Formación continua. Topología – Breve referencia para la introducción al estudio de las propiedades de compacidad y conexidad.

Prof. Lic. Lucas López.

Nos referiremos a estas dos propiedades en espacios topológicos, la conexidad y la compacidad,

fundamentalmente por dos razones. Una de ellas, es que fuertes teoremas del Análisis

Matemático Real, se basan en el cumplimiento de estas propiedades en determinados contextos

(a saber, en el espacio topológico usual , los intervalos cerrados y acotados del tipo [a; b]

resultan tanto compactos como conexos; y muchos resultados dependen de propiedades de éstos,

como el teorema del valor intermedio de las funciones continuas y otros). Y por otro lado,

perfilándonos hacia un estudio más profundo en Topología, porque las mencionadas propiedades

son lo que hemos definido como propiedades topológicas. Hemos mencionado que las

propiedades así denominadas, son aquellas que se mantienen bajo homeomorfismos. Recordemos

dichas definiciones:

Def.: Sean dos espacios topológicos (X1, ), (X2, ) y una función X1 X2. Diremos que es un

homeomorfismo, si y solo si:

i) es biyectiva.

ii) es continua.

iii) es continua.

A partir de esta definición, podemos definir la siguiente relación de equivalencia entre la familia de

espacios topológicos: (X1, ) (X2, ) X1 X2, homeonorfismo.

Notemos que esta relación, así definida, es efectivamente de equivalencia: La relación es reflexiva:

en efecto, para cada espacio topológico (X1, ) se cumple que (X1, ) (X1, ), ya que existe el

homeomorfismo identidad X1 X1 dado por . La relación es también simétrica, ya

que si: (X1, ) (X2, ), entonces existe X1 X2, homeomorfismo. Pero si X1 X2 es un

homeomorfismo, entonces X2 X1 queda bien definida y es también un homeomorfismo

(¿Por qué?), y entonces, por definición (X2, ) (X1, ). Por último, veamos que la relación

definida también es transitiva. En efecto, si (X1, ) (X2, ) y (X2, )

(X3, ), debe ocurrir

por definición, la existencia de homeomorfismos X1 X2 y X2 X3. Es fácil mostrar que la

composición X1 X3 es también un homeomorfismo (¿Lo es?), y entonces de nuevo, por

definición se cumplirá que (X1, ) (X3, ).

Si la observamos con detenimiento, la definición de un homeomorfismo resultará natural en el

contexto de nuestro estudio, porque al exigir que, tanto la función definida como su inversa, sean

continuas y biyectivas, existirá una correspondencia biunívoca entre los abiertos de una y otra

topología.

También, como la relación es de equivalencia, se establece una partición natural sobre la

familia de espacios topológicos. De aquí, que toda propiedad topológica (aquellas que se

conservan entre espacios homeomorfos) será mantenida entre los diferentes espacios topológicos

que estén en la misma “celda” de esta partición. Con lo cual es posible hacer una caracterización

de los espacios topológicos en cuanto a la presencia o no de sus propiedades topológicas.

Hemos observado en clase algunas propiedades que no son topológicas, como la acotación de los

conjuntos o la “longitud”. También observamos, por ejemplo, que la propiedad del cumplimiento

de la condición de Hausdorff si es una propiedad topológica.

Las propiedades de compacidad y conexidad, nos darán dos ejemplos más de propiedades

topológicas.

Compacidad.

Def.: Sea (X, ) un espacio topológico, X. Diremos que la familia

es un “cubrimiento por abiertos de ”, si y sólo si,

. Diremos también que el cubrimiento es un “cubrimiento finito de ”, si su cardinal

es finito. Y por último, dado un cubrimiento de , diremos que es un “subcubrimiento de

sobre ”, si y también es un cubrimiento de .

¿Qué ejemplos de cubrimientos por abiertos conocemos?

Ahora definamos la propiedad de compacidad.

Def.: Sea (X, ) un espacio topológico, X. Diremos que es compacto, si y sólo si, para cada

cubrimiento de se puede hallar un subcubrimiento finito ´, de sobre .

El teorema de Heine-Borel muestra que en el espacio topológico usual, definido sobre la recta de

los reales, los intervalos del tipo [a; b] son compactos (Ver “Topología General” – Lipschutz – pag.

49). Naturalmente, si en cambio queremos mostrar que cierto conjunto no es compacto, entonces

debemos encontrar la existencia de algún cubrimiento por abiertos del conjunto que no pueda

reducirse a un subcubrimiento finito de dicho conjunto.

Veamos que, también para la topología usual de los reales, los intervalos del tipo (a; b) no son

compactos. Tomemos para ello el estudio del intervao (0; 1), y notemos que la familia

constituye un cubrimiento por abiertos de (0; 1), pero que no es reducible a

ningún subcubrimiento finito de (0; 1) sobre .

Observemos por último que la propiedad de un conjunto de ser compacto, es una propiedad

topológica.

En efecto, sean los espacios topológicos (X1, ); (X2, ), X1 compacto. Sea X1 X2 un

homeomorfismo (esto es, (X1, ) (X2, )). Entonces X2 es compacto.

P/

Sea un cubrimiento por abiertos de X2. Por lo tanto

. Veamos que se puede reducir a un subcubrimiento finito por abiertos de

sobre En efecto, dado que es continua, se cumplirá que ,para cada índice .

También, como es biyectiva, entonces . Por estas

dos consecuencias, la familia constituye un cubrimiento por abiertos de . Pero

como, por hipótesis, es compacto, debe existir un número finito con

tal que . Pero entonces, por la continuidad y la biyectividad de ,

debe ocurrir también que

, demostrando la compacidad de

.

De más está aclarar, que en todas las observaciones anteriores puede reemplazarse el referencial

X por , y hablar de espacios compactos o no compactos.

Conexidad.

Def.: Sea (X, ) un espacio topológico. Diremos que X es conexo, si los únicos conjuntos abiertos y

cerrados a la vez de Sea son X y .

La condición que define la conexidad puede resultar más natural en términos de si el espacio es o

no separable. Para esto, definimos primero una separación.

Def.: Sea (X, ) un espacio topológico. Diremos que dos conjuntos abiertos constituyen una

separación de X, si y sólo si, X .

Def.: Sea (X, ) un espacio topológico. Si (X, ) tiene una separación, entonces diremos que es no

conexo o inconexo. Si (X, ) no tiene una separación, entonces diremos que es conexo.

Se propone probar la equivalencia entre la primera y la segunda definición de espacio conexo.

Nos limitaremos solamente a observar que se trata ésta de una propiedad topológica.

Efectivamente, sean los espacios topológicos (X1, ); (X2, ). Considérese (X1, ) conexo. Sea

X1 X2 un homeomorfismo (esto es, (X1, ) (X2, )). Entonces (X2, ) es conexo.

P/

Supongamos, contrario con la afirmación que formulamos, que (X2, ) es no conexo. Entonces,

por definición, deberán existir dos abiertos de tales que X2 . Por la

continuidad de X1 X2 debe cumplirse que y sean abiertos de . También, por

la biyectividad de , (ya que es uno a uno), y

también X2 X1 (usando primero el agumento de ser

uno a uno y luego de ser sobre). Pero entonces, los abiertos y constituyen una

separación para (X1, ), lo cual es absurdo, ya que lo supusimos conexo en la hipótesis. Por lo

tanto, no puede existir una separación , para (X2, ), y por definición debe ser conexo.