Apuntes de as v 2010
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ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS CON MATHEMATICA ING. EDUARDO LOPEZ SANCHEZ
1
INDICE NO. DESCRIPCION DEL TEMA PAG. 1 DEFINICION Y CLASIFICACION DE ECUACIONES DIFERENCIALES 2 2 ELIMINACION DE CONSTANTES ARBITRARIAS 3 3 FAMILIA DE CURVAS E ISOCLINAS 7 4 EL METODO DE SEPARACION DE VARIABLES 14 5 DEFINICION DE FUNCIONES HOMOGENEAS 17 6 RESOLUCION DE ECUACIONES POR EL METODO DE COEFICIENTES
HOMOGENEOS 18
7 DEFINICION DE ECUACIONES EXACTAS Y METODO DE SOLUCION 20 8 LA ECUACION DIFERENCIAL LINEAL DE PRIMER ORDEN 24 9 FACTORES INTEGRANTES OBTENIDOS POR INSPECCION 27 10 DETERMINACION DE FACTORES INTEGRANTES 28 11 ECUACION DE BERNOULLI 32 12 TRAYECTORIAS ORTOGONALES 13 ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR 14 SOLUCION DE ECUACIONES LINEALES CON COEFICIENTES
CONSTANTES
15 ECUACIONES LINEALES NO HOMOGENEAS CON COEFICIENTES CONSTANTES
16 COEFICIENTES INDETERMINADOS 17 VARIACION DE PARAMETROS 18 ECUACIÓN DE CAUCHY-EULER 19 ECUACIÓN DE CAUCHY-EULER NO HOMOGÉNEA: VARIACION DE
PARAMETROS
20 SOLUCIÓN DE ECUACIONES NO HOMOGÉNEAS CON COEFICIENTES CONSTANTES
21 SOLUCION MEDIANTE CAMBIO DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL 22 DEFINICION DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE 23 TRANSFORMADA INVERSA Y TRANSFORMADA DE DERIVADAS 24 LA TRANSFORMADA DE FUNCIONES ELEMENTALES 25 TRANSFORMADA DE UNA DERIVADA 26 DERIVADA DE TRANSFORMADAS
APUNTES DE MATEMATICAS V: “ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
CON MATHEMATICA” EDUARDO LOPEZ SANCHEZ
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS CON MATHEMATICA ING. EDUARDO LOPEZ SANCHEZ
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1. DEFINICION Y CLASIFICACION DE ECUACIONES DIFERENCIALES DEFINICION. Una ecuación diferencial es una expresión matemática que contiene al menos una derivada de una función; existen las ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) si las derivadas existentes son ordinarias y las ecuaciones diferenciales parciales (EDP) si las derivadas son parciales. CLASIFICACION. En una EDO se identifican, generalmente, dos tipos de variables: la variable independiente y la variable dependiente. Tradicionalmente x es la variable independiente y y es la dependiente; sin embargo, cuando existe la variable t , que hace referencia al tiempo, ésta es independiente y las otras variables son dependientes. El orden de una EDO es el orden de la derivada de mayor rango en la ecuación. Así, xeyxyyxy −=+′+′′+′′′ 22 es una EDO de orden 3, la variable independiente es x y la variable dependiente es y .
La EDO 025
2
23
4
4
=+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛dtdw
dtwd
dtwd
es de orden 4, la variable independiente es t y la variable
dependiente es w . Una EDO puede ser lineal o no lineal dependiendo del comportamiento de la variable dependiente; se dice que es lineal si el exponente al que está elevada la variable dependiente o sus derivadas es uno (1); si no se dice que es no lineal. Si existe el producto de la variable dependiente con sus derivadas, se considera no lineal. La siguiente tabla muestra la clasificación de algunas EDO’s:
EDO ORDEN LINEALIDAD
)cos(5 24 xeyxyyxy −=+′+′′+′′′ 3 LINEAL
1023
3
34
4
4
=+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛dtdx
dtxd
dtxd
4 NO LINEAL
0=+ ydyxdx 1 NO LINEAL
ttexxxtx =+−+ 5 3 LINEAL
xdxdyxdxx coscos =+ 1 LINEAL
0)2( 423 =+−+ yDDD ππ 3 LINEAL
En la tabla anterior pueden observarse las notaciones matemáticas existentes para definir a la derivada de
una función. La notación )()4( ,...,,, nyyyyy ′′′′′′ corresponde a Lagrange; la forma n
n
dxyd
dxyd
dxdy ,...,, 2
2
corresponde a Leibniz; la notación xxx ,, donde dtdxx = se le atribuye a Newton. El uso de operadores
diferenciales yDyDDy n,...,, 2 posiblemente esté relacionado con la notación de Cauchy que
corresponde a yDdxdy
x= . Los operadores diferenciales serán utilizados en las ecuaciones diferenciales
lineales de orden superior.
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS CON MATHEMATICA ING. EDUARDO LOPEZ SANCHEZ
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EJERCICIOS RESUELTOS Clasificar las siguientes EDO’s : R1. 02 =+′+′′+′′′ xyyxyyyyx ; Orden=3, No Lineal R2.
ydxdy 1
= ; Orden=1, No Lineal
R3. 33)2)(( xxyDxD +=+− ; Orden=4, Lineal
R4. 0coscos =+ xdyyydxx ; Orden=1, No Lineal
EJERCICIOS PROPUESTOS Para cada uno de los ejercicios siguientes, establézcase el orden y linealidad de las ecuaciones diferenciales ordinarias de la tabla:
P1. 022
2
=+ xkdt
xd
P2. )()( xQyxPy =+′
P3. 02'3''' =+− yyy P4. xyy =''
P5. )(4
4
xwdx
yd= P6. 12
2
2
2
cdt
xdydt
ydx =−
P7. ERidtdiL =+
P8. 0)()( =−++ dyyxdxyx
P9. 0)'()''( 43 =−+ yyyx P10. texxx −=+−3
P11. 223 3)754( xxyDDD +=+−+ P12. 0)2()1( 3 =+− yDD
P13. xyxDDx =+− ))(( P14. 21 yxy
dxdy
+−=
P15. xxyyy cos8'2'' 2 +=−+ P16. 0=+ qdppdq 2. ELIMINACION DE CONSTANTES ARBITRARIAS Si tomamos una ecuación matemática con constantes arbitrarias y las eliminamos por diferenciación explícita o implícita y, además, efectuamos las operaciones algebraicas adecuadas de las ecuaciones obtenidas, llegamos a una ecuación diferencial de orden igual al número de constantes arbitrarias eliminadas. La ecuación original es la solución de la ecuación diferencial obtenida. EJEMPLOS: R5.- )sin( βϖ += tAx , donde ϖ es un parámetro.
ϖβϖ )cos( += tAdtdx
)sin(22
2
βϖϖ +−= tAdt
xd
xdt
xd 22
2
ϖ−=
R6.- xx ececy 3
21−− += ...
xx ececy 321 3 −− −−=′ ...
Comentarios: Como ϖ es un parámetro, no importa si no se elimina en la EDO resultante. Se permite derivar dos veces a x pues existente
dos constantes arbitrarias, BA, .
Por sustitución de x en 2
2
dtxd
se obtiene la
EDO.
Comentarios: Para eliminar 21,cc se requiere derivar dos veces a la ecuación . Sumando y , y multiplicando por 3 esta suma obtenemos una cuarta ecuación. Sumando y obtenemos una quinta ecuación que puede reducirse con la cuarta para obtener la EDO sin constantes arbitrarias.
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xx ececy 321 9 −− +=′′ ...
034033
633
6
)2(3
32
32
32
=+′+′′=′++′′+′
−=′+
=′′+′
−=′+
−
−
−
yyyyyyyecyy
ecyy
ecyy
x
x
x
EJERCICIOS PROPUESTOS En cada uno de los siguientes ejercicios, elimínense las constantes arbitrarias: Ejercicio: Solución:
P17. cyxx =− 23 3 0)2( =−− xdydxyx
P18. cxyxy =− 2sin 0)2(sin)(cos =−+− dyxyxdxyxy
P19. cxyx +=12 0)1( 32 =++ dyxdxyx
P20. yxcy += 22 0)2(2 2 =+− dyxyxydx
P21. wtcwtcx sincos 21 += , w es un parámetro 02
2
2
=+ xwdt
xd
P22. 12 ++= ccxy 1)'(' 2 ++= yxyy
P23. xeccy 221 += 0'2'' =− yy
P24. xx ececy 321
−− += 03'4'' =++ yyy
P25. xx ececxy 321
−− ++= xyyy 343'4'' +=++
P26. xx ececxy 221
2 −++= )1(22''' 2xxyyy −+=−+
P27. xx xececy −− += 21 0'2'' =++ yyy
P28. 22
11
−− += xcxcy 02'4''2 =++ yxyyx
P29. xecxcy −+= 21 0''')1( =−++ yxyyx
P30. xecxcxy −++= 212 22''')1( 2 ++=−++ xxyxyyx
P31. xecxcy 22
21 += 0)12(2')12('')1( 2 =−−−+− yxyxyxx
Si usamos Mathematica para eliminar una constante arbitraria de una ecuación, las instrucciones que requiere el programa son:
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Si corremos el programa dentro del entorno de Mathematica con la secuencia <Shift-Enter>, necesitaremos introducir la ecuación con la constante arbitraria c respetando las reglas de las funciones con la sintaxis de Mathematica. Por ejemplo, para eliminar la constante c de la siguiente ecuación:
12 ++= ccxy , ejecutaríamos el programa e introduciríamos la ecuación como:
Obteniendo como resultado: Para encontrar la EDO de orden dos (2) si la ecuación original contiene dos (2) constantes arbitrarias 1c y 2c , las instrucciones del programa en Mathematica son:
Clear@x, y, ec1, ec2, ec3, ec4Dec1 =
Input@"Introduzca ecuación y@xD== ...
con una constante arbitraria c"D;ec2 = ∂x ec1;ec3 = Solve@ec1, cD;ec4 = ec2 ê. c → ec3@@1, 1, 2DD;Print@"Ecuación Original:"Dec1Print@"Ecuación Diferencial encontrada:"DSimplify@ec4D
x+"###### #### ## ## ## ## ## ## ## ## ##
−4 + x2 + 4 y@xD + 2 y @xD 0
Clear@x, y, c1, c2, ec1, ec2, ec3, ec4, ec5, ec6, ec7, ec8Dec1= Input@"Introducir y@xD==... con las constantes arbitrarias c1 y c2:"D;ec2= ∂x ec1;ec3= ∂x ec2;ec4= Solve@ec1, c1D;ec5= ec2ê. c1→ ec4@@1, 1, 2DD;ec6= Solve@ec5, c2D;ec7= ec4@@1, 1, 2DD ê. c2→ ec6@@1, 1, 2DD;ec8= ec3ê. 8c2→ ec6@@1, 1, 2DD, c1 → ec7<;Print@"Ecuación original:"Dec1Print@"Ecuación diferencial encontrada:"DSimplify@ec8D
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Por ejemplo, hallar la EDO de la ecuación con dos (2) constantes arbitrarias siguiente usando Mathematica:
Ecuación original: xecxcy 421
−+=
Obteniendo el siguiente resultado:
EJERCICIOS PROPUESTOS Usando Mathematica, encontrar la ecuación diferencial ordinaria una vez eliminada la(s) constante(s) arbitraria(s) de las ecuaciones siguientes: M1. 1=−− Cxe y M2. 3
3 1xC
xy +=
M3. 22 2 CCxy =+ M4. 0)ln()arctan( 22 =+− yxCxy
M5. )exp()2exp( 31 xxCy +−= M6. 212 xCy ++=
M7. 21 xxy −= M8. x
Cycos
=
M9. )arcsin(Cxey = M10. )ln( xeCy +=
M11. 1+= Cyyex M12. )ln(Cyyx =
M13. )2sin2cos( 21 xCxCey x += − M14. xexCCy 321 )( −+=
M15. xCxCy ln21 += M16. ))ln(sin( 12 CyCx +=+
M17. 22
1 )( CCxy ++= M18. )(121
xx eCeCx
y −+=
M19. xeCxeCy xx 3sin3cos 22
21 += M20. bxeCbxeCy axax sincos 21 +=
Ecuación original:
Out[17]= y@xD c2 −4x + c1 x
Ecuación diferencial encontrada:
Out[19]= y @xD 16Hy@xD− x y @xDL1 + 4 x
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3. FAMILIA DE CURVAS E ISOCLINAS Para hallar la ecuación diferencial de una familia de curvas cyxf =),( , se aplica el método de eliminar la constante arbitraria existente por diferenciación. La familia cyxf =),( puede plantearse como un conjunto de condiciones del lugar geométrico o directamente por medio de una ecuación. EJEMPLOS: R7.- Obtener la ecuación diferencial de las rectas con pendiente y la intersección con el eje X , iguales. La gráfica de la familia de curvas es la siguiente:
La ecuación diferencial puede encontrarse planteando la ecuación que corresponde a las familia de rectas que cumplen ma = , donde a es la abcisa de la intersección de las rectas con el eje X y m la pendiente de las rectas.
0)()(
)(
)()(0
)(
2
2
11
=−′−′
′−′==′
−=
−==
−=−=−−=−
yyyxyxyy
mymmxymxmy
amaxmy
axmyxxmyy
R8.- Circunferencias de radio fijo r y tangentes al eje x. La ecuación de la circunferencia se deberá ajustar haciendo rk = ; como r es fijo, es un parámetro y no debe eliminarse; la constante arbitraria a eliminar es h .
222 )()( rkyhx =−+− 222 )()( rryhx =−+−
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[ ]222 )()( rryhxdxd
=−+−
0)(2)(2 =′−+− yryhx 0)()( =′−+− yryhx
)( ryyhx −′−=− 222 )()( rryhx =−+−
[ ] 222 )()( rryryy =−+−′−
[ ] 222
2222
1)()()()()(
ryryrryryy
=+′−
=−+−′
Cuando se conoce la relación correspondiente a la familia de curvas, basta derivar implícitamente tantas veces como constantes haya que eliminar. Si en la relación se tiene un parámetro, éste no deberá eliminarse.
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EJEMPLOS RESUELTOS:: R9. Graficar la ecuación diferencial y la familia de curvas correspondiente a las estrofoides, cuya ecuación es:
xaxaxy
−+
=)(2
2 ; la ecuación diferencial ordinaria correspondiente a esta familia es
04)4( 34224 =+−− ydyxdxyyxx . La gráfica de la familia de curvas y la gráfica de la ecuación diferencial correspondiente es:
Cuando se utilizan ecuaciones con una constante arbitraria en coordenadas polares, deberemos recordar
que )(θfr = , de manera que )(' θθ
fddr
= . La ecuación diferencial se encuentra eliminando la
constante arbitraria por diferenciación. Por ejemplo, las cardioides )sin1( θ−= ar , tienen la EDO y la familia de curvas siguientes:
0cos)sin1(sin1cos
sin1
cos
=+−−
−=
−=
−=
θθθθθ
θ
θ
θθ
drdr
rddr
ra
addr
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EJERCICIOS PROPUESTOS: En cada uno de los ejercicios siguientes, obténgase la E.D.O. de la familia de curvas planas descritas o representadas por su ecuación. Grafíquese la familia de curvas y su ecuación diferencial.
LUGAR GEOMETRICO O ECUACION SOLUCION P32. Rectas que pasan por el origen. 0=− xdyydx
P33. Rectas que pasan por el punto fijo ),( kh ; h y k son parámetros.
0)()( =−−− dyhxdxky
P34. Rectas con pendiente y la intercepción con el eje Y , iguales.
0)1( =+− dyxydx
P35. Rectas con la suma algebraica de las intercepciones iguales a
k . 0')1')('( =+−− kyyyxy
P36. Circunferencias con centro en el origen. 0=+ ydyxdx
P37. Circunferencias con centros sobre el eje X . 01)'('' 2 =++ yyy
P38. Circunferencias con centro sobre la recta xy −= , y que pasen por el origen.
0)2()2( 2222 =−++−− dyyxyxdxyxyx
P39. Parábolas con el vértice sobre el eje X , con el eje paralelo al eje Y , y con la distancia del foco al vértice igual a a .
yya =2)'(
P40. Parábolas con el vértice sobre el eje Y , con el eje paralelo al eje X , y con la distancia del foco al vértice igual a a .
ayx =2)'(
P41. Parábolas con el eje paralelo al eje X , y con la distancia del vértice al foco igual a a .
0)'(''2 3 =+ yay
P42. Parábolas con el vértice y el foco sobre el eje X . 0)'('' 2 =+ yyy
P43. Parábolas con el eje paralelo al eje X . 0)''(3'''' 2 =− yyy
P44. Las cúbicas )(22 axxcy −= con c fija. 3)'(2 xyxycy =−
P45. Las cuárticas 322 )( axxyc −= con la a fija. 0)(2)4( =−−− dyaxxdxaxy
P46. Las estrofoides xa
xaxy−+
=)(2
2
yxxyxyy 3
2224
44' −+
=
P47. Las cisoides xa
xy−
=3
2
)3('2 223 xyyyx +=
P48. Las trisectrices de Maclaurin
)3()( 22 xaxxay −=+ 08)63( 34224 =+−− ydyxdxyyxx
P49. Las circunferencias )cos(sin2 θθ −= ar 0)sin(cos)sin(cos =++− θθθθθ drdr
P50. Las cisoides θθ tansinar = 0)cos1(cossin 2 =+− θθθθ drdr
P51. Las estrofoides )tan(sec θθ += ar θθ secrddr =
Para graficar la familia de curvas y la ecuación diferencial correspondiente, usaremos el software gratuito Graphmatica, disponible en la dirección http://www.ksoft.com. Por ejemplo, para graficar las cúbicas
)(22 axxcy −= , con a fija, debemos escribir la ecuación en el editor de fórmulas de Graphmatica, considerando que c es la constante arbitraria y a el parámetro fijo; en Graphmatica la constante a es una variable con valores de rango predeterminados de 1 a 3 con incremento de 1 en 1, pero que se puede modificar, y c es una constante fija con un valor predeterminado de 1. Por ello, debemos escribir la ecuación de las cúbicas con las constantes invertidas y respetando los operadores que comúnmente se usan en computación.
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Para graficar la ecuación diferencial deberemos despejar 'y y representarla en el editor de Graphmatica como =dy expresion
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La gráfica de la ecuación diferencial también es conocida como curvas isoclinas o campos direccionales. La definición de isoclina es: “el lugar geométrico de puntos en los que las tangentes a las curvas de una familia considerada tienen una misma dirección”. Por ejemplo, graficar la familia de curvas y sus curvas isoclinas de la ecuación
0)ln()/arctan( 22 =+− yxcxy
En este caso, como Graphmatica no puede graficar la ecuación con la constante arbitraria a , se dan valores diferentes a la constante arbitraria en el editor de ecuaciones y se grafican las curvas una a una para obtener la familia. La ecuación diferencial o curvas isoclinas se da directamente en el editor. Obsérvese que los pequeños segmentos de recta representan pendientes siguiendo las trayectorias de la curvas. Usando Mathematica para graficar una familia de curvas, podemos capturar el siguiente programa:
Por ejemplo, para graficar la familia de curvas de la ecuación 222 )()( kkykx =−+− , haremos lo siguiente:
In[97]:= << Graphics̀ ImplicitPlot̀ecfam = Input@"Introduzca la ecuación de la familia de curvas en la forma FHx,y@xD,kL==0"D;Print@"Ecuación de la familia de curvas: ", ecfamDec1= ∂x ecfam;ec2= Solve@ec1, kD;ec3= ec1ê. k→ ec2@@1, 1, 2DD;Print@"Ecuación diferencial de la familia de curvas: "Dec3familia= ecfam ê. y@xD→ y;Tablafamilia= Table@familiaê. k→ a, 8a, −5, 5<D;Print@"Grafica de la familia de curvas"DImplicitPlot@Tablafamilia, 8x, −10, 10<D
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Ecuación diferencial de la familia de curvas:
Grafica de la familia de curvas
Ecuación de la familia de curvas: H−k + xL2 + H−k+ y@xDL2 k2
2ikjjx−
x + y@xD y @xD1 + y@xD
y{zz+ 2 y @xD i
kjjy@xD−
x + y@xD y@xD1 + y @xD
y{zz 0
-10 -5 5 10
-10
-5
5
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4. RESOLUCION POR EL METODO DE SEPARACION DE VARIABLES La ecuación diferencial de primer orden puede expresarse como 0)',,( =yyxf ; esta forma puede expresarse como 0),(),( =+ dyyxNdxyxM . Para resolver esta ecuación usando el método de separación de variables, deberemos analizar las expresiones MyxM =),( y NyxN =),( , de manera que la ecuación 0=+ NdyMdx pueda expresarse en la forma 0)()( =+ dyyBdxxA ; entonces la solución se halla integrando la expresión, es decir:
∫ ∫ =+ cdyyBdxxA )()( , o bien ∫ ∫ += cdxxBdxxA )()(
que conduce a
cyxF =),( que es la solución general de la ecuación diferencial ordinaria; si existen valores iniciales o condiciones de frontera, la constante c debe evaluarse para obtener la solución particular de la forma 0),( =yxF . EJEMPLOS RESUELTOS: R10. Resolver xydydxy 2)1( =+ Solución:
22
2
21
21
)1(:0ln)1ln(ln20ln)1ln(22ln
0ln)1ln(ln
01
ln
012
02)1(2)1(
+=
=+++=
=+++−=+++−
=+
+−
=+
−
=−+=+
∫ ∫
∫ ∫
ycxeSolucióncyxycyyx
cyyxydydyx
yydy
xdx
xydydxyxydydxy
y
R11.- Obtener la solución particular que satisfaga las condiciones de frontera indicadas:
212 yyxy +=′ cuando 2=x y 3=y
∫
∫
=+
+=+
=+
+=
cxycxy
xdx
yydy
ydxdyxy
2
2
2
2
1lnln)1ln(
12
12
Si 2=x y 3=y
Entonces )2()3(1 2 c=+ , de donde 5=c , así, la solución particular es xy 51 2 =+
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EJERCICIOS PROPUESTOS: En las siguientes ecuaciones, encuéntrese la solución general; si existen valores iniciales, hállese la solución particular. Verifíquese la solución.
EJERCICIO SOLUCION
P52. 3')4( yyx =+ 1)]4(ln[2 2 −=+ xcy
P53. 0)exp( 22 =+ ydyxdxy cxyx =+− 2)exp( 2
P54. 0sinsincoscos =+ ydyxydxx ycx cossin =
P55. xdyydx 23 = 23 cyx =
P56. nxdymydx = nm cyx =
P57. 2' xyy = 02)( 2 =++ cxy
P58. PV
dPdV −= cPV =
P59. 0)4(2)1( =++− dyedxye xx 22 )4()1( cey x =+−
P60. )cossin( drdredr θθθ −= cer =+ )cos1( θ
P61. 0)()( =++− dyyxydxxxy )1()exp()1( +=+− xcyxy
P62. xydydxy 2)1( =+ )2exp()1( 2 ycyx +=+
P63. 0)1(2 =−+ dyxydxx )2exp()1( 222 xyxxc −+=− −
P64. dyyxyxdxxxy )1()( 2222 +++=+ )]1(ln[42)1ln( 22 ++−=+ ycyyx
P65. 0tancos2 =+ ydyydxx 222 tan cyx =+
P66. yeyyx ='2 yecxyx )1()1( +=+
P67. xdxydy 32 sintan = )(tan3cos3cos3 cyyxx +−=−
P68. yxy coscos' 3= cxxyy ++=+ 2sin2)tanln(sec4
P69. xyy sec'= )tan(sec xxcy +=
P70. xdtttdx 22 sec)1( += 22 )1(2sin2 tcxx ++=+
P71. yye x =+ ')4( 2 228 )41( cey x =+ −
P72. 0)3( =+++ βααβαββα dddd )3exp( βααβ −−=c
P73. 0)ln1()ln1( =+++ dyydxx cyyxx =+ lnln
P74. 022 =−± dyxaxdx 22 xacy −±=−
P75. dyaxxdxa 222 −= a
cyax += sec
P76. 0lnln =+ dyydxxy cxyxx +=+ )ln(lnln
P77. rtdtdr 4−= ; cuando 0=t , 0rr = )2exp( 2
0 trr −=
P78. 21'2 yxyy += ; 3)2( =y 152 −= xy
P79. 21' yxyy += ; 3)2( =y 225 22 =− yx
P80. )exp(' 2xyy −= ; 0)0( =y )exp(12 2xe y −+=−
P81. 02 =+ dyedxxy x ; cuando ∞→x ,
21→y 1)exp(2
)exp(−−
=xx
xy
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P82. θθdrdrra sin)2( 322 =− ; ar =)0( 222 cos)/ln( ararr −= θ
P83. gdxdvv = ; cuando 0xx = ; 0vv = )(2 0
20
2 xxgvv −=−
Para verificar la solución de una ecuación diferencial con la solución de los ejercicios, será necesario aplicar algunas propiedades de los logaritmos, función exponencial, identidades trigonométricas y manipulación algebraica. Ver la tabla No. 1 para recordar las propiedades de los logaritmos y función exponencial. Tabla No. 1. Propiedades del logaritmo natural y la función exponencial:
ex = exp x
` a
Si x = e y , entonces y = ln x
` a
ln a b` a
= ln a` a
+ ln b` a
ln abffffd e
= ln a` a
@ ln b` a
ln abb c
= b ln a` a
ea + b = ea eb
ea@ b = ea e@ b =ea
ebfffffff
ea` ab = ea b
Para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias usando Mathematica, se ocupa la instrucción DSolve; su sintaxis es DSolve[ecdif,vardep,varind]. Algunas ecuaciones diferenciales de primer orden pueden ser resueltas directamente con DSolve. Algunos ejemplos de solución de ecuaciones se presentan a continuación:
Obsérvese que la ecuación debe introducirse con doble signo igual (== ); es importante indicar la función dependiente de la variable independiente, por ejemplo, xxy ],[ , o bien, ttr ],[ ; la primera
DSolve@y@xD Log@xD Log@y@xDD+ y'@xD 0, y@xD, xD
::y@xD →x+C@1Dx−x>>
DSolve@HExp@2xD+ 4Ly'@xD y@xD, y@xD, xD
::y@xD →xê4C@1D
H4 + 2xL1ê8 >>
DSolve@8r'@tD −4r@tDt, r@0D r0<, r@tD, tD
::r@tD → −2t2r0>>
DSolve@8y'@xD Exp@y@xD − x^2D, y@0D == 0<, y@xD, xDSolve ::ifun :
Inverse functions are being used by Solve , so some solutions may notbe found ; use Reduce for complete solution information . More…
::y@xD → −LogB1 −12è!!!!
π Erf@xDF>>
erf HzL =2
è!!!!!p
‡0
ze-t2 d t
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17
derivada se representa con apóstrofe (‘) en la función dependiente, ]['],['],[' θrtrxy . Todas las funciones que se usan en Mathematica deberán encerrar entre corchetes a sus argumentos, por ejemplo:
]2^][[ xxyExp − , ][xLog Si el Kernel de Mathematica compila la ecuación y encuentra que es difícil hallar su solución, emitirá algunos mensajes señalando el motivo y propondrá algunas funciones especiales para expresar la
solución, por ejemplo, ][xErf , donde dtezerfx t∫ −=
0
22)(π
.
Si queremos usar un programa para Mathematica que resuelva las ecuaciones diferenciales por separación de variables, será necesario separar por parte de nosotros las funciones con su respectivo diferencial y posteriormente introducir las funciones para que Mathematica solamente resuelva las integrales. El programa tiene el siguiente aspecto:
Por ejemplo, la ecuación diferencial xy3 dx + lnxdy = 0 se resuelve separando las variables
F x` a
=x
lnxffffffffff y G y
` a
= y@ 3 , por lo que en el programa al correrlo, se escribiría lo siguiente:
La solución sería:
Clear@F, G, ec1DPrint@"Solución de una ecuación diferencial por el
Método de Separación de Variables"DPrint@"La EDO tiene la forma FHxL dx + GHyL dy = 0"DF@x_D = Input@"Introduzca la función FHxL=..."D;G@y_D = Input@"Introduzca la función GHyL=..."D;
ec1 = ‡ F@xD x + ‡ G@yD y c;
Print@"Solución de la Ecuación Diferencial: ",Simplify@ec1DD
Solución de la Ecuación Diferencial:
ExpIntegralEi@2 Log@xDD c+1
2 y2
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18
5. DEFINICION DE FUNCIONES HOMOGENEAS DEFINICION. Una función es homogénea si sus términos tienen el mismo grado, es decir, si la suma de los exponentes en cada término es la misma. Se dice que una función ),( yxf es homogénea de grado k si [ ]),(),( yxfyxf kλλλ = EJEMPLOS RESUELTOS: R12. Sea 3223 4),( xyyxyxyxf ++= Por la definición, 3223 ))((4)()()()(),( yxyxyxyxf λλλλλλλλ ++=
)4(4
32234
3422434
xyyxyxxyyxyx
++=
++=
λ
λλλ
[ ]),(),( 4 yxfyxf λλλ = por lo tanto ),( yxf es homogénea de grado 4.
R13. Sea xyyxyxyxh 42exp)(),( 22 +⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=
yxyxyxyxh λλ
λλλλλλ 42exp)(),( 2222 +⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=
xyyxyxyxh 2222 42exp)(),( λλλλ +⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=
[ ]xyyxyxyxh 42exp)(),( 222 +⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+= λλλ
[ ]),(),( 2 yxhyxh λλλ = por lo tanto, es homogénea de grado 2 EJERCICIOS PROPUESTOS: Determínese en cada ejercicio si la función es homogénea o no. Si es homogénea, diga el grado de la función. P84. 22 865),( yxyxyxT −+= P85. 22 2),( yxyyxF +−=
P86. yx
eyxH =),( P87. 23
23
22 3),(yx
yxyxyxG+
++=
P88. 3)2(),( −+= vuvuS P89. )sin()cos(),( rrrrX θθθ =
P90. 22 2),( txtxxt −−+= πϖ P91. )exp(),( yxxyyx =Π
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19
6. RESOLUCION POR EL METODO DE COEFICIENTES HOMOGENEOS Si ),( yxM y ),( yxN son homogéneas y del mismo grado, entonces:
),(),()
yxNyxMi es homogénea de grado cero
)ii Si ),( yxf es homogénea de grado cero en x y y , entonces ),( yxf es una función de xy
solamente. Sea 0),(),( =+ dyyxNdxyxM y sean M y N homogéneas de grado k , proponer una
variable k
xyu ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛= o
k
yxv ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
Con 1=k
0=+ dyMNdx o 0=+ dydx
NM
Caso 1: xyu = entonces
⎩⎨⎧
+==
xduudxdyuxy
[ ]
cxygx
cugx
cNM
Ndux
uuNuMduuN
xdx
xduuNdxuuNuMxduudxuNdxuM
dyNdxM xy
xy
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+
=+
=+
+
++
=++=++
=+
∫
∫ ∫
ln
)(ln
ln
),1(),1(),1(
0),1(),1(),1(0))(,1(),1(
0),1(),1(
Caso 2: yxv = entonces
⎩⎨⎧
+==
ydvvdydxvyx
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20
[ ]
cyxhy
dvNM
My
dyydvvMdyvNvvM
dyvNydvvdyvM
dyNydvvdyM xy
yx
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
=+
+
=++=++
=++
∫ ∫
ln
0
0)1,()1,()1,(0)1,())(1,(
0)1,())(1,(
EJEMPLO RESUELTO: R14. Obtener la solución general de la siguiente ecuación diferencial:
0)3( 22 =+− dyyxxydx Solución:
032
2
2
2
2 =⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+− dy
xy
xxdx
xxy
031 2
2
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+− dy
xydx
xy
Sea xyu = y
⎩⎨⎧
+==
xduudxdyuxy
cuu
x
ududuux
duu
ux
dxduuxdxu
xduuxdudxuudxudxxduudxuudx
=+−
=++
=+
+
=++
=−−−−
=++−
∫ ∫
∫ ∫−
ln61ln
031ln
03
)31(0)31(3
0330))(31(
2
3
3
2
23
23
2
cy
xy
cxyy
xx
cxy
yxx
+=
=−+−
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+−
2
2
2
2
2
2
6ln
lnln6
ln
ln6
ln
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21
EJERCICIOS PROPUESTOS: En los siguientes ejercicios obténgase la solución general:
EJERCICIO SOLUCION P92. 0)2()2( =++− dyyxdxyx cxyyx =++ )/arctan(4)ln( 22
P93. 0)3( 22 =+− dyyxxydx )/ln(6 22 cyyx =
P94. 222 274' yxyxyx ++= )()2(2 yxcyxx +=+
P95. 0)48()42( 2222 =−−−−+ dyyxyxdxyxyx )(4 22 yxcyx +=+
P96. xydydxyx =+ 2)2( )/exp()(3 xycyxx =+
P97. dyxyxydx )( 22 −+= )/ln()/arcsin( cyyx =
P98. sin 0 4 22
0
P99. 0 ln ln P100. 4 2 2 0 2
P101. 0)( 22 =−+− xdydxyxy ; cuando 3=x ,
1=y
yx 692 −=
P102. 0)( 22 =−++ xdydxyxy ; cuando 3=x ,
1=y
122 += yx
El programa en Mathematica para resolver las ecuaciones con coeficientes homogéneos es el siguiente:
Por ejemplo, la EDO xdx + sin yxfffffd e
ydx @ xdyb c
= 0 se resolvería corriendo el programa y
haciendo N u` a
=@ sin u` a
para darnos la solución siguiente:
Clear@respuesta, fN, ec1, ec2, x, yDPrint@
"Solución de una ecuación diferencial con coeficientes homogéneos"DPrint@"La EDO tiene la forma MH1,uL dx + NH1,uLHu dx + x
duL = 0 ó MHu,1L Hu dy + y duL + NHu,1L dy = 0"Drespuesta = Input@"Introduzca si se divide por x o por y H1ê0L :"D;IfArespuesta 1,
9fN@u_D = Input@"Introduzca la función NHuL=..."D;
ec1 = ‡1
x x + ‡ fN@uD u c;
ec2 = ec1 ê. u → y ê x;Print@"Solución de la Ecuación Diferencial: ", Simplify@ec2DD=,
9fN@u_D = Input@"Introduzca la función MHuL=..."D;
ec1 = ‡1
y y + ‡ fN@uD u c;
ec2 = ec1 ê. u → x ê y;Print@"Solución de la Ecuación Diferencial: ", Simplify@ec2DD=E;
Solución de la Ecuación Diferencial : c Cos A yxE + Log @xD
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22
7. DEFINICION DE ECUACIONES EXACTAS Y METODO DE SOLUCION Si una ecuación diferencial de primer orden de la forma 0),(),( =+ dyyxNdxyxM no puede resolverse por los métodos previamente estudiados, pero, además, la ecuación (1) resulta de una función
cyxF =),( que tenga como diferencial total la expresión: NdyMdx + , es decir, NdyMdxdF += , entonces cyxF =),( es la solución general de la ecuación.
Si tenemos que 0=+ NdyMdx , entonces se necesitan dos cosas:
1. Encontrar bajo que condiciones para M y N existe una función F tal que su diferencial total sea exactamente NdyMdx + ; segundo, si esas condiciones se satisfacen, determinar la función F . Si existe una función F tal que NdyMdx + sea exactamente la diferencial total de F ; llamaremos a la ecuación (1) una ecuación exacta.
Sea 0=+ NdyMdx Si es exacta, entonces por definición existe F tal que
NdyMdxdF +=
022
=∂∂
∂+
∂∂∂ dy
yxFdx
yxF
xN
yM
yxF
∂∂
=∂∂
=∂∂
∂ 2
Entonces si se cumple el criterio anterior, la ecuación diferencial es exacta.
1)xFM∂∂
= 2) yFN∂∂
=
De la ecuación 1) ∫ ∫ ∂=∂
∂=∂
xMF
xMF ∫ +∂= )(yKxMF
De la ecuación 2) [ ]∫ +∂∂∂
=∂∂ )(yKxM
yyF
( ))(yKxMyy
F ′+∂∂∂
=∂∂
( ) NyKxMy
=′+∂∂∂∫ )(
entonces
dyxMy
NyK ∫ ∫ ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∂
∂∂
−=)(
Entonces la solución de la ecuación diferencial exacta es:
cdyxMy
NxM =⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡∂
∂∂
−+∂ ∫ ∫∫
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS CON MATHEMATICA ING. EDUARDO LOPEZ SANCHEZ
23
EJEMPLOS: R15. Resolver: 0)cotcos(cos =−+ senxsenydydxxyx
)()cotcos(cos
senxsenyNxyxM
−=+=
xsenyxN
xsenyy
M
cos
cos
−=∂∂
−=∂∂
Entonces, si es exacta
yNF ∂=∂ ∫ ∫ ∂−=∂ ysenxsenyF )(
)ln()(
cot)(
cotcoscos)(coscos
)(cos
senxxK
xxK
xyxxKyxxF
xKysenxysenysenxF
−=
−=′
−=′+=∂∂
+=∂−=
∫ ∫
∫
sustituyendo: csenxysenx =− )ln(cos El programa para resolver las ecuaciones diferenciales exactas usando Mathematica es el siguiente:
Clear@Mf, Nf, dM, dN, Ff, cDPrint@"ECUACIONES EXACTAS"DPrint@"Funciones originales:"DMf@x_, y_D = Input@"Introduce función MHx,yL: "D;Nf@x_, y_D = Input@"Introduce función NHx,yL:"D;Print @"MHx,yL = ", Mf@x, yDDPrint@"NHx,yL = ", Nf@x, yDDPrint@"Las derivadas parciales:"DdM = Simplify@∂y Mf@x, yDD;dN = Simplify@∂x Nf@x, yDD;Print@"∂y MHx,yL = ", dMDPrint@"∂x NHx,yL = ", dNDIfAdM === dN, 9Print@"La E.D.O. es EXACTA"D,
Ff@x_, y_D := ‡ Mf@x, yD x + ‡ JNf@x, yD − ∂y ‡ Mf@x, yD xN y,
Print@"SOLUCION: ", Ff@x, yD cD=,
Print@"La E.D.O. NO es EXACTA"DE;
resp = Input@"Existen valores iniciales H1ê0L"D;If@resp === 1,
8valores =
Input@"Introducir los valores de x y y en una listade la forma 8x,y<"D;
solp = Ff@x, yD c ê. 8x → valores@@1DD, y → valores@@2DD<;ec1 = Solve@solp, cD;Print@"Solución particular:",
Ff@x, yD c ê. c → ec1@@1, 1, 2DDD<D;
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS CON MATHEMATICA ING. EDUARDO LOPEZ SANCHEZ
24
Por ejemplo, para resolver la ecuación diferencial siguiente: 2x + ycos xy` a
B C
dx + xcos xy` a
dy = 0
corremos el programa e introducimos en las ventanas las funciones , y , , respetando la sintaxis requerida en Mathematica. El resultado es el siguiente:
EJEMPLOS PROPUESTOS: Ejercicio Solución
P103. 6 2 3 0 3 P104. 2 0 1 P105. 2 3 2 2 2 2 0 2 2 P106. 0 2
P107. 0
P108. 2 0 sen P109. 3 1 8 3 0; 0, 1 3 4 1 P110. 1 1 0; 2, 1 5 3 5 P111. 2 3 2 ; 1,1
2 3 2 15
P112. 0 4 Resolver las siguientes ecuaciones utilizando Mathematica:
Ecuación diferencial M21. 2 0 M22. 2 3 3 exp 0
M23. √
2 √1 0
M24. 3 4 0 M25. 0 M26. 2 3 0
M27. 1 0
M28. 3 4 0
M29. cos cos 2 0
M30. ln 0
ECUACIONES EXACTAS
Funciones originales :
MHx,yL = 2 x + y Cos @x yDNHx,yL = x Cos @x yDLas derivadas parciales :
∂y MHx,yL = Cos @x yD − x y Sin @x yD∂x NHx,yL = Cos @x yD − x y Sin @x yDLa E.D.O. es EXACTA
SOLUCION : x2 + Sin @x yD c
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS CON MATHEMATICA ING. EDUARDO LOPEZ SANCHEZ
25
8. LA ECUACION DIFERENCIAL LINEAL DE PRIMER ORDEN Una ecuación que es lineal y de primer orden en la variable dependiente puede ser de la forma: (1) dxxcydxxBdyxA )()()( =+ A continuación tenemos:
dxxQydxxPdydyyxNdxyxM)()(
0),(),(++
=+lineal con respecto de y
0),(
),(),(
),(),(
),(=++
yxNdxyxB
yxNdxyxA
yxNdyyxN
QPydxdy
dxxQydxxPdy
=+
=+ )()( Si Q=0, entonces 0=+′ Pyy es homogénea.
Supongamos que existe una función )(xu que transforma la ecuación anterior en una ecuación exacta;
)(xu recibe el nombre de factor integrante. dxxuxQydxxuxPdyxu )()()()()( =+ o QudxPuydxudy =+ o 0)( =+− udydxQuPuy
entonces uN
QuPuyM=
−=
como es exacta, entonces xN
yM
∂∂
=∂∂
, es decir: PuQuPuyxy
M=−
∂∂
=∂∂ )(
xu
xN
∂∂
=∂∂
entonces:
∫
∫∫∂=
∂=
∂∂
=
xPu
xPudu
xuPu
ln
por lo que hallamos [ ]∫ ∂= xPu exp como el factor integrante
aplicando el factor integrante a la ecuación anterior: ( ) ( ) ( )QdxxPPydxxPdyxP ∫∫∫ ∂=∂+∂ expexpexp
[ ( ) ] ( )QdxxPxPyd ∫∫∫∫ ∂=∂ expexp
( ) ( ) cQdxxPxPy +∂=∂ ∫∫∫ expexp
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS CON MATHEMATICA ING. EDUARDO LOPEZ SANCHEZ
26
R15. EJEMPLO: yxy 2−=′ Tenemos: xdxydxdy =+ 2 donde P=2 y Q=x, y si
( )∫= dxu 2exp , entonces )2exp( xu =
Ahora aplicamos el factor integrante a la ecuación original: xdxedxyedye xxx 222 2 =+ ahora verificaremos si es una ecuación exacta:
x
xx
eNeyeM
2
222=
−=
x
x
exN
ey
M
2
2
2
2
=∂∂
=∂∂
por lo tanto, sí es exacta.
Ahora aplicaremos los recursos de integración, y tenemos: ∫ ∫= xdxeyed xx 22 )(
eliminando operadores de la integral con la derivada en el miembro izquierdo e integración por partes en el miembro derecho, tenemos: xcexy 2124 −+−= EJEMPLOS PROPUESTOS:
Ejercicio Solución P113. 3 0 2 P112. 1 4 0 20 4 1 1 P114. 1 3 3 P115. 1 3 3
P116. 4 4 1 2P117. P118. P119. , donde y son constantes
P120. 2 1 1 P121. 1 1
P122. 2 3 2 3 ; cuando 1, 0
2 2 3 ln 2 3
P123. 2 ; cuando 1, 1 2 1 2exp 1
P124. , donde , son constantes; cuando 0, 0
1 exp
P125. Con , entonces
P126. Encontrar la solución de 2 2 que pasa por el punto 0, 1
2 1
P127. Encuéntrese la solución de 2 2 que pasa por el punto 0,1
2 1 2
P128. 1 2 3 1 0; cuando 0, 2
1 3 exp
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS CON MATHEMATICA ING. EDUARDO LOPEZ SANCHEZ
27
El programa para resolver las ecuaciones lineales de primer orden en Mathematica es el siguiente:
Al correrse el programa deberán introducirse las funciones y en las ventanas respectivas, y se mostrarán las funciones y , el factor integrante y la solución de la ecuación diferencial. Por ejemplo, para resolver la siguiente ecuación diferencial lineal: , donde , , son constantes con 0, 1, deberán darse las funciones y , para obtener la siguiente solución:
M31. Ejercicio propuesto: Resuélvase en Mathematica la ecuación diferencial lineal anterior para los casos n 0 y n 1. Verificar con las soluciones: Si 0, , y si 1,
.
Print@"Solución de la Ecuación Lineal de Primer Orden"DPrint@"dy + PHxL y dx = QHxL dx"DPrint@"Funciones PHxL y QHxL originales:"DP@x_D = Input@"Introduzca la función PHxL:"D;Q@x_D = Input@"Introduzca la función QHxL:"D;Print@"PHxL = ", P@xDDPrint@"QHxL = ", Q@xDDPrint@"Factor integrante:"Du@x_D = ExpA‡ P@xD xE;
Print@"uHxL = ", u@xDDeclineal = u@xD y == ‡ Q@xD u@xD x + c;
sol = Solve@eclineal, yD;Print@"Solución de la ecuación lineal: ", y == sol@@1, 1, 2DDD
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28
9. FACTORES INTEGRANTES OBTENIDOS POR INSPECCION Las ecuaciones que nos interesan ahora son suficientemente simples, tales que permiten encontrar el factor integrante por inspección. La habilidad para hacer esto depende grandemente del reconocimiento de ciertas diferenciales exactas comunes, y de la experiencia. Hay cuatro diferenciales exactas que aparecen frecuentemente: 1) ydyxdyxyd +=)(
2) 2yxdyydx
yxd −
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
3) 2xydxxdy
xyd −
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
4) ( ) 22arctanyxydxxdy
xyd
+−
=
EJEMPLO: Resolver la ecuación: 0)( 23 =++ dyyxxydy Agrupando los términos del mismo grado, y escribiendo la ecuación en la forma 0)( 23 =++ dyyxxdyydx ahora la combinación )( xdyydx + atrae nuestra atención, así reescribimos la ecuación obteniendo:
0)( 23 =+ dyyxxyd ya que la diferencial de xy está presente en la ecuación anterior, cualquier factor que sea una función del producto xy no perturbará la integrabilidad de ese término. Sin embargo, el otro termino contiene la
diferencial dy , de aquí, deberá contener una función de y solamente. Por tanto, dividimos entre 3)(xy y escribimos
0)(
)(3 =+
ydy
xyxyd
Por lo que ya es una ecuación integrable, y su solución es:
cyyx
lnln2
122 −=+
− 0)ln(2 22 =cyyx
EJEMPLOS PROPUESTOS:
Ejercicio Solución P130. 2 1 0 1 P131. 1 1 0 1 P132. 1 2 0 P133. 0 2ln
P134. 2 3 1 P135. 2 0
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29
10. DETERMINACION DE FACTORES INTEGRANTES A continuación determinaremos un factor integrante para la ecuación: (1) 0=+ NdyMdx Supóngase que u sea, posiblemente una función tanto de x como de y , y que sea un factor integrante de (1). Entonces la ecuación: (2) 0=+ uNdyuMdx deberá ser exacta. Por lo tanto, tenemos
)()( uNx
uMy ∂
∂=
∂∂
Aquí, u debe satisfacer la ecuación diferencial parcial
xuN
xNu
yuM
yMu
∂∂
+∂∂
=∂∂
+∂∂
,
o
(3) yuM
xuN
xN
yMu
∂∂
−∂∂
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
,
Además, tomando el argumento anterior a la inversa, puede verse que si u satisface la ecuación (3), entonces u es un factor integrante de la ecuación (1). Hemos “reducido” el problema de resolver la ecuación diferencial ordinaria (1) al problema de obtener una solución particular de la ecuación diferencial parcial (3). No se ha ganado mucho ya que aún no hemos desarrollado métodos para atacar una ecuación como la (3). Por tanto, volveremos al problema de resolver ecuaciones diferenciales ordinarias y restringimos a u a que sea función de una sola variable.
Primero, sea u una función de x solamente. Entonces 0=∂∂
xu
y yu∂∂
se transforma en xu∂∂
. De
aquí (3) se reduce a
dxduN
xN
yMu =⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
−∂∂
,
o
(4) ududx
xN
yM
N=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
−∂∂1
Si el miembro izquierdo de la ecuación anterior es una función de x solamente, entonces podemos determinar u de inmediato. En efecto, si
(5) )(1 xfxN
yM
N=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
−∂∂
entonces el factor integrante deseado es ( )∫= dxxfu )(exp .
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS CON MATHEMATICA ING. EDUARDO LOPEZ SANCHEZ
30
Por un argumento similar, suponiendo que u es una función de y , solo llegamos a la conclusión de que si
(6) )(1 ygxN
yM
M=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
−∂∂
,
entonces un factor integrante para la ecuación (1) es ( )∫−= dyygu )(exp .
Nuestros resultados están expresados en las siguientes reglas:
Si )(1 xfxN
yM
N=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
−∂∂
,
es una función de x solamente, entonces ( )∫ dxxf )(exp es un factor integrante para la ecuación
(1) 0=+ NdyMdx
Si )(1 ygxN
yM
M=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
−∂∂
,
Es una función de y solamente, entonces ( )∫− dyyg )(exp , es un factor integrante para la ecuación
(1). R16. EJEMPLO: resolver la ecuación 0)2()34( 2 =++−+ dyyxxdxxyxy Tenemos que xyxyM −+= 234 y que )2( yxxN += , así que
yxyxyxxN
yM 42)22(64 +=+−+=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
−∂∂
en consecuencia
xyxx
yxxN
yM
N2
)2(421
=++
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
−∂∂
con lo que el factor integrante obtenido para la ecuación anterior es:
2)ln2exp(2exp xxx
dx==⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ∫
y aplicando el factor integrante a la ecuación original tenemos: 0)2()34( 243223 =++−+ dyyxxdxxyxyx ahora sabemos que es una ecuación exacta, y la expresamos como: 0)23()4( 332243 =−+++ dxxydyxdyyxdyxydxx
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31
de la cual la solución
cxyxyx
cxyxyx=−+
=−+
)44( 23
414
41234
se obtiene de inmediato. Ejemplos propuestos:
Ejercicio Solución P136. P137. 2 1 3 4 3 0 1 P138. 4 2 0 2 2 P139. 3 1 0 4 2 P140. 3 3 6 0 3 P141. 8 9 2 3 0 2 3 P142. 2 1 0 2 P143. 2 0
P144. 2 1 0
P145. 2 0 El programa en Mathematica para resolver las ecuaciones diferenciales mediante el factor integrante requiere que se introduzcan, primeramente, las funciones , y , , de las cuales se presentan dos posibles factores integrantes, uno dependiendo de sólo una variable para que se introduzca el factor integrante correcto el cual conduce a la solución de la ecuación diferencial.
Clear@M, T, f, g, u, v, F, K, DifD;M@x_, y_D = Input@"Introduzca funcion M"D;T@x_, y_D = Input@"Introduzca funcion N"D;Print@"Funciones originales M y N:"DM@x, yDT@x, yDPrint@"Derivadas parciales My y Nx:"D∂y M@x, yD∂x T@x, yDDif = ∂y M@x, yD − ∂x T@x, yD;
f =1
T@x, yD Dif;
g =1
M@x, yD Dif;
Print@"Factores integrantes a seleccionar:"Du = Ÿ f x
v = Ÿ −g y
uov = Input@"Introduzca la funcion u o v"D;
F = ‡ uov M@x, yD x + K@yD;
P = Solve@∂y F − uov T@x, yD 0, K '@yDD;expresion = P@@1, 1, 2DD;Print@"La solución es:"DSolucion = ‡ expresion y + F − K@yD C;
Simplify@SolucionD
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32
Por ejemplo, la ecuación diferencial siguiente: 2 0 al correrse en el programa anterior presenta la siguiente salida:
Ejemplos propuestos: Usando Mathematica, resolver las siguientes ecuaciones diferenciales mediante el uso de factores integrantes:
Ecuación diferencial M32. M33. 3 3 5 0 M34. 2 1 0
M35 3 3 0
M36.0
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33
11. ECUACION DE BERNOULLI A continuación trabajaremos con la ecuación de Bernoulli: (1) nyxQyxPy )()(` =+ Si n=1 en (1), las variables son separables, así que nos concentramos en el caso n≠1. la ecuación puede ponerse en la forma: QdxdxPydyy nn =+ +−− 1 pero la diferencial de y-n+1 es (1 – n) y –n dy, de tal manera que la ecuación (2) se puede simplificar haciendo zy n =+− 1 de la cual dzdyyn n =− −)1( De este modo la ecuación en x y z es: QdxnPzdxndz )1()1( −=−+ Una ecuación lineal en la forma estándar. De aquí que cualquier ecuación de Bernoulli puede resolverse con la ayuda del cambio anterior de la variable dependiente (a menos que n =1, en la que la sustitución no es necesaria). R17. EJEMPLO: Resolver la ecuación 02)16( 2 =+−− xdydxxyy Primero agrupamos términos de acuerdo a las potencias de y, escribiendo: 06)1(2 3 =++− dxydxxyxdy Ahora puede verse que la ecuación es una ecuación de Bernoulli, ya que involucra solo términos que contienen, respectivamente a dy, y, y yn ( aquí n = 3). Por tanto, dividimos la ecuación entre y3 , obteniendo dxdxxydyxy 6)1(2 23 −=+− −− Esta ecuación es lineal en y-2, así que hacemos y-2 = v, obteniendo dv = -2y-3 dy, y necesitamos ahora resolver la ecuación xdxxvxdv 6)1( −=++ o (4) .6)1( 11 dxxdxxvdv −− =++
Como xxexx =+ )lnexp( es un factor integrante para (4), la ecuación
dxedxxvedvxe xxx 6)1( =++ es exacta. Su solución cexve xx += 6 , junto con 2−= yv nos lleva al resultado final xcey x =+ − )6(2
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34
El programa en Mathematica para resolver las ecuaciones de Bernoulli es el siguiente:
Ejercicios propuestos: Resolver las siguientes ecuaciones analíticamente y mediante Mathematica; verificar sus soluciones:
Ejercicio Solución P146. P147. 2 3 P148. 3 5 2 0 P149. 1 6 exp 3 P150. , donde 1 1 1 1 P151. 2 3 1; 0, 0 4 arctan 3 8 P152. 2 2 . Encuéntrese la solución que pasa por el punto 1,2
5
Print@"Forma General de la Ecuación de Bernoulli:"DPrint@"dy + P@xD y dx == Q@xD yn dx"DP@x_D = Input@"Introduzca P@xD:"D;Q@x_D = Input@"Introduzca Q@xD:"D;n = Input@"Introduzca n:"D;Print@"Ecuación de Bernoulli a resolver:"Ddy + P@xD y dx Q@xD yn dxPrint@"Cambio de variable:"Dz y ^H1 − nLPrint@"Ecuación modificada"Ddz + H1 − nL P@xD z dx H1 − nL Q@xD dxPrint@"Factor integrante:"Du@x_D = ExpAH1 − nL ‡ P@xD xE
Print@"Solución de la ecuación de Bernoulli:"DSimplifyAy ^H1 − nL u@xD H1 − nL ‡ u@xD Q@xD x + CE
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35
12. TRAYECTORIAS ORTOGONALES Supongamos que tenemos una familia de curvas , , donde cada corresponde a una curva dentro de algún rango de valores del parámetro . Hay veces que se desea conocer cuales son las curvas que tiene la propiedad de que cualquiera de ellas al intersecar a alguna de las curvas de la familia anterior lo hace en un ángulo recto. Esto es, deseamos determinar una familia de curvas , , tal que, en cualquier intersección de ambas familias, las tangentes a las curvas sean perpendiculares, por lo que las familias son trayectorias ortogonales una con respecto a la otra. Si dos curvas son ortogonales, en cada punto de intersección las pendientes de las curvas deben ser recíprocas y de signo contrario. Este hecho nos lleva a un método para encontrar trayectorias ortogonales de una familia dada de curvas. En primer lugar encontramos la ecuación diferencial de la familia dada. Después, reemplazando
por en esa ecuación, se obtiene la ecuación diferencial de las trayectorias ortogonales a las curvas dadas, y sólo resta resolver la ecuación diferencial. Hasta ahora hemos resuelto ecuaciones diferenciales de una sola forma, 0, para tal ecuación, , entonces, la ecuación diferencial de las trayectorias ortogonales es , es decir
0. R17. EJEMPLO RESUELTO: Hallar la familia de curvas ortogonal a la familia . Derivando implícitamente, obtenemos 2 3 ; despejando de la ecuación de la familia, sustituyendo en la ecuación diferencial encontrada y simplificando, obtenemos la ecuación diferencial de dicha familia sin la constante arbitraria , 2 3 ; despejando , obtenemos: , por lo tanto, la
ecuación diferencial de la familia ortogonal es: ; resolviendo esta ecuación diferencial por el método de separación de variables obtenemos la familia de curvas ortogonal: 3 2
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36
Ejercicios propuestos: En cada ejercicio, encuéntrense las trayectorias ortogonales de la familia de curvas dada. Dibujar unas cuantas curvas representativas de cada familia usando Graphmatica.
Ejercicio Solución P153. 4x y c− = 4x y k+ =
P154. 2 2 2x y c+ = y kx=
P155. 2 3y cx= 2 2 22 3x y k+ =
P156. x ye e c−+ = y xe e k−− =
P157. 3 3( )x y c= − ( ) 1x y k− =
P158. 2exp( )x c y= 2exp( )y k x= −
P159. Elipses con centro en (0,0) y dos vértices en (1,0) y ( 1,0)−
2 2 2 ln( )x y kx+ =
P160. 2 2x y cx− = 2 2( 3 )y y x k+ =
P161. Las cisoides 3
2 xya x
=−
2 2 2 2 2( ) (2 )x y b x y+ = +
P162. mxy ce−= con m fijo 2 2( )my x k= −
P163. Circunferencias que pasan por el origen con centro sobre el eje X
Circunferencias que pasan por el origen con centro sobre el eje Y
P164. Rectas con la pendiente y la intercepción con el eje Y iguales.
2 2 2( 1)x y k+ + =
P165. Las trisectrices de Maclaurin, 2 2( ) (3 )a x y x a x+ = −
2 2 5 3 2 2( ) (5 )x y ky x y+ = +
El programa en Mathematica que grafica las dos familias introduciendo cada una de ellas desde el teclado, es el siguiente:
<< Graphics`ImplicitPlot`<< Graphics`Graphics`familia =
Input@"Introduce la ecuacion de la familia decurvas con la constante arbitraria c"D
Tablafamilia := Table@familia ê. c → a, 8a, 0, 5<Dortogonal =
Input@"Introduce la ecuacion de la familiaortogonal con la constante arbitraria k"D
Tablaortogonal := Table @ortogonal ê. k → b, 8b, 0, 5<DDisplayTogether@ImplicitPlot@Tablafamilia, 8x, −5, 5<D,
ImplicitPlot@Tablaortogonal, 8x, −5, 5<DD
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37
Por ejemplo, para el problema no. 6, la salida del programa sería lo siguiente:
La salida del problema no. 13 sería lo siguiente:
x c y2
y −x2k
-4 -2 2 4
-1
-0.5
0.5
1
1.5
2
Out[3]= Hc + xL y2 H3 c − xL x2
Out[5]= Hx2 + y2L5 k y3 H5 x2 + y2L
-4 -2 2 4
-3
-2
-1
1
2
3
4
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38
13. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR La forma general de la ecuación diferencial lineal de orden n es:
( )( , , ', ",..., ) ( )nf x y y y y Q x= )()()(...)()( 1
)1(10 xQyxayxayxayxa nn
nn =+′+++ −−
ó
∑=
− =n
k
knk xQyxa
0
)( )()(
Si D representa un operador diferencial, es decir:
dxdD = )()( xQyDf =
Si )(xax contiene solo constantes, es decir, kx axa =)( se dice que la ecuación diferencial es de “coeficientes constantes”, de lo contrario se dice que es de “coeficientes variables”. Si )(xQ existe y es 0≠ , se dice que la ecuación diferencial es no homogénea y si 0)( =xQ entonces es homogénea. La forma de la solución general de la ecuación diferencial de orden n es:
pc yyy += donde cy es la solución complementaria de la ecuación diferencial homogénea de la forma:
nnc ycycycy +++= ...2211
donde ic son las constantes arbitrarias y iy son funciones de x.
La solución particular py solo existe para la ecuación diferencial no homogénea. Si )()...(),( 21 xfxfxf n son diferentes entre sí, y si 0)(...)()( 2211 =+++ xfcxfcxfc nn
Entonces nfff ..., 21 son linealmente dependientes. Como la solución de una ecuación diferencial lineal de orden n es:
nn ycycycy +++= ...2211 Entonces, para aceptarla como una solución de la ecuación diferencial, nyyy ,...,, 21 deben ser linealmente independientes. El Wronskyano de nyyy ,...,, 21 se define como el determinante de iy con ni ,...,2,1= y sus
derivadas hasta (n-1) orden, es decir, el Wronskyano, 1 2( , ,..., )nW y y y , es:
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39
1 2
1 21 2
( 1) ( 1) ( 1)1 2
...' ' ... '
( , ,..., )
...
n
nn
n n nn
y y yy y y
W y y y
y y y− − −
=
Si 0=W , entonces iy son linealmente dependientes.
Si 0≠W entonces iy son linealmente independientes. R18. EJEMPLO: demuestre si las siguientes funciones son L.I.
entonces:
==xxx
xxx
xxx
xxx
eeeeeeeee
eeeW32
32
32
32
9432),,(
xxxx
xxxxxxxxx
xx
xxx
xx
xxx
xx
xxx
eeeeeeeeeeeee
eeee
eeeee
eeeee
e
6666
3334425
2
23
3
32
32
32
2266)24()39()12518(
42
93
9432
=+−
=−+−−−
=+−=
y como 02 6 ≠= xeW , se concluye que las ecuaciones anteriores son linealmente independientes.
Ejercicio Solución P166. Obténgase el wronskiano de las funciones
2 11, , ,..., nx x x − para 1n > W = 0!1!2!… n@ 1
` a
!
P167. Demuéstrese que las funciones ex , e2x , e3x , son linealmente independientes.
W = 2e6x ≠ 0
P168. Demuéstrese que las funciones ex , cos x` a
, sin x` a
son linealmente independientes.
W = 2ex ≠ 0
P169. Demuéstrese que cos ωt@βb c
, cos ϖt` a
, sin ϖt` a
son funciones de t linealmente dependientes.
W = 0
P170. Demuéstrese que 1, sin x` a
, cos x` a
son linealmente independientes.
Verifíquese con el programa de Mathematica.
P171. Demuéstrese que 1, sin2 x` a
,cos2 x` a
son linealmente dependientes.
Verifíquese con el programa de Mathematica.
El programa en Mathematica para hallar el Wronskiano de n funciones es el siguiente:
x
x
eyeyexy
33
22
1
=
=
=
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS CON MATHEMATICA ING. EDUARDO LOPEZ SANCHEZ
40
Un ejemplo de la corrida del programa anterior para hallar W x, sin x
` a
,cos2 x` a
B C
es:
14. ECUACIONES LINEALES CON COEFICIENTES CONSTANTES Se puede representar de diferentes formas, como:
∑=
=n
k
kk ya
0
0
0)()2(
2)1(
10
0 =++++ nn yayayaya
0)(
210 =++′′+′+ nn yayayaya
02
2
210 =++++ n
n
n dxyda
dxyda
dxdyaya
f D` a
y = 0 , con f D` a
=Xi = 0
n
ai Dn@ i
Donde naaaa ,,, 210 son constantes arbitrarias.
Print@"Cálculo del Wronskyano"Dn = Input@"Introduzca el número de funciones"D;funciones = 8<;For@i = 0, i < n, i ++,8f = Input@"Introduzca funciones"D,
AppendTo@funciones, fD<Dtabladefunciones =
Table@D@funciones@@jDD, 8x, i − 1<D, 8i, 1, n<,8j, 1, n<D;
Print@"Matriz de funciones y sus derivadas"DPrint@TableForm@tabladefuncionesDDwronskyano = Det@tabladefuncionesD;Print@"El Wronskyano es: ", wronskyanoD
Cálculo del Wronskyano
Matriz de funciones y sus derivadas
x Sin@xD Cos@xD2
1 Cos@xD −2 Cos@xD Sin@xD0 −Sin@xD −2 Cos@xD2 + 2 Sin@xD2
El Wronskyano es: −2 x Cos@xD3 + Cos@xD2 Sin@xD − 2 Sin@xD3
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS CON MATHEMATICA ING. EDUARDO LOPEZ SANCHEZ
41
Si ∑=
=n
k
kk ya
00 se representa por 0)( =yDf donde )(Df es un polinomio de operadores
diferenciales tal que n
nn
dxdD
dxdD
dxdD === ,,, 2
22 , entonces 0)( =yDf se puede resolver
mediante un polinomio algebraico auxiliar o característico de la forma 0)( =mf , del cual tenemos que encontrar sus raíces. R19. Por ejemplo, la EDO y. + 2y. @15y = 0 se transforma en la siguiente ecuación diferencial con
operadores diferenciales: D2 + 2D@ 15b c
y = 0 ; la ecuación característica f m` a
= 0, cuya
solución algebraica determinará las raíces m las hallaremos si hacemos y = emx y aplicamos la
propiedad número 7 de los operadores diferenciales, es decir, Dk emx` a
=mk emx , esto es,
D2 + 2D@ 15b c
emx = 0 , o bien, D2 emx` a
+ 2D emx` a
@15emx = 0 aplicando el operador,
entonces m 2 emx + 2 m emx@ 15 emx = 0 ; factorizando emx llegamos a la ecuación característica, es decir, m2 + 2m@ 15
b c
emx = 0 , o bien f m` a
= m 2 + 2m@ 15 = 0 , cuyas raíces son m1 = 3 y
m2 =@ 5 . Por lo tanto, la solución de la ecuación diferencial ordinaria lineal es y = c1 e3x + c2 e@ 5x . Obsérvese que el Wronskiano de la funciones e3x y e@ 5x es @ 8 e@ 2x ≠ 0 , por lo que las funciones son linealmente independientes y son válidas como solución de la ecuación diferencial. Si las raíces de la ecuación característica son iguales, aplicamos la propiedad de los operadores diferenciales número 8 de la tabla No. 2. Por ejemplo:
Tabla 2. Propiedades de los operadores diferenciales.
Si A, B y C son operadores diferenciales:
1.- Ley conmutativa de la adición: A BBA +=+
2.- Ley asociativa de la adición: C) B ( A C ) B (A ++=++
3.- Ley asociativa de la multiplicación: ) BC A( )C AB ( = ;
4.- Ley distributiva de la multiplicación con respecto a la adición: AC AB C) (BA +=+ ;
Si A, B y C son operadores diferenciales con coeficientes constantes:
5.- Ley conmutativa de la multiplicación: BAAB =
6.- Si m y n son enteros positivos (m y n indican el orden de las derivadas):
nmnm DDD +=
Para la constante y el entero positivo k
7.- mxkmxk emeD =
8.- mxmxkk ekexmD !)()( =−
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS CON MATHEMATICA ING. EDUARDO LOPEZ SANCHEZ
42
15. SOLUCION DE ECUACIONES LINEALES CON COEFICIENTES CONSTANTES Entonces, si m es una raíz de 0)( =mf , significa que m también es raíz de 0)( =mxeDf , por lo
que 0)( =mxeDf es una solución de la ecuación diferencial 0)( =yDf . En el ejercicio anterior, las raíces de la ecuación característica eran: Caso 1: raices diferentes si nmmmm ≠≠≠≠ 321 son raíces de 0)( =mf y )(mf se obtiene a partir de )(Df ,
entonces la solución de la ecuación diferencial con coeficientes constantes 0)( =yDf es :
xmn
xmxm necececy +++= 2121
Caso 2: raices iguales Si nmmmm ==== 321 son soluciones de 0)( =mf y )(mf proviene de 0)( =yDf , entonces la solución de la ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes es: mxn
nmxmx excexcexcy )1(1
20
1−+++=
Caso 3: raices complejas: Si la ecuación auxiliar tiene raíces imaginarias cualesquiera, esas raíces deberán encontrarse en pares conjugados: ibam ±=2,1 , con a y b reales , 0≠b . Construyendo la solución de 0)( =yDf , correspondiendo a raíces imaginarias de 0)( =mf . Como suponemos que )(mf tiene coeficientes reales, cualesquiera raíces imaginarias aparecen en pares
conjugados ibam ±=2,1 , entonces tenemos:
)cos( 21 senbxcbxcey ax += EJEMPLO: resolver la siguiente ecuación 0)1393( 23 =++− yDDD
Cuyas raíces del polinomio auxiliar son: 0)1393( 23 =++− mmm
im
m32
1
3,2
1
±=−=
para lo cual tenemos la solución general: )33cos( 32
21 xsencxceecy xx ++= −
16. ECUACIONES LINEALES NO HOMOGENEAS CON COEFICIENTES CONSTANTES Tienen la siguiente forma: )()( xRyDf = La solución general de la ecuación anterior esta formada por dos soluciones, la solución complementaria cy y la solución particular py :
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS CON MATHEMATICA ING. EDUARDO LOPEZ SANCHEZ
43
pcg yyy += La solución complementaria cy se encuentra haciendo 0)( =xR y resolviendo 0)( =yDf . La solución particular se puede encontrar mediante los siguientes métodos:
a) coeficientes indeterminados b) variación de parámetros c) cambio de la función exponencial.
17. COEFICIENTES INDETERMINADOS 21223 xyyy =+′+′′
22 12)23( xyDD =++
i) Solución complementaria haciendo 0)( =xR
Resolver: 0)23( 2 =++ yDD
12
0)1)(2(0)23(
2
1
2
−=−=
=++=++
mm
mmmm
entonces la solución complementaria es: xxc ececy −− += 2
21
ii) Solución particular analizando 212)( xxR =
Se propone la siguiente solución particular 2CxBxAy p ++=
CxBy p 2' += y Cy p 2'' = Formando la identidad; 22 12)23( xyDD p =++ , es decir:
22
22
122)26()232(12)(2)2(32
xCxxBCABCxCxBxACxBC
=+++++
≡+++++
Formando el sistema de ecuaciones lineales, tenemos que:
122026
0232
==+
=++
CBC
ABC por lo que
618
21
=−=
=
CBA
por lo tanto la solución particular es: 261821 xxy p +−= Ahora tenemos la solución general: 2
22
1 61821 xxececy xxg +−++= −−
Formas propuestas de )(xR para la solución particular.
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS CON MATHEMATICA ING. EDUARDO LOPEZ SANCHEZ
44
FUNCION FORMA DE )(xR SOL. PARTICULAR
Polinomial nn xaxaxaa ++++ 2
210n
p ZxCxBxAy ++++= 2
Exponencial mxke mx
pmx
pmx
p eAxyAxeyAey 2,, ===
Trigonometrica senmxkmxk 21 ,cos )cos( BsenmxmxAy p +=
Combinadas )cos(
310
nxke
kexaamx
mx++
))()cos((
32
nxCsennxBAey
FeExCxBxAymx
p
mxp
+=
++++=
Soluciones particulares tentativas
)(xg Forma de py
1(una constante) A75 +x BAx +
23 2 −x CBxAx ++2
13 +− xx ECxBxAx +++ 23 xsen4 xBsenxA 44cos +
x4cos xBsenxA 44cos + xe5 xAe5
xex 5)29( − xeBAx 5)( + xex 52 xeCBxAx 52 )( ++
xsene x 43 xsenBexAe xx 44cos 33 +
xsenx 45 2 xsenGFxExxCBxAx 4)(4cos)( 22 +++++
xxe x 4cos3 xsenxeECxxxeBAx xx 4)(4cos)( 33 +++ 18. VARIACION DE PARAMETROS
Como el método de coeficientes indeterminados solo se aplica para cierto tipo de funciones R(x) , es
necesario otro método que permita encontrar py para cualquier forma de R(x) .
El método de variación de parámetros consiste en determinar las funciones que se proponen a partir de
la forma de pycambiando las constantes arbitrarias Ci por funciones. Ui(x), para i = 1.2....n donde
(x)Ui serán obtenidas resolviendo un sistema de ecuaciones de las derivadas de (x)Ui .
Sea )()( xRyDf = ; primero encontraremos nyyy n2211c ccc y +++= entonces
nyxyxyx )(U)(U)( U y n2211P +++= lo obtendremos de:
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45
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−− )1()1(2
)1(1
21
21
´´´
nn
nn
n
n
yyy
yyyyyy
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
)(´
)(´)(´
2
1
xU
xUxU
n = ⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
)(
00
xR De Donde:
[ ]⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
= −
)(
00
)´( 1
xR
WxU i
ó
[ ] dx
xR
WxU i
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
= ∫ −
)(
00
)( 1
EJEMPLO:
Hallar la solución general de la siguiente ecuación: xyy 2sec=+′′
Para la que tenemos la siguiente solución complementaria: senxcxcyc 21 cos +=
La solución particular está dada por: senxxUxxUy p )(cos)( 21 +=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡− xxU
xUxsenx
senxx2
2
1
sec0
)´()´(
coscos
1cos
coscos
22 =+=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
= xsenxxsenx
senxxW
xxxxsen
xxsenx
xU sectanseccossec
0)´( 2
21 −==⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
xxx
xsenxx
xU secseccossec
0cos)´( 2
22 ==⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
=
xxU
xxxU
xxxU
sec)(
sectan)(
sectan)´(
1
1
1
−=
−=
−=
∫ )tanln(sec)(
sec)(
sec)´(
2
2
2
xxxU
xxU
xxU
+=
=
=
∫
Por lo que llegamos a: senxxxy
senxxxxxy
p
p
)tanln(sec1)tanln(seccossec
++−=
++−=
Y concluimos que 1))tanln(sec(cos 21 −+++= xxcxsenxcy g
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS CON MATHEMATICA ING. EDUARDO LOPEZ SANCHEZ
46
19. ECUACIÓN DE CAUCHY-EULER Es una ecuación diferencial lineal de orden “n” con coeficientes no constantes que siempre cumple con la siguiente forma:
)(01)1(1
1 xRyayxayxayxa nnn
nnn =+′+++ −−
− En donde se observa que la principal característica es que el grado de x coincide con el orden y.
)1()(
0xRyxa
n
i
iii =∑
=
Donde ia son los coeficientes También es llamada ecuación equidimensional
Si 0)( =xR en la ecuación (1), entonces la ecuación es homogénea, si no, es no homogénea. La
solución d (1) se encuentra hallando las raíces de la ecuación auxiliar o característica 0)( =mf
haciendo la sustitución mxy = .
EJEMPLO: resolver )(012
2 xRyayxayxa =+′+′′
Haciendo 21 )1(, −− −=′′=′= mmm xmmyymxyentocesxy
Entonces, sustituyendo, tenemos:
[ ] [ ][ ] [ ]
[ ] )()(
)()(
)()1(
012
2
01
1222
2
01
122
2
xRamammax
xRxamxxaxmmxa
xRxamxxaxmmxa
m
mmm
mmm
=++−
=++−
=++−−−
−−
La ecuación auxiliar de 0)( =mf es 0)( 012
2 =++− amamma
Dependiendo de las raíces )( im se obtiene la solución de (1) considerando que pcg yyy += en el
caso de que )(xR exista, y cg yy = si 0)( =xR
También aquí se presentan diferentes soluciones:
Caso 1: si son raíces iguales; nmmm ≠≠≠ 21
La solución se expresa como: nm
nmm xcxcxcy +++= 21
21
Caso 2: si son raíces diferentes; nmmm === 21
La solución se expresa como: 12
321 )(ln)(lnln −++++= nmn
mmm xxcxxcxxcxcy n
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS CON MATHEMATICA ING. EDUARDO LOPEZ SANCHEZ
47
Caso 3: si l son raíces complejas; im βα ±=
La solución se expresa como: [ ])ln()ln(cos 21 xsencxcxy ββα +=
EJEMPLO: hallar la solución general de la siguiente ecuación: 063 =−′′′ yyx
Proponiendo 3
2
1
)2)(1()1(
−
−
−
−−=′′
−=′′
=′
=
m
m
m
m
xmmmyxmmy
mxyxy
Y haciendo la sustitución correspondiente, tenemos:
[ ][ ] 06)2)(1(
06)2)(1( 33
=−−−
=−−− −
mm
mm
xmmmxxxmmmx
Por lo que tenemos la siguiente ecuación auxiliar: 623 23 −+− mmm y factorizando el polinomio tenemos las siguientes raíces:
im
m
2
3
3,2
1
±=
=
Con lo que llegamos a la solución general:
23
22
31
323
1
lnlncos
ln2ln2cos
xsencxcxcy
xsencxcxcy
++=
++=
20. ECUACIÓN DE CAUCHY-EULER NO HOMOGÉNEA. VARIACIÓN DE PARÁMETROS
)(01)1(1
1 xRyayxayxayxa nnn
nnn =+′+++ −−
−
1.- Hallar la solución complementaria haciendo 0)( =xR con 0
0
)( =∑=
n
i
iii yxa
y resolvemos
haciendo …,)1(,, 21 −− −=′′=′= mmm xmmymxyxy por lo que
nycyy n2211c cc y +++=
2.- Hallar la solución particular, dividiendo entre n
n xa
nn
nn
nn
nn
n
nnn
xaxR
yxa
ay
xaxa
yxaxa
y)(01)1(
11)( =+′+++ −
−−
De la solución complementaria proponemos la solución particular
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS CON MATHEMATICA ING. EDUARDO LOPEZ SANCHEZ
48
nnp
nnp
yUyUyUyóxyxUxyxUxyxUy
+++=
+++=
2211
2211 )()()()()()(
Y hallamos iU mediante el sistema:
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−− )1()1(2
)1(1
21
21
´´´
nn
nn
n
n
yyy
yyyyyy
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
´
´´
2
1
nU
UU
= ⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
nn xa
xR )(
00
Por lo que
dx
xaxR
yyy
yyyyyy
U
nn
nn
nn
n
n
i
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
−
−−−
∫)(
00
´´´
1
)1()1(2
)1(1
21
21
EJEMPLO: resolver la siguiente ecuación: 22 810 xyxyyx =++′′
Proponiendo
2
1
)1( −
−
−=′′
=′
=
m
m
m
xmmymxyxy
tenemos:
[ ]0)89(
0810)1(2
122
=++
=++− −−
mmxxxmxxmmx
m
mmm
Y las raíces del polinomio auxiliar son: 18 21 −=−= mym , por lo que la solución complementaria queda como:
12
81
−− += xcxcyc
Ahora dividimos a 22 810 xyxyyx =++′′ entre
2x para hallar el valor de )(xR .
A continuación proponemos la solución particular: 1
28
1−− += xUxUy p de donde
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−− −−
−−
10
´´
8 2
129
18
UU
xxxx
Y tenemos que 107 −= xW
7010
102
1
1
xdx
Wx
x
U−
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−= ∫
−
−
21180
38
8
2
xdx
Wx
x
U =⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−= ∫
−
−
Por lo que la solución particular 1
28
1−− += xUxUy p queda como:
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS CON MATHEMATICA ING. EDUARDO LOPEZ SANCHEZ
49
302170
21
38
10 xx
xx
xy p =⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛+⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛−= −−
Y adicionándola a la solución complementaria, la solución general queda de la siguiente forma:
30
21
28
1
xxcxcyg ++= −−
21. SOLUCIÓN DE ECUACIONES NO HOMOGÉNEAS CON COEFICIENTES CONSTANTES MEDIANTE CAMBIO DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL Supóngase que necesitamos derivar varias veces la siguiente expresión:
[ ])(xVeD ax−
Donde V(x) es una función derivable
[ ][ ][ ]
[ ])()()()(
)()()(
xVaDexaVxVDe
eDxVxVDe
ax
ax
axax
−=
−=
+=
−
−
−−
por lo que
[ ] [ ][ ] [ ]
[ ] [ ])()()(
)()()()()()(
22
xVaDexVeD
xVaDexVeDxVaDexVeD
naxaxn
axax
axax
−=
−=
−=
−−
−−
−−
Si )(Df es un polinomio en D con coeficientes constantes, entonces;
[ ] [ ])()()()( xVaDfexVeDf axax −= −−
Si hacemos [ ])(xVey ax−= , entonces
[ ]yeaDfeyDf axax −− −= )()(
[ ]yeaDfyDfe axax −−= )()(
EJEMPLO: resolver la siguiente ecuación xeyyy x 4cos482 −=+′+′′
Teniendo como solución complementaria a xx
c xececy −− += 21 Para la solución particular tenemos
xyeDxyeDxyeDxyeDDxeyDD
xxx
xx
4cos484cos48)11(4cos48)1(4cos48)12(4cos48)12(
222
22
=⇒=+−⇒=+
=++⇒=++ −
Ahora aplicamos una integral doble para anular a la segunda derivada, en este caso en particular;
∫∫∫∫ ∫∫
=
=
xseneyD
xeyDx
p
xp
412
4cos482
2
xeyxey x
px
p 4cos34cos3 −−=⇒−=
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS CON MATHEMATICA ING. EDUARDO LOPEZ SANCHEZ
50
Con lo que llegamos a la solución general:
)4cos3(
4cos3
21
21
xxccey
xexececy
xg
xxxg
−+=
−+=
−
−−−
A continuación tenemos uno de los muchos casos donde los operadores de derivadas no de anulan directamente con las integrales:
222 8)4(84 xeyDxeyy =−⇒=−′′
Cuya solución complementaria, dadas las raíces 22,1 ±=m
es: xx
c ececy 22
21
−+=
Proponemos una solución particular como sigue: 22 8)4( xeyD =−
[ ]
xyeDDxyDDexyDDe
xyDexyDe
x
xx
xx
8)4(8)4(8)444(
84)2(8)4(
2
2222
2222
=+
=+⇒=−++
=−+⇒=−
−
−−
−−
Hallando las derivadas necesarias
0)(
)(22
2
2
=
=
+=
−
−
−
xp
xp
xp
eyD
AeyD
BAxey
Con lo que tenemos que: xAeyDD x
p 8)(40)4( 22 =+=+ −
Si 4A=8, A=2 y B=0, hallamos el valor de la solución particular: x
p xey 22= y formando la solución general tenemos:
xxxg xeececy 22
22
1 2++= −
22. DEFINICION DE TRANSFORMADA DE LAPLACE Sea )(tF una función cualquiera tal que las integraciones encontradas pueden ser legítimamente
efectuadas en )(tF . La transformada de Laplace de )(tF se simboliza por { })(tFL y se define por:
{ } ∫∞ −=
0)()( dttFetFL st
En la que f es una función definida para 0≥t Transformadas de algunas funciones básicas:
(a) { }s
L 11 =
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51
(b) { } ...3,2,1,!1 == + n
sntL n
n (c) { }as
eL at
−=
1
(d) { } 22 kskktsenL+
= (e) { } 22cosks
sktL+
=
(f) { } 22 kskktsenhL−
= (g) { } 22cosks
skthL−
=
23. TRANSFORMADA INVERSA Y TRANSFORMADA DE DERIVADAS Transformada inversa: supóngase que la función )(tF determina de una ecuación diferencial con condiciones en la frontera. El operador de Laplace L se emplea para transformar el problema original en un nuevo problema para el cual la transformada se encuentra.. si la transformada de Laplace es efectiva, el nuevo problema deberá ser mas simple que el problema original. Primero encontramos )(sf , luego debemos obtener )(tF de )(sf . Por tanto, es deseable desarrollar métodos para encontrar la función objeto )(tF cuando la transformada se conoce. Si
(1) { } )()( sftFL = , decimos que )(tF es una transformada inversa le Laplace , o una transformada inversa de )(sf y escribimos (2) { })()( 1 sfLtF −= . Ya que (1) significa que
(3) )()(0
sfdttFe st =∫∞ −
Algunas transformadas inversas:
(a) { }s
L 11 1−=
(b) ...3,2,1,!1
1 =⎭⎬⎫
⎩⎨⎧= +
− nsnLt n
n (c) ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
−= −
asLeat 11
(d) ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
+= −
221
kskLktsen (e)
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
+= −
221cos
kssLkt
(f) ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
−= −
221
kskLktsenh (g)
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
−= −
221cos
kssLkth
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS CON MATHEMATICA ING. EDUARDO LOPEZ SANCHEZ
52
24. LA TRANSFORMADA DE FUNCIONES ELEMENTALES Se obtendrá la transformada de ciertas funciones exponenciales, trigonometricas y de polinomios, ya que aparecerán frecuentemente en este tema. EJEMPLO: encontrar la transformada de Laplace de )(tH donde:
4,5)(,40,)(
>=<<=
ttHtttH
nótese que el hecho de que )(tH no esté definida en 40 == tyt no tiene conexión, ya sea con la
existencia, o con el valor de { })(tHL , así, tenemos:
{ }
∫∫∫
∞ −−
∞ −
+=
=
4
4
0
0
5
)()(
dtedtte
dttHetHL
stst
st
Empleando la integración por partes en la integral anterior, llegamos al resultado para 0>s en:
{ }∞
−−−⎥⎦⎤
⎢⎣⎡−+⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ −−=
4
4
02
5)( ststst es
este
sttHL
De este modo
{ }
2
4848
2
4822
4848
1
50104)(
se
se
s
esss
es
etHL
−−
−−−
−+=
+−++−−=
25. TRANSFORMADA DE UNA DERIVADA Si )1(,,, −′ nfff … son continuas en [ )∞,0 , son de orden exponencial y si )()( tf n es continua por
tramos en [ )∞,0 , entonces { } )0()0()0()()( )1()2()1()( −−− −−′−−= nnnnn ffsfssFstfL
donde { })()( tfLsF = Solución de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales en el resultado general del teorema anterior se ve que { }nn dtydL / solo depende de { })()( tyLsY = y de las n-1 derivadas de )(ty evaluadas en
0=t . Esta propiedad hace que la transformada de Laplace sea ideal para resolver problemas de valor inicial en los que la ecuación diferencial tenga coeficientes constantes. Tal ecuación diferencial no es mas que una combinación de términos )(,,,, nyyyy …′′′ :
1)1(
10
01
1
1
)0(,,)0(,)0(
),(
−−
−
−
−
==′=
=+++
nn
n
n
nn
n
n
yyyyyy
tgyadt
ydadt
yda
…
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS CON MATHEMATICA ING. EDUARDO LOPEZ SANCHEZ
53
donde las niai ,,1,0, …= y 110 ,,, −nyyy … son constantes. Según la propiedad de la linealidad, la transformada de Laplace de esta combinación lineal es una combinación lineal de transformada de Laplace:
{ } { })(01
1
1 tgLyLadt
ydLadt
ydLa n
n
nn
n
n =++⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
+⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
−
−
−
de acuerdo al teorema anterior, la ecuación anterior se transforma en
[ ] [ ] )()()0()0()()0()0()( 0221
111 sGsYayyssYsayyssYsa nnn
nnnn
n =+−−−+−−− −−−−
−− donde { } { } )()()()( sGtgLysYtyL == En otras palabras, la transformada de Laplace de una ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes se transforma en una ecuación algebraica en
)(sY .Si se resuelve la ecuación transformada general anterior para determinar )(sY , primero obtenemos )()()()( sGsQsYsP += y después escribiremos:
)()(
)()()(
sPsG
sPsQsY +=
donde 0
11)( asasasP n
nn
n ++= −− ,Q(s) es un polinomio en s de grado menor o igual a n-1, formado
por los diversos productos de los coeficientes niai ,,1,0, …= ; también las condiciones iniciales
preescritas 110 ,,, −nyyy … y G(s) es la transformada de Laplace de )(tg . Por ultimo, la solución
)(ty del problema original de valor inicial es { })()( 1 sYLty −= , en el que la transformación inversa se hace termino a termino. 26. DERIVADAS DE TRANSFORMADAS Por brevedad usaremos de aquí en adelante el termino “una función de clase A” para cualquier función tal que
a) sea seccionalmente continua sobre cualquier intervalo finito en el rango 0≥t , y b) sea de orden exponencial cuando ∞→t
Ahora, para funciones de clase “A”, los métodos de calculo avanzado muestran que es valido diferenciar la integral de la transformada de Laplace. Esto es, si )(tF es de clase “A”, de
(1) ∫∞ −=
0)()( dttFesf st
se sigue que
(2) ∫∞ −−=′
0)()()( dttFetsf st
La integral del miembro derecho en (2) es la transformada de la función )()( tFt− TEOREMA 1: si )(tF es una función de clase “A” se sigue de { } )()( sftFL =
que
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS CON MATHEMATICA ING. EDUARDO LOPEZ SANCHEZ
54
(3) { })()( ttFLsf −=′ Cuando )(tF es de clase “A”, )()( tFt k− también es de clase “A” para cualquier entero positivo k. TEOREMA 2: si )(tF es de clase “A”, se sigue de { } )()( sftFL = que para cualquier entero positivo n,
(4) { })()()( tFtLsfdsd n
n
n
−=
Estos teoremas son útiles en varias situaciones. Una aplicación inmediata es la de aumentar nuestra lista de transformadas con un poco de trabajo. Por ejemplo, sabemos que
(5) { } 22 kskktsenL+
=
y por tanto, por el teorema 1
{ } 222 )(2
ksksktsentL+
=−
De este modo obtenemos:
(6) 222 )(cos
2 ksskt
ktL
+=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
De la formula conocida
{ } 22cosks
sktL+
=
obtenemos diferenciando con respecto a s
(7) { } 222
22
)(cos
ksskkttL
+−
=−