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APUNTES DE GEOMETRÍA DESCRIPTIVA

SISTEMA DIÉDRICO

José C. Izquierdo FitzCatedrático de Dibujo y Artes Plásticas

ISBN 978-84-694-3867-1

* * * GEOMETRÍA DESCRIPTIVA * * *J. C. Izquierdo

ÍNDICE

1.- CONCEPTO DE PROYECCIÓN. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1Proyección de un punto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1Clasificación de las proyecciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1Sistema Diédrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3Sistema de Planos Acotados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3Sistema Axonométrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3Sistema Cónico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2. SISTEMA DIÉDRICO. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5Posición de los planos de proyección. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5Proyección del punto. Alfabeto del punto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5Coordenadas de un punto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10Proyecciones de la recta. Alfabeto de la recta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10Trazas de una recta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11Determinación de los cuadrantes por donde pasa una recta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11Partes vistas y ocultas de la recta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12Intersección de una recta con los planos bisectores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12Situar puntos en una recta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13Posiciones particulares de la recta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

a).- Recta paralela al PH. Recta horizontal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14b).- Recta paralela al PV. Recta frontal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15c).- Recta perpendicular al PH. Recta vertical. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15d).- Recta perpendicular al PV. Recta de punta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16e).- Recta paralela al PV y PH. Paralela a LT. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16f).- Recta contenida en un plano de perfil. Recta de perfil. . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

Proyecciones del plano. Alfabeto del plano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20Condición de pertenencia entre rectas y planos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22Condición de pertenencia entre puntos y planos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23Rectas horizontales y frontales de un plano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23Situar un punto definido por sus coordenadas en un plano dado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24Posiciones particulares del plano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

a).- Plano paralelo al PH. Plano horizontal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25b).- Plano paralelo al PV. Plano frontal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26c).- Plano perpendicular al PH. Plano vertical. Plano proyectante horizontal. . . 26d).- Plano perpendicular al PV. Plano de canto. Plano proyectante vertical. . . . 27e).- Plano paralelo a la LT. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28f).- Plano que pasa por la LT. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29g).- Plano perpendicular al PV y PH. Plano de perfil. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

Posiciones relativas entre puntos, rectas y planos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29


Relaciones de pertenencias: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29a).- Pertenencia entre puntos y rectas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29b).- Pertenencia entre rectas y planos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30c).- Pertenencia entre puntos y planos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30d).- Posiciones entre rectas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30e).- Posiciones entre planos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2).- Planos no paralelos. Intersección de planos. . . . . . . . . . . . . 30f).- Posiciones entre rectas y planos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

1). Recta y plano paralelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322). Recta y plano no paralelos. Intersección entre recta y plano.32

Visibilidad entre recta y el plano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34Movimientos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

Cambios de planos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36Para cambiar una recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36Para cambiar un plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

Giros. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38Para girar una recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39Para girar un plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40Giro especial. Abatimientos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

a).- Método del triángulo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42b).- Método del cambio de plano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43c.- Método de abatir la traza que no es el eje de giro . . . . . . . 44

Consideraciones sobre este método . . . . . . . . . . . . . . . 45Nueva definición de un plano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

¿Qué método se debe aplicar? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49Paralelismo y perpendicularidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

Paralelismo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50a).- Paralelismo entre rectas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50b).- Paralelismo entre recta y plano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50c).-Paralelismo entre planos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

Perpendicularidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51a).- Perpendicularidad entre rectas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52b).- Perpendicularidad entre planos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56c).- Perpendicularidad entre recta y plano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57d).- Recta de máxima pendiente y recta de máxima inclinación de un plano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

Nueva definición de un plano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59Cálculo de distancias y ángulos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

Distancias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60a).- Distancia entre dos puntos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60b).- Distancia entre punto y recta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61c).- Distancia entre punto y plano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61d).- Distancia entre rectas paralelas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62


e).- Distancia entre planos paralelos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62f).- Distancia entre recta y plano paralelos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63g).- Distancia entre dos rectas que se cruzan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

Ángulos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65a).- Ángulo entre dos rectas que se cortan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65b).- Ángulo entre dos rectas que se cruzan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66c).- Ángulo entre recta y plano que se cortan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66d).- Ángulo entre dos planos que se cortan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67e).- Ángulos entre una recta y los planos de proyección. . . . . . . . . . . . . 68f).- Ángulos entre un plano y los planos de proyección. . . . . . . . . . . . . . 68

Ejercicios de aplicación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69Ejercicio nº 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69Ejercicio nº 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72Ejercicio nº 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

Superficies. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78Clasificación de las superficies. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

Cuádricas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79Estudio y representación de los poliedros regulares convexos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

Características geométricas de los poliedros regulares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81Poliedros conjugados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82Sección principal de un poliedro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82Consideraciones sobre la representación de figuras. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

Tetraedro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83Octaedro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87Icosaedro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91Cubo O Exaedro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95Dodecaedro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

Determinación de secciones planas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103Sección plana de un cubo por un plano de canto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104Sección plana de un octaedro por un plano paralelo a LT. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105Sección plana de un icosaedro por un plano vertical. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106Sección plana de un cubo por un plano oblicuo a los de proyección. . . . . . . . . . . 107

Intersección de una recta con un poliedro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109Superficies regladas desarrollables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

a).- Superficie piramidal. La pirámide. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112Clasificación de las pirámides. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113Representación diédrica de la pirámide. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114Situar puntos en la pirámide. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116Sección plana de una pirámide. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

Sección plana de una pirámide mediante cambio de plano. . . . . 117Sección plana de una pirámide mediante homología. . . . . . . . . . 119

Otra forma de situar puntos en una pirámide. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120Intersección de recta y pirámide. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121


Desarrollo de la pirámide. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1251). Abatiendo cada cara alrededor de su arista básica. . . . . . . 1252). Colocando las cara una a continuación de otra. . . . . . . . . . . 126

b). Superficie prismática. El prisma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129Clasificación de los prismas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130Representación diédrica del prisma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130Situar puntos en el prisma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131Sección plana de un prisma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

Sección plana de un prisma mediante cambio de plano. . . . . . . . 133Sección plana de un prisma mediante afinidad. . . . . . . . . . . . . . 134

Otra forma de situar puntos en un prisma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136Intersección de una recta con un prisma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137Desarrollo del prisma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

c). Superficie cónica. El cono. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144Clasificación de los conos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145Representación diédrica del cono. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145Situar puntos en el cono. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147Planos tangentes a un cono. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148Intersección de recta y cono. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150Sección plana del cono. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

Sección plana del cono de revolución. Determinación de la cónica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

Caso elipse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157Caso parábola. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160Caso hipérbola. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

Sección plana del cono oblicuo. Determinación de la cónica. . . 166Caso elipse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

Desarrollo del cono de revolución. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167Desarrollo del cono oblicuo de directriz circunferencia. . . . . . . . . . . . 168

c). Superficie cilíndrica. El cilindro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169Clasificación de los cilindros. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169Representación diédrica del cilindro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170Situar puntos en el cilindro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171Planos tangentes al cilindro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172Intersección de recta y cilindro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174Sección plana del cilindro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

Sección plana del cilindro. Determinación de la elipse. . . . . . . . 177Caso ejes de la elipse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

Sección plana del cilindro. Determinación de la elipse. . . . . . . . 179Caso diámetros conjugados de la elipse.. . . . . . . . . . . . . 179

Desarrollo del cilindro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180Caso a). Cilindro recto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180Caso b). Cilindro oblicuo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180


La esfera. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183Representación diédrica de la esfera. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183Situar puntos en la esfera. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184Planos tangentes a la esfera. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185Intersección de recta y esfera. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187Sección plana de la esfera. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190


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Figura 1

Figura 2b. Proy. CilíndricaFigura 2a. Proy. Cónica

1.- CONCEPTO DE PROYECCIÓN.

Proyección de un punto.

Sea un punto A el cual queremos proyectar sobre el plano P desde el punto O, se uneA con O y la intersección (a) de la recta AO con el plano P es la proyección del puntoA sobre el plano P desde el punto O. Figura 1.

P= Plano de proyecciónO= Centro de proyecciónA= Elemento a proyectarAO= Rayo de proyección o rayo proyectante

Clasificación de las proyecciones.

Las proyecciones se clasifican atendiendo a dosfactores que son:

1º. Según sea el centro de proyección.2º. Según sean los rayos de proyección respecto del plano P.

En el primer caso, el centro de proyección puede ser un punto propio (o impropio)denominándose la proyección CÓNICA (o CILÍNDRICA). Figuras 2a y 2b.


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Gaspar de Monge, considerado como el padre de la GeometríaDescriptiva. Matemático y Físico francés nacido en Beaune (1.746-1.818). Aplicó la Geometría a la construcción, comienzos de laGeometría Descriptiva. Fue uno de los fundadores de la EscuelaPolitécnica (1.794). Sus principales obras fueron:- Traîté élèmentaire de statique (1.788)- Leçons de géometrie descrptive (1.795)- Application de l’analyse à la géometrie (1.795)

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Figura 3a. P. Ortogonal Figura 3b. P. Oblicua

En el segundo caso, los rayos de proyección pueden ser perpendiculares (u oblicuos)al plano P denominándose ORTOGONAL (u OBLICUA). Figuras 3a y 3b.

Resumiendo, las proyecciones pueden ser:

CÓNICAPROYECCIÓN ORTOGONAL CILÍNDRICA OBLICUACombinando los tipos de proyección con los planos de proyección convenientementeelegidos, se obtienen todos los sistemas de representación que existen.

Estos sistemas son:Sistema Diédrico o de “de Monge”1

Sistema de Planos Acotados S. Axonométrico OrtogonalSistema Axonométrico S. Axonométrico Oblicuo (Perspectiva Caballera)Sistema Cónico S. Cónico Puro S. Cónico Lineal


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Figura 4

Figura 5

Sistema Diédrico está formado por dos planos que se cortan bajo ángulo recto , portanto tenemos dos planos donde proyectaremos los elementos según los criteriosanteriormente expuesto. Emplea la proyección cilíndrica y ortogonal. Figura 4.

Sistema de Planos Acotados, es una variante del anterior, consta de un sólo planodonde proyectaremos los elementos y al lado de estos aparece un número afectadode signo, estos números representan la altura del elemento sobre el plano deproyección. Emplea la proyección cilíndrica y ortogonal. Figura 5.

Sistema Axonométrico, tiene dos variantes,el ortogonal y el oblicuo. En el ortogonalemplea la proyección cilíndrica y ortogonal y en el oblicuo emplea la proyeccióncilíndrica y oblicua. Ambos están formado por tres planos que se cortan bajo ángulorecto dos a dos sobre los que proyectaremos los elementos, este conjunto se vuelvea proyectar sobre un cuarto plano que es oblicuo a los tres anteriores en el caso delortogonal y paralelo a uno de ellos en el caso del oblicuo. En ambos sistemas laproyección sobre los tres planos es cilíndrica y ortogonal y la proyección sobre el


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Figura 6a. Axonom. Ortogonal Figura 6b. Axonom. Oblicuo

Figura 7. Cónico Lineal

cuarto plano es, cilíndrica y ortogonal (en el primer caso) y cilíndrica y oblicua (enel segundo). Figuras 6a y 6b.

Sistema Cónico, como su nombre indica, emplea la proyección cónica. Existen dosvariantes del mismo, el sistema cónico puro, constituido por un sólo plano deproyección y un centro de proyección y el sistema cónico lineal, constituido por dosplanos que se cortan bajo ángulo recto y un centro de proyección. Figura 7.


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Figura 8

2. SISTEMA DIÉDRICO.

Posición de los planos de proyección.

Los dos planos de proyección están colocados de manera que forman ángulo de 90º,uno recibe el nombre de plano vertical de proyección (PV) y el otro de planohorizontal de proyección (PH), ambos se cortan en una recta que recibe el nombrede línea de tierra. Por la posición de estos, los planos quedan divido en dos regionescada uno, plano horizontal delantero y trasero y plano vertical superior e inferior.Estos planos dividen al espacio en cuatro regiones o cuadrantes. Figura 8.

Proyección del punto. Alfabeto del punto.

Consideremos un punto A situado en el primer cuadrante, para proyectarloprocederemos de la siguiente manera:Proyectaremos ortogonalmente el punto A sobre el PV obteniendo el punto a’(proyección vertical del punto A), seguidamente proyectaremos el punto A sobre elPH obteniendo el punto a (proyección horizontal del punto A), por ser lasproyecciones ortogonales a los planos del proyección, las rectas Aa’ y la Aa seránparalelas a los planos horizontal y vertical respectivamente, esto tiene comoconsecuencia que si trazamos rectas paralelas por los puntos a’ y a a las Aa y Aa’,estas rectas se cortarán en el punto x perteneciente a la línea de tierra, por tantoel cuadrilátero Aa’ax será un rectángulo. Figura 9.


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Figura 9

Figura 10

Figura 11

Ahora bien, estamos trabajando sobre dosplanos y no podemos representarlo en unahoja de papel. Para solucionarloprocederemos a girar el plano verticalalrededor de la línea de tierra un ángulo de90º en sentido antihorario hasta quecoincida con el plano horizontal, de estamanera ambos planos (vertical y horizontal)serán un solo plano y podremosrepresentarlo en una hoja de papel. Figura10.Si hacemos que ambos planos sea nuestra

hoja de papel tendríamos las dosproyecciones (a’-a) del punto Arepresentadas. Figura 11.

Es decir, tendríamos la línea de tierra, el punto a’, elpunto a y una línea que une ambos puntos, esta línearecibe el nombre de línea de correspondencia o dereflejo, no forma parte del punto, solamente es unaayuda para saber cual es la proyección que le

corresponde a un punto. De esta manera hemos realizado una correspondenciabiunívoca y completa entre los puntos del espacio y los puntos del plano, así a unpunto del espacio le corresponde una pareja de puntos en el plano y viceversa.

Para que el sistema quede perfectamente definido, a la línea de tierra se lo colocandos pequeños trazos para indicar cual es el plano horizontal delantero. De estamanera sabemos donde se encuentra el plano vertical superior, inferior y el planohorizontal delantero y trasero. Figura 12.


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Figura 13

Figura 14

Figura 12

Figura 15

Visto como quedan las proyecciones de un puntoperteneciente al primer cuadrante, vamos a representarahora las proyecciones de un punto perteneciente a losdemás cuadrantes. Figura 13. Una vez girados los planos, la representación sería la dela figura 14.

Cada punto tiene asociado con él dos valores que son laaltura o cota del punto A sobre el PH y la distancia oalejamiento del punto A sobre el PV.

Vista las dos proyecciones del punto, laaltura es la magnitud que hay entre laproyección vertical del punto y la líneade tierra y la distancia es la magnitudque hay entre la proyección horizontaldel punto y la línea de tierra. Tiene quequedar claro que estas magnitudes semiden como hemos dicho esté dondeesté la proyección de punto. Esto quieredecir que hay alturas que quedan porencima o por debajo de la línea detierra. Análogas consideraciones a lasdistancias. Figura 15.


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Figura 16

Vamos a estudiar ahora las proyecciones del punto cuando pertenece o está situadoen uno de los planos de proyección.Si el punto está situado en el PV, la distancia será nula, por tanto, la proyecciónhorizontal del punto A estará situado en la LT. Con respecto a la proyección verticalestará por encima o por debajo de la LT en función de si el punto está en el PVsuperior o inferior. Figura 16.

Si el punto está situado en el PH, la altura será nula, por tanto, la proyecciónvertical del punto B estará situado en la LT. Con respecto a la proyección horizontalestará por encima o por debajo de la LT en función de si el punto está en el PHdelantero o trasero. Figura 16.

Si el punto E está situado en la LT, estará situado en los dos planos de proyecciónal mismo tiempo, lo que da lugar a que la altura y la distancia son nulas, por tanto,ambas proyecciones estarán situadas en la LT. Figura 16.

Hay dos planos mas que integran el sistema y son los llamados planos bisectores. Losbisectores son dos planos perpendiculares entre sí y que forman con los planos deproyección ángulos de 45º, es decir, que dividen a cada cuadrante en dos partesiguales. El conjunto de todos estos planos, PV, PH, primer bisector y segundobisector divide al espacio en ocho regiones llamadas octantes. Figura 17. La propiedad que tienen los puntos que están situados en estos planos, es que laaltura y la distancia son iguales, por tanto, si el punto pertenece al primer bisector,las proyecciones a’ y a equidistarán de la LT y si pertenecen al segundo, ambasproyecciones coincidirán. El primer bisector divide a los cuadrantes primero ytercero, y el segundo bisector a los segundo y cuarto. Figura 18.


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Figura 17 Figura 18

Figura 19 Figura 20

Vamos a establecer un criterio de signos, la altura la consideraremos positiva si elpunto A está por encima del PH y negativa en caso contrario, y la distancia laconsideraremos positiva si el punto A queda por delante del PV y negativa si quedapor detrás. Así y nombrando primero la distancia y después la altura, el criterio de

signos queda establecido de la siguiente manera: Figura 19.

Quedando el siguiente criterio de signos:Primer cuadrante (+, +)

Segundo cuadrante (-, +)Tercer cuadrante (-, -)Cuarto cuadrante (+, -).Esto queda reflejado en el diedro abatido de lasiguiente manera:Alturas positivasdesde la LT haciaarriba y negativas encaso contrario ydistancias positivasdesde la LT haciaabajo y negativas

hacia arriba. Figura 20.


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Figura 21

Figura 22

Coordenadas de un punto.

Un punto queda definido por tres coordenadas A(x, y, z), siendo la coordenada x lamagnitud entre un punto fijo(O, sobre la LT) a partir del cual consideraremos lasmedidas positivas si estas están a la derecha del punto fijo, la coordenada y serála distancia o alejamiento y la coordenada z será la altura o cota.

Proyecciones de la recta. Alfabeto de la recta.

Una recta queda definida conociendodos puntos de ella; por tanto paradeterminar las proyecciones de unarecta bastará con conocer lasproyecciones de dos puntos de ella,uniendo las proyecciones verticalestendremos la proyección vertical de larecta y uniendo las horizontalestendremos la proyección horizontal de larecta. Figura 22.La condición para que un punto A (a’-a)pertenezca a una recta R (r’-r) es quelas proyecciones del punto esténsituadas sobre las proyecciones de la

recta, es decir, a’ debe estar sobre r’ y a sobre r. Figura 22.


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Figura 23

Trazas de una recta.

Llamamos trazas de una recta a la intersección de una recta con los planos deproyección. Una recta podrá tener dos, una o ninguna traza según que corte a losdos planos de proyección, a uno (es paralela al otro) o a ninguno (es paralela aambos).

Para determinar las trazas de una recta, procederemos de la siguiente manera:

La traza vertical V(v’-v) será un punto de la recta, por tanto deberá cumplir lacondición de pertenencia entre punto y recta, es decir, v’ estará sobre r’ y v sobrer. Por otro lado, la traza vertical debe de pertenecer al PV, por lo que, el puntodeberá cumplir la condición de pertenencia al PV y es que no tenga distancia o lo quees lo mismo que v debe estar sobre LT. Por ello, buscaremos aquel punto de r queesté sobre LT y este será v. Trazando una perpendicular a LT por este punto, noscortará a r’ en v’.

Para determinar la traza horizontal, procederemos análogamente. Figura 23.

Determinación de los cuadrantes por donde pasa una recta.

Una recta pasará por tantos cuadrantes como trazas tenga mas uno, es decir, sitiene dos trazas pasará por tres cuadrantes, si tiene una por dos y si no tiene


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Figura 24

ninguna por uno. Para determinar las zonas que corresponde a cada cuadrante,bastará con elegir un punto entre las trazas, y otro antes y después de cada una deellas. Si el punto pertenece a un cuadrante, la recta en ese tramo, pertenecerá almismo cuadrante. Figura 24.Así, observando la figura vemos que, elpunto C pertenece al III cuadrante, elpunto B al IV y el punto A al I. Portanto, la recta viene por el tercercuadrante, corta al plano verticalinferior, pasa al cuarto cuadrante, cortaal plano horizontal delantero y pasa alprimer cuadrante. O al revés.

Partes vistas y ocultas de la recta.

Para determinar las partes vistas yocultas de la recta simplemente tendremos en cuenta la posición de los planos deproyección y la recta, nosotros siempre estaremos situado en el I cuadrante, porlo que será visto la zona de la recta que esté en este cuadrante siendo lo demásoculto. El hecho de que sea oculto no significa que no se represente, sino todo locontrario, se representará con líneas de trazos. Figura 24.

Intersección de una recta con los planos bisectores.

Para determinar la intersección de una recta con los planos bisectores, debemosbuscar aquellos puntos de la recta que pertenezcan a los planos bisectores, portanto, estos puntos deberán cumplir dos condiciones, estar en la recta y en losplanos bisectores al mismo tiempo. La condición de pertenecer a la recta, ya lohemos definido anteriormente y si están en los bisectores deberán cumplir que lasalturas sean iguales a las distancias. Primero determinaremos la intersección con elsegundo bisector; un punto de este plano estará en el II o en el IV cuadrante y unpunto de estos cuadrantes se caracteriza por tener ambas proyeccionesconfundidas. Para encontrarlo deberemos prolongar ambas proyecciones de la rectahasta encontrar el punto de corte de r’ y r, ese será el punto buscado (i2'-i2). Paraencontrar el punto de intersección con el primer bisector deberemos buscar unpunto de la recta que tenga la altura igual a la distancia, pero estando estasproyecciones una a cada lado de la LT. Para ello, calcularemos la simétrica de la


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Figura 25

Figura 26

proyección r’ (o r) con respecto a LT, donde esta recta corte a la otra proyecciónr (o r’) ahí estará la proyección i1 (o i1') del punto buscado. Después no hay mas quetrazar una perpendicular a LT hasta encontrar a la otra proyección de la recta, ahíestará el punto i1' (o i1). Figura 25.

Situar puntos en una recta.

Dada una recta R(r’-r) queremos situaren ella un punto que cumpla con lascondiciones A(x, y, 4), observando lascoordenadas del punto vemos que tiene4 unidades de altura, por tantodeberemos de determinar laproyección vertical con esta condición,una vez encontrado a’, la proyección aes inmediata.

Trazaremos una paralela a LT a 4unidades de altura positiva (por encimade LT) hasta que corte a r’, ahí estarála proyección buscada. Figura 26.

Hay que tener en cuenta que si nos danel punto B(x, y, -5) tenemos que trazaruna paralela a LT por debajo de ella(obsérvese el signo) hasta encontrar a laproyección vertical de la recta (r’).

Análogamente si tuviésemos el puntoC(x, -3, z), ahora trazaríamos la paralelapor encima de LT (ver signo) hastaencontrar a la proyección horizontal dela recta (r). Nótese que el dato que nosdan es una distancia.


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Figura 27

Posiciones particulares de la recta.

Generalmente, en cualquier sistema de representación, las magnitudes no se ven conmedidas reales, no obstante hay posiciones particulares de la recta donde lasmagnitudes reales coinciden con alguna de sus proyecciones. Vamos a estudiar lasposiciones particulares de la recta, donde se pone de manifiesto esta consideración,muy importante para el desarrollo de futuras aplicaciones de la materia.

Una recta puede adoptar las siguientes posiciones en el espacio con respecto a losplanos de proyección.

a).- Recta paralela al PH. Recta horizontal.b).- Recta paralela al PV. Recta frontal.c).- Recta perpendicular al PH. Recta vertical.d).- Recta perpendicular al PV. Recta de punta.e).- Recta paralela al PV y PH. Recta paralela a LT.f).- Recta contenida en un plano de perfil. Recta de perfil.

a).- Recta paralela al PH. Recta horizontal.

Esta recta se caracteriza porque todos sus puntos tienen la misma altura, por tanto,la proyección vertical de esta rectaserá paralela a LT. Es una rectaque sólo tiene una traza (lavertical) y pasa por dos cuadrantes(I y II o III y IV). Además, porser paralela al PH, la magnitud delsegmento AB coincide con lamagnitud de las proyeccioneshorizontales de los puntos A y B.Por este mismo motivo, el ánguloque forma la recta con el PV se veen verdadera magnitud en el ánguloque forma r con LT. Figura 27.


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Figura 28

Figura 29

b).- Recta paralela al PV. Recta frontal.

Esta recta se caracteriza porquetodos sus puntos tienen la mismadistancia, por tanto, la proyecciónhorizontal de esta recta seráparalela a LT. Es una recta quesólo tiene una traza (lahorizontal) y pasa por doscuadrantes (I y IV o II y III).Además, por ser paralela al PV, lamagnitud del segmento ABcoincide con la magnitud de lasproyecciones verticales de los

puntos A y B. Por este mismo motivo, el ángulo que forma la recta con el PH se veen verdadera magnitud en el ángulo que forma r’ con LT. Figura 28.

c).- Recta perpendicular al PH. Recta vertical.

Esta recta se caracteriza porquetodos sus puntos tienen la mismadistancia además de tener todos lamisma coordenada x por lo cual, suproyección vertical, será una rectaperpendicular a la LT y lahorizontal será un punto. Hay quetener en cuenta que por serperpendicular al PH también esparalela al PV, y deberá de cumplirlas condiciones de una rectafrontal, es decir, posee una solatraza (la horizontal) y pasa por dos

cuadrantes (I y IV o II y III). Por ser paralela al PV la magnitud del segmento ABcoincide con la magnitud de las proyecciones verticales de los puntos A y B. Por estemismo motivo, el ángulo que forma con PH se ve en verdadera magnitud en el ánguloque forma r’ con LT. Figura 29.


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Figura 30

Figura 31

d).- Recta perpendicular al PV. Recta de punta.

Esta recta se caracteriza porque todos sus puntos tienen la misma altura ademásde tener todos la misma coordenada x, por lo cual su proyección horizontal será unarecta perpendicular a la LT y lavertical será un punto. Hay quetener en cuenta que por serperpendicular al PV también esparalela al PH, y deberá de cumplirlas condiciones de una rectahorizontal, es decir, posee una solatraza (la vertical) y pasa por doscuadrantes (I y II o III y IV). Porser paralela al PH la magnitud delsegmento AB coincide con lamagnitud de las proyeccioneshorizontales de los puntos A y B. Por este mismo motivo, el ángulo que forma con PVse ve en verdadera magnitud en el ángulo que forma r con LT. Figura 30.

e).- Recta paralela al PV y PH. Paralela a LT.

Esta recta debe cumplir las propiedades de las rectas horizontal y frontal, portanto ambas proyecciones seránparalelas a la LT y no tendrátrazas, por este motivo pasará porun sólo cuadrante. La magnitud delsegmento AB coincide con lasmagnitudes entre las proyeccionesverticales y las proyeccioneshorizontales respectivamente.Figura 31.


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Figura 32

f).- Recta contenida en un plano de perfil. Recta de perfil.

Un plano de perfil es un plano perpendicular al PV y al PH, cualquier recta contenidaen este plano tendrá sus proyecciones perpendiculares a la LT, por tanto, una rectade perfil no queda definida hasta que no conozcamos dos datos de ella, pues todaslas rectas de perfil tienen las mismas proyecciones. Figura 32. Para que quedeperfectamente definida debemos conocer dos datos de ella, que pueden ser:

a). Dos puntos.b). Un punto y uno de los ángulos que forma con alguno de los planos de proyección.

Obsérvese que si nos dan los dosángulos que forma con los planosde proyección, la recta no quedadefinida, pues cualquier recta quesea paralela a la dada cumplirá conla igualdad de ángulos con losplanos de proyección.

Para poder estudiar la recta deperfil, es decir, poder determinarsus trazas, cuadrantes por los que

pasa, intersección con los bisectores, situar puntos, etc. hay que buscar un métodoque nos permita poder realizar este estudio.

Para realizar este estudio procederemos a girar el plano de perfil alrededor de suintersección con el PV hasta que este coincida con el PV, de esta manera, enproyección vertical, veremos como es la recta, su inclinación, podremos determinarlas trazas, situar puntos, etc.

Observemos la figura 33. Al girar el plano de perfil alrededor de la recta r’, el puntoA o el B, describirán arcos de circunferencias que, en proyección horizontal, loveremos como un arco de circunferencia de centro el punto v=h’ y radio que pase porla proyección horizontal del punto A (a) o B (b). En proyección vertical, estos arcosde circunferencias los veremos como rectas paralelas a la LT y pasando por lasproyecciones verticales a’ y b’ respectivamente.


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Figura 33

Cuando el punto a halla llegado a la LT, el punto a’ habrá llegado a (A), análogasconsideraciones para los puntos b, b’ y (B).

La unión de los puntos (A) y (B) nos darán (R), proyección girada de la recta R. Siobservamos esta última recta, corta a LT en (H) traza horizontal girada de R ycortará a r’ en (V) traza vertical de la recta R. Para determinar la situación de lastrazas de la recta, observemos que la vertical coincide con el punto de corte entre(R) y r’, mientras que la horizontal habrá que girarla en sentido contrario hastasituarla sobre r. De esta manera tenemos la recta totalmente definida. Los ángulosque forma R con los planos de proyección se ven en los ángulos que forma (R) con r’y (R) con LT.

Para situar un punto sobre la recta, procederemos de la siguiente manera. Sea elpunto C(x,y,4). Situaremos la proyección vertical c’ a 4 unidades de altura desde LTy sobre r’. Giraremos la recta R y el punto c’ pasará a ser el (C ) y este último nospermitirá determinar la proyección horizontal c del punto dado. Obsérvese que parasituar puntos sobre la recta lo haremos a través de la recta girada (R).


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Figura 34

Figura 35

Por último, para determinar los cuadrantes por donde pasa y los puntos deintersección con los bisectores, bastará ver en la posición que quedan los cuadrantesen la recta girada y determinar los puntos de intersección de la recta (R) con lasbisectrices de los respectivos cuadrantes. Figura 34 y 35.


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Figura 37

Figura 36

Proyecciones del plano. Alfabeto del plano.

Un plano queda definido por tres condiciones, que son:

a). Por tres puntos no alineados.b). Por una recta y un punto que no le pertenezca.c). Por dos rectas que se corten.

Obsérvese que dos rectas paralelas sería un“caso particular” de dos rectas que secortan, pues dos rectas paralelas “se cortan”en el infinito. Por tanto, el caso de rectasparalelas queda englobado en el de dosrectas que se cortan.

Por otro lado, un plano lo definiremos por susTRAZAS. Llamamos trazas del plano a laintersección de este con los planos deproyección. Por tanto, y ya que laintersección de dos planos es una recta, lastrazas del plano serán dos rectas. Figura 36.

Estudiemos el caso de dos rectas que se corten. Antes de empezar veamos ladiferencia entre dos rectas que se CORTAN y que se CRUZAN. Figura 37.

Si dos rectas se cortan tienen unpunto en común (caso de la izda).Por tanto, la línea que une lospuntos de corte de r’ y s’ y r y ses perpendicular a LT.

Si dos rectas se cruzan (caso dela dcha), en el punto del crucehay dos puntos (A y B o C y D)cada uno pertenece a una recta.


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Figura 38

En este caso se nos plantea la visibilidad de ambas rectas, es decir, que recta tapaa quién en el punto del cruce. Comotenemos dos puntos de cruce, el Ay B y el C y D, veamos quién tapa aquién.En el caso de los puntos A y B, enproyección horizontal, el punto Atapa al B, ya que la proyecciónvertical de A está MAS ALTA quela del punto B, por tanto, en estepunto, la recta R tapa a la S, y enel caso de los puntos C y D, enproyección horizontal el punto Ctapa al D, ya que la proyecciónhorizontal de C tiene MASDISTANCIA que la del punto Dpor tanto, la recta R tapa a la S.

Para determinar las trazas de un plano definido por dos rectas que se cortantendremos que buscar los puntos del plano que estén en el PV y en el PHrespectivamente, para ello determinaremos las trazas de ambas rectas ya que,estas están situadas en PV y PH. Uniendo los puntos obtenidos obtendremos lastrazas del plano. Figura 38.

Obsérvese que hemos obtenidos cuatro puntos V y H de R y V y H de S dando lugara ocho proyecciones, vr’, vr, hr’, hr, vs’, vs, hs’ y hs, la unión ordenada de estos ochopuntos nos determinan las trazas del plano.

Nótese que ambas trazas del plano se cortan en la LT.

Muy importante es no olvidar que un punto A que esté situado sobre la trazavertical del plano P’, tendrá su proyección vertical a’ sobre P’ y la proyecciónhorizontal a en la LT, análogamente un punto B situado sobre la traza horizontal Pdel plano tendrá su proyección horizontal b sobre P y la proyección vertical b’ en laLT.


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Figura 39

El caso de dos rectas paralelas se resuelve análogamente al expuesto. Figura 39.

Los otros dos casos, a). tres puntosno alineados y b). una recta y unpunto que no se pertenecenprocederemos a buscar dos rectasque se corten y que estén situadasen el plano buscado y tendremos elproblema como en el caso resuelto.En el caso a). bastará con unir lospuntos dos a dos y darán lugar atres rectas, determinando lastrazas de dos de ellas tendremosel problema resuelto y el en casob). tomaremos un punto cualquierade la recta dada y lo uniremos con

el punto dado, teniéndose así dos rectas que se cortan, determinaremos sus trazasy tendremos el problema resuelto.

Téngase presente que para determinar las trazas de un plano (son dos rectas),necesitamos obtener cuatro puntos, es decir, cuatro proyecciones de trazas, perocon tres es suficiente pues, la unión de dos de ellas nos determina en la LT un puntoque unido con el tercero nos resuelve el problema. Si por un casual las trazas de lasrectas que tenemos se salen fuera de los límites del papel, para solventarloprocederemos a buscar otras rectas que estén contenidas en el plano y cuyas trazasse encuentre dentro de los límites del papel. Piénsese que si tenemos un planodefinido por dos rectas, cualquier punto de una de ellas unido con otro punto de laotra, nos determina una recta que se encuentra en el mismo plano que las dadas.

Condición de pertenencia entre rectas y planos.

La condición para que una recta pertenezca a un plano, es que las trazas de la rectaestén situadas sobre las trazas del plano. Figura 40.


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Figura 40

Figura 41

Condición de pertenencia entre puntos y planos.

Para que un punto pertenezca a unplano, las proyecciones del puntotienen que estar sobre lasproyecciones de una recta quepertenezca al plano. Figura 40.

La recta R pertenece al plano P yla recta S pertenece al plano Q. Elpunto A pertenece a la recta S ypor pertenecer esta al plano Q,implica que el punto A tambiénpertenece al plano Q.

Rectas horizontales y frontales de un plano.

Llamamos rectas horizontales (o frontales) de un plano a todas aquellas rectas queperteneciendo al plano sean paralelas al PH (o al PV). Figura 41.

Obsérvese que al tener las rectashorizontales (o frontales) una solatraza obliga a que la proyecciónhorizontal (o frontal) de estarecta debe mantenerse paralela ala traza horizontal P ( o vertical P’)del plano. Téngase en cuenta quelas rectas horizontales (ofrontales) es el lugar geométricode todos los puntos que distan lamisma magnitud del PH (o PV) ypertenecen a un plano dado.

En la figura la recta R es una horizontal del plano P y la S una frontal del plano Q.


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Figura 42

Figura 43

A partir de estos conocimientos podemos resolver problemas basados en lapertenencia entre puntos y rectas con planos, como son, figura 42:

a). Dada la proyección vertical P’ de un plano y las proyecciones a’-a de unpunto A perteneciente al mismo, determinar la proyección horizontal P delplano.b). Dada la proyección horizontal b de un punto B perteneciente a un planodefinido por sus trazas Q’-Q determinar la proyección vertical b’ del punto.

Situar un punto definido por sus coordenadas en un plano dado.

Para situar el punto A(x,5,2) en elplano P’-P trazaremos una rectafrontal del plano que tenga 5unidades de separación del PV y unarecta horizontal del mismo quetenga 2 unidades de altura, dondeambas rectas se corten tendremossituado el punto A. Figura 43.


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Figura 44

Figura 45

Posiciones particulares del plano.

Un plano puede adoptar las siguientes posiciones en el espacio con respecto a losplanos de proyección.

a).- Plano paralelo al PH. Plano horizontal.b).- plano paralelo al PV. Plano frontal.c).- Plano perpendicular al PH. Plano vertical. Plano proyectante horizontal.d).- Plano perpendicular al PV. Plano de canto. Plano proyectante vertical.e).- Plano paralelo a la LT.f).- Plano que pasa por la LT.g).- Plano perpendicular al PV y PH. Plano de perfil.

a).- Plano paralelo al PH. Plano horizontal.

Este plano se caracteriza, por ser paralelo al PH, por tener una sola traza la verticalP’ y esta es paralela a la LT. Tiene lapropiedad de que cualquier figura contenidaen este, en proyección vertical, se verá comouna línea y estará confundida con P’, estandoen proyección horizontal donde sea y enVERDADERA MAGNITUD. Figuras 44 y 45.

En la figura está representada lasproyecciones de una circunferencia contenida

en el plano P.


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Figura 47

Figura 46

Figura 48

b).- Plano paralelo al PV. Plano frontal.

Este plano se caracteriza, por ser paralelo alPV, por tener una sola traza la horizontal P yesta es paralela a la LT. Tiene la propiedad deque cualquier figura contenida en este, enproyección horizontal, se verá como una líneay estará confundida con P, estando enproyección vertical donde sea y en

VERDADERA MAGNITUD. Figuras46 y 47. En la figura se ve lasproyecciones de un triángulocontenido en el plano P.

c).- Plano perpendicular al PH. Plano vertical. Plano proyectante horizontal.

Este plano se caracteriza por teners u p r o y e c c i ó n v e r t i c a lperpendicular a LT y la horizontalinclinada. Cualquier figuracontenida en este plano se verá enproyección horizontal como unalínea y estará confundida con laproyección horizontal del plano,teniendo la proyección verticaldonde sea y NO ESTARÁ ENVERDADERA MAGNITUD. Ademásel ángulo formado por la proyecciónhorizontal del plano y la LT será elángulo que forma el plano con el PV.


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Figura 49

Figura 50

En la figura se ve las proyeccionesde una circunferencia contenida enel plano P’-P, obsérvese que laproyección vertical no es unacircunferencia, es una elipse.Figuras 48 y 49.

d).- Plano perpendicular al PV. Plano de canto. Plano proyectante vertical.

Este plano se caracteriza por tener su proyección horizontal perpendicular a LT yla vertical inclinada. Cualquier figura contenida en este plano se verá en proyección

vertical como una línea y estaráconfundida con la proyecciónvertical del mismo, teniendo laproyección horizontal donde sea yNO ESTARÁ EN VERDADERAMAGNITUD. Además el ánguloformado por la proyecciónvertical del plano y la LT será elángulo que forma el plano con elPH. En la figura se ve lasproyecciones de un triánguloequilátero contenido en el planoP’-P, obsérvese que la proyecciónhorizontal no es un triánguloequilátero. Figuras 50 y 51.


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Figura 51

Figura 53

Figura 52

e).- Plano paralelo a la LT.

Un plano paralelo a la LT secaracteriza por tener susproyecciones paralelas a la LT.Cualquier figura contenida en esteplano NO SE VERÁ ENVERDADERA MAGNITUD .Obsérvese que los lados del

triángulo son rectas quepertenecen al plano P’-P. Véasecondición de pertenencia entrerectas y planos. Figura 52 y 53.


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Figura 54

f).- Plano que pasa por la LT.

Este plano se caracteriza portener ambas trazas confundidascon la LT, es un plano que no quedadefinido pues, todos los planos quepasan por la LT tendrán las mismasproyecciones. Para su definición esnecesario dar un punto del mismo.

g).- Plano perpendicular al PV y PH. Plano de perfil.

Este plano se definió al estudiar la recta de perfil.

Posiciones relativas entre puntos, rectas y planos.

Las posiciones relativas entre puntos, rectas y planos pueden ser:

Relaciones de pertenencias:

a).- Pertenencia entre puntos y rectas.b).- Pertenencia entre rectas y planos.c).- Pertenencia entre puntos y planos.

Relaciones de posición:

d).- Posiciones entre rectas.e).- Posiciones entre planos.f).- Posiciones entre rectas y planos.

a).- Pertenencia entre puntos y rectas.

Este apartado quedó expuesto en la página 10, figura 22.


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b).- Pertenencia entre rectas y planos.

Este apartado quedó expuesto en las páginas 22 y 23, figura 40.

c).- Pertenencia entre puntos y planos.

Este apartado quedó expuesto en la página 23, figura 40.

d).- Posiciones entre rectas.

Las posiciones que pueden adoptar dos rectas en el espacio son:

1).- Rectas que se cortan.2).- Rectas que se cruzan.3).- Rectas paralelas. (Caso particular de rectas que se cortan).

Los apartados 1 y 2 fueron expuestos en la página 20, figura 37 mientras que elapartado 3) será expuesto al abordar el estudio del paralelismo y laperpendicularidad.

e).- Posiciones entre planos.

1).- Planos paralelos.2).- Planos no paralelos. Intersección de planos.

El punto 1) se expondrá en el estudio del paralelismo y la perpendicularidad.

2).- Planos no paralelos. Intersección de planos.

Dos planos que se cortan lo hacen a través de una recta. Para determinar la rectaintersección procederemos de la siguiente manera:

La recta intersección pertenecerá a ambos planos, por tanto deberán cumplir lascondiciones de pertenencia entre rectas y planos. Sean los planos P y Q y la recta


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Figura 55

Figura 56

R. Por pertenecer la recta R al plano P, la traza vertical de R deberá estar en latraza vertical de P, por el mismomotivo, la traza vertical de Rdeberá estar en la traza verticalde Q, como conclusión, la trazavertical de R será el punto deintersección de las trazasverticales de ambos planos. Poridéntico razonamiento, la trazahorizontal de R estará en laintersección de las trazashorizontales de ambos planos. Pararesolver el problema bastará condeterminar estos puntos y unirlos.Figura 55.

Veamos como solucionar el problema cuando las trazas de ambos planos se cortanfuera de los límites del papel.

Sean los planos P y Q cuyai n t e r s e c c i ó n q u e r e m o sdeterminar. Consideremos unplano horizontal W1 (o vertical)auxiliar y con él cortaremos aambos planos, el plano W1cortarán al plano P en una recta Ty el plano auxiliar W1 cortará alplano Q en otra recta S, ambasrectas, T y S, se encuentran en elplano W, por tanto se cortarán enun punto A que pertenece a ambos

planos. Repitiendo este proceso (plano auxiliar W2) obtendremos otro punto B que,unido con el A, nos determinará la recta R intersección de ambos planos. Figura 56.


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Figura 57

Nota: Como plano auxiliar puede tomarse cualquier tipo de plano, perorecomendamos usar planos horizontales o frontales por ser mas fácil ladeterminación de las intersecciones con los planos dados. Si dos de las trazas de losplanos se cortan dentro de los límites del papel, solamente tomaremos un planoauxiliar, ya que, al cortarse las trazas dentro del papel, tendremos un punto de larecta intersección buscada.

Hay casos donde no es factiblee leg i r p l anos aux i l i a r eshorizontales o frontales, por lacomplejidad en determinar lasrectas intersecciones, en estoscasos elegiremos otro tipo deplano como pueden ser los planosproyectantes verticales uhorizontales (planos verticales ode canto). Figura 57.

f).- Posiciones entre rectas y planos.

Las posiciones entre rectas y planos pueden ser:

1). Recta y plano paralelo.2). Recta y plano no paralelos. Intersección entre recta y plano.

1). Recta y plano paralelos.

Este apartado se expondrá al estudiar el paralelismo y la perpendicularidad.

2). Recta y plano no paralelos. Intersección entre recta y plano.

La intersección entre recta y plano es un punto, debemos de encontrar aquél puntode la recta que pertenezca al mismo tiempo al plano.


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Figura 58

Figura 60Figura 59

Para resolver este problema, lo vamos a plantear desde dos puntos de vistadistintos aunque el grafismo empleado en la resolución del problema es el mismo.

Primer método. Consideremos larecta R y el plano P cuyai n t e r s e c c i ó n q u e r e m o sdeterminar, para ello vamos aconsiderar que la proyecciónvertical (o la horizontal) de larecta R perteneciera al plano P’-P,entonces tendría en proyecciónhorizontal la recta s, pero a laproyección r’ le corresponde la r yno la s, vemos que ambas rectastienen un punto en común el i, este

punto será el punto buscado. Figura 58.

Segundo método. Consiste en tomar un plano W, auxiliar, que contenga a la recta R,este plano W cortará al plano P en la recta S, la recta S y la recta R se encuentraen el plano W, por tanto ambas rectas se cortarán en el punto I, punto deintersección buscado. Figura 59 y 60.


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Figura 61

Visibilidad entre recta y el plano.

Tenemos que determinar quién tapa a quién es decir, saber que parte de la rectaserá tapada por el plano. Para ello partimos de la idea de que la recta queda divididaen dos partes, antes del punto de intersección y después de él. Una parte será vistay la otra oculta (sin tener en cuenta PV y PH). Para ello, tomaremos un punto sobre

la recta situado antes (o después)del punto de intersección, (enrealidad estamos eligiendo dospuntos, el A que pertenece a larecta y el B que pertenece alplano), miraremos en la otraproyección cual de los dos tienemayor cota (o distancia), aquél quetenga la mayor magnitud será elvisto y el otro el oculto. La rectasera visible si el punto elegido esvisible y oculta en caso contrario.En la figura se ve que el punto Atiene mayor cota que B, por tantoA tapa a B, es decir, recta tapa aplano. Solo se ha estudiado la

proyección horizontal para no hacer el dibujo demasiado complejo. Hay que destacarque la zona visible en proyección horizontal NO TIENE POR QUÉ ser visible enproyección vertical, por tanto, este proceso habrá que realizarlo dos veces, una parala proyección vertical y otra para la horizontal. Figura 61.

Movimientos.

Los movimientos son los métodos operativos que disponemos, en geometríadescriptiva, para poder “ver” aquellas cosas que no vemos en las proyecciones quenos planteen.

Hay dos tipos de movimientos:

a).- Los cambios de planos.b).- Los giros.


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Figura 63

Figura 62

La diferencia entre giro y cambio de plano es la siguiente:

En un giro nosotros quedamos inmóvil ygira el objeto que estamos estudiando yen el cambio de plano, es el objeto el quepermanece inmóvil y somos nosotros losque cambiamos de posición, de esta

manera podremos ver aquellas partesque queden ocultas o confundidas.Figura 62 (giro) y 63 (cambio de plano).

En el giro (figura 62) observamos como la recta R gira alrededor del eje E hastaconvertirse en una recta frontal RG (paralela al PV). Vemos como el punto V girahasta convertirse en el VG (que queda a igual distancia del PV como el H). El puntoH queda inmóvil por pasar el eje de giro por dicho punto. Este movimiento se empleacon mucha frecuencia para poder determinar verdaderas magnitudes sobre rectas(recuérdese las propiedades de la recta frontal).En el cambio de plano, figura 63, observamos que la cara VAB de la pirámiderepresentada, según la vista nº 1, en proyección vertical, se ve como un triángulov’‘a’‘b’‘, mientras que según la vista nº 2, esa misma cara se ve como una línea v’a’b’.En este ejemplo, hemos convertido la cara VAB en un plano de canto, importantepara resolver problemas de intersecciones de figuras.

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