Apuntes Filtracion y Redes de Flujo

Filtración y redes de flujo FERNANDO PARDO DE SANTAYANA

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INDICE 1. EL MOVIMIENTO DE UN FLUIDO EN EL SUELO................................................ 2 2. PRINCIPIOS FÍSICOS DEL FLUJO DEL AGUA EN EL TERRENO..................... 3

2.1. Carga hidráulica. La ecuación de Bernoulli ............................................... 3 2.2. Ley de Darcy.................................................................................................. 4 2.3. Consideraciones energéticas. ..................................................................... 6 2.4. Conductividad hidráulica y permeabilidad................................................. 7 2.5. Validez de la Ley de Darcy ........................................................................... 8 2.6. Estimaciones de k......................................................................................... 9 2.7. Fuerzas de filtración ................................................................................... 10 2.8. Sifonamiento. .............................................................................................. 13

3. ECUACIONES DEL FLUJO. REDES DE FILTRACIÓN...................................... 14 3.1. Ecuación de Laplace. ................................................................................. 15 3.2. Soluciones de la ecuación de Laplace ..................................................... 18

3.2.1. Ejemplo de resolución matemática ....................................................... 19 3.2.2. Dibujo a mano alzada ........................................................................... 19 3.2.3. Numéricas ............................................................................................. 20 3.2.4. Modelos Analógicos .............................................................................. 20

3.3. Estimación de la superficie libre (presas) ................................................ 20 3.4. Determinación del caudal de filtración ..................................................... 23

4. FLUJO EN MEDIOS ANISÓTROPOS ................................................................. 24 4.1. Coeficiente de permeabilidad equivalente ............................................... 24 4.2. Red de flujo en suelos anisótropos .......................................................... 24

5. FLUJO EN MEDIOS HETEROGÉNEOS (SUELOS DE DISTINTA PERMEABILIDAD). LEY DE SNELL........................................................................... 25 6. FLUJO EN RÉGIMEN TRANSITORIO................................................................. 26 7. POZOS ................................................................................................................. 28

7.1. Pozos en régimen permanente.................................................................. 28 7.2. Pozos en régimen transitorio. Análisis de ensayos de bombeo............ 30

ANEJO I: Bibliografía


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1. EL MOVIMIENTO DE UN FLUIDO EN EL SUELO

Muchos problemas geotécnicos tienen como causa el agua. Es frecuente que, por

ejemplo, los deslizamientos del terreno se produzcan durante o después de periodos

de elevadas precipitaciones. Las tensiones efectivas en el suelo, que determinan su

comportamiento mecánico y su resistencia, se obtienen como diferencias de las

tensiones totales y la presión del agua en el terreno. Cuando el agua en el terreno está

en reposo, no se mueve, nos encontramos en condiciones que denominamos

hidrostáticas. No obstante, el agua en el terreno con frecuencia no se encuentra en

equilibrio hidrostático, sino en movimiento, movimiento que se denomina de filtración o

percolación. El conocimiento de los principios del flujo de fluidos, en general, en el

terreno es necesario para resolver problemas tales como:

• la velocidad a la que fluye el agua a través del suelo (por ejemplo, para el

cálculo de fugas en presas);

• la consolidación del suelo (por ejemplo para el cálculo de la velocidad de

asiento en una cimentación);

• la resistencia al corte del suelo (ya que el flujo de agua afecta a las

presiones efectivas y, por tanto, a la resistencia del suelo).

De hecho, son tres los aspectos principales en los que el movimiento del agua en el

interior del terreno influye desde el punto de vista geotécnico:

• Caudales: el movimiento del agua en el terreno produce un caudal que es

necesario determinar en numerosos problemas geotécnicos, por ejemplo en

excavaciones;

• Presiones intersticiales: el estado de presiones intersticiales que el agua

adopta al circular en terreno determina el estado de tensiones efectivas en el

terreno, y por lo tanto, su resistencia y deformabilidad;

• Alteraciones del terreno: el paso del agua puede producir alteraciones en el

terreno de tipo físico (por ejemplo erosión interna), químico (disoluciones,

precipitaciones) o biológico (desarrollo de algas, bacterias, con influencia en el

comportamiento del terreno).

En el estudio de los problemas geotécnicos asociados al movimiento del agua en el

terreno, es característica la importancia de los pequeños detalles de la estructura

geológica. Con frecuencia, macizos rocosos o capas de suelos arcillosos considerados

impermeables, no lo son, debido a la presencia de fisuras, grietas o finas vetas


3

arenosas o limosas inesperadas o de difícil detección. La importancia de estas

heterogeneidades se debe fundamentalmente a la extensa gama de valores que el

coeficiente de permeabilidad, k, puede adoptar.

2. PRINCIPIOS FÍSICOS DEL FLUJO DEL AGUA EN EL TERRENO

2.1. Carga hidráulica. La ecuación de Bernoulli

El suelo está constituido generalmente por un conjunto discreto de partículas cuyos

poros están interconectados entre sí. En esas condiciones el agua es libre de moverse

a través de ellos y fluir desde unas zonas del suelo hacia otras. Como sucede en los

problemas de la Mecánica de Fluidos, el agua sólo se mueve cuando existen

diferencias de carga hidráulica entre unas zonas y otras, dirigiéndose hacia las zonas

de menor carga.

La magnitud que determina el flujo de agua a través del terreno es pues la carga

hidráulica, h, que representa la energía mecánica total del fluido. Tiene dimensiones

de longitud [L], y se mide en metros. También se puede expresar en metros columna

de agua (m.c.a.).

La ley que rige con carácter general el movimiento del agua es la conocida como

ecuación de Bernoulli, según la cual la carga hidráulica, h, se expresa como:

gvuzh

w 2

2

++=γ

siendo:

• h: la carga hidráulica, la energía del agua por unidad de masa (tanto

potencial como cinética), en un determinado punto. Se mide, como se ha

indicado anteriormente, en metros de columna de agua (m.c.a.).

• z: la carga geométrica (o cota geométrica). Es la distancia en vertical del

punto en cuestión a un plano de comparación o referencia.

• Ψ = u/γw: la carga de presión. Es de gran importancia, ya que indica la

presión real del agua (presión intersticial o presión neutra, en los suelos).

La carga de presión es la altura a la que ascendería el agua en un

piezómetro de tubo abierto por encima del punto considerado. Se mide en

metros. Para obtener la presión del agua (u) en kN/m2, se multiplica Ψ (en

metros) por el peso específico del agua, γw, en kN/m3.

• v2/2g: la carga de velocidad. En los suelos, el flujo de agua se produce a

velocidades pequeñas.


4

Despreciando el término de carga de velocidad, en el movimiento del agua en el

terreno, la ley de Bernoulli queda reducida a:

w

uzhγ

+= ψ+= zh

El flujo del agua en el terreno viene determinado por la carga hidráulica, h (suma del

término de presión, Ψ, y del término de altura geométrica, z). El agua se mueve en el

terreno desde las zonas de mayor carga hidráulica (de mayor h) hacia las zonas de

menor carga hidráulica; y no necesariamente desde las zonas de mayor presión (u ó Ψ

) hacia las zonas de menor presión, o de las zonas con mayor cota (z) a las zonas más

bajas.

Además de la carga hidráulica, en la Mecánica de Suelos interesa conocer la carga de

presión, ya que se corresponde con la presión intersticial, a partir de la cual se

calculan las presiones efectivas del terreno. Esta carga de presión en un punto puede

bien medirse directamente con piezómetros, o bien calcularse mediante los principios

de la mecánica de fluidos.

Conviene hacer notar que la magnitud absoluta de la carga geométrica, y, por tanto,

también de la carga total, tiene poco significado, puesto que dichos valores dependen

del plano de referencia adoptado; lo realmente significativo es la diferencia de carga

hidráulica entre dos puntos, Δh, que es lo que determina el movimiento.

Como norma general, es conveniente determinar primero las cargas hidráulica y

geométrica, y calcular después la carga de presión como diferencia entre las dos.

2.2. Ley de Darcy

El análisis matemático del flujo del agua en el terreno se basa en una ley empírica, la

Ley de Darcy, deducida a partir de ensayos en laboratorio, enunciada por el ingeniero

francés Henry Darcy en 1856, y ampliamente corroborada posteriormente por la

experiencia.

Consideremos el esquema de la Fig. 1, que representa un cilindro de sección

transversal A, relleno de arena saturada de agua y a lo largo del cual fluye un caudal

de agua, Q, introducido en el extremo superior y recogido en el inferior. En dos puntos,

1 y 2, del eje del cilindro, separados una distancia Δl, la carga hidráulica, h1 y h2, es

medida con relación a un plano de referencia arbitrario z = 0.

Consideremos el caudal Q (magnitud escalar) que atraviesa una determinada área A

(magnitud vectorial, de módulo igual al valor geométrico del área, y dirección normal a

la misma), podemos definir ese caudal como el producto escalar de dos vectores:

Q = v·A = ⏐v⏐⏐A⏐cos α


5

siendo α el ángulo entre los dos vectores v y A. A partir de ahí podemos definir una

magnitud vectorial v, velocidad de flujo, cuya dirección indica la dirección del flujo

del agua en el terreno, y cuyo módulo, considerando un área A normal a la dirección

de ese flujo (α=0) es el cociente del caudal Q por el área:

v = Q/A con dimensiones: v = [L/T]; Q= [L3/T]; A= [L2]

Fig. 1 – Flujo de agua a lo largo de probeta de suelo

Nótese que esta velocidad no es la velocidad real de movimiento del agua o fluido en

el terreno, puesto que éste sólo circula a través de los poros entre los granos de

arena, no a través de toda el área A, y siguiendo itinerarios irregulares y dirección

variable (Fig.2).

A

Fig. 2 – Concepto de velocidad de flujo, y velocidad real del fluido en el suelo

ψ1 = h1 – z1

1

2

v* v = Q/A


6

Henry Darcy demostró experimentalmente en el año 1856 que en arenas saturadas la

velocidad del agua en un flujo unidireccional es proporcional al gradiente hidráulico:

v ∝ Δh/Δl

v = -k· Δh/Δl

o:

dldhkv −= = -k grad(h) = -k·i

donde:

• k es la constante de proporcionalidad o coeficiente de permeabilidad

(conductividad hidráulica);

• i el gradiente hidráulico o pérdida de carga unitaria (Δh/Δl, siendo Δl la

longitud del camino recorrido, en el cual se produce una pérdida de carga

Δh).

La Ley de Darcy puede escribirse referida al caudal:

Q = -k·A·dh/dl = -k·A·i Es importante destacar que la Ley de Darcy es independiente de la dirección del flujo

(v, i y A son magnitudes vectoriales). Así, el caudal que atraviesa una sección

cualquiera A depende del gradiente hidráulico en la dirección normal a la superficie y

del coeficiente de conductividad hidráulica en esa dirección. De hecho, de acuerdo con

la ley de Darcy, la dirección del flujo depende sólo del gradiente hidráulico (gradiente

de energía).

2.3. Consideraciones energéticas.

Examinando las relaciones de energía en el proceso de flujo de un fluido en el terreno,

puede utilizarse el concepto de potencial, definido como el trabajo realizado en este

proceso. El trabajo realizado para mover una unidad de masa de fluido entre dos

puntos cualesquiera en un sistema de flujo es una medida de la pérdida de energía por

unidad de masa. Considerando un estado de referencia a la cota z = 0 y a la presión

atmosférica, p0, y considerando un punto P en el sistema de flujo a la cota z, y con el

fluido a la presión p y a la velocidad v, la energía mecánica del fluido por unidad de

masa de fluido, Φ, es igual a:

Φ = gz + 1/2v2 + (p-p0)/ ρ

donde ρ es la densidad del fluido. Despreciando la componente de energía cinética,

por ser extremadamente bajas las velocidades de flujo en los medios porosos, la

expresión queda reducida a:


7

Φ = gz + (p-p0)/ ρ

El valor de la presión del fluido, p, en el punto P, medida a partir de la altura alcanzada

(ψ =h-z) en el manómetro (Fig. 1) será:

p = ρg(h-z) + p0

de donde resulta, substituyendo, que

Φ = gz + (p-p0)/ ρ = gz + g(h-z) = gh

O sea que la energía mecánica total del fluido por unidad de masa de fluido, Φ, en

otras palabras, el potencial del fluido, es igual a la carga hidráulica, h, multiplicada por

la aceleración de la gravedad, g. El flujo seguirá, por tanto, la dirección del gradiente

de carga hidráulica.

Esta aproximación presenta las siguientes limitaciones: no puede usarse con fluidos

compresibles (se ha considerado ρ constante); y no tiene en cuenta los gradientes

químicos, térmicos o eléctricos, que en determinadas circunstancia pueden determinar

el flujo.

2.4. Conductividad hidráulica y permeabilidad

La capacidad del agua para atravesar el suelo se denomina permeabilidad. Bajo la

denominación de coeficiente de permeabilidad (o conductividad hidráulica), k,

definimos la velocidad de flujo producida por un gradiente hidráulico unidad, ya que, de

acuerdo con la ley de Darcy:

k = - v/i

La conductividad hidráulica es función tanto del fluido como del medio poroso,

dependiendo de factores tales como la viscosidad y la densidad del líquido, la

porosidad, granulometría y forma de las partículas del suelo, y el grado de saturación.

El coeficiente de permeabilidad (conductividad hidráulica), k, tiene dimensiones de

velocidad, y puede expresarse del siguiente modo:

μκρgk =

donde ρ y μ son la densidad y viscosidad del fluido, respectivamente; κ es la

permeabilidad intrínseca del medio poroso, que puede considerarse función del

cuadrado del diámetro de poro, y, equivalentemente, del cuadrado del diámetro de

partícula (d) multiplicado por una constante (C):

κ = Cd2

La viscosidad del fluido varía con la temperatura. En el caso del agua, en la Tabla 1 se

presenta esta variación, en el caso del agua.


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En la Tabla 2 se ha recogido el rango de valores de la permeabilidad y la capacidad

de drenaje típicos de diferentes tipos de suelos.

Tabla 1 – Viscosidad del agua en función de la temperatura Temperatura, T (ºC) Viscosidad, μ (10-3 N seg/m2)

0 1,787 10 1,307 20 1,002 40 0,6529 60 0,4665 80 0,3547

100 0,2818

Tabla 2 - Valores del coeficiente de permeabilidad (modificado de Jiménez Salas et al., 1976)

Tipo de Suelo k (m/s) Permeabilidad Gravas > 10-2 Alta

Arenas gruesas 10-2 – 10-3 Alta

Arenas medias 10-3 – 10-4 Media

(se pueden drenar por bombeo)

Arenas finas 10-4 – 10-5 Media

(se pueden drenar por bombeo)

Arenas limosas 10-5 – 10-6 Baja Turba 4x10-5 – 10-9 Baja a muy baja

Limos, arcillas meteorizadas 10-6 – 10-8 Baja a muy baja Arcillas no meteorizadas 10-9 – 10-10 Muy baja

2.5. Validez de la Ley de Darcy

La velocidad de flujo (o velocidad de Darcy), v, que figura en la expresión de Ley de

Darcy, definida como la razón entre el caudal de fluido, Q, que atraviesa una

determinada área, A, (v = Q/A), aunque tiene dimensiones de velocidad, no es la

velocidad real del movimiento de las partículas de agua o fluido a través de la

intrincada red de poros del terreno (Fig. 2). Es un concepto macroscópico en el que se

substituye el medio poroso por un medio continuo, y es fácilmente medible, al contrario

que las velocidades reales, a nivel microscópico, del fluido, de imposible

determinación. La verdadera velocidad microscópica del fluido es función de la

porosidad del medio y de la tortuosidad de la red de poros. Una aproximación al valor

de esta velocidad real microscópica es la velocidad lineal media, v*, definida a partir de

la porosidad, n, del suelo: v* = v/n = Q/nA


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Un límite superior para la validez de la Ley de Darcy viene determinado por la

necesidad de que el régimen de flujo sea laminar, lo que sucede en un elevado

número de suelos. Sin embargo en escolleras gruesas y en gravas limpias muy

abiertas, el flujo del agua puede ser más turbulento que laminar, motivo por el cual la

ley de Darcy puede no cumplirse. Lo mismo acontece en macizos rocosos fracturados

o carstificados. El límite se puede establecer mediante el número de Reynolds,

parámetro adimensional que expresa la razón entre las fuerzas de inercia y de

rozamiento viscoso durante el flujo, y que ha de ser inferior a un valor entre 1 y 10,

para que el flujo sea laminar:

μρvdRe = < 1 a 10

donde ρ y μ son la densidad y la viscosidad del fluido, v la velocidad de flujo y d el

diámetro medio de partícula de suelo, representativo del tamaño medio de poro.

Por otro lado, el límite inferior de validez de la Ley de Darcy viene fijado en aquellas

situaciones de muy reducida permeabilidad del medio y bajo gradiente, en las cuales

las fuerzas osmóticas pueden ser predominantes.

2.6. Estimaciones de k

Existen en la literatura numerosas correlaciones del coeficiente k con otras

propiedades del suelo, fundamentalmente con e (índice de poros) y con D10 (diámetro

eficaz, es decir el tamaño de tamiz que deja pasar un 10% de suelo). La que se utiliza

con mayor frecuencia y proporciona unos resultados bastante adecuados es la

correlación debida a Hazen:

k(mm/s) = C·D102 (mm)

donde C oscila entre 8 y 12 para arenas uniformes con coeficiente de uniformidad (Cu)

inferior a 5 y D10 comprendidos entre 0,06 y 3 mm, y entre 5 y 8 para arenas bien

graduadas (Cu > 5) y D10 entre 0,003 y 0,6 mm. Esta formula sólo se aplica en arenas.

La fórmula de Hazen se basa en que la mayor influencia en la permeabilidad se debe

a las partículas más finas del suelo.

El valor del coeficiente de permeabilidad se puede determinar directamente mediante

ensayos en el terreno. Estos ensayos se pueden realizar in situ (ensayo Lugeon,

ensayo Lefranc, etc.), o en laboratorio, sobre muestras tomadas del terreno.

La determinación del coeficiente de permeabilidad mediante ensayos de laboratorio

presenta una serie de inconvenientes frente a la determinación del mismo mediante

ensayos de campo, entre los cuales podemos señalar los siguientes:


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• Las muestras tomadas para ensayar en laboratorio siempre presentan, en

mayor o menor grado, una cierta alteración, que afecta a la densidad, índice de

poros, estado tensional;

• Siempre hay factores que reducen la representatividad del ensayo, tales como:

presencia de burbujas de aire en el sistema, variaciones de presión,

temperatura, viscosidad del agua, sales del agua, etc.;

• En laboratorio es imposible reproducir las condiciones que tienen lugar in situ,

pues a menudo se producen: variaciones de densidad y porosidad; distintas

presiones efectivas e intersticiales que las existentes en el campo; diferente

tamaño de la muestra ensayada (efecto escala); no consideración del flujo de

circulación del agua en la realidad y la estratificación natural del terreno; etc.

A pesar de todos estos inconvenientes es normal emplear los ensayos de laboratorio

para una primera aproximación y para obtener un orden de magnitud de la

permeabilidad - son más cualitativos que cuantitativos-, por lo que deben

complementarse con ensayos in situ, que como ya se ha indicado reproducen mejor la

situación real y proporcionan los mejores resultados.

Los ensayos de laboratorio más empleados para determinar el coeficiente de

permeabilidad de un suelo suelen ser de tres tipos:

• Permeámetro de carga constante: Son convenientes cuando la permeabilidad

del suelo es mayor de 10-4 m/s (gravas y arenas medias a gruesas);

• Permeámetros de carga variable: adecuados para suelos entre 10-4 y 10-7 m/s

(arenas finas, limos y arcillas)

• En célula Rowe: Es útil para suelos de muy baja permeabilidad; permite

determinar valores de permeabilidad horizontal y vertical.

2.7. Fuerzas de filtración

El agua, en su proceso de filtración a través del suelo, ejerce una fuerza sobre las

partículas que encuentra a su paso, fuerza que normalmente se conoce como fuerza

de filtración. Para una mejor comprensión del significado físico de estas fuerzas se ha

dibujado en la Fig. 3 un permeámetro de carga constante y flujo ascendente y se han

representado las fuerzas que actúan sobre el suelo:


11

2

1

suelo

H

L

z4

3

Plano decomparacion

= +

γ w.z.A

γ w.(L+z+H).A

Fuerzasperifericas

γ w.z.A

γ w.(L+z).A

Empuje deArquimedes(estatico)

γ w.H.A

Fuerzas defiltracion

Fig. 3 - Fuerzas de filtración ejercidas por el agua en el suelo

Las fuerzas periféricas son las ejercidas por el agua sobre un elemento de suelo.

Cuando el agua está en reposo, no circula, estas fuerzas periféricas son iguales al

empuje de Arquímedes que experimenta el suelo (fuerza que experimenta todo sólido

sumergido en un líquido). Pero cuando hay flujo de agua, las fuerzas periféricas son

iguales a la suma del empuje de Arquímedes y de las fuerzas de filtración (fuerza

ejercida por el fluido sobre el suelo por el mero hecho de circular a través de él). Las

fuerzas de filtración están causadas por la presión de filtración. Ésta es ejercida por el

agua en movimiento y se disipa uniforme y completamente en el flujo ascensional a

través del suelo.

Veamos a continuación cómo se deduce la fuerza de filtración ejercida por el agua.

Estudiando el permeámetro de la Fig. 3 y de acuerdo con los principios básicos que se


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han establecido del movimiento de agua en el terreno, veamos como se produce dicho

movimiento:

Carga hidráulica en 1:

h1 = z1 + u1/γw

siendo:

z1: la altura con respecto al plano de comparación elegido

u1: la presión de agua en 1. Tomando la presión atmosférica como presión

cero, u1 = 0. Por tanto:

h1 = ( H + z + L )

Carga en 2:

h2 = z2 + u2/γw = z + L

Al ser mayor la carga en 1 que en 2, la filtración se producirá de 1 a 2. La pérdida de

carga total entre ambos puntos será:

Δh = h1 – h2 = H

Esta pérdida de carga se produce fundamentalmente en el terreno (pérdidas por

rozamiento con el suelo). La pérdida de carga que se produce por rozamiento en los

conductos de agua es despreciable frente a la que se produce al atravesar el suelo.

Por tanto, en el estudio del permeámetro se supone que toda la pérdida de carga, H,

se produce entre los puntos 3 y 4.

Veamos cuanto vale la presión del agua en el punto 3:

h1 = ( H + z + L )

h3 = h1 – Δh1-3

donde Δh1-3 es la pérdida de carga que se produce entre los puntos 1 y 3. Como

suponemos que toda la pérdida de carga se produce en el suelo Δh1-3 = 0.

Por tanto,

h3 = h1 = ( H + z + L )

Por otra parte, de acuerdo con Bernoulli:

h3 = z3 + u3/γw = u3/γw

(pues z3 = 0 de acuerdo con el plano de comparación elegido)

Igualando ambas expresiones se tiene:

u3 = γw ( H + z + L )

Si multiplicamos u3 por la sección transversal de la muestra, A, obtenemos la fuerza

total ejercida por el agua sobre la superficie inferior del suelo del permeámetro (fuerza

periférica inferior).

Veamos cuanto vale la presión del agua en el punto 4. Análogamente al punto 3:

h2 = z + L


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h2 = h4 – Δh2-4 = h4

luego h4 = z + L

Por otra parte, de acuerdo con Bernoulli:

h4 = z4 + u4/γw = L + u4/γw

Igualando ambas expresiones se tiene:

z + L = L + u4/γw ⇒ u4 = γw . z

Si multiplicamos u4 por la sección transversal A obtenemos la fuerza total que ejerce el

agua sobre la superficie superior del suelo (fuerza periférica superior).

Restando a estas fuerzas periféricas (inferior y superior) las fuerzas correspondientes

al caso estático (compresiones hidrostáticas), queda una fuerza ejercida por el agua

en circulación sobre el suelo que es lo que constituye la fuerza de filtración.

La fuerza de filtración es una fuerza interior, de arrastre de agua sobre el esqueleto

mineral y de reacción de éste sobre el agua. En un suelo isótropo la fuerza de filtración

siempre actúa en la dirección de la corriente.

La fuerza de filtración por unidad de volumen de suelo será:

s = γw.H.A/ A.L = γw.H/L = γw.i

donde i es el gradiente hidráulico. Es una magnitud vectorial, orientada en la dirección

del gradiente hidráulico (y del flujo, por lo tanto).

De todo lo expuesto merece la pena destacar los siguientes aspectos:

• Las fuerzas periféricas ejercidas por el agua sobre un elemento de suelo

son iguales a la suma del empuje de Arquímedes más la fuerza de

filtración;

• Para calcular las fuerzas que el agua ejerce sobre un elemento de suelo,

podemos utilizar las fuerzas periféricas y considerar el peso total del suelo,

o bien utilizar las fuerzas de filtración y considerar el peso sumergido del

suelo;

• La fuerza de filtración por unidad de volumen de suelo es igual al gradiente

de carga hidráulica, i, multiplicado por el peso especifico del fluido γw.

2.8. Sifonamiento.

En el esquema de la Fig. 3, veamos cuáles son las presiones en la superficie inferior

del suelo (punto 3):

• Presión total (vertical): σ = γwz + γsatL • Presión intersticial: u = γw (H + z + L) • Presión efectiva: σ’ = σ – u


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Si vamos aumentando H se irá produciendo un incremento de presión intersticial, con

la consiguiente reducción de presión efectiva. Llegará un valor H para el cual las

presiones efectivas en 3 se anulen. En suelos sin cohesión la resistencia al corte es

directamente proporcional a la presión efectiva, por tanto, si la presión efectiva se hace

nula el suelo se comporta como si fuera un líquido. Esto es lo que se conoce como

sifonamiento del suelo. Es decir, el estado de sifonamiento es aquél en el que la

resistencia al corte del suelo es nula por la ausencia de presiones efectivas. Veamos

cuál es el gradiente crítico, ic, para el que sucede esto:

σ’ = 0 ⇒ σ = u ⇒

⇒ γw.z + γsat.L = γw (H + z + L) ⇒(γsat – γw) L = γw.H ⇒

⇒ H/L = ic = γ’/γw

En arenas medias a finas ic oscila entre 0,9 y 1,1, con un valor medio en torno a 1. En

suelos cohesivos tipo limos y arcillas no se produce necesariamente, ya que presentan

una cierta resistencia incluso ante la ausencia de esfuerzos normales (debido a la

cohesión).

Veremos un poco más adelante cómo se calculan y cómo se dibujan las redes de

filtración. Esto está especialmente indicado en problemas de excavaciones al abrigo

de tablestacas o pantallas, en los cuales es preciso conocer el caudal de acceso al

fondo de la excavación para prever la capacidad de los elementos de achique. Sin

embargo, en estos casos también es necesario analizar la seguridad del fondo de la

excavación frente a un posible sifonamiento, como estado límite último.

3. ECUACIONES DEL FLUJO. REDES DE FILTRACIÓN.

En ciertos problemas de ingeniería es preciso efectuar una estimación de los caudales

de agua que circulan por el interior del terreno. Puede ser, por ejemplo, el caso de las

excavaciones al abrigo de pantallas, o la filtración a través de presas, en donde hay

que prever la capacidad de los sistemas de agotamiento para poder trabajar en seco,

o de los sistemas de evacuación. En otros casos, por ejemplo, cuando hay flujos de

agua a través de cimentaciones de terraplenes, la estimación puede ser necesaria

para el correcto diseño de los elementos de drenaje. Por otro lado, el conocimiento de

la red de filtración en el terreno permite conocer la distribución de presiones

intersticiales, que condiciona la resistencia y la deformabilidad del terreno.


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3.1. Ecuación de Laplace.

En la Fig.4 se ha representado un elemento diferencial de suelo, a través del cual está

fluyendo el agua.

x

y

z

dxdy

dz

Fig. 4 - Filtración a través de un elemento diferencial de suelo

El caudal que entra por la cara superior será:

dxdyzhkq zz .)(

∂∂

=

Y el caudal que sale por la inferior:

dxdydzzh

zhkdz

zqqqq z

zzzz .)( 2

2

∂∂

∂∂

+=∂∂

+=Δ+

La variación de caudal será por lo tanto:

dxdydzzhkq zz ..)( 2

2

∂∂

=Δ

y sumando los de las otras dos direcciones el caudal total que atraviesa el elemento

diferencial de suelo será:

dxdydzxhk

yhk

zhkq xyz ..)( 2

2

2

2

2

2

∂∂

∂∂

∂∂

++=Δ (1)

Por otra parte, veamos cual será el volumen de agua en el elemento de suelo, en

función del índice de poros, e, y del grado de saturación, S.


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dx

dy

dz

a

Fig. 5 - Elemento diferencial de suelo.

De acuerdo con el esquema del suelo, representado en la Fig. 5 - , en el que se ha

agrupado por una parte todo el volumen de las partículas sólidas y por otra todo el

volumen de huecos, el volumen de agua Vw en el elemento es:

dzdydxeeSVw ..

1.+

=

siendo:

S: grado de saturación

e: índice de poros

y su variación en el tiempo será el incremento de caudal:

teS

edzdydxdzdydx

eeS

ttVq w

∂∂

∂∂

∂∂ ).(

1..)..

1.(

+=

+==Δ

ya que (dx.dy.dz)/ (1+e) es igual al volumen de las partículas sólidas, que no varia

con el tiempo.

Por lo tanto, igualando con la ecuación (1) anterior queda de la siguiente forma:

)(1

12

2

2

2

2

2

teS

tSe

ezhk

yhk

zhk zyz ∂

∂∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

++

=++

En relación con los distintos valores que pueden adoptar e y S tendríamos diferentes

modos de flujo o de soluciones de la ecuación:

• e y S constantes

• e variable y S constante

• e constante y S variable

• e y S variables

El modo correspondiente al punto a) es el que analizaremos a continuación y que

denominaremos a partir de este momento como flujo permanente o establecido. En


17

cuanto a las otras tres situaciones, son procesos de flujo transitorios (el segundo

representa la consolidación).

Para e y S constantes, la ecuación del flujo queda reducida a:

02

2

2

2

2

2

=++zhk

yhk

zhk zyz ∂

∂∂∂

∂∂

que cuando el suelo es isótropo queda de la siguiente forma:

02

2

2

2

2

2

=++zh

yh

zh

∂∂

∂∂

∂∂

o bien Δh = 0 (Δ ≡ operador laplaciano)

Esta ecuación se denomina en la práctica ecuación de Laplace e indica que la suma

de los cambios del gradiente hidráulico en tres direcciones ortogonales es nula. En dos

dimensiones, la ecuación queda:

02

2

2

2

=+yh

zh

∂∂

∂∂

La solución de la ecuación de Laplace para un problema particular, con unas

condiciones de contorno definidas, es única, y en dos dimensiones está constituida por

dos conjuntos de curvas ortogonales entre sí que se denominan líneas de corriente

(ψ) y equipotenciales (φ). Ambas definen lo que en la práctica se conoce bajo el

nombre de red de flujo. En la Fig. 6 - se ha representado un ejemplo de una red de

filtración a través de una presa.

líneas de corriente

equipotenciales

Fig. 6 - Ejemplo de red de filtración a través de una presa

Las líneas de corriente representan en el caso de régimen permanente la trayectoria

que siguen las partículas de agua en su recorrido a través del terreno. Ningún caudal


18

atraviesa, por tanto, una línea de corriente. En cuanto a las equipotenciales, son líneas

a lo largo de las cuales el valor de la carga hidráulica, h, es constante, de tal manera

que si se dispusiera un conjunto de piezómetros a lo largo de una cualquiera de ellas

el agua ascendería al mismo nivel en todos ellos. También suele denominarse tubo de

flujo o canal de flujo al área contenida entre dos líneas de corriente consecutivas.

Otro conjunto de líneas de gran importancia son las isobaras, a lo largo de las cuales

la carga de presión, (u/γw = h – z) es constante. La denominada superficie libre, en la

que la presión es nula (la presión atmosférica, tomada como referencia), es pues un

caso particular de ellas.

La construcción de la red de flujo en un caso concreto persigue la determinación de

uno o varios de los siguientes objetivos:

• Presiones intersticiales en el medio (se determina la carga hidráulica total y, a

través de ella, las presiones)

• El gradiente hidráulico crítico

• El caudal de filtración

3.2. Soluciones de la ecuación de Laplace

Las ecuaciones del flujo de agua en el terreno, y en particular, la ecuación de Laplace,

pueden resolverse de varias maneras:

- Soluciones matemático-analíticas (en problemas de una dimensión, o

en casos simples de 2 dimensiones);

- Métodos gráficos (dibujo a mano alzada, en dos dimensiones);

- Soluciones analógicas (modelos eléctricos);

- Modelos físicos (a escala reducida);

- Métodos numéricas (diferencias finitas, elementos finitos).

En todo caso será necesario establecer previamente las condiciones de contorno del

problema. Las condiciones de contorno pueden ser de varios tipos. En una presa de

materiales sueltos, por ejemplo, tendremos:

- Contorno impermeable: es una línea de corriente (ψ = cte). Siendo n y t

las direcciones normal y tangencial en un punto del contorno:

0===tn

vn ∂ψ∂

∂∂φ

luego, ψ es constante a lo largo de t, y por tanto es línea de corriente.


19

- Superficie libre: es línea de corriente (ψ = cte) e isobara: u/γw =cte= 0,

(presión atmosférica); h = z; Δh = Δz; φ = -kz.

- Superficie de entrada: es línea equipotencial (φ = cte.).

- Superficie de salida: puede ser equipotencial, isobara o una

combinación de ambas.

3.2.1. Ejemplo de resolución matemática

En un problema unidimensional, la ecuación de Laplace adopta la siguiente forma:

02

2

=dx

hd

de donde:

adxhd=

h = ax+b

Introduciendo condiciones de contorno:

x = 0 → h = h0 → b = h0

x = L → h =hL → hL = aL + h0 → a = (hL - h0)/L

y la solución de la ecuación de Laplace queda:

00 hx

Lhhh L +

−=

que representa la distribución de h en un acuífero confinado de pequeño espesor,

asimilable a un problema unidimensional, en el cual la extrapolación lineal del valor de

h estaría, pues, justificada.

3.2.2. Dibujo a mano alzada

En el caso de medios isótropos (kh=kv) y homogéneos se puede dibujar a mano

alzada la red de filtración, teniendo en cuenta las siguientes reglas:

a. Analizar en primer lugar las condiciones de contorno del problema para

localizar las líneas de corriente o equipotenciales que constituyan la base de

partida.

Por ejemplo:

-En el caso de pantallas:

- Contorno impermeable (es una línea de corriente)

- Eje de simetría (es una línea de corriente)

- Superficie de entrada o salida (es una línea equipotencial)

-En el caso de presas:

- Talud de aguas arriba (es una línea equipotencial)


20

- Talud de aguas abajo (es una línea de corriente, en parte)

- Cimentación (es una línea de corriente, si el terreno se considera

impermeable)

- Superficie libre (es una línea equipotencial)

b. Comenzar dibujando pocos tubos de flujo (3-4) y pocas equipotenciales,

manteniendo la precaución de que las intersecciones sean ortogonales.

c. La separación entre líneas de corriente se elegirá de forma que resulten

iguales los flujos circulantes por cada par de ellas

d. Procurar que las áreas contenidas por dos líneas de corriente y dos

equipotenciales sean cuadradas.

e. Las líneas de corriente serán suaves y no deberán cortarse nunca dos de

ellas. Lo mismo se aplica para las equipotenciales.

f. En cualquier caso procurar ajustar de forma general la red y después afinar

los detalles. Generalmente se hace subdividiendo los cuadrados ya ajustados

en otros de menores dimensiones.

El dibujo de la red suele dar unos resultados bastante aproximados. Aunque se

empleen programas informáticos de cálculo, es útil realizar un tanteo a mano, con el

fin de corroborar que los cálculos se están haciendo de forma correcta.

3.2.3. Numéricas

La ecuación de Laplace se puede resolver aplicando, por ejemplo, el método de

diferencias finitas o el método de los elementos finitos. Hoy en día existen numerosos

programas informáticos comerciales para el cálculo de filtraciones en el terreno.

Permiten realizar el cálculo de filtraciones en terrenos heterogéneos y anisótropos,

cuando hay un proceso constructivo complicado, etc.

3.2.4. Modelos Analógicos

Permiten resolver el problema a través de similitud con problemas de calor o

eléctricos. Se asimilan los siguientes parámetros:

• Carga Hidráulica = Voltaje • Permeabilidad = Conductividad eléctrica • Caudal = Intensidad de la corriente

3.3. Estimación de la superficie libre (presas)

Mientras que el flujo bajo estructuras impermeables, como es el caso de presas de

hormigón o pantallas, es de tipo confinado, cuando la estructura es permeable, el flujo

es no confinado. En este caso la línea superior que delimita ese flujo la llamamos

línea piezométrica, o superficie libre, y a lo largo de ella la presión es la atmosférica.


21

Al ser la más importante es la primera línea que hay que buscar en este tipo de

problemas de filtración a través de presas y terraplenes.

Para dibujar la superficie libre del agua en el caso de filtración a través de una presa

se pueden emplear métodos aproximados basados en el empleo de la parábola básica

de Casagrande, como el que se describe en Jiménez Salas et al. (1976). Según este

método la línea piezométrica puede aproximarse a una parábola, con algunas

modificaciones en la parte de entrada y salida de la presa o terraplén para ajustarla a

lo observado en la experimentación.

En la Fig. 7 se ha representado un ejemplo de filtración en una presa, así como la

parábola que constituye la superficie libre, con sus correspondientes modificaciones en

la entrada y en la salida. Esta parábola pasa por el punto A, distante de B tres décimas

de la distancia EB, y tiene su foco en el punto F.

Δa

a

Fig. 7 - Aproximación de la superficie a una parábola. Correcciones de entrada y salida

En la Fig. 8 se han representado las correcciones a realizar a la parábola tanto en la

entrada como en la salida de la filtración. El paramento de entrada del agua en el

interior de la presa o terraplén representa la equipotencial máxima y, por ser

ortogonales las líneas de corriente y las equipotenciales, el agua entrará perpendicular

a él.

La corrección que debe emplearse en la salida de la superficie está indicada en la fig.

8, en la que se ha ampliado la zona de salida. En la Tabla 3 se indican los valores

señalados en el gráfico.

Tabla 3: Valores de los parámetros señalados en el gráfico de la Fig. 8 β (talud) 30 60 90 120 150 180

Δa/a 0.36 0.32 0.26 0.18 0.10 0


22

a

a

β

Fig. 8 - Detalle de corrección a la parábola en la zona de salida

Otra forma de estimar la posición aproximada de la superficie libre es aplicar la

solución de Dupuit-Forchheimer. Las hipótesis simplificadoras adoptadas en esta

solución consisten en suponer flujo básicamente en la dirección horizontal, y

considerar que no se rezuma agua en el paramento de aguas abajo, esto es, que la

superficie libre alcanza en ese paramento el nivel de agua del exterior (Fig. 9).

L x

z

x=0 x=L

h0

hL

h

dxdh

ds

L x

z

x=0 x=L

h0

hL

h

dxdh

ds

L x

z

x=0 x=L

h0

hL

h

dxdh

ds

Fig. 9 – Hipótesis de la solución de Dupuit-Forchheimer para la posición de la superficie libre.

Admitiéndose flujo horizontal, el gradiente hidráulico resulta ser:

Y aplicando Darcy, el caudal será:

dxdh

dsdhi ==

hdxdhkA

dxdhkQ −=−=


23

De esta manera, integrando, y aplicando las condiciones de contorno (x=0 → h=h0; y

x=x → h=hx) resulta la siguiente ecuación de la superficie libre:

xhhkQ x

2)( 22

0 −=

que corresponde a una parábola, pudiéndose determinar el caudal según:

LhhkQ L

2)( 22

0 −=

3.4. Determinación del caudal de filtración

En la Fig. 10 se ha representado la red de filtración a través de una presa.

h

Fig. 10 - Ejemplo de red de filtración a través de una presa. Cálculo del caudal filtrado

Una vez dibujada la red de flujo, el caudal de filtración correspondiente se calcula de la

siguiente forma:

eq

f

NN

nHkq ...Δ=

donde

• Nf es el número de tubos de flujo

• Neq es el número de equipotenciales

• n es la relación altura-anchura de los elementos que constituyen la red o factor

de forma de la misma (a/b en la figura)


24

• ΔH es la máxima pérdida de carga hidráulica.

4. FLUJO EN MEDIOS ANISÓTROPOS

4.1. Coeficiente de permeabilidad equivalente

El flujo a través de medios anisótropos se puede calcular mediante un coeficiente de

permeabilidad equivalente de la forma siguiente:

• Flujo horizontal en un suelo estratificado verticalmente; el mismo gradiente

321

332211 ...DDD

kDkDkDkH ++++

=

• Flujo vertical en un suelo estratificado verticalmente; el mismo caudal

3

3

2

2

1

1

321

kD

kD

kD

DDDkV

++

++=

4.2. Red de flujo en suelos anisótropos

En el caso de medios anisótropos la ecuación del flujo bidimensional queda:

02

2

2

2

=+yhk

xhk yx ∂

∂∂∂

donde kx ≠ ky.

En este caso la solución de la ecuación del flujo no son dos familias perpendiculares

entre sí. Para resolver el cálculo de la red de flujo se puede aplicar el método de

Samsiöe, que consiste en hacer un cambio de coordenadas:

x → xT

es decir, x se transforma en xT , haciendo que

x xkkT

y

x= .

De esta forma la ecuación del flujo queda en forma de laplaciano:

02

2

2

2

=+yh

xh

T ∂∂

∂∂


25

cuya solución son las dos familias de curvas ortogonales entre sí, que forman las

líneas de corriente y equipotenciales.

Es decir, para construir una red de flujo en medios anisótropos lo primero que hay que

hacer es transformar el eje x natural mediante la expresión anterior y proceder como

en el caso de suelos isótropos, tal y como se indica en la Fig. 11. Una vez dibujada la

red de flujo se deshace la transformación y la red resultante será la que tenga lugar en

la realidad.

X= x13

xT

x

zT k

kxx =

Fig. 11 - Transformación de coordenadas en el caso anisótropo

En cuanto al caudal de filtración correspondiente, es fácil deducirlo de la red

transformada empleando una permeabilidad equivalente:

k k ke y x= .

5. FLUJO EN MEDIOS HETEROGÉNEOS (SUELOS DE DISTINTA PERMEABILIDAD). LEY DE SNELL

En el caso de que el flujo atraviese dos medios de diferente permeabilidad (k1 ≠ k2) las

líneas de corriente se desvían de la forma indicada en la Fig. 12.


26

K 1

K2

1

1

a11

a2

Fig. 12 - Refracción producida en la superficie de contacto entre dos medios de distinta permeabilidad

Se cumple la relación:

)()(

2

1

2

1

αα

tgtg

kk

=

Siendo αi el ángulo que forman las líneas de corriente con la normal al plano de

separación de los dos medios.

6. FLUJO EN RÉGIMEN TRANSITORIO

En la determinación de las ecuaciones del flujo en régimen transitorio, en la ecuación

que rige el balance de masa de fluido en una porción de suelo, debemos considerar,

además de la cantidad de fluido que entra y que sale, la que se almacena por unidad

de tiempo. Resulta así (Fig. 13):

Fig. 13 – Balance de masa de fluido

x

z

y

Δy

Δx

Δz

xvx

v xx Δ∂∂

+ )(ρρ xvρ

nt

vz

vy

vx zyx ρρρρ

∂∂

=∂∂

−∂∂

−∂∂

− )()()(

Entra – Sale = ΔAlm./Δt


27

Considerando que el fluido es poco compresible y que la Ley de Darcy es válida,

resulta:

El término temporal se puede descomponer de la siguiente manera:

Donde α es la compresibilidad del medio poroso y β la compresibilidad del fluido,

ambas en unidades (m2/N):

Denominamos al parámetro Ss almacenamiento específico, definido como el volumen

de agua liberado por un volumen unitario de medio poroso debido a una caída unitaria

de carga hidráulica, (Ss = [1/L]):

Considerando un medio homogéneo e isótropo, resulta la siguiente ecuación

(“ecuación de la difusión”) que rige el flujo de agua en régimen transitorio, para cuya

resolución es necesario conocer tanto las condiciones de contorno como las iniciales:

En un acuífero confinado, podemos simplificar el problema considerando apenas las

dos dimensiones en planta (Fig. 14).

Fig. 14 – Acuífero confinado de espesor “b”.

Aplicando igualmente el principio de conservación de masa y la Ley de Darcy,

tenemos:

donde T = k·b, la transmisividad, [L2/T], y S = Ss·b, la almacenabilidad, [-], son los

parámetros que caracterizan el acuífero confinado. La almacenabilidad (o coeficiente

b

y

x

tn

zhk

yhk

xhk zyx ∂

∂=

∂∂

+∂∂

+∂∂ )(1

2

2

2

2

2

2 ρρ

thng

tn

tn

tn

∂∂

+=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+∂∂

=∂

∂ )(1)(1 βαρρρρ

ρρ

)1(' 0ee

v +ΔΔ

=σ

α ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

−=PV

V1β

)( βαρ ngSs +=

thShk s ∂∂

=∇2

thbS

yhbk

yxhbk

x syx ∂∂

=∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

th

TSh∂∂

=∇2


28

de almacenamiento), S, se define como el volumen de agua liberado por unidad de

área del acuífero por unidad de disminución de carga hidráulica, h. Se considera que

el acuífero tiene una buena transmisividad (lo que facilita su explotación) cuando

T > 0,015 m2/s. En relación a S, en los acuíferos confinados este parámetro suele

presentar un valor entre 5·10-3 y 5·10-5.

Si el acuífero es libre o no confinado, las ecuaciones difieren porque al aplicar la Ley

de Darcy, el parámetro que determina el área no es el espesor del acuífero (b en los

acuíferos confinados), sino la altura piezométrica o carga hidráulica, h, referida a un

plano de referencia en la base del acuífero:

de donde:

y

El parámetro adimensional Sy se denomina cedencia específica, rendimiento

específico o almacenabilidad no confinada, y caracteriza el acuífero. Suele adoptar

valores entre 0,01 y 0,3 en los acuíferos libres.

7. POZOS

7.1. Pozos en régimen permanente

En un pozo de bombeo excavado en un acuífero confinado, en régimen permanente,

es decir sin cambios en el tiempo ni del caudal extraído ni del nivel freático, podemos

deducir la ecuación que rige el flujo de agua hacia el pozo (Ecuación de Thiem) a partir

de la Ley de Darcy (Fig. 15). Así, el caudal que atraviesa una superficie cilíndrica de

radio r y altura b (espesor del acuífero) es:

rbdrdhkkiAQ π2==

Introduciendo como condiciones de contorno la altura piezométrica (carga hidráulica)

en dos puntos situados a una distancia del pozo de r1 y r2, respectivamente, h1 y h2:

∫∫ = 2

1

2

1 2r

r

h

h rdr

bkQdhπ

thS

yhhk

yxhhk

x yyx ∂∂

=∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

thS

yhhk

yxhhk

x yyx ∂∂

=∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

thS

yhk

xhk yyx ∂

∂=

∂∂

+∂∂

2

22

2

22

21

21


29

e integrando:

1

212 ln

2 rr

TQhhπ

=−

resulta la ecuación de Thiem, siendo T = b·k la transmisividad del acuífero.

Fig. 15 – Flujo de agua hacia un pozo en un acuífero confinado en régimen permanente.

Si el acuífero es libre (Fig. 16), y aceptamos las hipótesis de Dupuit-Forchheimer –a)

flujo esencialmente horizontal; y b) el pozo no rezuma agua por encima del nivel de

agua en el mismo-, resulta:

rhdrdhkQ π2= ∫∫ = 2

1

2

1 2r

r

h

h rdr

kQhdhπ

1

221

22 ln

rr

kQhhπ

=−

Se deduce de lo anterior que, en régimen permanente, las ecuaciones que rigen el

flujo de agua hacia un pozo, en un acuífero confinado y en un acuífero no confinado,

son lineales en h y en h2, respectivamente, lo que permite aplicar el principio de

superposición, por ejemplo, para representar un contorno de flujo nulo, o un contorno

de recarga (Fig. 17).


30

Fig. 16 – Flujo de agua hacia un pozo en un acuífero no confinado en régimen permanente.

Fig. 17 – Utilización del principio de superposición para representar un contorno de flujo nulo mediante un pozo imaginario simétrico del real respecto del plano del

contorno.

7.2. Pozos en régimen transitorio. Análisis de ensayos de bombeo

El flujo transitorio de agua hacia un pozo en un acuífero confinado se puede

representar a partir de la solución de Theis. Utilizando coordenadas radiales, la

ecuación de flujo transitorio es la siguiente:

th

TS

rh

rrh

∂∂

=∂∂

+∂∂ 1

2

2

donde T es la transmisividad del acuífero, y S la almacenabilidad o coeficiente de

almacenamiento. Consideramos inicialmente que para un tiempo t ≤ 0, antes del

bombeo, la altura piezométrica en la zona es h(r,0) = h0. Como condición de contorno,

la altura piezométrica tenderá a mantenerse igual a h0 en las zonas alejadas del pozo

de bombeo. Esto es, para t > 0, y r→∞:


31

Tq

rhr

r π2lim

0=

∂∂

→

La solución de Theis hace uso de la función de pozo, W(u):

duu

eT

Qtrhhu

u

∫∞ −

=−π4

),(0

siendo:

TtSru

4

2

=

y la función de pozo:

...!44!33!22

ln5772,0)(432

+⋅

−⋅

+⋅

−+−−== ∫∞ − uuuuudu

ueuW

u

u

Para conocer las características del acuífero confinado, T y S, se realizan ensayos de

bombeo, en los que, desde que se inicia la extracción de un caudal constante, Q, se

miden en sondeos o pozos de observación situados a distancias r del pozo de bombeo

los descensos del nivel piezométrico, s(r,t)=h0-h(r,t), a diferentes tiempos, t. A partir de

la ecuación de Theis, se tiene:

)(log4

loglog uWT

Qs +=π

uST

tr log4loglog

2

+=

Siendo constantes Q/4πT y 4T/S, se puede analizar el ensayo de bombeo

gráficamente a partir de los datos de campo (mediciones de s(r,t)) y de la curva tipo de

la función de pozo: log W(u) en función de log(u). Superponiendo a esta curva tipo la

curva de mediciones expresada en: log(s) en función de log(r2/t), se puede obtener el

valor de la transmisividad y de la almacenabilidad del acuífero confinado (fig. 18).

Fig. 18 – Solución gráfica de análisis de ensayos de bombeo a partir de la ecuación de Theis.


32

Cuando la variable u (u=r2S/4Tt) es menor de 0,01, es decir, con valores del descenso

de nivel piezométrico medidos en puntos próximos al pozo de extracción (r pequeño) o

en tiempos, t, elevados, se puede utilizar el método de Jacob, que considera como

simplificación como función de pozo la siguiente expresión:

uuW ln5772,0)( −−≈

Así, el descenso de nivel piezométrico resulta:

SrtT

TQu

TQtrs 2

25,2ln4

)ln5772,0(4

),( ⋅=−−=

ππ

SrtT

TQtrs 2

25,2log4

3,2),( ⋅⋅=

π

expresión que permite también la obtención gráficamente de los parámetros del

acuífero, transmisividad, T, y almacenabilidad, S. Así, para un radio fijo (mediciones en

un único pozo o sondeo de observación situado a la distancia r del pozo de bombeo),

se pueden representar los valores medidos de s en función de log t, que deberán

conformar una recta cuya pendiente es 2,3Q/4πT. Una vez obtenido el valor de T, el

punto de corte de la recta con el eje de abscisas será el tiempo t0, correspondiente a

s=0, y a partir de ese valor se puede deducir S (Fig. 19):

SrtTs 2

025,2log0 ⋅⋅== S

SrtT⇒

⋅⋅= 2

025,21

Análogamente, si se dispone de lecturas del descenso de nivel piezométrico en

diferentes sondeos de observación, se puede representar s en función de log r para

un mismo tiempo t desde el inicio del bombeo, alineándose los puntos en ese gráfico

en una recta de pendiente -2,3Q/2πT, que permite deducir el valor de la

transmisividad, así como el valor de S a partir del punto de corte con el eje de

abscisas.

Fig. 19 – Solución gráfica de análisis de ensayos de bombeo según el método de Jacob, para u<0,01.


33

ANEJO I BIBLIOGRAFÍA

Jiménez Salas, J. A..; de Justo Alpañés, J. L.; Serrano González, A. A. (1976).

“Geotecnia y Cimientos”. Tomos I y II. Ed. Rueda.

Lambe, T. W. ; Whitman, R. V. (1972). “Mecánica de suelos”. Ed. Limusa.

Freeze, R. Allan; Cherry, J.A . (1979) “Groundwater”. Ed. Prentice Hall.

Apuntes Filtracion y Redes de Flujo

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