apuntes de métodos matemáticos II (EDPs) -...

2012

apuntes demétodos

matemáticos II(EDPs)

Pepe ArandaMétodos MatemáticosFísicas Complutense

http://jacobi.fis.ucm.es/pparanda/EDPs.html

Métodos Matemáticos II (grupos D y E, 2011-2012)

Índice

BibliografíaSobre las versiones de los apuntes

Introducción 1

1. Clasificación; problemas clásicos; ondas 31.1 EDPs lineales de primer orden 41.2 EDPs lineales de segundo orden; clasificación 71.3 Los problemas clásicos; unicidad 101.4 Ecuación de la cuerda vibrante 13

2. Soluciones de EDOs en forma de serie 192.1 Funciones analíticas y puntos regulares 202.2 Ecuación de Euler y puntos singulares regulares 242.3 Ecuaciones de Legendre, Hermite y Bessel 292.4 El punto del infinito 32

3. Problemas de contorno para EDOs 333.1 Problemas de Sturm-Liouville homogéneos 343.2 Series de Fourier 393.3 Problemas no homogéneos 43

4. Separación de variables 454.1 Separación de variables para el calor 464.2 Separación de variables para ondas 524.3 Separación de variables para Laplace 574.4 Algunos problemas en tres variables 64

5. Otros métodos en EDPs 715.1 Transformadas de Fourier 725.2 Funciones de Green 76

Apéndice 79

Problemas 1 iProblemas 2 iiProblemas 3 iiiProblemas 4 ivProblemas 5 vi

Problemas adicionales 1 IProblemas adicionales 2 IIIProblemas adicionales 3 IVProblemas adicionales 4 VProblemas adicionales 5 VII

Bibliografía

H Haberman. ECUACIONES DIFERENCIALES EN DERIVADAS PARCIALES con Series de Fouriery Problemas de Contorno. Pentice Hall

Ss Strauss. PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS. An Introduction. Wiley

W Weimberger. ECUACIONES DIFERENCIALES EN DERIVADAS PARCIALES. Reverté

MU Myint-U. PARTIAL DIFFRENTIAL EQUATIONS OF MATHEMATICAL PHYSICS. Elsevier

T Tijonov-Samarski. ECUACIONES DE LA FISICA MATEMATICA. Mir

Sp Stephenson. INTRODUCCION A LAS ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES. Reverté

Ch Churchill. SERIES DE FOURIER Y PROBLEMAS DE CONTORNO. McGraw-Hill

BD Boyce-Di Prima. ECUACIONES DIFERENCIALES y problemas con valores en la frontera.Limusa

Si Simmons. ECUACIONES DIFERENCIALES (con aplicaciones y notas históricas).McGraw-Hill

Br Braun. ECUACIONES DIFERENCIALES Y SUS APLICACIONES. InteramericanaR Ross. ECUACIONES DIFERENCIALES. Reverté

E Elsgoltz. ECUACIONES DIFERENCIALES Y CALCULO VARIACIONAL. Mir

MCZ Marcellán-Casasús-Zarzo. ECUACIONES DIFERENCIALES. PROBLEMAS LINEALES YAPLICACIONES. McGraw-Hill

PA Puig Adam. CURSO TEORICO-PRACTICO DE ECUACIONES DIFERENCIALESAPLICADO A LA FISICA Y TECNICA.

Los 7 primeros libros son propiamente de EDPs: H, Ss, W, MU y T incluyen casi todos lostemas de los apuntes (y muchos otros que no se tratan en ellos). Sp y Ch tienen bastantesmenos páginas (y sirven para parte del curso). Los 5 siguiente son básicamente de EDOs,con lo que casi todos tratan los temas 2 y 3 relativos a ecuaciones ordinarias, aunque tienentambién introducciones a las EDPs. En concreto, BD, Si, Br y R estudian los problemas decontorno para EDOs y algo del método de separación de variables. R clasifica además lasEDPs de segundo orden con coeficientes constantes. E trata con detalle las EDPs de primerorden (lineales y no lineales). Los 2 últimos, el MCZ y el clásico PA (de 1950), son mixtos deEDOs y EDPs y abarcan una mayor parte del curso.

Gran parte de los libros de EDPs, en vez de estar organizados en torno a los métodos deresolución (como en estos apuntes), estudian por separado y con diferentes técnicas lasecuaciones hiperbólicas, elípticas y parabólicas.

Las EDPs de primer orden de 1.1 se estudian en H, E y PA, aunque se centran en lasecuaciones cuasilineales (o incluso no lineales) más generales y complicadas. La reduccióna forma canónica y las cuestiones de unicidad se ven en casi todos los libros de EDPs, porejemplo en MU, W o T. La deducción de las ecuaciones y el significado físico de los problemasse puede mirar, por ejemplo, en Bd, H, W, Ss o T. Para la cuerda vibrante de 1.4 se puedenconsultar el H, SS o W.

El método de series para las EDOs del tema 2 está bien contado en el BD y el Si, tantopara puntos regulares como para singulares regulares.

Para el 3 es recomendable leer BD, Si y H. Hay más demostraciones que en los apuntes (ycon matemáticas no muy complicadas) en Ss, W o Ch.

La separación de variables del tema 4 está en casi todos los libros. Buenas introduccioneshay en Sp, BD, Si, Br o R. El libro más recomendable para todo este capítulo es el H. Paraprecisiones de convergencia y problemas de varias variables, más variados que los escasosresueltos en estos apuntes, ver Ss, W, MU o T.

Para la sección 5.1 de la F ver Ch, Ss, MU, Sp y, sobre todo, H y W que utilizan tambiénla transformada de Laplace para EDPs (W tiene una introducción a la variable compleja). Laintroducción a las funciones de Green para Laplace de 5.2, sigue más o menos el MU. Ss, W,T y Sp también estudian las funciones de Green por otros caminos.

El MCZ, el H y el Ss dan métodos numéricos para problemas de contorno y EDPs (lo queno hacen los demás libros, salvo unas pocas ideas del W).

Sobre las versiones de los apuntes

Versión 2012. Primeros apuntes de métodos matemáticos II, para la asignatura del grado. Incluyenun nuevo tema 3 de soluciones por series (que abandona la asignatura de EDOs para hacer hueco a lavariable compleja). Para hacer sitio a este tema se recortan otros varios de las ‘Ecuaciones II’.

Se han limado sutilezas sobre tangencias en 1.1. En 1.2 se tratan sólo las EDPs con coeficientes cons-tantes, lo que acorta teoría y problemas. La cuerda vibrante vuelve (12 años después y simplificada) altema 1. Las ondas en más dimensiones se han ido (salvo una cita a las del espacio con simetría radial).

El tema 2 recoge el tema 3 de mis apuntes de EDOs, con notable reducción de ejemplos y problemas.

Del anterior tema 2 (ahora 3) salen las funciones de Green (que se juntan con las de Laplace en 5.2, atítulo informativo).

En el 4 de separación de variables pasa a tener sección propia la ecuación de ondas (con ejemplosnuevos, algunos de comparación con D’Alembert). El resto sigue casi igual.

De la transformada de Fourier (ahora 5.1) desaparecen las transformadas seno y coseno.

El apéndice se ha tenido que modificar. Y la mayor reducción, como en el anterior cambio de plan, seha hecho en los problemas (ya simplificados para el grupo residual del curso anterior).

Para separar los ejemplos se han incluido (como en los apuntes de Matemáticas) recuadros de color .

Versión 2011. Adaptación al ‘grupo residual’ de la licenciatura (2010/11, último año con clases). Sepasaron a ‘letra pequeña’ temas que en otros grupos no se contaban (como las ondas en 3 y 2 di-mensiones, tras retocar 4.1 y 4.2), los ‘problemas 3’ se dividieron en dos partes, bastantes problemaspasaron a adicionales y se incluyeron nuevos y nuevos ejemplos inventados para el piloto del 08/09.

Versión 2009. Bastantes novedades, empezando por la letra, que pasó a ser Bitstream-Vera (sin serif),lo que obligó a reescribir (y de paso a retocar) muchas partes del texto.

1.1 y 1.3 se modificaron levemente y 1.2 se volvió a reordenar.

2 perdió una sección. Los ejemplos de la vieja 2.1 se incluyeron, además de otros nuevos, en la nueva2.1. También aparecieron más ejemplos en series de Fourier y en problemas no homogéneos.

3.1 incluyó ejemplos nuevos del calor y 3.2 dos ejemplos más en cartesianas y uno en polares. 3.3cambió poco y como 3.4 (antes 4.4) apareció la introducción a las funciones de Green para Laplace.

En todo el 4 aparecieron ejemplos nuevos (y otros se detallaron). En 4.1, uno de cuerda semi-infinita yotro de cuerda acotada, dos de ondas en 3 dimensiones en 4.2, y tres de la F de 4.3.

Se creó un apéndice con repaso de EDOs, de convergencia uniforme y cálculo en varias variables.

Los problemas (y los adicionales) cambiaron bastante (los grupos piloto exigen inventar muchos pro-blemas para entregar, para parcialillos,... y eso se notó).

Versión 2008. Escasas novedades en teoría. Además de algunas correcciones de ejemplos, erratas,estéticas... se reordenó la sección 1.2 y se añadieron ejemplos en 3.1. Los problemas incluyeron los deexamen del curso anterior, algunos de los del curso 06-07 pasaron a adicionales y otros se convirtieronen problemas a entregar en el grupo piloto.

Versión 2007. Primera de los apuntes de Ecuaciones Diferenciales II (EDPs) y heredera de losapuntes de ecuaciones en derivadas parciales para los ‘Métodos Matemáticos II’, impartidos porúltima vez en el 1997-98 (la versión, 2000, en Word, contenía mis apuntes de ese año, pero con dibujos aordenador). La asignatura era de 3, los estudiantes habían cursado ‘Métodos I’ en 2 (variable complejay espacios de Hilbert) y había 5 horas semanales de clase. Las ‘Ecuaciones II’, en cambio, se cursabanen 2, con 4 horas semanales y sólo se había estudiado Álgebra y Cálculo en 1, y las EDOs del primercuatrimestre de segundo. Por tanto, hubo que reducir contenidos. Aunque los temas se mantuvieron(reordenados), algunos pasaron a estar ‘en letra pequeña’ (a título informativo). Más funcionó la tijeraapartando de las hojas de problemas fundamentales bastantes de los más complicados del pasado.

Yendo al detalle, el tema 1 era el antiguo 5, con algún ejemplo más, algún recorte en unicidad y sededuce ya la fórmula de D’Alembert (el viejo capítulo 6 se trasladó, reduciendo su tamaño, al tema 4).

El 2 de esa versión era el viejo 7 de problemas de contorno, centrándose en las condiciones separadas,eliminando ideas sobre comparación de autovalores y poniendo la δ de Dirac en letra pequeña.

El 3 de separación de variables era el viejo 8, bastante reordenado. En vez de separar problemashomogéneos y no homogéneos, se tratan ambos sucesivamente, primero para calor y ondas, y en otrasección para Laplace. Aparecen, como novedad, algunas líneas dedicadas a los armónicos esféricos.

El 4 incluyó las ondas en 1, 3 y 2 dimensiones espaciales (con menos intensidad que en Métodos II, sobretodo en problemas), la transformada de Fourier, y, a título informativo, el método de las imágenes.

Los problemas se dividieron en ’problemas’ (los que se hacen en clase) y ’problemas adicionales’ (a ellosfueron exiliados los más largos, laterales al curso o repetidos). Unos cuantos de los viejos problemas (yvarios apartados de otros) desaparecieron del todo.

Los apuntes se hicieron en LATEX, utilizando el programa TeXShop para Mac y eligiendo ese año 2007,para distinguirse de las letras habituales, el tipo ’palatino’.

[Estos apuntes pueden ser utilizados y citados por cualquierasin ningún problema, siempre que no haga negocio con ellos].

Introducción

Estos apuntes estudian principalmente las ecuaciones en derivadas parciales(EDPs), aunque también tratan las soluciones por medio de series y los problemasde contorno de las ecuaciones diferenciales ordinarias (EDOs). Una EDP es unaecuación en la que aparecen derivadas parciales de una función incógnita de variasvariables. Todas las EDPs que veremos serán lineales. Más en concreto, salvo unbreve estudio de las lineales de primer orden, trataremos de EDPs lineales desegundo orden (con derivadas de orden 2 o menor), del tipo:

[1] L[] ≡n∑

,j=1

Aj∂2

∂ ∂j+

n∑

j=1

Bj∂∂j+ C = F

donde , Aj , Bj , C y D son funciones de (1, . . . , n) . Una solución de [1] seráuna función (1, . . . , n) de clase C2 en una región Ω de Rn que sustituida en laecuación la convierte en una identidad.

Entre las EDPs lineales de segundo orden se encuentran muchas ecuaciones de lafísica. Entre ellas las tres clásicas:

ecuación de ondas tt − c2Δ = 0ecuación del calor t − kΔ = 0y ecuación de Laplace Δ = 0

que son ejemplos, respectivamente, de los tres grandes tipos en que se clasifican:hiperbólicas, parabólicas y elípticas. La teoría avanzada de EDPs viene a serla generalización del estudio de estas tres ecuaciones. Sus propiedades son tandiferentes que no existen teorías generales como la de las EDOs lineales.

En el capítulo 1 se verá que casi nunca se puede dar la solución general de unaEDP (por eso, en sucesivos capítulos utilizaremos series o transformadas integralespara resolverla). La hallaremos para algunas de primer orden en dos variables (yaparecerá una función arbitraria de las características, soluciones de una EDOligada a la EDP) y para pocas de segundo (con dos funciones arbitrarias). Veremosqué condiciones adicionales (iniciales o de contorno) se imponen a las EDPs paraconseguir solución única. De las clásicas, sólo para la de ondas se podrá dar porestos caminos una fórmula (de D’Alembert) para sus soluciones.

El capítulo 2 describe cómo resolver EDOs lineales de segundo orden medianteseries de potencias (único método posible en la mayoría de las ocasiones), entorno a los llamados puntos regulares y a los singulares regulares, incluidoel llamado punto del infinito. Se aplica el método a tres ecuaciones particulares(Legendre, Hermite y Bessel) que aparecen al resolver EDPs de la física.

El capítulo 4 describe el método de separación de variables para resolver lasecuaciones clásicas (homogéneas y no homogéneas, en diferentes coordenadas yen 2 o más variables) en recintos sencillos (y acotados, al menos, en una de lasvariables). Se supone la solución como producto de funciones de cada una de lasvariables, lo que lleva a resolver EDOs en cada una de ellas, alguna con condicionesde contorno. Las soluciones quedan expresadas en términos de series de Fourier.La necesaria teoría (muy diferente de la de los de valores iniciales) de problemasde contorno para EDOs (homogéneos y no homogéneos) y una descripción dedichas series se dará previamente en el capítulo 3.

El capítulo 5 trata un par temas independientes. Utilizaremos la transformadade Fourier para resolver algunas EDPs en recintos no acotados (en particular,la del calor en la recta infinita). Y hablaremos brevemente de las funciones deGreen para problemas de contorno de EDOs y para Laplace.

Los apuntes acaban con un apéndice en el que se repasan algunos conocimientosmatemáticos previos (de EDOs, de cálculo en varias variables y de convergenciauniforme) que se utilizan en los capítulos anteriores.

1

Para acabar esta introducción, describamos el significado físico de las ecuacionesclásicas. Interpretémoslas únicamente en sus versiones más sencillas (que son lasmás tratadas en los apuntes): cuando la es función de dos variables.

Empecemos con la ecuación de ondas unidimensional o ecuación de la cuerdavibrante. Consideremos las oscilaciones de una cuerda totalmente elástica, tensay fija en sus extremos. Se supone que sus oscilaciones son siempre transversalesy de pequeña amplitud. En esas condiciones se puedever que si (, t) representa el desplazamiento verti-cal del punto de abscisa en el instante t , la función(, t) satisface la EDP:

u(x,t)

x

instante t

x

u

tt − c2 = F(, t)

donde c2 = To/ρ , con To fuerza de tensión en los extremos, ρ masa por unidadde longitud (densidad lineal) y F(, t) fuerza externa por unidad de masa queactúa en dirección vertical sobre el punto en el instante t . Para determinar laevolución de una cuerda concreta, se verá que debemos fijar la posición de lacuerda y la distribución de velocidades verticales en el instante inicial, es decir,(,0) y t(,0) . También se deberá de tener en cuenta que permanece fija enlos extremos = 0 y = L , o sea, que (0, t) = (L, t) = 0 . No olvidemos que elmodelo matemático de esta cuerda ideal es sólo una simplificación de la realidad;lo mismo ocurre con las siguientes.

La distribución de temperaturas a lo largo del tiempo en una varilla delgada (quepodemos suponer unidimensional) viene regida por la ecuación del calor:

t − k = 0

donde (, t) representa la temperatura del punto en el instante t y k > 0 esuna constante proporcional a la conductibilidad e inversamente proporcional a ladensidad y al calor específico. Si existiesen fuentes de calor en el interior de lavarilla deberíamos escribir una F(, t) en el segundo miembro de la ecuación. Adiferencia de la de ondas, aquí bastará dar sólo la distribución inicial de tempera-turas (,0) (junto con las condiciones de contorno) para determinar la solución.

La ecuación de Laplace:

+ yy = 0

puede describir, entre otras situaciones físicas, la distribución estacionaria de tem-peraturas en una placa bidimensional. La existencia de fuentes de calor en el inte-rior de la superficie aportaría una F en el segundo miembro (ecuación de Poisson).Frente a las dos ecuaciones anteriores que describían la evolución de un sistema alo largo del tiempo, ésta describe situaciones estacionarias y los problemas que seplantean para ella son siempre con condiciones de contorno.

2

1. Clasificación; problemas clásicos; ondas

En las EDOs se plantean problemas de valores iniciales, casi siempre con soluciónúnica. Para resolverlos (cuando se puede) se suele hallar primero la solución ge-neral y imponer después uno o varios (dependiendo del orden) datos iniciales. Eneste capítulo describiremos los problemas análogos para las EDPs. La variedad ycomplicación será mucho mayor que en las ordinarias. Por ejemplo, casi nunca sepodrá hallar la solución general de una EDP.

Comenzamos en la sección 1.1 tratando las EDPs lineales de primer orden endos variables, es decir, ecuaciones del tipo:

[1] A(, y)y + B(, y) = H(, y)+ F(, y) ,

con pocas aplicaciones físicas, pero que plantean de forma sencilla los problemasde las de segundo orden. Serán resolubles si es posible hallar las soluciones deuna EDO de primer orden, llamadas curvas características de [1]. En la solucióngeneral de [1] aparece una función p arbitraria (como en el ejemplo = 0 , desolución (, y) =p(y) , para cualquier p ). Para precisar esta p fijaremos el valorde la solución a lo largo de una curva G del plano y (problema de Cauchy). Uncaso particular será el problema de valores iniciales, si fijamos (,0) = ƒ () .La solución quedará determinada si G no es tangente a las características.

En 1.2 abordamos las EDPs lineales de segundo orden en dos variables:

[2] L[] ≡ Ayy + By + C +Dy + E +H = F(, y)

Para intentar resolverlas, las escribiremos, con cambios de variables, en la for-ma más sencilla posible (forma canónica). Esto llevará a la clasificación de [2] enhiperbólicas, parabólicas y elípticas. En pocos casos, a partir de la forma canó-nica, se podrá hallar la solución general, dependiente de dos funciones arbitrarias,que se pueden fijar con datos de Cauchy análogos a los de [1]. Uno de esos casosserá la ecuación de ondas. Para ella deduciremos la fórmula de D’Alembert queexpresa sus soluciones en términos de la posición y velocidad iniciales.

Los datos iniciales puros sólo se plantean para las ondas, pues carecen de sentidofísico y plantean problemas matemáticos en las otras dos ecuaciones clásicas. Lascondiciones iniciales y de contorno ligadas a un problema real son diferentes paracada ecuación. No hay una teoría general de EDPs que abarque todas las posibili-dades. En cada caso hay que comprobar que el problema está ’bien planteado’,es decir, que tiene solución única que depende continuamente de los datos(lo que era trivial en las EDOs). La sección 1.3 se dedica a describir los diferentesproblemas asociados a las ecuaciones clásicas y a precisar su unicidad.

En 1.4 nos dedicaremos a sacarle jugo a la citada fórmula de D’Alembert que da lasolución del problema puro de valores iniciales para la cuerda infinita:

tt − c2 = 0 , , t∈R(,0) = ƒ () , t(,0) = g()

Veremos que la solución (, t) resulta ser la suma de dos ondas que se mueven ensentido opuesto a velocidad c . Daremos también una fórmula para las solucionesde la ecuación no homogénea [con fuerzas externas F(, t) ]. Comprobaremoscomo, extendiendo de forma adecuada los datos iniciales a todo R, podemosabordar problemas con condiciones de contorno. Primero para la cuerda semi-infinita (a la que ser pueden reducir las ondas en el espacio con simetría radial) yluego para la acotada. Al estar manejando funciones con expresiones distintas endiferentes intervalos, escribir la solución explícitamente lleva a discusiones com-plicadas. Por eso nos conformaremos muchas veces con hallar su expresión paravalores de t o fijos o con los dibujos de la solución.

3

1.1. EDPs lineales de primer orden

Sea [E] A(, y)y + B(, y) = H(, y)+ F(, y) , = (, y) .

Para resolverla usaremos la EDO de primer orden [e]dyd =

A(,y)B(,y)

ecuacióncaracterística

Suponemos que A y B son de C1 (con parciales continuas) y que no se anulan ala vez en una región del plano. Entonces [e] tendrá en ella unas curvas integrales:

ξ(, y) = K curvas características de [E]

(que se podrán hallar explícitamente si [e] es separable, lineal, exacta. . . ).

Haciendo el cambio de variable

ξ = ξ(, y)η = y (o bien η= ) , [E] se convierte en:

y = ξ ξy + η = ξ ξ

→ Aη + [Aξy + Bξ]ξ = H+ F

Y como sobre las soluciones y() definidas por ξ(, y) = K se tiene:

ξ(, y()) = K → ξ + ξydyd =

1B[Aξy + Bξ] = 0 ,

vemos que [1] pasa a ser una ecuación en las nuevas variables (ξ, η) en la que noaparece ξ :

[E∗] A(ξ, η)η = H(ξ, η)+ F(ξ, η) , = (ξ, η) .

Si hubiésemos escogido η= habríamos llegado a [E∗] Bη = H+ F .

(Como vemos, tras el cambio queda el término con la variable elegida).

[E∗] (o [E∗]) es una EDO lineal de primer orden en la variable η si consideramosla ξ constante (y, por tanto, es resoluble). En su solución aparecerá una constantearbitraria para cada ξ , es decir, una función arbitraria de ξ :

[•] (ξ, η) = p(ξ)e∫ HA dη + e

∫ HA dη

∫ FA e−∫ HA dη dη , con p arbitraria de C1.

Deshaciendo el cambio queda resuelta [E] en función de e y . En la solución,como se observa, aparece una función arbitraria de las características.

¿Cómo determinar una única solución de [E]?, es decir, ¿cómo precisar p ? Cada

y

u

G

Γ

x

solución describe una superficie en el espacio. Generalizandoel problema de valores iniciales para EDOs definimos:

El problema de Cauchy para [E] consiste en hallar lasolución (, y) que tome unos valores dados sobreuna curva G del plano y , o lo que es lo mismo, quecontenga una curva dada del espacio.

En particular, si G es una recta ó y=cte

por ejemplo, si se pide (,0)= ƒ ()

,se tiene lo que se llama un problema de valores iniciales.

xy

u

G

1

2

Γ

Γ

infinitas

ninguna

caso D=C=0

Pero un problema de Cauchy puede no tener solución única.

Por ejemplo, la solución general de Ay+B=0 es (, y)=p

ξ(, y)

y cada solución toma valor constante sobre cada ξ(, y)=K . Si la curvaG donde imponemos los datos es una de esas características se debeexigir que esté en un plano horizontal z = C . Entonces hay infinitassoluciones [una para cada función p∈C1 con p(K)=C ]. Si no tiene zconstante, no hay solución que contenga a .

4

1Ej 1. y2y+ = 2dyd = y

2 , 1y = K− →

+ 1y = K

características¨

ξ=+ 1y

η= [mejor]→ η=2=2η→ =p(ξ)eη

2= p

+ 1y

e2

, p∈C1.

¨

ξ=+ 1y

η=y [peor]→ y2η=2

=ξ− 1η

→ η=2ξη2− 2η3

→ =p∗(ξ)e1η2− 2ξ

η =p∗

+ 1y

e− 1

y2− 2

y .

Aunque no lo parezca, las expresiones con p y p∗ definen la misma solución general,

pues e− 1y2− 2y = e−

+ 1y2

e2, y p∗

+ 1y

e−

+ 1y2

es otra función arbitraria de + 1y

.

Impongamos ahora diferentes datos de Cauchy a la ecuación y veamos lo que resulta:

(,1)=1 → p(+1)e2=1 . Para precisar la p hacemos +1= → =−1 .

Por tanto: p()=e−(−1)2 → =e

2−

+ 1y−12

= e2− 2

y +2y−

1y2−1

.

O bien, p∗(+1)e−1−2 = 1+1=−→ p∗()= e2−1

Estos cálculos han determinado la única solución del problema de valores iniciales.

(0, y)=y → p1y

=y1/y=−→ p()= 1

→ = y1+y e

2 , que también parece ser única.

(,− 1 )=0 y (,− 1 )=1 darán problemas por estar dados sobre característica.

Para el primero: p(0)e2=0 . Lo cumple toda p∈C1 con p(0)=0 . Infinitas soluciones.

Para el segundo: p(0)e2=1 , p(0)= e−

2. Imposible. No tiene solución.

Datos sobre características dan siempre 0 o ∞ soluciones[pues se acaba en p(cte)=algo, que puede ser constante o no].

Tratemos el problema de la unicidad en general. Supongamos que buscamos la solución con

g(s), h(s)

= ƒ (s) , g y h derivables [la curva G=(g, h) es suave].

Sustituyendo en [•] y despejando p : p

ξ(g(s), h(s))

=R(s) , con R conocida. Como arriba,llamemos =ξ

g(s), h(s)

. Si podemos despejar s en función de de forma única s=s() ,la p() =R

s()

queda fijada y, por tanto, hay una única solución de [E] con esos datos.Sabemos que esta función inversa existe seguro en un entorno de cada so para el que sea:

dds

s=so= d

ds

ξ

g(s), h(s)

s=so= ∇ξ

g(so), h(so)

·

g′(so), h′(so)

6= 0 .

Como ∇ξ es perpendicular a las características y (g′, h′) es tangente a G , deducimos:

x

ygh( ) caract.

pendiente A/B

Si G no es tangente en ningún punto a las características haysolución única del problema de Cauchy en un entorno de G.

La tangencia se puede ver sin resolver la EDO [e], a partir desu campo de direcciones: el vector (B,A) es tangente a sussoluciones y (A,−B) es perpendicular. Por tanto:

G es tangente a alguna característica en un punto

g(so), h(so)

si y sólo si

Δ(so) ≡ g′A(g, h)− h′B(g, h)

s=so= 0 .

Si Δ(s) 6=0 ∀s el problema de Cauchy tiene solución única.

[Si Δ(s)≡0 ∀s , G es tangente en cada punto, es decir, es una característica].

Estudiemos de nuevo la unicidad del ejemplo 1, ahora que tenemos teoría general:

El primer dato y=1 , como muestra el dibujo, no era tangente a las características.

Exactamente lo mismo lo asegura Δ() = 1 · 12 − 0 · 1 = 1 6= 0 .

En el segundo, a =0 le ocurre lo mismo, y es Δ(y) = 0 · y2 − 1 · 1 = −1 6= 0 .

Para los otros: Δ()=1 ·

− 1

2− 12·1 ≡ 0 , lo que confirma que G es característica.

5

Ej 2.(y−2)y+=y(0, y) = y−2

dyd =

y−21 , y=Ce+2+2 → (y−2−2)e−=C y

x

y=2x+2

ξ=(y−2−2)e−η= (parece mejor)

→ η=y = ξeη+2η+2 → = p(ξ)+ξeη+η2+2η ,

= p

[y−2−2]e−

+ y+2−2 .

Escogiendo η=y no se podría despejar la de ξ=(η−2−2)e−

.

p(y−2)+y−2=y−2 , p(y−2)=0→ p()=0 ∀ , = y+2−2 .

Solución única porque =0 nunca es tangente a las características.

x

y

Ej 3.yy+ = 2(,1) = 3

dyd =

y → y=C →

ξ=y/η=y → ηη = 2→

= p(ξ)η2 = p y

y2 ; (,1) = p1

= 3 → p() = 13

; = 3

y .

[Sólo si y>0 ; la solución de un problema de Cauchy, en principio, sólo es local].

Ej 4. 2y − = 4ydyd = −2→ y+2 = K características.

ξ = y+ 2η = y → 2η = 4y ; η = 2η → = p(ξ) + η2 = p(y+2) + y2

ξ = y+ 2η = →−η = 4y = 4ξη−4η3 →

= p∗(ξ)+η4−2ξη2 = p∗(y+2)−2y2−4

Imponemos diferentes datos de Cauchy a la ecuación y analizamos la unicidad:

(1, y)=0 →p(y+1)+y2=0 , p()=−(−1)2

p∗(y+1)−2y−1=0 , p∗()=2−1→ = 2y+22−2y2−4−1 .

y

x1

[p ó p∗ fijadas ∀ ; =1 no es tangente a las características].

(,−2) = 0 → p(0) + 4 = 0 . Imposible, no hay solución.

(,−2) = 4 → p(0)=0 . Cada p∈C1 con p(0)=0 nos dauna solución diferente: hay infinitas.

(,0)=0 → p(2)=0 . Sólo queda fijada p()=0 para ≥0 ,pero no hay ninguna condición sobre p si <0 .

vp validas

p(v)

'

Podemos elegir cualquier p∈C1 que valga 0 para ≥0 , con loque existen infinitas soluciones en un entorno de (0,0) :

(, y)=y2 si y≥−2 , pero está indeterminada si y<−2 .

En (0,0) es y=0 tangente a las características. Lo confirma Δ=1·2−0·(−1)

.

(, 3−2)=4−25 → p(3)=−6 , p()=−2 ∀ → =−22y−4 ∀(, y) .

Hay solución única pese a ser la curva de datos tangente a una característica enel punto (0,0)

es Δ = 1 ·2− (32−2) · (−1) = −32

. A veces hay tangenciay existe solución única. La no tangencia es suficiente pero no necesaria.

Ej 5.t + c = 0(,0)= ƒ ()

dyd =

1c →

− ct = Kcaracterísticas → =p(−ct) solución general.

(,0)=p()= ƒ ()→ (, t)= ƒ (−ct) , solución única del problema de valores iniciales.

t

x

TcT

características

Para dibujar la gráfica de en función de para cada t = T fijo basta trasladar la de ƒ ()una distancia cT (hacia la derecha si c > 0 ).Se puede interpretar la solución como una on-da que viaja a lo largo del tiempo. [Situaciónsimilar se dará en la ecuación de ondas].

6

1.2. EDPs lineales de segundo orden; clasificación

Consideremos [E] L[] ≡ Ayy + By + C +Dy + E +H = F(, y) .

Nos limitamos en estos apuntes al caso de que A , B , . . . , H sean constantes (A ,B y C no todas nulas). Como en las EDPs de primer orden, quizás un cambio devariable bien elegido haga desaparecer términos de [E], de forma que resulte unaecuación resoluble elementalmente. Hagamos un cambio genérico y analicemos laexpresión de [E] en función de las nuevas variables:

ξ = p+qyη = r+sy

, con p, q, r, s constantes y jacobiano J=ps−qr 6=0 . Entonces:

y = qξ + sη = pξ + rη

,

yy = q2ξξ + 2qsξη + s2ηηy = pqξξ +(ps+qr)ξη + rsηη = p2ξξ + 2prξη + r2ηη

,

q2A+pqB+p2C

ξξ +

2qsA+(ps+qr)B+2prC

ξη +

s2A+rsB+r2C

ηη + · · ·

= A∗ξξ + B∗ξη + C∗ηη + · · · = F(ξ, η)

los puntos representan los términos en ξ , η y

.

Intentemos hacer A∗=C∗=0 . Para ello debe ser: q2A+ pqB+ p2C = 0s2A+ rsB+ r2C = 0

.

Si B2−4AC>0 y A 6=0 podemos elegir p=r=1 y q, s = 12A

− B∓p

B2−4AC

.

Si A=0 y C 6=0 tomamos q=1 , p=0 y s=1 , r=− BC ; A=C=0 es caso trivial

.

Si B2−4AC=0 , q y s coinciden y sería J=0 . Y si es <0 , q y s serían complejas.

Además, es fácil verificar que (B∗)2−4A∗C∗= [B2−4AC] J2 y, por tanto, el signo deB2−4AC no varía con cambios de coordenadas. Todo lo anterior nos lleva a definir:

Si B2−4AC> 0= 0< 0

se dice, respectivamente, que la EDP [E] eshiperbólicaparabólicaelíptica

Encontremos la forma más sencilla en que podemos escribir [E] (forma canónica)en cada caso. Si es hiperbólica, arriba hemos visto que se convierte con el cambio¨

ξ = − B−pB2−4AC2A y

η = − B+pB2−4AC2A y

en B∗ξη + · · · = F . Como (B∗)2>0 , podemos escribir la

forma canónica de las hiperbólicas: ξη + · · · = F∗ .

A las dos familias de rectas ξ=K , η=K se les llama características de [E].

Si [E] es parabólica, sólo tenemos ξ = − B2A y [una familia de características].

Con esta ξ hacemos A∗=0 , y como (B∗)2−4A∗C∗=0 también es B∗=0 . Para ηpodemos tomar cualquier r y s tales que J 6=0 . Se suele tomar η=y . Así haciendo

¨

ξ=− B2A y

η=yy dividiendo por C∗ se obtiene la

forma canónica de las parabólicas: ηη + · · · = F∗ .

Si es elíptica, las ξ , η son rectas complejas conjugadas: 2A−By2A ± i

p4AC−B22A y

(no hay, pues, características reales). Y no es difícil comprobar que el cambio:(

ξ = 2A−Byp4AC−B2

η = ylleva [E] a la

forma canónica de las elípticas: ξξ + ηη + · · · = F∗ .

7

Si A , B y C son no constantes, si en cada punto (, y) de una región Ω del planoes B(, y)2−4A(, y)C(, y) >0 , =0 o <0 , se dice, respectivamente, que la EDP[E] es hiperbólica, parabólica o elíptica en Ω . Las características en este casogeneral son curvas integrales de EDOs de primer orden (quizás no resolubles).

Ej 1. yy − 4y + 5 + = 0 → B2 − 4AC = −4 < 0 , elíptica.

Copiando el cambio de la página anterior:

ξ = +2yη = y → y = 2ξ + η

= ξ→

yy = 4ξξ + 4ξη + ηηy = 2ξξ + ξη = ξξ

Llevándolo a la ecuación se llega a la forma canónica: ξξ + ηη + = 0 .

Ej 2. 4yy − 4y + = 0 → B2 − 4AC = 0→ parabólica en todo R2.

El cambio en este caso sería ξ = + y2 , o mejor (son las mismas características):

ξ = 2+yη = y → y = ξ + η

= 2ξ→

yy = ξξ+2ξη+ηηy = 2ξξ + 2ξη = 4ξξ

→ 4ηη = 0 , ηη = 0 .

Esta forma canónica que se resuelve fácilmente: η = p(ξ) → = ηp(ξ)+q(ξ) .

Por tanto, la solución general de la ecuación es:

(, y) = yp(2+y) + q(2+y) , con p y q funciones C2 arbitrarias.

Como en este caso, a veces es posible hallar elementalmente la solución generalde [E] tras ponerla en forma canónica (en la mayoría, como en el ejemplo 1, seráimposible). Identifiquemos las formas canónicas resolubles:

Si sólo hay derivadas respecto a una variable: ηη + E∗η +H∗ = F∗ .

Esta lineal de orden 2, ordinaria si la vemos como función de η , se integra viendo laξ como un parámetro. Un par de constantes para cada ξ dan lugar a dos funcionesarbitrarias de ξ en la solución. La ecuación, como vemos, debe ser parabólica.

Si sólo aparece ξη y una de las derivadas primeras: ξη +D∗ξ = F∗ .

Se resuelve haciendo ξ= : la lineal de primer orden η+D∗ = F∗ es integrableviendo ξ como parámetro. La contiene, pues, una función arbitraria de ξ . Alintegrarla para hallar la aparece otra función arbitraria (de η ). Las cosas seríananálogas si en vez de la ξ apareciese la η . La ecuación es hiperbólica.

[En las EDOs de segundo orden aparecen dos constantes arbitrarias; aquí hay, en losdos casos, dos funciones arbitrarias (evaluadas en las características como ocurríaen las EDPs de primer orden). Se ve que ninguna ecuación elíptica, ni la del calort− son resolubles por este camino].

[Otras pocas ecuaciones más pueden llevarse a estas formas resolubles haciendocambios de variable del tipo = epyeq que hacen desaparecer alguna derivadade menor orden o el término con la ].

Ej 3. yy + 5y + 4 + 3y + 3 = 9 → B2−4AC = 9 , hiperbólica.

B∓pB2−4AC2A =

14 →

ξ = −yη = −4y →

y = −ξ − 4η = ξ + η

→yy = ξξ + 8ξη + 16ηηy = −ξξ − 5ξη − 4ηη = ξξ + 2ξη + ηη

Entonces: ξη + η = −1 , del segundo de los tipos citados. Para resolverla:

η= → ξ = − − 1 → = p∗(η)e−ξ − 1 → (ξ, η) = p(η)e−ξ + q(ξ)− η

La solución general es: (, y) = p(−4y)ey− + q(−y) + 4y− , p , q arbitrarias.

La ecuación similar yy+ 5y+ 4+ 3= 9 → ξη− 13η−

13ξ = −1 , no es resoluble

.

8

¿Qué datos adicionales habrá que pedir a la EDP lineal de segundo orden [E] paraaislar una única solución? Para una EDO de segundo orden era necesario fijar elvalor de la solución y de su derivada en el instante inicial para tenerla. En una EDPde primer orden dábamos los valores de en toda una curva G (no tangente a lascaracterísticas). Acabamos de ver que en los pocos casos en que [E] era resolubleaparecían dos funciones arbitrarias en la solución. Todo ello lleva a plantear el

x

y

u

G

Problema de Cauchy para [E]: hallar la solución quetome unos valores dados de y la derivada normaln a lo largo de una curva dada G del plano y .

[Geométricamente: hallar la superficie solución que contenga unacurva dada y tenga a lo largo de ella una familia de planos tangentestambién dados. La derivada normal será habitualmente o y ].

En particular, al tomar como G el eje se tiene el problema de valores inicialesque consiste en hallar la solución de [E] que cumple (,0)= ƒ () , y(,0)=g() .

Como ocurría en las de primer orden se puede probar que:

Si los datos son regulares y G no es tangente a las características en ningúnpunto, el problema de Cauchy tiene solución única en las proximidades de G .

y

x

Ej 4. Sea [P]

yy + 2y + − y − = 0(,0) = , y(,0) = 0

B2−4AC≡0parabólica

− B2Ay=−y=K características. Como y=0 no es tangente

a ellas, el problema de Cauchy [P] tendrá solución única.

La ecuación resulta ser resoluble y podemos comprobarlo:

ξ = −yη = y → ηη−η = 0 → = p(ξ) + q(ξ)eη = p(−y

+ q(−y)ey.

Imponiendo los datos de Cauchy

y = −p′ + (q−q′)ey

:

(,0) = p() + q() = y(,0) = −p′()−q′()+q() = 0

o

→ p′()+q′() = 1p′()+q′() = q()

o

[p′ y q′ representan la misma derivada ordinaria en ambas ecuaciones]

→ q()=1 ∀→ p()=−1 ∀ → = −y−1+ ey ,

solución determinada de forma única por los cálculos anteriores.

Acabamos la sección dando la solución de la única de las ecuaciones clásicas reso-luble por este camino: la ecuación de ondas en una dimensión (cuerda vibrante):

[P]

tt − c2 = 0(,0)= ƒ () , t(,0)=g()

B2−4AC = 4c2, hiperbólica.

A partir de las expresiones de la página 7:

ξ = +ctη = −ct →

= ξξ + 2ξη + ηηtt = c2[ξξ−2ξη+ηη]

→ −4c2ξη = 0 → ξη = 0 formacanónica → ξ = p∗(ξ)→ = p(ξ) + q(η) .

Luego la solución general de la ecuación de ondas es:

(, t) = p(+ct) + q(−ct) , p y q funciones arbitrarias de C2.

Imponemos los datos para aislar la solución del problema de valores iniciales:

p() + q() = ƒ ()cp′()− cq′() = g() →

¨

p′() + q′() = ƒ ′()p′()− q′() = 1

cg()→ 2p′() = ƒ ′() + 1

cg()

→ p() = 12 ƒ () +

12c

∫

0 g(s)ds+ k → q() = 12 ƒ ()−

12c

∫

0 g(s)ds− k →

(, t) = 12

ƒ (+ct) + ƒ (−ct)

+ 12c

∫ +ct

−ctg(s)ds fórmula de

D’Alembert

9

1.3. Los problemas clásicos; unicidad

¿Qué datos adicionales proporcionan problemas bien planteados para una EDP de segundoorden en dos variables lineal [E] L[]=F ? Hemos definido ya el problema de Cauchy para[E]. ¿Es el adecuado a todas las EDPs de segundo orden? No, no lo es. En los problemasreales aparecen condiciones mucho más variadas: en unos casos surgen condiciones inicia-les y de contorno a la vez, en otros sólo de contorno... Además unos datos de Cauchy puedendar lugar problemas mal planteados para EDPs no hiperbólicas. Se pueden dar ejemplos deproblemas de Cauchy para Laplace (de solución única, pues sin características reales nopuede haber tangencia con la curva de datos), sin la necesaria dependencia continua.

Conozcamos los principales problemas asociados a las ecuaciones clásicas en dos varia-bles [sólo (P1) será de Cauchy]. Para cada uno habría que probar que ‘está bien planteado’.Para más variables las cosas son análogas y poco más complicadas.

Ondas. Tiene solución única dependiente continuamente de los datos elu(x,0)

f(x)x

g(x)problema puro devalores iniciales:

(P1)

¨

tt−c2=F(, t) , , t∈R(,0) = ƒ () , t(,0) = g()

x

t

para la cuerda infinita (tiene sentido real cuando t es pequeño yestamos lejos de los extremos). Como damos los datos sobre t=0no característica (eran ±ct=K ) hay solución única.

Para la ecuación homogénea ( F≡0 ) deduzcamos la dependencia continua de la fórmulade D’Alembert, hallada al final de la sección anterior, que da la solución única de (P1):

(, t) = 12

ƒ (+ct) + ƒ (−ct)

+ 12c

∫ +ct

−ctg(s)ds

[Para que sea C2,debe ƒ ∈C2 y g∈C1].

Comprobemos que para datos iniciales próximos sus soluciones (, t) y ∗(, t)son cercanas en intervalos de tiempo finitos (es decir, la dependencia continua):

si |ƒ ()−ƒ∗()|<δ y |g()−g∗()|<δ ∀ , para t∈[0, T] se tiene:

|−∗| ≤ 12 |ƒ (+ct)−ƒ

∗(+ct)|+ 12 |ƒ (−ct)−ƒ

∗(−ct)|+ 12c

∫ +ct−ct |g(s)−g

∗(s)|ds

< δ+ δ2c

∫ +cT−cT ds = δ(1+T) < ε ∀ y ∀t∈[0, T] , si δ< ε

1+T .

Otro problema bien planteado para la cuerda acotada cuyos extremos se muevenverticalmente según h0(t) y hL(t) dadas (que estén fijos es un caso particular).Hay entonces dos condiciones de contorno adicionales:

(P2)

¨ tt − c2 = F(, t) , ∈[0, L], t∈R(,0) = ƒ () , t(,0) = g()(0, t) = h0(t) , (L, t) = hL(t)

Demostremos su unicidad (veremos que la solución existe, como en otros casos, ha-llándola explícitamente [en 1.4 a través de extensiones o en 4.2 por separación devariables]; la dependencia continua, que se cumple, no la probamos).Sean 1 y 2 soluciones cualesquiera de (P2) y sea =1−2 . Entonces cumple:

(P0)

¨

tt − c2 = 0 , ∈[0, L] , t∈R

(,0)=t(,0)=(0, t)=(L, t)=0

Queremos ver que ≡0 . Integremos la identidad:

t[tt − c2] = 12∂∂t [

2t+ c22

]− c2 ∂

∂ [t]

para entre 0 y L y t entre 0 y T cualquiera, suponiendo solución de (Po):

12

∫ L

0

2t+c22

(,T)(,0)d− c

2∫ T

0

t(L,t)(0,t)dt =

12

∫ L

0

t(, T)2+c2(, T)2

d = 0

pues tt−c2=t(,0)=(,0)=t(0, t)=t(L, t)=0 .

El último corchete es ≥ 0 y es función continua de . Para que la integral se anuledebe ser t(, T) = (, T) = 0 si 0 ≤ ≤ L y para cualquier T. Por tanto (, t) esconstante y como (,0)=0 debe ser =1−2≡0 . Hay unicidad.

10

Calor. Para la varilla infinita se prueba que está bien planteado:

(P3)

¨

t − k = F(, t) , ∈R, t>0(,0) = ƒ () , acotada

Basta un solo dato, la distribución inicial de temperaturas, para fijar las posteriores.

[No podemos dar arbitrariamente la t(,0) pues debe ser t(,0)=kƒ ′′()+F(,0) si es solución ( t=0 es característica y (P3) no es buen problema de valores iniciales)].

Para la varilla acotada hay condiciones de contorno, que pueden ser de variostipos, con diferentes significados físicos cada uno. Si los extremos toman a lo largodel tiempo las temperaturas dadas h0(t) y hL(t) se tiene:

(P4)

¨ t − k = F(, t) , ∈ (0, L), t>0(,0) = ƒ ()(0, t) = h0(t) , (L, t) = hL(t)

Si lo que fijamos es el flujo de calor en los extremos obtenemos:

(P5)

¨ t − k = F(, t) , ∈ (0, L), t>0(,0) = ƒ ()(0, t) = h0(t) , (L, t) = hL(t)

[En particular, si h0(t)=hL(t)=0 , los extremos están aislados].

Un tercer tipo de condiciones de contorno combina y :

(0, t)−(0, t)=h0(t) ó (L, t)+b(L, t)=hL(t) , con , b>0 .

Expresan la radiación libre de calor hacia un medio a temperatura dada (si elextremo = L está más (menos) caliente que hL entonces irradia (chupa) calorpues =(hL−)/b<0 (>0 ) y el flujo de calor es siempre en sentido opuesto algradiente de las temperaturas; lo mismo sucede con el otro extremo).

(P4) ó (P5) (o cualquiera de los otros 7 problemas que aparecen combinando los 3tipos de condiciones descritos) son todos problemas bien planteados.

Probemos que tienen solución única. Sean 1 y 2 soluciones. Entonces = 1−2satisface el problema con F= ƒ=h0=hL=0 . Nuestro objetivo es deducir que ≡0 .

Multiplicando la ecuación por e integrando respecto a entre 0 y L se tiene:∫ L

0 td−k∫ L

0 d =12ddt

∫ L

0 2d−k

(L,t)(0,t)+k

∫ L

0 2d = 0

⇒ ddt

∫ L

0

(, t)2d ≤ 0

[si =0 ó =0 en los extremos la última implicación es clara, ya que k>0 ; estambién fácil verlo si −=0, >0 ó si +b=0, b>0 ; no se puede dar esepaso ni probar la unicidad para <0 ó b<0 (físicamente inadmisible)].

La última integral es una función U(t) no creciente (U′ ≤ 0 ), que cumple U(0) = 0(pues (,0) = 0 ) y es U(t) ≥ 0 (integrando positivo). De las tres cosas se sigue queU(t)≡0⇒ ≡0 . Unicidad.

Una forma alternativa de probar la unicidad de algunos problemas (que además permiteatacar la dependencia continua) es utilizar un principio del máximo que se ajuste aese problema. Por ejemplo, es cierto este principio que no demostramos:

Si es continua en [0, T]×[0, L] y satisface t−k=0 en (0, T)×(0, L) , los valoresmáximo y mínimo de se alcanzan o bien en t=0 o bien en =0 ó bien en =L .

[Si ni la temperatura inicial en la varilla ni la de los extremos supera un valor M , no sepuede crear en su interior una temperatura mayor que M (si no hay fuentes externas);la prueba a partir de esto de la unicidad y la dependencia continua de (P4) sería similara la que veremos para Laplace y no la hacemos; si quisiéramos demostrar la unicidadpara los otros problemas de la ecuación del calor, necesitaríamos otros principios delmáximo diferentes].

11

Laplace. Los problemas son de contorno. Los dos más importantes son:

dominioacotado

∂D

D

Problemade

Dirichlet:(PD)

Δ=F en D= ƒ en ∂D

Problemade

Neumann:(PN)

Δ=F en Dn= ƒ en ∂D

Donde D es un abierto conexo acotado de R2, ∂D es su frontera yn es la derivada en la dirección del vector normal unitario exterior n .Si vemos la ecuación describiendo una distribución estacionaria de temperaturasen una placa, en (PD) fijamos las temperaturas en el borde y en (PN) el flujo decalor en dirección normal al borde.

Si F , ƒ y ∂D son regulares, el (PD) es un problema bien planteado. Lo resolveremosen recintos sencillos en el capítulo 4. Probemos ahora su unicidad por dos caminos.

Mediante la fórmula de Green (generaliza la integración por partes a R2):

Sea ∈C2(D)∩C1

D

. Entonces∫∫

DΔddy =

∮

∂Dn ds −

∫∫

D‖∇‖2 ddy

Identidad Δ=div

∇

−‖∇‖2 y teorema de la divergencia

∫∫

Ddiv fddy =

∮

∂Dfnds

.

Si 1 y 2 son soluciones de (PD), =1−2 verifica el problema con F= ƒ=0 .La fórmula de Green dice entonces que:

∫∫

D‖∇‖2 ddy = 0 ⇒ ∇=0 ⇒ =cte ⇒ ≡0 (pues =0 en ∂D ).

Probamos de otra forma la unicidad de (PD), y también la dependencia continua, conel siguiente principio del máximo para Laplace (intuitivamente claro: la tempera-tura de una placa no supera la máxima de su borde) que no demostramos:

Si satisface Δ = 0 en un dominio acotado D y es continua en Dentonces alcanza su máximo y su mínimo en la ∂D .

Como = 1 − 2 , con 1, 2 soluciones, verifican Δ=0 en D=0 en ∂D , se tiene:

0 =mın∂D

≤mınD

≤mxD

≤mx∂D

= 0 ⇒ ≡ 0

Si ∗ es solución de (PD) con = ƒ∗ en ∂D y sea |ƒ−ƒ∗|<ε en ∂D . Entonces:

=−∗ →

Δ=0 en D= ƒ−ƒ∗ en ∂D ⇒−ε<mın

∂D≤ ≤mx

∂D<ε⇒ |−∗|<ε en D.

Si la diferencia entre datos es pequeña, lo es la diferencia entre soluciones.

Para el (PN) la situación es más complicada. En primer lugar, para que (PN) puedatener solución es necesario que F y ƒ satisfagan la relación:

∫∫

DF ddy =

∮

∂Dƒ ds

[basta aplicar el teorema de ladivergencia a ∇ para verlo].

Además, si (PN) tiene solución, esta contiene una constante arbitraria [lo que eraesperable, ya que ecuación y condición de contorno sólo contienen derivadas].También se ve que si queremos repetir la prueba de la unicidad con la fórmula deGreen, podemos dar todos los pasos excepto la última implicación. Se dice que elproblema de Neumann (PN) tiene unicidad salvo constante.

[Además se imponen a Laplace condiciones de contorno del tipo +n = ƒ , > 0,y también tienen interés los problemas en que en parte de ∂D hay condiciones tipoDirichlet, en otra tipo Neumann... (todos son problemas bien planteados). También setratan problemas en D no acotados. Para tener unicidad, además de los datos en ∂D ,hay que exigir un ’adecuado comportamiento’ en el infinito].

12

1.4. Ecuación de la cuerda vibrante

En secciones anteriores vimos que para el problema puro de valores iniciales:

u(x,0)

f(x)x

g(x)(P1)

tt − c2 = 0 , , t∈R(,0) = ƒ () , t(,0) = g()

las características eran ±ct=K , la solución general

(, t) = p(+ct) + q(−ct) , p y q funciones arbitrarias de C2,

y la solución única de (P1), satisfaciendo ya los datos iniciales:

[1] (, t) = 12

ƒ (+ct)+ƒ (−ct)

+ 12c

∫ +ct

−ctg(s)ds fórmula de

D’Alembert

[Para que sea C2, debía ƒ ∈C2 y g∈C1 (entonces es solución clásica o regular).Si es continua pero no C2 se llama ‘solución débil’, concepto típico EDPs. En cadacaso hay que precisar que se admite como solución débil y comprobar que el problemasigue bien planteado (si más funciones valen como soluciones, ¿seguirá la unicidad?)].

La solución de (P1) es la suma de dos ondas que viajan a velocidad c , unahacia las crecientes y otra hacia las decrecientes. A la vista de [1]:

Llamando G()≡ 12c

∫

0 g(s)ds :q() = 1

2 ƒ ()−G() va hacia la derecha

p() = 12 ƒ ()+G() va hacia la izquierda

Para obtener un dibujo de la solución (, t) en diferentes instantes, identificadasestas ondas viajeras, bastará trasladar sus gráficas y sumarlas (gráficamente).

f f/2h

0—b b

Ej 1. Supongamos ƒ=0 salvo una perturbación en forma de triánguloen torno a 0 y que soltamos la cuerda sin impulso (g=0 ).

Dibujemos la solución para diferentes t . Bastará trasladar las dosondas que viajan en sentidos opuestos

aquí ambas son 12 ƒ ()

:

t=b/2c h/2

—b b

t=b/ch/2

—b b

t=3b/2ch/2

—b b

Ha costado muy poco hacer los dibujos y predecir la evolución de esta solución débil[bastante más costaría dar la expresión analítica de la solución para todo y todo t ].Los picos de la ƒ inicial siguen indefinidamente y viajan también a velocidad c .

Supongamos ahora que hay fuerzas externas. El problema es:

(P2)n tt − c2 = F(, t) , , t∈R(,0) = ƒ (), t(,0) = g()

Sabiendo algo de derivación de integrales, se comprueba que su solución es:

[2] (, t) = 12

ƒ (+ct)+ƒ (−ct)

+ 12c

∫ +ct

−ctg(s)ds+ 1

2c

∫ t

0

∫ +c[t−τ]

−c[t−τ]F(s, τ)dsdτ

x

t

x+ct s

x-ct

(x,t)τObservemos que (, t) sólo depende de los valores de ƒ en −ct y

+ct [puntos de corte con el eje de las características que pasanpor (, t) ] y de los de g en el intervalo [−ct, +ct] . A este intervalose le llama dominio de dependencia del punto (, t) . Se compruebatambién que el recinto descrito por la integral doble es el triángulo delplano sτ limitado por el eje τ = 0 y las características citadas. Asípues, para hallar la solución en un punto (, t) se necesita sólo: i) los valores de F endicho triángulo, ii) los de g en su base, iii) los de ƒ en los dos puntos −ct y +ct .

13

Ej 2.

tt − = 2(,0)= , t(,0)=3

Utilizando directamente [2]:

= 12

(+t)+(−t)

+ 12∫ +t−t 3ds+

12

∫ t

0

∫ +[t−τ]−[t−τ] 2dsdτ = +3t+2

∫ t

0 [t−τ]dτ = +3t+t2

A veces es fácil hallar una solución particular de la ecuación no homogénea y asíevitar el cálculo de la integral doble, pues = − conduce a un problema conF=0 , resoluble con [1] (esto no se podrá hacer siempre cuando haya condiciones decontorno, pues podrían dejar de ser homogéneas). Por ejemplo si F depende sólo de o de t se puede buscar una () o una (t) . En este caso:

−=2→ =−2+C+K → si ()=−2, cumple

tt − = 0(,0)=+2, t(,0)=3

→= 12

(+t)+(+t)2+(−t)+(−t)2

+∫ +t−t 3ds = +

2+t2+3t→ =+3t+t2.

tt=2→ (t)= t2+3t →

tt − = 0(,0)=, t(,0)=0

→ = → = + 3t + t2 .

Pasemos a resolver problemas con condiciones de contorno. En primer lugar, elproblema para la cuerda semi-infinita y fija en un extremo:

(P3)

¨ tt−c2 = 0 , ≥0, t∈R(,0)= ƒ () , t(,0)=g()(0, t) = 0

[para que no esté rota,debe ser ƒ (0)=0 ].

La fórmula [1] exige funciones definidas ∀ y ni ƒ ni g están definidas si < 0 .¿Cómo extender estas funciones a todo R? Si llamamos ƒ∗ y g∗ a sus extensionesy se debe cumplir la condición de contorno:

(0, t) = 12

ƒ∗(ct) + ƒ∗(−ct)

+ 12c

∫ ct

−ct g∗(s)ds = 0 ,

es claro que ƒ∗ y g∗ han de ser imparesrespecto a 0 , es decir,

ƒ∗(−)=−ƒ∗() ; g∗(−)=−g∗() .

Así pues, la solución de (P3) es la del siguiente problema (para la cuerda infinita):¨ tt−c2=0 , , t∈R(,0)= ƒ∗()t(,0)=g∗()

, (, t)= 12

ƒ∗(+ct)+ƒ∗(−ct)

+ 12c

∫ +ct

−ctg∗(s)ds [3]

pues cumple la ecuación, las condiciones iniciales para ≥0 , y la de contorno.Las dificultades prácticas del uso de esta solución es que ƒ∗ y g∗ tendrán, engeneral, diversas expresiones en distintos intervalos.

Siguiendo con la cuerda semi-infinita, veamos como se resuelve el problema másgeneral con fuerzas externas y extremo móvil:

(P4)

¨ tt−c2 = F(, t) , ≥0, t ∈ R(,0) = ƒ () , t(,0) = g()(0, t) = h0(t)

[debe ahora serƒ (0)=h0(0) ].

Primero debemos hacer la condición de contorno homogénea, encontrandouna que la cumpla y haciendo = − , ya que entonces será (0, t) = 0 ,aunque probablemente se complicarán la ecuación y el resto de condiciones.

La más clara (no siempre la mejor) es: (t)=h0(t) .

Una vez que tenemos la condición de contorno homogénea, la solución del proble-ma en la da [2] si sustituimos sus ƒ , g y F por ƒ∗, g∗ y F∗, siendo ésta últimala extensión impar de F mirándola como función de .

14

Ej 3.

¨ tt−=0 , ≥0, t∈R(,0)=t(,0)=0(0, t) = t2

Hallemos primero la solución para un y t fijos: (1,2) .

2

-1 1 3

2

-2Para anular la condición de contorno podemos usar la citada:

=−t2 →¨ tt−=−2(,0)=t(,0)=0(0, t) = 0

→

(

tt−=n

2 , <0−2 , >0

(,0)=t(,0)=0→

(1,2)= 12

∫∫

4F∗= 1

2

h

(2)área +(−2)áreai

= −3 → (1,2)=−3+4=1 .

[Por ser constantes las F a integrar, nos hemos ahorrado el cálculo de integralesdobles. Pero como esto no se podrá hacer en general, vamos a perder un poco eltiempo en hallar (1,2) sin este atajo. El valor que estamos calculando es:

(1,2) = 12

∫∫

4F∗= 1

2

∫ 20

∫ 3−ττ−1 F∗(s, τ)dsdτ

Sobre el triángulo pequeño la integral viene dada por:12

∫ 10

∫ 0τ−1 2dsdτ =

∫ 10 (1−τ)dτ =

12 .

Para el otro cuadrilátero hay que dividir en dos el recinto de integración:12

∫ 10

∫ 3−τ0 (−2)dsdτ + 1

2

∫ 21

∫ 3−ττ−1 (−2)dsdτ =

∫ 10 (τ−3)dτ +

∫ 21 (2τ−4)dτ = −

72 .

Sumando ambos resultados obtenemos (1,2)=−3 como antes].

Pero podríamos conseguir un problema sin F , haciendo el cambio con una mejor.Tanteando un poco se ve que =2+t2 cumple la condición y también la ecuación:

x

-x

xf

2

2*

=−→¨ tt−=0(,0)=−2, t(,0)=0(0, t) = 0

→¨tt−=0 , , t∈R(,0) = ƒ∗()t(,0)=0

→(1,2) = 12 [ƒ

∗(3)+ƒ∗(−1)] = −4→ (1,2) = 5−4 = 1

Con este segundo cambio no es difícil dar la (, t) para todo , t≥0 (con el primeronos costaría mucho más). Está claro que hay que considerar dos posibilidades, pues,aunque + t es siempre positivo, − t puede ser también negativo, y la ƒ∗ tieneexpresiones distintas para valores positivos y negativos:

= 12 [ƒ

∗(+t)+ƒ∗(−t)] =(

− 12 (+t)2+ 1

2 (−t)2=−2t, ≤ t

− 12 (+t)2− 1

2 (−t)2=−2−t2, ≥ t

→ =

(−t)2, ≤ t0 , ≥ t

[Como las ondas viajan a velocidad c=1 los puntos a distancia ≥ t debían estarparados en el instante t ].

Veamos que las ondas tt−c2Δ=0 en el espacio con simetría radial se reducen acuerdas semi-infinitas. Pasando el laplaciano a esféricas (en 4.4 se tiene su expresión)y quitando los términos con derivadas respecto a θ y ϕ se llega a:

(Pr)

¨

tt − c2

rr+2r r

= 0 , r≥0, t∈R

(r,0) = ƒ (r) , t(r,0) = g(r)

Haciendo el cambio =r , la ecuación pasa a ser la de la cuerda: tt − c2rr = 0 .Y como debe ser acotada, aparece la condición de contorno: (0, t)=0·(0, t)=0 .Así pues, el problema en es del tipo (P3) que acabamos de tratar:

¨

tt − c2rr = 0 , r≥0, t∈R

(r,0)=rƒ (r)≡F(r), t(r,0)=rg(r)≡G(r), (0, t)=0

Si F∗ y G∗ son las extensiones impares de F(r) y G(r) la solución de (Pr) es:

(r, t) = 12r [F

∗(r+ct)+F∗(r−ct)] + 12cr

∫ r+ctr−ct G

∗(s)ds ,

que podemos poner en la forma (r, t) = 1r p(r+ct) +

1r q(r−ct) e interpretar como

la suma de dos ondas esféricas, cuyos radios disminuyen o crecen a velocidad c .La magnitud de la perturbación propagada es inversamente proporcional al radio.

15

Estudiemos la cuerda acotada y fija en los extremos [la volveremos a ver en 4.2]:

0 L(P5)

¨ tt−c2=0 , ∈[0, L], t∈R(,0)= ƒ () , t(,0)=g()(0, t) = (L, t) = 0

[debe serƒ (0)= ƒ (L)=0 ].

Para hallar su solución única con la fórmula de D’Alembert extendemos ƒ y g a[−L, L] de forma impar respecto a 0 y luego de forma 2L-periódica a todoR, es decir, llamando ƒ∗ y g∗ a estas extensiones:

ƒ∗(−)=−ƒ∗() , ƒ∗(+2L)= ƒ∗() ; g∗(−)=−g∗() , g∗(+2L)=g∗() .

0 L

2L 3L-2L -L

ff*(entonces ƒ∗ y g∗ tambiénserán impares respecto a L ).

Como para (P3), la solución de (P5) se obtiene aplicando [3] al siguiente problema(por la imparidad de los datos se cumplen también las condiciones de contorno):

¨

tt−c2 = 0 , , t∈R(,0)= ƒ∗() , t(,0)=g∗()

Para que la dada por [3] sea C2 (regular) deben ƒ ∈C2[0, L] y g∈C1[0, L] y además:

ƒ (0)= ƒ (L)= ƒ ′′(0)= ƒ ′′(L)=g(0)=g(L)=0 [ ƒ ′ y g′ existen en 0 y L por la imparidad].

f

01/2

u(x,0)

1x

Ej 4.

tt − = 0 , ∈[0,1], t∈R

(,0) =n

, 0≤≤1/21− , 1/2≤≤1

t(,0) = (0, t) = (L, t) = 0

(Puede representar lapulsación de la cuerdade una guitarra).

Es complicado hallar explícitamente (, t) ∀, t pues ƒ∗ tiene muchas expresiones:

10

f 1/2

*

ƒ∗() =

· · ·−1− , −3/2 ≤ ≤ −1/2 , −1/2 ≤ ≤ 1/21− , 1/2 ≤ ≤ 3/2− 2, 3/2 ≤ ≤ 5/2· · ·

Hallar (, t) = 12

ƒ∗(+ t) + ƒ∗(− t)

exigiría discutir en qué intervalos se mueven+t y −t y sería muy largo (para estas discusiones conviene dibujar los dominios dedependencia). Algo más fácil es hallar la solución para un t o fijos. Por ejemplo:

, 14

= 12

ƒ∗(+ 14 ) + ƒ

∗(− 14 )

1/2-1/2 11/4 3/40

1/4

=

2+

18 +

2−

18 = , 0≤≤

14

38−

2 +

2−

18 =

14 ,

14 ≤≤

34

38−

2 +

58−

2 = 1− ,

34 ≤≤1

Sí es muy fácil hallar para un (, t) dado. No se necesita siquiera la expresión de ƒ∗.

Por ejemplo: 14 ,3

= 12

h

ƒ∗134

+ ƒ∗

− 114

i

=↑12

h

ƒ∗

− 34

+ ƒ∗

− 34

i

=↑−ƒ34

= − 14 .

ƒ∗ es 2-periódica ƒ∗ es impar

Tampoco se precisa la expresión de ƒ∗para hacer dibujos: basta trasladar ondas y sumar.

Dibujemos: 12 , t

= 12

h

ƒ∗12+t

+ ƒ∗12−t

i

= 12

h

ƒ∗12+t

− ƒ∗

t− 12

i

10 2

34

5u(1/2,t)

1/2

t

La gráfica tiene periodo 2. Esto es general: por las propiedades de ƒ∗ y g∗ la dadapor [3] es 2L

c −periódica. [Lo que será evidente en la serie solución de 4.2].

16

Si queremos resolver el problema más general:

(P6)

¨ tt−c2 = F(, t) , ∈[0, L], t∈R(,0) = ƒ () , t(,0) = g()(0, t) = h0(t) , (L, t) = hL(t)

(hay fuerzas externas ymovemos los extremos)

primero, como en (P4) y otros problemas que veremos, hay que hacer las condicio-nes de contorno homogéneas, hallando una que las cumpla y haciendo =− .Tanteando con funciones =(t)+b(t) se ve fácilmente que una posible es:

(, t)=

1− L

h0(t) +LhL(t) [a veces será mejor buscar otra].

La solución del problema en la da de nuevo [2], poniendo en vez de ƒ , g y F ,las extensiones impares y 2L-periódicas ƒ∗, g∗ y F∗ (vista F como función de ).

Ej 5.

¨ tt−=0 , ∈[0,2], t∈R(,0)=t(,0)=0(0, t)= t , (2, t)=0

Estudiemos la evolución de la cuerda para t∈[0,2] .

Primero usamos la de arriba = t(1− 2 )

=+→

¨ tt−=0 , ∈[0,2](,0)=0, t(,0)=

2−1

(0, t)=(2, t)=0→¨ tt−=0 , ∈R

(,0)=0t(,0)=g∗()

La solución del último problema es (, t) = 12

∫ +t−t g

∗.

Sea T∈[0,2] fijo. Como [−T, +T] no contiene valores negativos a partir de =T :

(, T)=

¨ 12

∫ 0−T

s2+1

ds+ 12

∫ +T0

s2−1

ds= T2−1

, ∈[0, T]12

∫ +T−T

s2−1

ds=T 2−1

, ∈[T,2]

→ (, T) =

T− , ∈[0, T]0 , ∈[T,2]

La perturbación viaja a velocidad 1 . La cuerda debía estar en reposo para ≥T .

Por último veamos cómo se debe extender si la condición de contorno es (0, t)=0 :

(0, t) =12

ƒ∗′(ct)+ƒ∗′(−ct)

+ 12c

g∗(−ct)−g∗(ct)

= 0 , ƒ∗′ impar y g∗ par ⇒

se deben extender ƒ y g de forma par respecto a 0 (o respecto a L si fuese ahí =0 ).

17

2. Soluciones de EDOs en forma de serie

En el estudio de las EDOs lineales se comprueba que hay escasas formas de resol-ver elementalmente la ecuación con coeficientes variables

[e] y′′+()y′+b()y=0

Este capítulo trata una forma general de atacarla: suponer la solución desa-rrollada en serie de potencias e introducir esta serie en la ecuación paradeterminar sus coeficientes.

En la sección 2.1 recordaremos la definición de función analítica (función descritapor una serie de potencias convergente) y algunas manipulaciones matemáticasque se pueden hacer con ellas. Si y b son analíticas en o (punto regular)siempre se podrán encontrar dos soluciones linealmente independientes de [e] enforma de serie de potencias por el siguiente camino: llevando la serie a la ecuaciónconseguiremos expresar sus coeficientes ck en función de los dos primeros c0 yc1 , que serán las dos constantes arbitrarias que deben aparecer en la solución decualquier EDO de segundo orden (algunas veces podremos dar la expresión generaldel ck , pero otras nos limitaremos a ir calculando coeficiente a coeficiente). Unteorema, que aceptaremos sin demostración, asegurará que las series soluciónconvergen al menos en el intervalo en que las series de y b lo hacían. Imponerdatos iniciales en o será inmediato, pues tendremos que y(o)=c0 y y′(o)=c1 .

Empezaremos la sección 2.2 resolviendo elementalmente (con el cambio = es seconvertirá en una de coeficientes constantes) la ecuación de Euler:

[u] 2y′′+y′+by=0 , , b∈R

Pasaremos luego a resolver utilizando series la ecuación más general:

[e*] 2y′′+ ∗()y′+ b∗()y = 0

Si ∗ y b∗ son analíticas en = 0 diremos que este punto es singular regular(otros puntos o se llevan al origen haciendo s=−o ). La forma de resolver [e*]es sólo algo más complicada (es el método de Frobenius). Calcularemos primerouna solución y1 que será siempre de la forma r

∑

(siendo r una de las raíces delllamado polinomio indicial) y a continuación otra y2 , linealmente independientede la anterior, que unas veces (según sea la diferencia entre las raíces de esepolinomio) será del mismo tipo y otras contendrá además un término incluyendoel ln , que ya aparecía en las de Euler. Un teorema no demostrado garantizará laconvergencia de las series que vayamos hallando.

El cálculo de los coeficientes de las series es sencillo (aunque algo pesado). Elproblema básico es la dificultad de obtener información sobre las soluciones quese encuentran (muchas veces ni tendremos su término general). Pero ecuacionesdel tipo [e] o [e*] aparecen resolviendo EDPs y las series son el único instrumen-to para abordarlas. Por eso hay libros enteros (los de funciones especiales de lafísica) dedicados a estudiar las propiedades de las series solución de algunas deestas ecuaciones (las de Legendre, Hermite, Bessel, Laguerre, Tchebycheff, ...).Una pequeña muestra de tales estudios son las propiedades de las soluciones delas ecuaciones de Legendre, Hermite y Bessel citadas en la sección 2.3.

Las soluciones por serie en torno a cualquier punto (salvo que sean identificablescon una función elemental) no dan ninguna información sobre el comportamientode las soluciones cuando → ∞ . En la sección 2.4, para estudiar para grandesvalores de las soluciones, introduciremos el llamado punto del infinito de unaecuación, punto s=0 de la ecuación que se obtiene haciendo =1/s en la inicial.

19

2.1 Funciones analíticas y puntos regulares

Recordemos que una función real ƒ () es analítica en = o si viene dada poruna serie de potencias cerca de o :

ƒ ()=∞∑

k=0

ck(−o)k = c0+c1(−o)+c2(−o)2+· · ·

A partir de ahora, =0 (si no, con −o=s estaríamos en ese caso): ƒ ()=∞∑

k=0

ckk .

A cada serie de potencias está asociado un radio de convergencia R tal que:Si R=0 , la serie sólo converge en =0 . Si R=∞ , converge para todo .Si 0<R<∞ , converge si ||<R y diverge si ||>R (en =±R no sabemos).Además, si 0< o<R , la serie converge uniformemente en [−o, o] .

El R se puede calcular en muchas ocasiones aplicando el criterio del cociente:

Sea∞∑

k=0

k y p= lımk→∞

|k+1 ||k | . Entonces si p<1 la

∑

converge, y si p>1 diverge.

Propiedad básica de las series de potencias es que, para || < R (si R > 0 ), sepueden derivar e integrar término a término:

ƒ ′()=∞∑

k=1

kckk−1=c1+2c2+· · · ,

ƒ ′′()=∞∑

k=2

k(k−1)ckk−2=2c2+6c3+· · · , . . .( ⇒ ƒ (k)(0)=k!ck )

∫ ∞∑

k=0

ckk = C+∞∑

k=0

ckk+1

k+1 = C+ c0+c12

2+· · · si ||<R

También pueden sumarse, multiplicarse,. . . estas series como si fuesen polinomios:

ƒ () =∞∑

k=0

kk si ||<Rƒ y g() =∞∑

k=0

bkk si ||<Rg ⇒ Si ||<mínRƒ , Rg ,

ƒ ()+g()=∞∑

k=0

[k+bk]k , ƒ ()g()=0b0+(0b1+1b0)+(0b2+1b1+2b0)2+· · ·

También ƒ /g es analítica si tiene límite en =0 (así lo son sencos , sen

, . . . );

en el siguiente ejemplo ya veremos como hacer desarrollos de cocientes

.

Caso importante de estas series son las de Taylor:∞∑

k=0

ƒ (k)

k! k , para ƒ con infinitas derivadas en 0 .

La mayoría de las funciones elementales coinciden con su serie de Taylor (y portanto son analíticas) en todo el intervalo de convergencia de la serie. Por ejemplo:

e =∞∑

k=0

k

k! , sen =∞∑

k=0

(−1)k2k+1(2k+1)! , cos =

∞∑

k=0

(−1)k2k(2k)! ,

sh =∞∑

k=0

2k+1

(2k+1)! , ch =∞∑

k=0

(2k(2k)! , ∀∈ R.

11− =

∞∑

k=0

k , ln(1+)=∞∑

k=0

(−1)kk+1k+1 , rctn =

∞∑

k=0

(−1)k2k+12k+1 ,

[1+]α = 1+α+ α(α−1)2! 2 + · · · , si ||<1 .

Aunque ƒ sea C∞(R) y su serie de Taylor converja ∀ puede que ambas no coinci-dan, como le ocurre a ƒ ()=e−1/

2, ƒ (0)=0

que cumple ƒ (k)(0)=0 ∀k , con lo quesu serie de Taylor es

∑

0·k= 0 y, por tanto, ƒ no es analítica

. Para que una ƒ losea, es necesario que tenga infinitas derivadas en el punto, pero no es suficiente.

20

Ej 1. Hallemos de varias formas (algunas nada naturales) el desarrollo de ƒ ()= 1(1+)2

.

ƒ ()=− dd

11+ →

1(1+)2 =−

dd

∞∑

k=0

(−)k=−∞∑

k=1

(−1)k k k−1=∞∑

k=0

(−1)k (k+1)k si ||<1 .

Otra forma:

(1+)−2 = 1−2+ −2(−2−1)2! 2+ −2(−2−1)(−2−2)3! 3+ · · · = 1−2+32−43+· · · , ||<1 .

Multiplicando: ƒ () = [1−+2− · · · ][1−+2− · · · ]= [1+ (−1− 1)+ (1+1+1)2 + · · · ] = 1−2+32−· · · si ||<1 .

También podemos ‘dividir’: buscar una serie∑

ckk tal que

[c0+c1+c22+c33+· · · ] [2+2+1] = 1 ⇒c0=1 ; 2c0+c1=0→ c1=−2c0=−2 ; c0+2c1+c2=0→ c2=−c0−2c1=3 ; . . .

[El radio R del desarrollo de un cociente P/Q , con P y Q polino-mios, simplificados los factores comunes, y Q(0) 6=0 es la distanciaal origen de la raíz (real o compleja) de Q más próxima].

Y con un caso sencillo de ‘composición’ de series:1

1+(2+2) = 1− (2+2) + (2+2)2 − (2+2)3 + · · · = 1− 2+ (−1+4)2 + · · ·

Pasemos ya a resolver ecuaciones diferenciales ordinarias por medio de series. Enesta sección no dedicaremos a los puntos regulares. Sea la ecuación:

[e] y′′ + ()y′ + b()y = 0 .

Se dice que =o es un punto regular de [e] si y b son analíticasen =o . En caso contrario se dice que =o es punto singular de [e].

Sea =0 regular y llamemos R al menor de los radios de convergencia de y b .Se podrá, pues, escribir:

() =∞∑

k=0

kk , b() =∞∑

k=0

bkk para ||<R .

Es esperable que cualquier solución de [e] también se pueda escribir como unaserie de potencias para ||<R . Empecemos con un ejemplo:

Ej 2. (1+2)y′′ + 2y′ − 2y = 0 , es decir, y′′ + 21+2 y

′ − 21+2 y = 0 ,

() y b() analíticas en =0 (regular) con R=1 (=±i ceros del denominador).

Llevemos una solución en forma de serie arbitraria y sus derivadas a la ecuación inicial(mejor que a la otra, pues deberíamos desarrollar y b ) y hallemos sus coeficientes:

y =∞∑

k=0

ckk , y′ =∞∑

k=1

kckk−1 , y′′ =∞∑

k=2

k(k−1)ckk−2 →

∞∑

k=2

[k(k−1)ckk−2 + k(k−1)ckk] +∞∑

k=1

2kckk −∞∑

k=0

2ckk = 0

[No es falso poner k=0 como índice inferior de sumación en las tres series,pues se ve que se anularía el primer término en la de k=1 y los dos primerosen la de k=2 , pero así está claro la potencia con la que empieza cada serie].

La solución de esta lineal de segundo orden deberá contener dos constantes arbitrarias.Vamos a intentar escribir los ck en función de los dos primeros c0 y c1 . Comohan de ser 0 los coeficientes de cada potencia de , deducimos:

0: 2·1·c2 − 2·c0 = 0 → c2 = c0

1: 3·2·c3 + [2−2]c1 = 0 → c3 = 0· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·

k: (k+2)(k+1)ck+2 + [k(k−1) + 2k − 2]ck = 0

[Hemos escrito aparte los primeros términos porque cada serie empieza aaportar términos para distintos k ; como potencia general hemos escogido k

porque era la más repetida, pero también podríamos haber tomado k−2 ].

21

De la última igualdad deducimos la regla de recurrencia que expresa un coeficienteen función de los anteriores ya conocidos (en este ejemplo, queda ck+2 en función sólode ck , pero en otros pueden aparecer varios); para facilitar los cálculos, factorizamoslos polinomios que aparecen calculando sus raíces:

ck+2 = − (k+2)(k−1)(k+2)(k+1) ck = −k−1k+1 ck , k=0,1, . . .

Si preferimos tener el ck en términos de los anteriores, basta cambiar k por k−2 :

ck = − k−3k−1 ck−2 , k=2,3, . . .

A partir de la regla de recurrencia escribimos algunos ck más (siempre en función dec0 o c1 ) con el objetivo de encontrar la expresión del término general de la serie (enmuchos ejemplos esto no será posible, pero aquí sí):

c4 = − 13c2 = −13c0 , c6 = − 35c4 =

15c0 , c8 = − 57c6 = −

17c0 , . . .

c5=0 por estar en función de c3 que se anulaba. Análogamente c7=c9= · · ·=0 .

Por si no está aún clara la expresión de los c2k , usamos la recurrencia ‘desde arriba’:

ck = − k−3k−1ck−2 =

k−3k−1

k−5k−3ck−4 =

k−5k−1ck−4 = −

k−7k−1ck−6 = · · ·

El numerador de c2k es 1 , el denominador es 2k−1 y el signo va alternando, así que:

c2k = (−1)k+1 12k−1c0 , k=2,3, . . .

Agrupamos los términos que acompañan a c0 y c1 (que quedan indeterminados)y obtenemos por fin:

y = c0

1+2− 134+ 1

56+ · · ·

+ c1 = c0h

1+∞∑

k=0

(−1)k+1 2k

2k−1

i

+ c1 = c0y1 + c1y2

Expresión con la estructura clásica de las soluciones de las lineales de segundo orden.Pero para que lo sea de verdad, las series deben converger en un entorno de = 0 ,y además y1 y y2 han de ser linealmente independientes. Esto es lo que sucede. Laserie de y1 (lo prueba el criterio del cociente) converge si || < 1 y la ‘serie’ de y2(truncada a partir de su segundo término) converge ∀ . Y además el wronskiano deambas soluciones en =0 es 1 (pues y1(0)=1 , y′1(0)=0 , y2(0)=0 , y′2(0)=1 ).

Si, en vez de la solución general, la que queremos es la que cumple y(0)=yo , y′(0)=y′o

(existe y es única por ser y b analíticas) dada la forma de las series de y1 y y2 esinmediato que debe tomarse c0=yo , c1= y′o .

La ecuación se podía haber resuelto sin series. Bataba advertir que y2= era unasolución y hallar la y1 mediante la fórmula que se estudia en los cursos de EDOs:

y1 = y2∫

y−22 e−∫

d = ∫

−2 e−∫ 21+2 d =

∫

d2(1+2)

= −1− rctn

[su desarrollo, salvo el signo, coincide con el obtenido anteriormente].

Gran parte de lo visto en este ejemplo ocurre en general, como asegura el siguienteteorema que no demostraremos.

Teor

Si =0 es regular, la solución general de [e] es

y = c0y1 + c1y2 = c0

1+∑

+ c1

+∑

,

con c0 , c1 arbitrarios, y las series, que contienen potencias k con k≥2 ,convergen, al menos, si ||<R . Los coeficientes las series se determinande forma única probando una serie de potencias arbitraria en la ecuación(con las funciones () y b() desarrolladas) y expresando sus coeficien-tes ck , para k ≥ 2 , en función de c0 y c1 . La solución única de [e] cony(0)=yo , y′(0)=y′

ose obtiene simplemente tomando c0=yo , c1=y′o .

[El desarrollo de y b , desde luego, será innecesario si esas funciones son polinomios].

Para estudiar las soluciones de [e] cerca de otro o regular, el cambio de variables = −o lleva a una ecuación en s para la que s = 0 es regular. Probaríamosentonces para hallar su solución la serie:

y =∞∑

k=0

cksk

es decir, y =∞∑

k=0

ck(−o)k

.

22

Ej 2. y′′ + (−2)y = 0 , y(0)=2 , y′(0)=1

=0 regular puesto que ()=0 y b()=−2 son analíticas en todo R.

El primer ejemplo era demasiado sencillo. En general, y como en este, las cosas son máscomplicadas. Llevando una serie arbitraria y sus derivadas a la ecuación e igualando a0 los coeficientes de cada k :

y =∞∑

k=0

ckk →∞∑

k=2

k(k−1)ckk−2+∞∑

k=0

ckk+1 − 2ckk

= 0 →

0: 2·1·c2−2·c0 = 0→ c2=c0 ; 1: 3·2·c3+c0−2·c1 = 0→ c3=−c0+c1 ; . . .

k−2: k(k−1)ck+ck−3−2ck−2=0 → ck=− 1k(k−1)ck−3+

2k(k−1)ck−2 , k=3,4, . . .

(regla de recurrencia de tres términos que suele traer muchos más problemas que lasde dos). Escribimos un par de términos más en función de c0 y c1 :

c4 = − 112c1 +

212c2 =

16c0 −

112c1 ; c5 = − 1

20c2 +220c3 = −

115c0 +

130c1

No hay forma de encontrar la expresión del término general, aunque paso apaso podemos ir calculando el número de términos que queramos.

La solución general es entonces:

y = c0

1+ 2 − 16

3 + 16

4 − 115

5 + · · ·

+ c1

+ 13

3 − 112

4 + 130

5 + · · ·

Y la particular pedida: y=2++22+144− 1

155+· · · , convergente ∀ según el teorema.

Para calcular unos pocos términos (pero no para hallar muchos o para buscar laexpresión del término general) de una serie solución cerca de un punto regular se puedeseguir el siguiente camino:

Haciendo =0 en la ecuación: y′′(0)+(0−2)y(0) = 0→ y′′(0)=4

Derivando la ecuación y volviendo a hacer =0 :

y′′′+(−2)y′+y = 0→ y′′′(0)=2y′(0)−y(0)=0

Derivando otra vez: y′′′′+(−2)y′′+2y′=0→ y′′′′(0)=2y′′(0)−2y′(0)=6 , . . . . . .

Por tanto: y() = y(0)+y′(0)+ y′′(0)2 2+ y′′′(0)

6 3+ · · · = 2++ 42

2+ 06

3+ 624

4+ · · ·

Si ahora queremos unos términos de la solución de la ecuación con y(2)= 6 , y′(2)=0 ,

la solución general de arriba, dada por series en =0 , claramente no sirve para impo-ner datos en =2 . Debemos resolver en torno a este punto:

s=−2→ d2yds2+sy = 0 , s=0 regular → y =

∞∑

k=0

cksk →∞∑

k=2

k(k−1)cksk−2+∞∑

k=0

cksk+1 = 0→

→ s0: 2c2=0 ; s1: 6c3+c0=0 , c3=−c0 ; . . . ;

sk−2: k(k−1)ck+ck−3=0 → ck=− 1k(k−1)ck−3 ; k=3,4, . . . →

c5=c8= · · ·=0 ; c4=− 14·3c1 ; c6=− 1

6·5c3 =1

6·5·3·2c0 ; c7=− 17·6c4 =

17·6·4·3c1 →

y = c0

1− 16s3 + 1

120s6 + · · ·

+ c1

s− 112s

4 + 1504s

7 + · · · datos−→

y = 6− s3 + 120s

6 + · · · = 6− (−2)3 + 120 (−2)

6 + · · ·

(Aquí sí podemos expresar el término general, aunque no nosqueda tan compacto como en el ejemplo 1:

y = c0h

1+∞∑

k=1

(−1)k(−2)3k2·5···(3k−1)·3·6···(3k)

i

+ c1h

+∞∑

k=1

(−1)k(−2)3k+13·6···(3k)·4·7···(3k+1)

i

).

23

2.2 Ecuación de Euler y puntos singulares regulares

Empecemos la sección tratando una EDO lineal de segundo orden con coeficien-tes variables, que es resoluble por métodos elementales.

Ecuaciones de Euler: [u] 2y′′ + y′ + by = h() , >0 .

Haciendo el cambio de variable independiente =es : dyd =

1dyds , d2y

d2= 1

2d2yds2−dyds

,

[u] se convierte en la siguiente ecuación lineal con coeficientes constantes:d2yds2+(−1)dyds+by=h(e

s) , de ecuación característica

Q(λ)≡λ2+(−1)λ+b=0 .

Como conocemos las soluciones de la ecuación homogénea para esta segundaecuación, deshaciendo el cambio ( s = ln ), tenemos que la solución general deuna ecuación de Euler homogénea es:

Si λ1 6=λ2 reales, y = c1λ1 + c2λ2

Si λ doble (real), y = (c1+c2 ln)λ

Si λ=p±qi , y =

c1 cos(q ln)+c2 sen(q ln)

p

(observemos que la ’ecuación característica’ de una ecuación de Euler sería laque obtendríamos probando en la homogénea soluciones de la forma λ ).

Para hallar la solución particular de la no homogénea dispondremos siempre de lafórmula de variación de las constantes con ƒ ()=h()/2 (y para la ecuaciónde coeficientes constantes en s del método de coeficientes indeterminados delas lineales con coeficientes constantes, si h(es) es del tipo adecuado).

Ej 1. Hallemos la solución general de 2y′′ + y′ − y = .

La ’ecuación característica’ es λ2+(1−1)λ−1=0 → λ=±1 →

la homogénea tiene por solución general h=c1+c2−1 (válida en este caso ∀ 6=0 ).

|W|()=

−1

1 −−2

=−2−1, ƒ ()=−1 → yp = −1∫ −1d−2−1 −

∫ −1−1d−2−1 =

2 ln−4 →

la solución general de la no homogénea es y=c1+c2 +

2 ln

metiendo el 4 en c1

.

La yp se podría hallar utilizando coeficientes indeterminados en la ecuación y′′−y=esa la que conduce el cambio =es . La yp que deberíamos probar en la ecuación en ses yp=Ases , o lo que es lo mismo, podríamos probar yp=A ln en la de Euler inicial.Haciéndolo, se comprueba que debe ser A= 1

2 como antes.

Volvamos a las soluciones por medio de series. Supondremos en esta sección quepara [e] y′′+()y′+b()y=0 es =o un punto singular, es decir, que o ()o b() o las dos no son analíticas en =o , con lo que no es aplicable el métodode la sección anterior. Sin embargo, interesa precisamente en muchas ocasionesconocer el comportamiento de las soluciones de [e] en las cercanías de sus puntossingulares. En general se podrá decir poco sobre este comportamiento, salvo paraun tipo particular de puntos sólo débilmente singulares: los singulares regularesque vamos a definir.

Suponemos a partir de ahora que el punto singular que tratamos es =0 . Sabemosque esto no supone pérdida de generalidad ya que en el caso de que queramosestudiar las soluciones cerca de un o 6=0 el cambio s=−o traslada el problemaal estudio de las soluciones cerca de 0 de la ecuación en s .

24

Conviene escribir [e] de otra forma. Multiplicándo la ecuación por 2 y llamando∗()=() y b∗()=2b() obtenemos:

[e*] 2y′′ + ∗()y′ + b∗()y = 0

=0 es punto singular regular de [e] - [e*] si∗()=() y b∗()=2b() son analíticas en =0 .

Ej 2. (−1)2y′′ − y′ + (−1)y = 0 , es decir, y′′ − 1(−1)2 y

′ + 1(−1)y = 0 .

=0 y =1 son puntos singulares de la ecuación (todos los demás son regulares).

Como para [e*] 2y′′ − (−1)2 y

′ + −1y = 0 son ∗()=−

(−1)2 y b∗()= −1

analíticas en =0 , este punto es singular regular.

Con −1=s obtenemos: s2(s+1)y′′− (s+1)y′+sy = 0 , es decir, s2y′′−s 1s y′+ s

s+1y = 0

(estas derivadas son con respecto a s , pero las hemos dejado tal cual, pues dsd =1 ).

Como − 1s no es analítica en 0 (aunque ss+1 lo sea), =1 ( s=0 ) es singular no regular.

[En torno a =1 no sabremos resolver la ecuación por series (la teoría es complicada)].

Queremos resolver [e*] cerca de = 0 suponiendo que ∗() y b∗() son ana-líticas en ese punto, es decir, que admiten desarrollo en serie válido en || < R(mínimo de los radios de convergencia):

∗() =∞∑

k=0

∗kk = ∗0 +

∗1 + · · · , b∗() =

∞∑

k=0

b∗kk = b∗0 + b

∗1 + · · · , ||<R .

Normalmente será ∗0 =∗(0) y b∗0 =b

∗(0) salvo para funciones como sen

.

[e*] se resolverá con el método de Frobenius, que detallaremos en el teorema de estasección. No lo probaremos, pero intentemos hacer creíbles sus hipótesis y conclusiones. Laecuación más sencilla del tipo [e*] es la de Euler (en ella ∗() y b∗() son ‘series’ quese reducen a su primer término). Viendo sus soluciones está claro que no hay, en general,soluciones analíticas de [e*]. Pero ya que hay soluciones de Euler de la forma r se podríapensar que [e*] posee soluciones en forma de serie que comiencen por términos r .

Probemos por tanto en [e*] la solución y = r∞∑

k=0

ckk = c0r + c1r+1 + c2r+2 + · · · →

∞∑

k=0

(k+r)(k+r−1)ckk+r + ∞∑

k=0

∗k k ∞

∑

k=0

(k+r)ckk+r

+ ∞∑

k=0

b∗k k ∞

∑

k=0

ckk+r

= 0

El coeficiente de la potencia de menor orden (r ) debe anularse:

r(r−1)+∗0 r+b∗0

c0 = 0 .

Si la serie ha de empezar por términos r , debe ser c0 6=0 . Por tanto, los únicos r para losque pueden existir soluciones no triviales de la forma r

∑

son las raíces del polinomio:

Q(r) ≡ r(r−1)+∗0 r+b∗0 , llamado polinomio indicial de [e*].

Esto es coherente con las ecuaciones de Euler. Para ellas, si Q(r) tenía dos raíces distintasr1 y r2 , dos soluciones independientes de la ecuación eran r1 y r2 . Si la raíz era doblesólo existía una solución de esa forma, y la segunda era la primera multiplicada por el ln ;por tanto, también es de esperar que en la solución general de [e*] aparezcan logaritmos.

Pero al resolver por series [e*] pueden aparecer problemas que no se presentan en el casoparticular de las de Euler. Igualando a 0 el coeficiente que acompaña a r+k tenemos:

(r+k)(r+k−1)+(r+k)∗0 +b∗0

ck +

(r+k−1)∗1 +b∗1

ck−1 + · · · = 0

donde los puntos representan los términos con ck−2 , ck−3 , . . . De esta expresión podemosdespejar el ck en función de los anteriores ya calculados siempre que el corchete que leacompaña, que es Q(r+k) , no se anule. Si r1 es la mayor de las dos raíces Q(r1+k) 6=0∀k .Pero si r2 es la menor, y r1−r2 es un entero positivo n , el Q(r2+ k)=0 si k=n , y, salvoque los demás sumandos también se anulen (con lo que cn quedaría indeterminado), nohay forma de anular el coeficiente de r2+n y no pueden existir soluciones r2

∑

.

25

Enunciamos ya el teorema de Frobenius (aunque se podría considerar el casode raíces complejas del Q , nos limitamos, por sencillez, a los casos reales):

Teor

Supongamos que el polinomio indicial Q(r)= r(r−1) + ∗0 r + b∗0

tiene raíces reales r1 , r2 con r1≥r2 .Entonces siempre existe una solución y1 de [e*] de la forma

y1 = r1∞∑

k=0

ckk , c0 6=0 .

La segunda solución y2 linealmente independiente es, según los casos:

a] Si r1−r2 no es cero ni entero positivo: y2= r2∞∑

k=0

bkk , b0 6=0 .

b] Si r1=r2 , y2= r1+1∞∑

k=0

bkk + y1 ln .

c] Si r1−r2=1,2,3, . . . , y2= r2∞∑

k=0

bkk + dy1 ln , b0 6=0 , d∈R .

Todas las soluciones están definidas al menos para 0<<R y los coefi-cientes ck , bk y la constante d se pueden determinar sustituyendo cadauna de las soluciones en la ecuación.

Se comprueba sin dificultad que a partir de las soluciones anteriores obtenemosotras válidas en −R<<0 sin más que sustituir ln por ln || y las expresionesde la forma r que preceden a las series por ||r . En el caso c] la constante dpuede ser perfectamente 0 (como ocurre en las ecuaciones de Euler), con lo que,a pesar de todo, hay dos soluciones independientes de la forma r

∑

.

Ej 3. 2y′′ + y′ + y = 0 , o sea, 2y′′ + 12y′ + 2

2 y = 0 → ∗()= 12 , b∗()= 2

2 .

∗() y b∗() analíticas (R=∞ ) ⇒ =0 singular regular. Como ∗0 =12 y b∗0 =0 ,

el polinomio indicial es r(r−1)+ 12 r+0=r(r−

12 )→ r1=

12 , r2=0 , con r1−r2 /∈N .

Las dos series solución linealmente independientes son, pues:

y1=∞∑

k=0

ckk+1/2, c0 6=0 e y2=∞∑

k=0

bkk, b0 6=0 (convergen ∀∈R, según el teorema).

Llevando y1 a la ecuación (las series se derivan como las de potencias habituales):∞∑

k=0

2(k+ 12 )(k−

12 )ck

k−1/2+∞∑

k=0

(k+ 12 )ck

k−1/2+∞∑

k=0

ckk+3/2 = 0

(ahora las 3 series empiezan por k=0 pues no se van los primeros términos al derivar).

Igualando a 0 los coeficientes de las diferentes potencias de :

−1/2 :

2( 12 )(−12 ) +

12

c0 = 0 · c0 = 0 y c0 queda indeterminado como debía.

1/2 :

2( 32 )(12 ) +

32

c1 = 0→ c1 = 0 ,

k−1/2 :

2(k + 12 )(k −

12 ) + (k +

12 )

ck + ck−2 = 0→ ck = − 1k(2k+1)ck−2 , k=2,3, . . .

Por tanto: c3=c5= · · ·=0 , c2=− 12·5c0 , c4=− 1

4·9c2=1

2·4·5·9c0 , ... →

y1 = 1/2h

1+∞∑

m=1

(−1)m2·4···2m·5·9···(4m+1)

2mi

(eligiendo, por ejemplo, c0=1 ).

Para la otra raíz del Q(r) :∞∑

k=0

2k(k−1)bkk−1+∞∑

k=0

kbkk−1+∞∑

k=0

bkk+1 = 0→

0: b1=0 , 1: [4+2]b2 + b0 = 0 → b2 = − 16b0 .

k−1: [2k(k−1) + k]bk + bk−2 = 0 → bk = − 1k(2k−1)bk−2 , k=2,3, . . . →

b3=b5= · · ·=0 , b4=− 14·7b2 =

12·4·3·7b0 , . . .→ y2 = 1+

∞∑

m=1

(−1)m2·4···2m·3·7···(4m−1)

2m

El criterio del cociente prueba que, como debían, las series convergen ∀ .

La y2 vale ∀ , pero y1 sólo para >0 (en =0 no es derivable).

Una y1 válida ∀ 6=0 es y1 = ||1/2

1+∑

.

26

Ej 4. 2y′′+22y′+(2+ 14 )y=0 ∗()=2 , b∗()=2+ 1

4 analíticas en R.

=0 singular regular; r(r−1)+ 14 =0→ r= 1

2 doble →

y1 =∞∑

k=0

ckk+1/2 →∞∑

k=0

k2ckk+1/2 + (2k+1)ckk+3/2 + ckk+5/2

= 0 ,

→ c1=−c0 , ck=− 2k−1k2ck−1− 1

k2ck−2 , k=2,3, . . .

→ c2=12c0 , c3=− 16c0 , . . . , ck=(−1)k 1k!c0 → y1=1/2e−

Como la raíz es doble, la otra solución necesariamente contiene un logaritmo:

y2 = 3/2∞∑

k=0

bkk + y1 ln → y′2 =∞∑

k=0

(k+ 32 )bk

k+1/2 + 1y1 + y

′1 ln ,

y′′2 =∞∑

k=0

(k+ 32 )(k+

12 )bk

k−1/2 − 12y1 +

2y′1 + y

′′1 ln→

∞∑

k=0

(k2+2k+1)bkk+3/2+(2k+3)bkk+5/2+bkk+7/2

+ln

2y′′1+22y′1+(

2+14 )y1

= 0

El último corchete es 0 por ser y1 solución (lo que acompaña a ln siempre se anula).

→ b0=b1=b2= · · ·=0 → y2 = 1/2e− ln

[Para comprobar las soluciones obtenidas podemos hacer

=ey → 2′′+ 14 = 0 (Euler) → =c11/2 + c21/2 ln ;

o, una vez hallada la y1 , se puede calcular otra solución con la fórmula conocida:

y2 = 1/2e−∫ e−2

e−2 d = 1/2e− ln ,

exactamente la misma y2 hallada con las series].

Como se ha visto en el ejemplo anterior, son más largas las cuentas para el cálculo dela y2 en el caso b] del teorema que en el a]. Y también son más complicadas las del c],caso al que pertenecen los dos siguientes ejemplos. Para distinguir en este caso si aparecenlogaritmos o no (es decir, si es o no d 6=0 ) no es necesario hallar la expresión del términogeneral, bastan con los primeros términos de la y1 .

Ej 5. y′′ + 2ey′ = 0 . Se puede resolver sin utilizar series, pero acudamos a Frobenius:

=0 es singular regular [∗()=2e y b∗()≡0 analíticas en todo R]. r1=0 , r2=−1 .

La y1 =∞∑

k=0

ckk se ve (¡a ojo!) que es y1≡1 . La otra es: y2 =∞∑

k=0

bkk−1 + d ln →

y′2 =∞∑

k=0

(k−1)bkk−2 + d , y′′2 =

∞∑

k=0

(k−1)(k−2)bkk−3 − d2→

2b0−2+2b3+· · · −d−1+

2+2+2+133+· · ·

d−1−b0−2+b2+2b3+· · ·

= 0→

−2: 2b0−2b0=0→ b0 indeterminado como debía.

−1: −d+2d−2b0=0→ d=2b0 (aparecen, pues, logaritmos).

0: 2d−b0+2b2=0→ b2=12b0−d=−

32b0 .

1: 2b3+d− 13b0+2b2+4b3=0→ b3=29b0 .

· · · · · · · · ·→ y2 = 2 ln+

1 −

32+

29

2 + · · ·

[No podemos, desde luego, dar el término general de esta solución].

Resolvamos la ecuación ahora sin series: y′= → ′ = − 2e

→

= Ce−∫

2−1ed = Ce−∫

(−2/−2−−2/3+··· )d = C−2e−2−2/2−3/9+··· =

= C−2

1+ (−2− 122− 19

3−· · · ) + 12 (−2−

12

2−· · · )2+ 16 (−2−· · · )

3 + · · ·

→

y = K + C∫

−2 − 2−1 + 32 −

49+ · · ·

d = K − C

2 ln+ 1 −

32+

29

2 + · · ·

.

27

Ej 6. 2y′′+22y′−2y=0 =0 singular regular; ∗()=2 , b∗()=−2 con R=∞ .

El polinomio indicial r(r−1)+0 r−2 tiene por raíces r1=2 y r2=−1 . Así pues:

y1 =∞∑

k=0

ckk+2 , c0 6=0 →∞∑

k=0

(k+2)(k+1)ckk+2+∞∑

k=0

2(k+2)ckk+3−∞∑

k=0

2ckk+2 = 0

→ c0 indeterminado, ck = − 2(k+1)k(k+3) ck−1 , k=1,2, . . .

→ c1=−c0 , c2=35c0 , c3=− 4

15c0 , . . . ,

ck=(−1)k 2(k+1)k(k+3)2k

(k−1)(k+2)2(k−1)

(k−2)(k+1) · · · c0 =(−2)k(k+1)(k+3)! 6c0

Por tanto, eligiendo c0=16 , y1=

∞∑

k=0

(−2)k(k+1)(k+3)! k+2 → y′1=

∞∑

k=0

(−2)k(k+1)(k+2)(k+3)! k+1

La segunda solución (caso c] del teorema) es

y2 =∞∑

k=0

bkk−1 + dy1 ln , b0 6=0 , d constante (quizás nula) →

∞∑

k=0

(k−1)(k−2)bkk−1+2(k−1)bkk−2bkk−1

+d

(−1+2)y1+2y′1

+ d ln

2y′′1 +22y′1−2y1

= 0

Como siempre, el tercer corchete se anula, por ser y1 solución. Sustituyendo las seriesde y1 y y′1 escritas arriba en el segundo corchete y agrupando potencias de :

−2b0−2b1 − 2b2+

2b3+2b2−2b3− d6+

2d3

2 + · · · = 0 →

b1=−b0 , b2=0 , d=0 ; b0 , b3 indeterminados.

Como d=0 , en la expresión de y2 no aparece el ln . Sabíamos que debía ser b0 6=0 .El hecho de que también b3 quede indeterminado se debe a que proporciona potencias2 , comienzo de la serie de y1 . Elegimos b0 = 1 y b3 = 0 (para no volver a calculary1 ). Como en la regla de recurrencia cada bk depende de bk−1 es b4=b5= · · ·=0 .

Concluimos que: y2 =1 (1−) =

1 − 1 [es fácil comprobar que satisface la ecuación].

De la solución y2 sacaríamos otra con: y∗1 =1−

∫ 2e−2

(1−)2 d . La primitiva no parececalculable, pero esto no impide desarrollar e integrar para obtener una serie solución:

Lo más corto para desarrollar el integrando (se podría hacer un cociente) es:1

(1−)2 =dd

11− → 2[1−2+22−43

3+· · · ][1+2+32+43+ · · · ] = 2+4+ 23

5+ · · ·

→ y∗1 =1−1

13

3+ 15

5+ 19

6+· · ·

= 13

2 − 13

3 + 15

4 − 445

5 + · · · .

Aunque no lo pareciese, la primitiva sí se puede hallar: =2e−2 , d= 1(1−)2 →

∫ 2e−2

(1−)2 d =2e−21− −

∫

2e−2d = 121+1−e

−2 → y•1 = (1+1 )e

−2 .

y1 no es exactamente ni y∗1 ni y•1 (es 3y∗1 y una combinación lineal de y2 e y•1)].

[En este ejemplo, si, en vez de partir de la raíz mayor de la ecuación indicial,hubiésemos sustituido la y2 , habríamos obtenido las dos series de un tirón; peroesto ocurriría porque casualmente resulta ser d=0 ; si fuera d 6=0 sólo obtendría-mos la solución trivial y=0 y deberíamos empezar de nuevo desde el principio

.

28

2.3 Ecuaciones de Legendre, Hermite y Bessel

La ecuación de Legendre es [L] (1−2)y′′ − 2y′ + p(p+1)y = 0 , p≥0 .

Resolvemos primero en torno a =0 que es regular. Como () =−2/(1−2) yb() = p(p+1)/(1−2) son analíticas en ||< 1 la ecuación tiene series soluciónque convergen al menos en ese intervalo. Probamos pues:

y =∞∑

k=0

ckk →∞∑

k=2

k(k−1)ckk−2−k(k−1)ckk

−∞∑

k=1

2kckk+∞∑

k=0

p(p+1)ckk = 0 →

ck = − (p−k+2)(p+k−1)k(k−1) ck−2 , k=2,3, . . . → c2=−p(p+1)2·1 c0 ,

c3=−(p−1)(p+2)

3·2 c1 , c4=p(p−2)(p+1)(p+3)

4! c0 , c5=(p−1)(p−3)(p+2)(p+4)

5! c1 , . . .→

y1 = 1+∞∑

k=1

(−1)n p(p−2)···(p−2n+2)(p+1)(p+3)···(p+2n−1)(2n)! 2n

y2 = t+∞∑

k=1

(−1)n (p−1)(p−3)···(p−2n+1)(p+2)(p+4)···(p+2n)(2n+1)! 2n+1

Si p es un entero par positivo, p=2m , y1 se reduce a un polinomio de grado 2m :

p=0→ y1=1 , p=2→ y1=1−32 , p=4→ y1=1−102+ 353

4 , . . .

Si p impar, p=2m+1 , es y2 quien se convierte en un polinomio de grado 2m+1 :

p=1→ y2= , p=3→ y2=− 533 , p=5→ y2=− 14

3 3+ 21

5 5 , . . .

PP

P P

1

2

3

0

1–1

Se llama polinomio de Legendre de grado n al polinomioPn solución de [L] con p=n∈N , Pn(1)=1 , es decir:

P0=1 , P1= , P2=32

2− 12 , P3=52

3− 32 ,

P4=358

4− 154 2+ 3

8 , P5=638

5− 354 3+ 15

8 , . . .

Los P2m tienen simetría par y los P2m+1 impar. P2m+1 y P′2mse anulan en 0 . Se pueden probar además las propiedades:

Pn tiene n ceros reales, todos en (−1,1) . Pn()=1

2nn!dn

dn (2−1)n fórmula de

Rodrigues

Los Pn son ortogonales:∫ 1−1 Pn Pm d = 0 , si m 6=n ;

∫ 1−1 P

2nd = 2

2n+1 .

Los Pn son las únicas soluciones de [L] acotadas a la vez en =1 y =−1 .

Para intentar comprobar lo último resolvemos en torno a =1 , haciendo s=−1 :

[L1] s(s+2)y′′ + 2(s+1)y′ − p(p+1)y = 0 , ∗(s)= 2(s+1)s+2 , b∗(s)=− p(p+1)s

s+2analíticas

para |s|<2

s=0 es singular regular, y es r=0 doble ∀p . Por tanto sus soluciones son:

y1 =∞∑

k=0

cksk y y2 = |s|∞∑

k=0

bksk + y1 ln |s| , c0=1

y las series convergen al menos si |s|<2 . Sin hallar ningún coeficiente podemos ya afirmarque y1 está acotada ∀p en s=0 (=1 ), mientras que y2 no lo está (→−∞ si s→0 ).

Calculemos y1 y comprobemos que si p=n obtenemos los Pn [pues y1(1)=1 ]. Debe ser:∞∑

k=2

k(k−1)cksk+2k(k−1)cksk−1

+∞∑

k=1

2kcksk+2kcksk−1

−∞∑

k=0

p(p+1)cksk = 0

→ ck =(p+1)p−k(k−1)

2k2 ck−1 , k=1,2, . . . → y1(s)=1+(p+1)p2 s+ (p+1)p[(p+1)p−2·1]16 s2+· · ·

Si p=n la regla de recurrencia nos dice que cn+1 y lo siguientes se anulan. En particular:

p=0→ y1=1 ; p=1→ y1=1+s= ; p=2→ y1=1+3s+6[6−2]16 s2= 3

22− 12 ; . . .

Faltaría probar (es difícil) que si p 6=n la y1 no está acotada cuando s→−2 ( t→−1 ) paracomprobar que no hay más soluciones de [L] acotadas en =±1 que los Pn .

29

Otra ecuación ligada a problemas físicos es la de Hermite: [H] y′′−2y′+2py=0 .

Tiene solución analítica (=0 regular), convergente en todo R. Resolvemos:

y=∞∑

k=0

ckk →∞∑

k=2

k(k−1)ckk−2−∞∑

k=1

2kckk+∞∑

k=0

2pckk=0→ ck=2k−2−pk(k−1)ck−2 , k=2,3, . . .

→ y = c1h

1+∞∑

n=1

2n (−p)(2−p)···(2n−2−p)(2n)! 2ni

+ c2h

+∞∑

n=1

2n (1−p)(3−p)···(2n−1−p)(2n+1)! 2n+1i

Como para Legendre, [H] posee solución polinómica cuando p=n∈N . Si p=2m , la primerasolución y1 pasa a ser un polinomio de grado 2m , y si p=2m+ 1 es la otra y2 la que seconvierte en un polinomio de ese mismo grado:

p=0→ y1=1 ; p=1→ y2= ; p=2→ y1= 1−22 ; p=3→ y2=− 233 ; . . .

Los polinomios de Hermite Hn() son las soluciones polinómicas de [H] tales quelos términos con potencias más altas de son de la forma 2nn , es decir:

H0=1 ; H1=2 ; H2=42−2 ; H3=83−12 ; . . .

Citemos, también sin prueba, algunas propiedades de los Hn que serán útiles, porejemplo, cuando aparezcan en física cuántica. Una forma de generarlos todos es:

e2s−s2=

∞∑

k=0

1n!Hn() s

n (a esa exponencial se le llama función generatriz de los Hn).

Nos limitamos a comprobarlo para los 4 que ya hemos calculado:

1+2s+22s2+ 433 s3 +· · ·

1−s2+ 12s4−· · ·

= 1+2s+(22−1)s2+( 43

3 −2

s3+· · ·

.

De la función generatriz sale otra fórmula de Rodrigues: Hn()=(−1)n e2 dn

dn e−2 .

Pues Hn()=∂e2s−s

2

∂sn

s=0= e2 ∂e−(−s)

2

∂sn

s=0= (−s=z,∂∂s =−

∂∂z ) = (−1)

ne2 dn

dzn e−z2

z=

.

En cuántica no aparece [H], sino ′′+(2p+1−2)=0 . Haciendo =ye−2/2 en ella

se llega a [H]. Se prueba (no es fácil hacerlo), que las únicas soluciones de lainicial que → 0 si || →∞ son las de la forma n() = e−

2/2Hn() , llamadasfunciones de Hermite de orden n . Sólo estas n interesan físicamente.

Como los Pn , se puede ver que también las n son ortogonales, ahora en (−∞,∞):∫∞−∞ nmd=

∫∞−∞HnHme−

2d=0 , si m 6=n ;

∫∞−∞ 2

ndt=

∫∞−∞H2

ne−

2d=2nn!

pπ .

Lo comprobamos exclusivamente cuando n=0,1 :∫∞−∞ 01=

∫∞−∞ 2e

−2=0 ,∫∞−∞ 20=

∫∞−∞ e

−2=pπ ,∫∞−∞ 21=−2e

−2

∞−∞+

∫∞−∞ 2e

−2=2pπ

.

!

1

2 31–1–2

2

6

4

Para expresar en forma compacta las soluciones de la últimaecuación de interés físico que vamos a tratar (la de Bessel)utilizaremos las propiedades de la función gamma (funciónque generaliza el factorial para números no enteros) definidapor la siguiente integral impropia convergente:

(s)=∫∞0 e−s−1d si s>0 ,

y extendida a s<0 mediante:

(s)= (s+n)(s+n−1)···(s+1)s si −n<s<−n+1 , n∈N .

Se cumplen para la las siguientes igualdades:

(1)=∫∞0 e−d=1 ; (12 )=2

∫∞0 e−

2d=

pπ ; (s+1)=−e−s

∞0 +s(s)=s(s)

→ (s+n) = (s+n−1) · · · (s+1) s(s) → (n+1)=n! , n∈N

30

La ecuación de Bessel es: [B] 2y′′+y′+[2−p2]y = 0 , p≥0 .

=0 es singular regular con polinomio indicial r2−p2, r1=p , r2=−p . Entonces

y1 = p∞∑

k=0

ckk , >0 , (acotada en =0 ∀p )

es una solución definida por una serie que converge en todo R. Llevándola a [B]:∞∑

k=0

k(2p+k)ckp+k+ckp+k+2

= 0 ; ck=− ck−2k(2p+k) , k=2,3, . . . ; c1=0→c3= · · ·= 0

c2=− c022(p+1)

; c4=c0

242(p+1)(p+2) ; . . .→ y1=c0 ph

1+∞∑

m=1

(−1)m2m22mm!(p+1)···(p+m)

i

Eligiendo c0=1

2p(p+1) → Jp() ≡2p

∞∑

m=0

(−1)mm! (p+m+1)

22m [función de Bessel

de primera especiey orden p ]

En particular son: J0() =∞∑

m=0

(−1)m(m!)2

22m , J1() =

∞∑

m=0

(−1)mm!(m+1)!

22m+1 ,

–0.4

–0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

5 10 15 20

J 0

J 1

cuyas gráficas son las de la izquierda. Se pruebaque, al igual que J0 y J1 , todas las Jp son oscila-torias y que para grande se parecen a:

Jp ∼q

2π cos

−(2p+1)π4

Cada Jp tiene un infinitos ceros en (0,∞) [quedeben conocerse para resolver algunas EDPs]:

los de J0 son: 2.4048, 5.5201, 8.6532, . . . ;los de J1 : 3.8317, 7.0156, 10.1735, . . . .

Para hallar una solución linealmente independiente (no acotada seguro en =0 ),Frobenius nos dice que si r1−r2=2p 6=0,1, . . . la y2 es de la forma:

y2= −p∞∑

k=0

bkk , >0

llevándola a [B] se tiene J−p() ≡ 2−p ∞

∑

m=0

(−1)mm! (p+m+1)

22m .

Si p /∈N, pero 2p∈N (p= 12 ,

32 ,

52 , . . . ), podría y2 contener un ln pero no es así

(caso c] de Frobenius con d=0 ). De hecho, haciendo p= 12 en J±p se tiene:

J 12()=

q

2

∞∑

m=0

(−1)m2m+122m+1m!(m+ 12 )···

12 (

12 )=q

2π sen , J− 12

()= · · ·=q

2π cos ,

que son linealmente independientes (la expresión asintótica es exacta para p= 12 ).

Como será Jp+1=2p Jp−Jp−1 , todas las J 2n+1

2, n∈Z , son funciones elementales.

Para p= n ∈ N el atajo anterior no sirve, pues es fácil ver que cambiando n por−n la J−n que aparece no es independiente de Jn [es J−n = (−1)nJn ]. Tendríamosque hallar las y2 de Frobenius (y obtendríamos un ln en su larga expresión). Porejemplo, para p=0 (que seguro contiene logaritmos) se acaba obteniendo:

y2() =∞∑

m=0

(−1)m+1(m!)2

1+ 12+· · ·+

1m

22m + J0() ln ≡ K0() , >0

[función de Bessel de segunda especie y orden 0 ]

Pero en muchos problemas físicos en los que surge la ecuación [B] es necesarioque las soluciones estén acotadas, y para ellos no servirá de nada el conocimientode estas complicadas segundas soluciones.

Lo que sí será útil en el futuro será conocer estas propiedades de las derivadas:

dd

pJp()

= pJp−1() ,dd

−pJp()

= −−pJp+1()

En particular,[J1]′= J0[J0]′=−J1

.

(Son inmediatas: dd

∞∑

m=0

(−1)m2m+2p22m+pm!(p+m+1) =

p∞∑

m=0

(−1)m2m+2p−122m+p−1m!(p+m+1) y similar la otra).

Derivándolas y despejando J′p

: J′p= Jp−1−

p Jp=−Jp+1+

p Jp ⇒ Jp+1=

2p Jp− Jp−1 ,

relación de recurrencia citada, que expresa cada Jp+1 en función de las anteriores.

31

2.4 El punto del infinito

Nos preocupamos por el comportamiento de las soluciones de una lineal de se-gundo orden para grandes valores de . Pocas ecuaciones son resolubles elemen-talmente. Por otra parte, las soluciones en forma de serie (salvo que se puedanidentificar con funciones elementales) no dan ninguna información para grandes , incluso aunque converjan ∀ . Si queremos ver qué sucede cuando →∞ , laidea natural es efectuar el cambio de variable = 1/s y estudiar el compor-tamiento de las soluciones de la nueva ecuación cuando s→ 0+ , que será fácilde precisar si s= 0 , llamado punto del infinito de la ecuación inicial, es puntoregular o singular regular de esta ecuación.

A diferencia del cambio s=−o que no modifica las derivadas, hacer =1/s exigeusar la regla de la cadena. Denotando las derivadas respecto a s con puntos:

= 1s → y′= y ds

d =−12y ; y′′= 1

4y+ 2

3y→ y′ = −s2 y , y′′ = s4 y+ 2s3 y

Ej 1. (1+2)y′′+y′−y = 0 . Estudiemos su comportamiento para grandes :

t= 1s → (1+ 1

s2)s4y+ (1+ 1

s2)2s3y− s2

s y− y = s2(1+s2)y+ s(1+2s2)y− y = 0 .

Para esta ecuación s=0 es singular regular, con r=±1 . Sus soluciones para s>0 son:

y1 =∞∑

k=0

cksk+1 = c0s+c1s2+· · · , c0 6=0 ; y2 =∞∑

k=0

bksk−1+dy1 ln s , b0 6=0 .

Si s→ 0+ , la solución y1→0 , mientras que la y2→∞ (si b0>0 , sea d=0 ó d 6=0 ), conlo que deducimos, sin necesidad de resolver nada, que hay soluciones de la ecuacióninicial que, cuando →∞ , tienden a 0 , mientras que otras tienden a ∞ .

Como la ecuación es resoluble elementalmente pues y1= es solución que salta a lavista, podemos en este caso concreto hallar su solución general y comprobar:

y2 = ∫

−2e−∫

dd = ∫

d

2p1+2

= −p

1+2 → y = c1+ c2p

1+2 .

Hay soluciones que claramente →∞ y las de la forma C(−p

1+2 ) = −C+p1+2

→→∞

0 .

De paso observemos que y1==1s es la y2 que obtendríamos arriba (es d=0 ).

Para Hermite y Bessel este camino parece adecuado para estudiar sus soluciones para gordo, pero por desgracia, se comprueba que s=0 en ambos casos es singular no regular.Aunque para Legendre lo interesante físicamente es lo que sucede en [−1,1] , vamos aanalizar su punto del infinito. En 2.3 obtuvimos sus series solución en torno a = 0 [quehablan sólo de lo que ocurre en ||<1 ] y en torno a =1 [hablan de ∈ (−1,3) ].

[L] (1−2)y′′ − 2y′ + p(p+1)y = 0 =1/s→ [L∞] s2(s2−1) + 2s3 + p(p+1)y = 0 .

Para [L∞] es s=0 singular regular, con ∗(s)=2s2/(s2−1) , b∗(s)=p(p+1)/(s2−1) analíticasen |s| < 1 . Las series solución de [L∞] convergerán al menos en ese intervalo y de ellaspodremos extraer información, por tanto, sobre las soluciones de [L] para ||>1 . Como elpolinomio indicial de [L∞] tiene por raíces 1+p y −p y como para todo p≥0 es r1=1+p>0deducimos, por ejemplo, que siempre hay soluciones de [L] que tienden a 0 si →∞ .

h

Pues y1(s) = s1+p∞∑

k=0

cksk → 0 si s→ 0+ ; o sea, y1() = −(1+p)∞∑

k=0

ck−k →→∞

0i

.

Resolvamos por series [L∞] si p=0 (único p para el que s=0 es regular): y=∞∑

k=0

cksk →

ck =k−2k ck−2 , k=2,3, . . . → y = c0 + c1[s+

13s3+ 1

5s5+· · · ] = c0 + c1[−1+ 1

3−3+ 1

5−5+· · · ] ,

serie (no de potencias) que describe las soluciones para ||>1 , que es donde converge.

De otro modo: (1−2)y′′+2y′=0→ y′= c11−2 → y=c0+c1 ln

1+1−

=c0+c1 ln

1+s1−s

, , s 6=±1 .

32

3. Problemas de contorno para EDOs

Un problema de valores iniciales para una ecuación ordinaria con coeficientes con-tinuos tenía solución única. En concreto, la solución de una ecuación lineal de se-gundo orden queda determinada fijando el valor de la solución y de su derivada enun punto dado. Las cosas cambian si imponemos las condiciones en los dos extre-mos de un intervalo [, b] . Estos problemas de contorno presentan propiedadesmuy diferentes. Por ejemplo, un problema tan sencillo y regular como

y′′() + y() = 0y(0)=0, y(π)=0

tiene infinitas soluciones: y = C sen , con C constante arbitraria.

Los problemas de contorno que nos aparecerán al utilizar el método de separaciónde variables del capítulo 3 dependerán de un parámetro λ . Para analizar suspropiedades convendrá escribir la ecuación de la siguiente forma:

(P)

¨ (py′)′ − qy+ λry = 0αy()− α′y′() = 0βy(b) + β′y′(b) = 0

Ante un problema como (P) nuestro objetivo será hallar los valores de λ paralos que hay soluciones no triviales (autovalores de (P)) y esas solucionesno triviales correspondientes a cada λ (autofunciones de (P) asociadas a λ ).Observemos que y= 0 es siempre solución trivial de (P) y que, por ser lineales yhomogéneas la ecuación y las condiciones de contorno, si y() es solución de (P)también lo es Cy() para cualquier C .

Comenzaremos en 3.1 estudiando varios ejemplos para la ecuación y′′+λy = 0 (lamás sencilla y la que más veces aparece separando variables). En ellos existirá unasucesión infinita de autovalores y las autofunciones asociadas a λ distintos seránortogonales entre sí. Después precisaremos para qué tipo de problemas de con-torno (P) se mantienen esas propiedades. Serán los que se llaman problemas deSturm-Liouville separados. Hablaremos también brevemente de los problemasperiódicos y de los singulares.

En la sección 3.2 veremos que cualquier función ƒ continua y derivable a trozosse puede escribir como una serie de autofunciones de un problema de Sturm-Liouville, lo que será muy útil en la resolución de EDPs. Este resultado generaliza losdesarrollos de Fourier en series de senos y cosenos, cuyas propiedades básicastambién veremos. Aunque la convergencia natural de estas series sea la llamada’convergencia en media’, nosotros nos limitaremos a tratar la convergencia puntualy uniforme.

Separando variables en la ecuación de Laplace y similares aparecerán, ademásde problemas de Sturm-Liouville homogéneos, otros problemas de contorno con laecuación o alguna condición de contorno no homogéneas. Por eso, estudiaremosen 3.3 problemas de ese tipo. Para ellos, ni y=0 es solución, ni lo son los múltiplosde una solución dada. La existencia de soluciones dependerá de si existen o nosoluciones no triviales del homogéneo. Tendrán solución única en el último caso, einfinitas o ninguno si el homogéneo tiene infinitas.

La notación en todo este capítulo será y() , pero en separación de variables lasfunciones de nuestros problemas de contorno serán X() , Y(y) , R(r) , Θ(θ) , . . .

33

3.1. Problemas de Sturm-Liouville homogéneos

Antes de dar la teoría general, hallemos los autovalores y autofunciones de dosproblemas de contorno homogéneos para la sencilla EDO lineal y′′+λy=0 .

Como su polinomio característico es μ2+λ = 0 → μ=±p−λ , la solución general

de la ecuación será diferente según λ sea menor, igual ó mayor que 0 .

Ej 1. (P1)

y′′ + λy = 0y(0)=0, y(π)=0 Imponemos las condiciones de contorno en cada caso:

Si λ<0 la solución general es y = c1 ep + c2 e−p , con p=p−λ > 0 .

p

e

- p

p

e

!

!

y(0) = c1 + c2 = 0y(π) = c1 eπp+c2 e−πp=0

«

→ c2=−c1 c1[eπp−e−πp] = 0

Por tanto c1=c2=0 (pues eπp 6=e−πp si p>0 ).

Ningún λ<0 es autovalor.

Si λ=0 es y = c1 + c2 →y(0) = c1 = 0y(π) = c1+c2π = 0

→ y≡0 . λ=0 tampoco es autovalor.

Y para λ>0 es y=c1 cos+c2 sen , con =pλ> 0 →

y(0)=c1=0 ↓y(π)=c2 senπ=0

!

1 y1

y3

y20

Para tener solución no trivial debe ser c2 6= 0 .

Para ello, π=πpλ =nπ → λn=n2, n=1,2, . . .

Para cada uno de estos λn hay soluciones no triviales

yn = c2 senn ≡ senn .

Observemos que se cumple si m 6=n :∫ π

0 senn senm d = 0 ,

pues 12

∫ π

0

cos(n−m)−cos(n+m)

d = 12

h

sen(n−m)n−m − sen(n+m)

n+m

iπ

0= 0 .

Resumiendo: (P1) tiene una sucesión infinita de autovalores λn=n2, n=1,2, . . . .Las autofunciones yn=senn asociadas a cada λn forman un espacio vec-torial de dimensión 1 . La n-sima autofunción posee n−1 ceros en (0, π) . Lasautofunciones distintas son ortogonales en [0, π] [respecto del producto escalar(,) =

∫ π

0 d ].

Ej 2. (P2)

y′′ + λy = 0y′(0)=0, y′(π)=0 Imponemos estas nuevas condiciones:

λ<0→y′(0) = p[c1 − c2] = 0y′(π) = p[c1 eπp−c2 e−πp] = 0

«

→ c2=c1 → c1[eπp−e−πp] = 0→ y ≡ 0 .

λ=0→y′(0)=c2=0y′(π)=c2=0

→ λ=0 autovalor con autofunción y0 = c1 .

1

0

cos x

cos 2x!

λ>0→y′(0)=c2=0 ↓y′(π)=−c1 senπ=0

→ λn=n2 , yn=c1 cosn .

Los λn=n2 y las yn=cosn , n=0,1,2, . . .tienen las mismas propiedades resaltadas para el problemaanterior. Por ejemplo, la autofunción que ocupa el lugar n seanula n−1 veces y sigue habiendo ortogonalidad:∫ π

0 cosn cosmd = 12

∫ π

0 [cos(n−m)+cos(n+m)]d =12

h

sen(n−m)n−m + sen(n+m)

n+m

iπ

0=0 .

34

Pasemos a tratar ya el problema general. Sea la ecuación lineal de segundo ordendependiente de un parámetro real λ :

y′′ + ()y′ + b()y+ λc()y = 0 , con , b, c∈C[, b] , c()>0 en [, b] .

La reescribimos de otra forma, que se suele denominar ’autoadjunta’ o ’Sturm-Liouville’. Multiplicando por e

∫

se tieneh

e∫

y′i′+ be

∫

y+ λce∫

y ≡

py′′− qy+ λry = 0 , con p∈C1, q, r∈C , p, r>0 .

Las condiciones que más nos van a interesar son las condiciones separadas (cadauna afecta a los valores de y o de y′ sólo en uno de los extremos del intervalo):

Se llama problema de Sturm-Liouville separado regular a uno del tipo:

(Ps)

¨

[py′]′ − qy+ λry = 0αy()−α′y′()=0 , βy(b)+β′y′(b)=0 (condiciones separadas)

donde p∈C1[, b] , q, r∈C[, b] , p, r>0 en [, b] , |α|+|α′| , |β|+|β′| 6= 0 .

[Las últimas condiciones lo que dicen es que α y |α′| , |β| y |β′| no se anulan a la vez].

Los ejemplos 1 y 2 eran unos (Ps). Este teorema generaliza sus propiedades:

Teor 1.

Los autovalores de (Ps) son una sucesión infinita λ1<λ2< · · ·<λn< · · ·que tiende a ∞. Las autofunciones yn forman un espacio vectorialde dimensión 1 y cada yn posee exactamente n−1 ceros en (, b) .Las autofunciones asociadas a autovalores distintos son ortogonalesen [, b] respecto al peso r , es decir:

⟨yn, ym⟩ ≡∫ b

r yn ym d = 0 , si yn, ym están asociadas a λn 6=λm .

Si αα′≥0 , ββ′≥0 y q()≥0 en [, b] entonces todos los λn≥0 . Enparticular, para y()=y(b)=0 [o sea, si α′=β′=0 ] todos los λn>0 .

No probamos la primera afirmación y la de los ceros que son difíciles. Sí el resto.

Si y cumple (Ps): y′()= αα′ y() , α

′ 6=0 ; y′(b)=− ββ′ y(b) , β

′ 6=0

[y es y()=0 , si α′=0 ; y(b)=0 , si β′=0].

Si y , y∗ están asociadas al mismo λ , se deduce que dependen linealmente, puessu wronskiano se anula en (o también en b ):

|W|(y, y∗)()=yy∗′−y′y∗

==0 , si α′=0 o si α′ 6=0 .

Sean ahora yn, ym asociadas, respectivamente, a λn y λm :

λnryn = −[py′n]′+qyn

λmrym = −[py′m]′+qym

«

Multiplicando por ym e yn ,restando e integrando:

[λn−λm]∫ b

rynym d =

∫ b

yn(py′m)′−ym(py′n)

′ dpartes=

p(yny′m − ymy′n)b= 0

pues |W|(yn, ym)=0 en y en b . Por tanto, si λn 6=λm se tiene que ⟨yn, ym⟩=0 .

Si y es la autofunción asociada a λ y αα′≥0 , ββ′≥0 , q≥0 entonces

λ∫ b

ry2d =

∫ b

− y(py′)′+qy2

d =∫ b

p(y′)2+qy2

d−

pyy′b≥ 0 ⇒ λ≥0 ,

pues∫ b

ry2d>0 ( r>0 ) ,

∫ b

p(y′)2+qy2

d ≥ 0 (p>0 , q≥0 ) ,

−[pyy′](b)=¨ ββ′ p(b)[y(b)]

2≥0 si β′ 6=00 si β′=0

, [pyy′]()=¨ αα′ p()[y()]

2≥0 si α′ 6=00 si α′=0

.

Si y()=y(b)=0 , y=1 no es autofunción ⇒ y′ 6≡0 ⇒∫ b

p(y′)2>0⇒ λ>0 .

35

Ej 3. (P3)

y′′ + λy = 0y′(0)=y(1)=0 (casi en forma autoadjunta:

y′′+ λy = 0 ; es r≡1 ).

Tendrá las propiedades del teorema 1. Hallemos sus λn . Como αα′=ββ′=0 , q≡0 , noslimitamos a los λ≥0 . [Ahora sabemos que podíamos haber hecho esto en el ejemplo 2,y que en el 1 hubieran bastado los λ>0 ; que conste que hay problemas con λ<0 ].

λ=0 : y = c1+c2 →y′(0) = c2 = 0y(1)=c1+c2 = 0

→ y ≡ 0 . λ=0 no es autovalor.

λ>0 : y=c1 cos+c2 sen . y′(0)=0→ c2=0→ y(1)=c1 cos=0

→ n=2n−12 π , λn=

(2n−1)2π24 , yn=

n

cos 2n−12 πo

, n=1,2, . . .

El teorema asegura que las yn son ortogonales:∫ 10 ynym d = 0 ,

n 6=m (sería fácil comprobarlo), y que la autofunción n-sima (comole ocurre a las tres dibujadas) tiene n−1 ceros en (0,1) .

Ej 4. (P4)

y′′ + λy = 0y′(0)=y′(1)+y(1)=0

Como αα′=0 , ββ′>0 , q≡0 ,volvemos mirar sólo los λ≥0 .

λ=0 : y = c1+c2 →y′(0) = c2 = 0y′(1)+y(1)=c1+2c2 = 0

→ y ≡ 0 . λ=0 no autovalor.

λ>0 : y=c1 cos+c2 sen . y′(0)=c2=0→ y′(1)+y(1)=c1[cos− sen]=0 .

w

tan w

0!

w1 w2 w3

1/w

No podemos hallar exactamente los λn , pero tnn=1n

lo cumplen infinitos n (anulan el corchete infinitos n ),que sólo se pueden hallar aproximadamente. La yn para ca-da λn=2

nes cosn . Estas yn serán ortogonales.

[La mayoría de los problemas de S-L no son resolubles, puespocas lineales de segundo orden lo son elementalmente (lasde coeficientes constantes y pocas más), y aunque lo seanpuede ocurrir lo que en este ejemplo].

Ej 5. (P5)

y′′ − 2y′ + λy = 0y′(0)=y′(1)=0 → μ2−2μ+λ=0 ,

μ=1±p1−λ .

e−2y′′ + λe−2y = 0

Sabemos que los λ≥0 , pero esto no ahorra cálculos, pues y hay que mirar λ<,=,>1 :

λ<1 : y = c1 e(1+p) + c2 e(1−p) , y′ = c1(1+p)e(1+p) + c2(1−p)e(1−p) , p=p1−λ →

c1[1+p] + c2[1−p] = 0c1[1+p]e1+p+c2[1−p]e1−p=0

«

→ c2(1−p)e[e−p−ep] = 0→ p=1 (λ=0 ), y0=1 .

λ=1 : y=[c1+c2]e , y′=[c1+c2+c2]e →c1+c2 = 0c1+2c2 = 0

→ y≡0 . λ=1 no autovalor.

λ>1 :y=[c1 cos+c2 sen]e , =

pλ−1

y′=

(c1+c2) cos+(c2−c1) sen

e→ y′(0)=c1+c2=0→y′(1)=c2 e(1+2) sen=0 →

=nπ, n=1,2, . . . → λn=1+n2π2 , yn =

e[sennπ−nπ cosnπ]

, n=1,2, . . .

Las autofunciones serán ortogonales respecto al peso r() = e−2 :∫ 10 e−[sennπ−nπ cosnπ]d = 0

∫ 10 [sennπ−nπ cosnπ][senmπ−mπ cosmπ]d = 0 (m 6=n)

Ej 6. (P6)

2y′′+ y′+ λy = 0y(1)=y(e)=0 p()= e

∫

= e∫

d = →

y′′+λ y

=0 . Es r()= 1 .

Es problema separado regular

p, r>0 en [1,e]

.

Ecuación de Euler: r(r−1)+r+λ=0→ r = ±p−λ . Basta mirar los λ>0 :

y=c1 cos( ln)+c2 sen( ln) , c1=0c2 sen=0

λn=n2π2, yn=

sen(nπ ln)

, n=1,2, . . .

Como siempre, las autofunciones son ortogonales:∫ e1sen(nπ ln) sen(mπ ln)d

=0 , m 6=n .

36

Separando variables nos aparecerán también problemas de contorno como el si-guiente, que no es separado, pues sus condiciones de contorno mezclan valoresen los dos extremos del intervalo. En concreto, este es un problema periódico:

Ej 7. (P7)

y′′ + λy = 0y(−π)=y(π), y′(−π)=y′(π)

[Estas condiciones equivalen apedir que y sea 2π-periódica].

λ<0→c1[eπp−e−πp]−c2[eπp−e−πp] = 0c1[eπp−e−πp]+c2[eπp−e−πp] = 0

«

Como el determinante de los coeficientes

eπp−e−πp e−πp−eπp

eπp−e−πp eπp−e−πp

= 2(eπp−e−πp)2 6= 0 si p>0 ,

el sistema sólo tiene la solución trivial c1=c2=0 . No hay autovalores negativos.

λ=0→ c1−c2π = c1+c2πc2 = c2

se satisface para c2=0 y cualquier c1 : y0=c1=1 .

λ>0→2c2 senπ = 02c1 senπ = 0

«

→ senπ = 0 → λn=n2 , n=1,2, . . .

Para esos λn las condiciones de contorno se cumplen para todo c1 y todo c2 .

Las autofunciones son, pues: yn = c1 cosn+ c2 senn ≡ cosn, senn .

[Es claro que exigir simplemente que y sea 2π-periódicalleva directamente a los mismos autovalores y autofunciones].

Las propiedades de (P7) son algo distintas de las los problemas separados: sigue ha-biendo una sucesión infinita de autovalores λn=n2, n=1,2, . . . tendiendo a ∞,pero las autofunciones y0=1 , yn=cosn, senn forman, si n>0 , un es-pacio vectorial de dimensión 2. Utilizando sen cosb = 1

2

sen(+b)+sen(−b)

(y las relaciones ya vistas para sen senb y cos cosb y las fórmulas del ángulodoble) se comprueba que sigue siendo cierto que autofunciones diferentes sonortogonales entre sí.

Los problemas de Sturm-Liouville pueden generalizarse. En la demostración del teorema seaprecia que lo esencial para la ortogonalidad es que

p|W|(yn, ym)b=0 ; esto sucede para

otros tipos de condiciones de contorno (y para otros muchos no) además de las separadas.

Por ejemplo ocurre en los llamados problemas periódicos que generalizan el (P7):

(Pp)

¨

[py′]′ − qy+ λry = 0 , con p()=p(b) , p∈C1[, b] , q, r∈C[, b] , p, r>0 en [, b]y()=y(b), y′()=y′(b) (condiciones periódicas)

Para (Pp) no se anula el wronskiano de dos soluciones ni en ni en b (y por eso hay espaciosde autofunciones de dimensión 2), pero es claro que

p|W|(yn, ym)

(b)=

p|W|(yn, ym)

() .

Más en general, se llaman problemas autoadjuntos aquellos tales que

p|W|(,)b=0

para todo par de funciones , que cumplan sus condiciones de contorno.

Las autofunciones de estos problemas más generales (que en libros avanzados de ecuacio-nes se ve que tienen propiedades similares a las de los separados) son, pues, ortogonales.Pero no nos ocupamos más de ellos, pues los problemas que nos aparecerán en el capítulosiguiente serán todos separados (o el (P7) de arriba).

[El término ‘autoadjunto’ se debe a que llamando L[y]=−[py′]′+qy y (,)=∫ b

d ,

se tiene que

L[],

=

, L[]

para todo par de funciones , que cumplen lascondiciones de contorno: el operador L es ‘autoadjunto’ en ese conjunto de funciones].

Ej 8. (P8)

y′′ + λy = 0y(0)=y(π), y′(0)=−y′(π) Se tiene

p|W|(,)

(π)=−

p|W|(,)

(0) .

El problema, pues, no es autoadjunto. Operando como en el ejemplo 7 es fácil ver quelas cosas son muy diferentes: cualquier λ (menor, igual o mayor que 0 ) es autovalor

asociado, respectivamente, an

ch

p(− π2 )

o

, 1 ón

cos

(− π2 )

o

y en general es falso que las autofunciones asociadas a λ distintos sean ortogonales.

37

Resolviendo algunas EDPs aparecerán problemas singulares de Sturm-Liouvilleque no reúnen todas las condiciones de los regulares: p ó r se anulan o no soncontinuas en algún extremo del intervalo, el intervalo es infinito. . . Resolvamos tresde ellos (el 9 surge, por ejemplo, tratando ondas o calor en el espacio, el 10 si esasecuaciones son en el plano y el 11 para Laplace en la esfera), en los que en unoo ambos extremos es p=0 . En esos extremos las condiciones de contorno de un(Ps) son demasiado fuertes para tener autovalores y autofunciones como en los re-gulares y se sustituyen por acotación, de forma que siga habiendo ortogonalidad,es decir, según vimos en la demostración del teorema 1, que se cumpla:

0 =

p (yny′m − ymy′n)b= (λn− λm)⟨yn, ym⟩ .

Ej 9. (P9)

y′′ + 2y′ + λy = 0y acotada en =0, y(1)=0 y′′+ 2

y′+λy=0

e∫

=2−→

2y′′+λ2y=0 .

Haciendo el cambio = y la ecuación se convierte en ′′ + λ = 0 →

la solución general de la inicial para λ>0 es y = c1cos

+ c2sen

.

y acotada → c1=0 ; y(1) =0→ sen=0→ λn=n2π2 , n=1,2, . . . , yn = sennπ

[ortogonales, como es fácil comprobar, respecto al peso r()=2 ].

Es fácil ver directamente que no hay λ≤0 , o podemos evitar las cuentas pues la pruebade esa parte del teorema se puede adaptar a este problema singular, con lo que λ>0 .

[También se podría haber observado que las condiciones que quedan tras el cambio son(0)=0·y(0)=0 , (1)=1·0=0 → n=sennπ , y haber deshecho el cambio].

[Si hubiésemos impuesto y(0)=0 , y(1)=0 la única solución sería y≡0 ∀λ ;las condiciones para este problema singular habrían sido demasiado fuertes].

Ej 10. (P10)

y′′ + y′ + λy = 0y acotada en =0, y(1)=0 →

y′′ + λy = 0 .

Se puede probar que λ>0 . Haciendo el cambio de variable independiente s=pλ

la ecuación se convierte en la de Bessel de orden 0 :

s d2yds2+ dy

ds + sy = 0→ y = c1J0(s) + c2K0(s) = c1 J0(pλ) + c2K0(

pλ)

!"_

4 8 12 16

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

-0.2

-0.4

La primera condición de contorno impone quec2 = 0 (K0 no está acotada en = 0 ). De laotra se deduce que c1 J0(

pλ )=0 . Así pues, los

autovalores son los λ1<λ2< · · · cuyas raícesson los infinitos ceros de J0

están tabuladosy si n grande es

p

λn ≈

n− 14

π

.

Para esos λn las autofunciones asociadas son

yn=n

J0

p

λn

o

,

que son ortogonales respecto al peso r()= .

Ej 11. (P11)

¨

(1−2)y′′ + λy = 0

y acotada en =±1 La ecuación es la de Legendre si λ=p(p+1) .

Se sabe que sus únicas soluciones acotadas en 1 y −1 son los polinomios de LegendrePn() , que aparecen cuando p=n , n=0,1,2, . . .

Los autovalores son λn=n(n+1) , n=0,1,2, . . . y las autofunciones son los Pn , quecumplen, como se ve en los cursos de EDOs:

∫ 1−1 PnPm d = 0 si m 6=n

r()=1

.

38

3.2. Series de Fourier

Consideremos el problema de Sturm-Liouville separado regular:

(Ps)

¨

[py′]′ − qy+ λry = 0αy()−α′y′()=0, βy(b)+β′y′(b)=0

y sean y1, y2, . . . , yn, . . . sus autofunciones asociadas a los λ1, λ2, . . . , λn,. . . .

La importante propiedad que veremos en esta sección es que cualquier funciónƒ suficientemente regular en [, b] puede ser desarrollada en serie dedichas autofunciones, es decir:

ƒ () =∞∑

n=1

cn yn()

Supongamos que este desarrollo es válido y que la serie puede ser integrada tér-mino a término. Entonces, por ser las yn ortogonales:

∫ b

rƒym d =

∞∑

n=1

cn∫ b

r ynym d = cm

∫ b

r ymym d

Por tanto, si representamos el producto escalar respecto al peso r() :

⟨,⟩ =∫ b

r d debe ser cn =

⟨ƒ , yn⟩⟨yn, yn⟩

, n=1,2, . . .

[El r es el de la ecuación en forma autoadjunta; en la mayoría de los problemas queaparecerán separando variables en el capítulo 3 dicho peso será 1 , pero no siempre].

El problema (nada elemental) reside en precisar para qué funciones ƒ la serie conesos coeficientes (serie de Fourier de ƒ ) converge realmente hacia ƒ en [, b] .Aunque se le pueden exigir condiciones más débiles, nosotros pediremos a ƒ quesea C1 a trozos, condición que será satisfecha por las funciones que nos apareceránen problemas prácticos.

ba x x1 n

[Recordamos que ƒ es C1 a trozos en [, b] si podemos dividir elintervalo en subintervalos [, b] = [, 1] ∪ [1, 2] ∪ · · · ∪ [n, b]de modo que:

i. ƒ y ƒ ′ son continuas en cada (k , k+1) ,

ii. los límites laterales de ƒ , ƒ ′ en cada k existen y son finitos].

Teor 1.

Si ƒ es C1 a trozos en [, b] entonces su serie de Fourier:∞∑

n=1

⟨ƒ , yn⟩⟨yn, yn⟩

yn()

converge hacia ƒ () en los ∈ (, b) en que ƒ es continua yhacia 1

2

ƒ (−)+ƒ (+)

en los ∈ (, b) en que es discontinua.

El teorema no dice nada sobre la convergencia en los extremos y b .

La demostración es difícil y la omitimos. En lenguaje de ‘análisis funcional’, las ynson una ‘base de Fourier’ del espacio de funciones de dimensión infinita (similar a unabase ortonormal de uno de dimensión finita). La cuestión principal es ver que la basees ‘completa’, es decir, que no hay otras funciones ortogonales a las yn . El espacio‘natural’ para estudiar las series de Fourier es L2 (funciones de cuadrado integrable) yla convergencia más ligada a ellas es la ‘convergencia en media cuadrática’:

∫ b

ƒ () −n∑

k=1

ckyk()

2d→ 0 cuando n→∞

.

39

Caso particular de los desarrollos en serie de Fourier son los desarrollos en seriestrigonométricas, que, al ser los que más utilizaremos, estudiamos con detalle.

Los autovalores y autofunciones de:

(P1)

y′′ + λy = 0y(0)=y(L)=0 son λn=

n2π2

L2e yn=

sen nπL

, n = 1,2, . . . .

[Es fácil verlo directamente, o también podemos hacer s=π/L →

y′′ + L2

π2λy=0 , y(0)=y(π)=0 en la variable s , que es casi el ejemplo 1 de 2.1;

también se trasladaría haciendo s=− un problema en [, b] al (P1) (con L=b− ),sin necesidad de estudiarlo desde el principio].

Llamaremos serie de Fourier en senos de ƒ en [0, L] al desarrollo en estasautofunciones:

ƒ () =∞∑

n=1

bn sennπL , con bn =

2L

∫ L

0ƒ () sen nπ

L d , n=1,2, ... [s]

Ya que el peso es r()≡1 y se tiene que ⟨yn, yn⟩ =∫ L

0

sen nπL

2 dt = L2 .

[Hemos escrito impropiamente ƒ = ; la igualdad sólo se da en los ∈ (0, L)en que ƒ es continua; en 0 y L aún no sabemos, pero pronto lo sabremos].

Para este segundo problema de contorno:

(P2)

y′′ + λy = 0y′(0)=y′(L)=0 son λn=

n2π2

L2, yn=

cos nπL

, n=0,1, . . .

yo=1

Y se llamará serie de Fourier en cosenos de una ƒ dada en [0, L] a:

ƒ () = o2 +

∞∑

n=1

n cosnπL , con n =

2L

∫ L

0ƒ () cos nπL d , n=0,1,2, ... [c]

Pues ⟨yo, yo⟩ =∫ L

0 12 d = L e ⟨yn, yn⟩ =

∫ L

0

cos nπL2 d = L

2 , si n≥1.

[Ponemos o2 en la serie para que la fórmula del n valga también para o ].

0 1

1x

Ej 1. Sea ƒ () = , ∈[0,1] . Desarrollémosla en senos y en cosenos:

ƒ ()= 2π

∞∑

n=1

(−1)n+1n sennπ , pues bn=2

∫ 10 sennπd=−

2nπ cosnπ , n=1,2, . . .

ƒ ()= 12+

2π2

∞∑

n=1

(−1)n−1n2

cosnπ = 12 −

4π2

∞∑

m=1

1(2m−1)2 cos(2m−1)π ,

ya que o=2∫ 10 d=1 , n=2

∫ 10 cosnπdt=

2n2π2

[cosnπ−1] , n=1,2, . . .

Ambas series, según el teorema 1, convergen hacia ƒ () para todo ∈ (0,1) .Lo mismo sucedería con el desarrollo en autofunciones de cualquier otro pro-blema de Sturm-Liouville que considerásemos. Cuando nos encontremos estasseries resolviendo EDPs no tendremos la libertad de elegir en qué autofuncionesdesarrollar: nos las impondrá el problema.

Otras dos familias de autofunciones sencillas en las que vamos a desarrollar fun-ciones muchas veces son las de estos problemas fáciles de resolver:

y′′ + λy = 0y(0)=y′(L)=0 con λn=

[2n−1]2π222L2

, yn=n

sen [2n−1]π2L

o

, ⟨yn, yn⟩= L2 , n=1,2, . . .

y′′ + λy = 0y′(0)=y(L)=0 con λn=

[2n−1]2π222L2

, yn=n

cos [2n−1]π2L

o

, ⟨yn, yn⟩= L2 , n=1,2, . . .

A los desarrollos en estas autofunciones los llamaremos, respectivamente, seriesen senos impares y en cosenos impares en [0, L].

40

La teoría de series de Fourier puede ser extendida para incluir autofunciones deproblemas con condiciones periódicas. Así para:

(P3)

¨ y′′ + λy = 0y(−L)=y(L)y′(−L)=y′(L)

, λn=n2π2

L2, n=0,1, . . . , yo=1 , yn=

cos nπL , sen nπL

se deduce la siguiente serie de Fourier en senos y cosenos en [−L, L]:

[p] ƒ () = o2 +

∞∑

n=1

n cosnπL + bn sen

nπL

, con coeficientes:

[1] n =1L

∫ L

−Lƒ () cos nπL d , n=0,1,2, ... , y

[2] bn =1L

∫ L

−Lƒ () sen nπ

L d , n=1,2, ... , ya que se cumple:

∫ L

−L cosmπL sen nπ

L dt = 0 para todo m y n ;∫ L

−L 12 d = 2L ;

∫ L

−L cosmπL cos nπL d =

0 m 6=nL m = n ;

∫ L

−L senmπL sen nπ

L d =

0 m 6=nL m = n .

Las fórmulas [1]-[2] también valen para desarrollar una ƒ definida inicialmenteen cualquier otro intervalo [, +2L] (cambiando los límites a la integral) pues

∫ +2L

cos2=∫ +2L

sen2=L

.

Como en el teorema 1, la serie [p] converge hacia ƒ () en los en los que ƒes continua. Pero además se puede decir lo que sucede en los extremos −L y L(observando que [p] define de hecho una función en todo R que es 2L-periódica).Podemos hablar también sobre la convergencia uniforme de [p] (sin demostrarnada, como en toda la sección):

Teor 2.

Suponemos que ƒ es C1 a trozos en [−L, L] y extendemos ƒ fuera de[−L, L] de forma 2L-periódica. Entonces la serie [p] con n y bn dadospor [1] y [2] converge hacia ƒ () en todos los puntos en que su extensiónes continua (y hacia 1

2

ƒ (−)+ƒ (+)

en los puntos de discontinuidad).Además [p] converge uniformemente en todo intervalo cerrado que nocontenga discontinuidades de la ƒ extendida. Por tanto, si ƒ es continuay ƒ (−L)= ƒ (L) entonces [p] converge uniformemente hacia ƒ en todo elintervalo [−L, L] .

Las fórmulas [s] y [c] para los coeficientes de las series en senos y de las series encosenos se pueden ver como casos particulares de [1] y [2]:Dada una ƒ inicialmente definida en [0, L] podemos extenderla de forma impar ode forma par a [−L, L]. En el primer caso es impar ƒ () cos nπL y par ƒ () sen nπ

L .En el segundo ƒ () cos nπL es par y ƒ () sen nπ

L es impar. Por tanto, n=0 y [1]se convierte en [s] en el primero, y en el segundo bn=0 y [2] pasa a ser [c].

[Si definiésemos la ƒ de cualquier otra forma en [−L,0), la serie en senos y cosenostambién convergería hacia ƒ () en los de (0, L) en que fuese continua].

Como consecuencia de lo anterior y del teorema 2 se tiene que:

La serie de cosenos de una ƒ continua en [0, L] , con ƒ ′ continua atrozos, converge uniformemente hacia ƒ en todo el intervalo.Si ƒ satisface además que ƒ (0)= ƒ (L)=0 la serie en senos de ƒ tambiénconverge uniformemente hacia ƒ en todo [0, L] .

[Si no fuese ƒ (0)=0 ó ƒ (L)=0 la ƒ extendida primero de forma impar a [−L, L]y luego de forma 2L-periódica no sería continua en 0 o en L ; además está claroque todas las series en senos se anulan en 0 y L , pues lo hace cada sumando].

41

0-1 1 3-3

-1

1impar

0-1 1 3-3

1par En particular, la serie en senos del Ej 1

no converge uniformemente hacia ƒ en[0,1] (sí lo hace en cualquier intervalo dela forma [0, b] , b<1 ). La serie en cose-nos sí converge uniformemente en [0,1] .

[Aunque las series en cosenos se compor-ten mejor, resolviendo EDPs no podremoselegir, como ya hemos dicho, el tipo deseries en que desarrollar las funciones].

0 1

1

-1

0 1-1

SS

S

01

2 Sngordo

Ej 2. Sea ƒ () =

0 , −1≤≤0 , 0≤≤1 .

Su serie en senos y cosenos está casi calculada:

1

4+1

π2

∞∑

n=1

(−1)n − 1n2

cosnπ−1

π

∞∑

n=1

(−1)n

nsennπ .

La suma de esta serie es 0 en (−1,0] , en[0,1) y 1/2 en −1 y 1 . En todo cerrado que nocontenga estos puntos la convergencia es uni-forme. Cerca de ellos la convergencia es mala ylenta. [Se produce el ‘fenómeno de Gibbs’: apa-recen ’picos’ cerca de las discontinuidades].

Ej 3. Hallemos otro par de desarrollos de ƒ ()= ,∈[0,1] , en las autofunciones de los

ejemplos 3 y 4 de 3.1:n

cos (2n−1)π2

o

y cosn con tnn=1n

.

r()=1

.

cn = 2∫ 10 cos

(2n−1)π2 d → =

∞∑

n=1

h

4(−1)n+1π(2n−1) −

8π2(2n−1)2

i

cos (2n−1)π2 .

⟨cosn, cosn⟩ =∫ 10 cos

2nd =12+

senn cosn

2n=

2n+cos2n

22n

=2+2

n

2

1+2n

,

⟨, cosn⟩ =∫ 10 cosnd =

senn

n+ cosn−1

2n

= 2cosn−12n

→

=∞∑

n=1

2(2cosn−1)2n+cos2n

cosn [usando el ordenador: c1≈0.52 , c2≈–0.46 . . . ].

Ej 4. Otro desarrollo de ƒ ()= , ahora en [1,e] , en las autofunciones del Ej 6 de 3.1.

Esta vez el peso no es 1 , sino r()= 1 . Como

∫ e1sen2(nπ ln)d

=∫ 10 sen

2(nπs)ds= 12 ,

=∞∑

m=1

cn sen(nπ ln) , si cn=2∫ e1 sen(nπ ln)d=2

∫ 10 e

s sen(nπs)ds =2nπ

1−e(−1)n

1+n2π2 .

Observemos para acabar que también se pueden hacer desarrollos de Fourier enserie de autofunciones de diversos problemas de Sturm-Liouville singulares, enparticular en las de los tres que vimos en la sección anterior.

Ej 5. Desarrollemos una ƒ (C1 a trozos) en las autofunciones del (P10) de esa sección:

(P10)

y′′ + y′ + λy = 0y acotada en =0, y(1)=0 → ƒ () =

∞∑

m=1

cn J0

p

λn

, peso r()= .

→ cn =

∫ 10 ƒ () J0

pλn

d∫ 10 J

20

pλn

d= 2

J21p

λn

∫ 10 ƒ () J0

p

λn

d

pues∫ 10 J

20

p

λn

d = 1λn

∫

pλn

0 J20()d =12λn

h

2

J20()+ J21()

i

pλn

0= 12 J21

p

λn

ya que las Jn satisfacen

n Jn′ = n Jn−1 →

J1′ = J0 , J′0=−J1

→∫

J20 d =2

2 J20 +∫

J0 J1 d =2

2 J20 +12

J12

42

3.3. Problemas no homogéneos

Ej 1. Discutamos cuántas soluciones tiene

y′′ = −dy(1)=y(2)+by′(2)=0 , d , b constantes.

La solución general es: y = c1+c2+3

6 −d2

2

con y′=c2+2

2 −d

. Imponiendo datos:(

y(1) = c1+c2 +16−

d2 = 0

y(2)+by′(2)=c1+2c2+43−2d+bc2+2b−2bd=0

, es decir:

(

c1+c2=d2−

16

c1+(2+b)c2 = 2bd+2d−2b− 43

.

Este sistema lineal tiene solución única en c1 y c2 si el homogéneo tiene sólo la trivial(si el determinante de los coeficientes es no nulo). Cuando el homogéneo tenga infinitassoluciones, el no homogéneo tendrá infinitas o ninguna. Por tanto, si b 6=−1 , podemosdespejar de forma única c1 y c2 , y la solución queda determinada ∀d . Pero si b=−1 :

(

c1+c2=d2−

16

c1 + c2 =23

, este sistema sólo tiene solución cuando d2−

16 =

23 ⇔ d= 5

3 ,

y en ese caso una de las dos constantes queda libre. Si b=−1 , d 6= 53 , no hay solución.

Demos un teorema que generalice el ejemplo anterior. Consideremos el problemapara la ecuación no homogénea con condiciones separadas homogéneas:

(Pf)

p()y′′ + g()y = ƒ ()

αy()−α′y′()=βy(b)+β′y′(b)=0, p∈C1, g, ƒ ∈C , p>0 en [, b] .

y llamemos (Ph) al problema homogéneo asociado ( ƒ≡0 ). Entonces:

Teor 1.

El problema (Pf) tiene solución única si y sólo si (Ph) tiene sólo lasolución y≡0 . Si (Ph) tiene soluciones no triviales yh entonces

según sea∫ b

ƒ ()yh()d

= 06= 0 , (Pf) tiene infinitas soluciones

ninguna solución .

1→ 1

∞→∞0

Gran parte del teorema sale de imponer las condiciones de contorno a la solución generalde la ecuación y=c1y1+c2y2+yp , usando las propiedades de los sistemas algebraicos.Además si hay soluciones y de (Pf) debe ser (y esto se ve que también es suficiente):

∫ b

ƒ yh =

∫ b

[py′]′+gy

yh =

p(yhy′−yy′h)b+∫ b

[py′h]′+gyh

y = 0

Ej 1∗. Para el Ej 1, (Ph) tiene sólo la solución y≡0 si b 6=−1 . Y si b=−1 es yh=1− .

El (Pf)

para [y′]′=−d

, tendrá entonces solución única si b 6=−1 , e infinitas ó 0 ,

para b=−1 , según se anule o no la integral:∫ 21 (−d)(1−)d =

d2−

56 ⇔ d= 5

3 .

Si en vez de la −d dada tuviésemos una ƒ () general, el teorema daría rápidamente:

única solución si b 6=−1 , e infinitasninguna , según

∫ 21 ƒ ()(1−)d

=06=0 , para b=−1 .

[Costaría más decirlo a partir de la solución: c1+c2+∫

1 ƒ (s)ds−∫

1 sƒ (s)ds ].

Sea ahora el problema con condiciones de contorno no homogéneas:

(PAB)

p()y′′ + g()y = ƒ ()

αy()−α′y′()=A, βy(b)+β′y′(b)=B, p∈C1, g, ƒ ∈C, p>0 en [, b] ,

y sea (Ph) el homogéneo con ƒ ()≡0 , A=B=0 (el de antes). Hallando una función que satisfaga sus condiciones de contorno y haciendo =y− el (PAB) se reducea otro del tipo (Pf) ya discutido en el Teor1:

(P)

p()′′+g() = ƒ ()−

p()′′−g()

α()−α′′()=0 , β(b)+β′′(b)=0⇒

Teor 2. (PAB) tiene solución única⇔ (Ph) tiene sólo la solución y≡0[y si (Ph) tiene infinitas soluciones, (PAB) puede tener infinitas o ninguna].

43

La idea de hallar una que satisfaga las condiciones de contorno para hacerlas homogé-neas se utiliza a menudo en las EDPs. Para encontrar dicha normalmente se trabaja portanteo. Si no es una constante, se prueba una recta; si no vale, funciones más complicadas...

Está claro que aunque en (PAB) sea ƒ ()≡0 , si (al menos) una condición de contorno esno homogénea, las propiedades son las típicas de uno no homogéneo. Esto es loque ocurre en el siguiente ejemplo.

Ej 2. Discutamos cuántas soluciones tiene: (P)

y′′ − y′ = 0y′(1)+y(1)=0, y(2)=1

Comenzamos analizando cuántas soluciones tiene el homogéneo: y = c1+c22 →

y′(1)+y(1)=2c2+c1+c2 =0 [2−3]c2=0y(2)=c1+4c2=0 → c1=−4c2 →

¨

y≡0 si 6= 23

y=2−4 si = 23

Si 6= 23 , (P) tiene solución única. Para = 2

3 vemos lo que sucede directamente:

y′(1)+ 23y(1)=

23 [c1+4c2] =0

y(2)=c1+4c2=1→ no existe solución de (P2/3).

Aunque también podríamos (más largo) convertirlo en un (Pf) y aplicar el teorema 1.Para ello buscamos una de la forma =M+N que satisfaga las condiciones:(

′(1)+ 23(1)=

13 [5M+2N]=0

(2)=2M+N=1→ =5−2, =y− → (P)

¨

′′ −′ = −2′(1)+ 2

3(1)=(2)=0

La ƒ del teorema 1 es, desde luego, la de la ecuación escrita en forma autoadjunta,

con lo que, para aplicarlo, tenemos que reescribir nuestra ecuación:′

′= − 22

:∫ 21

− 22

[2−4]dt = 2 6= 0 ⇒ (P) [y por tanto (P2/3)] no tiene solución.

Consideremos ahora una tercera situación, el problema de S-L no homogéneo:

(Pλ)

py′′ − qy+ λry = ƒ ()

αy()−α′y′()=βy(b)+β′y′(b)=0

Sea (Ps) el problema separado de Sturm-Liouville homogéneo (el de ƒ ≡ 0 ). Paracada λ aparece un problema de los ya vistos (con g=−q+λr ). Se tiene por tanto:

Teor 3.

(Pλ) tiene solución única⇔ λ no es autovalor de (Ps).

Si λn es autovalor con autofunción yn ,

(Pλn)no tiene solucióntiene infinitas según sea

∫ b

ƒ yn d

6=0=0 .

Ej 3. (P3)

y′′ + λy = 1y′(0)=y′(1)−2y(1)=0 Estudiemos, según λ , cuántas soluciones tiene.

Hallemos los λn del homogéneo. Como ββ′<0 pueden aparecer autovalores negativos.

2/p

thp

po

1λ<0 : y = c1ep+c2e−p →

c2 = c1 c1

p[ep−e−p]−2[ep+e−p]

=0

Hay autovalor λ0=−p20 si thp0=2p0

, con y0=

ch (p0)

Utilizando el método de Newton o uno similar: p0≈2.07, λ0≈−4.27

.

λ=0 : y=c1 + c2→c2 = 0−2c1−c2 = 0

o

→ λ=0 no es autovalor.

λ>0 : y=c1 cos+c2 sen→c2 = 0 c1( sen+2cos)=0

Hay infinitos λn=2n

si tnn=− 2n

, con yn=

cos (n)

.

Por tanto (la ecuación está ya en forma autoadjunta):

Si λ 6=λn hay solución única de (P3).

Si λ=λ0 , como∫ 10 ch (p0)d 6=0 , (P3) no tiene solución.

Si λ=λn , n=1,2, . . . ,∫ 10 cos (n)d =

senn

n6=0 , (P3) tampoco tiene solución.

44

4. Separación de variables

El capítulo, el más amplio de los apuntes, está dedicado a uno de los más antiguosmétodos de resolución de EDPs lineales (método de separación de variables) quenos permitirá hallar la solución (en forma de serie de Fourier) de gran parte delos problemas clásicos presentados en el capítulo 1, en concreto de los planteadosen un intervalo finito en una de las variables. Resolveremos la ecuación del ca-lor con diferentes condiciones de contorno, la de la cuerda acotada, la de Laplaceen rectángulos, círculos y esferas... Ello será posible porque las ecuaciones serán‘separables’ y los recintos que consideraremos son simples, pero hay muchos pro-blemas no resolubles por este método.

En la sección 4.1 resolveremos problemas para las ecuaciones del calor en dos va-riables. Comenzaremos tratando los problemas homogéneos (aquellos en queson homogéneas ecuación y condiciones de contorno; si estas no lo son, lo primeroserá hacer un cambio de variable). Básicamente esta será la técnica utilizada: bus-caremos soluciones de la EDP que sean productos de funciones de cada variable

(, t)=X()T(t)

y que cumplan todas las condiciones homogéneas; obtendre-mos infinitas soluciones de ese tipo resolviendo un problema de Sturm-Liouvilley otra EDO; construiremos una serie a partir de ellas

(, t) =∑

cnXn()Tn(t)

,cuyos coeficientes cn se fijarán imponiendo las condiciones iniciales aún no uti-lizadas (bastará para ello desarrollar funciones dadas en serie de autofuncionesdel problema de Sturm-Liouville citado). La presencia de series en el proceso ante-rior exigiría justificar las cuestiones relativas a su convergencia, pero nosotros noentraremos en ello. Pasaremos después a abordar problemas no homogéneos,buscando también una serie solución. Probaremos en la ecuación una serie cuyostérminos serán productos de las autofunciones del problema homogéneopor funciones a determinar de la otra variable. Resolviendo la familia infinitaresultante de EDOs lineales no homogéneas con las condiciones que se deducende las condiciones iniciales, se obtendrá la solución (formal) del problema.

En 4.2 haremos un estudio similar para la ecuación de ondas, y aprovecharemospara comparar resultados con los obtenidos en 1.4 a través de extensiones y la fór-mula de D’Alembert. Veremos un ejemplo para el que, por primera vez, el problemade Sturm-Liouville no será para la omnipresente ecuación X′′+λX = 0 .

En 4.3 utilizaremos la separación de variables para resolver problemas para laecuación de Laplace (homogénea y no homogénea) tanto en coordenadas rectan-gulares como en polares y tanto para problemas de Dirichlet, como de Neumann,como mixtos. En cartesianas el problema de Sturm-Liouville a resolver será en o en y según convenga, pero en polares será en la θ (preferible al de la ecuaciónde Euler que aparecería para la r ). Las condiciones adicionales a imponer a la otravariable serán aquí de contorno. De las soluciones en forma de serie deduciremosfórmulas como la integral de Poisson, que da la solución del problema de Dirichleten el círculo (otra forma de llegar a ella ser verá en 5.2).

En la sección 4.4 extenderemos el método de separación de variables a algunosproblemas para ecuaciones en tres variables. La técnica será muy parecida unavez definidas las series de Fourier dobles. Simplemente habrá que resolver dos(en vez de uno) problemas de Sturm-Liouville. Veremos ejemplos en que aparecende forma natural las funciones que estudiamos en el capítulo 2: los polinomios deLegendre (para Laplace en la esfera) y las funciones de Bessel (estudiando lavibración de un tambor).

45

4.1. Separación de variables para el calor

Consideremos varios problemas para la ecuación del calor. En el primero supo-nemos que los extremos de la varilla se mantienen a 0 grados y que los datosiniciales vienen dados por una ƒ que es C1 a trozos en [0, L]:

Sea [P1]

¨ t − k = 0 , ∈ (0, L), t>0(,0) = ƒ ()(0, t) = (L, t) = 0

[1][2][3]

Busquemos soluciones de la forma (, t) = X()T(t) . Debe ser entonces:

XT′−kX′′T = 0 , es decir, X′′

X =T′

kT

mejor que kX′′

X =T ′

T

.

Como el primer miembro es función sólo de y el segundo lo es sólo de t ambosdeben ser iguales a una constante:

X′′

X =1kT′

T = −λ (ponemos −λ para que nos quede la ecuación habitual).

Así obtenemos una EDO para X() y otra para T(t) :

X′′ + λX = 0 [4]T′ + λkT = 0 [5]

.

El producto de una solución de [4] por una de [5] es entonces una solución de[1], cualquiera que sea λ . Sin embargo, nos interesan sólo las soluciones quesatisfacen las condiciones de contorno:

(0, t) = X(0)T(t) = 0 ⇒ X(0)=0(si fuese T(t)≡0 tendríamos ≡0 y no se cumpliría la condición inicial).

Análogamente, debe ser X(L)=0 .

Nos interesan, pues, las soluciones (no triviales) del problema de Sturm-Liouville:

X′′ + λX = 0X(0)=X(L)=0 → λn=

n2π2

L2, Xn=

sen nπL

, n=1,2, . . . .

[Si el intervalo para la fuese no acotado, no saldría un problema de contornode los de 3.1; se acudiría entonces a la transformada de Fourier de 5.1].

Llevando estos valores de λ a la ecuación [5] obtenemos:

T′ = − kn2π2

L2T → Tn=

n

e−kn2π2t/L2

o

.

Hemos deducido hasta ahora que para cada n las funciones

n(, t) =n

e−kn2π2t/L2 sen nπ

L

o

, n = 1,2, . . .

son soluciones de [1] que satisfacen también las condiciones de contorno [3]. Por lalinealidad de la ecuación y de las condiciones, sabemos que una combinación linealfinita de estas n también cumple [1] y [3]. Pero consideremos la serie infinita:

(, t) =∞∑

n=1

cnn(, t) =∞∑

n=1

cn e−kn2π2t/L2 sen nπ

L [6]

y supongamos que converge y que satisface tambien [1] y [3]. Si queremos queademás se cumpla la condición inicial [2] debe ser:

∞∑

n=1

cn sennπL = ƒ () ⇒ cn =

2L

∫ L

0 ƒ () sen nπL d , n=1,2, ... [7]

pues la serie es precisamente la serie de Fourier en senos en [0, L] de ƒ .

46

Tenemos una posible solución de [P1]: la serie [6] con coeficientes dados por [7].Pero esta solución es sólo formal mientras no se pruebe que la convergencia de laserie es suficientemente buena para asegurar que realmente cumple el problema(una suma infinita de funciones derivables podría ser no derivable). Si ƒ es C1 atrozos, se puede probar que converge en [0, L]×(0,∞) y que t y se puedencalcular derivando término a término (y así se satisface la ecuación). De hecho,se ve que la definida por la serie es C∞ en (0, L)×(0,∞) . En = 0 y = Lestá claro que la se anula. Y la condición inicial se satisface en el siguientesentido: la (, t) definida por la serie para t > 0 y por (,0) = ƒ () es unafunción continua salvo en los puntos de t=0 en que la ƒ es discontinua.

[Aunque ƒ sea discontinua, la solución es C∞ para t > 0 arbitrariamente pequeño:a diferencia de lo que ocurrirá con las ondas, las discontinuidades desaparecen aquíinstantáneamente].

Como cada n →t→∞

0 y es buena la convergencia, se tiene: (, t)−→t→∞

0 ∀∈[0, L]

(la barra tiende a ponerse a 0 grados, como era de esperar).

Suponemos ahora que las condiciones de contorno son no homogéneas:

[P2]

¨ t − k = 0 , ∈ (0, L), t>0(,0) = ƒ ()(0, t)=T1 , (L, t)=T2 , T1 , T2 constantes

Comenzaremos haciendo las condiciones de contorno homogéneas.

Una () que las satisface es la recta: =

1− L

T1 +LT2 .

Haciendo =− , nuestro problema se convierte en otro como el [P1]:¨t−k=0 , ∈ (0, L), t>0(,0) = ƒ ()− ()(0, t) =(L, t) = 0

. Por tanto:

(, t) =

1− L

T1 +LT2+

∞∑

n=1

cn e−kn2π2t/L2 sen nπ

L = + ,

con cn =2L

∫ L

0

h

ƒ ()−()i

sen nπL d , n=1,2, . . .

Esta () tiene un significado físico claro: como →0 cuando t→∞ , () es ladistribución estacionaria de temperaturas hacia la que tienden las temperatu-ras en la varilla, independientemente de las condiciones iniciales.

[Si T1 y T2 fuesen funciones de t , la (, t) definida arriba seguiría cumpliendo lascondiciones de contorno, pero la ecuación para la obtenida haciendo el cambiosería no homogénea, es decir, del tipo de las que vamos a resolver a continuación;dicha , función de t , pierde además su significado físico].

[Si separásemos variables directamente en [P2] llegaríamos a X(0)T(t) = T1 (y otraanáloga para =L ), expresión de la que no deduciríamos nada].

u(x,0)

w (x,0)

1distr.estac.Ej 1.

¨ t − = 0 , ∈ (0,1), t>0(,0) = 1(0, t)=1 , (1, t)=0

Operando se llega a: (, t) = 1−+ 2π

∞∑

n=1

(−1)n+1n e−n

2π2t sen(nπ)

y la distribución estacionaria hacia la que tiende es () = 1− .

[No nos importa que para t=0 sea incoherente el dato inicial con el de contorno en=1 ; la solución será, como hemos dicho, una función continua para t>0 y para elcálculo de las integrales el valor en un punto no influye].

47

Veamos ahora cómo resolver el problema no homogéneo:

[P3]

¨ t − k = F(, t) , ∈ (0, π), t>0(,0) = ƒ ()(0, t) = (π, t) = 0

(Tomamos L=π para abreviar las expresiones, pero no se pierdegeneralidad pues un sencillo cambio de variable lleva [0, L] a [0, π ] ).

Aunque no es necesario, descomponemos [P3] en dos subproblemas [P1] y [PF], elprimero con F=0 (ya resuelto) y el otro con ƒ=0 :

[PF]

¨ t − k = F(, t) , ∈ (0, π), t>0(,0) = 0(0, t) = (π, t) = 0

Las autofunciones del [P1] eran senn , n=1,2, . . . Probamos en [PF] la siguienteserie que ya satisface las condiciones de contorno (y que está relacionada con laecuación):

F(, t) =∞∑

n=1

Tn(t) senn con las Tn(t) funciones a determinar.

[Si tomásemos Tn= cn e−kn2t , funciones que aparecieron resolviendo [P1],

la satisfaría la ecuación con F≡0 ; debemos darle más libertad a las Tnpara conseguir al meter la serie en la ecuación una F 6≡0 ].

Suponiendo que la serie se puede derivar término a término:∞∑

n=1

T′n(t) + kn2Tn(t)

senn = F(, t) =∞∑

n=1

Bn(t) senn

con Bn(t) =2π

∫ π

0 F(, t) sennd (desarrollo de F en senos para t fijo).

Entonces para cada n debe ser: T′n+ kn2Tn = Bn(t) .

Y del dato inicial: F(,0) =∞∑

n=1

Tn(0) senn = 0 deducimos Tn(0)=0 .

Resolviendo la EDO lineal para Tn con este dato inicial (utilizando la fórmula devariación de las constantes con datos iniciales; para una F concreta a lo mejor haymétodos más rápidos) hallamos la Tn y por tanto:

F(, t) =∞∑

n=1

h ∫ t

0e−kn

2(t−s) Bn(s)dsi

senn

Serie que es solución formal de [PF] (como siempre faltaría comprobar que es so-lución de verdad, que es realmente lo que sucede si la F es decente).

La solución de [P3] (por la linealidad de la ecuación y las condiciones inicialesy de contorno) será la suma de F y de la serie solución de [P1] que obtuvimosanteriormente.

[Si hubiésemos abordado directamente la búsqueda de la solución de [P2] sindescomponerlo en dos, la única diferencia sería que las condiciones inicialesTn(0) , en vez de ser 0 , serían los coeficientes del desarrollo en senos deƒ () , es decir, deberíamos resolver los problemas de valores iniciales

¨

T′n+ kn2Tn = Bn(t)

Tn(0) = cn, con cn=

∫ π

0 ƒ () sennd ].

[Si las condiciones de contorno de [P3] fuesen no homogéneas empezaríamos comoen [P2] con un cambio =− para conseguir que lo fuesen].

48

Resolvemos ahora el problema homogéneo para la varilla con extremos aislados:

[P4]

¨ t − k = 0 , ∈ (0, L), t>0(,0) = ƒ ()(0, t) = (L, t) = 0

Separando variables (es la misma ecuación) aparecen, claro, las mismas EDOs delproblema [P1]. Pero ahora cambian las condiciones de contorno de la X :

X′′ + λX = 0X′(0)=X′(L)=0 → λn=

n2π2

L2, n=0,1,2, . . . , Xn=

cos nπL

X0=1

.

Para estos valores de λ se tienen las Tn=

e−kn2π2t/L2 T0=1

.

Así pues, probamos la serie: (, t) =co

2+

∞∑

n=1

cn e−kn2π2t/L2 cos nπL

Queremos que se satisfaga la condición inicial: (,0) =co

2+

∞∑

n=1

cn cosnπL = ƒ () .

Los cn desconocidos serán los coeficientes de la serie de Fourier en cosenos de ƒ :

cn =2L

∫ L

0 ƒ () cosnπL d , n=0,1,2, . . .

Observemos que de nuevo la solución se puede interpretar como la suma de unadistribución de temperaturas estacionaria [ co/2 ] y una distribución transitoria quetiende a 0 cuando t→∞ . Era esperable que toda la varilla (aislada) tendiese a lamisma temperatura y que esta fuese el valor medio de las temperaturas iniciales:

co2 =

1L

∫ L

0 ƒ ()d

Si las condiciones de contorno hubiesen sido (0, t)=F0 , (L, t)=FL (flujo cons-tante dado en los extremos), no se puede encontrar una () que sea una recta(en general) y, al hacer =− , la ecuación en que resulta es no homogénea.

Para resolver un problema no homogéneo con estas condiciones en la , proba-ríamos la serie construida con las autofunciones que hemos hallado:

F(, t) = T0(t)+∞∑

n=1

Tn(t) cosnπL ,

y resolveríamos las EDOs que surgirían, con los datos iniciales deducidas del datoinicial de la EDP.

Ej 2.

¨ t − = 0 , ∈ (0,1), t>0(,0) = 0(0, t)=0 , (1, t)=2

Tanteando con =A2+B obtenemos que=2 cumple las condiciones de contorno.

Y haciendo =−2 se tiene el problema:

¨ t − = 2(,0) = −2(0, t)=(1, t)=0

→ =T0(t)+∞∑

n=1

Tn(t) cosnπ → T′0+∞∑

n=1

[T′n+n2π2Tn] cosnπ=2

[función que ya está desarrollada en cosenos].

T0(0)+∞∑

n=1

Tn(0) cosnπ=−2 =− 13 +∞∑

n=1

n cosnπ , con n=−2∫ 10

2 cosnπd

⇒¨

T′0 = 2T0(0)=− 13

,

¨

T′n+n2π2Tn=0

Tn(0) = cn, integrando y resolviendo se llega a

(, t) = 2t + 2 − 13 −

4π2

∞∑

n=1

(−1)n

n2e−n

2π2t cosnπ

[→∞ pues por el extremo derecho estamos constantemente metiendocalor: su flujo va en sentido opuesto al gradiente de temperaturas].

49

En el quinto problema para la ecuación del calor que tratamos la condición de=0 representa la radiación libre hacia un medio a 0 grados (el flujo de calor esproporcional a la temperatura en = 0 ; si es positiva el calor sale y entra si esnegativa). En =1 fijamos el flujo de calor que entra en la varilla (al ser >0 elflujo es hacia la izquierda).

[P5]

t − k = 0 , ∈ (0,1), t>0(,0) = ƒ ()(0, t)−(0, t) = 0, >0(1, t) = 1

Vimos en 1.3 que tiene solución única. Para resolverlo lo primero, como siempre,es conseguir condiciones de contorno homogéneas.

Tanteando con rectas =M+N , se llega a que =+ 1 las satisface.

= − →¨t − k = 0(,0) = ƒ ()− − 1

(0, t)−(0, t) =(1, t) = 0

Separando variables se llega a T′+λkT = 0 y al problema de contorno:

X′′ + λX = 0X′(0)−X(0)=X′(1)=0 que sabemos que no tiene autovalores < 0 .

Si λ=0 : X=c1+c2 →

c2−c1=0c2=0

→ λ=0 no autovalor.

Si λ>0 : X=c1 cos+c2 sen , =pλ→

c2−c1=0c2 cos−c1 sen=0

→ c2=c1

a/w

tan w

0!

w1 w2 w3 w4

→ c1( cos− sen)=0→ tn= .

Esta ecuación transcendente no se puederesolver pero está claro que hay infinitosλn=2

n>0 (aproximables numéricamente).

Las autofunciones se podrían poner:n

cosn+nsenn

o

,

pero quedan más compactas en la forma:

Xn =

cosn(−1)

.

Yendo a la ecuación en T : Tn =

e−λnkt

→ =∞∑

n=1

cn e−λnkt Xn() .

Imponiendo el dato inicial se determinan los cn [son aproximados al serlo los λn ]:

∞∑

n=1

cnXn() = ƒ ()−− 1 → cn =4n

2n+sen2n

∫ 10

h

ƒ ()− − 1

i

Xn()d ,

pues∫ 10

Xn()2d = 1

2 +14n

h

sen2n(−1)i1

0.

0 1

acrece

x + -1aSí es calculable exactamente la distribución estacionariahacia la que tienden las temperaturas en la varilla:

(, t) =(, t) + + 1 → + 1

cuando t→∞

[la temperatura final de la varilla, como era esperable,es menor cuanto mayor sea el , es decir, cuanto másfuertemente irradie su extremo].

50

Dos ejemplos más de separación de variables para el calor (o similar). El primero nos sirvepara reflexionar sobre los cambios que hacen las condiciones de contorno homogéneas(siempre necesario) y en el otro vemos que se puede aplicar el método en otras ecuacionesseparables (y no sólo en la del calor).

Ej 3.

¨ t − = 0 , ∈ (0, π), t>0(,0)=1(0, t)=0, (π, t)=e−t

Una que cumple las condiciones de contornosalta a la vista: (t)=e−t . Haciendo =+ :

t − = e−t

(,0)=(0, t)=(π, t)=0[problema no homogéneo].

Necesitamos conocer las autofunciones de homogéneo para saber qué tipo de soluciónprobar. Ya sabemos que al separar variables en el calor aparece X′′+λX=0 (además deT′+λT =0 que ahora mismo no nos importa). Esto, unido a las condiciones que salende los datos de contorno X′(0)=X(π)=0 (problema conocido en 3.2), nos lleva a:

(, t) =∞∑

n=1

Tn(t) cos(2n−1)

2 →∞∑

n=1

h

T′n+ (2n−1)

2

4 Tni

cos (2n−1)2 = e−t →(

T′n+ (2n−1)

2

4 Tn=Bne−t

Tn(0)=0 (del dato inicial), con Bn=

2π

∫ π

0 cos(2n−1)

2 d= 4(−1)n+1π(2n−1) .

Resolvemos la EDO lineal mediante coeficientes indeterminados: Tnp=Ae−t →

Tn=Ce−(2n−1)2t/4+ 4Bn e−t

(2n−1)2−4Tn(0)=0−→ Tn(t)=

16(−1)n+1π(2n−3)(2n−1)(2n+1)

h

e−t−e−(2n−1)2t/4i

.

¿Podríamos encontrar una mejor que no estropee la homogeneidad de la ecuación?Buscamos (, t) que también la satisfaga. Al separar variables se ve que ∀A,B essolución: =e−t(A cos+B sen) . Imponiendo a esta los datos de contorno:

=−e−t cos −→=+

¨ t − = 0(,0)=1+cos(0, t)=(π, t)=0

[problema homogéneo y,por tanto, más sencillo] →

(, t) =∞∑

n=1

cn e−(2n−1)2t/4 cos (2n−1)2 → (,0) =

∞∑

n=1

cn cos(2n−1)

2 = 1+cos →

cn=2π

∫ π

0 (1+cos) cos(2n−1)

2 d= 2π

h

2(−1)n+12n−1 + (−1)

n

2n+1 +(−1)n2n−3

i

.

[Evidentemente se podría ver que ambas soluciones coinciden].

Ej 4.

¨ t−+2=0 , ∈

0, π2

, t>0(,0)=cos5(0, t)=(π/2, t)=0

[El término +2 representa una pérdidade calor al medio a lo largo de la varilla].

Separando variables: (, t)=X()T(t) → X′′

X =T ′

T +2=−λh damos el 2

mejor a la T

i

→

X′′ + λX = 0T′+(2+λ)T=0 y de los datos de contorno:

(0, t)=X′(0)T(t)=0→ X′(0)=0π2 , t

=Xπ2

T(t)=0→ Xπ2

=0¨

X′′ + λX = 0X′(0)=X

π2

=0→ λn=(2n−1)2, n=1,2, . . . , Xn=

cos(2n−1)

→ T′ = −(2+λn)T → Tn =n

e−

2+(2n−1)2

to

Probamos pues: (, t) =∞∑

n=1

cn e−

2+(2n−1)2

t cos(2n−1) .

Y, por el dato inicial: (,0) =∞∑

n=1

cn cos(2n−1) = cos5 → c3=1 y los otros 0 .

Así pues: (, t) = e−27t cos5 .

[Muy parecido a como lo probamos para el calor, se ve que esta solución es única;o bien, haciendo =e−2t se obtiene un problema para la ecuación del calor conesos mismos datos, problema cuya unicidad ya demostramos].

51

4.2. Separación de variables para ondas

Resolvamos el problema para la cuerda vibrante con extremos fijos (en 1.4 loresolvimos extendiendo los datos y aplicando la fórmula de D’Alembert):

[P1]

¨ tt − c2 = 0 , ∈[0, L], t∈R(,0)= ƒ (), t(,0)=g()(0, t)=(L, t)=0

Separando variables =X()T(t) e imponiendo los datos de contorno obtenemos:

X′′

X =1c2

T′′

T = −λ →¨

X′′ + λX = 0 , X(0)=X(L)=0 → λn=n2π2

L2, Xn=

sen nπL

T′′ + λc2T = 0 n=1,2, . . .

Las Tn correspondientes son combinaciones lineales de sen nπctL y cos nπctL .

Así, funciones de la forma: n(, t) =h

kn cosnπctL + cn sen

nπctL

i

sennπL , n=1,2, . . .

satisfacen la EDP y las condiciones de contorno. Probamos, pues:

(, t) =∞∑

n=1

h

kn cosnπctL + cn sen

nπctL

i

sen nπL

con kn y cn constantes. Para que se cumplan las condiciones iniciales:

(,0) =∞∑

n=1

kn sennπL = ƒ ()→ kn =

2L

∫ L

0 ƒ () sennπL d , n=1,2, ...

y suponiendo que la serie se puede derivar término a término:

t(,0) =∞∑

n=1

nπcL cn sen

nπL = g()→ cn =

2nπc

∫ L

0 g() sennπL d , n=1,2, ...

pues nπcL cn son los coeficientes del desarrollo de g en senos.

Tenemos una solución, formal en principio, aunque se prueba que las series convergeny satisfacen realmente el problema si ƒ y g cumplen las condiciones que pedimos en1.4: si sus extensiones impares respecto a 0 y L son C2 y C1, respectivamente (si ƒó g no son tan regulares la serie solución representará lo que llamamos una solucióndébil; en las ondas no desaparecen las discontinuidades).

Para algunas cuestiones (valores concretos, dibujos, ... ) será mejor usar D’Alembert,pero se ven mejor otras propiedades en la serie. Por ejemplo, como cada n es 2L/c-periódica en t , tambien tiene este periodo. Observemos además que la soluciónaparece como combinación infinita de ‘modos naturales de vibración’ [ sen(nπ/L) ]cada uno de los cuales vibra con una frecuencia nπc/L (‘frecuencias naturales’ de lacuerda). En términos acústicos 1 da el tono fundamental (su frecuencia es πc/L ) ylos demás son los ‘armónicos’ (de frecuencia múltiplo de la anterior).

Como siempre, para empezar a resolver por separación de variables, han de serlas condiciones de contorno homogénes. Y para los problemas no homogéneos seprueban series de autofunciones del homogénero.

f

01/2

u(x,0)

1x

Ej 1.

tt − = 0 , ∈[0,1], t∈R

(,0) =n

, 0≤≤1/21− , 1/2≤≤1

t(,0) = (0, t) = (L, t) = 0

(Ejemplo 4 de 1.4 que podíarepresentar la pulsación dela cuerda de una guitarra).

Basta copiar de arriba: (, t) =∞∑

n=1

kn cosnπt sennπ (2-periódica),

con kn=2∫ 1/20 sennπd+2

∫ 11/2(1−) sennπd=

4n2π2

sen nπ2 (=0 si n par).

(Pulsando la cuerda en el centro desaparecen los armónicos pares).

52

Ej 2.

¨ tt−=0 , ∈[0,2], t∈R(,0)=2 , t(,0)=0(0, t)=0 , (2, t)=4

Hallemos (1,2) y (,1) , con D’Alembert y se-parando variables. En ambos casos, lo primero eshacer las condiciones de contorno homogéneas.

La (, t)=

1− L

h0(t) +LhL(t) citada en 1.4 (y en la sección anterior) es adecuada:

x –2x

2 41

-2

-12

1

=2 , =−2 →¨ tt−=0 , ∈[0,2](,0)=2−2 , t(,0)=0(0, t)=(2, t)=0

.

Para D’Alembert ebemos extender ƒ de forma impary 4-periódica a ƒ∗ definida en R:

. . . , −(+2) en [−2,0] , (−2) en [0,2] , −(−4)(−2) en [2,4] , . . .

La solución viene dada por = 12 [ƒ

∗(+t)+ƒ∗(−t)] . Por tanto:

(1,2) = 12

ƒ∗(3)+ƒ∗(−1)

=4per

12

ƒ∗(−1)+ƒ∗(−1)

=impar

−ƒ (1) = 1 → (1,2)= 3 .

Para hallar (,1) aparecen dos casos (se podría ver con los dominios de dependencia):

(,1)= 12

ƒ∗(+1)+ƒ∗(−1)

=(

0≤≤1 , 12 [−(−1)(+1) + (+1)(−1)] = 0

1≤≤2 , 12 [−(−1)(−3) + (−3)(−1)] = 0

→ (,1)=2 .

[Es claro que llevando ƒ∗ una unidad a izquierda y derecha y sumando todo se cancela].

Para resolver el problema en separando variables copiamos de la página anterior:

(, t) =∞∑

n=1

kn cosnπt2 sen nπ

2 con kn=∫ 20 (

2−2) sen nπ2 d = 16n3π3

[cosnπ−1]

→ (, t) = − 32π3

∞∑

m=1

1(2m−1)3 cos

(2m−1)πt2 sen (2m−1)π2 .

Para t=1 todos los cosenos se anulan, con lo que (,1)=0 (como por D’Alembert).

Además (1,2) = 32π3

∞∑

m=1

(−1)m+1(2m−1)3

h

=1 ; deducimos que 1− 133 +

153 −

173 + · · · =

π3

32

i

.

Ej 3.

¨

tt − = , ∈[0, π], t∈R(,0)=t(,0)=(0, t)=(π, t)=0

→ (, t) =∞∑

n=1

Tn(t) senn

Esta serie ya se anula en =0 y =π . Además debe cumplirse:

T′′n+ n2Tn =

2π

∫ π

0 sennd =2[−1]n+1

n → Tn = c1 cosnt + c2 sennt +2[−1]n+1

n3.

(,0)=t(,0)=0→ Tn(0)=T′n(0)=0 → (, t) = 2∞∑

n=1

[−1]n+1n3

[1−cosnt] senn .

De otra forma: podríamos conseguir un problema homogéneo hallando una soluciónde la ecuación () que cumpla las condiciones de contorno:

−′′= → =c1+c2− 163 (0)=(π)=0

−→ = 16

π2−3

.

Con =− , acabamos en [P1], con ƒ ()=−() y g()=0 , con lo que:

= 16

π2−3

+ 2∞∑

n=1

[−1]nn3

cosnt senn , pues 13π

∫ π

0

3−π2

sennd= 2[−1]nn3

.

Aunque las series anteriores dan la solución ∀(, t) , el problema es obtener (sin orde-nador) información sobre ellas. Por ejemplo, ¿qué aspecto tendrá:

(, π) =∞∑

m=1

4(2m−1)3 sen (2m−1) =

16

π2−3

+∞∑

n=1

2n3senn ?

Esto es fácil decirlo con D’Alembert en este caso. La solución del problema en es:

(, π)= 12

ƒ∗(+ π)+ƒ∗(−π)

, con ƒ∗ extensión impar y 2π-periódica de − .

Por la periodicidad y mantener la expresión ƒ∗ en [−π,0] por ser impar:

(, π) = ƒ∗(−π) = −(−π) , si ∈[0, π] ⇒

(, π) = ()− (−π) = (π+)(π−)6 − (−π)(2π−)6 = π

2(π−) ,

parábola invertida con su máximo en = π2 fácil de dibujar.

53

Se pueden imponer otros tipos de condiciones de contorno (como las del calor) a la cuerdavibrante y otros aparecen problemas resolubles por separación de variables. La condición=0 significa que el extremo de la cuerda se mueve con libertad verticalmente (se puedeimaginar una anilla engrasada al final de la cuerda rodeando una varilla vertical) y −=0ó +b=0 indican que el extremo está unido por un muelle al punto de anclaje.

Ya dijimos al final de 1.4 que las condiciones =0 llevan a extensiones pares.

[Separando variables salen las autofunciones sennπL con condiciones =0y cosnπL si son =0 : la periodicidad y paridades de las soluciones son lasmismas, faltaría más, resolviendo el problema por uno y otro método].

Ej 4.

tt−=0 , ∈[0,2π], t∈R

(,0)=0 , t(,0)=n

sen, ∈[0,π]0, ∈[π,2π]

(0, t)=(2π, t)=0

Hallemos (,2π) , por D’Alemberty separando variables.

¨

tt−=0, , t∈R(,0)=0, t(,0)=g∗()

con g∗ par y 4π-periódica. –2π 0 π 2π 4π

g*

(,2π) = 12

∫ +2π−2π g

∗=↑12

∫ 2π−2π g

∗=∫ π

0 sen sds = 2

[la integral en un periodo de una función periódica no depende del intervalo].

Separando variables: X′′+λX=0 , X′(0)=X′(2π)=0→ λn=n2

4 , Xn=

cos n2

, n=0,1, . . .

n T′′+λnT=0T(0)=0 →

T0=tTn=

sen nt2

, n≥1 → (, t) = 02 t+

∞∑

n=1

n sennt2 cos

n2 →

(,2π) = 0π . Basta hallar este coeficiente. t(,0) =02 +

∞∑

n=1

nn2 cos

n2 =g()

→ 0=22π

∫ 2π0 g = 1

π

∫ π

0 send=2π → (,2π)= 2 .

[Obsérvese que la solución tiende a ∞ cuando t → ∞ . Como está subiendoinicialmente y los extremos están libres, la cuerda asciende indefinidamente].

En el siguiente ejemplo, consideramos una ecuación con un término más añadidoa la de ondas (que podría representar un rozamiento con el medio):

Ej 5.

¨ tt+4t−=0, ∈[0, π], t∈R(,0) = sen2t(,0)=(0, t)=(π, t)=0

Como la ecuación es nueva, debemoscomenzar separando variables:

=XT → X[T′′+4T′]− X′′T = 0 → T ′′+4T ′t = X′′

X = −λ →

′′+λX = 0X(0)=X(π)=0 →

λn=n2, n=1,2, . . . , Xn=senn → T′′+4T′+n2T = 0 , r=−2±p

4−n2 →

T1=c1 e(−2+p3 ) t + c2 e(−2−

p3 ) t , T2=(c1+c2t)e−2t ,

Tn≥3=e−2t

c1 cosp

n2−4 t + c2 senp

n2−4 t

.

Probamos, pues, (, t)=∞∑

n=1

Tn(t) senn . Sólo faltan las condiciones iniciales:

(,0)=∞∑

n=1

Tn(0) senn=sen2

t(,0)=∞∑

n=1

T′n(0) senn=0

→ Tn(t)≡0 , si n 6=2h ecuación homogénea

con datos nulos

i

.

Sólo es no nula T2 , para la queT2(0)=c1= 1T′2(0) =c2−2c1=0

→ =(1+2t)e−2t sen2 .

[La cuerda con rozamiento tiende a pararse].

54

Hasta ahora la EDO del problema de Sturm-Liouville siempre ha sido X′′+λX=0 ,y, por eso, las series de Fourier eran todas con peso r() = 1 . Pero para otrasEDPs similares a calor y ondas, o para estas ecuaciones en el plano o el espacioy coordenadas no cartesianas, surgen otras ecuaciones ordinarias y es necesariomanejar la teoría más general del capítulo 3. Los problemas en más variables severán en 4.4, pero podemos resolver ya alguno si se reduce a uno de 2 variables.

Por ejemplo, la ecuación de ondas tt−c2Δ = 0 en recintos esféricos lleva, engeneral, a una EDP en 4 variables (el tiempo t y las variables esféricas r , θ , ϕ ),cuyas soluciones quedarían determinadas (como en la recta) fijando unos datos decontorno y un par de condiciones iniciales. Pero si buscamos sólo sus solucionesindependientes de los ángulos aparece la ecuación de ondas en el espacio consimetría radial (en 2 variables y ya tratada en 1.4). En concreto, vamos a resolverel siguiente problema homogéneo (vibraciones entre dos superficies esféricas):

[P2]

tt−rr− 2r r=0, 1≤r≤2, t∈R

(r,0)= ƒ (r) , t(r,0)=g(r)(1, t)=(2, t)=0

Separando variables: (r, t)=R(r)T(t)→R′′+ 2R

′r

R = T′′

T =−λ →

rR′′+2R′+λrR=0T′′ + λT = 0

Las condiciones de contorno imponen: R(1)=R(2)=0 .

Vimos la ecuación de R en 3.2 (allí asociada a un problema singular, aquí es regularpues estamos en el intervalo [1,2] ). Se resolvía haciendo el cambio de variable:

S=rR→

S′′ + λS = 0S(1)=S(2)=0

r=s+1→

S′′ + λS = 0S(0)=S(1)=0 →

λn=n2π2, n=1,2, . . .Sn=sennπs

→ Rn= sennπr

r

Y para esos valores de λ las soluciones para T son Tn=cosnπt, sennπt .

Probamos, pues: =∞∑

n=1

kn cosnπt + cn sennπt sennπr

r .

Las condiciones iniciales imponen:∞∑

n=1

knsennπr

r = ƒ (r) y∞∑

n=1

nπcnsennπr

r = g(r) .

Para hallar los coeficientes del desarrollo de una función en las autofunciones Rn(r)debemos utilizar el peso del problema de Sturm-Liouville:

r2R′′+ λr2R = 0 .

Como ⟨Rn, Rn⟩=∫ 21 r

2 sen2nπrr2

dr = 12 y ⟨ ƒ , Rn⟩=

∫ 21 r

2ƒ (r) sennπrr dr , concluimos que:

kn=2∫ 21 r ƒ (r) sennπr dr y cn=

2nπ

∫ 21 r g(r) sennπr dr .

Evidentemente se llegaría a lo mismo (aquí es mucho más corto, pero otras vecesno podremos hacer estos atajos) observando que las condiciones deducidas de lasiniciales se podrían haber reescrito así:

∞∑

n=1

kn sennπr = rƒ (r) y∞∑

n=1

nπcn sennπr = rg(r) .

De hecho, todo el problema se hubiera simplificado notablemente si hubiéramosutilizado inicialmente el cambio de variable que hicimos en 1.4:

= r →

¨tt−rr=0(r,0)=rƒ (r), t(r,0)=rg(r)(1, t)=(2, t)=0

, problema casi igual al de la página 52.

[Las ondas en plano con simetría radial satisfacen tt−rr− 1r r=0 y la ecuación enR es rR′′+R′+λrR=0 , que (lo vimos en 3.2) está asociada a las funciones de Bessel].

55

Acabamos la sección con algunas reflexiones sobre cambios de variable y descomposiciónen subproblemas que generalicen las ideas que hemos utilizado. Los problemas clásicosque vimos en 1.3 estaban formados por una ecuación lineal, que podemos representar, sies no homogénea, por L[] = F , con L lineal (es decir, L[1+b2] = L[1]+bL[2] ) yunas condiciones adicionales también lineales. En los que hemos resuelto por separación devariables necesariamente había un par de condiciones de contorno Ck[] = hk y, ademásuna o dos condiciones iniciales.

[Cuando resolvamos ecuaciones de Laplace separando variables en la próxima secciónveremos que a veces las condiciones de contorno estarán implícitas (por ejemplo enun círculo se exigirá periodicidad). Y, en vez de condiciones iniciales, aparecerán otrasdos de contorno (quizás alguna no escrita explícitamente, como la acotación)].

Supongamos, por ejemplo, que son 3 las condiciones adicionales (como en el calor) y quenuestro problema es de la forma:

[P]

¨ L[] = FM[] = ƒC1[]=h1 , C2[]=h2

El problema de resolver [P] puede ser reducido a resolver otros subproblemas más sencillos.Por ejemplo, si 1 , 2 , 3 y 4 son soluciones de

[P1]

L[] = FM[] = 0C1[]=0C2[]=0

[P2]

L[] = 0M[] = ƒC1[]=0C2[]=0

[P3]

L[] = 0M[] = 0C1[]=h1C2[]=0

[P4]

L[] = 0M[] = 0C1[]=0C2[]=h2

está claro, por la linealidad, que =1+2+3+4 es solución de [P], pero, como ya hemosobservado, bastantes veces nos convendrá descomponer [P] en menos subproblemas.

En otros casos interesará convertir la ecuación en homogénea (si no hubiese condicionesde contorno, por ejemplo). Si somos capaces de encontrar una solución particular de laecuación ( L[]=F ), el cambio =− convertirá [P] en:

¨ L[] = L[]−L[] = 0M[] = ƒ −M[]C1[]=h1−C1[] , C2[]=h2−C2[]

Más a menudo necesitamos hacer homogéneas las condiciones de contorno (la separaciónde variables y otros métodos lo exigen). Así, si lo que tenemos es una que satisfaceC1[]=h1 y C2[]=h2 , haciendo, como siempre, =− acabaríamos en

¨ L[] = F− L[]M[] = ƒ −M[]C1[]=C2[]=0

Lo que ya es un lujo (pero se puede intentar buscar por el premio que nos da) es tener una que cumpla las dos condiciones y además la ecuación (como en el ejemplo 3 de la anteriorsección y en el 1 y 3 de ésta). Los problemas homogéneos siempre son más sencillos que losno homogéneos (separando variables, por ejemplo, los primeros exigen resolver sólo EDOshomogéneas, más corto que resolver las EDOs no homogéneas de los segundos).

Como vemos, hay mucha variedad en los posibles cambios. En cada caso habrá que vercuáles nos llevan a problemas mas asequibles. Si inicialmente hay condiciones homogéneasintentaremos que los cambios no las estropeen, aunque a veces no habrá más remedio.

56

4.3. Separación de variables para Laplace

Resolvamos utilizando el método de separación de variables diversos problemaspara la ecuación de Laplace en recintos especialmente simples. Comenzamos porel problema de Dirichlet en un rectángulo, es decir:

a0

bf (x)

g (y)

f (x)

g (y)a

b

o

o[P1]

Δ=F(, y) , en (0, )×(0, b)(,0)= ƒo(), (, b)= ƒb()(0, y)=go(y), (, y)=g(y)

Por ser lineales la ecuación y las condiciones, basta resolver los 5 subproblemasque se obtienen al hacer 4 de las 5 funciones que aparecen igual a 0 y sumar las5 soluciones (de hecho, se puede descomponer en menos o hacer cambios queanulen alguno de los términos no homogéneos). Comencemos resolviendo, porejemplo, uno de los 4 problemas para la ecuación homogénea:

¨ Δ = 0 , en (0, )×(0, b)(,0)= ƒo()(, b)=(0, y)=(, y)=0

(, y)=X()Y(y) → X′′Y+XY′′=0 →

−X′′

X =Y′′

Y = λ →

X′′+λX = 0Y′′−λY = 0

De (0, y)=(, y)=0 se deduce que X(0)=X()=0 , con lo que el problema decontorno para la X tiene solución no trivial si

λn=n2π2

2, Xn=

n

sen nπ

o

, n=1,2, . . . .

Para esos λn es Yn=c1 enπy/+c2 e−nπy/ . La condición homogénea aún no aplica-da (, b)=0 impone Y(b)=0 . Nos interesan las Yn que la cumplen:

c2=−c1e2nπb/ → Yn=c1enπb/

enπ[y−b]/−enπ[b−y]/

→ Yn=n

sh nπ[b−y]

o

Probamos entonces: (, y) =∞∑

n=1

cn shnπ[b−y]

sennπ

Para satisfacer la condición de contorno no homogénea que falta:

(,0) =∞∑

n=1

cn shnπb sennπ = ƒo()→ cn sh

nπb = 2

∫

0 ƒo() sennπ d

Análogamente se resuelven los otros 3 subproblemas con F≡0 de [P1]. En uno deellos volvemos a tener las Xn de antes, y en los otros dos es Y (con condicionesde contorno homogéneas) la que proporciona las autofunciones Yn=

sen nπyb

.

[Los papeles de X e Y son intercambiables. En calor y ondas el problema de contornosiempre era para la X (las condiciones de T eran inciales). Para Laplace en polares,aunque tanto R como Θ tendrán condiciones de contorno, la EDO de la Θ será mássencilla y la elegiremos siempre para obtener las autofunciones].

Para resolver el último subproblema, el de la ecuación no homogénea:

Δ = F(, y) , en (0, )×(0, b)(,0)=(, b)=(0, y)=(, y)=0

como siempre se prueba una serie de autofunciones. Aquí hay dos posibilidades[elegiremos la que dé un desarrollo más fácil para F ]:

(, y) =∞∑

n=1

Yn(y) sennπ ó (, y) =

∞∑

n=1

Xn() sennπyb

[No olvidemos que con un cambio =− , o resolviendo menos subproblemas sepuede llegar antes la solución; lo único necesario para empezar con separación devariables es que sea =0 en = 0, ó en y = 0, b ].

57

Siguiendo con Laplace en cartesianas, resolvemos un problema de Neumann.Suponemos la ecuación no homogénea, pero con condiciones de contorno homo-géneas (si no lo fuesen, procederíamos de forma similar al problema anterior).

[P2]

Δ = F(, y) , en (0, π)×(0, π)y(,0)=y(, π)=(0, y)=(π, y)=0

Separando variables en la ecuación homogénea llegamos, desde luego, a las mis-mas ecuaciones que en [P1]: X′′+λX=0 , Y′′−λY=0 . Las condiciones de contornoobligan a que X′(0) = X′(π) = 0 , Y′(0) = Y′(π) = 0 . Para este problema tenemos,pues, dos familias de autofunciones cosn ó cosny , n= 0,1, . . . y podemoselegir cualquiera de ella para nuestra serie. Por ejemplo:

(, y) = X0() +∞∑

n=1

Xn() cosny →

X′′0 +∞∑

n=1

[X′′n−n2Xn] cosny = B0()

2 +∞∑

n=1

Bn() cosny , Bn()=2π

∫ π

0 F(, y) cosnydy

Debemos resolver los infinitos problemas de contorno para EDOs:

X′′0 =12B0 =

1π

∫ π

0 F(, y)dy ; X′′n−n2Xn=Bn , n≥1 ; con X′

n(0)=X′

n(π)=0 .

Las Xn con n≥1 quedan determinadas de forma única (el problema homogéneo,como sabemos desde 2.1, tiene sólo la solución trivial).

Pero X′′0 = 0 , X′0(0) = X′0(π) = 0 tiene soluciones no triviales

1

, con lo que,

según 3.3, para que haya solución para X0 es necesario que sea∫ π

0 1·B0()d=0 .

Es decir, [P2] tiene solución sólo si∫ π

0

∫ π

0 F(, y)ddy = 0 .

Y en ese caso tiene infinitas que difieren en una constante. Todo esto es coherentecon lo que sabíamos sobre Neumann desde 1.3.

Ej 1. Calculemos la solución en el caso particular en que F(, y) = − .

El problema sólo tiene solución si∫∫

F=0 , es decir, si = π2 .

Entonces nos queda X′′0 = −π2

por suerte, la F ya está desarrollada en cosny

.

Por la misma razón los Bn , y por tanto los Xn , son nulos si n≥1 .

Integrando e imponiendo X′0(0)=X′0(π)=0 obtenemos (, y) = 1

63 − π

42 + C .

h

Si resolvemos probando =∞∑

n=0

Yn(y) cosn hay que desarrollar en serie. Lo hacemos,

aunque aquí sea una pérdida de tiempo. Los coeficientes de F=− π2 en cosn son:

Bn =2π

∫ π

0

− π2

cosnd =

¨

0 , si n=0,2,4, . . .− 4πn2

, si n=1,3, . . .

Y′′0 +∞∑

n=1

[Y′′n−n2Yn] cosn =

∞∑

m=1

B2m−1 cos(2m−1) →

¨

Y′′0 = 0Y′0(0)=Y

′0(π)=0

→ Y0=C ;

¨

Y′′2m−4m2Y2m = 0

Y′2m(0)=Y′2m(π)=0

→ Y2m=0 ;

¨

Y′′2m−1− (2m−1)2Y2m−1=B2m−1

Y′2m−1(0)=Y′2m−1(π)=0

→ Y2m−1=− B2m−1(2m−1)2

→ = C+ 4π

∞∑

m=1

cos(2m−1)(2m−1)4

, que (salvo constante) es el desarrollo de la de arribai

.

58

Dos ejemplos más en cartesianas. El primero para Laplace con condiciones mixtas (parteDirichlet, parte Neumann). Ya dijimos en 1.3 que todos ellos tienen solución única.

Ej 2.

¨

+ yy = 0 , (, y)∈ (0,1)×(0, π)(,0)=y(, π)=(0, y)=0 , (1, y)=1

=X()Y(y) →

¨

Y′′+λY=0 , Y(0)=Y′(π)=0X′′−λX=0 , X(0)=0 → λn=

2n−122

, Yn=n

sen (2n−1)y2

o

.

Para esos λ es X=c1e(2n−1)/2+c2e−(2n−1)/2 −→X(0)=0

Xn=n

sh (2n−1)2

o

.

Probamos (, y) =∞∑

n=1

cnXn()Yn(y) . Imponiendo el dato (1, y)=1 que falta:

cn sh2n−12 = 2

π

∫ π

0 sen(2n−1)y

2 dy = 4π(2n−1)

1−cos (2n−1)π2

→

(, y)=∞∑

n=1

4π(2n−1) sh 2n−1

2

sh (2n−1)2 sen (2n−1)y2 .

Si nos gustan más las condiciones de contorno para podemos hacerlas homogéneascon un cambio de variable:

= , =− →¨ +yy = 0(,0)=− , y(, π)=0(0, y)=(1, y)=0

→

¨

X′′+λX=0 , X(0)=X(1)=0Y′′−λY=0 , Y′(π)=0 → λn=n2π2, Xn=sennπ , Yn=

ch[nπ(π−y)]

.

=∞∑

n=1

knXn()Yn(y) →∞∑

n=1

knXn(0)Yn(y) = − → kn = − 2ch[nπ2]

∫ 10 sennπd

→ (, y) = +∞∑

n=1

2(−1)nπn ch[nπ2] ch[nπ(π−y)] sennπ

[que es otra expresión de la misma solución única].

En todos los problemas que hemos resuelto en este capítulo (excepto los de Neumann) lasolución era única (todos eran problemas ‘físicos’). Pero no olvidemos que la unicidad enEDPs es complicada, y que un problema nuevo del que no se ha demostrado la unicidadpodría no tenerla. Eso pasa en el siguiente ejemplo (para una ecuación de ‘Helmholtz’ muyasociada a los problemas de más de dos variables):

Ej 3.

Δ+=0 , (, y)∈ (0, π)×

− π4 ,

π4

y

,− π4

=y

, π4

=0(0, y)=0 , (π, y)=sen2y

Como es ecuación nueva, separamosvariables desde el principio:

=XY → X′′

X +1 = −Y ′′

Y = λ →

Y′′ + λY = 0Y′

− π4

=Y′π4

=0s=y+ π

4−→

Y′′ + λY = 0Y′(0)=Y′

π2

=0 → λn=4n2, Yn=n

cos2n

y+ π4

o

, n=0,1, . . .

X′′ + (1−λn)X = 0 , X(0)=0 → X0=sen y Xn=

shp

4n2−1

si n≥1 .

(, y)=c0 sen+∞∑

n=1

cn shp

4n2−1

cos

2ny+ nπ2

=π= sen2y →

c0 indeterminadoc1 sh

p3π

= 1cn=0 , n>1

Tiene, por tanto, infinitas soluciones: = C sen+ sh(p3)

sh(p3π)

sen2y .

Evidentemente no se podrá demostrar la unicidad haciendo uso de la fórmula de Green.Operando como en 1.3, si 1 y 2 son soluciones del problema, su diferencia satisface:

=1−2 →¨ Δ+=0•=•=0•=•=0

→∫∫

D

Δ+2

=∫∫

D2 −

∫∫

D||∇||2 = 0 ??

59

Para resolver los problemas en círculos nos interesa expresar el Laplaciano enpolares (=r cosθ , y=r senθ ). Como,

r= cosθ+y senθ ; rr= cos2θ+2y senθ cosθ+yy sen2θ

θθ=r2sen2θ−2yr2senθ cosθ+yyr2cos2θ−rcosθ−yrsenθ→

Δ = rr +1r r +

1r2θθ

f

R

( )θ

Resolvamos el problema de Dirichlet homogéneo en un círculo:

[P3]

Δ = 0 , en r<R(R, θ)= ƒ (θ) , θ∈[0,2π)

(r, θ) = R(r)Θ(θ)→ r2R′′+rR′R = −Θ

′′

Θ = λ→

Θ′′+λΘ = 0r2R′′+rR′−λR = 0

Parece que no hay condiciones para la Θ , pero está claro que la solución (r, θ)debe ser 2π-periódica en θ , es decir, debe ser Θ(0) =Θ(2π) , Θ′(0) =Θ′(2π) .Este problema de Sturm-Liouville periódico tiene por autovalores y autofunciones:

λn=n2 , n=0,1,2, . . . , Θ0(θ)=

1

, Θn(θ)=

cosnθ, sennθ

.

Las soluciones correspondientes de R son (ecuaciones de Euler):

R0(r)=c1+c2 ln r y Rn(r)=c1rn+c2r−n si n≥1 .

Parece lógico imponer por argumentos físicos que la solución debe permaneceracotada cuando r → 0 (matemáticamente la solución también debe estarlo sidebe ser de clase 2), así que debe ser c2=0 en ambos casos. Por tanto, probamossoluciones de la forma:

(r, θ) =o

2+

∞∑

n=1

rn

n cosnθ+ bn sennθ

Debe ser: (R, θ) = o2 +

∞∑

n=1

Rn

n cosnθ+ bn sennθ

= ƒ (θ) , θ∈[0,2π) →

n =1

πRn

∫ 2π

0ƒ (θ) cosnθdθ , n=0,1, . . . , bn =

1πRn

∫ 2π

0ƒ (θ) sennθdθ , n=1,2, . . .

Sustituyendo estos coeficientes en la serie y operando formalmente:

(r, θ) = 1

2π

∫ 2π

0

h

1+ 2∞∑

n=1

rn

Rn cosn(θ−ϕ)i

ƒ (ϕ)dϕ

Vamos a sumar la serie:

1+2∞∑

n=1

rn cosnαRn = 1+

∞∑

n=1

reαR

n+

∞∑

n=1

re−αR

n= 1+ reα

R−reα +re−α

R−re−α =R2−r2

R2+r2−2Rr cosα .

Por tanto, la solución de [P3] se puede expresar:

(r, θ) = R2−r22π

∫ 2π

0

ƒ (ϕ)dϕ

R2 − 2Rr cos(θ− ϕ) + r2fórmula integral de Poisson

Haciendo aquí r=0 (o mirando la serie) deducimos que (0, θ) = 12π

∫ 2π0 ƒ (ϕ)dϕ :

si Δ=0 , el valor de en el centro de un círculo es el valor medio de sobre su borde.

Habría que probar que la de la serie (o la integral) es realmente solución de [P3].Se demuestra que si ƒ es continua a trozos, la tiene infinitas derivadas en r < R(aunque ƒ sea discontinua), que en ese abierto es Δ= 0 y que alcanza el valor decontorno con continuidad en los θ en que ƒ es continua (y sigue habiendo unicidad,cosa que vimos en 1.3 sólo si ƒ era continua). [La situación es totalmente análogapara [P1], Dirchlet en rectángulo].

[El problema exterior en r>R lo veremos en 4.4, para compararlo con el del espacio].

60

Vamos con el problema de Dirichlet no homogéneo en el círculo. En vez detratarlo en general, resolvemos un problema concreto.

1

[P4]

¨

rr+rr +

θθr2= 4 , en r<1

(1, θ) = cos2θ

Podríamos descomponerlo en dos (el de Δ=0 lo acabamos de estudiar), pero loresolvemos directamente. Como en todo problema no homogéneo probamos unaserie con las autofunciones del problema homogéneo:

(r, θ) = 0(r) +∞∑

n=1

n(r) cosnθ+ bn(r) sennθ

→

′′0 +1r ′0+

∞∑

n=1

′′n+ 1

r ′n− n2

r2n

cosnθ+

b′′n+ 1

r b′n− n2

r2bn

sennθ

= 4 ,

que, por suerte, ya está desarrollada en esta familia de autofunciones.

[Si en vez de un 4 tuviésemos una F(r, θ) cualquiera, la desarrollaríamos en senosy cosenos, mirando la r como constante e identificaríamos ambos miembros].

Habrá, pues, que resolver las ecuaciones de Euler:

r′′0 + ′0 = 4r , r2′′

n+ r′

n− n2n = 0 , r2b′′

n+ rb′

n− n2bn = 0 .

La condición (1, θ)=cos2θ (también desarrollada ya) impone que:

bn(1)=0 ∀n ; 2(1)=1 ; n(1)=0 , n 6=2 .

La acotación cuando r → 0 será la otra condición necesaria para determinar lasolución de cada EDO de segundo orden. Para la de 0 necesitamos una soluciónparticular, que se puede hallar con la fórmula de variación de las constantes:

1 ln r

0 1/ r

= 1r , 0p= ln r

∫ 1·4dr1/ r −

∫ ln r·4dr1/ r = r2 .

o, mejor, tanteando, pues (porque la de coeficientes constantes asociada la tienede la forma Ae2s ) sabemos que tiene una 0p=Ar2 (→ 2A+2A=4 , A=1 ). Así:

0 = c1 + c2 ln r + r2acotada→ c2 = 0

0(1)=0→ c1 = −1

Para 2 :

2 = c1r2 + c2r−2acotada→ c2 = 0

2(1)=1→ c1 = 1

No necesitamos imponer los datos en la solución del resto de ecuaciones homogé-neas para asegurar ya que el resto de n y las bn son cero ( 0 es solución y nohay más por tener un problema de Dirichlet solución única). La solución de [P4] es:

(r, θ) = r2 − 1+ r2 cos2θ

[Se podría escribir en cartesianas: = 22−1 ].

Como otras veces, un buen cambio simplifica el problema. Por ejemplo, podemosen este caso buscar una solución (r) de la ecuación no homogénea resolviendo′′ + 1

r ′ = 4 . La solución más sencilla de esta ecuación de Euler es =r2 .

= − →

Δ = 0 , en r < 1(1, θ) = cos2θ− 1

De la serie de la página anterior obtenemos, sin más que identificar coeficientes,que la solución de este problema es:

(r, θ) = r2 cos2θ− 1

lo que nos lleva de forma mucho más rápida a la solución de antes.

Utilizando funciones de Green se dará en 5.2 una fórmula integral para

Δ=F , r<R(R,θ)= ƒ

que generalizará la fórmula de Poisson de la página anterior

.

61

Resolvamos ahora el problema de Neumann homogéneo en un círculo:

f( )θ

[P5]

Δ = 0 , en r<Rr(R, θ)= ƒ (θ) , θ∈[0,2π)

Como el problema de contorno y la ecuación de Euler son lasmismas que en Dirichlet, la solución que probamos es:

(r, θ) =o

2+

∞∑

n=1

rn

n cosnθ+ bn sennθ

pero ahora es diferente la condición de contorno que falta:

r(R, θ) =∞∑

n=1

nRn−1

n cosnθ+ bn sennθ

= ƒ (θ) , θ∈[0,2π) →

n =1

nπRn−1

∫ 2π

0ƒ (θ) cosnθdθ , bn =

1

nπRn−1

∫ 2π

0ƒ (θ) sennθdθ , n=1,2, . . .

siempre que no tenga término independiente el desarrollo en senos ycosenos de ƒ (θ) ; es decir, una condición necesaria para que el problema sepueda resolver por este método es que se cumpla:

∫ 2π0 ƒ (θ)dθ = 0

confirma lo visto en 1.3: debía ser∮

∂Dƒ ds =

∫∫

DF ddy = 0

.

Además, o queda indeterminado [Neumann siempre tiene unicidad salvo constante].

Ej 4.

Δ = 0 en r<1r(1, θ)=sen3θ

r(1, θ) =∞∑

n=1

n

n cosnθ+bn sennθ

= sen3θ = 3senθ4 − sen3θ4 .

No hay que hacer integrales: b1=34 , b3=− 1

12 y los demás cero.

Por tanto: (r, θ) = C+ 34 r senθ−

112 r

3 sen3θ , C cualquiera.

Y ahora resolvemos uno de Neumann no homogéneo en un semicírculo:

[P6]

Δ = F(r, θ) , en r<1, 0<θ<πr(1, θ)=θ(r,0)=θ(r, π)=0

Como para este problema no hemos resuelto el homogéneo, debemos comenzarhallando sus autofunciones. Conocemos la ecuación en Θ que sale al separar va-riables. Junto a las condiciones de contorno nos dará dichas autofunciones:

Θ′′ + λΘ = 0Θ′(0)=Θ′(π)=0 → λn=n2 , Θn(θ)=

cosnθ

, n=0,1,2, . . . →

(r, θ) = Ro(r) +∞∑

n=1

Rn(r) cosnθh

La serie con cosenos y senos del [P4] no cumplelos datos de contorno; aquí no hay periodicidad.

i

→

Ro +1r R′0+

∞∑

n=1

h

R′′n+ 1

r R′n− n2

r2Rni

cosnθ = F(r, θ) = Bo(r) +∞∑

n=1

Bn(r) cosnθ ,

con Bo(r) =1π

∫ π

0 F(r, θ)dθ y Bn(r) =2π

∫ π

0 F(r, θ) cosnθdθ .

Basta, pues, resolver: rR′′o+R′

o=

rR′o

′= rBo(r) y r2R′′n+rR′

n−n2Rn=r2Bn(r) ,

ambas con los datos de contorno (singulares): Rn acotada en r=0 y R′n(1)=0 .

Si n≥1 el problema homogéno (y, por tanto, el no homogéneo) tiene solución Rnúnica (aunque el problema sea singular, vale lo que vimos en 3.3). Pero si n≥0 :

rR′′o+R′

o=0 → Ro=c1+c2 ln r

R acotada−→R′(1) = 0

Roh=1 →

Existen infinitas solucionesninguna solución Ro del no homogéno según sea

∫ 10 rBo(r)dr

=06=0 .

h

Concuerda una vez más con 1.3. Debía ser:∫ 10

∫ π

0 rF(r, θ)dθdr = 0i

.

62

0

Resolvemos para acabar con Laplace en polares dos problemas concondiciones mixtas. El primero va a ser homogéneo.

[P7]

¨ Δ=0 , r<1 , θ∈

0, π2

r(1, θ) = ƒ (θ)θ(r,0) = (r,

π2 ) = 0

→¨

Θ′′+λΘ=0 , Θ′(0)= Θπ2

=0r2R′′+rR′−λR=0

Los autovalores y autofunciones son conocidos: λn=(2n−1)2, Θn=

cos(2n−1)θ

n=1,2, . . . .Resolviendo para esos λn la ecuación en R y exigiendo que esté acotada en r=0 :

(r, θ) =∞∑

n=1

cnr2n−1 cos(2n−1)θ →∞∑

n=1

(2n−1) cn cos(2n−1)θ = ƒ (θ) →

cn =4

[2n−1]π

∫ π/20 ƒ (θ) cos(2n−1)θ dθ , n=1,2, . . . (solución única).

El recinto siguiente no incluye el origen. La condición implícita de estar acotada enese punto es sustituida por un dato explícito en r=1 :

Ej 5.

¨

Δ = 0 , 1<r<2 , 0<θ<π(1, θ) = (2, θ) = (r,0) = 0 , θ(r, π) = r2

Aparentemente es un problema homogéneo, pero ya dijimosque las condiciones de contorno para Laplace en polares que deben ser homogéneasson las de la θ . Necesitamos una que las cumpla. Claramente =r2θ lo hace:

=− →¨ Δ = −4θ , 1<r<2 , 0<θ<π(1, θ)=−θ, (2, θ)=−4θ(r,0) =θ(r, π) = 0

Las autofunciones del homogéno las dará el problema de contorno:

Θ′′ + λΘ = 0Θ(0)=Θ′(π)=0 → λn=

[2n−1]24 , Θn(θ)=

n

sen [2n−1]θ2

o

, n=1,2, . . .

Probamos entonces la serie: (r, θ) =∞∑

n=1

Rn(r) sen[2n−1]θ

2 →

∞∑

n=1

h

R′′n+ 1

r R′n− [2n−1]

2

4r2 Rni

sen [2n−1]θ2 = −4θ = 4∞∑

n=1

Bn sen[2n−1]θ

2

con Bn =2π

∫ π

0 −θ sen[2n−1]θ

2 dθ = 2[−1]nπ[n−1/2]2

De los datos no homogéneos deducimos las condiciones para las Rn :∞∑

n=1

Rn(1)Θn(θ) =∞∑

n=1

BnΘn(θ) ,∞∑

n=1

Rn(2)Θn(θ) =∞∑

n=1

4BnΘn(θ)

Resolvemos pues: r2R′′n+ rR′

n−

n− 122Rn = 4Bnr2 con Rn(1)=Bn , Rn(2)=4Bn .

Rnp=Ar2 [λ=2 no autovalor] → A= Bn4−(n−1/2)2 → Rn = c1rn−1/2 + c2r−(n−1/2) + Ar2

c. contorno→ c1 =[2q+2−1][Bn−A]

22q−1 , c2 =2q[2q−4][Bn−A]

22q−1 , llamando q=n− 12 .

Simplificando un poco:

Rn(r) =2[−1]n

πq2[q2−4][22q−1]

[2q+2−1]rq + 2q[q2−4]r−q − [22q−1]r2

La solución final es = r2θ+ donde la es la serie de arriba con los Rn dados poresta expresión.

63

4.4. Algunos problemas en tres variables

Comenzamos estudiando las series de Fourier dobles, de teoría semejante alas de una variable (las triples, que aparecerían en problemas con 4 variables, sontambién similares).

Sean Xm() , ∈ [, b] e Yn(y) , y∈ [c, d] las autofunciones de dos problemas deSturm-Liouville con pesos respectivos r() y s(y) , y sea ƒ (, y)∈C1

[, b]×[c, d]

.Entonces, para cada (, y)∈ (, b)×(c, d) se puede escribir ƒ como la serie:

ƒ (, y) =∞∑

m=1

∞∑

n=1

cnmXnYm con cnm =1

⟨Xn, Xn⟩1

⟨Ym, Ym⟩

∫ b

∫ d

cƒ (, y)XmYn r s dyd

h

⟨,⟩ designa, desde luego,∫ b

r d ó

∫ d

c sdy

i

.

pues para fijo se puede poner ƒ (, y) =∞∑

m=1

Cm()Ym , Cm() =⟨ ƒ (, y) , Ym⟩⟨Ym, Ym⟩

,

y con Cm() =∞∑

n=1

cnn Xn , cnm=⟨Cm(), Xn⟩⟨Xn, Xn⟩

se tiene la expresión de arriba.

[Se llega a lo mismo, desde luego, desarrollando primero en Xn y luego en Ym ].

En particular, se tienen los desarrollos en series trigonométricas dobles de unafunción ƒ ∈C1

[0, L]×[0,M]

:

ƒ (, y)=∞∑

n=1

∞∑

m=1

bnm sennπL sen mπy

M con bnm=4

LM

∫ L

0

∫ M

0ƒ (,y) sennπL senmπy

M dyd

ƒ (, y) = 1400 +

12

∞∑

n=1

n0 cosnπL +

12

∞∑

m=1

0m cosmπyM +

∞∑

m=1

∞∑

n=1

nm cosnπL cos mπy

M

con nm =4

LM

∫ L

0

∫ M

0ƒ (, y) cos nπL cos mπy

M dyd

[O los desarrollos parecidos en∑

sencos ó∑

cos sen , o con series en senos y cosenos].

[Los factores 14 y 1

2 son, como siempre, para que la fórmula valga también si n=0 ó m=0 ].

Ej 1. Desarrollemos ƒ (, y) = cosy , en [0, π]×[0, π] de dos formas:

cosy =∞∑

n=1

∞∑

m=1

bnm senn senmy con bnm =4

π2

∫ π

0

∫ π

0 cosy senn senmydyd

→ cosy = 16π

∞∑

n=1

∞∑

m=1

[−1]n+1mn[4m2−1] senn sen2my

nm =4

π2

∫ π

0

∫ π

0 cosy cosn cosmydyd =

0 si m 6=1π si m=1, n=02[(−1)n−1]/(πn2) si m=1, n>0

→

cosy = π2 cosy−

4π

∞∑

n=1

1(2n−1)2 cos[2n−1] cosy [ya estaba desarrollado en y ].

[La igualdad entre ƒ y su serie se da en los puntos de continuidad de la ƒ extendida,de forma impar en el primer caso y par en el segundo, en cada variable hasta [−π, π]y luego de forma 2π-periódica; así, la serie en senos converge hacia cosy en el lado=0 del cuadrado [0, π]×[0, π] , pero no lo hace en los otros lados; la serie en cosenos,en cambio, converge (uniformemente) en todo el cuadrado, incluido el borde].

64

Resolvamos separando variables varios problemas (homogéneos) en 3 variables.Primero, la ecuación del calor en un cuadrado: estudiamos la evolución de lastemperaturas de una placa (dadas las iniciales) si el borde se mantiene a 0o :

0

0

0

0

0

!

!

t − k[+yy] = 0 , (, y)∈ (0, π)×(0, π) , t>0(, y,0) = ƒ (, y)(,0, t) = (, π, t) = (0, y, t) = (π, y, t) = 0

Buscamos soluciones: (, y, t) = X()Y(y)T(t) → XYT′ − k[X′′Y+XY′′]T = 0

X′′

X =1kT′

T −Y′′

Y = −λ →¨ X′′ + λX = 0

Y ′′

Y = λ+1kT ′

T = −μ →

Y′′ + μY = 0T′ + k[λ+μ]T = 0

[Como en 2 variables, dejamos para la T la expresión más complicada].

Las condiciones de contorno exigen: X(0)=X(π)=Y(0)=Y(π)=0 . Así pues:¨

λ=n2, Xm=senn, n=1,2, . . .μ=m2, Yn=senmy, m=1,2, . . .

→ Tnm =n

e−

n2+m2

kto

.

Cualquier nm(, y, t) =n

e−

n2+m2

kt senn senmyo

satisface la ecuación y todaslas condiciones de contorno, así como lo hace cualquier combinación lineal de ellas.Esto nos lleva a probar la serie:

(, y, t) =∞∑

n=1

∞∑

m=1

bnm e−

n2+m2

kt senn senmy

que debe satisfacer además: (, y,0) =∞∑

n=1

∞∑

m=1

bnm senn senmy = ƒ (, y) →

bnm =4

π2

∫ π

0

∫ π

0ƒ (, y) senn senmyddy , n,m≥1 .

[Como en la varilla, aquí también → 0 cuando t→∞ ].

Ahora, Laplace en un cubo con condiciones de contorno mixtas (cuya soluciónseá única como los similares del plano):

Δ = 0 en (0, π)×(0, π)×(0, π)(, y,0) = ƒ (, y)=0 en =0, =π, z=πy=0 en y=0, y=π

=XYZ→ Y”Y +

Z′′

Z =−X′′

X =λ→Z′′

Z −λ=−Y”Y =μ→

¨ X′′+λX=0, X(0)=X(π)=0Y′′+μY=0, Y′(0)=Y′(π)=0Z′′−[λ+μ]Z=0, Z(π)=0

→¨

λ=n2, Xn=senn, n=1,2, . . .μ=m2, Ym=cosmy, m=0,1, . . .

→ Zmn =n

shp

n2+m2 [π−z]

o

→

(, y, z) = 12

∞∑

n=1

cn0 sh

n[π−z]

senn

+∞∑

m=1

∞∑

n=1

cnm shp

n2+m2 [π−z]

senn cosmy

Como (, y,0)= ƒ (, y) , los cnm son:

cnm =4

π2 sh

πpn2+m2

∫ π

0

∫ π

0ƒ (, y) senn cosmydyd

n = 1,2, . . .m = 0,1, . . .

65

Resolvamos el problema de Dirichlet en una esfera. En los libros de cálculo envarias variables se encuentra la expresión del laplaciano en esféricas:

r

θ

ɸ

=r senθ cosϕy=r senθ senϕz=r cosθ

«

→ Δ = rr +2r

r+θθ

r2+cosθθ

senθ r2+

ϕϕ

sen2θ r2

Veamos primero el caso con datos independientes de ϕ :(

rr +2r r +

1r2

h

θθ+cosθsenθθ

i

= 0 , r<R

(R, θ)= ƒ (θ) , θ∈[0, π]

que, de hecho, es un problema con dos variables. Podemos buscar entonces so-luciones que tampoco dependan de ϕ . Separando variables:

=R(r)Θ(θ) →¨

r2R′′ + 2rR′ − λR = 0Θ′′ + cosθ

senθ Θ′ + λΘ = 0

El cambio s= cosθ

Θ′ =− senθdΘds , Θ′′ = sen2θd2Θds2− cosθdΘds

lleva la segundaecuación a:

1−s2d2Θds2− 2sdΘds + λΘ = 0 , ecuación de Legendre.

Imponemos que Θ esté acotada en s = ±1 [θ = 0, π polos de la esfera]. Losautovalores de este problema singular (citado en 3.1) son λn=n(n+1) , n=0,1, . . .y sus autofunciones son los polinomios de Legendre:

Pn(s)

=

Pn(cosθ)

h

P0=1 , P1=s , P2=32s2− 12 , P3=

52s3− 32s , . . .

i

Para estos valores de λ :

r2R′′+2rR′−n(n+1)R=0 → μ2+μ−n(n+1)=0 → μ = n,−(n+1)

→ Rn=c1rn+c2r−(n+1)R acotada−→ Rn=rn , n=0,1, . . .

Probamos entonces:

(r, θ) =∞∑

n=0

nrnPn(cosθ) → (R, θ)=∞∑

n=0

nRnPn(cosθ)= ƒ (θ)

→ n =2n+1

2Rn

∫ π

0ƒ (θ)Pn(cosθ) senθdθ , n=0,1, . . . ,

pues el peso es r(θ)=senθ

(senθΘ′)′+ λ senθΘ=0

y de los Pn se sabe que:∫ π

0

Pn(cosθ)2 senθdθ

s=cosθ=

∫ 1−1

Pn(s)2 ds = 2

2n+1

Ej 2. Si R=1 y ƒ (θ)=cos2θ se tiene: n =2n+12

∫ 1−1 s

2Pn(s)ds .

Así pues: 0 =12

∫ 1−1 s

2 ds = 13 , 2 =

52

∫ 1−132s4− 12s

2ds = 23 , y los demás n=0

(ya que P1 es impar (⇒ 1=0 ), y para desarrollar s2 bastan P0, P1 y P2 ).

La solución es, por tanto, (r, θ) = 13 −

13 r2 + r2 cos2θ

= 13

1−2−y2+2z2

.

Para un dato como este se podrían determinar los coeficientes tanteando:

cos2θ = 2332 cos

2θ− 12

+ 13 → 2 =

23 , 0 =

13 , como antes.

Para resolver problemas con términos no homogéneos F(r, θ) en la ecuación,

se probaría como siempre una serie de autofunciones: =∞∑

n=0

n(r)Pn(cosθ)

.

66

Pasemos ahora a resolver, con menos detalles, el problema general en 3 variables:

¨

rr +2r r +

1r2

h

θθ+cosθsenθθ+

1sen2θϕϕ

i

= 0 , r<R

(R, θ, ϕ)= ƒ (θ,ϕ) , θ∈[0, π] , ϕ∈[0,2π)

Vamos en este caso a separar primero la parte radial y la que depende de los dos ángulos:

=R(r)Y(θ,ϕ) →¨

r2R′′ + 2rR′ − λR = 0Yϕϕ + senθ

senθYθ

θ + λ sen2θY = 0

Separando ahora la parte angular: Y(θ,ϕ)= Θ(θ)(ϕ)→¨

′′+ μ = 0

senθΘ′′+

λ senθ− μsenθ

Θ=0

La solución ha de ser 2π-periódica en ϕ : μm=m2 , m(ϕ)=

cosmϕ, senmϕ

, m=0,1, . . .

Llevando estos μm a la otra ecuación y haciendo como antes s=cosθ se tiene:

dds

h

(1−s2) dΘdsi

+h

λ− m2

1−s2i

Θ = 0 , Θ acotada en s=±1 .

La EDO, nueva para nosotros, se llama ecuación asociada de Legendre. Si m= 0 es lade Legendre y las autofunciones eran los Pn . Se prueba que los autovalores del problemasingular son también λn=n(n+1) , y sus autofunciones están relacionadas con ellos:

Pmn(s) =

1−s2m/2 dm

dsm Pn(s) , con m≤nh

P0n=Pn , P11=senθ , P12=3senθ cosθ , P22=3sen

2θ , . . .i

→ Ymn(θ,ϕ) =

n

cosmϕPmn(cosθ) , senmϕPm

n(cosθ)

o

, n=0,1, ... , m=0 . . . n .h

Y00 =

1

, Y01 =

cosθ

, Y11 =

senθ cosϕ, senθ senϕ

, Y02 =32 cos

2θ− 12

,

Y12 =

3senθ cosθ cosϕ,3senθ cosθ senϕ

, Y22 =

3sen2θ cos2ϕ,3sen2θ sen2ϕ

, . . .i

Las soluciones acotadas en r=0 para esos λn son como antes Rn=rn .

Los armónicos esféricos son las soluciones de la ecuación de Laplace mn= rn Ym

n(θ,ϕ) .

Hay libros que llaman armónicos esféricos a los Ymn

, otros a múltiplos concretos de los Ymn

. . .

.

Con ellos formamos la serie:

(r, θ, ϕ) =∞∑

n=0

rnh

n0Pn(cosθ) +n∑

m=1

nm cosmϕ+ bnm senmϕ

Pmn(cosθ)

i

→

n0 =2n+14πRn

∫ 2π0

∫ π

0 ƒ (θ,ϕ)Pn(cosθ) senθdθdϕ ,

nm =(2n+1)(n−m)!2π(n+m)!Rn

∫ 2π0

∫ π

0 ƒ (θ,ϕ) cosmϕPmn(cosθ) senθdθdϕ

bnm =(2n+1)(n−m)!2π(n+m)!Rn

∫ 2π0

∫ π

0 ƒ (θ,ϕ) senmϕPmn(cosθ) senθdθdϕ

, m≥1

puesto que se cumple∫ 1−1

Pmn(t)2dt = 2

2n+1(n+m)!(n−m)! .

Ej 3. Para R=1 y ƒ (θ,ϕ)=sen2θ sen2ϕ . Buscamos identificar como en el ejemplo 2.

Debe ser: ƒ (θ,ϕ) = 12 sen

2θ− 12 sen

2θ cos2 = 12 −

12 cos

2θ− 12 sen

2θ cos2

= 13 −

1332 cos

2θ− 12

− 12 sen

2θ cos2 = 13Y

00 −

13Y

02 −

12Y

22 .

Por tanto, 00=13 , 20=− 13 , 22=− 12 y los otros son cero. La solución es, pues:

= 13 −

13 r23

2 cos2θ− 1

2

− 12 r2 sen2θ cos2 .

Escrita en cartesianas: = 13−

12 z

2+ 16

2+y2+z2

− 12

2−y2

= 13−

13

2+ 23y

2− 13 z

2 ,

función que cumple Δ=0 y que cuando 2+y2+z2=1 vale y2

= ƒ (θ,ϕ) si r=1

.

67

Veamos ahora el problema exterior de Dirichlet para Laplace en el círculo y en laesfera con simetría (con datos independientes de ϕ ). Para que haya unicidad, lascondiciones en el infinito han de ser distintas:

plano: espacio:

¨ Δ = 0 , si r>R(R, θ)= ƒ (θ) , 0≤θ<2π acotada cuando r→∞

¨ Δ = 0 , si r>R(R, θ)= ƒ (θ) , 0≤θ≤π→ 0 cuando r→∞

Separando variables se llega a las mismas Θn que en los problemas interiores:

Θn=cosnθ, sennθ , n=0,1, . . . Θn=Pn(cosθ) , n=0,1, . . .

Pero hay que elegir diferentes Rn , para las nuevas condiciones en el infinito:

n=0 , c1+c2 ln r → R0=1

n>0 , c1rn+c2r−n → Rn=r−n

n=0 , c1+c2r−1 → R0=

r−1

n>0 , c1rn+c2r−(n+1) → Rn=

r−(n+1)

En el plano ningún R0→0 , y en el espacio están acotadas tanto 1como r−1 ; tender a 0 nos dejaría sin soluciones en el plano y pediracotación daría infinitas en el espacio

.

Probando las series correspondientes e imponiendo (R, θ)= ƒ (θ) , se obtiene quelas soluciones respectivas son estas series con los coeficientes indicados:

(r, θ)= 02 +

∞∑

n=1

r−n

n cosnθ+bn sennθ

(r, θ)= 0r +

∞∑

n=1

n r−(n+1)Pn(cosθ)

n =Rn

π

∫ 2π0 ƒ (θ) cosnθdθ , n=0,1, . . .

bn =Rn

π

∫ 2π0 ƒ (θ) sennθdθ , n=1,2, . . .

n=(2n+1)Rn+1

2

∫ π

0 ƒ (θ)Pn(cosθ) senθdθn=0,1, . . .

Ej 4. Hallemos la solución en ambos casos cuando ƒ (θ) = constante.

Basta mirar las series para deducir las soluciones en ambos casos:

= en el plano. = Rr en el espacio.

[Interpretemos estos resultados mirándolos como soluciones estacionarias de la ecuación delcalor. Si mantenemos la superficie de una bola de radio R constantemente a o , la temperaturaque tenderían a tener todos los puntos del espacio sería R/r , disminuyendo con la distancia ala bola. Para el primer caso, en vez de imaginarnos en un mundo bidimensional, situémonos enel espacio con datos y soluciones independientes de la variable z : si toda la superficie de uncilindro infinito de radio R se mantiene a o , todo el espacio tenderá a tener esa temperatura].

[Si nos planteásemos el problema en el interior r <R , es inmediato ver que la solución, tantoen el plano como en infinito, es = ].

Ej 5. Sea R=1 y ƒ (θ)= cos2θ . Resolvamos y comparemos con las soluciones en r<1 .

En el plano, la serie del interior y exterior llevan a la misma condición:

(1, θ) = 02 +

∞∑

n=1

n cosnθ+bn sennθ

= 12+

12 cos2θ →

= 12 +

12 r2 cos2θ (interior) , = 1

2 +12r2 cos2θ (exterior) .

h

En cartesianas = 1+2−y22 y = 1

2+2−y2

2(2+y2)2, respectivamente

i

.

Para el espacio, el interior ya se ha resuelto en el ejemplo 2. Y en el exterior la condiciónque aparece al hacer r=1 vuelve a coincidir con la del interior.

Las soluciones respectivas son, pues:

= 13 −

13 r2 + r2 cos2θ (interior) , = 1

3r −13r3 +

1r3cos2θ (exterior) .

68

Si los problemas ‘esféricos’ llevan a Legendre, los ‘cilíndricos’(Laplace en polares más otra coordenada, t en calor y ondas,z en Laplace) llevan a Bessel, como sucede en los problemasde vibración de una membrana circular (de un tambor).

Como hicimos con Laplace en la esfera, para empezar trata-mos el caso más sencillo con 2 variables en el que la vibración no depende de θ .Y para simplificar aún más suponemos que inicialmente es t=0 :

tt −

rr +1r r

= 0 , r≤1, t∈R

(r,0) = ƒ (r), t(r,0) = 0(1, t) = 0

[Las vibraciones con simetríaradial en el espacio , como sevio en 3.1, son mas sencillas].

= RT → T′′

T =R′′+ R′

rR = −λ→

¨

rR′′+ λrR=0 , R acotada en 0 , R(1)=0

T′′ + λT = 0 , T ′(0)=0→

cos(pλ t)

El problema de contorno singular para la R fue visto al final de 3.1. Recordemosque con s=r

pλ desaparecía λ y la ecuación pasaba a ser una de Bessel:

sR′′(s)+R′(s)+sR(s)=0 → R = c1 J0(s)+c2K0(s) = c1 J0

rpλ

+c2K0

rpλ

Imponiendo los datos se tenían los autovalores λn tales que J0

p

λn

=0 ,

y las autofunciones asociadas Rn=n

J0

rp

λn

o

.

Nos falta imponer la condición inicial que falta a la serie:

(r, t) =∞∑

n=1

cn cosp

λn t

J0

rp

λn

→∞∑

n=1

cn J0

rp

λn

= ƒ (r)

Este desarrollo ya lo discutimos en el último ejemplo de 2.2. Allí vimos que era:

cn =2

J21

p

λn

∫ 1

0r ƒ (r) J0

rp

λn

dr

Ej 6. Hallemos si ƒ (r)=1−r2 la integral∫ 10 (r−r

3) J0(rn)dr , n=p

λn , que define cn .

Haciendo s=rn :∫ 10 =

12n

∫n

0 s J0(s)ds− 14n

∫n

0 s3 J0(s)ds .

La primera primitiva es inmediata, pues

s J1′= s J0 . La segunda, por partes:

∫

s2 s J0 ds = s3 J1 − 2∫

s2J1 ds = s3 J1 − 2s2 J2 = (s3−4s) J1 + 2s2 J0 ,

ya que

s2J2′= s2J1 y Jn+1 =

2ns Jn − Jn−1 . Y como J0(n)=0 concluimos:

∫ 10 =

43n

J1(n) ⇒ (r, t) =∞∑

n=1

8

3nJ1(n)

cos(nt) J0(nr) .

Pese a su aspecto complicado, está solución no lo es mucho más que la∑

kn cos(nπt) sen(nπ)que se obtendrían para la cuerda vibrante con datos similares (lo resolvimos en 3.1).

En muchos libros (o en programas tipo Maple o Sage) se pueden encontrar los ceros n de J0 :

n ≈ 2.4048256 , 5.5200781 , 8.6537279 , 11.791534 , 14.930918 , . . .

y los valores de J1(n) : 0.519147 , –0.340265 , 0.271452 , –0.232461 , 0.206547 , . . .

Necesitamos sólo un programa que reconozca la J0 para dar valores o hacer dibujos aproximadosde la solución. Por ejemplo, utilizando los 5 primeros términos de la serie, podemos (con Mapleen este caso) aproximar y dibujar (0, t) :

(0, t) ≈ 1.108 cos(2.405 t) – 0.1398 cos(5.520 t)+ 0.04548 cos(8.654 t) – 0.02099 cos(11.79 t)+ 0.01164 cos(14.93 t)

Las vibraciones de un tambor, a diferencia de lo que pasaa una cuerda, no son periódicas (los n no son múltiplosexactos unos de otros).

69

Para acabar esta sección, tratemos el problema más general y complicado en 3 variables:

tt − c2

rr +1r r +

1r2θθ

= 0 , r≤1, t∈R

(r, θ,0) = ƒ (r, θ), t(r, θ,0) = 0(1, θ, t) = 0

= RΘT → T′′

c2T=

R′′+ R′r

R + 1r2Θ′′Θ = −λ→

r2R′′+rR′R + λr2 = Θ′′

Θ = −μ→

Θ′′+μΘ=0 , Θ 2π-periódica→ μm=m2, m=0,1... , Θm=cosmθ, senmθ,Θ0=1

T′′ + λc2T = 0 , T′(0)=0→

cos[pλct]

r2R′′ + rR′ + [λr2−μ]R = 0 , R acotada en 0

Para μ =m2 consideramos el problema de contorno singular para R :¨

r2R′′+ rR′+ [λr2−m2]R = 0R acotada en 0 , R(1)=0

Haciendo s=rpλ desaparece como siempre λ y la ecuación se convierte en Bessel:

s2R′′(s)+sR′(s)+[s2−m2]R(s)=0 →

R = c1 Jm(s)+c2Km(s) = c1 Jm

rpλ

+c2Km

rpλ

R acotada ⇒ c2 = 0 . Los autovalores serán los λ que hagan Jmpλ

=0 , que son unasucesión infinita para cada m : λm1 , . . . , λmk , . . .

Y las autofunciones son Rmk=n

Jm

rp

λmk

o

. Así que probamos:

(r, θ, t) = 12

∞∑

k=1

c0k J0

rp

λ0k

cos

cp

λ0k t

+∞∑

m=1

∞∑

k=1

[cmk cosnθ+dnk sennθ] Jm

rp

λmk

cos

cp

λmk t

→ 12

∞∑

k=1

c0k J0

rp

λ0k

+∞∑

m=1

∞∑

k=1

[cmk cosnθ+dnk sennθ] Jm

rp

λmk

= ƒ (r, θ)

Para r fijo, ƒ (r, θ) = 12A0(r) +

∞∑

m=1

Am(r) cosmθ+Bm(r) senmθ

, con

Am(r)=1π

∫ 2π0 ƒ (r, θ) cosmθdθ , m=0,1, . . . ,

Bm(r)=1π

∫ 2π0 ƒ (r, θ) senmθdθ , m=1,2, . . . .

Desarrollando:

Am(r) =∞∑

k=1

cmk Jm

rp

λmk

, Bm(r) =∞∑

k=1

dmk Jm

rp

λmk

Teniendo en cuenta que∫ 10 r J

2m

rp

λmk

dr = 12 J2m+1

p

λmk

,

se llega a la expresión definitiva para los coeficientes:

cnk =2

π J2m+1(

p

λmk )

∫ 1

0

∫ 2π

0r ƒ (r, θ) cosnθ Jm

rp

λmk

dr dθ

dnk =2

π J2m+1(

p

λmk )

∫ 1

0

∫ 2π

0r ƒ (r, θ) sennθ Jm

rp

λmk

dr dθ

70

5. Otros métodos en EDPs

Este capítulo está dedicado al estudio de un par de temas independientes entre sí.En 5.1 definiremos la transformada de Fourier F de una función ƒ :

F[ ƒ](k) = ƒ (k) ≡ 1p2π

∫ ∞

−∞ƒ ()ek d

y veremos unas cuantas de sus propiedades que permiten resolver algunas EDPsen intervalos no acotados (en ellos no se puede utilizar separación de variablespor no aparecer problemas de Sturm-Liouville). Como ocurre con la transformadade Laplace para las EDOs, aplicando la F a algún problema para EDPs acabaremosen otro más sencillo (de EDOs, para las ecuaciones en dos variables que tratamos).Resuelto este segundo problema, para hallar la solución habrá que encontrar unatransformada inversa. En particular (además de otros problemas que sí sabíamoshacer por otros caminos), las transformadas de Fourier nos permitirán resolver elproblema para la ecuación del calor en varillas no acotadas (no resoluble conlas técnicas de los capítulos anteriores):

t − = 0 , ∈R, t>0(,0) = ƒ () , acotada

Aparecerá la solución fundamental de la ecuación del calor y se comprobará que,según nuestra ecuación matemática, el calor se transmite a velocidad infinita y lasdiscontinuidades desaparecen instantáneamente. También se verán problemas enque aparece la ‘delta de Dirac’ δ(−) , que será introducida informalmente.

En la sección 5.2 estudiaremos brevemente las funciones de Green, primero paraproblemas de contorno para EDOs no homogéneas. Veremos que se puededar la solución de un problema no homogéneo en términos de una integral en laque aparece la función de Green G(, s) , construida a partir de las soluciones delhomogéneo, y el término no homogéneo ƒ () :

y() =∫ b

G(, s) ƒ (s)ds

Generalizaremos esta idea para dar las soluciones en términos de integrales dela ecuación de Laplace en recintos sencillos (forma alternativa a la separaciónde variables). Seguiremos un camino poco formal (utilizando la δ como si fuerauna función) que abrevia los cálculos. Utilizaremos el llamado método de lasimágenes, introduciendo el concepto de solución fundamental (función talque Δ=δ ) que es básico en estudios más avanzados de EDPs.

71

5.1. Transformadas de Fourier.

Sea ƒ () definida en R y absolutamente integrableh

∫∞−∞ | ƒ | <∞

i

.

La transformada de Fourier de ƒ es la función: ƒ (k)= 1p2π

∫ ∞

−∞ƒ ()ek d .

Si ƒ es además C1 se puede recuperar a partir de ƒ usando la fórmula de inversión:

Teor 1 ƒ ∈C1(R) y absolutamente integrable ⇒ ƒ ()= 1p2π

∫ ∞

−∞ƒ (k)e−kdk ∀∈R .

Algunos libros no ponen la constante 1p2π

en la definición de ƒ y ponen 12π en la fórmula

de inversión; también se puede ver en la primera fórmula e−k y en la segunda ek ;como otros resultados (algunos se probarán en problemas) no la demostramos

.

Se llama a ƒ transformada inversa de Fourier de ƒ . Vamos a denotartambién F[ ƒ]= ƒ y F−1

ƒ

= ƒ . Es evidente que F y F−1 son lineales.

Veamos otras propiedades. La F hace desaparecer derivadas:

Teor 2 ƒ , ƒ ′, ƒ ′′∈C(R) y absolutamente integrables ⇒F[ ƒ ′] = −kF[ ƒ]F[ ƒ ′′] = −k2F[ ƒ]

F

ƒ ′()

= 1p2π

∫∞−∞ ƒ ′()ekd= 1p

2πƒ ()ek

∞−∞−

kp2π

∫∞−∞ ƒ ()ekd = −kF

ƒ ()

,

pues ƒ →→∞

0 si∫∞−∞ | ƒ | converge. F

ƒ ′′()

=−kF

ƒ ′()

=−k2F

ƒ ()

.

Estas transformadas nos aparecerán resolviendo EDPs (probamos las 2 primeras):

Teor 3F−1

h

ƒ (k)eki

= ƒ (−) . Si h()=

1 , ∈[, b]0 en el resto , F[h] = 1p

2πekb−ek

k .

F

e−2= 1p

2e−k

2/4 . F−1

e−k2= 1p

2e−

2/4 .

F−1

ƒe−k

= 1p2π

∫∞−∞ ƒ (k)e−k(−)dk = ƒ (−) . F(h) = 1p

2π

∫ b

ekd = 1p

2πekb−ek

k .

Teor 4La convolución de ƒ y g es la función: (ƒ∗g)()= 1p

2π

∫ ∞

−∞ƒ (−s)g(s)ds .

Se tiene ƒ∗g=g∗ƒ , y F(ƒ∗g)=F(ƒ )F(g) , si las transformadas existen.

a

(x–a)

a

δ

∞Hallemos la transformada de la ‘función’ delta de Dirac, cuyadefinición seria exige la llamada ‘teoría de las distribuciones’,pero que es fácil de manejar formalmente. La δ(−) se puede‘definir’ intuitivamente como el ‘límite’ cuando n→∞ de

ƒn() =¨

n si ∈

− 12n , +

12n

0 en el resto

Esta δ(−) tiene las siguientes propiedades (que nos bastarán para trabajar con ella):

δ(−)=0 si 6= ;∫ c

bƒ () δ(−)d=

ƒ () si ∈[b, c]0 si /∈[b, c] ;

∫∞−∞ δ(−)d=1 .

0

1

a

u (x)aδ(−)= dd() , donde es la función paso ()=

0 si <1 si ≥ .

La transformada de la delta es muy fácil de hallar:

F

δ(−)

= 1p2π

∫∞−∞ δ(−)ek d = 1p

2πek .

[Obsérvese que formalmente esta función de k (que no tiende a 0 en ±∞ ) no tiene trans-formada inversa, pero con la F se suele ser riguroso justificando los resultados al final].

72

Aplicando a una EDP en dos variables la F en una de ellas aparece una EDO (enla otra variable) para la . Resolviendo la EDO se halla . Identificando la de laque proviene o con el teorema 1 se puede a veces dar explícitamente la solución,pero en muchos casos hay que dejar en términos de integrales no calculables.

EDP en EDO en tt constante

û(k,t)u(x,t)solución

x,t

t constante

x k

x k

k cte

ℱ

ℱ-1

En cada uno de los pasos anteriores, hay que tenerclaro cuáles son las variables y cuales las constan-tes. En lo que sigue, haremos lo esquematizado a laizquierda, pues nuestras ecuaciones serán en (, t)y siempre haremos transformadas en .

Ej 1.

t + = g()(,0) = ƒ ()

Aplicamos la F en la variable (se supone que , g y ƒson ‘buenas’, de modo que se pueden usar los teoremas).Utilizando la linealidad, el teorema 2 y el hecho de que:

F[t] = 1p2π

∫ ∞

−∞

∂(,t)∂t ekd = ∂

∂t1p2π

∫ ∞

−∞(, t)ekd = t →

¨

t − k = g(k)(k,0) = ƒ (k)

Esta lineal de primer orden en t tendrá solución con una constante para cada k :

(k, t) = p(k)ekt− g(k)k , con p arbitraria

d. i.→ = ƒ (k)ekt + g(k)h

ekt−1k

i

Por tanto, a la vista de las dos primeras transformadas del teorema 3, y el 4:

(, t) = ƒ (−t) +p2π g()∗h() siendo h()=

1 si ∈[0, t]0 en el resto

Como∫ t

0 g(−)d = −∫ −t

g(s)ds , concluimos que = ƒ (−t) +∫

−t g(s)ds .

Obsérvese que la expresión anterior nos da la solución del problema si ƒ ∈C1y g continua, aunque no sean absolutamente integrables, que era necesariopara aplicar la transformada. Esta situación es típica utilizando la F .

La solución la podemos calcular también con las técnicas del capítulo 1:

dtd = 1 →

ξ = − tη = → η = g(η) → = p(−t) +

∫

0 g(s)ds →

p() +∫

0 g(s)ds = ƒ () → = ƒ (−t)−∫ −t0 g(s)ds+

∫

0 g(s)ds como antes

.

Ej 2.

tt + t − 2 = 0(,0)= ƒ (), t(,0)=0

Aplicando F:

¨

tt − kt + 2k2 = 0(k,0)= ƒ (k), t(k,0)=0

.

Las ecuaciones lineales con coeficientes constantes de coeficientes complejos seresuelven igual que las de reales. A través del polinomio característico:

μ2−kμ+2k2=0 → μ=2k,−k → (k, t) = p(k)e2kt+ q(k)e−kt

Imponiendo los datos iniciales:p(k) = 1

3 ƒ (k)

q(k) = 23 ƒ (k)

→ (k, t) = 23 ƒ (k)e

−kt + 13 ƒ (k)e

2kt .

Y como F−1

ƒ (k)ek

= ƒ (−) , concluimos que (, t) = 23 ƒ (+t) +

13 ƒ (−2t) .

Solución válida ∀ƒ ∈C2 , tenga o no transformada

.

De nuevo el ejemplo es resoluble también por los caminos descritos en el capítulo 1:

B2−4AC=9hiperbólica decoeficientesconstantes

→

ξ=+tη=−2t →

¨ = ξξ+2ξη+ηηt = ξξ−ξη−2ηηtt = ξξ−4ξη+4ηη

→

ξη=0 → = p(ξ)+q(η) = p(+t)+q(−2t) , solución general.(

(,0) = p()+q() = ƒ () q()= 13 ƒ ()−↓

C3

t(,0)=p′()−2q′()=0 , p()=2q()+C ↑ p()= 23 ƒ ()+

C3

→

(, t) = 23 ƒ (+t) +

13 ƒ (−2t) .

73

Más interés que los ejemplos anteriores, ya que no conocemos ningún otro métodopara resolverlo, tiene el problema para el calor en una varilla infinita:

(P)

t − = 0 , ∈R, t>0(,0) = ƒ () , acotada

Supongamos que y ƒ son suficientemente regulares y que tienden a 0 en ±∞ losuficientemente rápido como para poder utilizar los teoremas anteriores. Aplicandola F en la variable a la ecuación y al dato inicial se tiene el problema:

¨

t + k2 = 0(k,0)= ƒ (k)

cuya solución es (k, t) = ƒ (k)e−k2t

La solución será la convolución de las transformadas inversas de cada uno de losfactores (la del segundo la vimos en el teorema 3):

(, t) =1

2pπt

∫ ∞

−∞ƒ (s)e−(−s)

2/4t ds ≡∫ ∞

−∞G(, s, t) ƒ (s)ds [1]

G(, s, t)= 12pπte−(−s)

2/4t es la llamada solución fundamental de la ecuación del calor

[es la temperatura del punto en el tiempo t debida a una ƒ inicial de la forma δ(−s) ].

Una vez deducida [1], en vez de justificar los pasos que llevaron a ella, se pruebaque proporciona realmente la solución de (P) con hipótesis más amplias inclusode las que nos permiten aplicar la F . En concreto, para cualquier ƒ acotada ycontinua a trozos [1] nos da la solución única acotada de (P) que es continua parat≥0 a excepción de los puntos de t=0 en que ƒ es discontinua.

De [1] se deduce también que, según nuestro modelo matemático, el calor setransmite a velocidad infinita: si ƒ >0 en un entorno de un o y nula en el resto,está claro que (, t)>0 por pequeño que sea t y grande que sea |−o| . Tambiénse ve que es C∞ para t>0 aunque ƒ sea discontinua (¡aunque sea ƒ ()=δ(−s) !).Son propiedades claramente diferentes de la ecuación de ondas.

Ej 3. Apliquemos [1] para resolver un par de problemas particulares.

Sea primero ƒ () = 0() =

0 , <01 , ≥0 → (, t) = 1

2pπt

∫∞0 e−(−s)

2/4t ds

Haciendo = (s−)/2pt la integral se transforma en:

(, t) = 1pπ

∫∞−/2

pte−

2d = 1p

π

∫ /2pt

0 e−2d + 1p

π

∫∞0 e−

2d = 1

2

h

1+ ϕ 2pt

i

0

1

s

-1

!(s)donde ϕ(s)= 2p

π

∫ s

0 e−2d es la llamada función error que

aparece a menudo en la teoría de las probabilidades.

0

1

x1/2

t!"Como se observa, la solución,suave si t >0 , tiende hacia 1

2para todo cuando t→∞ .

Sea ahora ƒ () = e−2

. Completamos cuadrados y hacemos un cambio de variable:

= 12pπt

∫ ∞

−∞e−s

2e−

(−s)24t ds = 1

2pπte−

2

4t+1

∫ ∞

−∞e−(•)

2ds con •=

sp4t+1− p

4t+1

2pt

Haciendo z = • se obtiene: = 12pπt

2ptp

4t+1e−

2

4t+1

∫ ∞

−∞e−z

2dz = 1p

1+4te−

2

1+4t .

Pero sale más corto aplicando directamente F :(

t=−k2(k,0)= 1p

2e−k

2/4 → = 1p2e−

k2 (1+4t)4 → = 1p

1+4te−

2

1+4t .

74

Ej 4.

t − + 2t = 0 , ∈R, t>0(,0)= ƒ () , acotada

Hallemos la solución para una ƒ () generaly deduzcamos la solución para ƒ ()≡1 .

[Como F(1) no existe, no se puede resolver directamente el problema con (,0)=1 ].¨

t+(k2+2t) = 0(k,0)= ƒ (k)

→ ˆ(k, t) = p(k)e−k2t−t2 d..→ ˆ(k, t) = ƒ (k)e−t

2e−k

2t →

(, t) = e−t2ƒ ()∗F−1(e−k2t) = e−t

2

2pπt

∫ ∞

−∞ƒ (s)e−(−s)

2/4t ds .

En particular, si ƒ ()≡1 , = e−t2

2pπt

∫ ∞

−∞e−(−s)

2/4tds =↑

e−t2

pπ

∫ ∞

−∞e−

2d = e−t

2.

(s−)/(2pt )=

[Parece que sería adecuado hacer un cambio de la forma =e−t2 →

t − = 0(,0)= ƒ () ;

de [1] se deduce nuestra fórmula y ≡1 es solución clara si ƒ ()≡1 (la varilla sigue a 1o ).

Análogamente a lo que ocurre con la transformada de Laplace para resolver EDOs, el usode la F permite abordar problemas de EDPs con la delta de Dirac δ sin entrar en sutilezassobre continuidades y saltos en derivadas. Resolvamos un problema (algo complicado) parala cuerda infinita con una F=δ (empujamos hacia arriba en el punto central de la cuerda):

Ej 5. (Pδ)

tt − = δ() , ∈R, t≥0(,0) = t(,0) = 0

. Aplicando la F :

¨

tt + k2 =1p2π

(k,0)= t(k,0)=0.

La solución general (λ=±k y p a simple vista) es:

(k, t) = p(k) coskt + q(k) senkt + 1p2π k2

d..−→ (k, t) = 1−cosktp2π k2

= 2p2π

h sen k2 t

k

i2.

En la h del teorema 3, cuando =−b se tiene como caso particular:

Si h()=

1 , ∈[−b, b]0 en el resto , F(h) = 1p

2πekb−e−kb

k =p2pπsenbk

k .

La será, por tanto, la convolución de una h de este tipo consigo misma. En concreto:

= 12

∫∞∞ h(−s)h(s)ds , donde h()=

1 , ∈[−t/2, t/2]0 en el resto

Discutiendo en qué intervalos el integrando es 1 ó 0 según los valores de se concluye:

Si ≤−t ó si ≥ t es =0

Si ∈[−t,0] , = 12

+ t2 − (−

t2 )

= 12 [+t]

Si ∈[0, t] , = 12 t2 − (−

t2 )

= 12 [t−]

Es decir, =

¨

0 , si ||≥ t12

t−||

, si ||≤ t

Para hacerlo sin transformadas, más fácil que discutir

= 12

∫ t

0

∫ +t−τ−t+τ δ(s)dsdτ ,

es hacer la ecuación homogénea con un cambio de variable.

Como = 12 || satisface ′′=δ() , con =+ se obtiene:

¨ tt − = 0(,0) = ||/2t(,0) = 0

→ = 14

|+t|+|−t|

− 12 || .

Discutiendo los valores absolutos se llega a la solución de antes.

75

5.2. Funciones de Green.

Comencemos tratando las funciones de Green para problemas de contorno no homo-géneos para EDOs. Veamos una fórmula que para cualquier ƒ () nos da en términos deintegrales la solución (en el caso de que sea única) de:

(Pf)

¨

p()y′′ + g()y = ƒ ()

αy()−α′y′()=βy(b)+β′y′(b)=0, p∈C1, g, ƒ ∈C , p>0 en [, b] .

conocidas las soluciones de la ecuación homogénea (algo parecido a la fórmula de variaciónde las constantes para problemas de valores iniciales):

Teor 1

Supongamos que (Ph) tiene sólo la solución y ≡ 0 y sean y1 e y2 solucionesno triviales de la homogénea [py′]′+gy = 0 que cumplen, respectivamente,αy1()−α′y′1()=0 y βy2(b)+β′y′2(b)=0 . Entonces la solución única de (Pf) es:

y() =∫ b

G(, s) ƒ (s)ds , con G(, s) =

¨ y1(s)y2()p|W|(y1,y2) , ≤s≤y1()y2(s)p|W|(y1,y2) , ≤s≤b

.

A la G(, s) se le llama función de Green del problema.

Observemos que el denominador que aparece en la G es constante:

p(y1y′2 − y2y′1)]′ = y1[p(y′2)]

′ − y2[p(y′1)]′ = −gy1y2 + gy2y1 = 0

.

Comprobemos que la y() de arriba cumple (Pf). Desarrollando la integral:

y() = y1()∫ b

y2(s)|W|(s)

ƒ (s)p(s) ds+y2()

∫

y1(s)|W|(s)

ƒ (s)p(s) ds−y1()

∫

y2(s)|W|(s)

ƒ (s)p(s) ds= cy1 + yp

Por tanto, y() es solución de la no homogénea y′′ + p′

p y′ + q

py =ƒp .

Además como y′() = y′1∫ b

y2|W|

ƒp + y

′2

∫

y1|W|

ƒp − y

′1

∫

y2|W|

ƒp se tiene que:

y()=cy1(), y′()=cy′1(), y(b)=ky2(b), y′(b)=ky′2(b) , c=

∫ b

y2ƒ|W|p , k=

∫ b

y1ƒ|W|p

Como y1 , y2 cumplen cada condición de contorno, también lo hace la y .

Una vez hallada la G , dada cualquier ƒ , basta hacer un par de integraciones paraencontrar la solución del problema no homogéneo (Pf).

[Que quede claro que cada yk satisface solamente una condición (o en o en b ; ambascondiciones sólo las cumple la trivial). La ƒ y la p del teorema son, como siempre, las dela ecuación escrita en la forma [py′]′+gy = ƒ ; en muchos casos será p≡ 1 (como en elejemplo siguiente), pero en otros deberemos reescribir la ecuación].

Ej 1. (P1)

y′′ = ƒ ()y(0)=y(1)=0

y′′ = 0y(0)=y(1)=0 sólo lo satisface y ≡ 0 .

Por tanto, (P1) tiene solución única. Hallemos su función de Green:

La solución general de la ecuación homogénea es y = c1 + c2 .

De la primera condición de contorno y(0)=c1=0 . Podemos tomar y1= .

0 1s

x(x-1)G(x,s), x fijo

De la segunda, y(1) = c1+c2 = 0 . Elegimos y2=−1 . Entonces:

|W|()=

−11 1

= 1 , p() = 1 , G(, s) =

s(−1) , 0≤s≤(s−1) , ≤s≤1

Si, por ejemplo, ƒ ()=1 , la solución de (P1) viene dada por:

y() =∫ 10 G(, s)1ds = (t−1)

∫

0 sds+ ∫ 10 (s−1)ds =

12 [

2−]

Para resolver un problema con una ƒ dada, calcular la G puede ser un rodeo inútil.Por ejemplo, la última solución se podría obtener:

y′′ = 1→ y = c1+c2+12

2 →¨

y(0)=c1=0y(1)=c1+c2+

12 =0

→ y = 12 [

2−] como antes.

Pero para cada nueva ƒ habría que volver a hallar la yp e imponer y(0)=y(1)=0 .

76

Las funciones de Green están muy ligadas a la ‘función’ δ . Observemos que la G(, s) delejemplo 1 para fijo (o para s fijo, pues G es simétrica) es continua pero no derivable ens= y su ‘derivada’ segunda es δ(s−) . De hecho, esto es lo que sucede en general:

Teor 2 G(, s) es la solución para ∈ (, b) fijo de

¨

p(s)G′′ + g(s)G = δ(s−)

αG()−α′G′()=βG(b)+β′G′(b)=0

La prueba es trivial:∫ b

G(s, ) δ(−)d = G(s, ) = G(, s)

.

Hallamos la G del (P1) por este camino más largo, pero que es el que se generaliza a las EDPs.

G′′(s) = δ(s−)G(0)=G(1)=0

G′′=0, s 6=−→ G(s)=

c1+c2s , y(0)=0→ G = c2s , s≤k1+k2s , y(1)=0→ G = k2[s−1] , s≥

Y como G′′=δ , ha de ser continua G y su derivada tener un salto en de magnitud unidad:

→¨

G(−)=c2=k2[−1]=G(+)G′(+)−G′(−)=k2−c2=1

→

c2=−1k2=

La idea de la función de Green se utiliza en diversos problemas de EDOs y EDPs. Aquí noslimitaremos a hablar de las funciones de Green para la ecuación de Laplace.

En lo que sigue operaremos formalmente con la δ en dos variables, utilizando sólo:

i. δ(ξ−, η−y) = 0 para (ξ, η) 6=(, y)ii.∫∫

DF(ξ, η) δ(ξ−, η−y)dξdη = F(, y) si F continua en D⊂R2 y (, y)∈D

.

Consideremos el problema deDirichlet no homogéneo: (PD)

Δ = F(, y) en D = ƒ en ∂D

Nuestro objetivo es (como en lo anterior) expresar su solución única en función de integralesen las que sólo aparezcan una función de Green G y los datos F y ƒ :

Teor 3

A la solución G(, y;ξ, η) de (PG)

ΔG=δ(ξ−, η−y) en DG = 0 en ∂D , para cada (, y)∈D ,

vista como función de (ξ, η) , se le llama función de Green de (PD). Entonces:

(, y)=∫∫

D

G(, y;ξ, η)F(ξ, η)dξdη +∮

∂D

Gn(, y;ξ, η) ƒ (ξ, η)ds , es solución de (PD)

[Gn es, como siempre, la derivada de G en la dirección de n , vector unitario exterior a D ].

Del teorema de la divergencia es fácil deducir la llamada segunda identidad de Green:

Si y G son C2(D) se tiene∫∫

D[GΔ−ΔG]dξdη =

∮

∂D[Gn−Gn]ds

Si es la solución de (PD) y G la de (PG), y admitimos que la identidad anterior es válidapara nuestra G (que claramente no es C2, pero se justifica con ‘distribuciones’) tenemos:

∫∫

D[GF−δ]dξdη =

∮

∂D[−ƒGn]ds → =

∫∫

DGFdξdη+

∮

∂DGn ƒ ds

¿Cómo resolver (PG)? Comencemos buscando una (, y;ξ, η) que, como función de (ξ, η) ,satisfaga Δ=δ , aunque no cumpla la condición de contorno. ¿Para qué funciones es Δ=0y pueden originar una δ ? Las soluciones de Laplace en polares dependiendo de r son:

rr +1r r = 0→ = c1 + c2 ln r

Así que algún múltiplo del discontinuo logaritmo de la distancia r = PQ del punto P=(ξ, η)al Q=(, y) es buen candidato a :

Teor 4= 1

4π ln

(ξ−)2+(η−y)2

= 12π lnPQ satisface Δ=δ(ξ−, η−y) para (, y) fijo.

A se le llama solución fundamental para el punto (, y) .

Volvemos a hacer ’trampa’ con la δ . Ya vimos que Δ=0 si r 6=0 , o sea, si (ξ, η) 6=(, y) .Además, el ’teorema’ de la divergencia en un círculo de centro Q y radio R nos da:

∫∫

r≤R Δ dξdη =∮

r=R n ds =∮

r=R r ds =∫ 2π0

12πRRdθ = 1→ Δ = δ

Si satisface Δ=0 en D , la función + seguirá satisfaciendo Δ[+] = δ para cada(, y)∈D fijo. Por tanto, para encontrar G [y tener resuelto (PD)] basta encontrar la armónica en D tal que + = G se anule en la frontera ∂D .

77

La forma práctica de hallar la (en recintos D limitados por rectas y circunferencias) es elmétodo de las imágenes. Viendo la geometría de D se tratará de escribir G como sumade la solución fundamental y de funciones armónicas del mismo tipo, logaritmos dedistancias a puntos Q′ exteriores a D (’imágenes’ de Q respecto de la ∂D ), elegidos deforma que sea G=0 en la frontera de D . En un primer ejemplo, D está limitado por rectas:

Ej 2. (P2)

Δ = 0 en D = > 0×y > 0(,0)= ƒ (), (0, y)=0, acotada

Sean Q=(, y)∈D fijo,P=(ξ, η), = 1

2π lnPQ .

D

P(!,")

Q(x,y)Q’(-x,y)

Q’(-x,-y) Q (x,-y)**

+ –

+–

Si Q′=(−, y) , es claro que ′=− 12π lnPQ

′ es una función deP que es armónica en D (lo es en R2−Q′ ) y que +′=0si P pertenece al eje y , pues entonces PQ = PQ′ . Análoga-mente ∗=− 1

2π lnPQ∗ , con Q∗=(,−y) , es armónica en Dy +∗=0 si P está en el eje . Para que G sea cero en am-bos ejes a la vez hay que sumar una nueva ′∗=−

12π lnPQ

′∗ ,

Q′∗ = (−,−y) . Entonces G(P,Q) = +′+∗ +′∗ es lafunción de Green buscada, ya que ΔG = δ [pues Δ = δ yΔ(′+∗+′∗)=0 ] y G=0 si P∈ ∂D [si P está en el eje y

es PQ=PQ′ y PQ∗=PQ′∗ ; y similar en el eje ].

Escribiendo las distancias analíticamente tenemos:

G(, y;ξ, η) = 14π ln

(ξ−)2 + (η−y)2

− 14π ln

(ξ+)2 + (η−y)2

− 14π ln

(ξ−)2 + (η+y)2

+ 14π ln

(ξ+)2 + (η+y)2

Y como n=−j en el eje , la solución de nuestro problema (P2) será:

(, y) =∮

∂DGn ƒ ds =

∫∞0 −Gη

η=0 ƒ (ξ)dξ = · · · =yπ

∫∞0

h

1(ξ−)2+y2 −

1(ξ+)2+y2

i

ƒ (ξ)dξ

Resolvamos ahora el problema no homogéneo de Dirichlet en el círculo:

D

PQ(r, )

Q’ __Rr

2

( , )

( , )

θ

θ

ɸσ

(P3)

Δ = F(r, θ) en r < R(R, θ)= ƒ (θ) , θ ∈ [0,2π]

Q=(r, θ)∈D fijo,P=(σ,ϕ) variable.

La solución fundamental en estas coordenadas queda:

= 12π lnPQ =

14π ln

σ2 + r2 − 2rσ cos(θ−ϕ)

¿Dónde situar el punto imagen Q′ ? Las cosas no son tanclaras como en el ejemplo anterior. Es claro que su θ hade ser igual, pero ¿a qué distancia del origen O colocarlo?Podríamos llegar al resultado tanteando, pero nos limitamos a comprobar que la G es:

G(P,Q) = 12π

h

lnPQ− lnPQ′ + ln Rr

i

, Q′ =R2

r , θ

, es decir,

G(r, θ;σ,ϕ) = 14π ln

σ2 + r2 − 2rσ cos(θ−ϕ)

− 14π ln

R2 + r2σ2

R2− 2rσ cos(θ−ϕ)

En efecto: G=+′+cte ⇒ ΔG=0

′ armónica en R2−Q′ y Q′ /∈D

y además G=0 si P∈∂D , o sea, si σ=R .Además, Gn=Gσ

σ=R y ds=Rdϕ , por lo que la solución de (P3) es:

(r, θ) =∫ R

0

∫ 2π0 σG(r, θ;σ,ϕ)F(σ,ϕ)dϕdσ + 1

2π

∫ 2π0

R2−r2R2−2Rr cos(θ−ϕ)+r2 ƒ (ϕ)dϕ

[Expresión más compacta que las series de Fourier, aunque estas integrales, en general, no soncalculables (y hay que aproximarlas, pero son aproximaciones también las sumas parciales)].

Las cuentas en tres dimensiones son similares a los de dos. Si G es solución de (PG):

(, y, z) =∫∫∫

DGFdξdηdγ+

∮

∂DGn ƒ dS ( ∂D es ahora una superficie)

La solución fundamental en el espacio es =− 14πPQ

rr+2r r=0→ = c1+

c2r

Los puntos imágenes respecto a planos son igual de sencillos y para la esferade radio R vuelve a situarse el punto Q′ a una distancia R2/ r del origen.

78

Apéndice

Repaso de EDOs

Algunas EDOs de primer orden dyd = ƒ (, y) resolubles

h

ƒ , ƒy continuas en un entorno de (o, yo) ⇒ existe solución única deny′ = ƒ (, y)y(o)=yo

i

.

Separables: dyd =

p()q(y) →

∫

q(y)dy =∫

p()d+ C .

Se convierten en separables: dyd = ƒ

y

con z= y . dy

d = ƒ (+by) con z=+by .

Lineales: dyd =()y+ƒ () → y = Ce

∫

()d + e∫

()d∫e−∫

()d ƒ ()d .

[solución general de la homogénea + solución yp de la no homogénea].

Exactas: M(, y)+N(, y) dyd = 0 conM=UN=Uy

My≡N

→ U(, y)=C solución.

Ej. dyd =

yy− (con solución única si y 6= ) se puede resolver por tres caminos:

z= y → z′+z= z

z−1 →∫ (2z−2)dz

z2−2z =−2∫ d

+C → z2−2z= y2

2−2 y =

C2

.

y+ (−y) dyd con My≡N=1 →U=y → U=y+p(y)

Uy=−y→ U=y− 12y

2+q()→ y2−2y=C .

ddy =

y−y = −

y+1 lineal (solución única si y 6=0 ) . = Cy +

1y

∫

ydy = Cy +

y2 .

Pasa una sola curva integral (solución de dyd = · · · o de d

dy = · · · ) salvo por (0,0)

.

EDOs lineales de orden 2

[n] y′′+()y′+b()y = ƒ () , , b , ƒ continuas en . |W|()=

y1 y2

y′1 y′2

.

Si o∈ , tiene una sola solución (definida en todo ) con y(o)=yo , y′(o)=y′o .

Si y1 , y2 son soluciones de la homogénea ( ƒ≡0 ) con wronskiano |W|(s) 6=0 paraalgún s∈ , la solución general de la homogénea es: y=c1y1+c2y2 .

Si yp es una solución de [n], la solución general de [n] es: y=c1y1+c2y2+yp .

Una solución particular de [n] es: yp = y2∫ y1ƒ|W|d− y1

∫ y2ƒ|W|d [fvc].

Si b()≡0 , y′= lleva [n] a lineal de primer orden en .

y1 solución de la homogénea ⇒ y2=y1∫

e−∫

dy−21 d solución de la homogénea.

Ej. y′′−2y′ = y′=−→ ′= 2

+1 → =C2+2∫ d2=C2− → y=K+C3− 12

2 .

[También se podrá ver como una de Euler: 2y′′−2y′=2 , estudiadas en la sección 2.2].

Ej. 3y′′ − y′ + y = 0 . Es claro que y1= es solución de esta homogénea.

Como ()=− 12

otra solución es: y2 = ∫

e−∫

−−2d

2d = e−1/ .

Por tanto, la solución general de la ecuación es: y = c1+ c2e−1/ .

[Las rectas y= +b son soluciones de la homogénea que saltan a la vista, puesel término con la y′′ no aparece y basta mirar los otros dos].

79

Lineales de orden 2 con coeficientes constantes

[h] y′′+y′+by = 0 , μ2+μ+b=0 (sus raíces: autovalores de [h]).

La solución general de [h] (, b∈R ) es:

Si μ1 6=μ2 reales → y = c1 eμ1+ c2 eμ2

Si μ doble (real) → y = (c1+c2)eμ

Si μ=p±q → y = (c1 cosq+c2 senq)ep

Si , b∈C será y=c1eμ1+ c2eμ2 ó y=(c1+c2)eμ con μ1, μ2, μ, c1, c2∈C

.

Ej. y′′ + 4y′ + 3y = 0 , μ2+4μ+3=0 → μ=−1,−3 → y = c1 e− + c2 e−3 .

y′′ + 4y′ + 4y = 0 , μ2+4μ+4=0 → μ=−2 doble → y = (c1+c2)e−2 .

y′′ + 4y′ + 5y = 0 , μ2+4μ+5=0 → μ=−2± i → y = (c1 cos+c2 sen)e−2 .

y′′−4iy′−3y = 0 , μ2−4iμ−3=0 → μ= i ,3i → y = c1 ei + c2 e3i , c1, c2∈C .

Método de coeficientes indeterminados para [c] y′′ + y′ + by = ƒ () :

Si ƒ ()=eμpm() , con pm polinomio de grado m , y μ no es autovalor, tiene[c] solución particular de la forma yp=eμPm() , con Pm del mismo grado. Siμ es autovalor de multiplicidad r , hay yp=reμPm() .Si ƒ () = eμ

pj() cosq+qk() senq

, pj , qk de grados j , k , y p± q noes autovalor, hay yp=ep

Pm() cosq+Qm() senq

con Pm y Qm de gradom=máxj, k . Si p±q es autovalor hay yp=ep

Pm() cosq+Qm() senq

.

Ej.ny′′ − y = ey(0)=y′(0)=0 . μ=±1 . Solución general de la homogénea: y=c1e+c2e− .

yp=Ae → A(+2)−A = 1 → yp=12e

. O más largo con la [fvc]:

|W|()=

e e−

e −e−

=−2 , yp=e−∫ ee−2 d− e

∫ e−e−2 d = − 14e

+ 12e

.

La solución general de la no homogénea será: y=c1e+c2e−+12e

.

Imponiendo datos iniciales:c1+c2 = 0c1−c2+ 1

2 =0→ y= 1

4e−− 14e

+ 12e

.

Ej. Hallemos una yp de y′′ + y = ƒ () para diferentes ƒ () .[Su solución general es y = c1 cos+ c2 sen+ yp ].

Si ƒ ()=3 , hay yp=A3+B2+C+D

P3 arbitrario pues λ=0 no es autovalor

→ 6A+2B+A3+B2+C+D=3 → yp=3−6 .

Si ƒ ()=2e , existe yp=e(A+B) , y′p=e(A+B+A) , y′′

p=e(A+B+2A)

→ e[(A+B+2A)+(A+B)]=2e → A=1 , B=−1 → yp=e(−1) .

Si ƒ ()=e cos , hay yp=e(A cos+B sen) →(A+2B) cos+(B−2A) sen=cos→

n A+2B=1B−2A=0 → yp=e

15 cos+

15 sen

.

Si ƒ ()=sen , como ± es autovalor simple, yp=(A cos+B sen)

→ 2B cos−2A sen=sen→ yp=− 2 cos .

Si ƒ ()=cos2 , parece que no podemos usar coeficientes indeterminados, pero

cos2= 12 (1+cos2)→ hay yp=A+B cos2+C sen2→ yp=

12−

16 cos2 .

Si ƒ ()=(cos)−1 , hay que acudir a la fórmula de variación de las constantes:

|W|()=1→ yp = sen∫ coscosd− cos

∫ sencosd = sen+cos ln(cos) .

Si [n] no es de coeficientes constantes, ni de Euler 2y′′+y′+by=0 ,ni tiene b() ≡ 0 , ni se puede encontrar una y1 de la homogénea,hay que resolverla utilizando series de potencias [capítulo 2].

80

Repaso de cálculo en varias variables

Sean ,x∈Rn, A⊂Rn . Entorno de centro y radio r es Br()≡

x : ‖x−‖<r

.

es interior a A si hay algún Br()⊂A . A es abierto si A= nt A≡

x interiores a A

.

Frontera de A es ∂A≡

x : ∀r, Br(x) tiene puntos de A y de Rn−A

. A = nt A ∪ ∂A .

A es acotado si existe un número M tal que ‖‖<M ∀∈A .

La derivada según el vector v de un campo escalar ƒ : R2 → R en un punto es:

Dv ƒ () ≡ ƒv() = lımh→0

ƒ (+hv)−ƒ ()h =

si ƒ∈C1∇ƒ () · v , siendo ∇ƒ= (ƒ, ƒy)

[si v es unitario se llama direccional, si v= i es la parcial ∂ƒ /∂() , ... ].

Si¨ y1= ƒ1(1, .., n)· · · · · · · · · · · · · · ·

yn= ƒn(1, .., n), el determinante jacobiano es ∂(y1,...,yn)

∂(1,...,n)=

∂ƒ1/∂1 · · · ∂ƒ1/∂n...

...∂ƒn/∂1 · · · ∂ƒn/∂n

.

Polares:=r cosθy=r senθ

→ ∂(,y)∂(r,θ) = r . Esféricas:

=r senθ cosϕy=r senθ senϕz=r cosθ

«

→ ∂(,y,z)∂(r,θ,ϕ) = r

2 senθ .

Integrales dobles:

Si ƒ continua en D=

(, y) : ≤≤b,ϕ1()≤y≤ϕ2()

,

ϕ1≤ϕ2 continuas en [, b] ⇒∫∫

Dƒ =

∫ b

∫ ϕ2()ϕ1()

ƒ (, y)dyd .

Si ƒ continua en D=

(, y) : c≤y≤b,ψ1(y)≤≤ψ2(y)

,

ψ1≤ψ2 continuas en [c, d] ⇒∫∫

Dƒ =

∫ d

c

∫ ψ2(y)ψ1(y)

ƒ (, y)ddy .

Cambios de variable en integrales dobles:

Sea g : (,)→

(,), y(,)

de C1 , inyectiva en D∗, g(D∗)=D y ƒ integrable.

Entonces:∫∫

Dƒ (, y)ddy =

∫∫

D∗ ƒ

(,), y(,)

∂(,y)∂(,)

dd .

Integrales de línea de campos escalares:

Sea C la curva C1 descrita por una función vectorial c(t) : [, b]→ R2 y sea ƒ un

campo escalar tal que ƒ

c(t)

es continua. Entonces:∫

Cƒ ds ≡

∫ b

ƒ

c(t)

‖c′(t)‖dt .

[No depende de la c(t) elegida. Si C es C1 a trozos, se divide [, b] y se suman las integrales].

Teorema de la divergencia

en el plano; div f = ƒ+gy si f = (ƒ , g)

:

Sea D⊂R2 limitado por ∂D curva cerrada simple, f : D→ R2 campo vectorial C1,y n el vector normal unitario exterior a ∂D . Entonces

∫∫

Ddiv fddy =

∮

∂Dfnds .

Si ∂D viene descrita por c(t)=

(t), y(t)

un normal unitario es n=

y′(t),−′(t)

‖c′(t)‖

.

Ej. Comprobemos el teorema para f(, y)=(7, y2−1) en el semicírculo r≤3 , 0≤θ≤π :

En cartesianas:∫∫

D2yddy =

∫ 3−3

∫

p9−2

0 2ydyd = 36 .

O cambiando el orden: =∫ 30

∫

p9−y2

−p9−y2

2yddy = 36 .

En polares: =∫ π

0

∫ 30 2r

2 senθdr dθ = 36 .

∮

∂D=∫

C1+∫

C2. Para C1, si c()=(,0) , ∈[−3,3] →

∫

C1(1−y2)ds=

∫ 3−3 d=6 .

Para C2, si c(t)=(3cos t,3sen t) , t∈[0,π] → ‖c′(t)‖=3 . Como n=(cos t, sen t) ,∫

C2fnds=3

∫ π

0

7cos t+9sen3t−sen t

dt=30 .

81

Repaso de convergencia uniforme

Sea la sucesión de funciones definidas en A⊂R : ƒn() = ƒ1(), ƒ2(), ..., ƒn(), ... .

ƒn converge puntualmente ƒ en A si para cada ∈A es lımn→∞

ƒn() = ƒ () .

ƒn converge uniformemente hacia su límite puntal ƒ en A si∀ϵ > 0 existe algún N tal que ∀∈A , si n≥N entonces |ƒ ()− ƒn()| < ϵ .

A

!f2f1

fGráficamente, si ƒn → ƒ uniformemente, a partir de un Ntodas las gráficas de las ƒn quedan dentro de toda banda dealtura 2ϵ alrededor de la de ƒ . Si la convergencia es sólopuntual, para cada el N es distinto y no se puede dar unoválido para todos los puntos de A .

Ej. ƒn() = 1/n →

0 si =01 si ∈ (0,∞) (puntualmente).

La convergencia es uniforme en [1,2] , pero no en [0,1] .

Para cada ∈[0,1] existe N tal que si n≥N el punto (, 1/n)está dentro de la banda, pero hace falta elegir N mayores se-gún nos acercamos a 0 . En [1,2] la convergencia es uniforme,pues el N que vale para =2 claramente vale también parael resto de los del intervalo.

ƒn continuas en un intervalo y ƒn→ ƒ uniformemente en ⇒ ƒ continua en .

ƒn integrables en [, b] y ƒn→ ƒ uniformemente en [, b] ⇒∫ b

ƒ = lım

n→ ∞

∫ b

ƒn .

|x|–sen(n x)1n

2

Si las ƒn son derivables, que ƒn → ƒ uniformementeno basta para que ƒ sea derivable, o puede existirƒ ′ y no ser el límite de las ƒ ′

n(como en los ejemplos

de la derecha); para que pasen ambas cosas, debentambién converger las ƒ ′

nuniformemente.

Las series de funciones son un caso particular

∞∑

n=1

ƒn converge puntualmente o uniformemente en A hacia ƒ si

lo hace la sucesión de sus sumas parciales Sn = ƒ1+ · · ·+ ƒn .

Criterio de Weierstrass

Sean ƒn definidas en A y Mn una sucesión de números tal que

ƒn()

≤Mn

∀∈A y tal que∑

Mn converge. Entonces∑

ƒn converge uniformemente en A .

Ej.∑ senn

n2converge uniformemente en todo R pues

sennn2

≤ 1n2

y∑ 1

n2converge.

[Se tiene entonces, por ejemplo, que la suma ƒ () de esta serie es continua en todo R ].

La serie obtenida derivando término a término:∑ cosn

n diverge, por ejemplo, si =0 .

[Para otros , como =π , converge por Leibniz, y para casi todos es difícil decirlo].

Así pues, en general, no se pueden derivar término a término las sumas infinitas comolas finitas. Aunque sí se puede hacer siempre con las series de potencias dentro delintervalo de convergencia ||<R .

Ej. − 2

2 +3

3 + · · · con R=1 , converge puntualmente

si ∈ (−1,1]

hacia log(1+)

y uniformementeen cualquier intervalo [,1] , >−1 , pero no lo ha-ce en todo (−1,1] , pues las sumas parciales estánacotadas en ese intervalo y el log no.

La serie derivada término a término 1−+2+ · · ·converge en (−1,1)

hacia 11+

.

82

problemas de Métodos II (D y E) 2011

problemas 1

1. Resolver los siguientes problemas de Cauchy:

(2y−)y+=2y(1, y)=0

y+3y2=2y +6y

4

(,1)=2yy+(2y−)=(,1)=0

32y+=5

(,0)=3

2. Sean 2yy + = 4y2 y los datos de Cauchy: i) (−2, y)=1 , ii) (, 2)=0 .Hallar la solución para el dato que proporciona solución única. ¿Por qué es única?

3. Sea yy− = +2 y los datos iniciales: i) (,0)=− , ii) (,2)=7 . Hallar la únicasolución que satisface uno de ellos y dos soluciones distintas que cumplan el otro.

4. Resolver y+2y=3 coni) (,1)=1ii) (0, y)=0 , estudiando la unicidad de la solución.

5. Reducir a forma canónica, si es necesario, y, si es posible, encontrar la solución general:+4y−5yy+6+3y=9 yy+2y+2=0 −3y+2y2=y

6. Escribir (E) tt+2t = 2 en forma canónica y hallar su solución general. De los datos deCauchy: i) (,0) = t(,0) = 0 , ii) (0, t) = 0 , (0, t) = t , hay unos que determinan unaúnica solución de (E). Hallarla en ese caso.

7. Sea [E] tt+2t++= 0 . Hallar su solución general y la que satisface (,−) = 0 ,t(,−)=1 . Escribir una solución, distinta de la ≡0 , que cumpla (, )=t(, )=0 .

8. Resolver el problema

tt−4 = 2(, )=2 , t(, )=

, i) directamente, ii) tras hacer =−t2 .

9. Sea (E) Ayy+By+C+Dy+E+H = F(, y) . Probar que un cambio de la forma= epyeq , con p y q adecuadas, lleva (E), si no es parabólica, a una (E*) sin derivadas deprimer orden. ¿Para qué relación entre las constantes A, . . . , H no tiene (E*) término en ?Aplicar lo anterior para resolver y+2y+3+6=1 . Probar que toda ecuación parabólicao es resoluble o se puede poner con cambios de variable en la forma ξ+Kηη=G(ξ, η) .

10. Resolver por diferentes caminos:

a]

tt − 4 = e−t , , t ∈ R(,0) = 2, t(,0) = −1

b]

tt−4=16 , , t∈R(0, t)= t , (0, t)=0

11. Sea

¨ tt−4=0 , ≥0 , t∈R

(,0)=n

2−2, ∈[0,2]0 , ∈[2,∞) , t(,0)=(0, t)=0

. i) Hallar (1,1) . ii) Dibujar (,1) .

12. Sea

¨ tt−=0 , ≥0, t∈R(,0)=0 , t(,0)=cos2(0, t)= t

.a] Hallar

π,2π

.b] Hallar (,2π) para ≥2π .

13. Sea

¨ tt−4=0 , ∈[0,2], t∈R(,0)=4−3, t(,0)=0(0, t) = (2, t) = 0

. Hallar 32 ,

34

. Dibujar (,2) . Hallar (,1) .

14. Sea

¨

tt−=0 , , t∈R(,0)=0 , t(,0) =

n

1, ||≤1/20 ||>1/2

.a] Dibujar (,1) , (,2) y (,3) .b] Dibujar (3, t) , t≥0 .

15. Sea

tt−=6 , ≥ 0, t∈R(,0)=t(,0)=(0, t)=0

. Calcular (0, t) para todo t.

16. Sea

¨

tt −

rr +2r r

= 0 , r≥0, t∈R(r,0)=r , t(r,0)=−2

.a] Hallar (1,2) .b] Hallar (1, t) para todo t≥0 .

i


problemas 2

1. Hallar la solución en forma de serie en torno a =0 :

a) y′′ + y = 0 , b) (1+2)y′′ − 2y = 0 , c) cos y′′ + (2−sen)y′ = 0 .

2. Sea y′′+[2−2]y′+[1−2]y=0 . Hallar el desarrollo hasta 4 de la solución que cumpley(0)=0 , y′(0)=1 . Sabiendo que y=e− es otra solución, hallar esta solución en términosde una integral y comparar.

3. Sea 2py′′−y′ = 0 . Precisar si =0 es punto singular regular. Calcular, hasta tercer orden,

el desarrollo en serie en torno a =1 de la solución que cumple y(1) = y′(1) = 1 .

4. Hallar el desarrollo en torno a =0 de la solucion de (1−)(1−2)y′′ + 2y′ − 2y = 0 cony(0) = y′(0) = 1 . ¿Dónde converge la serie solución? Hallar las raíces del polinomio indicialen cada punto singular regular. Estudiar cuántas soluciones satisfacen y(1)=0, y′(1)=1 .

5. Sea 42y′′−3y = 2 . a) Hallar el desarrollo hasta orden 4 en = 1 de la solución de lahomogénea con y(1)=0, y′(1)=1. b) Hallar la solución general de la no homogénea.

6. Hallar la solución general de las siguientes ecuaciones de Euler:

a) y′′+2y′= b) 2y′′−3y′+3y=9 ln c) 2y′′+4y′+2y= e

7. Sea 22y′′+(3−2)y′−(1+4)y=0 . Hallar el desarrollo en serie de una solución no trivialacotada cerca de =0 e identificarla con una función elemental.

8. Sea 3y′′+(2−6)y′+2y= 0 . Hallar una solución que no sea analítica en = 0 . Hallar 4términos del desarrollo de una solución no trivial que sea analítica en =0 .

9. Hallar el desarrollo en serie de una solución analítica en = 0 de 4y′′+2y′+y = 0 yla solución general en términos de funciones elementales para > 0 . Comprobar con uncambio de variable de la forma s=r .

10. Sea y′′− 2y′+ y = 0 . Hallar una solución no trivial que se anule en =0 , escribiendo laregla de recurrencia, sus 4 primeros términos y la expresión de su término general.

11. Sea y′′− 2y′+ 4ey = 0 . Hallar los 3 primeros términos no nulos del desarrollo en serie deuna solución que se anule en =0 . ¿Están acotadas en =0 todas las soluciones?

12. Hallar la solución general de 2y′′+(4−)y′+2(1−)y=0 , desarrollando en torno a =0e identificar las series solución con funciones elementales.

13. Hallar el desarrollo de una solución acotada en =0 de (1+)y′′+(2+3)y′+y=0 y probarque hay soluciones no analíticas en =−1 . Comprobarlo utilizando que y= 1

es solución.

14. Sea y′′+(1−2)y′+ py = 0 . Precisar, resolviendo por series en torno a =0 , los valoresde p para los que hay soluciones polinómicas y escribir uno de estos polinomios para p=4 .

15. Sea (1−2)y′′−2y′+y=0

Legendre con p=p5−12

. Hallar 3 términos no nulos del desarrollode la solución con y(0)=0 , y′(0)=1 . Esudiar si hay soluciones acotadas en =−1 .

16. Resolver 2y′′+y′+

2−14

y = 0 , i) mediante un cambio de la forma y=r , ii) por series.

17. Sea (2−1)y′′−4y′+6y=0 . Hallar la solución con y(0)=−1 , y′(0)=3 . Utilizando Frobenius,hallar una solución que se anule en =1 . ¿Hay soluciones no triviales acotadas para →∞ ?

18. Sea (−1)y′′ + y′ − py = 0 . Deteminar para qué valores de p posee solución polinómica.Probar que si p=2 existen soluciones que tienden a 0 cuando →∞ .

ii


problemas 3

1. Determinar los autovalores y autofunciones asociadas:

y′′ + λy = 0 y′′ + λy = 0 y′′ + λy = 0 2y′′+y′+[λ2− 14 ]y=0y(0)=y′(1)=0 y(−1)=y(1)=0 y(0)=y(1)+y′(1)=0 y(1)=y(4)=0

2. Seay′′ + λy = 0y′(0)−αy(0)=y(1)=0

Comprobar que hay infinitos autovalores positivos ∀α . Discutirsi los hay ≤0 . Estudiar cómo varía con α el menor autovalor.

3. Desarrollar a) ƒ ()=1 y b) ƒ ()=2 , ∈[0,1] , en serie de i) sennπ , ii) cosnπ .Dibujar algunas sumas parciales de las series obtenidas.

4. Desarrollar ƒ () = cos3 , ∈ [0, π] , en serie de i) cosn, ii) senn, dibujando lasfunciones hacia las que tienden las series y estudiando la convergencia uniforme.

5. Desarrollar en senos y cosenos en [−π, π] , estudiando la convergencia puntual y uniforme:

a) ƒ ()=sen2 , b) ƒ ()= | sen| , c) ƒ ()=sen 2 , d) ƒ ()=

−π, si − π≤<0sen, si 0≤<π

6. Sea ƒ ()=

1 , 0≤≤10 , 1<≤2 . Hallar su desarrollo en serie de Fourier ƒ () = 0

2 +∞∑

n=1

n cosnπ2 .

¿Cuánto debe sumar la serie para i) =1 , ii) =2 ? Comprobarlo sustituyendo en la serie.

7. Desarrollar ƒ ()=¨

, 0≤< π2

0 , π2 ≤≤π

en serie∞∑

n=1

cnyn() , con yn autofunciones dey′′ + λy = 0y(0)=y′(π)=0 .

¿Cuánto vale∞∑

n=1

cnyn(π2 ) ? Deducir de ello, y de que π

4 =1−13+

15−· · · , el valor de

∞∑

n=1

1(2n−1)2 .

8. Desarrollar ƒ ()= en las autofunciones de cada uno de los problemas del problema 1.

9. Desarrollar ƒ ()=1 en serie de autofunciones del problema

¨

y′′ + 2y′ + λy = 0y(0)+y′(0)=y( 12 )=0

.

10. Sea

¨

[1−2]y′′+ λy = 0

y(0)=0, y acotada en 1Hallar los 3 primeros términos del desarrollo de ƒ ()=1en serie de autofunciones de este problema singular.

11. Precisar cuántas soluciones tiene el problema

y′′ + y′ = ƒ ()y′(0)=y′(1)=0 , para

i) ƒ () = 0ii) ƒ ()=2−1 .

12. Precisar cuántas soluciones tiene

y′′ + 2y′ = ƒ ()2y(1)+y′(1)=y(2)=0 , para

i) ƒ () = 0ii) ƒ ()=3−4 .

13. Hallar, si existe, un valor de para el que

y′′−y′=2−y′(2)=y′(4)=0 tenga infinitas soluciones.

14. Precisar para i] λ=−2ii] λ=0 cuántas soluciones tiene el problema:

y′′+y′+λy=1−y′(0)=y′(2)=0 .

15. Sea

¨

y′′+ λy = seny(0)=y′

π2

=0.

Precisar, si lo hay, un λ para el que: i) tenga solución única,ii) tenga infinitas soluciones, iii) no tenga solución.

16. Sea

y′′ + λy = cos3y′(0)=y′( π4 )+y(

π4 )=0

. Hallar el primer término del desarrollo de ƒ () = cos3en serie de autofunciones del problema homogéneo.

Precisar para i) λ=0 , ii) λ=1 cuántas soluciones tiene el problema no homogéneo.

iii


problemas 4

1. Resolver por separación de variables:

a)

t − = sen t , ∈ (0, π) , t>0(,0)=sen2 , (0, t)=(π, t)=0

b)

t − = e−2t cos , ∈

0, π2

, t>0(,0)=1 , (0, t)=0,

π2 , t

=1

c)

t−(2+cos t)=0 , ∈

0, π2

, t>0(,0)=1 , (0, t)=

π2 , t

=0d)

¨ t − + t+1 = 0 , ∈ (0,2), t>0

(,0)=n

1 , 0≤≤10 , 1<≤2 , (0, t)=(2, t)=0

e)

¨

t−−4−4 = 0 , ∈ (0, π), t>0(,0) = e−2, (0, t)=(π, t)=0

f)

¨ tt − = 4sen6 cos3 , ∈

0, π2

(,0) = t(,0) = 0, t ∈ R(0, t)=(

π2 , t)=0

2. Sea

t−=0 , ∈ (0, π), t>0(,0)=0 , (0, t)=(π, t)= t

.Resolverlo y hallar para cada ∈ (0, π) ellímite de la solución (, t) cuando t→∞ .

3. Resolver

¨

t − = 0 , ∈ (0,1), t>0(,0)=0 , (0, t)=0, (1, t)=2e−t

y hallar el lımt→∞

(, t) .

[Simplifica los cálculos hallar una (, t)=X()T(t) cumpliendo ecuación y condiciones de contorno].

4. Sea

¨

t − 4 = cos π2 , ∈ (0,1), t > 0(,0)=T, (0, t)=F, (1, t)=T

.Calcular la solución y su límite cuando

t→∞ ( F y T constantes).

5. i] Hallar los autovalores y autofunciones del problema

X′′+2X′+λX=0X(0)=X(1)+X′(1)=0 .

ii] Resolver

t−−2 = 0 , ∈ (0,1) , t>0(,0)=e− , (0, t)=(1, t)+(1, t)=0

[directamente o tras uncambio =ept+q ].

6. i] Sea

X′′ + λX = 0X(0)=X(1)−X′(1)=0 .

Hallar sus autovalores y autofunciones y comprobar quela primera autofunción es ortogonal a todas las demás.

ii] Resolver

t−+2 = 2 , ∈ (0,1) , t>0(,0)=1− , (0, t)=(1, t)−(1, t)=1

por separación de variables.

7. Sea

t − − = 0 , ∈ (0,3π), t>0(,0) = 1 , (0, t)−4(0, t)=(3π, t)=0

Determinar, según la constante , el límite de la solución cuando t→∞ .

8. Sea una placa circular homogénea de 1 cm de de radio, inicialmente a 0o. Supongamosque en t = 0 todo su borde se calienta hasta 1o y luego se mantiene a esa temperatura.Determinar la distribución de temperaturas en la placa para t>0 . ¿Hacia qué valor tenderála temperatura de un punto situado a 0.5 cm del centro de la placa cuando t→∞ ?

9. Sea

¨ tt − = 0 , ∈[0, π], t∈R(,0) = t(,0) = 0(0, t)=sent, (π, t)=0

. Determinar valores de para los que la soluciónno esté acotada.

10. Sea

tt−=0 , ∈[0,2π] , t∈R

(,0)=n

2sen , ∈[0,π]0 , ∈[π,2π] , t(,0)=0

(0, t)=(2π, t)=0

.Dibujar (, π) y hallar su expresión conD’Alembert. Resolver por separación devariables y comprobar.

11. Sea

¨ tt−=0 , ∈[0,3] , t∈R(,0)=0, t(,0)=3−2(0, t)=(3, t)=0

.Hallar (1,2) utilizando la fórmula de D’Alembert.Resolver por separación de variables y aproximar(1,2) con el primer término de la serie solución.

12. Resolver

¨

tt − rr − 2r r=0 , r≤1 , t≥0

(r,0)=0, t(r,0) =1r senπr , (1, t)=0

i) por separación de variables,ii) con las técnicas del capítulo 1.

iv


a)

¨ Δ = 2 cos2y , (, y)∈ (0, π)×(0, π)(π, y)=5+ cosy(0, y)=y(,0)=y(, π)=0

b)

¨ Δ = y cos , (, y)∈ (0, π)×(0,1)(0, y)=(π, y)=0y(,0)=y(,1)=0

c)

Δ = 0 , 1<r<2(1, θ)=0, (2, θ)=1+senθ d)

Δ = r2 cos3θ , r<2,0<θ< π6

(2, θ)=θ(r,0)=

r, π6

=0

e)

Δ = 0 , r<1 , 0<θ<πr(1, θ)=θ, (r,0)=θ(r, π)=0

f)

Δ = r4 cos2θ , r<1 , 0<θ< π2

(1, θ)=3, θ(r,0)=θ

r, π2

=0

g)

¨ +yy+6=0 en (0, π)×(0, π)y(,0)=0 , y(, π)=0(0, y)=0 , (π, y)=2cos22y

h)

¨ Δ = 0 , 1<r<2, 0<θ< π4

(1, θ) = 0, r(2, θ) = senθ(r,0)=(r, π4 )−θ(r,

π4 )=0

14. Probar que 23 ≤

12 ,

π2

≤ 1 , si (r, θ) es la solución del problema en el plano:

Δ = 0 , r<1(1, θ) = ƒ (θ) con ƒ (θ) =

1, 0≤θ≤π0, π<θ<2π

15. Resolver

¨

rr +1r r +

1r2θθ = cos2θ , r<1, 0<θ<π

r(1, θ)= , θ(r,0)=θ(r, π)=0para los que se pueda.

16. a] Discutir cuántas soluciones y(r) tiene

r2y′′+ ry′− y = r2y′(1)+y(1)=y(2)=0 .

b] Resolver el problema plano:

Δ = senθ , 1<r<2r(1, θ)=(2, θ)=0

.

17. Hallar la única solución de este problema en el plano:

¨ Δ = 0 , r<1, θ∈ (0, π)(1, θ)+2r(1, θ)=4sen

3θ2

(r,0)=θ(r, π)=0.

Comprobar que cambiando +2r(1, θ) por −2r(1, θ) el problema físicamente imposibleque resulta pasa a tener infinitas soluciones.

18. Hallar (en términos de funciones elementales) una solución acotada de:(

rr+1r r+

1r2θθ + 4 = 0 , r<1 , 0<θ<π

(1, θ)=sen θ2 , (r,0)=θ(r, π)=0

[Separando variables y haciendo s=2raparece una ecuación conocida].

19. Hallar la única solución de los problemas en el plano

¨

rr+1r r+

1r2θθ =

2senθ1+r2

(1, θ)=1 , acotada:

i] en el círculo r<1 , ii] en la región infinita r>1 [¡ojo!, r rctn r →r→∞

∞ ] .

20. Resolver el problema para la ecuación de Laplace en el espacio

Δ = 0 , r<1r(1, θ)=cos3θ

.

21. Hallar la solución de:

¨ Δ = 0 , si r>R(R, θ) = cos3θ , 0≤θ<2π acotada cuando r →∞

y

¨ Δ = 0 , si r>R(R, θ) = cos3θ , 0<θ<π→ 0 cuando r →∞

(en el plano) (en el espacio)

22. Resolver:

t−Δ=0, (, y)∈ (0, π)×(0, π), t>0(, y,0) = 1+ cos cos2y(0, y, t)=(π, y, t)=0y(,0, t)=y(, π, t)=0

tt−Δ = 0 , (, y)∈ (0, π)×(0, π), t∈R(, y,0)=0 , t(, y,0)=sen3 sen22y(0, y, t)=(π, y, t)=0y(,0, t)=y(, π, t)=0

Δ = z , 2+y2+z2<1 = z3 si 2+y2+z2=1

Δ = 0 , 2+y2+z2<1 = 3 si 2+y2+z2=1

t − Δ = 0, 1<r<2, 0<z<1, t>0(r, θ,0)= senπz(1, z, t) = (2, z, t) = 0(r,0, t) = (r,1, t) = 0

v


problemas 5

1. Hallar (, )=∫∞0 e−k

2coskdk probando que d

d =−2 e (,0)=

pπ

2p

.

Usar lo anterior para calcular F−1

e−k2

y F

e−2

.

2. Sea

t−=(2−1)e−2/2 , ∈R , t>0

(,0)=0 , acotada

h El término no homogéneo es laderivada segunda de e−

2 /2

i

.

Hallar su solución (en términos de funciones elementales) y el lımt→∞

(, t) :

a] Aplicando la F directamente. b] Con un cambio que haga la ecuación en homogéneay evaluando la integral de los apuntes mediante un cambio de variable.

3. Comprobar, paso a paso y utilizando la F , que la solución de:¨

t−=e−2/4 , ∈R , t>0

(,0)=0 , acotadaviene dada por: (, t) = 1p

π

∫ ∞

−∞

e−k2−e−k2 (t+1)

k2e−kdk .

Deducir el valor de (0, t) integrando por partes y utilizando que∫∞−∞ e

−s2ds=pπ .

4. Hallar su solución sin que aparezcan integrales:

t−+=0 , ∈R, t>0(,0) = e−

2/2 .

5. Sean a]

t−2t=0 , ∈R, t>0(,0)=δ(), acotada y b]

t−=δ(), ∈R, t>0(,0)=0, acotada .

Hallar, sin que aparezcan integrales en el resultado, (, t) para a] y (0, t) para b].

6. Resolver

tt − 6t + 9 = 0(,0)= ƒ (), t(,0)=0

.a] A partir de las características.b] Utilizando la transformada de Fourier.

7. Sea

tt−3t+2 = 0 , , t∈R(,0)= ƒ () , t(,0)=0

.Resolverlo con transformadas de Fouriery deducir la solución para ƒ ()=2 .

8. Hallar la solución de

tt+2t+=0 , , t∈R(,0)=0, t(,0)=g()

,i) a partir de su forma canónica,ii) con transformadas de Fourier.

9. Obtener la fórmula de D’Alembert utilizando transformadas de Fourier.

10. Resolver a]

¨

2t + = t(,0)=e−

2 , b]

¨

t+ et+2t=0(,0)= ƒ ()

i) utilizando las características,ii) con transformadas de Fourier.

11. Sea t2t− = t .Hallar la solución con (,1)= a partir de las características.Resolver con (,1)= ƒ () utilizando la transformada de Fourier.

12. a] Dada 3t−=2 , hallar:a1] la solución con (,0)= ,a2] dos soluciones con (,−3)=−2 .

b] Resolver

3t−=g()(,0)= ƒ () ,

b1] utilizando las características,b2] con transformadas de Fourier, y comprobar a1].

13. a) Resolver por Fourier y por las características:

t + (cos t) = , ∈R, t≥0(,0) = ƒ () .

b) Si ƒ () =

cos2, ∈[−π/2, π/2]0 en el resto describir (, t) para t ≥ 0 .

vi

problemas adicionales de Métodos II (D y E) 2012

problemas adicionales 1

1. Resolver (si es posible) los siguientes problemas de Cauchy:

y+=−2e−y(−1, y)=0

y−y=2y(,0)=

−y =−yy

(,1)=yy+ e

2= 2

(,0)=0

2. Sea [E] y3y−=2y2 . a] Hallar la solución general de [E] tomando i) η=y , ii) η= .b] Resolver [E] con el dato inicial (,1)=2 , estudiando la unicidad de la solución.c] ¿En qué puntos del plano es tangente la curva 2=−y2 a alguna característica de [E] ?

3. Sea y−2y=2y y los datos iniciales: i) (,1)=e− , ii) (−y2, y)=0 . Hallar la únicasolución que satisface uno de ellos y dos soluciones distintas que cumplan el otro.

4. Sea (E) t−2t = 2t

−t2

. Hallar la solución de (E) con (,1)=1 tomandoi) η= t ,ii) η= .

Escribir 2 soluciones distintas de (E) válidas en un entorno de origen que cumplan (0, t)=0 .

5. Sea (E) y2y+2=2+y2. Resolver (E) con el dato (,1) = +1 . ¿Es única la solución?Imponer unos datos de Cauchy para los que (E) tenga infinitas soluciones y dar dos de ellas.

6. Precisar para qué valores de n entero positivo el dato de Cauchy (, n) = n determinauna única solución de la ecuación +y=y2 cerca de (0,0) .

7. Sea (E) (y+1)y+=0 . Dibujar sus características. Probar que (E) tiene una única soluciónsatisfaciendo (,0) = ƒ () . Probar que si ƒ no es constante dicha solución no puede estardefinida en todo R2. ¿En torno a qué puntos hay más de una solución de (E) que cumple(y2, y)=0 ? Estudiar si existen soluciones de (E) satisfaciendo (0, y)=g(y) .

8. Sea la ‘ecuación cuasilineal’ (E) A(, y, )y+B(, y, )=C(, y, ) .Probar que si las soluciones del sistema de ecuaciones:

dd =

CB , dy

d =AB son

η(, y, )=c1ξ(, y, )=c2

[curvas características de (E)],

entonces η(, y, )=p[ξ(, y, )]

o bien, ξ(, y, )=q[η(, y, )]

con p , q arbitrarias es lasolución general de (E). Resolver la cuasilineal: y+=0 con: i) (,0)= , ii) (0, y)=0 .

9. i] Resolver y + e+y − = 0 con el dato inicial (,0)=e− .ii] Hallar la solución general de yy + e+yy − y = 0 .

10. Sea (e) tt−+Dt+E = 4 , con D y E constantes. a] Escribir (e) en forma canónica.¿Para qué relaciones entre D y E es esta forma resoluble? b] Para D=−2 , E=2 , hallar lao las soluciones de (e) con los datos: (0, t)=e2t , (0, t)=2 .

11. El potencial y la intensidad en una linea telegráfica satisfacen:+Lt+R = 0+Ct+G = 0

,

donde L, R, C y G son constantes características de la linea. a) Hallar la EDP de segundoorden (E) que verifica . b) Si GL=RC , comprobar que un cambio adecuado reduce (E) a laecuación de ondas y hallar (, t) si inicialmente (,0)=V() e (,0)= () .

12. Estudiar la unicidad de los problemas (D dominio acotado en R2):

Δ−k2=F en D= ƒ en ∂D

¨ t−kΔ=F(, y, t) en D(, y,0)= ƒ (, y) en D(, y, t)=0 en ∂D

13. Si la distribución inicial de temperaturas en una varilla es ƒ () = 22−3 , ∈ [0,2] , y latemperatura para t>0 en los extremos es h0(t)=−t/(1+t2) , h2(t)=2sen t/ t , y suponemosque no existen fuentes de calor en el interior de la varilla, determinar la máxima y mínimatemperaturas alcanzadas en la varilla para t≥0 .

I

14. Se llama ‘dominio de influencia’ de los datos iniciales en o al conjunto de puntos del planot para los que la solución (, t) depende de los valores de ƒ o de g en dicho punto.Describir los dominios de influencia de ƒ y de g para los problemas (P1) , (P3) y (P5) de lasección 1.4.

15. Para los problemas: a]

tt−=0 , ≥0, t∈R

t(,0)=n

senπ, 1≤≤20 en [0,1]∪[2,∞)

(,0) = (0, t) = 0

b]

tt−=0 , ∈[0,4], t∈R

(,0) =n

senπ, 2≤≤30 resto de [0,4]

t(,0)=(0, t)=(4, t)=0

i) dibujar el dominio de influencia; ii) dibujar (,1), (,2) y (,3); ii) dibujar (3, t), t≥0.

16. Sea

tt−4=0 , ≥0 , t∈R(,0)=t(,0)=0 , (0, t)= t

. Hallar (2,4) .

17. Sea

¨ tt− = 0 , ∈[0,1], t∈R(,0)=t(,0)=0(0, t)=0 , (1, t)=sen t

. Hallar ( 12 ,12 ) y ( 12 ,

32 ) .

18. Sea

¨ tt−=0 , ≥0, t∈R(,0)=e− , t(,0)=0(0, t)=e−t

.a] Hallar (2,3) . [Ayuda: una buena (, t) sale de

separar variables y tomar λ=−1 ].b] Hallar (, t) , , t≥0 .c] Dibujar aproximadamente (,3) .

19. Sea

¨

tt −

rr +2r r

= 0 , r ≥ 0(r,0)=6 , t(r,0)=5r3

. Hallar (2,3) .

20. Sea

(

tt −

rr +2r r

= 0 , r≥0(r,0)= 2

4+r2 , t(r,0)=0.

a] Hallar (1,5) y (7,5) . Hallar (0, t) .b] Dibujar aproximadamente y simplificar (r,5) .

21. Sean

tt−rr=0 , r≥0, t∈R

(r,0)=§

2r−r2, r∈[0,2]0 en el resto ≡ F(r)

t(r,0)=(0, t)=0

y

tt−rr− 2r r=0 , r≥0, t∈R

(r,0)=§

2−r , r∈[0,2]0 en el resto ≡ ƒ (r)

t(r,0)=0

.

a] Hallar (6,3) , (2,3) y (4,3) . b] Dibujar y hallar la expresión de (r,3) .c] Hallar el valor máximo de (r,3)

p15 ≈3.873

.

II



1. Estudiar si las siguientes ecuaciones tienen puntos singulares o no y clasificarlos:

(2−2)y′′+y′−y=0 2y′′+2y′+4y=0 y′′+ ey′+cosy=0 seny′′+3y′+y=0

2. Sea (−1)y′′+2y′+(+1)y=0 . Comprobar que tiene solución de la forma e y escribir lasolución con y(0)=1 , y′(0)=0 en términos de funciones elementales. Hallar los 3 primerostérminos no nulos del desarrollo en torno a 0 de esta solución directamente por series.

3. Discutir para qué valores de es = 0 punto singular regular de y′′+4y′+2y= 0 . Si=2 , hallar el desarrollo de la solución con y(1)=1 , y′(1)=−1 en =1 hasta tercer orden.

4. Sea (−1)2y′′+(1−2)y′+2y=0 . Hallar el desarrollo hasta 4 de la solución que cumpley(0) = 1 , y′(0) =−1 . Hallar el desarrollo de una solución analítica en = 1 e identificarlacon una función elemental. ¿Hay soluciones que no sean analíticas en =1 ?

5. Sea 3(1+2)y′′+2y′=0 . Hallar 3 términos no nulos del desarrollo de una solución no trivialque se anule en =0 . Estudiar si todas las soluciones están acotadas cuando →∞ .

6. Dar un valor de b para el que la solución general por series de y′′+beseny′ = 0 en tornoa =0 no contenga logaritmos y otro valor para el que sí.

7. Sea 22y′′+(+1)y′−(2+1)y = 0 . Hallar una solución no nula que sea analítica en = 0 .¿Están acotadas todas las soluciones de dicha ecuación en un entorno del origen?

8. Hallar una solución no trivial de y′′ − (3+1)y′ + 9y = 0 .¿Es cierto que todas las soluciones de la ecuación tienden a 0 cuando tiende a 0 ?

9. Hallar el término general del desarrollo de una solución de y′′+y=0 que se anule en =0 .Calcular el valor de la constante del término que contiene el ln en la segunda solución.

10. Sea y′′+(22−1)y′−4αy=0 . a] Precisar los α para los que hay polinomios solución quese anulan en = 0 . b] Para α = 1 , hallar una solución analítica en = 0 y determinar sitodas las soluciones lo son. c] Para α=0 , hallar la solución general sin utilizar series.

11. Estudiar las soluciones en =0 de la ecuación de Laguerre y′′+(1−)y′+py=0 , precisarpara qué valores de p hay soluciones polinómicas y escribir los 4 primeros polinomios.

12. Hallar las soluciones en el punto =0 de la ecuación (1−2)y′′−y′+p2y = 0 (Chebyshev),y determinar para qué valores de p las soluciones son polinomios.

13. Hallar, sin series, una solución linealmente independiente de P1 de la ecuación de Legendrecon p=1 . Comparar su desarrollo con el de la teoría. Hacer =1/s , resolver y comparar.

14. Hallar las funciones de Bessel J3/2 y J5/2 .

15. Sea (1+)y′′−y′ = 0 . Hallar, utilizando Frobenius, una solución que se anule en = 0 .Analizar el punto del infinito y deducir si existen soluciones no acotadas cuando →∞ .Escribir la solución en términos de funciones elementales y comprobar todo lo anterior.

16. Sea 2(1+)y′′+(3+2)y′+y = 0. Hallar, trabajando en =0 , una solución no trivial queno contenga el ln . Probar que todas sus soluciones están acotadas cuando →∞ .

17. Sea [4+2]y′′+[53+]y′+[32−1]y = 0 . Escribir la ecuación para su punto del infinito.Probar que posee soluciones no triviales que tienden a 0 cuando i) → 0 , ii) → ∞ .¿Existen soluciones que tiendan a 0 tanto cuando → 0 como cuando →∞ ?

18. Sea 4y′′ + 23y′ − y = 1 . Determinar si =0 y =∞ son puntos regulares o singularesregulares de la homogénea. Hallar la solución que satisface y(1) = 0, y′(1) = 1 .

19. Hallar una solución de la forma tr ntn de t2′′ + (3t−1)′ + = 0 y discutir su validez.

III



1. Desarrollar ƒ ()= en las autofunciones del problema

y′′ − 2y′ + y+ λy = 0y(0)=y(1)=0 .

2. Desarrollar ƒ ()= en autofunciones del problema singular:

y′′ + 2y′ + λy = 0y acotada en 0, y′(1)=0 .

3. Seay′′+ λy = 0y′(0)=y(π)+4y′(π)=0

. Hallar sus autovalores y autofunciones[λ1 e y1 son calculables exactamente].

Calcular el primer término del desarrollo en serie de ƒ ()=1 en las autofunciones anteriores.

4. Precisar cuántas soluciones tiene el problema

y′′ = ƒ ()y(0)=y(1)−y′(1)=0 , para

i) ƒ () = 0ii) ƒ ()= e

2 .

5. Estudiar la unicidad de y′′ = ƒ () , ∈ (0,1) [ecuación de Poisson en una dimensión] condiferentes condiciones separadas, utilizando técnicas similares a las de las EDPs.

6. Sea2y′′ − y = 3−4y(1)+y′(1)=y(2)=0

. Precisar cuántas soluciones tiene para: i) =2 , ii) =0 .

7. Discutir, según los valores de la constante b , cuántas soluciones tienen los problemas:

y′′ + 2y′ = 1y′(1)=2y′(2)+by(2)=0

¨

2y′′−3y′+3y = b−2y(1)=y′(1) , y(2)=2y′(2)

8. Sea cosy′′ − 2seny′ = ƒ ()y′

− π4

=y′π4

−yπ4

=0Ver para qué no tiene solución única y dar para ese una ƒ () para el que haya infinitas soluciones.

9. Discutir cuántas soluciones tiene el problemay′′ + 2y′ = + cy′(1)−y(1)=y′(2)=0 .

10. Precisar cuándo tiene solución o soluciones′′ + r−1′ = F(r)′(1)−(1)=A, ′(2)+b(2)=B , , b≥0.

[se puede interpretar como un problema para Laplace en el plano con simetría radial].

11. Seay′′ + λy = 1y′(−1)=y(1)=0 .

Hallar autovalores y autofunciones del problema homogéneo.¿Existen para algún λ infinitas soluciones del no homogéneo?

12. Seay′′ + λy = y(0)=y′(1)−y(1)=0 .

Hallar los autovalores y autofunciones del homogéneo.¿Tiene el no homogéneo infinitas soluciones para algún λ?

13. Hallar una fórmula para la solución de un problema de Sturm-Liouville no homogéneo utili-zando desarrollos en serie de autofunciones del homogéneo.

Escribir, si λ 6=n2π2 , el desarrollo en autofunciones de la solución de y′′ + λy = 1y(0)=y(1)=0 .

Hallar la solución exacta para λ=0,1,−1 . Desarrollarla si λ=0 y comprobar.

IV



1. a] Desarrollar ƒ ()=cos 2 , ∈[0, π] , en serie de senn , dibujando la función hacia laque tiende la serie y estudiando la convergencia uniforme.

b] Resolver:

¨

t − = 0 , ∈ (0, π), t>0(,0)=0 , (0, t)=e−t/4, (π, t)=0

. [Conviene buscar una quecumpla también la ecuación].

2. a] Hallar el desarrollo de ƒ ()= en serie de autofunciones del problema

X′′ + λX = 0X(0)=X′(π)=0 .

b] Resolver separando variables

¨

t − (1+2t) = 0 , ∈ (0, π), t>0(,0)=0 , (0, t)=0, (π, t)=1

.

3. a] Sea

y′′ + λy = y′(−1)=y′(1)=0 .

Hallar autovalores y autofunciones del homogéneo y precisarsi hay para algún λ infinitas soluciones del no homogéneo.

b] Resolver:

tt− = 0 , ∈[−1,1], t∈R(,0)=cos2π , t(,0)=1 ; (−1, t)=(1, t)=0

.

4. Resolver

t − = F(t) , ∈ (0, π), t>0(,0)= ƒ () , (0, t)=(π, t)=0

.Hallar la distribución estacionariasi ƒ () = sen2 2 y F(t) = e−t .

5. Resolver por separación de variables y dar interpretación física cuando se pueda:

a)

t − = 0 , ∈ (0, π), t>0(,0)=1 , (0, t)=0, (π, t)=cos t b)

t − = 0 , ∈ (0, π), t>0(,0) = 0 , (0, t)=1, (π, t)=0

c)

t − + 2t = 0 , ∈

0, 12

, t>0

(,0)=1−2, (0, t)=( 12 , t)=0d)

t − + 2 = 0 , ∈ (0,1) , t>0(,0)=2cos2 π4 , (0, t)=0 , (1, t)=e−2t

6. Sea

¨ t − = A , ∈ (0,1) , t>0(,0) = B(0, t)=C, (1, t)=D

Resolverlo, determinar para qué relación entre lasconstantes A,B,C,D hay solución estacionaria einterpretarlo físicamente.

7. Sea

t − = F() , ∈ (−1,1), t>0(,0)=0 , (−1, t)=(1, t)=0

y sea Q(t) =∫ 1−1 (, t)d .

Calcular la variación en el tiempo de Q(t) y deducir cuándo es constante.Resolver si: i) F() = sen π

2 , ii) F() = sen2 π2 . ¿Tiene límite cuando t→∞ ?

8. Resolver

t − = 0 , ∈ (0,1), t>0(,0)=0 , (0, t)+(0, t)=1, (1, t)=0

y comprobar que →t→∞−∞ .

9. Sea

¨ t−−2=F() , ∈ (0, π), t>0(,0)= ƒ ()(0, t)=(π, t)=0

.a] Resolverlo en general, y para

F()= ƒ ()=e− sen2 .b] Demostrar que tiene solución única.

10. Resolver

t − 2t = 0 , ∈ (0,3), t>0(,0)=0 , (0, t)=0, (3, t)= t2

y demostrar que tiene solución única.

11. Sea

¨ tt−=0 , ∈[0,2], t∈R(,0)=t(,0)=0(0, t)=(2, t)= t2

Hallar (1,3) :a] usando la de los apuntes,b] con una que cumpla la ecuación,c] por separación de variables.

12. Sea

¨ tt−= , ∈[0, π], t∈R(,0)=, t(,0)=0(0, t)=0, (π, t)=π

Hallar π2 , π

con D’Alembert y separando variables.

13. Sea ttt−4t3−t = 0 . a] Hallar la solución que satisface: (,1)= , t(,1)=2 .b] Separar variables =XT en la ecuación y comprobar que la solución particular de a]

aparece como producto de soluciones asociadas a λ=0 .

V


a)

Δ = −1 , (, y)∈ (0, π)×(0, π) = 0 en =0, =π, y=0, y=π b)

Δ = r2 cos2θ , 1<r<2(1, θ)=(2, θ)=0

c)

¨ Δ = r , r<2,0<θ<πθ(r,0)=θ(r, π)=0(2, θ)=3

d)

Δ = cosθ , 1<r<2r(1, θ)=0, r(2, θ)=cos2θ

e)

¨ Δ = 0, r < 2

(2, θ)=n3, θ∈ (−π/2, π/2)1, θ∈ (π/2,3π/2) .

f)

¨ Δ+ = 0 , r<1, π/2<θ<3π/2(1, θ) = sen2θ, acotada

r, π2

=

r, 3π2

=0

15. Sea:

¨ +yy−9 = 0 en (0, π)×(0, π)(0, y)=(π, y)=0y(,0)=0 , y(, π)= ƒ ()

.Resolverlo en general, y para ƒ ()=cos4 .¿Es única la solución?

16. Resolver de varias formas el problema plano

¨

Δ = 9r , 1<r<2(1, θ)=2sen2θ , r(2, θ)=0

.

17. Resolver el problema plano

Δ = π , r < 1, θ ∈ (0, π)(r,0)=(r, π)=(1, θ)=0 y probar que ( 12 ,

π2 ) ≤ 0 .

18. Sean (Pα)

¨

Δ = 0 , r < 1, 0 < θ < α

(1, θ)=sen πθα , (r,0)=(r, α)=0

y (P)

¨

Δ = 0 , r < 1(1, θ)=sen θ

2 , θ∈[0,2π].

Comparar las soluciones de (P) con las de (Pα) si α→ 2π .Hallar cotas superiores e inferiores para todas las soluciones.

19. Calcular el valor en el origen de la solución del problema plano

¨

Δ = r cos2θ , r < 1(1, θ)=0 , 0≤θ<2π .

20. Resolver por separación de variables

¨ tt − Δ = 0, (, y)∈ (0, π)×(0, π), t∈R(, y,0) = sen3 seny , t(, y,0) = 0(0, y, t)=(π, y, t)=0 , (,0, t)=(, π, t)=0

.

21. Resolver el problema para la ecuación de Laplace en el espacio

Δ = 0 , r<3r(3, θ)+(3, θ)=sen2θ

.

22. Resolver el problema en la semiesfera:

¨

rr +2r r +

1r2θθ +

cosθr2 senθθ = 0 , r<1, 0<θ<

π2

r(1, θ)= ƒ (θ) , θ(r, π/2)=0

¿Qué condición debe cumplir ƒ (θ) para que exista solución?Hallar la solución si ƒ (θ) = cos2θ− para el único para el que existe.

23. Escribir en cartesianas los armónicos esféricos: Y00 , rY01 , rY11 , r2Y02 , r2Y12 , r2Y22 .

24. Un cubo homogéneo de lado π, inicialmente a temperatura constante T1 , se sumerge enel instante t = 0 en un baño que se mantiene a temperatura T2 . Hallar la distribución detemperaturas en cualquier tiempo t>0 .

VI



1. Resolver (en términos de funciones elementales)

t−−2 = 0 , ∈R , t>0(,0)=e−

2/2 , acotada:

a] con la F directamente, b] con un cambio =epteq que lleve a la ecuación del calor.

2. Sea (E) t−−2+ = 0 . Simplificarla con un cambio de variable adecuado. Hallar lasolución de (E) que cumple (,0)= e−

2y analizar su comportamiento cuando t→∞ .

3. Resolver extendiendo ƒ :

t − = 0 , , t > 0(,0)= ƒ (), (0, t)=0, acotada

4. Resolver: a]

t+2t=4t(,1)= ƒ () , b]

t2t−=g()(,1) = 0 por las características y mediante la F .

5. a] Sea

tt−+2t+=0 , , t∈R(,0)= ƒ (), t(,0)=0

.Resolverlo con la F y haciendo =e−t .

Si ƒ ()=

senπ , ∈[0,1]0 , en el resto dibujar (,3) .

b] Resolver

tt−+2t+=0 , 0<<1, t∈R(,0)=senπ, t(,0)=(0, t)=(1, t)=0

.

6. Hallar la función de Green y la solución para ƒ ()= :

y′′ = ƒ () 2y′′ + y′ − y = ƒ () y′′ + y′ − 2y = ƒ ()y(0)=y′(1)=0 y(1)+y′(1)=y(2) = 0 y(0)−y′(0)=y(1)=0

7. Calcular para λ=0 y λ=1 la solución (si la hay) de 2y′′ − y′ + λy = 3y(1)−y′(1)=y(2)−2y′(2)=0 ,

haciendo uso de la función de Green en el caso de que exista.

8. Seay′′ + 2y′ + λy = ƒ ()y(1)=y(2)=0 . Determinar autovalores y autofunciones del homogéneo.

Precisar para qué n∈N el problema con λ=π2 , ƒ ()=sennπ tiene soluciones, hallándolasen ese caso. Si λ=0 , ƒ ()=1 , hallar la solución con la función de Green.

9. a) Hallar la solución dey′′ = ƒ ()y(1)=, y(2)=b en términos de la función de Green, la función ƒ

y las constantes y b , por el camino de cálculo de la G para la ecuación de Laplace en elplano

(s)= 12 |s−| satisface ′′=δ(s−) para fijo

. b) Llegar al resultado con técnicasdel capítulo 2. c) Escribir la solución si ƒ ()=1 , =0 , b=1 .

10. Hallar la función de Green para la ecuación de Laplace en el semiplano (, y) :∈R, y>0

y utilizarla para la hallar la solución de

Δ = F(, y), ∈ R, y>0(,0)= ƒ () , acotada

.

Resolver el mismo problema para F ≡ 0 con transformadas de Fourier.

11. Sabiendo que (1, θ) =

senθ, θ∈[0, π]0 , θ∈[π,2π] , calcular el potencial en el punto del plano de

coordenadas r=2 , θ=0 , i) con la función de Green adecuada, ii) en función de una serie.

12. Escribir, en coordenadas esféricas, la función de Green G para la ecuación de Laplace enla esfera unidad y deducir la expresión, en términos de G , F y ƒ , de la solución de:

(P)

Δ = F , r<1 = ƒ si r=1

Hallar el valor de la solución de (P) en el origen en caso de que: i) F= ƒ=1 , ii) F=z , ƒ=z3.

VII

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