PROBABILIDAD

INSTITUTO TECNOLOGICO DE TLALNEPANTLA.

SUBDIRECCION ACADEMICADEPTO. DE CIENCIAS BASICAS

APUNTES DE PROBABILIDADLIC. EN INFORMATICA

NUEVO MODELO

ELABORADOS POR: ING. ANA ELENA MIRANDA LÓPEZENERO 2006

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PROBABILIDAD

OBJETIVO GENERAL DEL CURSO: EL ESTUDIANTE COMPRENDERÁ LOS FUNDAMENTOS TEÓRICOS DEL PENSAMIENTO PROBABILÍSTICO

UNIDAD I. TECNICAS DE CONTEO.

I.1 Introducción.I.2. Principios de conteo: aditivo y multiplicativo.I.3. Diagramas de árbol.I.4. Permutaciones.I.5. Combinaciones.I.6. Ejercicios de aplicación.UNIDAD II. TEORIA DE LA PROBABILIDAD.

II.1. Introducción.II.2. Eventos y espacio muestral.II.3. Axiomas y teoremas de la probabilidad.II.4. Espacio finito y equiprobable.II.5. Probabilidad condicional.II.6. Probabilidad total y teorema de Bayes.II.7. Independencia.II.8. AplicacionesUNIDAD III. DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD DISCRETA.

III.1. IntroducciónIII.2. Definición y clasificación de variable aleatorias.III.3. Distribución y esperanza.III.4. Varianza y desviación estándar III.5. Función de probabilidad discreta.III.6. Función de distribución acumulativa..III.7. Distribución de probabilidad binomial.III.8. Distribución de probabilidad PoissonIII.9. AplicacionesUNIDAD IV. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD CONTINUA.

IV.1 IntroducciónIV.2. Función de densidad de probabilidad.IV.3. Esperanza y Varianza de una variable aleatoria contínua.IV.4. Distribución de probabilidad uniforme.IV.5. Distribución de probabilidad exponencial.IV.6. Distribución de probabilidad normal.IV.7. Aproximación de la binomial a la normal.

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TEORIA DE CONJUNTOS.

Definición. Colección de elementos de cualquier tipo, personas, animales, libros, países, etc. que tienen algo en común y que están bien definidos.

Estos objetos o elementos que forman parte de un conjunto, tienen una nomenclatura especial.

Para trabajar con Teoría de Conjuntos necesitamos conocer el siguiente lenguaje:

Conjunto A,B,C... ó {a}Elementos a,b,c....Conjunto vacío , {}Conjunto universal U,SPertenece No pertenece Subconjunto No es subconjunto Tal que /Igual que No es igual que Menor que Mayor que Menor o igual que Mayor o igual que Reunión o Unión Intersección Complemento A´, Ac

Para todo x xExiste un x xImplica Bicondicional (sí y solo sí) Es equivalente Conjunción (o) Disyunción (y) Hiperconjunto Relacionado o vinculado Semejante Infinito Adición +Diferencia - Número de elementos del conjunto A n(A)

METODOS PARA DEFINIR UN CONJUNTO.

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A) Método de Extensión o de Enumeración. Este enumera cada uno de los elementos que forman el conjunto.

B) Método de Comprensión. Este, por medio de una frase de comprensión (lo mas clara que sea posible) describe las características de los elementos del conjunto.

Sea A = { a,e,i,o,u } Método de extensión o de enumeración.NOTA: Modo de leerse ( El conjunto A es igual al conjunto de a, e, i, o, u )

Podemos decir que a A, e A, i A, o A, u A ó 5 A

A = {x/x es una vocal del alfabeto latino} Método de comprensión.NOTA: Modo de leerse ( El conjunto A es igual al conjunto de todas las x tal que x es una vocal del alfabeto latino )

Ejemplo: Sea

1. B = { 0,1,2,3.....9 } ---------------Finito B = { x/x es un numero entero positivo, 0 x 9 }

2. C = { x/x es un numero par entero positivo x 12 }------------Infinito C = { 12,14,16,18.....}

3. D = { x/x2 = 4, x = 1}-------------Vacío D =

CONJUNTO UNIVERSO ( U, S ). Es el conjunto que tiene todos los elementos en cuestión (no es único) y es un conjunto de referencia.

IGUALDAD DE CONJUNTOS. Un conjunto A es igual a un conjunto B, si ambos tienen los mismos elementos, es decir si cada elemento de A esta en B o si cada elemento de B esta en A.

A = B B = A

Ejemplo:

Sea A = {1, 2, 3, 4} , B = { 3, 1, 4, 2, 3 }

A = B

NOTA: En teoría de conjuntos no importa el orden en que aparezcan los elementos y además no podemos repetir elementos.

SUBCONJUNTO ( ). Si todo elemento de un conjunto A es también elemento de un conjunto B entonces se dice que A es subconjunto de B.

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A B A esta incluido en B ó A es un subconjunto de B.

Ejemplos:

Sean C = {1, 3, 5 } y D = { 5, 4, 3, 2, 1 } NOTA: No existe reciprocidad. C D D C

C es subconjunto de D ó D es un hiperconjunto de C.

Sean C = {1, 2, 3 } y D = { 1, 2, 1, 3 } NOTA: Si hay reciprocidad en C D , D C conjuntos iguales. C = D ó D = C

Sean A = {a, e, i, o, u } y B = { e, i, o, u, f } A B

n(A) = 5 n(B) = 5

NOTA: Distíngase conceptos diferentes, n(A) implica el número de elementos del conjunto A y no cuales son los elementos de A.

CONJUNTO POTENCIA. Es la familia de todos los subconjuntos de un conjunto S, y se define:

Conjunto Potencia S = 2n

n = número de elementos de S

Sea M = { a, b } ; Determinar en forma numérica la familia de subconjuntos y definirlos cada uno de ellos.

Conjunto Potencia M = 22 = 4 subconjuntos

Conjunto Subconjuntos

M = { a, b } M = { a, b }{ a }{ b } NOTA: El conjunto vacío es subconjunto de todos

los conjuntos.

Ejemplo:

Si T = {4, 7, 8} ; Determine el conjunto potencia y defina la familia de subconjuntos.

Conjunto Potencia T = 23 = 8 subconjuntos

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Conjunto Subconjuntos

T = {4, 7, 8} T = { 4, 7, 8 } { 4, 7 } { 4, 8 } { 8, 7 } { 4 } { 7 } { 8 }

CONJUNTOS DISJUNTOS O DISYUNTOS. No tienen elementos comunes, es decir que ningún elemento de B esta en A y ningún elemento de A esta en B.

Sean A = {1, 3, 7, 8} y B = {2, 4, 7, 9} A B ---------- No son disyuntos.

Sean E = {x, y, z} y F = { r, s, t } E F -----------Son disyuntos.

CONJUNTO COMPLEMENTO ( A’, A c ). El complemento de un conjunto A, con respecto a un conjunto de referencia ( U ), es el conjunto de los elementos de dicho conjunto universo que no pertenecen al conjunto A, y se define:

Ac = {x/x U, x A } o bien Ac = { x/x A }

Conclusión:

Ejemplos: Sean:

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}A = {x/x es un numero par positivo entero, x 10 }

Defina el complemento de A por el método de comprensión y el método de enumeración.

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(Ac)c = AUc = c = U

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Ac = { x/x es un numero impar positivo entero, x 10 }Ac = {1,3,5,7,9}

Ejercicio: La empresa “X” fabrica camisas de manga larga y corta, si consideramos el conjunto A como todas las camisas de manga larga que fabrica la empresa “X” determinece:

A) El conjunto U.B) El conjunto A.C) El conjunto Ac.

A) U = { x/x es una camisa que fabrica la empresa “X” }

B) A = { x/x es una camisa de manga larga que fabrica la empresa “X” }

C) Ac = { x/x es una camisa de manga corta que fabrica la empresa “X” }

REPRESENTACION GRAFICA DE CONJUNTOS.

Diagramas lineales.- Conecta a los conjuntos por medio de segmentos de recta bajo el criterio de

colocar el conjunto de mayor numeroRepresentación de elementos en primera posición y Gráfica de conjuntos. después desglosarlos.

Diagramas de Venn Euler.- Representación con figuras Geométricas:

Rectángulo: Conjunto Universo. Circulo: Conjuntos y sus relaciones. Puntos: Elementos.

Sea A = { a, b, c }B = { a, b }

Diagrama Lineal: A B A

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B

Diagrama de Venn: U A B A

B

OPERACIONES CON CONJUNTOS.

UNION.

A B = { x/x A y/o x B }

a) U b) U c) U

A B A B B

A

A B = A B = A B =A y B son disyuntos. A B

INTERSECCION.

A B = { x/x A y x B, simultáneamente }

a) U b) U c) U

A B A B B

A

A B = A B = A B = A y B son disyuntos B A

DIFERENCIA.

1.- A – B ={ x/x A, x B }2.- B – A ={ x/x B, x A }

1.-a) U b) U c) U

A B A B A

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B

A - B = A - B = A A - B = A y B son disyuntos

2.-a) U b) U c)

A B A B A B

B - A = B - A = B B - A =

COMPLEMENTO.

Ac = { x/x A } ó { x/x U, x A }

a) U b) U c) U

A B A B A

B

Ac = Ac = Ac =

PRODUCTO CARTESIANO.

Sean A y B, 2 conjuntos, el conjunto producto A y B o producto cartesiano A X B (A cruz B), que esta formado por todas las parejas ordenadas (a,b) a E A, b E B y se define por el método de comprensión de la siguiente forma:

A X B = { (a,b) / a A, b B }

A X B X C = { (a,b,c) / a A, b B, c C }

Ejemplo: En una empresa de artículos de tocador pretende lanzar al mercado un jabón de tocador, por estrategia considera lanzar el jabón en dos diferentes colores: azul y blanco y en tres diferentes tamaños: chico, mediano y grande. Utilice el producto cartesiano para determinar cuantas opciones podemos brindarle al consumidor.

Azul = a Chico = 1 = A

Blanco = b Mediano = 2 = B

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Grande = 3

A X B = { (a,1)(a,2)(a,3)(b,1)(b,2)(b,3) }

B X A = { (1,a)(2,a)(3,a)(1,b)(2,b)(3,b) }

CONCLUSION: Se pueden brindar 6 opciones al consumidor, por ejemplo si tomo (a,2) significa un jabón azul en tamaño mediano.

DIAGRAMA DE ARBOL.

Nos sirve para mostrar esquemáticamente todas las combinaciones posibles en un producto cartesiano, (según el ejemplo anterior).

Conjunto A Conjunto B Conjunto A X B 1 (a,1) a 2 (a,2) 3 (a,3)A X B 1 (b,1) b 2 (b,2) 3 (b,3)

UNIDAD I.

TECNICAS DE CONTEO.

OBJETIVO.- El estudiante aplicará las técnicas de conteo en la solución de problemas.

PERMUTACIONES.

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n1 · n2 · n3 · n4 · n5

DF MEX

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COMBINACIONES.

PERMUTACIONES.

Permutación es la ordenación de un conjunto de “n” objetos tomados “r” a la vez en un orden dado.

n = # de elementos del conjunto.r = # de elementos que se toman de vez en vez.

FORMULAS:

1. P (n,r) = n! Cuando n = r

2. P (n,r) = n! Cuando n r (n-r)!

3. P circular = (n-1)!

4. P repetición = n! n1!·n2!·n3!·..........nn!

Principio Fundamental de Conteo.

Si un evento puede realizarse de n1 maneras diferentes, y si continuando el procedimiento un segundo evento se puede realizar de n2 maneras diferentes, y si después de efectuado un tercer evento puede realizarse de n3 maneras diferentes, en que los eventos puedan realizarse en el orden indicado es el producto de:

n1 · n2 · n3 · ...........nn

Ejemplo: Supongamos que una placa de automóvil consta de 2 letras distintas seguidas de 3 dígitos, de las cuales el primero no puede ser 0. ¿Cuántas placas diferentes pueden grabarse?

ch 2 Letras distintas 28 solo quedan

l l 26 letras 26 25 9 10 10

3 dígitos, donde el 1º 0

{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0}

26 · 25 · 9 ·10 ·10 = 585,000 Placas diferentes.

Factorial de un Numero. n!

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Es el producto de los enteros positivos sucesivos desde “n” hasta 1.

n! = (n-2)(n-1) n ó

n! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 ..........n

Ejercicio: Calcular.

7! = 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 5040.

9! = 9·8·7·6·5·4·3·2·1 = 362880 = 504.6! 6·5·4·3·2·1 720

5! = 5·4·3·2·1 = 120 = 17! 7·6·5·4·3·2·1 5040 42

(3-3)! = 0! = 1 NOTA: El factorial de 0, es 1 por definición.

Ejemplos de Permutaciones:

1. Hallar el numero de permutaciones de las 6 letras siguientes: A,B,C,D,E,F tomadas de 3 a la vez, en otras palabras hallar el numero de palabras diferentes que podemos formar con 3 letras.

n = 6 P(n,r) = n!r = 3 (n-3)!

P (6,3) = 6! = 6·5·4·3·2·1 = 120 palabras diferentes de 3 letras. (6-3)! 3·2·1

n1 · n2 · n3

Por el principio fundamental de conteo: 120 palabras = diferentes de 3 letras

2. De un total de 12 personas, cuantos equipos diferentes se pueden formar para un torneo de basquet si son 5 gentes las que juegan.

P (12,5) = 12! = 12·11·10·9·8·7·6·5·4·3·2·1 = 95040 palabras diferentes de 3 letras. (12-5)! 5·4·3·2·13. Si se toman números de 3 dígitos y tenemos un conjunto { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }

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5 4 6

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A) Cuantos números se pueden formar.B) Cuantos números de estos son mayores de 400.C) Cuantos números de estos son pares.D) Cuantos números de estos son impares.E) Cuantos números de estos son múltiplos de 5.

n = 9 r = 3

A) P (9,3) = 9! = 9·8·7·6·5·4·3·2·1 = 504 números diferentes de tres dígitos. (9-3)! 6·5·4·3·2·1

Por el principio fundamental del conteo:

n1 · n2 · n3

A) 9 · 8 · 7 = 504 números diferentes de tres dígitos.

B) 6 · 8 · 7 = 336 números de 3 dígitos mayores de 400.

C) 8 · 7 · 4 = 224 números de 3 dígitos pares.

D) 8 · 7 · 5 = 280 números de 3 dígitos impares.

E) 8 · 7 · 1 = 56 números de 3 dígitos múltiplos de 5.

4. De cuantas maneras se pueden escoger 3 cartas sucesivas de una baraja de 52 cartas. a) Con sustitución. b) Sin sustitución.

n = 52r = 3

a) 52 · 52 · 52 = 140,608 formas diferentes de sacar 3 cartas con sustitución.

b) 52 · 51 · 50 = 132,600 formas diferentes de sacar 3 cartas

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sin sustitución.5. Hallar el número de permutaciones que se pueden formar con todas las letras de la palabra “BARRA”.

nT = 5 , n1B = 1 , n2A = 2 , n3R = 2

P repetición = n! n1!·n2!·n3!·..........nn!

P(rep) = 5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120 = 30 permutaciones diferentes. 1! · 2! · 2! (2 · 1) · (2 · 1) 4

6. Con la palabra “CRISTAL”:a) Hallar el número de palabras de 4 letras que se pueden formar.b) Cuales de ellas solo contienen consonantes.c) Cuantas empiezan y terminan con consonantes.d) Cuantas empiezan con vocal.e) Cuantas contienen la letra “I”.f) Cuantas empiezan por “T” y terminan por vocal.g) Cuantas empiezan por “T” y contienen “S”.h) Cuantas pueden tener ambas vocales.

n = 7 r = 4

a) P (7,4) = 7! = 7·6·5·4·3·2·1 = 840 palabras de 4 letras que se pueden formar con (7-4)! 3·2·1 las letras de la palabra “CRISTAL”.

Solo trabajamos con las consonantes.

b) P (5,4) = 5! = 5·4·3·2·1 = 120 palabras de 4 letras que solo contienen consonantes

(5-4)! 1 tomadas de la palabra “CRISTAL”.

Por el principio fundamental del conteo:

n1 · n2 · n3 · n4

120 palabras de 4 letras que solo contienen 5 · 4 · 3 · 2 = consonantes tomadas de la palabra

“CRISTAL”.

400 palabras de 4 letras que empiezan c) 5 · 5 · 4 · 4 = y terminan con consonantes, tomadas

la palabra “CRISTAL”.

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400 palabras de 4 letras que empiezan d) 2 · 6 · 5 · 4 = con vocal, tomadas de la palabra

“CRISTAL”.

480 palabras de 4 letras que contienen e) 4 · 6 · 5 · 4 = la letra “i”, tomadas de la palabra

“CRISTAL”.

40 palabras de 4 letras que empiezan f) 1 · 5 · 4 · 2 = por “t” y terminan por vocal, tomadas de

la palabra “CRISTAL”.

60 palabras de 4 letras que empiezan g) 1 · 5 · 4 · 3 = por “t” y contienen “s”, tomadas de

la palabra “CRISTAL”.

240 palabras de 4 letras que puedenh) 4 · 3 · 5 · 4 = tener ambas vocales, tomadas

de la palabra “CRISTAL”.

COMBINACIONES.

Una combinación es una selección de “r” o de “n” objetos donde el orden no se toma en cuenta.

El número de combinaciones de “n” objetos tomador “r” a la vez lo denotamos:

C(n,r) = n = n r n-r

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Factores combinatorios.

Determinar el número de combinaciones de las 4 letras siguientes: (a,b,c,d) tomadas de 3 en 3; observamos que cada combinación que contenga 3 letras produce 3! Igual a 6 permutaciones diferentes, esto es:

Combinación Permutaciones

a,b,c abc,bca,cba,acb,cab,bac a,b,d abd,dab,adb,dba,bad,bda b,c,d bcd,bdc,cdb,cbd,dbc,dcb a,c,d acd,adc,dca,dac,cda,cad

Demostración:Si: P(n,r) = r! C(n,r)

Despejamos: C(n,r):

C(n,r) =

Si sustituimos el valor de: P(n,r) =

C(n,r) =

Si: n = 4

r = 3 C(4,3) =

NOTA: De igual manera las combinaciones se pueden calcular por el uso de los factores combinatorios como sigue: Su desarrollo consiste en formar un cociente donde el numerador inicia con el valor que marca “n” y se multiplican por tantos factores nos diga “r” decrecientes, enteros y positivos y se divide entre “r” factorial

C(n,r) = n = n r n-r

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PROBABILIDAD

O bien, usando el factor combinatorio simplificativo

Ejemplos de Combinaciones: 1. Una delegación de 4 estudiantes de un colegio se selecciona todos los años para asistir a la asamblea de estudiantes.

a) De cuantas maneras se puede escoger la delegación si hay 12 estudiantes elegibles.b) De cuantas maneras si 2 de los estudiantes son casados y solo asisten si van juntos.c) De cuantas maneras si dos de los estudiantes no asisten al mismo tiempo.

n = 12r = 4

a)

C 12 = 12·11·10·9 = 495 delegaciones diferentes de 4 estudiantes. 4 4·3·2·1

b) Los casados NO VAN, y

C 10 = 10·9·8·7 = 210 delegaciones diferentes donde no van los casados. 4 4·3·2·1 los casados SI VAN, pero no separados:

C 10 = 10·9 = 45 delegaciones diferentes donde si van los casados. 2 2·1

210 + 45 = 255 delegaciones diferentes donde los casados no se separan.

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PROBABILIDAD

c) NO VAN:

C 10 = 10·9·8·7 = 210 delegaciones diferentes donde no van los peleados. 4 4·3·2·1

SI VAN, pero separados:

C 10 = 10·9·8 = 120 delegaciones diferentes donde si va uno. 3 3·2·1

C 10 = 10·9·8 = 120 delegaciones diferentes donde si va el otro. 3 3·2·1

210 + 120 + 120 = 450 delegaciones diferentes donde dos estudiantes no asisten al mismo tiempo.

2. Una clase consta de 9 niños y 3 niñas.

a) De cuantas maneras el profesor puede escoger un comité de 4.b) Cuantos comités constaran de 1 niña por lo menos.c) Cuantos tendrán una niña exactamente.

n = 12 n1 = 9 niños, n2 = 3 niñasr = 4

a) C 12 = 12·11·10·9 = 495 comités diferentes de 4 personas.

4 4·3·2·1

b) n1 · n2

C 9 3 = 9·8·7 · 3 = 252 comités diferentes de 4 personas con 1 niña.

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PROBABILIDAD

3 1 3·2·1 1·1

C 9 3 = 9·8 · 3·2 = 108 comités diferentes de 4 personas con 2 niñas. 2 2 2·1 2·1

C 9 3 = 9 · 3·2·1 = 9 comités diferentes de 4 personas con 3 niñas. 1 3 1·1 3·2·1

= 369 comités diferentes de 4 personas con por lo menos una niña.

c) n1 · n2

C 9 3 = 9·8·7 · 3 = 252 comités diferentes de 4 personas donde 3 1 3·2·1 1·1 exactamente hay una niña.

3. El alfabeto ingles tiene 26 letras de las cuales 5 son vocales.a) Cuantas palabras de 5 letras, 3 consonantes y 2 vocales diferentes (consonantes y

vocales) se pueden formar.b) Cuantas de estas contienen la letra “b”.c) Cuantas contienen la letra “b” y la “c”.d) Cuantas empiezan por “b” y contienen la “c”.e) Cuantas empiezan por “a” y terminan con “b”.

n = 26r = 5

a) n3 · n1 · n2

5! 21 5 = 5·4·3·2·1 · 21·20·19 · 5·4 = 120·1330·10 = 1596000 palabras 3 2 3·2·1 2·1 de 5 letras con 3 consonantes

y 2 vocales diferentes.b) 5! 20 5 = 5·4·3·2·1 · 20·19 · 5·4 = 228000 palabras de 5 letras con 3

2 2 2·1 2·1 consonantes y 2 vocales diferentes

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PROBABILIDAD

que contienen la letra “b”c) 5! 19 5 = 5·4·3·2·1 · 19 · 5·4 = 22800 palabras de 5 letras con 3

1 2 1·1 2·1 consonantes y 2 vocales diferentes

que contienen las letras “b” y ”c”.

d) 4! 19 5 = 4·3·2·1 · 19 · 5·4 = 4560 palabras de 5 letras con 3

1 2 1·1 2·1 consonantes y 2 vocales diferentes que

empiezan por la letra “b” y contienen la letra “c”.

e) 3! 20 4 = 3·2·1 · 20·19 · 4 = 4560 palabras de 5 letras con 3

2 1 2·1 1·1 consonantes y 2 vocales diferentes que

empiezan por la letra “b” y acaban por la letra “a”.

UNIDAD II.

TEORIA DE LA PROBABILIDAD.

OBJETIVO: El estudiante aplicará los axiomas y teoremas de la probabilidad en la solución de problemas

Definición. Probabilidad, es el estudio de experimentos aleatorios o libres de determinación.

Si un evento puede suceder de “n” maneras diferentes de un total de “S” casos igualmente posibles entonces la probabilidad esta dada por la siguiente expresión.

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PROBABILIDAD

P (A) = n S

n = numero de casos favorables. S = numero de casos totales.

Por ejemplo al lanzar un dado común, puede salir un numero par de 3 maneras diferentes de un total de 6 resultados igualmente posibles.

P (A) = 3/6 = ½ de posibilidad de que salga un par.

El conjunto “S” de todos los resultados posibles de un experimento dado se le llama ESPACIO MUESTRAL.

S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } Todos los resultados posibles.

Un resultado en particular, esto es un elemento de “S”, se le llama punto muestral. Un evento “A” es un conjunto de resultados o en otras palabras es un subconjunto del espacio muestral “S” y normalmente se define por el método de comprensión para después definirlo por el método de enumeración.

A = { x/x es un numero par al lanzar un dado }A = { Un numero par al lanzar un dado } Forma simplificadaA = { 2, 4, 6 } Espacio reducido de A ( Todos los elementos que contiene solo el

conjunto A )

El evento [a] que consta de una muestra simple y que además a S, se llama evento elemental. El y “S” de por si son eventos; al algunas veces se le denomina el evento imposible y al conjunto “S” se le denomina el evento cierto o seguro.

Podemos combinar eventos para formar nuevos eventos.

A B es el evento que sucede A ó B o ambos suceden. A B es el evento que sucede A y B suceden simultáneamente. Ac es el evento que sucede A no sucede.

Dos eventos A y B son llamados mutuamente exclusivos si son disyuntos A B = , ya que no pueden suceder simultáneamente.

Ejemplo: Láncese un dado y obsérvese el numero que aparece en la cara superior; su espacio muestral es S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }, observamos que el espacio muestral consiste en los 6 números posibles; sea el evento A de salir un numero par y sea el evento B de salir un numero impar, sea el evento C de salir un numero primo. Calcular AB, AC, Cc, AB y diga como son A y B y porque.

A = { un numero par } = { 2, 4, 6 }B = { un numero impar } = { 1, 3, 5 }C = { un numero primo } = { 2, 3, 5 }

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PROBABILIDAD

A B = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } = SA C = { 2 }Cc = { 1, 4, 6 }A B = , A y B son eventos mutuamente exclusivos.

Axiomas de Probabilidad.

1. Para todo evento A:0 P (A) 1

2. La probabilidad del espacio muestral es:P (S) = 1

3. Si A y B son mutuamente exclusivosP (A B) = P (A) + P (B)

4. Si A1,A2,.......,An son una serie de eventos mutuamente exclusivosP (A1,A2,.......,An) = P (A) + P (B) + ........ P (n).

Teoremas de Probabilidad.

1. Si es el conjunto vacíoP () = 0

2. Si Ac es el complemento de un evento AP (Ac) = 1 – P (A)

3. Si A B P (A) P (B)

4. Si A y B son 2 eventos P (A-B) = P(A) – P(A B)

5. Si A y B son 2 eventosP (A B) = P (A) + P (B) – P (A B)

PROBABILIDAD CLASICA.

Sea S un espacio muestral {a1,a2,a3,....,an}, un espacio finito de probabilidad se obtiene al asignar a cada punto de ai, el evento de S, un numero real pi, llamado de probabilidad y que satisface las siguientes propiedades.

1.- Cada Pi es no negativo. Pi 0

2.- La suma de las Pi. P1 + P2 +..... Pn = 1

Por lo que la probabilidad se define como:

P (A) = numero de elementos de A ó

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PROBABILIDAD

numero de elementos de S

P (A) = numero de maneras en que el evento de A puede suceder. ó numero de maneras en que el espacio muestral puede suceder.

P (A) = Casos favorables. Casos totales.

Ejemplos:

1. Láncese 3 monedas y observe el numero de águilas que resulten:A) Defina el espacio muestral, obtenga el espacio de probabilidad para cada punto del

espacio muestral. Sea el evento A en el que aparece 1 águila por lo menos, sea B el evento en que aparecen todas águilas o todos soles.

B) Determine el espacio reducido de A y B así como la probabilidad de A y B.

S = {sss, ssa, saa, ass, aas, asa, sas, aaa} S = {0, 1, 2, 3}

P (0) = { sss } = 1/8 P (0) = s s s P (1) = { ssa, ass, sas } = 3/8 ½ ½ ½ = 1/8 P (2) = { saa, aas, asa } = 3/8

P (3) = { aaa } = 1/8

P (S) = P (0) + P (1) + P (2) + P (3) = 1 1/8 + 3/8 + 3/8 + 1/8 = 8/8 = 1

A = { ssa, saa, ass, aas, asa, sas, aaa } P (A) = 7/8

B = { aaa, sss } P (B) = 2/8 = 1/4

2. 3 caballos A,B,C intervienen en una carrera, A tiene doble posibilidad de ganar que B y B el doble de ganar de C. ¿Cuál es la respectiva posibilidad de ganar, P ( A ), P ( B ) y P ( C ) ?.

P (A) = 2 P(B) P (S) = 1 P (B) = 2 P(C) P (S) = P (A) + P (B) + P (C) ----------------- (1)

Si consideramos: P (C) = p

Entonces: P (B) = 2p ---------------------- (2) P (A) = 2 (2p) = 4p ----------- (3)

23

PROBABILIDAD

Sustituyendo (2) y (3) en la ec. (1): 4p + 2p + p = 1 7p = 1 p = 1/7

Si P (C) = p, P (C) = 1/7

Sustituyendo valores en ec. (2) y (3):P (C) = 1/7

P (B) = 2 (1/7) = 2/7

P (C) = 4 (1/7) = 4/7

P (S) = 4/7 + 2/7 + 1/7 = 7/7 =1

3. Una clase consta de 6 niñas y 10 niños, si se escoge al azar un comité de 3, cual es la probabilidad de:I. { Seleccionar 3 niños.}II. { Seleccionar exactamente 2 niños.}III. { Seleccionar por lo menos un niño.} IV. { Seleccionar exactamente 2 niñas.}V. { Seleccionar por lo menos dos niñas.}

Evento 1 { 6 niñas } n1

Evento 2 { 10 niños } n2

S = 16 = 560 comités diferentes de 3 personas. 3

solo se considera a niños.

I ) A = 10 = 120 comités de 3 niños 3

P (A) = 120 = 3/14 = .2142 21.42 % 560

n2 · n1

II )B = 10 6 45 · 6 = 270 comités de 3 personas con 2 niños exactamente. 2 1

P (B) = 270 = 27/56 = .4821 48.21 % 560

n2 · n1

III ) C = 10 6 = 150 1 2

10 6 = 270

24

PROBABILIDAD

2 1

10 6 = 120 = 540 comités de 3 personas con 1 niño por lo menos. 3 0

P (C) = 540 = 27/28 = .9642 96.42 % 560

IV ) D = 10 6 10 · 15 = 150 comités de 3 personas con 2 niñas exactamente. 1 2

P (D) = 150 = .2678 26.78 % 560

V ) E = 10 6 = 150 1 2

10 6 = 20 = 170 comités de 3 personas con por lo menos 3 niñas. 0 3

P (E) = 170 = .3035 30.35 % 560

4. Se sacan dos cartas al azar de una baraja corriente de 52 cartas. Hallar la probabilidad “p” de que:

I. Las 2 sean espadas.II. Una sea espada y la otra corazón.

S = 52 = 1326 muestras de 2 cartas. 2 I ) A = 13 = 78 muestras de 2 cartas que son espadas.

2

P (A) = 78 = .05882 5.88 % 1326

II )B = 13 13 13 · 13 = 169 muestras diferentes de una espada y una corazón. 1 1

P (B) = 169 = .1274 12.74 % 1326

25

PROBABILIDAD

5. Se escogen al azar 3 lámparas entre 15 de las cuales 5 son defectuosas. Hallar la Probabilidad “p” de que:I. Ninguna sea defectuosa.II. Una exactamente sea defectuosa.III. Una por lo menos sea defectuosa.

S = 15 = 455 muestras de 3 lámparas. 3

I ) A = 10 = 120 muestras de 3 lámparas que no son defectuosas. 3

P (A) = 120 = .2637 26.37 % 455

II) B = 5 10 5 · 45 = 225 muestras de 3 lámparas con una defectuosa. 1 2

P (B) = 225 = .4945 49.45 % 455

III) C = 5 10 = 225 1 2

5 10 = 100 2 1

5 10 = 10 = 335 muestras de 3 lamparas que por lo menos es una defec- 3 0 tuosa

P (C) = 335 = .7361 73.61 % 455

PROBABILIDAD CONDICIONAL E INDEPENDENCIA.

Sea E un evento arbitrario de un espacio muestral S, con probabilidad de E > 0, la probabilidad de que un evento A suceda, una vez que E haya sucedido, en otras palabras la probabilidad de A dado el evento E se define como sigue:

P (A / E) = P(A E ) P(A / E) = probabilidad de A dado el evento E. P (E)

26

PROBABILIDAD

S A E= # de elementos de A EE

A

P (A E) = A E A E S S A E

P (A / E) = = P (E) = E E E S S

Ejemplos:

1. Se lanza un par de dados corrientes, hallar la probabilidad de que la suma de sus números sea 10 o mayor.

I. Si aparece un 5 en el primer dado.II. Si aparece un 5 en uno de los dos dados por lo menos.S = 36 formas o parejas ordenadas.

(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6)

S= (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6)(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6)(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)

I ) A = {(4,6)(5,5)(5,6)(6,4)(6,5)(6,6)} = 6 E = {(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6)} = 6 A E = {(5,5)(5,6)} = 2

P (A / E) = P(A E) = A E = 2/6 = 1/3 de probabilidad que al lanzar un par de P (E) E dados el primer dado salga 5 y que la suma

de los 2 dados sea 10 o mayor.

II ) A = {(4,6)(5,5)(5,6)(6,4)(6,5)(6,6)} = 6 E = {(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6)(1,5)(2,5)(3,5)(4,5)(6,5)} = 11 A E = {(5,5)(5,6)(6,5)} = 3

27

PROBABILIDAD

P (A / E) = P(A E) = A E = 3/11 de probabilidad que al lanzar un par de dados P (E) E cualquiera de los dos dados salga 5 y que la suma de los dados sea 10 o mayor.

2. Se escogen al azar 2 dígitos del 1 al 9 si la suma es par. Hallar la probabilidad de que ambos números sean impares.

{1,2,3,4,5,6,7,8,9}

S = 9 = 36 muestras. 2

Se escogen 2 dígitos del 1 al 9 n1 = { 2, 4, 6, 8 } n2 = { 1, 3, 5, 7, 9 }

A = { Ambos números sean impares }

Pares = 4 = 6 muestras de dos dígitos pares. 2

Impares = 5 = 10 muestras de dos dígitos impares. 2

E = 16 formas diferentes.

(A E) = 10 muestras de 2 dígitos.

P (A / E) = 10/16 = 0.625 62.5 %

3.- Se seleccionan al azar dos cartas entre 10 cartas numeradas de 1 a 10. Hallar la probabilidad “p” de que la suma sea impar si:I. Las 2 cartas se sacan juntas.II. Se sacan una tras otra sin sustitución.III. Las cartas se sacan una después de la otra con sustitución.

S = 10 = 45 muestras de 2 cartas. 2

I ) E = 10 = 45 muestras de 2 cartas. 2

( A E ) = A = 25

28

PROBABILIDAD

P (A / E ) = 25 = .5555 55.55 % 45

II ) 10 · 9 = 90 muestras de 2 cartas.

5 5 + 5 5 = 50 formas diferentes. 1 1 1 1

P (B) = 50 = .5555 55.55 % 90

II ) 10 · 10 = 100 muestras de 2 cartas. 5 5 + 5 5 = 50 formas diferentes. 1 1 1 1

P (C) = 50 = .50 50 % 100

TEOREMA DE LA MULTIPLICACION.

Para probabilidad condicional.- Intersección entre un elemento que es condicional y un particular.

Sea la P (A / E) = P (A E) P (E)

P (A E) = P (A / E) P (E)

Ejemplos:

1. Un lote de 12 artículos tiene 4 defectuosos, se toma al azar 3 artículos del lote uno tras otro. Hallar la probabilidad de que los 3 artículos sean defectuosos.

4 defectuosos12

8 no defectuosos

A = { los 3 artículos sean no defectuosos }

P (A) = 8/12 · 7/12 · 6/10 · 14/55 = .2545 = 25.45 %

29

PROBABILIDAD

2. A un jugador se le reparten 5 cartas una tras otra de una baraja de 52 cartas; la probabilidad de que todas sean espadas, cual es:

13 de tréboles.13 de espadas.

5213 de diamantes.13 de corazones.

A = { Todas sean espadas } P (A) = 13/52 · 12/51 · 11/50 · 10/49 · 9/48 = .0004958 = .0495 %

3. Una urna contiene 7 bolas rojas y 3 blancas, se sacan 3 bolas de la urna una tras otra. Hallar la probabilidad de:

I. Las dos primeras sean rojas y la tercera blanca.II. Las dos primeras sean blancas y la tercera roja.III. La primera blanca y las otras 2 rojas.IV. Que una sea roja, una blanca y la tercera roja.

7 rojas10 bolas (casos totales)

3 blancas

I ) P (A) = 7/10 · 6/9 · 3/8 = .175 = 17.50 %

II ) P (B) = 3/10 · 2/9 · 7/8 = .0583 = 5.83 %

III ) P (C) = 3/10 · 7/9 · 6/8 = .175 = 17.50 %

IV ) P (D) = 7/10 · 3/9 · 6/8 = .175 = 17.50 %

4. Los estudiantes de una clase se escogen al azar uno tras otro para presentar un examen. Hallar la probabilidad de que niños y niñas queden alternados si:

I. La clase consta de 4 niños y 3 niñas.II. La clase consta de 3 niños y 3 niñas.

= Niño. = Niña.

I )

30

PROBABILIDAD

P (A) = 4/7 · 3/6 · 3/5 · 2/4 · 2/3 · 1/2 · 1/1 = .02857 = 2.85 %

II) = B1

= B2

P (B1) = 3/6 · 3/5 · 2/4 · 2/3 · 1/2 · 1/1 = .05 = 5 %

P (B2) = 3/6 · 3/5 · 2/4 · 2/3 · 1/2 · 1/1 = .05 = 5 %

P (B) = .05 + .05 = .10 = 10 %

PROCESOS ESTOCRASTICOS FINITOS Y DIAGRAMA DE ARBOL.

Es una sucesión finita de experimentos en los cuales cada experimento tiene un numero finito de resultados con probabilidades dadas.

Una manera de describirlo y saber la probabilidad de un evento, se obtiene por el diagrama de árbol y el teorema de la multiplicación.

Ejemplos:

1. Se tienen las 3 cajas siguientes:CAJA I – Contiene 10 lamparas de las cuales 4 son defectuosas.CAJA II – Contiene 6 lamparas de las cuales 1 son defectuosas.CAJA III – Contiene 8 lamparas de las cuales 3 son defectuosas.

DefectuososI No defectuosos

DefectuososCajas II No defectuosos

DefectuososIII No defectuosos

P (A) = 1/3 · 4/10 + 1/3 · 1/6 + 1/3 · 3/8 = 4/30 + 1/18 + 3/24 = .3138 = 31.38 %

31

PROBABILIDAD

P (B) = 1/3 · 6/10 + 1/3 · 5/6 + 1/3 · 5/8 = 6/30 + 5/18 + 5/24 = .6861 = 68.61 %

ó por complemento P (B) = 1 - 0.3138 = 0.6861

2. Se lanza una moneda de modo que la probabilidad de que caiga sol es igual a 2/3 y la probabilidad de que caiga águila es de 1/3, si sale sol se escoge al azar un numero del 1 al 9 y si sale águila se escoge al azar un numero del 1 al 5. Hallar la probabilidad de que se escoja un numero par.

ParesSol

NonesMoneda

ParesÁguila

Nones

P (A) = 2/3 · 4/9 + 1/3 · 2/5 = 8/27 + 2/15 = .4296 = 42.96 %TEOREMA DE BAYES.

A1 An A6

B

A2 A3 A4 A5

Supongamos que los eventos A1, A2, A3 ..... An forman parte de un espacio muestral S, esto es que los eventos Ai son mutuamente exclusivos y su unión es el espacio muestral, ahora bien “B” es otro evento, por lo tanto la probabilidad para cada evento Ai es la siguiente:

P (Ai / B) = P (Ai) P (B / Ai)P (A1) P (B / A1) + P(A2) P (B / A2) + P (An) P (B / An)

Ejemplos:

1. 3 Maquinas A,B y C producen respectivamente 50 %, 30 %, y 20 % del numero total de artículos de una fabrica, los porcentajes de desperfecto son: 3 %, 4 %, y 5 %. Si se selecciona al azar un articulo defectuoso, hallar la probabilidad de que provenga de la maquina A.

32

PROBABILIDAD

DefectuososA No defectuosos

DefectuososMaquinas B No defectuosos

DefectuososC No defectuosos

P (A / Def) = P (A) P (Def / A) P (A) P (Def / A) + P(B) P (Def / B) + P (C) P (Def / C)

P (A / Def) = 0.5 (0.03) = 0.4054 40.54 % (0.5)(0.03) + (0.3)(0.04) + (0.2)(0.05)

UNIDAD III.

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETA.

OBJETIVO: El alumno aplicará los conceptos de las variables aleatorias discretas en la solución de problemas.

Variable Aleatoria.- Es una función que asocia números reales con cada evento del espacio muestral (también llamada función aleatoria), se denota por “X” ó “Y”.

Ejemplo:

Se lanza una moneda 2 veces, reprecentese por “x” el numero de soles que resulten.

Punto muestral aa sa as ss X 0 1 1 2

Variables discretas : Es la que toma un número infinito o finito de valores contables.

Variables AleatoriasVariables continuas : Es la que toma un número infinito de

valores no contables.

33

PROBABILIDAD

Ejemplos de Variables Discretas : Fumadores, # de hijos, Lanzar 3 monedas.

Ejemplos de Variables Continuas: Estatura, Peso, Dimensiones.

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETA.

Asume cada uno de sus valores con ciertas probabilidades.

Supóngase que “x” es una variable aleatoria de un espacio muestral S con un conjunto contable infinito.

x (S) = { x1, x2, x3,..........,xn }

Dichas variables son discretas de la siguiente manera.

f (x) = P (x = a)

donde:

f (x) = función de probabilidad.p = Probabilidad de x.x = La variable aleatoria.

En general f (x) es una función de probabilidad bajo:

1. f (x) 02. n f (xi) = 1 x =1

Ejemplo: Hallar la función de probabilidad para el lanzamiento de una moneda 2 veces y construir su gráfica de función de probabilidad.

Tabla de función de probabilidad:

X 0 1 2 f(0) = P( x = 0 ) = { aa } = ¼ f(1) = P( x = 1 ) = { sa, sa } = 2/4

f(x) ¼ 2/4 ¼ f(2) = P( x = 2 ) = { ss } = ¼

Gráfica de función de probabilidad:

34

0 1 2 3

2/4

1/4

0

f(x)

x

PROBABILIDAD

FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN Ò FUNCIÓN ACUMULATIVA.

Se define:

F(x) = P( x a )

F(x) = función de distribución.

P = probabilidad de x.

x = variable aleatoria.

a = valor que se asigna a x en cualquier número irreal que divide el intervalo {- < x < }Si x toma un número infinito de valores, entonces la función de distribución es:

0 - < x < x1

f(x1) x1 x < x2

f(x1) + f(x2) x2 x < x3

f(x1) + f(x2) + f(x3) x3 x < x4

F(x) . .. .. ..f(x1) + f(x2) + ...f(xn) xn x <

Tabla de función de distribución.

0 - < x < 0

¼ 0 x < 1F(x)

3/4 1 x < 2

35

PROBABILIDAD

1 2 x <

Gráfica de función de distribución.

F(x)

1 3/42/41/4

- x 0 1 2

Si x es una variable aleatoria discreta. La media o esperanza (ó valor esperado) denotado:

E (x) , (x) ó E, y se define

E (x) = x1 f(x1) + x2f(x2) + ...xnf(xn) xn x <

E(x) = n xi f (xi) x =1

Según nuestro ejemplo:

E(x) = (x) = 0 (1/4) + 1 (2/4) + 2 (1/4) = 2/4 + 2/4 = 1

Esto es, E(x) es el promedio ponderado de los valores posibles de “x”. Cada valor ponderado (afectado x su probabilidad). La media de una variable aleatoria “x”, mide en cierto sentido el valor promedio de “x” ; la varianza y desviación estándar son conceptos que miden el esparcimiento o dispersión de “x” y los denotamos:

VAR (x) = n xi2 f (xi) - 2 Varianza

x =1

x = VAR (x) Desviación Estándar

Siguiendo nuestro ejemplo:

VAR (x) = 02 (1/4) + 12 (2/4) + 22 (1/4) - 12 = 2/4 + 1 – 1 = 2/4 = ½ = 0.5

x = 0.5 = 0.7071

Ejercicios:

36

PROBABILIDAD

1. Supóngase que se lanza un par de dados legales y que la variable aleatoria x denota la suma de los números que resulten calcular:

- f(x) y gráfica- F(x) y gráfica- E(x), VAR x, y x

Tabla de función de probabilidad.

x = 2 – 12 punto

muesx 2 3 4 5 6| 7 8 9 10 11 12 f(x) 1/36 2/36

3/36 4/36

5/36 6/36

5/36 4/36

3/36 2/36

1/36

.

x={(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6) (4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6)(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6)(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6) }

f (2) = P( x = 2 ) = 1/36

f (3) = P( x = 3 ) = 2/36

f (4) = P( x = 4 ) = 3/36

f (5) = P( x = 5 ) = 4/36

f (6) = P( x = 6 ) = 5/36

f (7) = P( x = 7 ) = 6/36

f (8) = P( x = 8 ) = 5/36

f (9) = P( x = 9 ) = 4/36

f (10) = P( x = 10 ) = 3/36

f (11) = P( x = 11 ) = 2/36

f (12) = P( x = 12 ) = 1/36

Gráfica de función de probabilidad.

37

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

6/36

5/36

4/36

3/36

2/36

1/36

0

f (x)

x

PROBABILIDAD

Tabla de función de distribución.

0 - < x < 21/36 2 x < 33/36 3 x < 46/36 4 x < 510/36 5 x < 6

F(x) 15/36 6 x < 721/36 7 x < 826/36 8 x < 930/36 9 x < 1033/36 10 x < 1135/36 11 x < 121 12 x <

Gráfica de función de distribución.

F(x)

1 35/36 33/36 30/36 26/36 21/36 15/36 10/36 6/36 3/36 1/36

38

PROBABILIDAD

- x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

E(x) = 2(1/36) + 3(2/36) + 4(3/36) + 5(4/36) + 6(5/36) + 7(6/36) + 8(5/36) + 9(4/36) + 10(3/36) + 11(2/36) + 12(1/36) = 7

VAR (x) = 22(1/36) + 32(2/36) + 42(3/36) + 52(4/36) + 62(5/36) + 72(6/36) + 82(5/36) + 92(4/36) + 102(3/36) + 112(2/36) + 122(1/36) = 5.83

x = 5.83 = 2.41

2. Una moneda se lanza 3 veces, x es la variable aleatoria que indica el número de águilas que resulten, construir:

- Tabla de función de probabilidad y gráfica.- Tabla de función de distribución y gráfica.- Esperanza, Varianza y desviación estándar.

X 0 1 2 3

f(x) 1/8 3/8

3/8 1/8 x = {número de águilas que resulten}

0 - < x < 0

1/8 0 x < 1

F(x) 4/8 1 x < 2

7/8 2 x < 3

39

3/8

2/81/8

0

PROBABILIDAD

1 3 x <

F(x)

1 6/84/82/8

- x 0 1 2 3E(x) = 1.5

VAR(x) = 0.75

x = 0.86

3. Un embarque de 8 microcomputadoras similares que se envían a un distribuidor contienen tres aparatos defectuosos. Si una escuela realiza una compra aleatoria de 2 de estas microcomputadoras; encuentre f (x) para el numero de microcomputadoras defectuosas, así como su función de distribución, sus gráficas, su media, Varianza y desviación estándar.

Tabla de función de probabilidad.

bb bm mmP(0) = 10 / 28

X 0 1 2P(1) = 15 / 28

f(x) 10/28 15/28 3/28 P(2) = 3 / 28

b = buenam = mala

S = 8 = 28 muestras de 2 microcomputadoras 2

bb = 5 = 10 muestras de 2 microcomputadoras en buenas condiciones 2

bm = 3 5 = 15 muestras de 2 microcomputadoras con una buena y una mala 1 1

40

PROBABILIDAD

mm = 3 = 3 muestras de 2 microcomputadoras en malas condiciones 2

Gráfica de función de probabilidad.

Tabla de función de distribución.

0 - < x < 0

10/28 0 x < 1F(x)

25/28 1 x < 2

1 2 x <

Gráfica de función de distribución.

F(x)

41

15/28

10/28

5/28

0

1

25/28

20/28

15/28

10/28

5/28

PROBABILIDAD

1 2 3

E(x) = 0.755

VAR(x) = 0.4017

x = 0.6337

DISTRIBUCION BINOMIAL. (Para variables discretas.)

Consideremos pruebas repetidas e independientes de un experimento con dos resultados; llamaremos uno de los resultados; llamaremos uno de los resultados favorable (o éxito) y al otro desfavorable (o fracaso). Sea p = {la probabilidad favorable} y sea q = {la probabilidad desfavorable}, tenemos lo siguiente:

p + q = 1q = 1 - pp = 1 – q

La probabilidad de “k” éxitos en “n” pruebas repetidas, se denota “b” y se denota por la siguiente expresión.

P (k) = b ( k, n, p ) = ( n k) qn-k pk

Donde:k = éxitosn = pruebas repetidas.q = probabilidad de fracaso.P = probabilidad de éxito.

Si consideramos a “n” y “P” como constantes, entonces la función anterior P(k)= b( k,n,p)es una distribución discreta.

K 0 1 2 3 4.........................n

P (k) q n (n1)qn-1 p1 (n

2) qn-2 p2 (n3) qn-3 p3 (n

4 )qn-4 p4..................pn

42

PROBABILIDAD

Se llamara distribución binomial puesto que para k = 0,1,2,3,4.....n corresponde a los términos sucesivos del desarrollo binomial.

( q + p )n = qn + (n1) qn-1 p1 + (n

2) qn-2 p2 + (n3) qn-3 p3 + (n

4) qn-4 p4......................pn

Esta distribución se conoce también como distribución de Bernoulli y las pruebas independientes con 2 resultados se llaman pruebas de Bernoulli.

b ( 2 ; 5 ,1/3 )

k n p

DISTRIBUCION BINOMIAL

Media = (x) = = np Varianza = 2 = var (x) = npq Desv.Estándar0 = x = npq

Ejercicios: Calcular los siguientes valores binomiales:

b ( 2 ; 5 , 1/3 ) = (5 2) (2/3)5-2 (1/3)2 = (5 2) (2/3)3 (1/3)2 = 10 (8/27) (1/9) = 80/243 = .32

b ( 3 ; 6 , 1/2 ) = (6 3) (1/2)6-3 (1/2)3 = (6 3) (1/2)3 (1/8) = 20 (1/8) (1/8) = 20/64 = .3125

b ( 3 ; 4 , 1/4 ) = (4 3) (3/4)4-3 (1/4)3 = 4 (3/4) (1/64) = 4 (3/256) = 12/256 = .04687

Ejemplos:

1. Se lanza una moneda corriente, 6 veces o su equivalente 6 monedas corrientes una vez, llamamos sol al éxito. Calcular la probabilidad de que sucedan 2 soles exactamente.

P ( 2 ) = ( 2 ; 6 , 1/2 ) = (6 2) (1/2)6-2 (1/2)2 = 15 (1/2)4 (1/2)2 = 15 (1/16)(1/4) = 15/64 = 23.43 %

23.43 % de que al lanzar 6 monedas resulten dos soles exactamente.

2. El equipo A tiene la 2/3 de probabilidad de ganar cuando juega. Si A juega 4 partidos hallar la probabilidad de que A gane.

A) 2 partidos.B) 1 partido por lo menos.C) Más de la mitad de los juegos.

p = 2/3 q = 1/3

43

PROBABILIDAD

a) P(A) = P(2) = b ( 2 ; 4 , 2/3 ) = 8/27 = 0.2962 29.62 %

b) P = P(1) + P(2) + P(3) + P(4) P(0) = qn (fracaso total); entonces 1-qn = P = 80/81

c) P(3) + P(4) = 16/27 59.25 %

DISTRIBUCION DE POISSON.

P ( k , ) = k e-

k!

= np Aproximación de Poisson.

Esta distribución infinita contable se presenta en muchos fenómenos naturales, tales como el numero de llamadas telefónicas por mi8nuto en un tablero de distribución, el numero de errores por pagina en un texto grande, el numero de partículas alfa emitidas por una sustancia radioactiva, etc.

Las propiedades de la distribución de Poisson.

DISTRIBUCION DE POISSON

Media = Varianza 2 = Desv. estándar =

= Es el numero promedio de resultados que ocurren en el intervalo de tiempo o la región especifica.

k = Es el numero de resultados que se producen en un intervalo o en la región determinada.

e = Es la constante con valor de 2.71828

44

PROBABILIDAD

La convergencia de la función de Probabilidad binomial hacia la de Poisson tiene un valor practico, porque se pueden utilizar las probabilidades de Poisson para aproximar sus correspondientes binomiales; para valores grandes de m y valores grandes de p, en estos casos podemos utilizar la aproximación de Poisson dada por = np

Ejercicios:

1. Supongamos que el 2% de artículos de una fabrica son defectuosos. Hallar la probabilidad de que haya 3 artículos defectuosos en una muestra de 100 artículos.

NOTA: Según la información que tenemos, todo indica que debemos hacer la distribución binomial ( b ( k ; n , p ) ) sin embargo por ser “m” grande igual con 100 y “p” pequeña igual con 0.02, recurrimos a la distribución de Poisson o sea hacemos una aproximación de Poisson.

P ( k ; )

= 100 (0.02) = 2

P ( 3 ; 2 ) = 23 e-2 = 8 (0.1353) = 0.1804 = 18.04 % 3! 3·2·1

2. Si un banco recibe en promedio 6 cheques falsos al día:A) Cual es la probabilidad que reciba 4 cheques falsos en un día cualquiera.B) Cual es la probabilidad que reciba 10 cheques falsos en 2 días consecutivos cualquiera.

A) P (4 ; 6) = 64 e-6 = 1296 (0.0024) = 0.1338 13.38 % 4! 4·3·2·1

B) P (10 ; 12) = 1210 e-12 = 6.1917 (0.0000061) = 0.1048 10.48 % 10! 10·9·8·7·6·5·4·3·2·1

3. El numero promedio de partículas radioactivas que pasan a través de un contador durante un milisegundo en un experimento de laboratorio es 4. Cual es la probabilidad de que entren 6 partículas en el contador en un milisegundo determinado.

P (6 ; 4) = 46 e-4 = 4096 (0.0183) = 0.1041 = 10.41 % 6! 6·5·4·3·2·1

4. Supóngase que el 1 % de los artículos producidos por una maquina son defectuosos. Hallar la probabilidad de que 3 o mas sean defectuosos en una muestra de 100.

= 100 (0.01) = 1

45

PROBABILIDAD

P (0 ; 1) = 10 e-1 = 1 (0.3678) = 0.3678 36.78 % 0! 1

P (1 ; 1) = 11 e-1 = 1 (0.3678) = 0.3678 36.78 % 1! 1

P (2 ; 1) = 12 e-1 = 1 (0.3678) = 0.1839 18.39 % 2! 2·1

0.9195 = fracaso = q

éxito = 1 – 0.9195 = 0.0804 8.04 %

UNIDAD IV.

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD CONTINUA.

OBJETIVO: El alumno aplicará los conceptos de las variables aleatorias discretas en la solución de problemas.

FUNCIÓN DE DENSIDAD DE PROBABILIDAD (Para variables contínuas).

Supóngase que “x” es una variable aleatoria cuyo conjunto imagen X(S) es un conjunto Continuo, de números tales como un intervalo. Recordemos la definición de variables aleatorias que es el conjunto {a x b} siendo un suceso de “S” y por lo consiguiente la probabilidad de (a x b) esta bien definida.

Supongamos que existe una función continua especial. f: P(a x b) = { área bajo la curva de f / x = a , x = b }

Como se muestra en la siguiente figura:

b

46

PROBABILIDAD

P (a x b) = f(x) dx a

a b

En este caso se dice que “x” es una variable aleatoria continua. La función “f ” se llama función de distribución o de probabilidad continua (función de densidad) de “x” que satisface las siguientes condiciones:

1.

2. f (x) dx = 1 R

El valor esperado para una variable continua es igual a una integral.

(x) = E(x) = x f (x) dx R

VAR(x) = x2 f (x) dx – 2

R

x = VAR(x)

EJEMPLO:

1.- Sea “x” una variable aleatoria continua con la distribución siguiente:

½ x Si 0 x 2f (x) = 0 en otra parte

Calcular la P(1 x 1.5)

y = ½ x ó f (x) = ½ x f(x)

x y = ½ x

0 0 b 1 ½ P (0 x 2) = f(x) dx = 1 2 1 1 2 a

47

1

½

1

½

PROBABILIDAD

f(x)

1.5 1.5 1.5 P (1 x 1.5) = f(x) dx = (½x) dx = ½ xdx = ½ x2 / 2

1 1 1

1 ½ 2 = ½ ((1.5)2 / 2) – ((1)2 / 2) = ½ (2.25 / 2) – (1/2)

= ½ [1.25 / 2] = 1.25 / 4 = 0.3125

Por figura geométrica:

aárea del trapecio = ½ h · ( b + a )

h

b

h = ½ a = ½ ½ ( ½ ) · ( ¾ + ½ ) = 5/16 = 31.25b = ¾

2 2 2 2 E(x) = x( ½ x) dx = ½ x2 dx = ½ x2dx = ½ x3 / 3 = ½ ((2)3 / 3) – ((0)3 / 3) 0 0 0 0

= ½ ( 8/3 ) = 8/6 = 4/3 = 1.33 = (x)

2 2 2 VAR(x) = x2 (½ x) dx – 2 = ½ x3 dx – 2 = ½ x4 / 4 - (1.33)2 0 0 0

= ½ [ (24 / 4) – (04 / 4) ] – 1.7689 = 16/8 – 1.7689 = 2 – 1.7689 = 0.2311

x = 0.2311 = 0.4807

48

PROBABILIDAD

DISTRIBUCION NORMAL. (Maneja variables continuas).

La distribución normal o curva normal o de Gauss se define como sigue: f (x) = 1 e- ½ ( x- ) 2

2 2

donde y > 0 y son constantes.

Esta función es un ejemplo importante de distribución de probabilidad continua.

= -2 = 0 = 2

-2 -1 0 1 2

= 0.5

= 1

= 2

49

Variación de posición y desviación estándar fija.

Distribución NormalP / Fijo ( =1)

Distribución normal fijo ( = 0 )

Sin variación de posición y desviación estándar diferente.

PROBABILIDAD

0

Las propiedades de una distribución normal son:

DISTRIBUCION NORMAL

Media Varianza 2

Desv. Estándar

Designamos a la distribución N ( , 2 )

Si sustituimos:

t = ( x – ) / en N ( , 2 )

( t ) = 1 –½ t 2

2 e

Como = 0 y 2 = 1. Entonces la gráfica de la distribución normal estándar es la siguiente.

Restante para .5 2.1% 13.6% 34.1% 34.1% 13.61% 2.1%

-3 -2 -1 0 1 2 3

.5 .5

50

PROBABILIDAD

1

Para –1 t 1 el área bajo la curva es 68.2 %

Para –2 t 2 el área bajo la curva es 95.4 %

Ahora sea “x” una variable aleatoria continua con distribución normal; “x” esta distribuida normalmente. Calculamos la probabilidad de que x caiga entre a y b designada por:

P ( a x b )

Por lo tanto primero pasamos a “a” y a “b” a unidades estándar, de la siguiente forma:

donde: a’ y b’ están estandarizadas.

Por lo tanto.

P ( a x b ) = P ( a’ x* b’ ) = Area bajo la curva normal estándar entre a’ y b’.

x* es la variable aleatoria estandarizada que corresponde a “x” y por lo tanto x* tiene distribución normal N ( 0 , 1 ).

Ejemplos:

1. La media y la desviación estándar de un examen son 74 y 12 respectivamente. Hallar los resultados en unidades estándar de los estudiantes que recibieron notas o calificaciones.

a) 65b) 74

51

PROBABILIDAD

c) 80d) 92

= 12

a) x* = 65-74 = 0.75 12

b) x* = 74-74 = 0 12c) x* = 80-74 = 0.5 12

d) x* = 92-74 = 1.5 12

En relación con el problema anterior hallar las notas que corresponden a resultados estándar.

a) –1b) 0.5 x* = x – = despejada = x = x* + c) 1.25 d) 1.75

a) x = (-1) (12) + 74 = 62b) x = (0.5)(12) + 74 = 80c) x = (1.25)(12) + 74 = 89d) x = (1.75)(12) + 74 = 95

2. Sea la distribución estándar. Hallar: (f) para:

1 t = 1.63 t = 0.1057 (1.63 , 0.1057)2 t = -0.75 t = 0.3011 (-0.75 , 0.3011)3 t = -2.08 t = 0.0459 (-2.08 , 0.0459)

De tabla 6.1 sobre t

t 3

1.6 0.1057 P (1.63 , 0.1057)

t t

52

PROBABILIDAD

3. Sea x una variable aleatoria con distribución estándar , hallar:

1) P ( 0 x 1.42 )2) P ( -0.73 x 0 )3) P ( -1.37 x 2.01 )4) P ( 0.65 x 1.26 )5) P ( -1.79 x -0.54 )6) P ( x > 1.13 )7) P ( x 0.5 )1) P ( 0 x 1.42 ) = 0.4222 42.22 %

De tabla sobre t:

0 1.42

2) P ( -0.73 x 0 ) = 0.2673 26.73 %

-0.73 0

3) P ( -1.37 x 2 ) = 0.4147 + 0.4778 = 0.8925 89.25 %

53

PROBABILIDAD

-1.37 0 2.01

4) P ( 0.65 x 1.26 ) = 0.3962 – 0.2422 = 0.1540 15.40 %

0.65 1.26

5) p ( -1.79 x -.054 ) = 0.4633 – 0.2054 = 0.2579 25.79 %

-1.79 - 0.54

6) P ( x > 1.13 ) = 0.3708 ( 0.5000 – 0.3708 ) = 0.1292 12.92 %

54

PROBABILIDAD

1.13

7) P ( 0.5 ) = 0.1915 2 38.30 %

-0.5 0.5

55

PROBABILIDAD

TABLA 6.1

56

PROBABILIDAD

TABLA 6.2

NOTA: COPIAR TABLA DEL LIBRO PARA CÁLCULO DE ÁREAS PAG. 111

57

PROBABILIDAD

58