La Lógica es la rama del saber sobre los procesos en los que discurre el pensar, requiere de la representación simbólica para su comprensión. Supone superar el reto intelectual que ello implica.

APUNTES DE LÓGICA Y MATEMÁTICAS

INTRODUCCIÓN

Los temas a desarrollar son:

I. CONCEPTOS BÁSICOS DE CLASES Y CONJUNTOS. PROPOSICIONES CATEGÓRICAS.1. Clases y Conjuntos 2. Relación entre clases y conjuntos3. Proposiciones categóricas

I. REPRESENTACIÓN DE LAS PROPOSICIONES CATEGÓRICAS. DIAGRAMAS DE VENN 1. Esquematización de las clases en un diagrama de Venn.2. Proposición categórica, A: “Todos S es P” 3. Proposición categórica, E: “Ningún S es P”4. Proposición categórica, I: “Algún S es P”5. Proposición categórica, O: “Algún S no es P”

I. CONCEPTOS BÁSICOS DE CLASES Y CONJUNTOS. PROPOSICIONES CATEGÓRICAS.

1. Clases y Conjuntos. Vamos a referirnos a los siguientes temas: a) Noción de clases, b) Igualdad entre conjuntos y clases. c) Representación gráfica de conjuntos y de clases, d) El conjunto vacío y la clase que no tiene elementos.

a) Clases. Una clase S se caracteriza como la colección de los objetos que tienen alguna propiedad en común. Por ejemplo, S la clase de elementos químicos y P la clase de los gases. O bien S, la clase de las luciérnagas y P la clase de los insectos. De manera semejante, en Matemáticas se dice que un conjunto A es una colección de objetos que tienen una propiedad en común en la que se pueden citar sus elementos ya

sea de manera explícita o implícita. Por ejemplo, en el conjunto sus elementos se han citado de forma explícita y se ha escrito con una letra mayúscula. Los elementos se encierran entre corchetes separados unos de otros mediante una “coma”. Cuando un elemento pertenece al conjunto A, se escribe , se lee: “ es elemento de A” o “ pertenece a A” o “ está en A”. En caso contrario, si un elemento no pertenece al conjunto A se escribe, , “ no es elemento de A”. Tanto en Lógica como en Matemáticas nos referimos, de manera indistinta a un conjunto citando ya sea, su clase, sus elementos o ambas cosas y se pueden hacer diagramas (dibujos) para representarlos. Así por

Autores: Mtra. Flor Alejandrina Hernández Carballido. Mtro. Heriberto Marín Arellano.Profesores de la Escuela Nacional Preparatoria de la ENP /UNAM.

John Venn (1834 - 923)

Presentamos los siguientes apuntes de Matemáticas y Lógica que tienen como finalidad ayudar al alumno en la mejor comprensión del uso de los diagramas de Venn para las proposiciones categóricas A, E, I, O donde el conocimiento de los fundamentos matemáticos permite aplicar la Lógica en la representación gráfica de este tipo de juicios.

ejemplo, los números reales R, son todos aquellos que se pueden representar mediante una línea recta horizontal orientada (flecha), en la cual a cada punto de la recta le corresponde un solo número y a cada

número le corresponde un solo punto como se ilustra en la figura 1, donde , , , son algunos elementos de R,

En términos de la clase, se puede decir que los números reales R, son los números que resultan de la unión de la clase de los números naturales N, con la de los enteros E, con la de los racionales Q y con la clase de los números irracionales I. Por otra parte, un conjunto especificado en forma implícita se expresa mediante un enunciado, por ejemplo: “B el conjunto de números pares positivos” del cual se pueden citar

explícitamente sus elementos, , los puntos suspensivos indican: “y los demás”.

Como la Lógica y las Matemáticas usan el concepto de conjunto, se puede comprender porque las operaciones algebraicas entre conjuntos y la lógica que subyace en éstas, contribuyan a plantear y resolver aspectos relacionados con el razonamiento deductivo en la asignatura de Lógica. Los símbolos del lenguaje de conjuntos más usados en estos temas de Lógica son los de la figura 2,

b) Igualdad entre conjuntos y clases. Por otra parte, se dice que los conjuntos A y B son iguales, , cuando tienen exactamente los mismos elementos, en caso contrario se dice que los conjuntos son

diferentes, . Por ejemplo, es diferente a ya que pero no es elemento de A. Así mismo, dos clases S y P serán iguales cuando consten de los mismos elementos. Por ejemplo, si S es la clase de todos los seres vivos y P la clase de todos los seres que respiran; como todo ser vivo es ser que respira las clases y sus elementos son iguales.

c) Representación gráfica de conjuntos y de clases. En Matemáticas un conjunto puede ser representado gráficamente mediante un círculo, como se muestra en la figura 3,

En el dibujo de la izquierda los elementos del conjunto A quedan representados por los puntos que están dentro del círculo. Distinguimos los elementos del conjunto A por su posición en el círculo, así cada punto puede ser un elemento diferente. En el círculo de la derecha, los elementos de B son sólo los números 3, 5,

S

Dos formas diferentes de representar los elementos de un conjunto mediante círculos. Fig. 3.

A

Correspondencia uno a uno entre puntos de la recta y los números reales.Fig. 1.

Lenguaje de conjuntos en lógica y algebra de conjuntos. Fig.2.

S

12, 6 y 4, en éste, ya no se consideran los puntos del círculo como elementos de B porque se han citado explícitamente los elementos del conjunto. En Lógica, la representación de una clase S se hace rotulando un círculo con el término S que designa la clase. El diagrama es de una clase, no de una proposición ya que el esquema representa sólo a la clase S pero no nos dice algo más acerca de ella figura 4,

d) El conjunto vacío. La clase que no tiene elementos. En el algebra de conjuntos es necesario

definir un conjunto vacío como aquel que no tiene elementos, se escribe como y se lee “fi igual al conjunto vacio”. Como la interpretación booleana de las proposiciones categóricas depende de la noción de una clase que no tiene elementos, en Lógica también es necesario usar al conjunto vacío y tener un símbolo especial para representarlo. Así, para diagramar la proposición de que la clase designada por S no tiene miembros o bien, “no hay S”, se sombrea todo el círculo, para interpretarla como vacía. Se utiliza el signo “0”

y se simboliza la proposición con la ecuación , indicando con ello que no contiene nada, que es vacía,

ver figura 5. Usar el símbolo “0”, o bien el símbolo para representar al conjunto vacío es equivalente siempre y cuando, sepamos que así se ha convenido usar en cada caso.

En Matemáticas, a diferencia de Lógica, en los diagramas de Venn que representan operaciones algebraicas entre conjuntos, una zona en blanco se interpreta como vacía. Ahora bien, en Lógica, cuando hay por lo menos un miembro de la clase P, se coloca una X para simbolizar que hay algo dentro de él, se escribe

. Figura 6,

2. Relación entre las clases y conjuntos. Los aspectos a desarrollar en este apartado son: a) Unión, b) Intersección, c) Conjuntos ajenos, d) Subconjunto, e) Resta (diferencia) de conjuntos, f) Complemento, g) afirmación o negación de relaciones entre clases o en entre conjuntos. En cada una de estas operaciones los elementos de los conjuntos y las clases guardan entre sí una de estas relaciones, aquella que corresponde a la relación que hay entre las clases o entre los elementos de los conjuntos.

a) Unión. La unión de conjuntos, se escribe y se define como . Esta operación entre conjuntos indica que si usted reúne en una sola bolsa los objetos que había en la bolsa uno y la dos, por ejemplo. Al sacar cualquier objeto de la bolsa donde están unidos todos los objetos, siempre

encontrará que el objeto sacado es elemento de la bolsa uno o de a la dos. Si y

Los miembros de S quedan representados esquemáticamente dentro del círculo. Fig. 4.

Representación gráfica del conjunto vacío en lógica.

Fig. 5.

La clase P tiene al menos un miembro. La X representa que hay algo. Fig. 6.

la unión de los conjuntos es y de igual manera cualquier elemento del conjunto de la unión pertenece al conjunto A, o bien al conjunto B. Cuando un elemento es el mismo en ambos conjuntos, sólo se pone una vez en la unión. En estos términos, los números reales R, son aquellos que resultan de la unión de los conjuntos de las clases individuales . La operación de unión entre conjuntos en matemáticas se representa gráficamente como en la figura 7. Establece mediante el sombreado que los elementos se han unido para formar un nuevo conjunto que abarca a todo elemento de A y de B,

En Lógica la unión de dos clases se puede interpretar mediante círculos que traslapan pero sin sombrear. Automáticamente, se pueden distinguir cuatro zonas que corresponderán, como veremos, a los productos de las clases S y P; cuyos elementos pueden pertenecer a uno u otro conjunto, o los que pertenecen a los dos conjuntos o bien, los elementos que no pertenecen a ninguno de los conjuntos, figura 8. Esto será útil para el análisis y planteamiento de proposiciones categóricas.

b) Intersección. Otra relación que se presenta en Lógica entre las clases S y P es cuando éstas tienen miembros en común. Por ejemplo, S la clase de las manzanas y P la de las frutas, tienen elementos en común puesto que “las manzanas son frutas”. Si S es la clase de los comedores y P la clase de los muebles de madera, hay elementos de S que también son de P y viceversa. La intersección de las clases se refiere sólo a aquellos comedores que son de madera. La intersección será útil para representar proposiciones categóricas.

La intersección entre conjuntos se define en Matemáticas como que es

el conjunto formado por los elementos comunes de A y B. Por ejemplo, si y

la intersección es . Se dice entonces que que se lee: “la intersección de A y B es no vacía” ya que hay elementos en común entre los conjuntos. La representación gráfica, en Matemáticas, de esta operación se muestra en la figura 9. Obsérvese que el rayado en la zona central (“pepita”) entre los círculos indica que la intersección es no vacía. Que hay elementos en común entre los conjuntos. Recuérdese que a diferencia de Matemáticas, en Lógica todo sombreado en un diagrama de clases indicará que la zona es vacía. Más adelante, veremos que la intersección será útil para representar proposiciones categóricas.

Diagrama que representa la operación entre conjuntos A unión B Fig.7.

Al juntar espacialmente las clases S y P queda esquematizada la unión de las clases. Fig.8.

Intersección no vacía entre conjuntos A y B. Fig.9.

c) Conjuntos ajenos. Cuando no hay elementos en común entre dos conjuntos A y B, se dice que los conjuntos son ajenos, lo que se escribe en matemáticas, como . La representación gráfica, figura 10, correspondiente es,

Por ejemplo, el conjunto de los números irracionales I y el de los números racionales Q no tienen miembros en común, ya que no hay números irracionales que sean números racionales y viceversa. Es decir . Como tampoco hay elementos en común entre los números pares e impares, se dice que los conjuntos son ajenos en ambos casos. En Lógica, por ejemplo, la clase S “vegetal” y la clase P “elemento químico” no tienen elementos en común, se escribe como . Significa que no hay vegetales que sean elementos químicos y viceversa. La representación correspondiente, figura 11, es

Al indicar en este diagrama que la parte central del esquema no tiene elementos (zona sombreada), se mantienen presentes en la contraparte del diagrama (zonas en blanco en forma de “lunas”) los elementos de dos clases ajenas entre sí. Por su significado, la figura 10, es equivalente a la figura 11. Ambos esquemas representan que no hay elementos en común, sólo que en la primera representación, el vacío queda como círculos bien separados. Mientras que en la segunda figura quedan “lunas” muy juntas pero separadas al fin por casi nada. Así, ambas figuras indican que las clases S y P o los conjuntos A y B son ajenos. La forma de la figura para esquematizar una clase no tiene importancia, ya sea como círculo, una elipse o algo que parezca una “luna” o una “pepita”. El concepto de conjuntos ajenos es de utilidad en Lógica para representar proposiciones categóricas en las que el producto de las clases es vacío.

d) Subconjunto. Cuando cada miembro de una clase S es también miembro de otra clase P, se dice entonces que la primera clase está contenida en la segunda. Por ejemplo, la clase S de los “gases de la tabla periódica de elementos químicos” está contenida en la clase P de los “elementos químicos de la tabla periódica”. Si S es la clase de los gatos y P la clase de los mamíferos de cuatro patas entonces la clase de los gatos está contenida en la clase de los mamíferos; en otras palabras, todo gato es mamífero. Esta relación entre las clases y los elementos de una clase será de mucha utilidad para representar que todo elemento de una clase es también elemento de la otra. En el algebra de conjuntos se define el concepto de subconjunto diciendo que el conjunto A está contenido en el conjunto B cuando todo elemento de A es también elemento de B, se escribe como , se lee: “A contenido en B”. La contención en Matemáticas y en Lógica se representa gráficamente de la misma manera, figura 12,

Sean y dos conjuntos, se dice que A está contenido en B, , porque todo elemento de A es también elemento de B. El conjunto de los números naturales

A subconjunto de B. La forma de la figura cerrada no importa. Fig.12.

A B Conjuntos ajenos A y B. No hay elementos en común. Fig.10.

SP=0

Intersección vacía. Indica: “No hay S que sea P” y

viceversa. Fig.11.

es un subconjunto de los enteros , puesto que todo número natural es también número entero, es decir: . También, los números naturales están contenidos en los números reales, . De hecho, , , e .

e) Resta (diferencia) de conjuntos. Otra operación en el algebra de conjuntos que se usa en Lógica para representar proposiciones categóricas es la resta entre conjuntos. Dados dos conjuntos A y B, la diferencia, A – B es el conjunto formado por los elementos de A que no pertenecen al conjunto B. Se escribe

como . Por ejemplo, sean y cuya representación, figura 13, es

de la definición de resta (diferencia) entre conjuntos se obtiene el conjunto , de la figura 14,

Obsérvese que los elementos comunes de A y de B desaparecen al hacer la resta de los conjuntos (los elementos de B que quedan ya no se toman en cuenta). Ahora bien, si se quiere efectuar la operación

contraria , se obtiene . Resultado que se puede expresar gráficamente, figura 15, como

De las restas antes efectuadas, se puede comprender que la operación diferencia entre conjuntos no es conmutativa, es decir . La no conmutatividad de la resta de conjuntos tiene un significado muy preciso en Lógica, ya que no será lo mismo la clase, (S – P), cuyos elementos son los S que no son P; y la clase (P – S) que son los P que no son S. Por ejemplo, si S es la clase de los políticos y P la clase de los mentirosos. La diferencia (S – P) es la clase de los políticos que no son mentirosos y la resta (P – S) es la clase de los mentirosos que no son políticos.

e.1) Resta simétrica. En algebra de conjuntos la resta simétrica entre dos conjuntos se define como

que es la unión de dos restas (diferencias). Por ejemplo, si y

son los conjuntos del ejemplo anterior, la representación gráfica, figura 16, es

Conjuntos A y B. Fig. 13.

Resta (A-B) de los conjuntos A y B. Fig. 14.

Resta (B-A) de los conjuntos A y B. Fig. 15.

Observe que han quedado solo aquellos elementos que son de A pero no de B (lado izquierdo) unidos con los elementos que son de B pero no de A (lado derecho). Para los matemáticos, el centro está vacío. En la operación no aparecen los elementos comunes a los conjuntos originales A y B. De las figuras 14 y 15, se comprende que la figura 16 es el resultado de la unión de los diagramas que resultaron de las operaciones de resta anteriores para formar un nuevo conjunto donde no hay elementos en común, . Lo que significa que los conjuntos resta (diferencia) son ajenos entre sí.

En lógica, si S es la clase de los políticos y P la clase de los mentirosos, como hemos visto, se pueden hacer dos restas (o diferencias), figura 17

De la operación (S-P) tenemos la clase de los políticos que no son mentirosos y de (P – S) tenemos la clase de los mentirosos que no son políticos. Al hacer la unión de estas dos clases, se obtiene la figura 18,

Las operaciones y dan como resultado dos clases ajenas entre sí. Las restas así efectuadas han eliminado la posibilidad de representar los elementos en común de S y P. La resta simétrica

implica que se sombree la zona central del diagrama. El cual, muestra que hay políticos que no son mentirosos (lado izquierdo) y mentirosos que no son políticos (lado derecho) y, también que no hay políticos que sean mentirosos y viceversa (centro). Por esta razón la figura 18 se utilizará en Lógica para representar aquellas proposiciones en las que ningún S sea P.

f) Complemento. Otra operación útil tanto en Matemáticas como en Lógica es la que se denomina complemento de un conjunto A, se escribe o bien como A’ (aquí usaremos indistintamente una u otra notación). Una de las maneras de definir el complemento es en términos de un conjunto universal U como aquel que está formado por todos los elementos de interés en un problema, figura 19. Se representa por un rectángulo con una U y sus elementos son los puntos encerrados en éste.

Los elementos del conjunto complemento, , son aquellos que pertenecen a U pero no pertenecen al conjunto A, área sombreada en la figura 20.

Resta simétrica de los conjuntos A y

B. . Fig. 16.

Conjunto Universal en matemáticas. Fig. 19.

Resta entre clases. Los elementos de (S-P) están representados en la “luna” del lado izquierdo. Los de (P-S) en la del lado derecho. Fig. 17.

En la resta simétrica la zona central es vacía cuando las clases S y P son

ajenas y también cuando no lo sean. Fig.18.

En lógica, una clase S se representa gráficamente mediante un círculo rotulado con el término que designa la

clase a la que se refiere, figura 21. Cuando un miembro no es de la clase S, se simboliza como . Es decir,

el círculo que representa la clase S también representa, por complementación, a la clase , es su complemento, ya que en el exterior del círculo para S están todos los miembros que no son de S.

Por ejemplo, sea S la clase de los gases químicos, todo aquello que no sea un gas químico queda

simbolizado por , que es una clase muy extensa; cubre cualquier cosa que no sea gas químico. En Matemáticas, el diagrama de Venn para dos conjuntos A y B en términos del conjunto universal U es un rectángulo con los círculos que se traslapan en su interior, figura 22. Lo que queda fuera del rectángulo ya no tiene sentido matemático, es simple papel en blanco.

El equivalente diagrama de Venn para Lógica es el de la figura 23. Como no hay rectángulo, todo el espacio más allá de los círculos traslapados tiene significado lógico. Representa todo objeto que sean ni S ni P.

De estas dos últimas figuras obsérvese la diferente manera de representar al conjunto universal. En Matemáticas este conjunto está acotado por un rectángulo que representa a la clase más general de interés en un problema; mientras que en lógica el conjunto universal incluye a todo lo que no pertenece a las clases. Las clases esquematizadas en la figura 23 se describen de la siguiente manera en la tabla 1.

TABLA 1: DESCRIPCIÓN DE LAS CLASESSÍMBOLO ZONA CLASE REPRESENTADA

Izquierda en forma de “luna” que no se traslapa con P El producto de las clases y ;

Diagrama de Venn como se utiliza en Lógicas. El conjunto universal no está

acotado. Fig.23.

Complemento de A en términos del conjunto Universal, U. Fig. 20.

Diagrama de Venn en Matemáticas. Fig. 22.

Representación de la clase S y su complemento o contraparte. Fig. 21.

“Todos los que no son ”Centro común de los círculos en

forma de “pepita”. El producto de las dos clases y

“Todos los que también son ”

Derecha en forma de “luna” que no

se traslapa con El producto de la clase y

“Todos los que no son ”

Externa de los dos círculos El producto de las clases no S no P.

“Todas las cosas que no son ni ”

Como hemos dicho, si S es la clase de los políticos y P la clase de los mentirosos. La clase de los S que no

son P, ( ) representa la clase de los políticos que no son mentirosos. La clase de los P que no son S, (

) representa la clase de los mentirosos que no son políticos. La clase ( ) representa la clase de los políticos que son mentirosos. La zona exterior a los círculos ( ) representa a la clase de los “ninis” ni son S

ni son P. Ver figura 23. La clase es la misma que la clase ya que todos los no políticos que son mentirosos son lo mismo que los mentirosos que no son políticos. La distinta manera de escribir estos resultados con el lenguaje de conjuntos y con la simbolización respectiva en Lógica se muestra en la tabla 2,

TABLA 2: EQUIVALENCIAS

Resta de conjuntos en Matemáticas:

Se representa en

Lógica como:

“ S que no son P”

“P que no son de S”

Intersección de conjuntos en Matemáticas:

Se representa en

Lógica como:

“S que son P” y viceversa.

Otra manera de construir un complemento es cuando A es subconjunto de un conjunto B, la resta , es el conjunto de todos elementos que no están en A pero que están en B por lo que el conjunto resultante es el complemento de A con respecto a B, es decir, . Figura 24,

En lógica, cuando la clase S es subconjunto de la clase P, como se muestra en la figura 25, todos los

elementos de la clase son complemento de S, y cuando P está contenido en S todos los elementos de la

clase son el complemento de P,

Complementos. Fig.25.

La resta (B – A) resulta ser A´ cuando a esta contenido en B. Fig.24.

De las figuras anteriores, se tiene la siguiente tabla 3, TABLA 3. CONJUNTOS EN MATEMÁTICAS Y LAS CLASES EN LÓGICA

La resta de conjuntos en Matemáticas:

Que en Lógica se

escribe como:

“P que no son S”

“ S que no son P”

g) Afirmación o negación de las relaciones entre clases y conjuntos. El diagrama que consta de dos círculos, lo introdujo el matemático y lógico inglés John Venn (1834-1923). El esquema de la figura 23 no representa ninguna proposición puesto que no se está afirmando o negando que haya elementos en la clase representada por determinada zona. Las proposiciones sólo las representan aquellos diagramas en los que una parte ha sido sombreada o en la que se ha insertado una X. Así, para representar una proposición

categórica, alguna de las clases: , o debe ser señalada en el sentido de tener o no tener

elementos. El “0” se utiliza para tal fin (equivale al símbolo del conjunto vacío en Matemáticas). Si una clase no tiene elementos, se simboliza mediante una ecuación con la clase correspondiente igualada a “0”. En caso contrario, la ecuación se escribe con un signo de diferencia seguido de un “0”. Tabla 4,

TABLA 4. CLASES VACÍAS O CON ELEMENTOS

Clase vacía:

“No hay S que no sea P”Clase no

vacía:

“Hay S que no son p”

“No hay S que sea P” “Hay S que son P”

“No hay P que no sea S” “Hay P que no son S”

3. Proposiciones Categóricas. Empezamos a estudiar en Lógica las proposiciones categóricas cuando los pensamientos se expresan de manera formal, es decir, cuando contienen un Sujeto, Verbo y Predicado, cuando afirman o niegan algo y son objeto de análisis como verdaderos o falsos. Una proposición es categórica, de acuerdo con la clasificación de los juicios por Relación, cuando lo que expresa, ya sea afirmando o negando lo hace de manera contundente, sin condición (como en los juicios Hipotéticos) o sin establecer opciones (como lo hacen los juicios Disyuntivos). Así, las proposiciones Categóricas pueden analizarse afirmando o negando si una clase S está incluida total o parcialmente en otra clase P y señalando si es vacía o tiene elementos. Al relacionar los juicios por Cantidad con los de Cualidad surgen 4 tipos de proposiciones que llamamos categóricas: Proposición A, Universal afirmativa, “Todo S es P”; Proposición E, Universal negativa, “Ningún S es P”; Proposición I, Particular Afirmativa, “Algún S es P”; y Proposición O, Particular Negativa “Algún S no es P”. Este tipo de proposiciones se usan, regularmente en los diferentes tipos de razonamiento. Una manera de recordar esta clasificación se muestra en la tabla 5

Tabla 5. SIMBOLIZACIÓN NEMOTÉCNICAPROPOSICIÓN SÍMBOLOS

A, Universal afirmativa, “Todo S es P” (Universal que afirma)E, Universal negativa, “Ningún S es P” ( Universal que niega)I, Particular Afirmativa, “Algún S es P” (Particular que afirma)

O, Particular Negativa “Algún S no es P” (Particular que niega)

En el razonamiento deductivo las proposiciones se encuentran como premisas que pretenden proporcionar bases concluyentes para establecer la verdad de su conclusión. La teoría de la deducción intenta explicar la

relación entre las premisas y la conclusión de un argumento válido y proporcionar técnicas para distinguir argumentos deductivos, esto es, para discriminar entre deducciones válidas e inválidas. El estudio clásico aristotélico de la deducción está centrado en argumentos que contienen solamente proposiciones. Tanto las premisas como la conclusión son “proposiciones categóricas”. Demos un ejemplo. En el argumento: Ningún vicio es recomendable (proposición E)

El alcoholismo es un vicio (proposición I)______________________________________________________

Por lo tanto, El alcoholismo no es recomendable (proposición O)

Tomando como referencia el ejemplo clásico que expone Irving Copi, en su Introducción a la Lógica, si S la clase de los políticos y P la clase de los mentirosos, las relaciones que se presentan están sustentadas en las operaciones básicas entre conjuntos como se ilustra en el extremo derecho de la siguiente tabla 6,

TABLA 6: PROPOSICIONES CATEGÓRICAS Y CONJUNTOSPROPOSICIÓN TIPO DE PROPSICIÓN PROPOSICIÓN CONJUNTOS

TODOS LOS POLÍTICOS SON MENTIROSOS

UNIVERSAL AFIRMATIVA:La relación de inclusión entre clases tiene lugar entre dos clases. Esta inclusión es completa o universal ya que todos los miembros de S son

también miembros de P. Cada elemento de S es también elemento de P. Representa que todo

político es mentiroso.

Todo S es P

S menos P es

igual al vacío.

S contenido

en P.

NINGÚN POLÍTICO ES MENTIROSO

UNIVERSAL NEGATIVA:La proposición niega que la relación de inclusión

de clase tenga lugar entre las dos clases. Lo niega en forma universal ya que no hay ningún

miembro de S que también lo sea de P. La primera clase S excluye totalmente a la segunda

clase P. Se niega en forma universal que los políticos sean mentirosos.

Ningún S es P S intersección

P igual al

vacío. Los

conjuntos son

ajenos. Sin

elementos en

común.

ALGUNOS POLÍTICOS SON MENTIROSOS

PARTICULAR AFIRMATIVA:La clase de los políticos S y la clase de los

mentirosos P tienen por lo menos un miembro en común. La proposición afirma que sólo

algún o algunos políticos son mentirosos pero no afirma esto de los políticos considerados

universalmente. No afirma ni niega que todos los políticos sean mentirosos. No dice

literalmente que algunos políticos no son mentirosos, aunque en algunos contextos

podemos entenderlo así.

Algún S es P S intersección

P diferente al

vacío”. Los

conjuntos

tienen al

menos un

elemento en

común.

ALGUNOS POLÍTICOS NO

SON MENTIROSOS

PARTICULAR NEGATIVA:No se refiere universalmente a los políticos sino

sólo a algunos miembros de esa clase. No afirma que los miembros particulares de la

primera clase S están incluidos en la segunda clase P, esto es precisamente lo que se niega.

Algún S no es PS menos P es diferente al

vacío. Hay al menos un

elemento de S

Dice que por lo menos un miembro que pertenece a la clase S, es excluido de la

totalidad de la clase P.

que no son de P.