


as, cuando se tiene una EDO de primer orden con la forma

M (x, y) dx+N (x, y) dy = 0 (1.15)

se dice que es exacta si satisface la identidad

M (x, y)

y N (x, y)

x(1.16)

ya que la EDO se obtiene a partir de una derivada total. Para ver esto se puede comparar (1.14) y (1.15)para concluir que

M (x, y) =(x, y)

x= (x, y)

x+df (x)

dx

N (x, y) =(x, y)

y= (x, y)

y+dg (y)

dy

y del calculo se tiene que 2(x,y)yx =

2(x,y)xy (es decir que no importa el orden en que se apliquen las

derivadas) por lo tanto se deduce directamente (1.16).La integral de M (x, y) con respecto a x, mateniendo y constante da

y=ctte

M (x, y) dx =

y=ctte

[ (x, y)

x+df (x)

dx

]dx

= (x, y) + f (x)

por otro lado, la integral de N (x, y) con respecto a y, manteniendo x constante dax=ctte

N (x, y) dy =

x=ctte

[ (x, y)

y+dg (y)

dy

]dy

= (x, y) + g (y)

como se observa, en ambas integrales se obtiene (x, y), para no repetir en la solucion dos veces (x, y)entonces se puede hacer cualquiera de los procedimientos siguientes:

1. Se integra M (x, y) con respecto a x manteniendo y constante (con esto se esta obteniendo (x, y) +f (x)) y a esto se le suma la integral con respecto y de los terminos de N (x, y) que no contiene a x(con esto se esta obteniendo g (y)); esta suma debe ser igual a una constante. Es deciry=ctte

M (x, y) dx+

N (x, y) dy

Eliminando los terminosque dependen de x

= C

2. Se integran con respecto a x los terminos de M (x, y) que no depende de y (con esto se esta obteniendof (x)) y a esto se le suma la integral N (x, y) con respecto y manteniendo x constante (con esto seesta obteniendo (x, y) + g (y)); esta suma debe ser igual a una constante. Es decir

M (x, y) dx Eliminando los terminos

que dependen de y

+x=ctte

N (x, y) dy = C

Ejemplo 7 Resolver

x(2x2 + y2

)+ y

(x2 + 2y2

)y = 0

13


Se define que M (x, y) = x(2x2 + y2

)y N (x, y) = y

(x2 + 2y2

), con esto se tiene una ecuacion de la forma

M (x, y) dx+N (x, y) dy = 0. Para ver si es exacta se calcula My = 2xy yNx = 2yx, por lo que se concluye

que esta EDO si es exacta. As su solucion esy=ctte

x(2x2 + y2

)dx +

y(x2 + 2y2

)dy

Eliminando los terminosque dependen de x

=

y=ctte

x(2x2 + y2

)dx+

2y3dy = C

x4

2+x2y2

2+y4

2=

C

2

as la solucion esx4 + x2y2 + y4 = C

Ecuaciones reducibles a exactas

Cualquier EDO de primer orden resuelta con respecto a la derivada se puede reducir a exacta. Si se tienela EDO

M (x, y) dx+N (x, y) dy = 0 (1.17)

no es exacta si M(x,y)y = N(x,y)x , pero se puede volver exacta al multiplicar por un factor integrante de laforma (x, y), es decir, que al multiplicar la EDO anterior por este factor se tiene que

(x, y)M (x, y) dx+ (x, y)N (x, y) dy = 0

y ademas se cumple que

y[ (x, y)M (x, y)]

x[ (x, y)N (x, y)]

si se desarrolla esta expresion se tiene:

M

y+M

y=

N

x+N

x

reacomodandoM

y N

x=

1

(N

xM

y

)y como [ln ()] = /, entonces se llega a la ecuacion

M

y N

x= N

ln ()

xM ln ()

y(1.18)

Esta EDP debe ser resuelta para encontrar el valor de (x, y).En general resulta mas complejo resolver la ecuacion (1.18) que resolver mediante otro metodo la ecuacion

(1.17), sin embargo existen algunos caso en los que se puede resolver.

Caso 1: es una funcion exclusiva de x. En este caso la ecuacion (1.18) se simplifica a

d ln ()

dx=

My Nx

N.

Para que exista esta funcion, (x), se requiere que(My Nx

)/N sea una funcion exclusiva de x. Si

se cumple esto entonces la solucion es:

(x) = exp

[ ( My Nx

N

)dx

]

14


Caso 2: es una funcion exclusiva de y. En este caso (1.18) se simplifica a

d ln ()

dy=

Nx My

M,

pero para que exista esta funcion, (y), se requiere que(Nx My

)/M sea una funcion exclusiva de

y. Si se cumple esto entonces la solucion es:

(y) = exp

[ ( Nx My

M

)dy

]

Caso 3: es funcion de x y de y, pero se puede representar como sigue:

(x, y) = ( (x, y))

donde la estructura de (x, y) es conocida. Se puede definir la funcion z = (x, y), en este caso laecuacion (1.18) se simplifica a:

M

y N

x=

(Nz

xM z

y

)d ln ()

dz

de aqu se obtiene:

d ln ()

dz=

My Nx

N zx M zyen este caso existe la que es funcion de z si y solo si el termino

(My Nx

)/(N zx M zy

)se puede

escribir como una funcion exclusiva de z. Si si se cumple esta condicion entonces el factor integrantesera

(z) = exp

[ ( My Nx

N zx M zy

)dz

]

Ejemplo 8 Resolver la ecuacion (x+ y2

)dx 2yxdy = 0

Se define M =(x+ y2

)y N = 2yx. Las derivadas cruzadas son My = 2y y Nx = 2y, por lo tanto se

concluye que no es una ecuacion exacta.Ahora se probara si existe un factor integrante del tipo (x), para lo cual se calcula el termino

My Nx

N=

2y (2y)2yx =

2

x

como este termino es una funcion exclusiva de x, entonces si existe la funcion (x) que es igual a

(x) = exp

(

2

xdx

)=

1

x2

y as al multiplicar la ecuacion diferencial original por este factor integrante se obtiene(1

x+(yx

)2)dx 2 y

xdy = 0

15


en este caso se puede ver que si es una EDO exacta ya que y

(1x +

(yx

)2)= x

(2 yx) = 2y/x2. Entoncesla solucion sera (

1

x+(yx

)2)dx

Eliminando los terminosque dependen de y

2x=ctte

y

xdy =

dx

x 2

x=ctte

y

xdy = C

integrando,

ln (x) yx

2= C

efectuando algebra:y =

x [ln (x) C]

Ejemplo 9 Resolver la ecuacion (x2 + y2 + 1

)dx 2xydy = 0

Se define M =(x2 + y2 + 1

)y N = 2yx. Las derivadas cruzadas son My = 2y y Nx = 2y, por lo tanto

se concluye que no es una ecuacion exacta.Ahora se prueba si existe un factor integrante que es funcion solamente de x, para lo cual se calcula eltermino

My Nx

N=

2y (2y)2yx =

2

x

por lo que si existe el factor integrante (x) que es similar al del ejemplo anterior (x) = 1/x2, y as laEDO original es (

1 +(yx

)2+

1

x2

)dx 2 y

xdy = 0

esta ya es una EDO exacta cuya solucion es (1 +

(yx

)2+

1

x2

)dx

Eliminando los terminosque dependen de y

2x=ctte

y

xdy =

(1 +

1

x2

)dx 2

x=ctte

y

xdy = C

o integrando,

x 1x y

2

x= C

Tambien existe un factor integrante de la forma (x2 y2), as que al definir z = x2 y2, cuyas derivadas

cruzadas son zx = 2x,zy = 2y, entonces el termino

My Nx

N zx M zy=

2y (2y)(2yx) (2x) (x2 + y2 + 1) (2y) =

2

1 x2 + y2 =2

1 z

es una funcion exclusiva de z y por lo tanto el factor integrante es

(z) = exp

[2

1 z dz]= exp [2 ln (1 z)] = 1

(1 z)2

o de manera equivalente, en funcion de x y y es

(x, y) =1

(1 x2 + y2)2

16


al multiplicar la EDO original por este factor integrante se tiene que(x2 + y2 + 1

)(1 x2 + y2)2 dx

2xy

(1 x2 + y2)2 dy = 0

la cual es una EDO exacta, cuya solucion es (x2 + y2 + 1

)(1 x2 + y2)2 dx

Eliminando los terminoque dependen de y

2x=ctte

xy

(1 x2 + y2)2 dy = 2x=ctte

xy

(1 x2 + y2)2 dy = C

integrando, se obtienex

1 x2 + y2 = C

Ecuaciones de Riccati

La EDO de Riccati es una EDO no lineal con la forma general

dy

dx= p (x) y2 + q (x) y + r (x) (1.19)

su solucion se obtiene utilizando el cambio de variable

y = 1p (x) v

dv

dx(x, y) (x, v)

la derivada de este cambio de variable es

dy

dx= d

dx

[1

p (x) v

dv

dx

]= 1

p (x) v

d

dx

[dv

dx

] dvdx

d

dx

[1

p (x) v

]= 1

p (x) v

d

dx

[dv

dx

] dvdx

[1

p

d

dx

[1

v

]+

1

v

d

dx

[1

p (x)

]]= 1

p (x) v

d

dx

[dv

dx

] dvdx

[ 1pv2

dv

dx 1p2v

dp

dx

]= 1

p (x) v

d2v

dx2+

1

p2 (x) v

dp

dx

dv

dx+

1

p (x) v2

(dv

dx

)2as que al sustituir esta derivada y la definicion de y en la ecuacion de Riccati se obtiene

1p (x) v

d2v

dx2+

1

p2 (x) v

dp

dx

dv

dx+

1

p (x) v2

(dv

dx

)2=

1

p (x) v2

(dv

dx

)2 q (x)p (x) v

dv

dx+ r (x)

reacomodandod2v

dx2(

1

p (x)

dp

dx+ q (x)

)dv

dx+ p (x) r (x) v = 0

esta es una EDO de segundo orden lineal que puede ser de coeficientes constantes o variables dependiendode los valores de p (x), q (x) y r (x).

17


Ecuaciones de primer orden no resueltas con respecto a la derivada

Ecuaciones de la forma f (y, y) = 0 Si en la EDO de la forma f (y, y) = 0 no se puede despejar y perosi se puede depejar y, es decir

y = (y) (1.20)

entonces la solucion se puede buscar de manera parametrica definiendo p (x) = y, donde se considera que pes una funcion de x. En este caso, la ecuacion (1.20) es igual a

y = (p)

para encontrar x en funcion del parametro, se deriva con respecto a x la expresion anterior

dy

dx=

d

dx[ (p)] =

d

dp

dp

dx

Como y = p y utilizando la nomenclatura = d/dp se obtiene la EDO

p = (p)dp

dx,

que es de variables separables cuya solucion es

dx = (p)p

dp

x = C +

(p)p

dp

por lo tanto la solucion parametrica es {y = (p)

x = C + (p)

p dp(1.21)


y = e(y/y)

aqu no se puede despejar y, pero si y,

y =y

ln (y)

as que la solucion se puede encontrar de manera parametrica, definiendo p (x) = y, por lo que la EDO sereduce a

y =p

ln (p)

y derivando con respecto a x,dy

dx=

(1

ln (p) 1

ln2 (p)

)dp

dx= p

se obtiene la EDO de variables separables(1

ln (p) 1

ln2 (p)

)dp

p= dx

que es equivalente a (1

ln (p) 1

ln2 (p)

)d ln (p) = dx

18


integrando

x = C + ln [ln (p)] +1

ln (p)

la solucion es entonces {y = pln(p)x = C + ln [ln (p)] + 1ln(p)

Ecuaciones de la forma f (x, y) = 0 Cuando se tiene una EDO de la forma f (x, y) = 0 en donde no sepuede despejar y, pero si se puede despejar x, es decir

x = (y) , (1.22)

entonces se puede buscar una solucion de manera parametrica, utilizando el parametro p (x) = y, que al sersustituido en (1.22) produce la ecuacion

x = (p)

y cuya derivada con respecto a x es

1 =d

dx[ (p)] =

d

dp

dp

dx

Ahora se divide por p = dy/dx para obtener

1

p= (p)

dp

dy,

que es una ecuacion de variables separables con solucion

dy = p (p) dp

y = C +

p (p) dp

por lo tanto la solucion total es igual a {y = C +

p (p) dp

x = (p)(1.23)


x = (y)2 2y + 2Se define que p = y = dy/dx, entonces la EDO se transforma a

x = p2 2p+ 2la derivada con respecto a x es

1 = 2 (p 1) dpdx

como dx = dy/p, entonces se tiene la ecuacion

dy = 2p (p 1)dpas la solucion para y se obtiene integrando la expresion anterior

y = C +2

3p3 p2

mientras que la solucion total es {y = C + 23p

3 p2x = p2 2p+ 2

19


Ecuaciones de primer orden no resueltas con respecto a la derivada de grado n Las EDO de laforma

an (x, y) (y)n + an1 (x, y) (y)

n1+ + a1 (x, y) y + a0 (x, y) = 0 (1.24)

se pueden ver como un polinomio para y con coeficientes ai (x, y), i = 0, 1, . . . , n. Este tipo de EDO puedentener mas de una solucion. Si las races reales1 del polinomio de orden n

an (x, y) zn + an1 (x, y) zn1 + + a1 (x, y) z + a0 (x, y) = 0,

que tiene los mismos coeficientes que (1.24), son

z = 1 (x, y) , z = 2 (x, y) , . . . , z = m (x, y) , m n

entonces la EDO (1.24) se puede dividir en m EDO de primer orden resueltas con respecto a la derivada

y = 1 (x, y)

y = 2 (x, y)... =

...

y = m (x, y)

que pueden resolverse para obtener m diferentes soluciones que satisfacen (1.24).


(y)3 y (y)2 x2y + x2y = 0El polinomio asociado a esta EDO es

z3 yz2 x2z + x2y = 0

factorizando la expresion anterior se tiene

z2 (z y) x2 (z y) = 0(z2 x2) (z y) = 0

(z x) (z + x) (z y) = 0

por lo tanto las races son z = {x,x, y} y las EDO resueltas con respecto a la derivada asociadas a la EDOoriginal son

1 : y = x dy = xdx2 : y = x dy = xdx3 : y = y dy

y= dx

por lo tanto las posibles soluciones para y son

1 : y =x2

2+ C1

2 : y = x2

2+ C2

3 : y = C3ex

1El numero total de races para este polinomio son n, pero se supone que x, y y y son numero reales, entonces se consideransolamente las races reales (que se supondra son en total m races).

20


Ecuaciones de Lagrange Una EDO de primer orden de Lagrange tiene la forma general

y = (y)x+ (y) (1.25)

para obtener la solucion de esta ecuacion se utiliza el parametro p (x) = y, que al se sustituido en (1.25)produce la ecuacion

y = (p)x+ (p)

si ahora se aplica la derivada con respecto a x se obtiene

dy

dx=

d

dx[ (p)x+ (p)] = (p)x

dp

dx+ (p) + (p)

dp

dx

en donde se ha utilizado la nomenclatura = d/dp y = d/dp. Al remplazar y por p y multiplicar pordx/dp se obtiene la EDO

pdx

dp=[ (p)x+ (p)

]+ (p)

dx

dp(1.26)

considerando que (p) = p, esta ecuacion se puede reacomodar como sigue:dx

dp+

(p) (p) px =

(p)p (p) (1.27)

que como se observa es una EDO lineal de primer orden cuya solucion tendra la forma

x = (p, C)

en donde C es la constante de integracion. As ya se tiene el valor de y y x de manera parametrica{y = (p) (p, C) + (p)x = (p, C)

(1.28)


y = x (y)2 1y

Se define que p = y = dy/dx y se remplaza en la EDO

y = p2x 1p

al aplicar la derivada con respecto a x se obtiene que

y = 2pdp

dxx+ p2 +

1

p2dp

dx= p

de aqu se obtiene la EDO (2px+

1

p2

)dp

dx= p p2

y reacomodando se llega a la EDO lineal

dx

dp+

2

p 1x =1

p3 (1 p)

cuyo factor integrante es exp(2

dpp1

)= (p 1)2, es decir que al multiplicar por este factor se obtiene

(p 1)2 dxdp

+ 2 (p 1)x = 1 pp3

d

dp

[(p 1)2 x

]=

1

p3 1p2

21


integrando d[(p 1)2 x

]=

(1

p3 1p2

)dp

(p 1)2 x = C 12p2

+1

p

as que x es igual a

x =C

(p 1)2 +2p 1

2p2 (p 1)2

por lo que la solucion total se obtiene al sustituir x en la ecuacion para y{y = Cp

2

(p1)2 +2p1

2(p1)2 1px = 2p

2C+2p12p2(p1)2

Ecuaciones de Clairaut La EDO de Clairaut es un caso particular de la EDO de Lagrange (1.25) endonde (y) = y, es decir

y = yx+ (y) (1.29)

La solucion se obtiene utilizando el mismo procedimiento descrito en la seccion anterior, sin embargo, eneste caso al llegar a la ecuacion (1.26) no se puede dividir por el termino p (p) ya que en este caso seestara dividiendo por cero.

Para encontrar la solucion entoces se define p = y y se sustituye en (1.29)

y = px+ (p)

al aplicar la derivada con respecto a x se tiene que

dy

dx= p+ x

dp

dx+ (p)

dp

dx= p

de aqu se llega a la expresion [x+ (p)

] dpdx

= 0.

En esta ecuacion se tienen dos casos

dp

dx= 0 o x = (p)

si p = 0 entonces p debe ser igual a una constante, digamos p = C, por lo tanto y es igual a dicha constantey la solucion es

y = Cx+ (C) (1.30)

La otra solucion, para el caso en que x = (p) se denomina solucion singular y es igual a{y = p (p) + (p)x = (p) (1.31)


y = xy +a

y

Su solucion esy = Cx +

a

C

22


pero tambien existe una solucion singular que sera:Comparando la EDO del ejemplo con (1.29) se ve que

(y) = a/y

por lo tanto (p) = a/p, (p) = a/p2 y sustituyendo esto en (1.31){y = 2apx = ap2

aqu se puede eliminar la dependencia de p = a/x,

y = 2ax

1.1.3. Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden y orden superior

Las EDO de segundo orden u orden superior tiene la forma general presentada en la ecuacion (1.1)

F(x, y, y, y, . . . , y(n)

)= 0

dependiendo de la estructura de esta EDO se pueden utilizar diversos metodos, entre ellos los metodos dereduccion de orden que se ven a continuacion.

Metodos de reduccion de orden

Metodo 1: Ecuaciones de la forma y(n) = f (x) Cuando se tiene una EDO de orden n con la formaparticular

y(n) = f (x) (1.32)

entonces su solucion se obtiene integrando n veces es decir:

Primera integral :d

dx

[y(n1)

]= f (x)

d[y(n1)

]=

f (x) dx = y(n1) =

f (x) dx+ C 1

Segunda integral :d

dx

[y(n2)

]=

f (x) dx+ C1 = y(n2) =

f (x) dxdx + C 1x+ C

2

...

n-esima Integral : y =

n veces

f (x) dx dx n veces

+ C1xn1 + C2xn2 + + Cn1x+ Cn

por lo tanto la solucion tiene la forma

y =

n veces

f (x) dx dx n veces

+ C1xn1 + C2xn2 + + Cn1x+ Cn (1.33)

Metodo 2: Ecuaciones de la forma f(x, y(k), y(k+1), . . . , y(n)

)= 0 Cuando se tiene una EDO de la

formaf(x, y(k), y(k+1), . . . , y(n)

)= 0 (1.34)

en donde k 1, entonces se puede reducir el orden k veces si se define p (x) = y(k), donde p se ha supuestoque es una funcion de x. Entonces se tiene que

p = y(k+1), p = y(k+2), . . . , p(nk) = y(n) (x, y) (x, p)

23


y al sustituir en la EDO original se obtiene la EDO

f(x, p, p, . . . , p(nk)

)= 0 (1.35)

es decir que de tener una EDO de grado n con las variables (x, y) ahora se tiene una EDO de grado nk con lasvariables (x, p). La solucion general de la EDO (1.35) puede ser implcita, es decir (x, p, C1, C2, . . . , Cnk) =0, o bien explcita, es decir, p = (x,C1, C2, . . . , Cnk). Para el caso particular en que la solucion es explcita,por la definicion de p se tiene que

y(k) = (x,C1, C2, . . . , Cnk)

y esta es una EDO de orden k similar a (1.32), que puede ser resuelta utilizando el metodo 1.

y =

k veces

(x,C1, C2, . . . , Cnk) dx dx k veces

+ Cnk+1xk1 + Cnk+2xk2 + + Cn1x+ Cn

Metodo 3: Ecuaciones de la forma f(y, y, y, . . . , y(n)

)= 0 Cuando se tienen ecuaciones diferenciales

de orden n en donde no se encuentra de manera explcita la variable independiente, x, pero si se encuentrala variable dependiente, y, es decir

f(y, y, y, . . . , y(n)

)= 0 (1.36)

se puede reducir en una unidad el orden mediante el cambio de variable p (y) = y, en donde se ha supuestoque p es una funcion de y (no de x). En este caso se tienen las siguientes derivadas

y =dy

dx= p (y)

y =d

dx[y] =

dy

dx

d

dy[p] = pp

y =d

dx[y] =

dy

dx

d

dy[pp] = p

(pp + (p)2

)yIV =

d

dx[y] =

dy

dx

d

dy

[p2p + p (p)2

]= p

(p2p + 4ppp + (p)3

)...

en donde p = dp/dy, p = d2p/dy2, . . . En este caso en la EDO (1.36) se pueden remplazar

y p (y) (x, y) (y, p)y pdp

dy

y p2 d2p

dy2+ p

(dp

dy

)2(1.37)

yIV p3 d3p

dy3+ 4p2

dp

dy

d2p

dy2+ p

(dp

dy

)3...

para cambiar el problema original en (x, y) a un problema que depende de (y, p), con la forma

g(y, p, p, . . . , p(n1)

)= 0 (1.38)

24


en donde ahora se supone que la variable independiente es y y la variable dependiente es p. Si se puederesolver la EDO (1.38) se obtendra una solucion con la forma general

(y, p, C1, C2, . . . , Cn1) = 0,

que es equivalente a (y, y, C1, C2, . . . , Cn1) = 0,

es decir, una EDO de primer orden que puede ser resuelta o no resuelta con respecto a la derivada.

Metodo 4: Ecuaciones homogeneas con respecto a y y sus derivadas Cuando se tiene una EDOde la forma

F(x, y, y, y, . . . , y(n)

)= 0 (1.39)

en donde la funcion F es homogenea de grado k con respecto a y y todas sus derivadas, es decir que satisfacela ecuacion

F(x, yt, yt, yt, . . . , y(n)t

)= tkF

(x, y, y, y, . . . , y(n)

)(1.40)

entonces se puede reducir el orden en una unidad mediante el cambio de variable

y = ezdx (1.41)

en donde z es la nueva variable dependiente. Las derivadas de y son entonces

y =d

dx

[ezdx]= ze

zdx = zy

y =d

dx[y] =

d

dx[zy] = zy + zy =

(z2 + z

)y

y =d

dx[y] =

d

dx

[(z2 + z

)y]= (2zz + z) y +

(z2 + z

)y =

(z3 + 3zz + z

)y

yIV =d

dx[y] =

d

dx

[(z3 + 3zz + z

)y]=(z4 + 6z2z + 3 (z)2 + 4zz + z

)y

...

por lo tanto se pueden remplazar en la EDO (1.39)

y ezdx

y zyy (z2 + z) yy (z3 + 3zz + z) yyIV

(z4 + 6z2z + 3 (z)2 + 4zz + z

)y

...

para obtener la EDO

F(x, y, zy,

(z2 + z

)y, . . . ,

(z, z, . . . , z(n1)

)y)= 0

en donde es una funcion que depende del orden maximo de la derivada. Como se cumple (1.40), entoncesse puede factorizar y y eliminar para llegar a al EDO de orden n 1

F(x, y, z,

(z2 + z

), . . . ,

(z, z, . . . , z(n1)

))= 0

25


que al ser resuelta debe producir una solucion del tipo

(x, z, C1, C2, . . . , Cn1) = 0

y si se puede despejar zz = (x,C1, C2, . . . , Cn1)

de acuerdo a (1.41) la solucion final es

y = Cne(x,C1,C2,...,Cn1)dx

Metodo 5: Ecuaciones homogeneas con respecto a x, y y sus diferenciales Considere una EDOde orden n

F(x, y, y, y, . . . , y(n)

)= 0 (1.42)

que satisface la propiedad:

F(tx, tmy, tm1y, tm2y, . . . , tmny(n)

)= tkF

(x, y, y, y, . . . , y(n)

)= 0 (1.43)

donde m es una constante a determinar y k otra constante arbitraria, es decir que al asignar grado 1 a xy grado m,m 1,m 2, . . . ,m n a y y sus derivadas hasta el orden n, se obtiene que F es una funcionhomogenea de orden k. En este caso, es posible reducir el orden al utilizar los cambios de variables

x = et, y = uemt, (x, y) (t, u)

Si se utiliza este cambio de variable, entonces las derivadas de y con respecto a x toman la forma:

y =dy

dx=

dydtdxdt

=(u +mu) emt

et= (u +mu) e(m1)t,

y =d (y)dx

=ddt (y

)dxdt

= [u + (2m 1)u + (m 1)mu] e(m2)t,

y =d (y)dx

=ddt (y

)dxdt

=[u + 3 (m 1)u + (3m2 6m+ 2)u + (m 2) (m 1)mu] e(m3)t,

...

donde u = dudt , u = d

2udt2 , . . . , u

(n) = dnudtn , as que al sustituir estas derivadas en la ecuacion (1.42), gracias a

la propiedad (1.43) se tiene que

F(x, y, y, y, . . . , y(n)

)= F

(et, uemt, (u +mu) e(m1)t, . . . ,

(u, u, . . . , u(n)

)e(mn)t

)= ektF

(1, u, (u +mu) , . . . ,

(u, u, . . . , u(n)

))= 0

donde es una funcion que depende del orden maximo de la EDO. Por lo tanto, como la ecuacion es validapara cualquier valor de t, entonces se llega a una EDO con la forma

G(u, u, . . . , u(n)

)= 0, (1.44)

es decir que no se ha reducido el orden en la ecuacion (1.44), sin embargo, esta EDO tiene la forma de laecuacion (1.36) y por lo tanto se puede aplicar el metodo 3 para reducir el orden en una unidad y en el casoen que u no esta presente en al EDO (1.44), incluso se puede aplicar el metodo 2.

26


En resumen, cuando es posible aplicar algun metodo de reduccion de orden, la clave consiste en indentificarcual de los metodos es el adecuado y por lo tanto se deben buscar las estructuras caractersticas para cadametodo, es decir:

Metodo 1 : y(n) = f (x) ,

Metodo 2 : F(x, y(k), y(k+1), . . . , y(n)

)= 0,

Metodo 3 : F(y, y, y, . . . , y(n)

)= 0,

Metodo 4 : F(x, y, y, y, . . . , y(n)

)= 0, F es homogenea para y y sus derivadas

Metodo 5 : F(x, y, y, y, . . . , y(n)

)= 0, F es homogenea para x, y y sus derivadas de grado m

Ejemplo 15 Resolver la siguiente EDO

(y)2 yy =(y

x

)2esta EDO tiene la forma F (x, y, y, y) = 0, y se puede reducir el orden en una unidad si se utiliza elmetodo 2, para lo cual se define p (x) = y, por lo tanto la EDO es equivalente a

y p, y p, y p

(p)2 pp (px

)2= 0

esta nueva EDO de segundo orden tiene la forma G (x, p, p, p) = 0. Esta EDO es homogenea para y y susderivadas ya que G (x, pt, pt, pt) = t2G (x, p, p, p), por lo tanto se puede aplicar el metodo 4 de reduccionde orden, as que se define

p = ezdx, p zp, p (z2 + z) p

por lo tanto, la EDO se reescribe como sigue:

0 = (zp)2 (z2 + z) p2 ( p

x

)2= 0

Reacomodando : p2[z 1

x2

]= 0

como esta ecuacion es valida para cualquier valor de p, entonces se llega a la EDO

z +1

x2= 0

esta es una EDO de primer orden de variables separables con solucion

dz = dxx2

z =1

x+ C1

y como p = exp(

zdx), entonces

p = exp

[ (1

x+ C1

)dx

]= exp [ln (x) + C1x+ ln (C2)]

27


p = C2xeC1x

pero p = y, as que se obtiene la EDOy = C2xeC1x

que es de primer orden y de variables separables con solucion

y = C2

xeC1xdx + C3

de tablas,xeaxdx = 1a

(x 1a

)eax, por lo tanto,

y =C2C1

(x 1

C1

)eC1x + C3

o bien

y = C 2 (C1x 1) eC1x + C3donde C 2 = C2/C

21 .


yy3 = 1

esta EDO tiene la forma: F (y, y) = 0, por lo que se puede resolver utilizando el metodo 3. Para lo cual sedefine que

y = p (y) , y = pdp

dy

as se obtiene la EDO de primer orden

pdp

dyy3 = 1

que es de variables separables con solucionpdp =

dy

y3

p2

2= 1

2y2+C12

o bien al despejar p = y,

y = C1y2 1y

esta es una EDO de primer orden de variables separables con solucionydy

C1y2 1=

dx

1

C1

C1y2 1 = C2

C1 x

de donde se puede despejar y

y2 =1 + (C2 C1x)2

C1

28



y =1 + (y)2

esta es una EDO con la forma F (y, y) = 0. Por lo que se puede reducir el orden aplicando el metodo 2 aldefinir y = p (x) y y = p para obtener la EDO

p =1 + p2

que es de variables separables con soluciondp1 + p2

=

dx

sinh1 (p) = x+ C1

de aqu se puede despejar p = y,y = sinh (x+ C1)

e integrando

y =

sinh (x+ C1) dx+ C2

se llega a la soluciony = cosh (x+ C1) + C2


x3y = (y xy)2

esta EDO tiene la forma F (x, y, y, y) = 0. Se le asigna a y un exponente m a y el exponente m 1 y ay el exponente m 2, por lo tanto la suma de los exponentes de cada lado de la EDO son

3 +m 2 = 2m

por lo tanto el valor adecuado para m es uno. Es decir que el cambio de variables adecuado es

x = et,dx

dt= et

y = uet,dy

dt=

(u+

du

dt

)et

por lo tanto la primera y segunda derivada para y son

dy

dx=

dydtdxdt

= u+du

dt

d2y

dx2=

ddt

(u+ dudt

)dxdt

= et(du

dt+d2u

dt2

)as al remplazar en la EDO

e3tet(du

dt+d2u

dt2

)=

(uet et

(u+

du

dt

))2du

dt+d2u

dt2=

(du

dt

)229


Esta EDO tiene la forma G (u, u) = 0, por lo tanto se puede aplicar el metodo 2 o el metodo 3 de reduccionde orden para resolverla. Si se aplica el metodo 3, se define que u = p (u) y por lo tanto u = pp resultando

p+ pp = p2

reacomodando

p p = 1esta es una EDO lineal de primer orden con solucion:

Factor integrante : eu

Multiplicando por el factor integrante : eup eup = eu

Se llega a la derivada total :d

du

(eup

)= eu

e integrando : eup = C1 + eu

as p es : p = u = C1eu + 1

como u = du/dt, entonces se ha obtenido una EDO de primer orden de variables separablesdu

C1eu + 1=

dt

integrando se obtiene

t+ ln (C2) = eudu

C1 + eu

t+ ln (C2) = ln(C1 + e

u)ahora se despeja u,

u = ln(et

C2 C1

)como x = et y y = uet entonces se tiene que

y

x= ln

(1

C2x C1

)y la solucion final es entonces

y = x ln

(C2x

1 C1C2x)

Ecuaciones diferenciales lineales de orden n

Las EDO lineales de orden n tienen la forma descrita en la ecuacion (1.3)

an (x) y(n) + an1 (x) y(n1) + + a1 (x) y + a0 (x) y = f (x)

donde los coeficientes an, an1, . . . , a1, a0 pueden ser constantes o funciones de la variable independendiente,x, mas no de la variable dependiente. A continuacion se analizan los metodos para la solucion de EDO linealesde coeficientes constantes y posteriormente se estudiaran los metodos para las de coeficientes variables.

30


EDO lineales de orden n con coeficientes constantes homogeneas La solucion de una EDO linealde orden n de coeficientes constantes y homogenea

any(n) + an1y(n1) + + a1y + a0y = 0 (1.45)

se obtiene utilizando el metodo del operador en el cual se remplaza la diferencial por el operador diferecial,es decir m = ddx , que aplicado a las derivadas resulta en

my =dy

dx, m2y =

d2y

dx2, . . . , mny =

dny

dxn,

y por lo tanto la EDO (1.45) es

anmny + an1mn1y + + a1my + a0y =

(anm

n + an1mn1 + + a1m+ a0)y = 0

as se obtiene el operador diferencial

anmn + an1mn1 + + a1m+ a0 = 0, o

(an

dn

dxn+ an1

dn1

dxn1+ + a1 d

dx+ a0 = 0

)que se puede ver como un polinomio de orden n para la variable m y cuyas races pueden ser:

Reales no repetidas,

Reales repetidas,

Complejas conjugadas no repetidas y

Complejas conjugadas repetidas.

Por lo tanto si las races son {r1, r2, r3, . . . , rn} entonces el polinomio caracterstico es igual a

an (m r1) (m r2) (m rn) = 0, o[an

(d

dx r1

)(d

dx r2

) (d

dx rn

)= 0

]y la EDO (1.45) se puede escribir como

an

(d

dx r1

)(d

dx r2

) (d

dx rn

)y = 0.

Por ejemplo si se tiene la EDOy + 3y + 2y = 0

entonces el polinomio caracterstico es m2 + 3m+ 2 = (m+ 1) (m+ 2) = 0, y su solucion es m = {1,2}y por lo tanto la EDO se puede escribir como sigue:(

d

dx+ 1

)(d

dx+ 2

)y = 0

por lo tanto se pueden obtener dos EDO de primer orden

dy

dx+ y = 0 ,

dy

dx+ 2y = 0

la solucion de estas EDO sondyy +

dx = 0 ,

dyy + 2

dx = 0

ln (y) = x+ ln (C1) , ln (y) = 2x+ ln (C2)y = C1e

x , y = C2e2x

31


y la solucion total es la suma de todas las posibles soluciones, por lo tanto

y = C1ex + C2e2x

As, dependiendo de el numero de races y de su multiplicidad, se puede obtener la solucion total de laEDO (1.45):

Cuando se tiene races reales no repetidas {r1, r2, . . . , rk}, a la solucion total se le deben agregar losterminos

C1er1x + C2e

r2x + + Ckerkx.

Cuando se tiene races reales repetidas {r con multiplicidad s}, entonces a la solucion total se le debeagregar

C1erx + C2xe

rx + + Cs+1xserx.

Cuando se tiene races complejas conjugadas no repetidas {1 1i, 2 2i, . . . , k ki, }, entoncesa la solucion total se le debe agregar

[C1 cos (1x) + C2 sen (1x)] e1x + [C3 cos (2x) + C4 sen (2x)] e

2x + + [C2k1 cos (kx) + C2k sen (kx)] e

kx

Cuando se tiene races complejas conjugadas repetidas { i con multiplicidad s}, entonces a lasolucion total se le debe agregar

[(C1 + C2x+ + Cs+1xs) cos (x) + (Cs+2 + Cs+3x+ + C2s+2xs) sen (x)] ex

Ejemplo 19 Resolver la EDO y y = 0El polinomio caracterstico es m2 1 = (m 1) (m+ 1) = 0, cuyas races son m = {1,1} as que lasolucion es

y = C1ex + C2e

x.

Ejemplo 20 Resolver la EDO y + 2y + y = 0El polinomio caracterstico es m2 + 2m+ 1 = (m+ 1)2 = 0, cuyas races son m = {1,1}, es decir que setiene una raz con multiplicidad uno, as que la solucion es

y = C1ex + C2xex.

Ejemplo 21 Resolver la EDO yIV y = 0El polinomio caracterstico es m41 = (m2 + 1) (m2 1) = 0, cuyas races son m = {1,1,+i,i} as quela solucion es

y = C1ex + C2e

x + C3 cos (x) + C4 sen (x) .

Ejemplo 22 Resolver la EDO yV I + 2yV + yIV = 0El polinomio caracterstico es m6 + 2m5 +m4 = m4 (m+ 1)

2= 0, cuyas races son m = {0, 0, 0, 0,1,1},

as que la solucion es

y = C1 + C2x+ C3x2 + C4x

3 + C5ex + C6xex.

EDO lineales de orden n con coeficientes variables homogeneas Cuando los coeficientes an,an1, . . .,a1,a0, de la ecuacion (1.3) son funciones de x, entonces el metodo del operador ya no se puede aplicary en este caso dependiendo de la estructura particular de la EDO se pueden aplicar diversos metodos, comopor ejemplo el metodo Cauchy-Euler, el metodo de series o el metodo de series generalizadas.

32


Ecuaciones de Cauchy-Euler Una EDO de Cauchy-Euler de orden n tiene la forma general

bnxny(n) + bn1xn1y(n1) + + b1xy + b0y = f (x) (1.46)

si f (x) = 0, entonces la EDO es homogenea. La solucion de la EDO (1.46) cuando es homogena se puedeobtener por dos metodos:

Metodo 1: En este metodo se hace el cambio de variable

x = et, (x, y) (t, y)por lo tanto las derivadas de y seran

dy

dx=

dydtdxdt

= etdy

dt

d2y

dx2=

ddt

(dydx

)dxdt

= e2t(d2y

dt2 dy

dt

)d3y

dx3=

ddt

(d2ydx2

)dxdt

= e3t(d3y

dt3 3d

2y

dt2+ 2

dy

dt

)...

y cada termino de la EDO (1.46) es entonces

xdy

dx=

dy

dt

x2d2y

dx2=

d2y

dt2 dy

dt

x3d3y

dx3=

d3y

dt3 3d

2y

dt2+ 2

dy

dt...

y con esto se reducira a una EDO de coeficientes constantes que se puede resolver como se explican enla seccion anterior.

Metodo 2: En este metodo se propone una solucion de la forma

y = xm

y as el problema se reduce a encontrar los valores adecuados para m, ya que las derivadas de y son

y = mxm1

y = m (m 1)xm2y = m (m 1) (m 2)xm3

...

As cada termino de la EDO (1.46) sera

xy = mxm

x2y = m (m 1)xmx3y = m (m 1) (m 2)xm

...

y entonces la EDO original se reduce a un polinomio de orden n para la constante m a determinar.

33


Ejemplo 23 Resolver la EDOx2y + xy y = 0

Metodo 1: Se define que x = et y por lo tanto la EDO es igual a:

d2y

dt2 dy

dt+dy

dt y = 0 d

2y

dt2 y = 0

cuyo polinomio caracterstico es(m2 1 = 0), por lo tanto las races son m = {1, 1} y la solucion para

y (t)y (t) = C1e

t + C2et

y como x = et, entonces la solucion para y (x) es

y (x) =C1x

+ C2x.

Metodo 2: Se propone la solucion de la forma y = xm, por lo tanto la EDO es igual a:

m (m 1)xm +mxm xm = [m2 m+m 1]xm = (m2 1)xm = 0la ecuacion caracterstica es m21 = 0, as que las races son identicas a las del metodo anterior m = {1, 1}y la solucion es

y =C1x

+ C2x

Ejemplo 24 Resolver la EDO x2y + 2xy + 6y = 0Si se emplea el metodo 2, se define que y = xm, y por lo tanto la EDO se reduce a

m (m 1) + 2m+ 6 = m2 +m+ 6 = 0

las races para m son m = 12

14 6 = 12

232 i. La solucion es entonces

y = C1x 12+

232 i + C2x

12

232 i

=(C1x

232 i + C2x

232 i)x1/2

como xi = eln(xi) = ei ln(x), y ademas eai = cos (a) + i sen (a), entonces

x

232 i = ei

232 ln(x) = cos

(23

2ln (x)

)+ i sen

(23

2ln (x)

)

x

232 i = ei

232 ln(x) = cos

(23

2ln (x)

) i sen

(23

2ln (x)

)y la solucion es igual a

y =

(C1 cos

(23

2ln (x)

)+ iC1 sen

(23

2ln (x)

))x1/2

+

(C2 cos

(23

2ln (x)

) iC2 sen

(23

2ln (x)

))x1/2

= (C1 + C2)x1/2 cos

(23

2ln (x)

)+ i (C1 C2)x1/2 sen

(23

2ln (x)

)

34


al definir c1 = C1 + C2 y c2 = i (C1 C2) se llega a la solucion

y = c1x1/2 cos

(23

2ln (x)

)+ c2x

1/2 sen

(23

2ln (x)

)

Por otro lado, mediante el metodo 1, al definir x = et se llega a la EDO

d2y

dt2+dy

dt+ 6y = 0

cuya solucion

y (t) = c1e 12 t cos

(23

2t

)+ c2e

12 t sen

(23

2t

)como x = et, entonces t = ln (x) y la solucion es entonces

y (x) = c1x 12 cos

(23

2ln (x)

)+ c2x

12 sen

(23

2ln (x)

)

Ejemplo 25 Resolver la EDO x2y = 2y

Esta EDO tiene la forma F (x, y, y) = 0, por lo tanto se puede aplicar el metodo 2 de reduccion de ordenal definir p (x) = y, por lo que se obtiene la EDO

x2p 2p = 0

esta es una EDO de Cauchy-Euler as que se utiliza el metodo 2 para resolverla se propone que p = xm, porlo tanto

m (m 1) 2 = 0as que la ecuacion caracterstica es m2 m 2 = 0 cuyas races son m = {1, 2}, por lo tanto la soluciones

p = C1x1 + 3C2x2 = y

para encontrar y se integra una vezy = C1 ln (x) + C2x

3 + C3.

Metodos de solucion mediante series El metodo de solucion por series se aplica a algunas ecuacionesdiferenciales lineales de coeficientes variables con la forma (1.3) y consiste en proponer la solucion

y = c0 + c1x+ c2x2 + c3x

3 + =k=0

ckxk (1.47)

Esta solucion es una serie polinomial infinita y con ella, el problema se reduce a determinar el valor adecuadode todas las constantes, c0, c1, c2, . . ., de tal forma que la solucion propuesta (1.47) satisface la EDO (1.3).

Ejemplo 26 EDO simple antes de Euler:Antes de que se definiera la funcion exponencial y logartmica, la solucion de la EDO dydx = ay era todo un

reto, ya que no se saba que

dyy = ln (y) (obviamente porque no se conoca la definicion de los logaritmos).

Esta solucion se obtena a partir del metodo de solucion por series, es decir que la solucion propuesta es

y = c0 + c1x+ c2x2 + c3x

3 + =k=0

ckxk

35


as que su derivada es

y = c1 + 2c2x+ 3c3x2 + =k=0

kckxk1

por lo tanto al sustituir en la EDO original y ay = 0 se obtiene0 =

(c1 + 2c2x+ 3c3x

2 + ) a (c0 + c1x+ c2x2 + c3x3 + )o de forma compacta

0 =

k=0

kckxk1 a

k=0

ckxk

factorizando los termino con la misma potencia para x se obtiene

0 = (c1 ac0) + (2c2 ac1)x+ (3c3 ac2)x2 + (4c4 ac3)x3 + o de forma compacta

0 =

k=1

(kck ack1) xk1

para que se cumpla la EDO original con cualquier valor de x entonces se define que

c1 ac0 = 02c2 ac1 = 03c3 ac2 = 04c4 ac3 = 0

...

kck ack1 = 0, k = 1, 2, 3, . . .de aqu se pueden calcular el valor de las constantes

c1 = ac0

c2 =a

2c1 =

a2

2c0

c3 =a

3c2 =

a3

3 2c0

c4 =a

4c3 =

a4

4 3 2c0...

ck =a

kck1 =

ak

k!c0, k = 1, 2, 3, . . .

Estos valores se sustituyen en la solucion propuesta

y = c0

(1 + ax+

a2

2x2 +

a3

3 2x3 +

)= c0

k=0

(ax)k

k!

Como la definicion de la funcion exponencial es

ex =

k=0

xk

k!

entonces se llega a la siguiente la soluciony = c0e

ax

36


En el metodo de solucion por series generalizadas se supone que la solucion de la EDO (1.3) se puederepresentar mediante una serie infinita de la forma

y = xs(c0 + c1x+ c2x

2 + c3x3 + ) =

k=0

ckxk+s (1.48)

donde s, c0, c1, c2, . . . , son constantes desconocidas a determinar. Aqu ya no se tiene una serie polinomial,ya que s puede ser cualquier numero, ya sea entero (positivo o negativo), racional o no racional. Como seobserva, la solucion (1.47) es un caso particular de (1.48), en donde s = 0. Para determinar las constantes yas obtener la solucion se deben sustituir y y sus derivadas en la EDO original, es decir que se remplaza

y k=0

ckxk+s

y k=0

(s+ k) ckxk1+s

y k=0

(s+ k) (s+ k 1) ckxk2+s

...

y con esto se llega a una ecuacion en donde se pueden factorizar los terminos con las mismas potencias dex, para as, por cuadratura, encontrar los valores de s, c0, c1, c2, . . .

Ejemplo 27 Ecuacion de Bessel: Utilizando el metodo de series generalizadas, resolver la ecuacion

x2y + xy +(x2 p2) y = 0 (1.49)

donde p es un numero diferente a cero y no entero.Se propone la solucion

y =

k=0

ckxk+s

cuyas derivadas son

y =k=0

(k + s) ckxk+s1

y =k=0

(k + s) (k + s 1) ckxk+s2

as que la ecuacion diferencial es igual a

0 = x2

[ k=0

(k + s) (k + s 1) ckxk+s2]+ x

[ k=0

(k + s) ckxk+s1

]+(x2 p2) [

k=0

ckxk+s

]

reacomodando

0 =

[ k=0

(k + s) (k + s 1) ckxk+s]+

[ k=0

(k + s) ckxk+s

] p2

[ k=0

ckxk+s

]+

[ k=0

ckxk+s+2

]

37


en esta ecuacion se pueden factorizar las tres primeras sumatorias

0 =

k=0

[(k + s) (k + s 1) ck + (k + s) ck p2ck

]xk+s +

[ k=0

ckxk+s+2

]

0 =

[ k=0

[(k + s)2 p2

]ckx

k+s

]+

[ k=2

ck2xk+s]

ahora se sacan los dos primeros terminos de la primera sumatoria

0 =(s2 p2) c0xs + [(1 + s)2 p2] c1xs+1 +

[ k=2

[(k + s)

2 p2]ckx

k+s

]+

[ k=2

ck2xk+s]

para poder factorizar ambas sumatorias

0 =(s2 p2) c0xs + [(1 + s)2 p2] c1xs+1 +

k=2

{[(k + s)

2 p2]ck + ck2

}xk+s

para que se cumpla esta ecuacion con cualquier valor de x se define que(s2 p2) c0 = 0, (1.50a)[

(1 + s)2 p2]c1 = 0, (1.50b)[

(k + s)2 p2

]ck + ck2 = 0, k = 2, 3, 4, . . . (1.50c)

si se define que c0 = 0, entonces a partir de (1.50a) se concluye que s2 p2 = 0 y por lo tanto la solucionpara s es

s = p (1.51)al sustituir el valor de s en la ecuacion (1.50b) se obtiene que c1 = 0, mientras que de la ecuacion (1.50c)se despeja ck

ck = ck2(k + s)

2 p2 , k = 2, 3, 4, . . . (1.52)

Si se elige el valor s = p (posteriormente se utilizara el valor s = p) entonces (k + s)2 p2 = (k + 2p)k y

ck = ck2k (k + 2p)

, k = 2, 3, 4, . . .

as para cada una de las constantes

k = 2 : c2 = c022 (1 + p)

k = 3 : c3 = c13 (3 + 2p)

= 0

k = 4 : c4 = c223 (2 + p)

=c0

2 24 (2 + p) (1 + p)k = 5 : c5 = 0

k = 6 : c6 = c43 22 (3 + p) =

c0(3 2) 26 (3 + p) (2 + p) (1 + p)

k = 7 : c7 = 0

k = 8 : c8 = c624 (4 + p)

=c0

(4 3 2) 28 (4 + p) (3 + p) (2 + p) (1 + p)...

38


que al sustituir en la solucion propuesta produce:

y = c0xp + c1x

p+1 + c2xp+2 + c3x

p+3 + c4xp+4 + c5x

p+5 + c6xp+6 + c7x

p+7 + c8xp+8 +

y = c0xp c0x

p+2

22 (1 + p)+

c0xp+4

24 2! (2 + p) (1 + p)

c0xp+6

26 3! (3 + p) (2 + p) (1 + p) +c0x

p+8

28 4! (4 + p) (3 + p) (2 + p) (1 + p) +

o de manera compacta:

y = c0pn=0

Anx2n+p

donde

A0 =1

p

A1 = 122 (1 + p) p

A2 =1

24 2! (2 + p) (1 + p) pA3 = 1

26 3! (3 + p) (2 + p) (1 + p) pA4 =

1

28 4! (4 + p) (3 + p) (2 + p) (1 + p) p...

de aqu se puede inferir la formula general

An =(1)n

22n (n!) p (1 + p) (2 + p) (n+ p) , n = 0, 1, 2, . . .

El termino p (1 + p) (2 + p) (n+ p) no es un factorial, ya que p no es un numero entero, sin embargo sepuede simplificar utilizando la funcion Gamma definida como

(v) =

0

tv1etdt (1.53)

donde v puede ser cualquier numero. Esta funcion tiene la siguiente propiedad

(v + 1) = v (v) , (1.54)

que en particular para un numero entero se puede utilizar de manera recursiva para obtener

(n+ 1) = n (n)

= n (n 1) (n 1)= n (n 1) (n 2) (n 2)

...

= n!

39


por lo tanto, esta funcion es una generalizacion del factorial para numero no enteros. As para nuestroejemplo utilizando (1.54) se tiene que

(n+ p+ 1) = (n+ p) (n+ p)

= (n+ p) (n+ p 1) (n+ p 1)= (n+ p) (n+ p 1) (n+ p 2) (n+ p 2)

...

= (n+ p) (n+ p 1) (2 + p) (1 + p) p (p)

es decir que se puede remplazar

(n+ p) (n+ p 1) (2 + p) (1 + p) p = (n+ p+ 1) (p)

es decir que

An =(1)n (p)

22n (n!) (n+ p+ 1), n = 0, 1, 2, . . .

y la solucion es

y = c0p

n=0

(1)n (p)22n (n!) (n+ p+ 1)

xp+2n

= 2pc0p (p)n=0

(1)n(n!) (n+ p+ 1)

(x2

)p+2no de manera compacta

y = C0Jp (x)

donde C0 = 2pc0p (p) y Jp (x) se conoce como la funcion de Bessel de primera especie de orden p definida

como

Jp (x) =

n=0

(1)n(n!) (n+ p+ 1)

(x2

)2n+p. (1.55)

Como se observa, la solucion solo tiene una constante de integracion, C0, pero la EDO es de segundo orden,as que falta otro termino, el cual se obtiene al considerar ahora el caso en que s = p. Por lo tanto,haciendo el mismo procedimiento a partir de la ecuacion (1.52) son s = p se obtendra que la solucion parala ecuacion (1.49) denominada ecuacion de Bessel de orden p es

y = C0Jp (x) + C1Jp (x) , p = 0, 1, 2, 3, . . . (1.56)

donde Jp (x) es la misma funcion (1.55) en donde se debe remplazar p por p, es decir

Jp (x) =n=0

(1)n(n!) (n p+ 1)

(x2

)2npComo se ven en el ejemplo 27, la solucion (1.56) es valida para p no entero ni cero. En el caso en que

p = 0, es evidente que J0 (x) = J0 (x) mientras que para p = m = 1, 2, 3, . . . las funciones Jm (x) y Jm (x)cumplen la relacion Jm (x) = (1)m Jm (x) por lo tanto se concluye que para m igual a numeros enteroso cero las soluciones Jm (x) y Jm (x) son linealmente dependientes. En este caso, la solucion (1.56) yano esta completa y se debe buscar otra solucion. A continuacion se presenta la metodologa general paradeterminar soluciones linealmente independientes en EDO lineales de segundo orden.

40


Metodo de Frobenius: Cuando se tiene una EDO lineal de segundo orden de la forma

y + p (x) y + q (x) y = 0 (1.57)

donde p (x) y q (x) son funciones con la forma

p (x) =

k=0 akx

k

x, q (x) =

k=0 bkx

k

x2

donde las series son convergentes en el dominio de x. Dependiendo de las races s1 y s2 del polinomio

s (s 1) + a0s+ b0 = 0 (1.58)donde a0 = lmx0 [xp (x)] y b0 = lmx0

[x2q (x)

]se tiene lo siguiente:

1. Si la diferencia s1 s2 no es un numero entero o cero, la solucion de (1.57) esy = C1y1 + C2y2

donde y1 y y2 son las series

y1 =

k=0

Akxk+s1 y y2 =

k=0

Bkxk+s2 (1.59)

y se puede aplicar el metodo de solucion por series generalizadas para obtener el valor de las constantesAk y Bk.

2. Si la diferencia s1 s2 es igual a cero o a un numero entero, entonces la solucion esy = C1y1 + C2y2

donde y1 se obtiene mediante la serie

y1 =

k=0

Akxk+s1 (1.60)

que es similar al caso anterior, mientras que y2 se puede obtener mediante la expresion

y2 = By1 ln (x) +

k=0

Bkxk+s2 (1.61)

es decir que ahora y2 contiene un termino complementario de la forma By1 ln (x), donde y1 esta dadopor (1.60).

Ejemplo 28 Ecuacion de Bessel 2: Como se vio en le ejemplo 27 la ecuacion de Bessel es

x2y + xy +(x2 p2) y = 0

que al dividir por x2 se puede reescribir como

y +1

xy +

(1

( px

)2)y = 0

y en este caso se observa que tiene la forma de la ecuacion (1.57) con p (x) = 1/x y q (x) = 1 (p/x)2. Porlo tanto se tiene que a0 = lmx0 [xp (x)] = 1 y b0 = lmx0

[x2q (x)

]= p2 y el polinomio (1.58) es

s2 p2 = 0

41


que es identico al que se obtuvo de la ecuacion (1.50a), por lo que las races son s1,2 = p, que son identicosa los obtenidos en la ecuacion (1.51). De esta forma, la resta de s1 s2 = p (p) = 2p es un numero noentero ni igual a cero si y solo si p no es un numero entero ni igual a cero, y en este caso la solucion tienela forma y = C1y1 + C2y2 con y1 y y2 dados por (1.59). Prescisamente esta solucion fue la obtenida en elejemplo 27 por lo que la ecuacion (1.56) es valida. Por otro lado, si p es igual a cero o un numero entero,entonces la resta s1 s2 tambien es cero o un numero entero y entonces la solucion debe ser

y = C1Jp (x) + C2Yp (x) (1.62)

donde Yp (x) se denomina Funcion de Bessel de segunda especie de orden p y tiene la forma descrita por laecuacion (1.61), es decir

Yp (x) = BJp (x) ln (x) +

k=0

Bkxkp (1.63)

en donde los coeficientes B,B1, B2, B3, . . . se pueden calcular sustituyendo esta solucion en la ecuacion deBessel. Otra forma de definir a Yp (x) es mediante la funcion de Weber

Yp (x) = lmnp

Jn (x) cos (n) Jn (x)sen (n)

en particular para p = m = 0, 1, 2, 3, . . . se tiene que

Ym (x) =2

[ln(x2

)

]Jm (x) 1

m1k=0

(m k 1)!(x2

)2km(1.64)

1

k=0

(1)k [ (k) + (m+ k)]k! (m+ k)!

(x2

)2k+mdonde = 0,5772156 . . . es la constante de Euler y

(k) = 1 +1

2+

1

3+ + 1

k, (0) = 0.

Como se observa, la funcion (1.64) tiene la misma estructura que (1.63). As por ejemplo, para m = 0 setiene que

Y0 (x) =2

[ln(x2

)

]J0 (x) 2

[x2

22 x

4

2242

(1 +

1

2

)+

x6

224262

(1 +

1

2+

1

3

)+

].

En la Figura 1.1 se muestran las graficas de las funciones de Bessel Jm (x) y Ym (x) para m = 0, 1, 2, 3.

Ejemplo 29 Resolver la EDOy + xy + y = 0

Se propone la solucion

y =n=0

cnxn+s

cuyas derivadas son

y =n=0

(n+ s) cnxn+s1

y =n=0

(n+ s) (n+ s 1) cnxn+s2

42


1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

x

m=0 m=1 m=2 m=3

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

x

m=0

m=1m=2 m=3

Figura 1.1: Funciones de Bessel de primera y segunda especie, Jm (x) y Ym (x).

al sustituir en la EDO[ n=0

(n+ s) (n+ s 1) cnxn+s2]

y

+ x

[ n=0

(n+ s) cnxn+s1

]

xy

+

[ n=0

cnxn+s

]

y

= 0

esto es equivalente a

n=0

(n+ s) (n+ s 1) cnxn+s2 +n=0

(n+ s+ 1) cnxn+s = 0

en donde se han agrupado las dos ultimas sumatorias. En la segunda sumatoria se remplaza n n 2 y enla primera se sacan los dos primeros terminos

s (s 1) c0xs2 + (1 + s) sc1xs1 +n=2

(n+ s) (n+ s 1) cnxn+s2 +n=2

(n+ s 1) cn2xn+s2 = 0

y ahora se agrupan ambas sumatorias

s (s 1) c0xs2 + (1 + s) sc1xs1 +n=2

(n+ s 1) [(n+ s) cn + cn2]xn+s2 = 0

para que la ecuacion sea valida con cualquier valor de x entonces se define que

s (s 1) c0 = 0,(1 + s) sc1 = 0,

(n+ s 1) [(n+ s) cn + cn2] = 0, n = 2, 3, 4, . . .

si se define que s = 0 entonces las dos primeras ecuaciones se cumplen y se tiene que

ncn + cn2 = 0

por lo tanto la solucion para cn es

cn = cn2n

, n = 2, 3, 4, . . .

43


para los diferentes valores de n :

n = 2 : c2 = c02

n = 3 : c3 = c13

n = 4 : c4 = c24

=c0222!

n = 5 : c5 = c35

=c15 3

n = 6 : c6 = c46

= c0233!

n = 7 : c7 = c57

= c17 5 3

...

por lo tanto la solucion es

y = c0 + c1x+ c2x2 + c3x

3 + c4x4 + c5x

5 + c6x6 + c7x

7 + = c0 + c1x c0

2x2 c1

3x3 +

c0222!

x4 +c15 3x

5 c0233!

x6 c17 5 3x

7 +

= c0

[1 1

2x2 +

1

222!x4 1

233!x6 +

]+ c1

[x 1

3x3 +

1

5 3x5 1

7 5 3x7 +

]ademas

k=0

(1)k x2k2k (k!)

= 1 12x2 +

1

222!x4 1

233!x6 +

k=0

2k (k!) (1)k x2k+1(2k + 1)!

= x 13x3 +

1

5 3x5 1

7 5 3x7 +

por lo tanto la solucion de manera compacta es

y = c0

[ k=0

(1)k x2k2k (k!)

]+ c1

[ k=0

2k (k!) (1)k x2k+1(2k + 1)!

]


x2y + 2xy + 2x2y = 0

donde es una constante. Por el hecho de que el segundo termino es 2xy, esta ecuacion no es de Besselas que se propone la solucion

y =

n=0

cnxn+s

cuyas derivadas son

y =n=0

(n+ s) cnxn+s1

y =n=0

(n+ s) (n+ s 1) c

Apuntes MAPIQ IQ204-Libre

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