Apunte teorico de Introducción al límite

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I.S.F.D. N° 29. Matemática Instrumental II e Informática AplicadaProf: Daniel Assum

Introducción al límite

Esquema del módulo (secuencias de 2 horas)

Primera clase:

Composición de funciones. Sucesiones.

Segunda clase:

Introducción al límite: problemas de Arquímedes y cálculo de la Longitud de una curva. Significado intuitivo del límite. Precauciones con algunos límites y el uso de la tecnología digital (calculadora, software de

matemática, etc.). Práctica.

Tercera clase:

Límites laterales. Acercamiento a la definición formal del límite. Definición formal del límite. Práctica.

Cuarta clase:

Propiedades del límite. Teorema de sustitución. Teorema del emparedado. Límite de funciones trigonométricas. Práctica.

Quinta clase:

Práctica

Sexta clase:

Límites tendiendo al infinito. Límite de sucesiones. Límites infinitos. Límite y su relación con las asíntotas de una función.

Séptima clase:

Continuidad en un punto. Continuidad de funciones polinómicas, racionales, etc. Continuidad en operaciones con funciones. Práctica.

Octava clase:

Teorema del límite de composición de funciones. Continuidad en un intervalo. Teorema del valor medio. Práctica.

Noción de límite

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Arquímedes: imagine polígonos regulares inscriptos en un círculo. Arquímedes determinó el área de un polígono regular con n lados, y tomando el polígono cada vez con más lados fue capaz de aproximar el área de un círculo a cualquier nivel de precisión. En otras palabras, el área del círculo es el límite de las áreas de los polígonos inscritos cuando n (el número de lados del polígono) aumenta tanto como se quiera.

¿Cómo determinamos la longitud de una curva dada?

Por ejemplo:

¿Cuál será la longitud de la curva entre los puntos C y D?

Podemos ubicar una gran cantidad de puntos sobre la curva y conectarlos con segmentos. Si sumamos las longitudes de los segmentos podremos obtener una suma que se aproxime a la longitud de la curva. Cuantos más segmentos tomemos, más nos aproximaremos a la curva. (Ver simulador en el curso on-line).

¿Qué cantidad de segmentos podemos tomar?

En algún momento ¿La longitud obtenida por la suma de segmentos, podrá ser igual a la longitud de la curva?

¿Qué le pasa a la función f(x) cuando x se acerca a alguna constante c ?

Por ejemplo:

Considerar la siguiente función: f ( x )= x3−1x−1

Obsérvese que no está definida en x=1, tiene la forma f ( x )=00

, carece de significado. Sin embargo

podemos preguntarnos qué ocurre con f(x) cuando x se acerca a uno. Para obtener esta respuesta podemos calcular algunos valores de f(x) para x cercanos a 1, mostrar estos valores en un diagrama y

realizar la gráfica y=f (x ).

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x y= x3−1x−1

1,25 3,8131,1 3,3101,01 3,0301,001

3,003

1 ?

0,999

2,997

0,99 2,9700,9 2,7100,75 2,313

Toda la información reunida parece señalar que f(x) se aproxima a 3 cuando x se aproxima a 1. En símbolos matemáticos:

limx →1

x3−1x−1

=3

Utilizando el álgebra podemos factorizar una diferencia de cubos, proporcionando más evidencia para resolver el problema.

limx →1

x3−1x−1

= limx →1

( x−1 ) (x¿¿2+x+1)x−1

=¿¿

Como x−1x−1

=1 siempre que x≠1, nos queda

limx →1

x2+x+1=3

Significado intuitivo del límite

Decir que limx →c

f ( x )=L significa que cuando x está cerca pero difiere de c, entonces f(x) está

cerca de L.

La noción de límite está asociada con el comportamiento de una función cuando x está cerca de c, pero no en c.

Algunas precauciones a tener en cuenta

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Determinar limx →0 [ x2− cos x

10000 ] Tabla de valores:

A simple vista podemos tratar de inferir que el límite de la función cuando x tiende a cero será cero. Pero en realidad esto no es así. Si observamos la gráfica de la función y=cos x cuando x tiende a cero, cos x tiende a 1, con lo que nos quedaría:

limx →0 [ x2− cos x

10000 ]=limx→0 [02− 110000 ]= −1

10000

Si observamos la gráfica de la función a simple vista puede que no nos demos cuenta, pero si nos acercamos podemos ver la diferencia.

Grafica de la función utilizando valores enteros

Gráfica de la función utilizando valores

entre 0,0005 y -0,0005.

Determinar limx →2

[ x ]

x y=x2− cos x10000

1 0,999950,5 0,249910,1 0,009900,01 0,000000005

0 ?

-0,01 0,000000005-0,1 0,00990-0,5 0,24991-1 0,99995

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Recordemos que [ x ] denota el entero más grande que es menor o igual a x.

Mediante la gráfica observamos que para todos los valores de x menores a 2, pero cercanos a 2,[ x ]=1, pero para todos los valores de x mayores a 2, pero cercanos a 2, [ x ]=2.

¿Está [ x ]cerca de un solo número L cuando x está cerca de 2?

Habrá valores de x arbitrariamente cercanos a 2, a cada uno de

sus lados, donde [ x ] difiere de L.

¿Existirá el límite en este caso? ¿Por qué?

……………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………

Límites laterales

Cuando una función da un salto (como lo hace [ x ]en cada entero), el límite no existe en los puntos de

salto. Para tales funciones introducimos el concepto de límite lateral. En símbolos x→ c+¿¿ quiere decir

que x se aproxima a c por la derecha, y x→ c−¿ ¿ quiere decir que x se aproxima a c por la izquierda.

Definición: “Límite por la derecha y límite por la izquierda”

Decir que limx→ c+¿ f ( x )=L¿

¿ significa que cuando x está cercano a c, pero por la derecha, entonces f (x)

está cercano a L. de manera análoga, decir que limx→ c−¿ f ( x )=L ¿

¿ significa que cuando x está cercano a c,

pero por la izquierda, entonces f (x)está cercano a L.

Volviendo al ejemplo anterior limx →2

[ x ] no existe, pero es correcto escribir:

limx→2−¿ [x ]=1 y lim

x →2+¿ [ x ]=2¿¿¿

¿

y

x

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Teorema

limx →c

f ( x )=L si y sólo si limx → c−¿ f ( x )=L y lim

x→ c+¿ f ( x )=L ¿¿¿

¿

Acercamiento a la definición formal del límite:

Decir que limx →c

f ( x )=L significa que f (x) puede hacerse tan cercano como se desea a L, siempre que x

sea suficientemente cercano, pero no igual, a c.

Por ejemplo

Sea f ( x )=3 x2, utilizaremos la gráfica de la función para determinar qué tan cercano debe estar x de 2

para garantizar que f ( x ) esté a no menos de 0,05 de 12.

Para que f ( x ) esté a menos de 0,05 de 12, debemos tener 11,95< f ( x )<12,05. Entonces busco los valores

de x para los valores de y establecidos:

11,95=f ( x )∧12 ,05=f (x)

11,95=3 x2∧12,05=3 x2

√ 11,953 =x1∧√ 12,053 =x2

√ 11,953 < x<√ 12,053Entonces f ( x ) satisface 11,95< f ( x )<12,05. Este intervalo para x es aproximadamente

1,99583<x<2,00416. De los dos extremos del intervalo el más cercano a 2 es el superior, 2,00416, y se

encuentra a 0,00416 de 2. Por lo tanto x está a menos de 0,00416 de 2, entonces f ( x ) está a menos de

0,05 de 12.

y

x

y

x

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Utilizando letras griegas ε (épsilon ) yδ (delta)para representar números positivos arbitrarios (por lo reglar

pequeños)

Decir que f ( x ) difiere de L en menos de ε, significa que L−ε<f ( x )<L+ε , o de forma equivalente

|f ( x )−l|<ε. Esto significa que f ( x ) se encuentra en un intervalo abierto ( L−ε ;L+ε ).

Ahora decir que x está suficientemente cerca pero difiere de c es decir que, para algún δ x pertenece al

intervalo abierto (c−δ ;c+δ) con c fuera de este. Expresado de otra forma:

0<|x−c|<δ

Definición

Decir quelimx →c

f ( x )=L , significa que para cada ε>0 dado, existe una correspondencia δ >0 , tal que

|f ( x )−l|<ε , siempre que 0<|x−c|<δ ; esto es

0<|x−c|<δ⇒|f ( x )−l|<ε

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paracadaε>0 , existe δ>0 tal que 0<|x−c|<δ⇒|f ( x )−l|<ε

Debemos recalcar que el número real ε se debe dar primero, el número δ debe producirse y por lo general

depende deε.

Por ejemplo:

Se desea demostrar que limx →3

2x+1 es 7, podemos inferir este valor por inspección. Como condición

exigimos que ε<0,01 ¿Podrá obtenerse el δ correspondiente tal que |(2x+1)−7|<0,01 siempre que 0<|x−3|<δ? Aplicando un poco de álgebra

|(2x+1)−7|<0,01⇔|2 x−6|<0,01⇔2|x−3|<0,01⇔|x−3|< 0,012

Por lo tanto podemos tomar cualquier valor de δ menor o igual a 0,012 para garantizar que

|(2x+1)−7|<0,01 siempre que 0<|x−3|< 0,012

En otras palabras se puede hacer que 2x+1 esté a menos de 0,01 de 7 siempre que x esté a menos de 0,01/2 de 3.

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Ahora podemos realizar lo mismo para ε<0,004 o para ε<0,000000001, con lo que formularemos que ε sea cualquier número real positivo. Entonces:

|(2x+1)−7|<ε ⇔|2x−6|<ε⇔2|x−3|<ε ⇔|x−3|< ε2

Se puede hacer que 2x+1 esté a menos de ε de 7 siempre que x esté a menos de ε /2 de 3.

Con lo cual se ha verificado que el límite es 7.

Propiedades del límite:

Teorema 1

Sea n un entero positivo, k una constante y f y g funciones que tengan límites en c, entonces:

1.1. límx→ c

k=k

1.2. límx→ c

x=c

1.3. límx→ c

kf (x)=k límx →c

f ( x)

1.4. límx→ c

[ f ( x )+g (x)]=límx →c

f (x )+límx → c

g(x )

1.5. límx→ c

[ f ( x )−g(x)]=límx → c

f (x)−límx →c

g (x)

1.6. límx→ c

[ f ( x ) ∙ g (x)]=límx → c

f (x) ∙ límx→ c

g (x)

1.7. límx→ c [ f (x )

g(x ) ]=límx→ c

f (x)

límx →c

g (x), siempre y cuando lím

x → cg(x )≠0

1.8. límx→ c

[ f (x) ]n=[ límx→ cf (x )]n

1.9. límx→ c

n√ f (x)= n√ límx→ c

f (x )siempre que límx→ c

f (x )>0cuandonsea par .

Por ejemplo:

Determinar límx→32 x4

límx→32 x4=2 lím

x→3x4=2[ límx→3

x ]4=2∙ [3 ]4=162

Por prop. 3 por prop. 8 por pro. 2

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Teorema de sustitución

Si f es una función polinomial o una función racional, entonces

limx →c

f ( x )=f (c )

Con tal que f(c) está definida. En el caso de una función racional el valor del denominador en c no debe ser cero.

Teorema del emparedado

Sean f , g y h funciones que satisfacen f (x)≤ g (x)≤ h(x) para toda x cercana a c, exepto posiblemente en

c. si límx→ c

f (x)=límx → c

h(x )=L, entonces límx→ c

g(x )=L

Por ejemplo

Suponga que hemos demostrado que 1− x2

6≤

sen xx

≤1 para todo x cercano pero distinto de 1 ¿Qué

podemos concluir acerca de límx→ 0

sen xx

?

Sea f ( x )=1− x2

6, g ( x )= sen x

x,h ( x )=1. Se sigue que lím

x→ 0f ( x )=1=lím

x→ 0h(x)

Y de este modo por el teorema anterior límx→0

sen xx

=1

Límites de funciones trigonométricas

Para todo número real c en el dominio de la función.

1. límt →c

sent=sen c

2. límt →ccos t=cosc

3. límt →ctan t=tan c

4. límt →c

sec t=sec c

5. límt →ccot t=cot c

6. límt →c

csc=csc c

Por ejemplo:

Encuentre límt →0

t2 cos tt+1

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límt →0

t2 cos tt+1

=(límt →0

t 2

t +1 )( límt →0cos t )=0 ∙1=0

Límites trigonométricos especiales

1. límt →0

sen tt

=1

2. límt →0

1−cos tt

=0

Límites al infinito

Considere la función g ( x )= x

1+x2 ¿qué sucede a g(x) cuando x se hace cada vez más grande?

En simbolos límx→ ∞

g (x)

Cuando escribimos x→ ∞, no queremos dar a entender que en un lugar muy, muy alejado a la derecha del eje x exista un número, más grande que todos los demás, al cual se aproxima x. En lugar de eso lo utilizamos como una forma breve de decir que x se hace cada vez más grande sin cota.

Observemos el gráfico y la tabla de valores de la función

Parece que g(x) se hace cada vez más pequeño, conforme x se hace cada vez más grande.

Al experimentar con números positivos cada vez más lejanos del cero nos conduce a

límx→+∞

x

1+ x2=0

Al experimentar con números negativos cada vez más lejanos del cero nos conduce a

x y= x

1+x2

10000 0,00011000 0,001100 0,0110 0,099011 0,5

0 0-1 -0,5-10 -0,09901-100 -0,01-1000 -0,001-10000 -0,0001

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límx→−∞

x

1+x2=0

Definición rigurosa de Límites cuando x→ ± ∞

Sea f definida en ¿ para algún numero c. Decimos que límx→+∞

f (x)=L, si para cada ε>0 existe un

correspondiente número M, tal que

x>M⇒|f ( x )−L|<ε

Notará que M puede depender de ε . En general entre más pequeña seaε , más grande tendrá que ser M

Sea f definida en ¿ para algún numero c. Decimos que límx→−∞

f (x )=L , si para cada ε>0 existe un

correspondiente número M, tal que

x<M⇒|f ( x )−L|<ε

Por ejemplo: demuestre que si K es un entero positivo, entonces

límx→+∞

1

xk=0 y lím

x→−∞

1

xk=0

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Sea ε>0, |f ( x )−L|<ε entonces | 1xk−o|= 1xk

< 1

M k=ε entonces M= k√ 1ϵ

Entonces x>M implicaque| 1xk−o|= 1

xk< 1

M k=ε.

La demostración de la segunda proposición es similar.

Limite de sucesiones

El dominio para algunas funciones es el conjunto de los números naturales. En esta situación, por lo

general escribimos an en lugar de a (n) para denotar el n – ésimo término de la sucesión. Por ejemplo,

podríamos definir la sucesión an=n

n+1, considerando lo que sucede cuando n se hace grande

an=n

n+1, a1=

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;a2=23

; a3=34

;a4=45

;…a100=100101

;…

Pareciera que estos valores se aproximan a 1, de modo que sería razonable decir que para esta sucesión lím

x→+∞an=1.

Sean an definida para todos los números naturales mayores o iguales que c. decimos que límx→+∞

an=L , si para cada ε>0 existe un correspondiente número natural M, tal que

n>M ⇒|an−L|<ε

Por ejemplo: determine límx→+∞ √ n+1

n+2, cuyo gráfico es

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límx→+∞ √ n+1

n+2= lím

x →+∞( n+1n+2 )

12= lím

x →+∞( 1+1n

1+2n

)12

=(1+01+0 )12=0

Límites infinitos

Considere a f ( x )= 1x−2 Cuando x se acerca a 2 por la izquierda, la función parece que disminuye sin cota.

De forma análoga, cuando x se aproxima a 2 por la derecha, la función parece que aumenta sin cota. Por

lo tanto no tiene sentido hablar acerca de límx→2

1x−2

, pero creemos que es razonable escribir

límx→2−¿ 1

x−2=−∞ y lím

x →2+¿ 1x−2

=+∞¿

¿

Decimos que límx→ c+¿ f (x)=+∞, ¿

si para cada número positivo M corresponde un δ >0 , tal que

0<x−c<δ⇒ f ( x )>M

Por ejemplo:

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Encuentre lím

x→1−¿ 1

( x−1)2¿ cuando x→1+¿¿ el denominador permanece positivo pero tiende a cero, mientras

que el numerador es 1 para todo x. así la razón puede hacerse arbitrariamente grande restringiendo la cercanía de x respecto de 1. Con lo que el límite tiende a +∞.

¿Qué ocurrirá cuando x→1−¿ ¿?

Relación del límite con las asíntotas de una función

La recta x=c es una asíntota vertical de la gráfica de y=f (x ), si cualquiera de las siguientes cuatro

proposiciones es verdadera.

1. límx→ c+¿ f ( x )=+∞¿

2. límx→ c+¿ f ( x )=−∞¿

3. límx→ c−¿ f ( x )=+∞¿

4. límx→ c−¿ f ( x )=−∞¿

De una forma similar, la recta y=b es una asíntota horizontal de la gráfica de y=f (x ) si se cumple

límx→+∞

f (x )=b o límx→−∞

f ( x )=b

Por ejemplo

Encuentre las asíntotas horizontales y verticales de la gráfica de y=f ( x ) , si

f ( x )= 2 xx−1

Con frecuencia tenemos una asíntota vertical en un punto en donde el denominador es cero, y en este caso así es, ya que:

límx→1+¿ 2x

x−1=+∞o lím

x →1−¿ 2 xx−1

=−∞¿

¿

Por otra parte

límx→+∞

2xx−1

= 2

1−1x

=2 y límx→−∞

2 xx−1

= 2

1−1x

=2

Y así y=2 es una asíntota horizontal.

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