1 UNIVERSIDAD DE CHILE FACULTAD DE CIENCIAS FISICAS Y MATEMATICAS DEPARTAMENTO DE INGENIERIA ELECTRICA Avda. Tupper 2007 Casilla 412-3 - Santiago Chile Fono: (56) (2) 978 4203, Fax: (56) (2) 695 3881 APUNTES DE ELECTROMAGNETISMO Luis Vargas D. Departamento de Ingeniera Elctrica Facultad de Ciencias Fsicas y Matemticas Universidad de Chile Versin2010 2 NDICE CAPITULO 1. ELECTROSTTICA EN EL VACIO ......................................................... 10 1.1 Introduccin .............................................................................................................. 10 1.2 Ley de Coulomb ........................................................................................................ 12 1.2.1 Descripcin .......................................................................................................... 12 1.2.2 Dimensiones ........................................................................................................ 12 1.3 Campo Elctrico ....................................................................................................... 14 1.4 Principio de Superposicin ...................................................................................... 15 1.5 Campo Elctricode Distribuciones Continuas de Carga .................................... 20 1.5.1 Distribucin Lineal .............................................................................................. 21 1.5.2 Distribucin superficial de carga ......................................................................... 24 1.5.3 Distribucin Volumtrica de Carga ..................................................................... 26 1.6 Ley de Gauss ............................................................................................................. 31 1.6.1 Conceptos Matemticos Incluidos ....................................................................... 31 1.6.2 Ley de Gauss ....................................................................................................... 32 1.7 Potencial Elctrico .................................................................................................... 36 1.7.1 Trabajo de un Campo Elctrico ........................................................................... 36 1.7.2 Definicin de Potencial Elctrico ........................................................................ 38 1.7.3 Relaciones entre Potencial y Campo Elctrico .................................................... 41 1.7.4 Ecuacin de Laplace y Poisson ........................................................................... 43 1.7.5 Campo Elctrico Conservativo ............................................................................ 45 1.8 Dipolo elctrico ......................................................................................................... 46 1.8.1 Definicin Dipolo ................................................................................................ 46 1.8.2 Potencial Elctrico de un Dipolo ......................................................................... 46 1.8.3 Dipolo de un Conjunto de Cargas y Distribuciones ............................................ 49 1.8.4 Potencial a grandes distancias ............................................................................. 52 1.9 Problemas Resueltos ................................................................................................. 54 1.10 Problemas propuestos ............................................................................................ 82 CAPITULO 2. PROPIEDADES DIELCTRICAS DE LA MATERIA ............................. 84 2.1 Introduccin .............................................................................................................. 84 2.2 Modelo de los Materiales Dielctricos .................................................................... 84 2.2.1 Materiales No Polares .......................................................................................... 84 2.2.2 Materiales Polares................................................................................................ 86 2.2.3 Vector Polarizacin ............................................................................................. 87 2.3 Potencial Elctrico en la Materia ............................................................................ 87 2.4 Distribuciones de carga de polarizacin ................................................................. 88 2.5 Generalizacin de la 1 ecuacin de Maxwell......................................................... 91 3 2.6 Constante Dielctrica ............................................................................................... 92 2.6.1 Polarizacin de medios materiales ...................................................................... 92 2.6.2 Clasificacin de materiales dielctricos .............................................................. 92 2.6.3 La Ecuacin del Potencial (Laplace) en Medios Materiales ............................... 94 2.7 Ruptura dielctrica ................................................................................................... 96 2.8 Condiciones de borde ............................................................................................... 97 2.9 Refraccin del campo elctrico .............................................................................. 102 2.10 Consideraciones sobre Simetra .......................................................................... 103 2.11 Problemas resueltos .............................................................................................. 106 2.12 Problemas Propuestos .......................................................................................... 113 CAPITULO 3. CONDUCTORES EN ELECTROSTTICA ............................................ 115 3.1 Modelo Bsico de Conductores ............................................................................. 115 3.2 Propiedades ............................................................................................................. 115 3.3 Caso Conductor con Oquedad .............................................................................. 116 3.4 Condensadores ........................................................................................................ 122 3.5 Cargas en medios materiales ................................................................................. 126 3.6 El mtodo de las imgenes ..................................................................................... 127 3.7 Problemas Resueltos ............................................................................................... 130 3.8 Problemas Propuestos ............................................................................................ 140 CAPITULO 4. ENERGA ELECTROSTTICA .............................................................. 141 4.2 Energa de un Sistema de Conductores ................................................................ 142 4.3 Fuerza Elctrica y Energa .................................................................................... 143 4.4 Energa en trminos de Campos ........................................................................... 145 4.5 Problemas Resueltos ............................................................................................... 149 4.6 Problemas Propuestos ............................................................................................ 152 CAPITULO 5. CORRIENTE ELECTRICA ...................................................................... 153 5.1 Modelo de Medios Materiales Conductores ......................................................... 153 5.2 Definicin de Corriente .......................................................................................... 154 5.3 Densidad de Corriente............................................................................................ 157 5.4 Ley de Ohm ............................................................................................................. 161 5.5 Fuerza electromotriz .............................................................................................. 165 5.6 Efecto Joule ............................................................................................................. 167 5.7 Cargas en medios materiales ................................................................................. 169 5.8 Corriente de Conveccin ........................................................................................ 171 4 5.9 Ecuacin de Continuidad ....................................................................................... 173 5.10 Ecuacin de Continuidad en Medios Materiales ............................................... 174 5.11 Condiciones de Borde paraJ ............................................................................. 176 5.12 Ley de Voltajes de Kirchoff ................................................................................. 182 5.13 Ley de Corrientes de Kirchoff. ............................................................................ 184 5.14 Problemas Resueltos ............................................................................................. 187 5.15 Problemas Propuestos .......................................................................................... 193 CAPITULO 6. MAGNETOSTTICA EN EL VACO ..................................................... 196 6.1 Introduccin ............................................................................................................ 196 6.2 Fuerza de una Corriente sobre una Carga Elctrica .......................................... 196 6.3 Definicin de campo magntico ............................................................................. 198 6.4 Ley de Biot y Savart ............................................................................................... 201 6.5 Ley Circuital de Ampere ........................................................................................ 206 6.6 3 Ecuacin de Maxwell.......................................................................................... 208 6.74ta Ecuacin de Maxwell ...................................................................................... 209 6.8 Movimiento de una carga puntual en el interior de un campo magntico ........ 210 6.9 Potencial Magntico Vectorial ............................................................................... 213 CAPITULO 7. MAGNETOSTTICA EN LA MATERIA ............................................... 217 7.1 Dipolo Magntico .................................................................................................... 217 7.2 Modelo Atmico de Materiales .............................................................................. 221 7.3 Corrientes de Magnetizacin ................................................................................. 222 7.4 Permeabilidad Magntica ...................................................................................... 223 7.5 Clasificacin de los Materiales Magnticos .......................................................... 224 7.6 Condiciones de borde ............................................................................................. 226 7.7 Resumen Electrosttica y Magnetosttica ............................................................ 228 7.8 Problemas Resueltos ............................................................................................... 229 7.8 Problemas Propuestos ............................................................................................ 246 CAPITULO 8. CAMPOS VARIABLES EN EL TIEMPO ............................................... 248 8.1 LEY DE FARADAY-LENZ .................................................................................. 248 8.1.1 Ley de Induccin ............................................................................................... 248 8.1.2Modificacin 3 Ecuacin de Maxwell ............................................................. 255 8.1.3 Inductancia Propia ............................................................................................. 257 8.1.4 Inductancia de Conjunto de Circuitos ............................................................... 259 8.1.5 Inductancia en Sistemas Distribuidos ................................................................ 260 5 8.2 CORRIENTE DE DESPLAZAMIENTO ............................................................ 262 8.3. ENERGA ELECTROMAGNTICA ................................................................. 265 8.3.1 Energa del Campo Electromagntico ............................................................... 265 8.3.2 Fuerza sobre Materiales Magnticos ................................................................. 266 8.4. ONDAS ELECTROMAGNETICAS ................................................................... 271 8.5 Problemas Resueltos ............................................................................................... 274 8.5 Problemas Propuestos ............................................................................................ 281 CAPITULO 9. CORRIENTE ALTERNA ......................................................................... 283 9.1 Elementos circuitos RLC ....................................................................................... 283 9.2 Circuitos RLC ......................................................................................................... 285 9.3 Corrientes alternas ................................................................................................. 286 9.4 Transformada Fasorial .......................................................................................... 287 9.5 Problemas Resueltos ............................................................................................... 290 9.6 Problemas Propuestos ............................................................................................ 299 Anexo A. Sitios Web de inters ......................................................................................... 300 Anexo B. Frmulas usadas ................................................................................................. 302 INDICE FIGURAS FIGURA 1. FUERZA DE COULOMB ...................................................................................................................... 12 FIGURA 2. MDULO FUERZA ENTRE CARGAS. ................................................................................................... 13 FIGURA 3. FUERZA ENTRE CARGAS ................................................................................................................... 14 FIGURA 4. CAMPO ELCTRICO DE CARGA PUNTUAL .......................................................................................... 14 FIGURA 5. MODELO DE CARGAS PUNTUALES ..................................................................................................... 15 FIGURA 6. SISTEMA DE CARGAS PUNTUALES .................................................................................................... 16 FIGURA 7. FUERZA ENTRE TRES CARGAS PUNTUALES. ....................................................................................... 17 FIGURA 8. EQUILIBRIO ELECTROESTTICO ........................................................................................................ 18 FIGURA 9. MOVIMIENTO DE CARGAS ................................................................................................................. 19 FIGURA 10.CAMPO DE SISTEMA DE CARGAS ...................................................................................................... 20 FIGURA 11. DISTRIBUCIN LINEAL DE CARGA .................................................................................................. 21 FIGURA 12. CAMPO DE DISTRIBUCIN RECTILNEA ........................................................................................... 21 FIGURA 13. CAMBIO DE COORDENADAS ............................................................................................................ 23 FIGURA 14. DISTRIBUCIN SUPERFICIAL DE CARGA ......................................................................................... 24 FIGURA 15. DISCO UNIFORMEMENTE CARGADO ................................................................................................ 24 FIGURA 16. PLANO INFINITO UNIFORMEMENTE CARGADO. ................................................................................ 25 FIGURA 17. DISTRIBUCIN VOLUMTRICA DE CARGA ....................................................................................... 26 FIGURA 18. ESFERA CARGADA .......................................................................................................................... 26 FIGURA 19. CAMPO ELCTRICO ESFERA CARGADA. ........................................................................................... 27 FIGURA 20. COORDENADAS ESFRICAS ............................................................................................................. 28 FIGURA 21. CONCEPTO DE FLUJO ...................................................................................................................... 31 FIGURA 22. FLUJO EN ESFERA CERRADA. .......................................................................................................... 32 FIGURA 23.DISTRIBUCIN ESFRICA HOMOGNEA DE CARGA. .......................................................................... 33 FIGURA 24. FLUJO SUPERFICIE ESFRICA. .......................................................................................................... 34 6 FIGURA 25. CAMPO DE UNA ESFERA. ................................................................................................................. 35 FIGURA 26. SUPERPOSICIN APLICADA. ............................................................................................................ 35 FIGURA 27. TRABAJO DE CAMPO ELCTRICO. ................................................................................................... 36 FIGURA 28.TRABAJO CARGA PUNTUAL. ............................................................................................................ 37 FIGURA 29. POTENCIAL ELCTRICO CARGA PUNTUAL. ...................................................................................... 39 FIGURA 30. POTENCIAL LNEA CARGADA. ......................................................................................................... 40 FIGURA 31. CAMPO Y POTENCIA DE LNEA CARGADA. ....................................................................................... 42 FIGURA 32. POTENCIAL ENTRE PLACAS. ............................................................................................................ 44 FIGURA 33. DIPOLO ELCTRICO. ....................................................................................................................... 46 FIGURA 34. POTENCIAL DE UN DIPOLO. ............................................................................................................. 47 FIGURA 35. POTENCIAL DEL DIPOLO EN SISTEMA DE COORDENADAS ARBITRARIO. ........................................... 48 FIGURA 36. CAMPO ELCTRICO DIPOLO. ........................................................................................................... 48 FIGURA 37. DIPOLO DE SISTEMA DE CARGAS. .................................................................................................... 49 FIGURA 38. DIPOLO DE DISTRIBUCIONES DE CARGA. ......................................................................................... 50 FIGURA 39. DIPOLO DE 8 CARGAS. .................................................................................................................... 50 FIGURA 40. DIPOLO 9 CARGAS. ......................................................................................................................... 51 FIGURA 41. DIPOLO EQUIVALENTE. ................................................................................................................... 51 FIGURA 42. MODELO DE TOMO. ...................................................................................................................... 85 FIGURA 43. TOMO EN PRESENCIA DE CAMPO ELCTRICO. ............................................................................... 85 FIGURA 44. REPRESENTACIN MEDIANTE DIPOLO. ............................................................................................ 85 FIGURA 45. ELEMENTO DE VOLUMEN EN UN MEDIO MATERIAL POLAR. ............................................................. 86 FIGURA 46. MEDIO MATERIAL POLAR FRENTE A UN CAMPO. ............................................................................. 86 FIGURA 47. ELEMENTO DE VOLUMEN EN UN MEDIO MATERIAL. ........................................................................ 87 FIGURA 48. POTENCIAL ELCTRICO DE ELEMENTO DE VOLUMEN. ..................................................................... 87 FIGURA 49.CARGAS DE POLARIZACIN. ............................................................................................................ 89 FIGURA 50. MODELO DE MEDIOS MATERIALES. ................................................................................................. 89 FIGURA 51. DIELCTRICO CBICO. .................................................................................................................... 90 FIGURA 52. MATERIAL LINEAL, ISTROPO Y HOMOGNEO. ............................................................................... 93 FIGURA 53. MATERIAL LINEAL, ISTROPO Y NO HOMOGNEO. .......................................................................... 93 FIGURA 54. MATERIAL LINEAL, ANISTROPO Y NO HOMOGNEO. ..................................................................... 94 FIGURA 55.MATERIAL NO LINEAL, ANISTROPO Y NO HOMOGNEO. ................................................................ 94 FIGURA 56.CONDICIONES DE BORDEE . ........................................................................................................... 98 FIGURA 57. CONDICIONES DE BORDED. ......................................................................................................... 98 FIGURA 58.CARGA SUPERFICIAL ENTRE DIELCTRICOS. .................................................................................... 99 FIGURA 59.CARGA LIBRE Y DE POLARIZACIN. ............................................................................................... 100 FIGURA 60.REFRACCIN CAMPO ELCTRICO. .................................................................................................. 102 FIGURA 61. SIMETRA Y CONDICIONES DE BORDE............................................................................................ 103 FIGURA 62. SIMETRA ESFRICA. ..................................................................................................................... 103 FIGURA 63. DENSIDADES SUPERFICIALES DE CARGA DE POLARIZACIN. ......................................................... 105 FIGURA 64. CONDUCTOR EN PRESENCIA DE UN CAMPO ELCTRICO. ................................................................ 115 FIGURA 65. DENSIDAD DE CARGA EN CONDUCTORES. ..................................................................................... 116 FIGURA 66. DENSIDAD DE CARGA EN CONDUCTOR HUECO. ............................................................................. 117 FIGURA 67.CARGA EN OQUEDAD. .................................................................................................................... 117 FIGURA 68. SITUACIN DE EQUILIBRIO. .......................................................................................................... 118 FIGURA 69. CONDENSADOR PLACAS PLANAS. ................................................................................................. 119 FIGURA 70. GAUSS PARA UN CONDENSADOR. .................................................................................................. 120 FIGURA 71.DIRECCIN CAMPO ELCTRICO. ..................................................................................................... 121 FIGURA 72. CONDENSADOR. ........................................................................................................................... 122 FIGURA 73. CONDENSADOR PLACAS PLANAS. ................................................................................................. 123 FIGURA 74. CONDENSADOR CILNDRICO. ........................................................................................................ 123 FIGURA 75.DISTRIBUCIN DE CARGAS CONDENSADOR CILNDRICO. ............................................................... 124 FIGURA 76. SIMETRA AXIAL EXTERIOR. ......................................................................................................... 124 FIGURA 77. SIMETRA AXIAL INTERIOR. .......................................................................................................... 125 FIGURA 78. SMBOLO CONDENSADOR. ............................................................................................................ 126 FIGURA 79. CARGAS EN DIELCTRICOS. .......................................................................................................... 126 7 FIGURA 80. CONDUCTORES EN EQUILIBRIO ELECTROESTTICO. ...................................................................... 126 FIGURA 81. SISTEMA DE CONDUCTORES EN EQUILIBRIO ELECTROSTTICO ..................................................... 127 FIGURA 82. EJEMPLO DE USO DE MTODO DE IMGENES ................................................................................. 128 FIGURA 83. CARGA IMAGEN FRENTE A PLANO ................................................................................................. 128 FIGURA 84. DESCRIPCIN ESPACIAL DEL EJEMPLO 21. ................................................................................. 129 FIGURA 85. ENERGA SISTEMA DE PARTCULAS. .............................................................................................. 141 FIGURA 86. ENERGA SISTEMA DE CONDUCTORES. .......................................................................................... 142 FIGURA 87. ENERGA DE CONDENSADORES. .................................................................................................... 143 FIGURA 88. ENERGA Y FUERZA ELCTRICA. ................................................................................................... 144 FIGURA 89.ENERGA CON BATERAS................................................................................................................ 144 FIGURA 90.ENERGA EN FUNCIN DE CAMPOS................................................................................................. 145 FIGURA 91.ENERGA ESFERA UNIFORMEMENTE CARGADA. ............................................................................. 146 FIGURA 92. CORRIENTE EN CIRCUITOS. ........................................................................................................... 153 FIGURA 93. CORRIENTE ELCTRICA. ............................................................................................................... 154 FIGURA 94. CARGA NETA NULA. ..................................................................................................................... 154 FIGURA 95. ELECTRONES DE COMBINACIN. ................................................................................................... 155 FIGURA 96.CORRIENTE POR UNIDAD DE SUPERFICIE. ...................................................................................... 157 FIGURA 97. VECTOR DENSIDAD DE CORRIENTE. .............................................................................................. 157 FIGURA 98. DENSIDAD DE CORRIENTE DE CUERPO IRRREGULAR ..................................................................... 158 FIGURA 99. DENSIDAD SUPERFICIAL DE CORRIENTE. ....................................................................................... 159 FIGURA 100. CONDUCTOR TOROIDAL .............................................................................................................. 160 FIGURA 101. PROYECCIN DE SECCIN DEL TOROIDE ..................................................................................... 160 FIGURA 102. LEY DE OHM............................................................................................................................... 161 FIGURA 103. CARACTERSTICA V-I. ................................................................................................................ 162 FIGURA 104. CORRIENTE EN CONDUCTOR IRREGULAR. ................................................................................... 164 FIGURA 105. CONDUCTOR UNIFILAR. .............................................................................................................. 164 FIGURA 106. FUERZA ELECTROMOTRIZ. .......................................................................................................... 165 FIGURA 107. NOTACIN FEM. ........................................................................................................................ 165 FIGURA 108. FEM EN CIRCUITOS. ................................................................................................................... 165 FIGURA 109. CONDUCTOR REAL. ..................................................................................................................... 166 FIGURA 110. CONVENCIN SIGNOS. ................................................................................................................ 166 FIGURA 111. EFECTO JOULE. ........................................................................................................................... 167 FIGURA 112. ENERGA EN ELEMENTO DIFERENCIAL. ....................................................................................... 168 FIGURA 113. CARGAS EN DIELCTRICOS. ........................................................................................................ 169 FIGURA 114. CONDUCTORES EN EQUILIBRIO ELECTROESTTICO. .................................................................... 169 FIGURA 115. CONDUCTORES EN EQUILIBRIO DINMICO. ................................................................................. 169 FIGURA 116. CARGAS EN MATERIALES REALES. .............................................................................................. 170 FIGURA 117. CORRIENTE DE CONVECCIN. ..................................................................................................... 171 FIGURA 118. CINTA TRANSPORTADORA DE CARGA. ........................................................................................ 172 FIGURA 119. CONTINUIDAD DE CARGA ELCTRICA. ........................................................................................ 173 FIGURA 120. ECUACIN DE CONTINUIDAD EN MEDIOS MATERIALES. .............................................................. 174 FIGURA 121.CARGA EN FUNCIN DEL TIEMPO. ................................................................................................ 174 FIGURA 122. CONDICIONES DE BORDE. ........................................................................................................... 176 FIGURA 123. DIELCTRICO Y CONDUCTOR PERFECTOS.................................................................................... 177 FIGURA 124. CONDENSADOR COMPUESTO SIN ACUMULACIN DE CARGA. ...................................................... 178 FIGURA 125. CONDENSADOR COMPUESTO CON ACUMULACIN DE CARGA. .................................................... 179 FIGURA 126. LEY DE VOLTAJES DE KIRCHOFF. ................................................................................................ 182 FIGURA 127. CIRCUITO RC SERIE. ................................................................................................................... 182 FIGURA 128.LEY DE CORRIENTES DE KIRCHOFF. ............................................................................................. 184 FIGURA 129. CIRCUITO RC PARALELO. ........................................................................................................... 185 FIGURA 130. CARGA MVIL FRENTE A UN CIRCUITO. ...................................................................................... 196 FIGURA 131. CIRCUITO CIRCULAR. .................................................................................................................. 197 FIGURA 132. CAMPO MAGNTICO DE CIRCUITO CIRCULAR. ............................................................................. 199 FIGURA 133. CAMPO MAGNTICO DE CARGA PUNTUAL. .................................................................................. 200 FIGURA 134. CAMPO MAGNTICO DE DISTRIBUCIONES DE CORRIENTES. ......................................................... 201 FIGURA 135.INTERACCIN DE DOS CIRCUITOS. ............................................................................................... 201 8 FIGURA 136.CIRCUITO FRENTE A CORRIENTE LINEAL...................................................................................... 202 FIGURA 137.CAMPO DE CONDUCTOR INFINITO. ............................................................................................... 202 FIGURA 138. FUERZA SOBRE CONDUCTOR RECTANGULAR. ............................................................................. 203 FIGURA 139. TORQUE MAGNTICO. ................................................................................................................. 204 FIGURA 140. FUERZA Y TORQUE. .................................................................................................................... 205 FIGURA 141. LEY CIRCUITAL DE AMPERE. ...................................................................................................... 206 FIGURA 142. CORRIENTE ENLAZADA. .............................................................................................................. 207 FIGURA 143. CAMPO BOBINA. ......................................................................................................................... 207 FIGURA 144. TERCERA ECUACIN DE MAXWELL. ........................................................................................... 208 FIGURA 145. INEXISTENCIA DE CARGAS MAGNTICAS. ................................................................................... 209 FIGURA 146.MOVIMIENTO DE CARGAS EN UN CAMPO MAGNTICO. ................................................................ 210 FIGURA 147. TRAYECTORIA HELICOIDAL. ....................................................................................................... 211 FIGURA 148. SELECTOR DE VELOCIDADES. ..................................................................................................... 212 FIGURA 149. ESPECTRGRAFO DE MASAS. ...................................................................................................... 212 FIGURA 150. POTENCIAL MAGNTICO VECTOR................................................................................................ 216 FIGURA 151. DIPOLO MAGNTICO. ................................................................................................................. 217 FIGURA 152. CAMPO MAGNTICO DE UN DIPOLO MAGNTICO. ........................................................................ 218 FIGURA 153. COMPARACIN ELECTROESTTICA V/S MAGNETOSTTICA. ........................................................ 220 FIGURA 154. MODELO ATMICO DE CORRIENTES. .......................................................................................... 221 FIGURA 155. MODELO ATMICO DE CORRIENTES. .......................................................................................... 221 FIGURA 156. MODELO DE LA MATERIA. .......................................................................................................... 222 FIGURA 157. CLASIFICACIN MATERIALES MAGNTICOS. ............................................................................. 224 FIGURA 158. CICLO DE HISTRESIS. ................................................................................................................ 225 FIGURA 159. CONDICIONES DE BORDE. ........................................................................................................... 226 FIGURA 160. APLICACIN CONDICIONES DE BORDE. ....................................................................................... 227 FIGURA 161. INDUCCIN MAGNTICA ............................................................................................................ 248 FIGURA 162. INDUCCIN MAGNTICA ............................................................................................................ 249 FIGURA 163. SENTIDO DE LA INDUCCIN MAGNTICA PARA FLUJO CRECIENTE .............................................. 249 FIGURA 164. SENTIDO DE LA INDUCCIN MAGNTICA PARA FLUJO DECRECIENTE ......................................... 250 FIGURA 165. INDUCCIN EN TOROIDE. ............................................................................................................ 250 FIGURA 166. LEY DE AMPERE EN TOROIDE. .................................................................................................... 251 FIGURA 167. SENTIDO FEM ............................................................................................................................ 252 FIGURA 168. FEM EN CIRCUITO MVIL. .......................................................................................................... 253 FIGURA 169. FLUJO SINUSOIDAL. .................................................................................................................... 254 FIGURA 170. MODIFICACIN TERCERA LEY DE MAXWELL. ............................................................................. 255 FIGURA 171. FEM POR FLUJO Y CIRCUITO VARIABLE. ..................................................................................... 256 FIGURA 172.INDUCTANCIA PROPIA. ................................................................................................................ 257 FIGURA 173. INDUCTANCIA PROPIA DE TOROIDE. ........................................................................................... 258 FIGURA 174. INDUCTANCIA MUTUA. ............................................................................................................... 259 FIGURA 175. INDUCTANCIA PROPIA DE TOROIDE. ........................................................................................... 259 FIGURA 176. CONDUCTOR INFINITO ................................................................................................................ 260 FIGURA 177. ELEMENTO UNITARIO ................................................................................................................. 260 FIGURA 178. CORTE TRANSVERSAL DE ELEMENTO UNITARIO ......................................................................... 261 FIGURA 179. CORRIENTE DE DESPLAZAMIENTO. ............................................................................................. 263 FIGURA 180.CORRIENTE DE DESPLAZAMIENTO EN CONDENSADOR. ................................................................ 264 FIGURA 181. FUERZA SOBRE BARRA MAGNTICA. ........................................................................................... 267 FIGURA 182. ELECTROIMN SIMPLEMENTE EXCITADO .................................................................................... 269 FIGURA 183. RESISTENCIA ELCTRICA. ........................................................................................................... 283 FIGURA 184. CONDENSADOR. ......................................................................................................................... 283 FIGURA 185. INDUCTANCIA. ............................................................................................................................ 283 FIGURA 186. CIRCUITO RLC. .......................................................................................................................... 285 FIGURA 187. CIRCUITO RC CON FUENTE ALTERNA. ........................................................................................ 286 FIGURA 188. REPRESENTACIN FASORIAL CONDENSADOR ............................................................................. 288 FIGURA 189. REPRESENTACIN FASORIAL. ..................................................................................................... 288 FIGURA 190. REPRESENTACIN FASORIAL. ..................................................................................................... 288 9 INDICE TABLAS TABLA 1. CAMPOS EN CONFIGURACIONES MULTIPOLARES. ............................................................................... 53 TABLA 2: VALORES DE PERMITIVIDAD DIELCTRICA Y FUERZA DIELCTRICA DE MATERIALES ......................... 97 TABLA 3. CONDUCTIVIDAD (APROXIMADA)* DE ALGUNOS MATERIALES A20C ............................................ 162 TABLA 4. PERMEABILIDADRELATIVA DE ALGUNOS MATERIALES* ............................................................... 225 10 CAPITULO 1. ELECTROSTTICA EN EL VACIO 1.1 Introduccin Elfenmenoelectromagnticorigeuncampovastsimodenuestrarealidad,para dimensionar su alcance consideremos algunos ejemplos: -Partedelaactividaddelsistemanervioso,lainteraccinneuronalyelmismoojo con que se leen estas lneas es gobernado por leyes del electromagnetismo. -Fenmenos climticos como la aurora boreal, el rayo y el relmpago se explican en base a esta teora, -La luz se entiende como ondas electromagnticas. -Las aplicaciones prcticas son muy variadas en el mundo moderno: oTodalatecnologaelectrnica(TV,PC,celulares,videojuegos,etc.)esta basada fuertemente en estos principios, oAplicaciones mdicas: Rayos X, electrocardiogramas, electroencefalograma, resonancia magntica, etc. oTarjetasdecrdito,cdigosdebarradesupermercados,sistemasde posicionamiento geogrfico, etc. Lacomprensinacabadadeestostemasrequieredelestudiodelasespecialidadesde ingeniera,sinembargo,enestecursoaprenderemoslosfundamentosquenospermitirn tenerunentendimientobsicodelosprincipiosenquesebasanlasaplicaciones tecnolgicas listadas anteriormente. Desde el punto de vista de la descripcin del fenmeno partiremos adoptando las siguientes propiedades bsicas de la carga elctrica: -Lacargaelctricaesunapropiedadfundamentaldelamateria,comolamasaola capacidad calrica. -En la naturaleza la carga elctrica se da en dos formas: oElectrn (e) con unamasa de 9.1066E-31[kg], la cual se define como carga negativa. oProtn(p) con una masa de 1.67248E-27[kg], la cual se define como carga positiva. -Ambas partculas poseen carga de igual magnitud pero de signo opuesto. Paraentendermejorlainteraccindelascargasconvienedividirelestudioendospartes. Laprimeraparteconsideraquenohaymovimientodecargas,esdecir,laspartculasse encuentran en estado dereposo, mientras queenla segunda seconsidera la interaccin de cargasenmovimiento.Deestaforma,primeroabordaremossituacionesestacionarias (electrostticaymagnetosttica)yluegoincorporaremoslasvariacionestemporales (corrientes y campos variables en el tiempo). La teora que describe matemticamente estos fenmenos fue formulada alrededor de 1865. Mediante el uso de campos escalares y vectoriales se puede resumir toda la teora en cuatro ecuaciones, llamadas ecuaciones de Maxwell. Desde aquella fecha hasta nuestros das se ha 11 producidounenormedesarrollodeaplicacionestecnolgicasenprcticamentetodoslos campos del quehacer humano, pero la teora bsica no ha experimentado mayores cambios. En esta primera parte revisaremos los principios que rigen a la carga elctrica en estado de reposo, ms conocida como Electrosttica. 12 1.2 Ley de Coulomb 1.2.1 Descripcin Esunaleyexperimental,quefuedescubiertaen1785porelcoronelfrancsCharles Augustin de Coulomb. El coronel encontr que la magnitud de la fuerza experimentada por una partcula con carga q1 en presencia de otra partcula con carga q2 tiene la forma: (1.1) Recordemos que 1N=1 Kgm/seg2. Figura 1. Fuerza de Coulomb O sea: i)Es directamente proporcional al productoq1q2, ii)La fuerza es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia R Adicionalmente, se encontr que: iii)La fuerza tiene la direccin de la lnea que une q1 y q2 iv)Si q1 y q2 son de igual signo se repelen, en caso contrario se atraen. As, la ecuacin de fuerza queda (1.2) 1.2.2 Dimensiones Existe libertad para escoger las unidades de la constante K o de la carga q(pero no ambas). Notar que[k q1 q2]=[F R2]=Kg m3/seg2masa distancia3/tiempo2.En el sistema MKS se define la unidad 1 Coulomb (C)1 para las cargas y corresponde a la carga de 61018 electrones. As, para un electrn la carga es 1 Ms tarde veremos que esta unidad es til en el caso de las corrientes donde se cumple 1 Ampere = 1 C/seg. 1 / 222 12 / 1] [q q q qF NRq kqF = =q1q2Rrq1q2Rr1 21/ 22 [ ]q qkq qF r NR=| | ] [ 10 6 . 1 ] [ 10 6030 . 119 19C C qe ~ =13 Con esta definicin experimentalmente se encuentra que: (1.3) y definiendo la unidad Farad msegF2] [ =la constante co, llamada permitividad del espacio libre, corresponde a donde c es la velocidad de la luz. EJEMPLO 1. Comparar la fuerza de repulsin elctrica con la fuerza gravitacional entre 2 protones. Solucin: Figura 2. Mdulo fuerza entre cargas. Fuerza Gravitacional de atraccin:2Dm GmFp pg = (1.4) Fuerza elctrica de repulsin:22pekqFD=(1.5) 12222 22ppep g pGmkqFDkq F GmD| | |= = | |\ .(1.6)G~1010 29 199 38 9 16 26362 10 54 10 1010 279 10 1.6 109 10 10 9 10 10 101010 10 10 1010 1.6 10egFF ( = = = ~ ~ ( As, la fuerza elctrica es 1036 veces ms intensa que la fuerza gravitacional, por lo que las dospartculasdebieransepararse.Apartirdeestesimpleejerciciopodemosextrapolar algunas conclusiones: -Lamayoradelosobjetosennuestravidadiarianoestncargados(deotraformase vera ntidamente su efecto), -A nivel molecular la gravedad es despreciable como fuerza. -Entre planetas la fuerza elctrica es despreciable frente a la gravitacional. -Todacargaelctricaesunmltiploenterodelacargadeunprotn(igualalelectrn con signo opuesto). | |2 2 3 90/ 10 941seg C m Kg k - - = =c t| | m Fc/ 10 8541 . 841012270 = =tcq+ q+ D q+ q+ D14 1.3 Campo Elctrico Para expresar en formams rigurosael concepto de fuerza elctrica se usa elconcepto de campo elctrico. Consideremos el arreglo de cargas de la Figura 3. Figura 3. Fuerza entre cargas Llamemos 1 / 2 q qF a la fuerza que siente q2 debido a q1 y escribmosla de la siguiente forma 2012 1 / 2| | 4rr qq Fq q ,tc =(1.7) Como rrr= ((

= 3012 1 / 2|| || 4 rr qq Fq q tc(1.7.1) A la expresin 3014 rr qEtc=se le denomina campo elctrico producido por la carga q1. Con esto,lafuerzaquesientelacargaq2enpresenciadedichocampoes E q q q F 2 1 2/ =.En trminosmatemticosEcorrespondeauncampovectorial,esdecir,unafuncinque asociaunvectoracadapuntodelespacio.Fsicamentecorrespondeaunaperturbacin elctrica en todo el espacio producida por la carga q1. Generalicemoselresultadoanterioraldeunacargaqubicadaenlaposicinr',enun sistema de coordenadas de origen O como en la Figura 4. Figura 4. Campo Elctrico de carga puntual q1q21 / 2q qFrrq1q21 / 2q qFrrO' r r ' r r r' r' rqO' r r ' r r r' r' rq15 La expresin del campo elctrico en un puntor,de este sistema es 30|| ' || 4) ' (r rr r qE =tc [N/C](1.7) Las dimensiones son de fuerza sobre carga elctrica2.Notar queE no esta definido en el puntor r ' = !. Es importante destacar que en este anlisis q1 y q2 son cargas puntuales, es decir, no tienen dimensiones espaciales. Un modelo ms preciso de las cargas requiere suponer que existen distribuciones en volumen en donde se reparte la carga. Por ejemplo, esferas de dimetro a y b respectivamente, segn se muestra en la Figura 5. Figura 5. Modelo de cargas puntuales El modelo de cargas puntuales implica que se cumple a, b R luego r r z r z ' ~ ' ' + 2 , luego r d rzrdzdERz' '' =}220 0c ((

=zRdzdEz32230c ((

=2303 zREzc por la simetra radial, el campo tiene la forma 31 023) (crr Rr E,,=(1.40) Alintroducirlacargaenfuncindeladensidadseobtieneelmismocampocalculado anteriormente 024) (c t rr Qr E,,=(1.41) Dado que el clculo directo de los campos se dificulta con la evaluacin de integrales, es de suma utilidad el uso de programas computacionales en aplicaciones prcticas. Adems,en muchos casos facilita los clculos la Ley (o teorema) de Gauss que veremos a continuacin. 1.6 Ley de Gauss 1.6.1 Conceptos Matemticos Incluidos AntesdeverlaLeydeGaussconvienerepasarlossiguientesconceptosdeclculo vectorial. i) Concepto deFlujo. Consideremos un campo vectorialA definido en todo el espacioy una superficie S cualquiera como se muestra en la Figura 21. Figura 21. Concepto de flujo Se define el flujo deA a travs de la superficie S como }}- = +Ss d A,(1.42) Integral de superficie del producto de dos vectores3 3 El smbolo se usar para designar el producto punto de dos vectores. Superficie SVector unitario normal a SnaAS dna ds s d =,Superficie SVector unitario normal a SnaAS dna ds s d =,32 Notar que + es un campo escalar que depende del sentido en que se escoja el vector unitario na. Para superficies cerradas }}- = +SS d A Figura 22. Flujo en esfera cerrada. ii) Teorema de la divergencia }}} }}- V = -) (s Vdv A S d A (1.43) donde V es el volumen contenido por la superficie cerrada y V es el operador zkyjxicc+cc+cc= V en coordenadas cartesianas. SiE A = campo elctrico, entonces representa el flujo de campo elctrico. Interesa el caso de superficies cerradas. }}- = + S d E (1.44) 1.6.2 Ley de Gauss La ley de Gauss establece que el flujo de campo elctrico a travs de una superficie cerrada S es igual a la carga total encerrada por dicha superficie (QT) dividida por la constante c0. As: }}= - = +STQs d E0c, (1.45) Superficie cerrada Sna dS S d =ASuperficie cerrada Sna dS S d =A33 Dado que }}}=VTdV Q para una distribucin volumtrica entonces: oVSdvs d Ec}}}}}= -, (1.46) Ahora si aplicamos el teorema de la divergencia }}} }}} }}= - V = -V V SdV dV E S d E c01 dado que esto es vlido volumen V, entonces 0c= - V E (1.47) Esta ley provee un mtodo muy fcil para calcular el campo elctrico. Esusualdefinirelvector E D, ,0c =comoVectorDesplazamiento(yaveremosqueen medios materiales tiene un significado fsico importante), de modo que la ecuacin anterior se escribe como = - V D, (1.48)Esta ecuacin es la 1 Ecuacin de Maxwell. EJEMPLO 9. Calcule el campo elctrico en todo el espacio producido por una distribucin homognea de carga dispuesta en una esfera de radio R. Figura 23.Distribucin esfrica homognea de carga. Solucin: Para r > R 0cTQS d E = -}} ,con t334R QT=zSuperficie S, esfera de radio ryxuuRr ds s d =,rzSuperficie S, esfera de radio ryxuuRr ds s d =,r34 || ) ( || r Ees constante para r fijo y por simetra) (r Eapunta en la direccinren coordenadas esfricas, es decir, r r E r E ) ( ) ( =, luego }} } }- = -= =tt| u u| u u | u u20 022 sin ) ( sin sinr d d r r r E S d Er d d r r d r rd S d | | ) ( 4 cos 2 ) (sin ) ( 2 sin ) ( 22020202r E r r r Ed r r E d r r E

,

t u tu u t u u ttt t= == =} } Reemplazando oRr E rc tt32 34) ( 4 = rrRr Eo3) (23c= Para r < R tenemos: ) ( 42r E r s d E ,t = -}} y la carga encerrada por S es } } }=rdv Q020 0t t(1.49) Figura 24. Flujo superficie esfrica. tt u t u u t | u u tt t t344 ) cos ( 2sin 2 sin3020020 02020 02rdr r dr rdr d r dr d d rr rr r= = == =} }} } } } }

Luego 320 04 4 ( ) ( )3 3r rrEr Er rtt c c= =rSuperficie Si x,j y,k z,rSuperficie Si x,j y,k z,35 Grficamente: Figura 25. Campo de una esfera. As,deacuerdoalaFigura25elcampoesmximoenlasuperficiedelaesfera,desde donde decae en ambos sentidos. Esteejemplosirveparacomprendermejorelmodelodecargaspuntuales.Enefecto,si deseamoscalcularelcampoenlascercanasdeunacargapuntualdeberecurrirseaun modelo parecido al desarrollado eneste ejemplo, en donde se ve que el campo justo en el centro de la partcula es cero. Conviene puntualizar algunos aspectos de la Ley de Gauss: i) La ley de Gauss es til cuando hay simetra, o sea cuando se puede sacar la magnitud delcampoelctricoEdelaintegraldesuperficie,esdecir,cuandosepuedeefectuarla manipulacin ii) La ley de Gauss es vlida para todo el espacio. iii)Aplicarlarequiereciertadestreza(laqueselograconprctica).Porejemplo consideremos que tenemos una carga puntual en presencia de una distribucin en volumen comolamostradaenlaFigura26.Sedeseacalcularelcampoentodoelespacio.Una solucin simple consiste en aplicar superposicin. Figura 26. Superposicin aplicada. 1q1q= + 1q1q1q1q= + }}}} }}= = StotalS Ss dQE s d E s d E,, ,0c36 En este ejemplo no es posible usar directamente la Ley de Gauss en la configuracin inicial (ladoizquierdo)y,porotrolado,laintegracindirectaresultadegrancomplejidad.Sin embargo,alaplicarlasuperposicinseresuelvenseparadamenteloscamposparala situacindeunacargapuntualsola,yluegoladelaesfera.Elcampototalserlasuma directa (ojo: se debe usar el mismo sistema de referencia!) de ambos campos. 1.7 Potencial Elctrico Hemosvistoqueloscamposelctricossonoriginadosporcargaselctricas,yasea puntualesodistribuidasespacialmente.Introduciremosahoraelconceptodepotencial elctricoelcualestasociadoaltrabajoolaenergadeundeterminadocampoelctrico. Adicionalmente,esteconceptodepotencialelctricoentregaunamaneraalternativa,yen general ms fcil, para obtener el campo elctrico. 1.7.1 Trabajo de un Campo Elctrico Supongamos que deseamos mover una carga puntual q desde un punto (A) a otro (B) en presencia de un campo elctrico E como se muestra en la Figura 27 . Figura 27. Trabajo de Campo Elctrico. La fuerza que experimenta q debido al campo elctrico esE q F = , de modo que el trabajo que debe realizar un agente externo para moverdicha carga una distancia infinitesimall des l d F dW - =(1.50) El signo negativo indica que el trabajo lo hace un agente externo (por ejemplo un dedo empujando la carga). Si dW es positivo significa que el trabajo lo realiza el agente externo (o sea el campo elctrico se opone al desplazamiento de la carga en el sentido del d). Si AB0-qEl dAB0-qEl d37 dW es negativo significa que el trabajo lo ha realizado el campo elctrico (no ha sido necesario empujar con el dedo). Luego el trabajo (externo) realizado para llevar carga desde el punto A a B es: } }- = =BABAl d E q dW W (1.51) Dividiendo W por q se obtiene el trabajo por unidad de carga o, equivalentemente, la energa por unidad de carga. Esta cantidad, llamada VAB, se conoce como la diferencia de potencial entre los puntos A y B. As: (1.52)BABAWV E dlq= = -} Notar que: i) A es el punto inicial y B el punto final del desplazamiento. ii) Si VAB < 0 el campo elctrico es quien hace el trabajo (hay una prdida en la energa potencial elctrica al mover la carga desde A a B). En caso contrario es un agente externo quien ha realizado el trabajo iii)VAB se mide en [J/C], lo cual se denomina Volt [V]. Por ello es comn expresar el campo elctrico en [V/m] EJEMPLO 10. Supongamos una carga Q fija en el origen y una segunda carga q ubicada a una distancia rA. Se desea calcular el trabajo necesario para llevar esta segunda carga a una distancia rB segn se muestra en la Figura 28. Calcule adems VAB. Figura 28.Trabajo carga puntual. Solucin: Campo:rrQE 420tc=(1.53) Trabajo: }- =BAl d E q W (1.54) BQqAr dr l d =ArBrBQqAr dr l d =ArBr38 ((

=((

= = - =} }A Brrrrrrr rQqrQq Wrdr Qq r rrQdrq WBABABA1 14144 40 02020tc tctc tc Notar que si r A < r B (como en la Figura 28) el valor de W resulta negativo si q y Q son del mismo signo. Sabemos que para este caso las cargas se repelen, por lo tanto el campo de Q es quien realiza el trabajo (y no un agente externo). La expresin para la diferencia de potencialVAB es ((

= =A BABr rQqWV1 140tc(1.55) Esta expresin no depende de q sino que de la carga que produce el campo E,, en este caso Q. Este resultado permite definir de manera ms general el potencial elctrico como veremos a continuacin. 1.7.2 Definicin de Potencial Elctrico Para el ejemplo analizado anteriormente VABrepresenta el trabajo por unidad de carga que esnecesariorealizarparallevarunacargaentrelospuntosAyB.Sidejamosvariableel punto B se genera la funcin((

=AAr rQr V1 14) (0tc (1.56) esta funcin permite evaluar el trabajo por unidad de carga que es necesario realizar para llevar una carga desde la posicin Ar a cualquier lugar definido por el vector r.Si ahora hacemos tenderrA , obtenemos || || 414) (0 0rQrQr Vtc tc= = (1.57) Esta expresin representa el trabajo por unidad de carga que es necesario realizar para traer desde el infinito una carga hasta la posicinr, cuando existe una carga Q en el origen (la cargaqueproduceelcampoelctricoE,).Estaexpresinsedefinecomolafuncin potencialelctricodelacargaQycorrespondeauncampoescalardefinidoentodoel espacio. Para generalizar este resultado consideremos la situacin de la Figura 29. 39 Figura 29. Potencial elctrico carga puntual. As, en un sistema de referencia cualquiera la expresin general para elpotencial elctrico asociado a una carga q en la posicinr 'es || ' ||14) (0r rqr V ,=tc [V] (1.57) Dado que V es una funcin lineal con la carga, tambin aqu se cumple la propiedad de superposicin, i.e., para n cargas nq q q ,..., ,2 1 se cumple: || || 4...|| || 4 || || 4) (0 2 021 01nnr rqr rqr rqr V + ++=tc tc tc = || || 4) (0 kkr rqr V ,tc(1.58) Anlogamente al caso del campo elctrico, para distribuciones continuas de carga se tiene }}}=Vr rdqr V|| ' ||'41) (0 tc (1.59) y dependiendo de la distribucin de carga es0001 ( ') '( ) (1.60)4 || ' ||1 ( ') '( ) (1.61)4 || ' ||1 ( ') '( ) (1.62)4 || ' ||rSVr drVr Para linealr rr dSVr Para superficialr rr dVVr En volumenr rtcotctc===}}}}}} Donde,oycorrespondenalasdensidadesdecargalineal,superficialydevolumen, respectivamente (campos escalares en la variabler '). EJEMPLO 11. Se tiene una lnea de largo l con distribucin de carga cte en el eje z.. Se pide demostrar queelpotencialproducidoporestadistribucinlinealdecargaenelplanomedianero (x,y,0) puede escribirse como: 01 sinln4 1 sinV otc o+ | |= |\ .(1.63) donde o2ltg = eselradiodesdeelorigenaunpuntocualquieradelplanomedianero.Expreseel resultado en coordenadas cartesianas. q' rrq' rr40 Solucin: Consideremos la Figura 30. dl x y z u z o l/2 - l/2 r dl x y z u z o l/2 - l/2 r Figura 30. Potencial lnea cargada. Los vectores son j i j y i x y x rsincos ) , ( | | + = + = =,k z r' ' = luego,( ) ( )} }= =+=+ += 2 /2 /2 / 12 202 / '2 / '2 / 12 2 20 ''4''41) , (lll zl zzdzz y xdzy x Vtc tc Haciendo el cambio de variable u u u d dztg z2sec ''== se tiene | |212121) ln(sec4) , (sec41sec4) , (002 / 1220uuuuuuu utcu utcu u utctg y x Vdtgdy x V+ ==+=} } ( ) | |( ) | |((

+= + =((

||.|

\|+ |.|

\|+ = + + == = = =ootco otcooo ooo tco o o otco uuo uusen 1sen 1ln4) , () sen 1 ln( sen 1 ln4) , () cos() sen() cos(1lncossencos1ln4) , () tg( ln(sec tg sec ln4) , (2tg2tg00002 21 1y x Vy x Vy x Vy x Vll De la geometra de la Figura 30 se cumple 41 ( ) | |2 / 12 22 /2 /seno+=ll, luego ( ) ( )( ) | |( )( )( )( ) (((

+ ++ + += (((

++ +=((((((

((((((

+++=2 / 4 /2 / 4 /ln4) , (2 / 4 /2 / 4 /ln42 /2 /12 /2 /1ln4) , (2 / 12 2 22 / 12 2 202 / 12 22 / 12 202 / 12 22 / 12 20l l y xl l y xy x Vl ll llllly x Vtctctc 1.7.3 Relaciones entre Potencial y Campo Elctrico A partir de las relaciones de trabajo desarrolladas para cargas puntuales habamos visto que la funcin potencial entre dos puntos A y Bcorresponda a }- =BAABl d E V y haciendo B = ryA ,obtenamos la funcin potencial como } +- =rl d E r V ) ((1.64) donde V(r=)=0 En el caso general el potencial puede no ser nulo para r (por ejemplo cuando hay distribuciones de carga infinita). Recordemos que la definicin obtenida a partir del trabajo nos conduca a la expresin }- = =BAB A ABl d E V V V que representa el trabajo por unidad de carga para trasladar una carga desde el punto A al B. Por lo tanto al dejar variable el punto A=r, la expresin del potencial queda ) ( ) ( B r V l d E r VrB= + - =} El valor que adquiere) ( B r V =es llamado referencia o potencial de referencia (o voltaje de referencia Vref). Por ello, la expresin general del potencial elctrico es refrrefV l d E r V + - =} ) ( (1.65) Notar que dado que es un valor constante, al calcular el trabajo entre dos puntos cualquiera secancela.Parasimplificarlanotacinescomnasignarunvalornuloalareferencia,es decir,0 refV . 42 Del desarrollo anterior se cumple la relacin ) ( ) ( r E r V = V (1.66) El campo elctrico se obtiene a partir del gradiente de la funcin potencial. EJEMPLO 12. ConsidereunadistribucindecargalinealinfinitasegnsemuestraenlaFigura31. Calcule el potencial en todo el espacio. Figura 31. Campo y potencia de lnea cargada. Solucin: Aplicando gauss a la superficie S tenemos rh r E S d Er dz rd r r E S d Er dz rd S ds QS d EhoTtuuct2 ) ( ) () (20 0}}} } }}}}= - - = - == -, , ,, Por otra parte, la carga total encerrada es 0) ( h s QT= . Luego, en coordenadas cilndricas el campo vale 002E rrc t= Apliquemos ahora la definicin de potencial elctrico. Srhi x,j y,k z,Srhi x,j y,k z,43 refrrefV l d rrr V + - =}2) (00t c escogiendo un radio para realizar la integral de lnear dr l d =. Por lo tanto,

refrrefV drrr V + =}t c002) ( refV ref r r V + = ) / ln(2) (00t c Analizandoestaexpresinvemosqueelpotencialenelinfinitonoesnulo,yaquela funcin potencial diverge. Por ello, se escoge la referencia para un valor arbitrario de r. Por ejemplo,parar=refhacemosVref=0.As,laexpresinparalafuncinpotencialdeesta distribucin infinita de carga queda finalmente, ) / ln(2) (00ref r r Vt c = 1.7.4 Ecuacin de Laplace y Poisson Habamos visto que) ( ) ( r E r V = V Tomando la divergencia a ambos lados obtenemos ) ( )) ( ( r E r V- V = V - V (1.67)

Si usamos la 1 ecuacin de Maxwell llegamos a 0)) ( (c = V - V r V(1.68) 02) () (crr V = V (1.69) ecuacin de Poisson. Cuando no hay carga tenemos: 0 ) (2= V r V(1.70) ecuacin de Laplace. El operador V2 se conoce tambin como el Laplaciano. En coordenadas cartesianas es 22 2 222 2 2 (1.71) V V VV i j k i j kx y z x y zV V VVx y z| | | | c c c c c cV = + + - + + ||c c c c c c\ . \ .c c cV = + +c c c En coordenadas cilndricas es44 2222221 1) , , (zV V Vz Vcc+cc+||.|

\|cccc= V| | y en esfricas su expresin es 222 2 2222sin1sinsin1 1) , , (| u uuu u| cc+|.|

\|cccc+||.|

\|cccc= VVrVr rVrr rz V As, el Laplaciano de un campo escalar es tambin un campo escalar. HemosdemostradoqueelpotencialelctricosatisfacelaecuacindePoissonenlas regiones donde existen fuentes de cargay satisface la ecuacin de Laplace en las regiones sincarga.Adicionalmenteserequieredefinircondicionesdebordepararesolverlos sistemas de ecuaciones diferencialesresultantes.As, una manera alternativa de obtener el campoelctricoesresolverlaecuacindeLaplace(oPoisson)cuandoseconocen(ose pueden inferir) las condiciones de borde. EJEMPLO 13. Para la configuracin de laFigura 32 se sabe que el potencial en los planos semi-infinitos definidos por V(|=0, , z) = 0 yV(|=t/6, , z) = 100 V. Se pide calcular el potencial y el campo para la regin entre los semiplanos (no incluido el eje z, o sea = 0). Figura 32. Potencial entre placas. Solucin: Claramente V depende slo de |, por lo que la ecuacin de Laplace en este caso es 222 21( ) 0 (1.72)VVr |cV = =c Dado que =0 esta excluido del clculo esta ecuacin se convierte en |=t/6xyz|=t/6xyz45 220 (1.73)V|c=c cuya solucin es de la formaB A V + = |.Aplicando las condiciones de borde obtenemos para |=0 el potencial V=0, es decir, B=0.Usando la otra condicin de borde para |=t/6 tenemos tt6006 / 100= =AA Luego el potencial es

|t600= V y el campo|| 1) ( ) (cc = - V =Vr V r E |t600) ( = r E 1.7.5 Campo Elctrico Conservativo Otra propiedad importante de los campos elctricos se obtiene a partir de la propiedad matemtica asociada a un campo escalar ) (r f, los cuales satisfacen la identidad 0 ) ( = V V f.(1.74) As, dado que ) ( ) ( r E r V = V 0 = V E en electrosttica4. Luego, para una superficie S cualquiera del espacio se cumple 0 = - V}}s d ES(1.75) y aplicando el teorema de Stokes } }}- = - V) (S C Sl d E s d E, ,(1.76) Donde C(S) es el contorno que limita a la superficie S. Podemos escribir entonces 0) ( ) (= = - = -} }Wneto l d F l d E qS C S C, , , ,(1.77) 4 Veremos luego que esto cambia cuando los campos son variables en el tiempo. 46 Esteresultadoimplicaqueeltrabajonetorealizadoporelcampoelctricoenuna trayectoriacerradaesnulo.Esdecir,lafuerzaprovenientedeuncampoelectroestticoes una fuerza conservativa. Ahora veremos los campos elctricos en la materia. Pero antes debemos definir el concepto de dipolo, el cual es la base para esos estudios. 1.8 Dipolo elctrico 1.8.1 Definicin Dipolo Un diplo elctrico se compone de dos cargas idnticas pero de signo contrario, las cuales se encuentran forzadas (por algn medio) a mantener distancia d constante entre ellas, tal como se muestra en la Figura 33. Figura 33. Dipolo elctrico. Sedefine r qd p =,(1.78)comoDipoloelctricooMomentodipolar.Notarquelasuma netadelascargasdeundipolodebesernulayqueelvector p,apuntadesdelacarga negativa hacia la positiva. Las unidades del dipolo son [C-m]. 1.8.2 Potencial Elctrico de un Dipolo Consideremos la configuracin de la Figura 34 donde r1 es la distancia de Q a P y r2es la distancia deQ a P. -qqdr-qqdr47 Figura 34. Potencial de un dipolo. El potencial de esta configuracin evaluado en el punto P es: 2 11 202 1 0 2 0 1 04) (1 14 || || 4 || || 4) (r rr rQr Vr rQrQrQr V, ,, , , ,=||.|

\| =+ =tctc tc tc Interesa el caso cuando r1, r2>>d, o sea, cuando podemos aproximar 22 12 22 1) )( ( r r r r r r r r ~ - A = A + A ~ -

Adems,2 120coscos( ) (1.79)4r r dQ dVrruutc = ( = ( Dado quer k d d cos - = uy si definimosk d d= y d Q p,=, la expresin del potencial elctrico producida por el dipolo se puede escribir como 20|| || 4) (rr pr V,tc-=(1.80) En el caso general, el dipolo esta ubicado en un punto cualquiera' r (vector que define la posicin del punto medio del dipolo) como en la Figura 35. d-PQuuu-Qi x,j y,k z,1r,r,2r,u u cos ' ' cos1 2d d r r = ~ , ,d-PQuuu-Qi x,j y,k z,1r,r,2r,u u cos ' ' cos1 2d d r r = ~ , ,48 Figura 35. Potencial del dipolo en sistema de coordenadas arbitrario. En este caso el potencial elctrico tiene la forma 30|| ' || 4) ' () (r rr r pr V -=tc(1.81) EL campo elctrico de un dipolo se calcula a partir de V E V =. EJEMPLO 14. Calcule el campo elctrico de un dipolok p p=ubicado en el origen como se muestra en la Figura 36. Figura 36. Campo elctrico dipolo. Solucin: 20304cos) (|| ' || 4) (0 'rpr Vr rr pr Vrtcutc=-== Sabemos queV E V =, y en coordenadas esfricas Q-Qi x,j y,k z,r' rpQ-Qi x,j y,k z,r' rp-QQ ui x,j y,k z,r|-QQ ui x,j y,k z,r|49 ((

cc+cc+cc= V || uuu11VrsinVrrrVV V solo depende de r y u, luego ( ) ( ))sin cos 2 (4sin41 24cos302030u u utcu utc tc u+ = + = VrrpErprr rpV El campo resultante no depende del ngulo azimutal, ya que la configuracin presenta simetra segn |. Adems, para el caso u = 90 el campo slo tiene componente segn u, es decir es perpendicular al plano x-y. Parapuntosmuyalejadosdeldipoloelcampoelctricoyelpotencialdisminuyenconla distancia segn las expresiones 2 31) ( ,1) (rp Vrp E As,suefectodecaerpidamenteconladistancia(unexponentemayorqueenelcasode cargas puntuales). 1.8.3 Dipolo de un Conjunto de Cargas y Distribuciones Por extensin, tambin se define el momento dipolar para el caso en que se tiene un conjunto de cargas nq q q ,..., ,2 1tal que su suma neta en nula, i.e.,01==nkkq , tal como se muestra en la Figura 37. Figura 37. Dipolo de sistema de cargas. Para este sistema se define el momento dipolar elctrico como: ==nkk kr q p1 Claramente para n=2 se tiene 2 2 1 1r q r q p + = , peroQ q q = =2 1, entonces d Q r r Q p = = ) (2 1segn habamos visto. Notar que no depende del origen. O1r2rnr1q2qnqO1r2rnr1q2qnq50 Para el caso general de una distribucin volumtrica de carga el momento dipolar asociado es ' ' ' ( ') p r dq r r dv O= =}}} }}} O O )'( r 'r r O O )'( r 'r r Figura 38. Dipolo de distribuciones de carga. EJEMPLO 15. Se tienen 8 cargas dispuestas como en la Figura 39. Se desea saber el efecto de agregar una novena carga Q al sistema. Figura 39. Dipolo de 8 cargas. Se sabe que las cargas satisfacen las relaciones = =81 iiq Q(1.82)y8Qqi = (1.83) Se pide calcular el momento dipolar en los casos: a)Carga Q se ubica en el centro del crculo, b)Carga Q se ubica en la posicin x = -d/4. Donde d es el dimetro del crculo. Solucin: d/21q2q3q4q5q6q7q8qd/21q2q3q4q5q6q7q8q51 a) Tomando el centro del crculo como origen del sistema de referencia se tiene 0 081= + ==Q r q pii i . (1.84)En este caso no existe momento dipolar. b) En este caso Figura 40. Dipolo 9 cargas. El momento dipolar esidQ pidQ r q pi i44 =|.|

\| + = (1.85) Luego podemos reemplazar esa distribucin por el dipolo: Figura 41. Dipolo equivalente. d/41q2q3q4q5q6q7q8qi x,j y,Qd/41q2q3q4q5q6q7q8qi x,j y,Qi x,j y,Q -Qid4i x,j y,Q -Qid4(1.85) 52 Esto es lo que se vera desde una distancia 4dr )) . Propuesto. Calcular el torque sobre un dipolo en presencia de un campo elctrico. 1.8.4 Potencial a grandes distancias Habamos visto que para distribuciones en volumen el potencial elctrico es }}}=|| ' ||) ' (41) (0r rdv rr V tc Nos interesa evaluar la situacin para el caso en que ' r r )), donde es posible expandir el termino '1r r en serie de la forma: +-+ =3' 1'1rr rr r r ....Trminos de Orden Superior y reemplazando en la expresin del potencial TOSrp rrQr VTOS v d r rrrdv rrr VTOS v d rrr rdvrrr VTotal+-+ = + ' '-+ ~+ '-+ ~ }}} }}}}}} }}}30030 030 044) () ' (41' ) ' (141) () ' ('41') ' (41) ( tctctctctctc Claramente el primer trmino corresponde al potencial de la carga concentrada en un solo punto, mientras que el segundo trmino corresponde al potencial de un dipolo. En general cuando se tiene una distribucin de carga vemos: i)Desde muy lejos, solo la carga total ii) Desde ms cerca, pero lejos todava, dos cargas, es decir, un dipolo iii) Desde ms cerca an, cuatro cargas, cuadripolo,iv) etc. Larelacinconladistanciadeloscamposypotencialelctricodelasdistintas configuraciones se muestran en la siguiente Tabla: 53 Tabla 1. Campos en configuraciones multipolares. ConfiguracinPotencial ElctricoCampo Elctrico Una carga q- 1r 1r2 Dos cargas q- (Dipolo)-q- 1r2 1r3 Cuatro cargasDos dipolos q- -q- -q- q- 1r3 1r4 54 1.9 Problemas Resueltos PROBLEMA 1 Se tiene una esfera de radio 100 cm que tiene una distribucin volumtrica de carga dada por( ) | |303/5003m Crr c =,. Se desea anular el campo en elcasquete ubicado a 90 cm del centro. Para ello se dispone de las siguientes alternativas: a)Una carga que debiera ubicarse en el origen. Indique monto de la carga. b)Un casquete esfrico de radio 50 cm con densidad superficial de carga constante o . Indique el valor deo . c)Un casquete esfrico de radio 150 cm con densidad superficial de carga constanteo . Indique el valor deo . Solucin: La idea es con las distintas alternativas provocar un campo elctrico que anule el de la esfera parar = 90cm, es decir que tenga el mismo valor absoluto pero distinto signo que el provocado por la esfera para ese mismo radio. PrimerocalculamoselcampoalinteriordelaesferautilizandoLeydeGauss. ConsideremosquelaesferaposeeradioR,yqueladensidaddecargadelaesferaes 3( ) r kr =donde c05003= kDebidoalanaturalezadelproblemaconvienetrabajarencoordenadasesfricas ) ' , ' , ' ( u r , donde:-' res la distancia al origen. -' ues el ngulo azimutal. -' es el ngulo superior. Luego, 2' ' ( ) dS r sen d d u = y2' ' ( ) dv r sen drd d u ' = Figura P.1.1 S(r) r R ) (r,' ' u' r55 Queremos calcular el campo elctrico al interior de la esfera para cualquier radio, el que definir una superficie S, por lo tanto calculamos para r < R Tenemos que 0) (cS QS d ETotaLS=}}, , La carga encerrada por la Superficie S es}}}O' =) () ( ) (STotaLv d r S Q,u ttd d r d sen r r K S QrTotaL ) ( ' ' ) (220 0 03' = } } } 6 600'( ) 2 cos( ) 4 6 6rTotaLr rQ S K Ktt t ( (= =( ( Luego6 4 ) (6rK S QTotaLt = . 066 4 ctrK S d ES=}}, , Por simetra esfrica, podemos suponer que el Campo Elctrico es radial: ( ) ( ) E r E r r =Lugo, el flujo elctrico es: 2 ( ) ' ( ) S SE dS E rr r sen d d r u =}} }} Y 2 2( ) ' ( ) ( ) ( ) S SE rr r sen d d r E r r r sen d d r u u =}} }} 2( ) 4 E r r t = 604 6rK tc= 40 ( ) 6rEr K rc = (Campo en el interior de la esfera).Debemos anularlo para la distancia de 0.9 mt. Examinemos las alternativas: a)Supongamos una carga Q en el centro de la esfera, con Q por determinar.

Figura P.1.1.1 Q ElCampoelctricoproducidoporuna Carga puntual, ubicada en una posicin r ',, sobrer,es: 30( )( )4 Q r rErr rt c' =' Conr ',= 0 yr, = r rtenemos que 20( )4 QQ rE rr t c= ) (r,56 Por el Principio de Superposicin, tenemos que:( ) ( ) ( )T Esfera QE r E r E r = +para todo r < 100 cm. Enparticular,estoesvlidoparar=90cm.Designaremoscomor1aesteradio particular. Determinaremos el valor de Q tal que,( ) 0TE r =, parar = r1. 4120 0 1( ) 06 4 Tr Q rE r K rr c t c= + = . Entonces, 4120 0 1 6 4 r Q rK rr c t c =Finalmente,614 6K rQt= Reemplazando con los valores numricos: | |145, 910 Q C= b)Consideremosunradior2=50cm.,ElCampoelctricoalexteriordeuncasquete uniformementecargadoconunadensidadsuperficialdecargao ,localculamospor Gauss: Figura P.1.1.2 Por lo tanto, 2204 SrE dSo tc=}} y por simetra esfrica,( ) ( ) E r E r r =2 ( ) 4SE dS E r r t =}} 22 204 ( ) 4rEr ro ttc=2220 ( ) CasqueterE r rroc| |= |\ . Por el Principio de Superposicin, tenemos que:( ) ( ) ( )T Esfera CasqueteE r E r E r = + para todo r < 100 cm. r or2 0( )TotaLSQ SE dSc=}} La carga total encerrada por la superficie S , de radio r2 es; ( ) TotaLSQ S dS o ' = }} Comooes constante, 22 4 SdS r o o t ' =}} 57 Enparticular,estoesvlidoparar1=90cm..Determinaremoselvalordeotalque,1( ) 0TE r = . 1 1 14 21 220 0 12 42 120 1 06122( ) ( ) ( ) 06 66T Esfera CasqueteE r E r E rr rK rrr rKrrKroc coc co= +| | + = |\ . = = Reemplazando los valores numricos:1421,88 10Cmo (= - ( c)Consideremosunradior3=150cm.,Elcampoelctricoprovocadoporuncascarnuniformemente cargado al interior de ste es nulo, pues la carga encerrada al aplicar la ley de Gauss ser cero. Vemoslo matemticamente: Figura P.1.1.3 No existe tal que el campo elctrico en r = 90cm sea nulo. o r3 r Para r < r3 0) (0= = }}STotalS QS d Ec, Entonces:( ) 0CasqueteE r = Conestoseobservaquecualquiercasquetecon algunadensidaddecarga,cualquieraqueesta sea,noprovocarcampoelctricoalinteriorde el,porlotantonopodremosanularelcampoen algnr,enparticularr=90cmconesta alternativa. 58 PROBLEMA 2 Se tiene un disco circular de radio a cargado con una densidad superficial de carga 0ocomo se muestra en la figura P.1.2 Se pide: a)Calcular el potencial en el eje z. b)Calcular el campo en el eje z. Solucin: Figura P.1.2 Los lmites de integracin sern( ) a , 0 e ' y( ) t u 2 , 0 e ' . Entonces( )12 22r r z ' ' = + Luego: a)RecordandoquelafrmulaparaelPotencialElctricodeunadistribucin superficial de carga es: }}'' '=Sr rS d rr V, ,,, ) (41) (0otc Paranuestrocaso(trabajandoencoordenadas cilndricas): 0( ) r o o ' = r z z = r ' ' = u ' ' ' = ' d d S d Z 0o

u

59 ( )( )( )( )( )( )2012 20 0 0 2012 20 0 2012 20 0 212 2 02002 2 002 2 00 1( ) 42 4222( )2aaaad dVz zzdzdzza z zVz z z a zto utcto tco cocococ'='=' ' '=' +' '=' +' '=' +' = += + = +} }}} b)

( )2 2 0002 20( ) ( )( )2( ) 2Er VrEr z a z zzz zEr zza zococ= V c = + `c )| | = | |+\ . PROBLEMA 3 LafiguraP.1.3muestrauntuboderayoscatdicoscomolosusadosenlos televisores. El tubo produce un flujo de electrones que entran con una velocidad inicial de v0enladireccinhorizontal,aunespaciolimitadoentredosplacas.Estasplacastienen densidades superficiales de carga dadas por +oy -o , lo cual provoca un campo elctrico perpendicular a ellas. A una distancia L de las placas se encuentra una pantalla de largo 2S. Determine lo siguiente: a)La velocidad con que los electrones salen de la regin entre las placas (considere velocidad en las dos direcciones). b)La condicin sobre la distancia L para que ningn electrn salga de la pantalla (de largo 2S). Datos:d = 20e-7 m.M = 9.107e-31 Kg. W = 3 mq = 1.602e-19 C o= 10e-21 C/m2 0c = 8.854e-12 F/m 60 S = 10 cmv0 = 3e+4 m/s. Figura P.1.3 Indicacin: Considere que el campo elctrico es cero fuera de la regin entre las placas. Considere asimismo, que existe gravedad. Solucin: F ma = Donde elctrica pesoF F F = + dentrodelazonadeplacas.ComoelctricaF q E = ,debemos calcular el Campo elctrico producido por las placas paralelas. Debidoaqueelanchowdecadaunaplacasesmuchomayor,quelaseparacin entre ellas, d, podemosconsiderar que el Campo es el producido por la superposicin dedosplacascondensidaddecargadesignoopuesto.Paradeterminarelcampo elctricoenestazona,necesitamossaberelproducidoporunaPlacacargadaconuna densidadouniforme. Figura P.1.3.1 Si a, entonces0( ) 2zEr zzc= , lo cual equivale a: z r E ,,2) (0c= , si estamos sobre el Disco,y z r E ,,2) (0c = , si estamos bajo el disco, suponiendo que estrictamente positivo. d LW -oV0 ox S S Considerandoundiscodelgadoderadioacon densidaddecargauniforme ,sesabequeel campo elctrico en el eje Z es: 2 20( ) 2z zEr zza zc| |= | |+\ .(problema anterior) Z 61 Enelproblemautilizaremoslosejesx,yconlosvectoresunitariosi, j, respectivamente. Figura P.1.3.2 Figura P.1.3.3 0 elctricaqF q E joc= = Seaq Q =Tal que| |191, 60210 Q C = Comocondicininicial,podemossuponerqueloselectronessalenporelmediodela zona de placas, con velocidad solo en la horizontal. o + o v0 d wL S S X j Para este sistema de placas,EnlasregionesIyenIIIloscamposseanulan(por leydegausscargatotalencerradanula).EnIIse refuerzan,esdecirsesumanlosefectosdeambas placas,quedandouncampoquevadelaplacacon carga positiva, a la placa con carga negativa. Luego, 0( ) Er joc= ,si|.|

\| e2,2d dyd/2 -d/2 o +o I II III 62 Con esto: elctrica pesoF F ma + = 0 Qm gj j m xi m yjoc + = + Ecuaciones de movimiento: Segn i: De la ecuacin anterior, vemos que no hay fuerzas que acten sobre el eje X 0 = x m` ` 0v cte x = = `1 0 ) ( C t v t x + = Como x(t=0)=0C1=0 t v t x ) (0= . Existe un tiempo t1 tal que x(t1) = w; Entonces v0 t1=w: luego: 01vwt = Segnj : Ambas fuerzas (elctrica y de gravedad) actan sobre el eje Y 02 20020( ) ( 0) 0, 0( )( ) 0 ( 0) 0 2oQm y mgQy gmQy t g t C como y t CmQy t g tmQ ty t g pues y tmocococococ= + = | | = + = = = |\ .| | = |\ .| | = + = = |\ . Evaluando en ovwt =1 (tiempo que demora un electrn en salir de las placas) 10 0( ) Q wy t gm voc| |= |\ . .21 20 0( ) 2Q wy t gm voc| |= |\ . De esta manera, hemos encontrado tanto la posicin de salida, como la velocidad de salida del sector de las placas bajo loscampos elctrico y gravitatorio. 63 Luego:jvwgmQi v vsalida 0 00||.|

\| + =co , b)Necesitamos ahora las ecuaciones de las partculas a partir del instante en que dejan las placashastaquelleganallapantalladelargo2S.Paraestasnuevasecuacionesya tenemoslascondicionesiniciales,lasquevienendadasporcontinuidad,porlas ecuaciones antes encontradas. 00 0 ( 0) Q wvt v i g jm voc| |= = + |\ . 220 0( 0) 2Q wrt wi g jm voc| |= = + |\ . El electrn se ve afectado por una nica fuerza, la que corresponde a la fuerza de gravedad pesoF ma = m x i m y j m gj + = Segn i: No hay fuerzas segn x 0 m x = 0v cte x = = `1 0 ) ( C t v t x + = ; Como w t x = = ) 0 ( C1=w w t v t x + = ) (0. Existe un tiempo t2 tal que x(t2) = L Luego: 02vLt = Segnj : Tenemos solo la fuerza de gravedad g m y m = ` ` g y = ` `3) ( C t g t y + = ` Aplicando la condicin de borde 64 30 0) 0 ( CvwgmQt y =||.|

\| = =co`

0 0 ) (vwgmQt g t y||.|

\| + =co` Ahora, determinamos la posicin: 40 022 ) ( Cvt wgmQ tg t y +||.|

\| + =co 202042) 0 (vwgmQC t y||.|

\| = = =co

2020 0 022 2 ) (vwgmQvt wgmQ tg t y||.|

\| +||.|

\| + =coco Con el tiempo t2 tenemos que la partcula impacta en la pantalla. Existen dos casos 2( ) y t S = e 2( ) y t S = . Para los valores dados, el caso 2( ) y t S =no tiene solucin. Por lo tanto, se analiza el caso 2( ) y t S = con02vLt = . 2 22 2 2 20 0 0 0 0 0 2 2L L Q wL Q wy t g g g Sv v m v m vo oc c| | | | | |= = + + = |||\ . \ . \ . Despusdepocodetrabajoalgebraico,sellegaaunaEcuacindeSegundogrado para L: 22 2 00 02 2 1 1 0 S v Q QL L wg w gm m go oc c| | | | + + = ||\ . \ . Paradiscernirdatossobreestaecuacin,sustituimoslosvaloresentregados,enel Discriminante,resultandoesteserpositivo.Porello,estaecuacinposeeRacesRealesy Distintas.Tomaremoslaqueseapositiva,oenelcasodequeambasseanpositivas,lade menor mdulo. 65 22 01,20 0 08 1 1 4 1 2 S v Q Q QL w g w g gm g m mo o oc c c| | | | | |+ + |||\ . \ . \ . Para los valores del problema, la solucin que nos sirve, es: | |4343, 944 L m = Como comentario: A pesar de que sea un valor muy alto, es razonable, debido a la casi nula masa del electrn y su velocidad muy alta. PROBLEMA 4 Considere el sistema de la figura P.1.4, el cual se compone de dos planos infinitos, separados a una distancia d, conteniendo densidades de carga o0 y -o0,respectivamente. Entre los planos se ubica una esfera slida que contiene un material cargado el cual puede superponerse con una distribucin volumtrica constante 0. Se pide: a) Calcular el campo elctrico en el centro de la esfera. b)CalcularelcampoelctricoenunpuntoAsituadoenelplanomeridianoauna distanciaL del plano derecho. c)Siunapartculadecargaqymasamseubicaaunadistanciaodelcentrodelaesfera en el eje z, (no importa direccin). Calcule la ecuacin de movimiento de la partcula y obtenga la posicin en el eje Z en funcin del tiempo. Figura P.1.4 Solucin: A 0 o0 o0 i J k 66 a)Loprimeroserencontrarloscamposprovocadosporlasplacasylaesferapor separado para as por superposicin encontrar el campo total. En este caso buscamos el campo entre las placas dentro de la esfera. Utilizando un resultado del problema tres, tenemos que para unaplacas el campo elctrico est dado por:

00( ) 2yEr jyoc=Para este caso Placa 1: Consideramos la placa con carga positivaparay mayor que cero 00( )2Er joc = Placa 2: Consideramos la placa con carga negativa para y menor que cero 0000( ) ( )2( )2Er jEr jococ = = Esfera: La esfera genera un campo con dependencia radial ( r ).Utilizando la ley de Gauss (para r < d/2) obtenemos que: 2 3 00004( ) 433Er r rE r rt tcc = = - Evaluando esta expresin en el origen obtenemos que0 =esferaE Finamente tenemos el campo total estar dado por: 01 2 total plano plano esferaoE E E E joc= + + = b)Debemos calcular el campo para un punto A como se muestra en la figura P.1.4 67 Placas:Ambasplacasproducencamposensentidosopuestos,porloqueseanularnen cualquierpuntoquenoestentrelasplacas,estoseapreciaenlafiguraP.1.4.1.Paraun punto a la derecha de ambas placas

Figura P.1.4.2 Luego el nico campo que aporta es el producido por la esfera. Esfera: Utilizaremos la ley de Gauss para calcular el campo. Ocupando 0cencQS d E = -}} , calculamos el campo producido por ella: 2030304 ) (6 2 34r r E S d Ed ddV Qcasqueteesferaencttt = =|.|

\|= =}}}}} Con ello concluimos que el campo fuera de la esfera esrrdE 240203c= ElpuntoAseencuentraaunadistanciaLdr + =2delcentrodelaesfera. Luego reemplazando este valor en la expresin del campo se obtiene que: rLddE 2240203)` |.|

\|+=c c) Tenemos que : a m F =donde A o0 o0 i J k 68 0 00 00 0( ) ( / 2) ( / 23)placa placa F qE con E Er z E x d E xE k jdzo o oc c = = = + = + == + (Notar que en r = z k r =) separando por componentes, se obtiene: Eje z: 003q zmzc =Se propone la solucin de la forma: 2 00), (0) , (0( ) cos(( )) 03( )z tqt Azzcos tzte |e oo e+= = === PROBLEMA 5 EnlaFiguraP.1.5semuestraunadistribucinlinealdecarga0,infinita,lacuales rodeadaporladistribucinvolumtricadecarga,queencoordenadascilndricastienela forma 0( , , ) r zr u = ,lacualseextiendehastaunradior=a.Entreambasdensidades existe la relacin 0 02 a t = a)Calcule el campo elctrico en todo el espacio b)Calcule el potencial elctrico en todo el espacio 0 00 0 3zF q k i ma oc c| |= + = |\ .69 Figura P.1.5.1 Solucin: a)Calcularemosloscamposelctricosproducidosporambasdistribucionesdecargapara luegoencontrarelcampototalporelprincipiodesuperposicin,esdecirelcampototal ser la suma de ambos. Para la distribucin lineal }}= oenc Qs d Ec,,con r r E r E ) ( ) ( =, En la integral: }} }} }} = = = Manto MantorL r E ds r E ds r E s d E t 2 ) ( ) ( ) (,, Pero:Qenc = 0 L Entonces podemos escribir: rr ELrL r Eooootc ct2) (2 ) (= = Entonces el campo elctrico producido por la distribucin lineal: 70 rror Eo2) (tc=, Ahora, para la distribucin volumtrica: }}= oenc Qs d Ec,,con r r E r E ) ( ) ( =, Tenemos dos casos: 1) Para r a < 020 0 0 00012( ) 2( )encL roooQEdsrdrd dz E dsrrLEr rLEr rtcucttcc= = = =}}} } } }} Pero: oooo o oar Eaac t t t = = =2) (22 2) Para r > a 71 020 0 0 00012( ) 2( )encL aoooQEdsrdrd dz E dsraLEr rLaEr rrtcucttcc= = = =}}} } } }} Aplicando nuevamente la relacin entre las densidades ( )2 ooEr rrtc = Finalmente el campo en todo el espacio est dado por: ( ) 2 20o oo or Para r aEr r aPara r a tc t c| | < |=\ . > b) Para calcular el potencial se sabe que: V r d E A = },, con r dr r d =, 1) Para r < a 1( ) ( ) ( )2 21 1( )2(ln( ) ln( ) 1) ( )2raro oaroaoV r Edr Vao or drr Var aodr Var ao rr a Vaa tc t ctctc= +| |= + |\ .| |= + |\ .= + +}}} 72 2) Para r > a 22 ( ) ( ) 0 ( )( ) constante ( )raV r Edr Va drr VaV r Va= + = += =} } Donde el voltaje V(a) es el voltaje de referencia que debiera ser un dato. Finalmente el potencial en todo el espacio es: 1(ln( ) ln( ) 1) ( )( ) 2( )oor a Va Para r aVr aVa Para r atc + + s= > PROBLEMA 6. Dos cilindros concntricos de radios a y b respectivamente y largo L se encuentran ubicados tal como lo indica la Figura 1. El espacio entre ambos se encuentra lleno de un material con un vector polarizacin dado por 0 0sin2+ = r r P Dado lo anterior se pide: a) Calcular las densidades superficiales de carga de polarizacin b) Calcular la densidad volumtrica de carga de polarizacin Figura P.1.6.1 ba a b 73 :1SSuperficie del cilindro de radio a :2SSuperficie del cilindro de radio b a)Densidades superficiales de carga de polarizacin Parar n : S1 =y 2 P r r sin( ) = + u u2psr r P n P1 = = =, ,o , pero] Cm [ a a r2 2ps1 = = o Parar n : S2=yu u ) sin( r r P2+ =, 2psr r P n P2= = =, ,o , pero] Cm [ b b r2 2ps2= = o b)Densidades volumtricas de carga de polarizacin ] Cm [r) cos(r 3 ) r (0)) ( sen (r1r ) r (r1z) P ( ) P (r1r ) rP (r1P ) r (3p3z rp|.|

\|+ = ||.|

\|+cc+cc = |.|

\|cc+cc+cc = V =uu uuu,, ,, PROBLEMA 7. Se tiene una esfera de radio R cargada con densidad volumtrica variable (r) = or3/R3.La esfera adems contiene en el origen una carga puntual Qo. Se pide:. a) Determine el campo elctrico para cualquier punto del espacio b) Determine el potencial elctrico para cualquier punto del espacio Figura P.1.7.1 R -0Q33Rr) r (0 =74 a)Usando Ley de Gauss: 0encerradasQS d Ec= -}}, , i)ParaR r < 036encerrada20 0 0330 encerradaQRr32Qd d dr ) ( sen rRrQ dV ) r ( Q002 r+ = = + =} } } }}} tu ttO Adems se tiene que: 2 220 0 Sr 4 E d d ) ( sen r E S d E r n r ) r ( E E = = - = . =} } }}t u tt, , , Por lo tanto:r r 4QR 6rEr 4QR 6rE00000020342034|||.|

\|+ = + = c tcc tc ,

ii)ParaR r > 03encerrada20 0 0330 encerradaQ R32Qd d dr ) ( sen rRrQ dV ) r ( Q002 R+ = = + =} } } }}}tu ttOYE, es radial tambin: 2 220 0 Sr 4 E d d ) ( sen r E S d E r n r ) r ( E E = = - = . =} } }}t u tt, , , Y finalmente paraR r > :r r 4QrR6Er 4QrR6E0 000 0020232023||.|

\|+ = + = c tcc tc , b) }- = l d E ) r ( V, , i) ParaR r > r 4Qr 6 R) r ( Vdrr14Qdrr16Rdr r r r 4 Qr 6R) r ( V0 000 00 003r20r230r20230tc ctc ctc c + = (((

+ = -||.|

\|+ =} } } iii)ParaR r < 75 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 00 0 0 0 0 04 2 24 0 0 0 03 2 3 22 2 5 50 0 031 ( )6 4 6 4 6 4 6 41 1( )6 5 5 4 6 4 5 4r r rR R Rr Q R Q Q R QVr r r dr rdr drR r R R r RQ R Q R Q R rVrR r R R r c tc c tc c tc c tc c tc c tc c tc ( | | = + - + + = + + + |( \ . | || | = + + + = + ||\ .\ .} } } PROBLEMA 8. UnalambredelargoRydensidaddecargaouniformeseencuentraincrustadoradialmenteen unaesferaderadioR,demodoquesuextremomsprofundoseencuentraaunadistanciaxdel centro de la esfera, tal como se indica en la Figura 1.8.1.La esfera est cargada de modo tal que el campoelctricoproducidoporellaencualquierpuntodelespacioes:rRrEoE =,siR r s ; rrEo RE 22=, siR r >a)Determine el vector fuerzaF,que la esfera ejerce sobre el alambre }= E dq F, , b)Determine el potencial electrosttico) (r V, de la esfera en cualquier punto del espacio Figura P.1.8.1 El campo elctrico para todo el espacio est dado por: r RE rE01=, , paraR r s . r r E RE2220=,, paraR r > . xx R 0 R z xy R 76

a)La Fuerza que la esfera ejerce sobre el alambre est dada por:}+ =x Rxdq E F, , } }+ + =x RR2Rx1dq E dq E F, , ,, y el elemento diferencial de volumendr dq0 = r x RR EX ER 21R E23Fr drr1E R dr rREF22x RR22Rx0 00 0 0 00 00 0||.|

\|+ = ||.|

\|+ =} }+ ,, b) Calculemos el potencial electroesttico para todo el espacio. i)ParaR r > rE R) r ( Vdrr1E R l d E ) r ( V002r22r2= = - =} } , , ii)ParaR r