Apunte Ecuaciones y Vectores 2015

7/25/2019 Apunte Ecuaciones y Vectores 2015

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U.T.N. I.N.S.P.T. Algebra, Probabilidades y Estadstica -1633/1602

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Lic. Giongrandi, Andrea - 1 -

Prctica 0

Nota a los alumnos:

Los temas que se incluyen en esta prctica se suponen conocidos por ustedes.Debido a que el conocimiento de los mismos ser necesario a lo largo de todoel curso, es fundamental que a modo de repaso, resuelvan estos ejerciciosconsultando bibliografa y/o al docente.

1) Calcular

1

=

1 2

=

++ =

1

=

[8

]

= 7

=

2) Ordenar de menor a mayor

; ;

7 ;

;

; ;

;

7 ; 2; 33; 3;

3) Una solucin se dice ms concentrada que otra si tiene mayorproporcin entre la sustancia activa y el diluyente que la otra.

El boticario tiene un botelln de 1 litro y medio donde es sustancia

activa y un bidn de 2 litros donde es sustancia activa. En cul delos dos envases la solucin es ms concentrada?

4) El precio de un equipo de audio con el 15% de descuento es de $ 3.417.Cul era el precio original?

5) Hallar dos nmeros naturales cuyo producto sea 4 y que sumen 6.


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6) Representar en el plano los siguientes puntos

= 2, 2 = 3,1 = 1, 4 = 2, 0 = ,

= 1 ,

7) Representar en el plano los siguientes conjuntos

= {, = 1} = {, 2} = {, = } = {, = 2} = {, = 2 1}

8) Hallar el conjunto solucin

++

+ =

8 2 =

+ 2

9) Reducir a la mnima expresin

8 =

=

10) Verificar las siguientes igualdades

3 1 = 3 3

(3 ) = 9 6

( )( ) =


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Captulo 1

lgebra de Ecuaciones

Operaciones con nmeros reales

El conjunto de los nmeros reales est formado de la siguiente manera:

Reales Irracionales Fraccionarios

Racionales Negativos Enteros

Naturales

Los nmeros irracionales son aquellos que no pueden ser expresados comoun cociente entre dos nmeros enteros, por tener infinitas cifras decimales noperidicas.Son ejemplos de nmeros irracionales: , e, 2, y todas las races reales noexactas.

1.1. Propiedades de la potenciacin.

1.1.1 Potencia de exponente cero. 010 aa

1.1.2 Potencia de exponente negativo 01

a

a

an

n

1.1.3 Potencia de otra potencia mnmn aa .

1.1.4 Producto de potencias de igual base mnmn aaa .

1.1.5 Cociente de potencias de igual base 0; aaa

amn

m

n

1.1.6 Distributividad respecto de la multiplicacin nnn baba ..

1.1.7 Distributividad respecto a la divisin

0;

b

b

aba

n

nn


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1.2. Propiedades de la radicacin

La radicacin puede expresarse como una potencia de exponente fraccionario:

nn

aa

1

Las propiedades de la radicacin son anlogas con las de la potenciacin.

1.2.1 Raz de raz

mnmn

n

mn m

aaaa ..

1

1

1

1.2.2 Distributividad respecto de la multiplicacin

nnnnnn babababa .....11

1

1.2.3 Distributividad respecto de la divisin

01

11

b

b

a

b

a

b

a

b

a

n

n

n

nn

n

1.3. Propiedades de los logaritmos

Se llama logaritmacin a la operacin por la cual se calcula el exponente al quese tiene que elevar un nmero apositivo y distinto de 1, para obtener otronmero b. Esto se escribe: log y se lee logaritmo en base a de b.Se cumple que: log = = , con > 0 y 11.3.1 log 1 = 01.3.2 log =log l o g 1.3.3

log =log l o g

1.3.4 log = l o g

1.4. Ecuaciones

Una ecuacin es una igualdad en la que hay, por lo menos, un datodesconocido, es decir, una incgnita. Resolverla significa encontrar el/losvalor/es de la/s incgnita/s que hacen verdadera la igualdad.


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1.4.1.Ecuac iones pol inmicas.(en una variable)

Ejemplos:

032 x 0932 2 xx 0652 23 xxx

Son de la forma: P(x) = 0, siendo P(x) un polinomio.

Resolver estas ecuaciones equivale a encontrar los ceros de la funcinpolinmica asociada.

Las ecuaciones dadas se pueden expresar factoreadas en funcin de susraces de la siguiente manera:

Luego, los respectivos conjuntos solucin son:

1.4.2.Ecuacion es Fraccionarias

En general son de la forma:

Siendo Q(x) distinto del polinomio nulo y de una constante. Los nmeros reales

que satisfacen una ecuacin fraccionaria son sus races reales.Resolucin de una ecuacin fraccionaria.

Para resolver una ecuacin fraccionaria, o sea, para hallar sus races,eliminamos los denominadores multiplicando ambos miembros por el mnimocomn mltiplo de dichos denominadores.La ecuacin resultante es entera y se resuelve segn ya se ha visto.

Las races de esta ecuacin entera, que verifican la ecuacin fraccionaria dada,son las races buscadas.

El conjunto que tiene por elementos a las races de una ecuacin fraccionariase denomina conjunto solucin de dicha ecuacin.

02

3.2

x 2 3

3

20. .x x

x x x 2 1 3 0. .

S

3

2S

33

2, S 2 1 3, ,

P x

Q x

( )

( ) 0


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Ejemplo 1:

Multiplicamos ambos miembros por x:

0232 2

xxx

0342

xx

Las races son: 3,1 21 xx

Como estos valores verifican la ecuacin fraccionaria, resulta:

3,1S Ejemplo 2:

Multiplicamos ambos miembros por 1xx

011 xxx

03 x 0x

Pero este nmero no satisface la ecuacin fraccionaria, luego:S =

1.4.3. Ecuacion es irracionales.

Son aquellas en las cuales la incgnita figura bajo un signo radical.

Ejemplos:

510.2

0435

xx

x

Para obtener el conjunto solucin suele procederse de la siguiente manera:

2 32 0

x

x

x

1

1

1 10

x x

x

x x


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1- Se deja en un miembro de la ecuacin slo el trmino que contengaa la expresin radical.

2- Se eleva ambos miembros al cuadrado y se opera.3- Se verifican las respuestas obtenidas reemplazndolas en la

ecuacin dada.

As, para el ejemplo 1:

0435 x

435 x

22 435 x 1635 x

5

13x

Como este valor verifica la ecuacin dada, resulta:

En el segundo ejemplo,

510.2 xx

22 510.2 xx 251010.4 2 xxx

015142

xx

15,121

xx

Como solamente 1x satisface la ecuacin dada, resulta:

1S

1.4.4. Ecuacion es expon enciales.

Son aquellas en las cuales la incgnita figura como exponente.Ejemplos:

82 12

x

Para resolverla, expresamos todo en base 2 y luego aplicamos logaritmo en

base 2 a ambos miembros:

S

13

5


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31222

x 3

2

12

2 2log2log x

2log32log.12 22 x 312 x 22 x

1x

Como este valor satisface la ecuacin dada, resulta:

1S

1.4.5. Ecu acio nes logartm icas .

Son aquellas ecuaciones en las cuales la incgnita est afectada por lo menosuna vez, por un logaritmo.

Ejemplo:

25log232log2

16log xx

Para resolverla aplicamos las propiedades de los logaritmos,

25log100log32log6log 21

xx

25

100log

32

6log

x

x

4

32

6

x

x

Resolviendo esta ecuacin irracional, hallamos los valores 61 x y 142 x .

Ambos satisfacen la ecuacin dada.

14,6S


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1.5. Inecuaciones

Una inecuacin es una desigualdad en la cual hay por lo menos un datodesconocido.

Por ejemplo

12 x 32

15 x

Resolver una inecuacin significa encontrar el conjunto de valores que laverifican.Para resolver una inecuacin se buscan inecuaciones equivalentes de acuerdoa las siguientes propiedades:

Si en una desigualdad se multiplica ambos miembros por un nmeropositivo, no cambia el sentido de la desigualdad.

Si en una desigualdad se multiplica ambos miembros por un nmeronegativo, cambia el sentido de la desigualdad.

Ejemplo:

23 x 10x xx 3 210

x4 8

4

4

x

4

8

se divide ambos miembros por -4 y se

cambia el sentido de la desigualdadx -2

El conjunto solucin de la inecuacin est formado por todos los nmeros

reales mayores que -2

,2S


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Trabajo Prctico 1lgebra de Ecuaciones

1) Resuelvan las siguientes operaciones combinadas, racionalizandocuando sea necesario.

22

2

15

2.

15

3)

1258.4,02.2,0)

3

27

2

112

2

13)

c

b

a

2) Hallen el conjunto solucin de cada una de las ecuaciones que se indica:

60813) 2 xa

133176) 2 xb

17693316) xxxc

182228)

56437) 2

xxxe

xd

3) Determinen el conjunto solucin de las siguientes ecuaciones. x .

132

19

1

5

12

3)

65

2

4

1

1243

17

6

1)

61

1

12

1)

12

2

1

1

1

1

1

1)

4134

1

3)

2

22232

2

2

2

2

xx

x

x

x

x

xe

xx

x

x

x

xxxxx

xd

x

x

xx

xc

zzzzb

xxx

x

xa


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4) Determinen el conjunto solucin de:

xxxd

xxc

xxxb

xxa

49813)

22134)

52)

01.2145)

2

5) Proporcionen el conjunto solucin de las siguientes ecuaciones.

6log1log32log)

312log)

16842)

999)

222

3

33413

37112

xxd

zc

b

a

xxxx

xxx

2032318)

625log2

120loglog

3

1)

7log5log1log)

07448)

5ln43ln1lnln)

8ln4ln142ln)

25logloglog)

4

251255

782

122

812

814

81

xx

xx

k

xxj

xxi

h

xeg

xxf

xxxe


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6) Resuelvan las siguientes inecuaciones e indiquen el conjunto solucin.

32) xa x24

tb 24) 5t

8) xc 13 x

2

12) xd x3

6

1-

3

54-

4)

xxe

02-71

2) xxxf

32

1)

x

xg 0

035

24)

x

xh

236

2)

x

xi

x

xj

24)

-6

2

17)

x

xk

2

72

x

x

x

xl

2

16

12)

3

4

x

x

x

x

x

x

m

2

53)

7) Planteen y resuelvan cada uno de los siguientes problemas

a) El cociente entre un nmero y su consecutivo es igual a la razn

entrey

Cul es el nmero?


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b) Qu nmero verifica que la diferencia entre la cuarta parte y su20% es 9?

c) Se corta la cuarta parte de una soga y luego se vuelve a cortar lacuarta parte de lo que queda. Si finalmente resulta una soga de

20,25 m. Cul era la longitud original de la soga?

d) Al precio de un producto se le efectu un descuento del 22% porpago en efectivo. Cul es el precio original del producto si con eldescuento result de $23,40?

e) Una varilla tiene una longitud de 2,2 m y quiere ser dividida endos partes tales que la razn entre ambas sea 3 Cules son laslongitudes resultantes?

f) Cuatro ngulos suman la mitad de un giro y mantienen adems la

siguiente relacin: el primero es igual al cuarto, el segundo es dosveces mayor que el tercero y el primero es el triple del segundo.Cul es la amplitud de cada ngulo?

g) La suma de los cuadrados de dos nmeros consecutivos es 85.Cules son dichos nmeros?

h) Hallar dos nmeros naturales consecutivos cuyo producto sea

igual al cociente entre el cuadrado del mayor y

i) La diagonal de un rectngulo tiene una longitud de 13 cm; si laaltura es 7 cm mayor que la base cul es la superficie delrectngulo?

j) Si el permetro de un rectngulo es 26 cm y su superficie es 40, hallar la longitud de su diagonal.


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Captulo 2

lgebra Vectorial

2.1. Vector es en el plano

Se llama vectorAB al segmento orientado que empieza en A y termina en B.

Simblicamente, se escribe AB . El punto A se denomina origen y el punto B,extremo.Los vectores tienen:

Direccin: Est definida por la recta que contiene al vector. Se considera quelos movimientos sobre rectas paralelas tienen la misma direccin.

Sentido: Lo determina la orientacin sobre la recta, definida por el origen y elextremo del vector.

Mdulo: Es la longitud del segmento orientado que lo define.

2.1.1. Vectores paralelosDos vectores son paralelos cuando tienen la misma direccin.

Por ejemplo, los vectores ,MN QPy SR son paralelos.

2.1.2. Vectores equivalentesDos vectores son equivalentes si son paralelos, tienen el mismo sentido y el

mismo mdulo.Por ejemplo, los vectores MN y PQ son equivalentes.

2.1.3. Vectores opuestos

Dos vectores son opuestos si son paralelos, tienen igual mdulo y sentidoopuesto.

M

N

Q

P S

R

M

N

P

Q


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Por ejemplo, los vectores MN y QPson opuestos. Se indica MN= QP

2.1.4. Suma de vectoresPara sumar dos vectores, se toman, si es necesario, dos vectores equivalentesa los dados, que cumplan con la condicin de que el extremo del primerocoincida con el origen del segundo. La suma de estos vectores es otro vectorque tiene su origen en el origen del primero y su extremo, en el extremo delsegundo.

Si consideramos dos vectores que tienen el mismo origen, al realizar la suma

queda:

2.1.5. Resta de vectoresPara restar dos vectores, se suma al primero el opuesto del segundo.

CDABCDAB

2.1.6. Producto de un vector por un escalarEl producto de un vector por un escalar positivo es un vector que tiene igual

direccin y sentido que v , y cuyo mdulo es el producto del mdulo de v por elescalar dado.

Por ejemplo, para hallar 3. AB , procedemos de la siguiente manera:

M

N Q

P

v

w

wv

AB

AB3


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El producto de un vector v por un escalar negativo es un vector que tiene igual

direccin que v , sentido opuesto y cuyo mdulo es el producto del mdulo de

v por el valor absoluto del nmero real dado.

Por ejemplo, para hallar -3. AB = 3. AB

2.1.7. Operaciones con vectores en forma cartesianaLa suma de dos vectores definidos en forma cartesiana, es otro vector cuyascoordenadas son la suma de sus respectivas coordenadas.

Siendo 21,aaa y 221121 ,, babababbb

El producto de un vector, definido en forma cartesiana, por un escalar es otrovector cuyas coordenadas son las coordenadas del vector multiplicadas pordicho escalar.

2.1.8. Vectores paralelos en coordenadas cartesianas

Si dos vectores a y b son paralelos, kconbka .

2.1.9. Producto escalar de vectores

El producto escalar de dos vectores a y b es el nmero cos..ba , siendo

el ngulo determinado por dichos vectores. Se simboliza cos.. baba

2.1.10. Vectores ortogonales

Dos vectores a y b son ortogonales o perpendiculares si 0. ba

Por ejemplo, los vectores v = (0,1) y w= (1,0) son ortogonales, pues (1,0) .(0,1) = 0

Los vectores (1,0) y (0,1) se llaman versores elementales.

2.1.11. Angulo entre dos vectores

El ngulo , 0 180, que forman los vectores a y b , cumple que:

ba

ba

.

.

cos 0 180

A

B

-3. AB


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2.2. Vectores en el espac io

As como los vectores en el plano se pueden describir como parejas denmeros reales, los vectores en el espacio tridimensional se pueden describircomo terna de nmeros reales, introduciendo un sistema de coordenadas

rectangulares. Para construir ese sistema de coordenadas, se elige un punto O,denominado el origen, y se eligen tres rectas perpendiculares entre s,denominadas ejes de coordenadas que pasan por el origen.Los ejes se identifican con x, yy zy se elige una direccin positiva para cadaeje de coordenadas.Cada par de ejes coordenados determina un plano denominado plano decoordenadas. Estos planos se denominanplano xy, plano xz y plano yz.A cada punto P en el espacio tridimensional le corresponde una terna denmeros (x, y, z)denominados coordenadas del punto P.

Un vector ven el espacio tridimensional se coloca de modo que su punto inicialest en el origen de un sistema de coordenadas rectangulares, entonces lascoordenadas del punto terminal se denominan componentes de v y seescribe:

321 ,, vvvv

x

y

z

P

X

Y

Z P = (X , Y, Z)

321 ,, vvvv

v

x

y

z


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Si 321 ,, vvvv y 321 ,, wwww son dos vectores en el espaciotridimensional, entonces se pueden usar razonamientos semejantes a los quese siguieron para vectores en el plano a fin de establecer los siguientesresultados:

v y w son equivalentes si y slo si .;;332211

wvwvwv

.,, 332211 wvwvwvwv 321 ,, kvkvkvkv , donde k es cualquier escalar.

Algunas veces un vector se coloca de modo que su punto inicial no est en el

origen de coordenadas. Si el vector21

PP tiene como punto inicial a

1111

,, zyxP y como punto terminal 2222 ,, zyxP , entonces:

12121221 ,, zzyyxxPP

Es decir, las componentes de21

PP , se obtienen al restar las coordenadas del

punto inicial de las coordenadas del punto terminal.

2.2.1. Mdulo o Norma de un vector

La longi tudde un vector u se denomina mdulo o norma de u, y se denota

por u .

En el plano: 22

2

1 uuu

En el espacio: 23

2

2

2

1 uuuu

Un vector de norma 1 se denomina vector unitar io.

Si 1111 ,, zyxP y 2222 ,, zyxP son dos puntos en el espacio tridimensional,

entonces la distancia d entre los puntos es la norma del vector21

PP , por lo

cual:

212

2

12

2

12 zzyyxxd

De manera semejante, en el plano 212

2

12 yyxxd

2.2.2. Versores asociados a los ejes coordenados

0,0.1i es el versor asociado al eje x. 0,1,0j es el versor asociado al eje y.

1,0,0k es el versor asociado al eje z.


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2.2.3. Producto vectorial

El producto vectorial entre dos vectores en el espacio tridimensional, es tilpara hallar un vector perpendicular al plano que determinan los vectoresutilizados.

El producto vectorial se puede expresar en forma simblica como unseudodeterminante de 3x3.

kvv

uuj

vv

uui

vv

uu

vvv

uuu

kji

vu ...21

21

31

31

32

32

321

321

2.2.4. Interpretacin geomtrica del mdulo del producto vectorial

Si uy vson dos vectores en el espacio tridimensional, entonces uv es

igual al rea del paralelogramo determinado por u yv.Para demostrarlo utilizaremos la definicin de mdulo del producto vectorial:

senvuvu ..

Pero senv. es la altura del paralelogramo determinado por u y v, por lo cual

el reaAde este paralelogramo est dada por:

A= Base . Altura = vu

Por lo cual,

vu = rea del paralelogramo determinado por los vectores u y v.

u

v

u

v

senv.


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2.2.5. Producto mixto entre vectores

Si vu, y w son vectores en el espacio tridimensional, entonces wvu . sedenomina produc to m ix toentre wyvu, .

El producto mixto entre 321 ,, uuuu , 321 ,, vvvv y 321 ,, wwww , sepuede calcular de la siguiente manera:

321

321

321

.

www

vvv

uuu

wvu

2.2.6. Interpretacin geomtrica del producto mixto entre vectores.

Sean los vectores uywv, , por definicin de producto escalar:

cos..).( wvuwvu (1), perou

hcos , por lo cual, si

reemplazamos esta expresin en (1), se obtiene:

u

hwvuwvu .. ,

hwvwvu .. ,

wvu. (rea del paralelogramo determinado por lo vectores v yw ). h

Por lo cual se concluye que:

wvu. volumen del paraleleppedo determinado por los vectores u, v y w


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Trabajo Prctico 2Algebra Vectorial

1) Hallen los valores de m para que los siguientes vectores tengan el

mdulo dado:

a) v = (m1 , 3) 5v

b) v= ( -2 , m) 4v

2) Consideren los puntos A = (0,0) , B =(1,1) , C =(-1,1) y D =(1,3)

a) Hallen un vector con origen en C que sea equivalente a AB

b) Son paralelos AB y CD?c) Hallen las coordenadas de E, tal que AB y CEsean paralelos.

3) Si a = (2,8) , b = (-1,0) , c = (3,5) , d= (-7,3) y e=(0,-5), calculen:

dcbagbaf

dcbae

bdd

ecc

ab

eda

.2..5.4)

.5.8)

.)

.3)

.5.3)

.2)

)

4) Sean los vectores a = (-1,2) , b = (5,4) y c = ( -5,9), hallen:

cbc

bab

caa

.)

.)

.)

5) Calculen el ngulo determinado por los siguientes vectores:

a) (5,3) y (2,7)b) (-1,5) y (6,1)


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6) Indiquen si los siguientes pares de vectores son ortogonales.

a) )0,7()7,0( bya

b) )10,4()2,5(

bya c) 5,43,1 bya

7) Se sabe que el producto escalar entre a y b es 2. Si a =(4,3) y b =( -1,y), hallen el valor de y. Indiquen si la respuesta es nica.

8) Se sabe que el producto escalar entre a y b es 4. Hallen x e y siendo

),( yxa y b )2,(x

9) Hallen , en forma vectorial, las amplitudes de los ngulos interiores deltringulo cuyos vrtices son: (9,5) , (7,3) y (4,5)

10) Calculen, en forma vectorial, las amplitudes de los ngulos interiores delparalelogramo cuyos vrtices son: (2,7), (4,9), (9,1) y (11,3)

11) Se sabe que el ngulo determinado por los vectores a y b es de 120. Si)2,(ma y )4,3( b , hallen m.

12) La primera componente de un vector a es menor que la segunda. Dichascomponentes son dos nmeros naturales pares consecutivos y el mdulo

del vector es 52 . Escriban a en forma cartesiana y como parordenado.

13)Grafiquen los siguientes puntos: A = (0, 0, 2) , B = (0, 1, 0) , C = (0, 0, 3) ,D = ( 2, -1, 2) y E = ( 3, -1, -2)

14) Consideren los puntos del ejercicio anterior.

a) Escriban las coordenadas de los vectores yECDE, EB

b) Hallen la norma de los vectores anteriores.

15) Hallen los valores de x, sabiendo que 7a y que )3,,5( xa


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16) Consideren los siguientes vectores: )3,2,1( a , 8,4,5 b ,

5,4,4 c y 2,0,0d . Calculen:

cdah

dcg

cf

ce

bd

dcac

bdb

baa

.5.4.32)

.2.4)

.5

1)

.7)

.6)

)

)

)

17) Consideren los siguientes vectores: 5,2,1a y 5,8,2b . Hallen c

tal que bca

18) Consideren el vector 5,2,1 a y hallen c , tal que ca .3

19) Calculen la norma de a sabiendo que cba , 1,3,2b y

1,7,4 c

20) Hallen el ngulo que determinan los vectores:

a) 4,3,15,3,1 wyv

b) 7,3,2 v y 5,3,1 w

c) 2,1,0 v y 8,1,2w

21) Los vrtices del tringulo ABC son : A = ( 5, 3, 0), B=(2, -3, 1) y

C =(-5; -2; 1). Hallen su permetro y la amplitud de los ngulos interiores.

22) Indiquen cules de los siguientes pares de vectores son ortogonales:

a) 5,3,1,2,0,0 ba

b) 4,3,1,2,1,5 ba

23) Sean A = (1, -1, 2), B = (3, -1, 4) y C = (0, 2, 3). Hallen D, tal que:

a) AB sea paralelo a CD

b) AB sea perpendicular a CD


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24) Sean 5,3,1 a , 6,5,0 b y 4,8,3 c ., hallen:

abe

acd

cac

cbb

baa

)

)

)

)

)

25) Calculen el rea del paralelogramo determinado por los vectores:

1,7,2a y 0,9,4b

26) Hallen un vector de mdulo 37 que sea perpendicular a los vectores

0,1,1s y 2,3,1 t

27) Hallen el rea del paralelogramo ABCD siendo A = (1, 1, 3), B = ( 0,0,1) ,C = ( 2, 0 , 3) y D = (1, -1, 1)

28) Hallen el rea del tringulo ABC siendo A = ( 1,1, -4) , B = ( 0, 0, 5) yC = (2,0,-1)

29) Sean los puntos A = (-2 , 3) , B = (-2 , 5) , C = (2 , 1) y D = (-4 , 4)

a) Hallen el versor asociado a CD

b) Hallen el versor asociado a AB

30) Hallar las componentes de v R3sabiendo que son nmeros

consecutivos y que su longitud es 50 .

31) Dados 2,1,1a , 2,1,3b , 0,3,1c y 1,,1 xxd hallar:

a) Volumen del paraleleppedo determinado por a , b y c

b) Hallar x R que verifiquen que a , b y d sean coplanares

32) Se sabe que el volumen del paraleleppedo determinado por 1,3,1a ,

1,0,1b y 0,,2 xc es el doble del mdulo de c . Hallar x que loverifique.


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Ejercicios adicionales

1) Hallar, si es posible,x, y , z, tales que:a) , 1 = 3, b) 2 , 2 = 1, 3c) 2 , 4 = 2 , 2

2) Determinar Q para que el vector sea equivalente al vector , si:a) = 1 , 2 , = 0 , 2 , = 3 , 1b) = 1 , 2 , = 1 , 3, = 4 , 4c) = 1 , 3 , 1 , = 1 , 2 , 1 , = 0 , 0 , 2

3) Encontrar el punto medio del segmentoABpara:a) = 2 , 1, = 4 ,1b) = 0 , 0 , 0 , = 2 , 4 , 6c)

= 1 , 2 , 3 ,

= 3 , 2 , 1

4) Si = 1 , 2 , 2 ; = 2 , 2 , 2 y es el punto medio de ,hallar tal que sea:a) Equivalente a b) Paralelo a pero de distinto sentido

5) Hallar la distancia entrey se:a) = 1 ,3 ; = 4 , 1b) = 4 , 2 , 6 ; = 3 , 4 , 4

6) Determinar los valores de tales que:a) = 2 si = 1 , ,0b) , = 2 si = 1 , 1 , 1 ; = ,, 2

7) En cada caso encontrar los dos vectores unitarios que tienen la misma

direccin que a) = 3 ,1b) = 0 , 3 , 0c) = 2 , 3 , 6d) = , ,

8) En cada caso, encontrar tal que:a) Si = 1 , 1 ; (, ) = 4 5 y = 2b) Si = 1 , 0; ( , ) = y = 1

9) Un mvil marcha 8 km hacia el norte y luego 22km hacia el sudeste.Realice un grfico cartesiano en el que indique vectorialmente estosdesplazamientos y halle el desplazamiento resultante.


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10) Un nadador se desplaza a 40 m/min en un ro cuya corriente, paralela ala orilla, tiene una velocidad de 1,5 km/h. El nadador desea llegar a unpunto de la otra orilla situado exactamente frente de l. La otra orilladista 200 m de aquella en la que est el nadador. Haga un planteovectorial para contestar las siguientes preguntas:

a) con qu ngulo respecto a la perpendicular a la orilla debe salir?b) cunto tiempo tardar en llegar a la otra orilla?


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RespuestasTrabajo Prctico 1

Algebra de Ecuaciones

1) a)23

435 , b) 20251 , c)

49

2) a) 2,2S , b) 5,5S , c) 8,8S , d) 9,9S ,e) 0S

3) a)

2

1,1S , b)

2

1S , c)

3,2

1S , d)

2

11S ,

e) 7,2S

4) a) 10S , b) 3S , c) 3,1S , d)

4

9S

5) a)

6

5S , b)

4

13S , c) 14S , d) 3S , e) 9S

f) 3S , g)

15

20eS , h) 1S , i) 3S , j) 25S

k) 2S

6) a)

4

7,S , b) 3,S , c)

,2

7S , d) 1,S

e) 2,S , f) ,6S , g)

2

3,1S ,

h)

,

2

1

5

3,S , i)

,

13

4

2

1,S

j)

,02

1,S , k)

2,

9

22,S ,

l)

3,29

312,S , m)

,10,2

1

7 ) a) -3 g) 6 y 7; -6 y -7b) 185 h) 10 y 11c) 36 m i) 60 d) $ 30 j) 9,43 cme) 1,65 m y 0,55 mf) 72, 24, 12 y 72


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RespuestasTrabajo Prctico 2Algebra vectorial

1) a) 5,3S

b) 32,32S

2) a) Origen en C y extremo en 2;0 b) s c) 2; xx

eeE

3) a) 2;7 b) 16;4 c) 10;9 d) 3;4 e) 60 f) 64;21 g) 19

4) a) 23 b) 3 c) 11

5) a) 43 518 b) 91 50 51

6) a) s b) s c) no

7) y = 2. La respuesta es nica.

8)

2

4;

2x

x

9) ''25'4133 ''35'18101 45

10) ''4'3685 ''56'2394

11) 0,8543

12) 4;2

13) a cargo del alumno

14) a) 4;0;1 DE 5;1;3EC 2;2;3EB

b) 17DE 35EC 17EB

15) 1515

16) a) 11;2;4 b) 10;4;5 c) 4;6;5 d) 48;24;30

e) 35;28;28 f)

1;

5

4;

5

4 g) 16;16;16 h)

15;

3

64;

3

62

17) 10;6;1

18)

3

5;

3

2;

3

1

19) 24


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20) a) 21 50 43 b) 25 37 45 c) 36 8 25

21) 235732 P ''34'13108 ''2'4536 ''22'135

22) a) No son ortogonales b) S son ortogonales

23) a) zz

ddD ;2;3 b) zyz dddD ;;3

24) a) 5;6;43 b) 15;18;28 c) 1;19;52 d) 1;19;52 e) 5;6;43

25) 197

26) 4;2;2

27) 12

28) 46

29) a)

5

5;

5

52 b) 1;0

30) 5;4;33;4;5

31) a) 12 b)2

1

32)6

5

Ejercicios adicionales

1) a) = 3 , = 4b) = 1 . = 1c) = 8 , =

2) a) = 4 ; 1 b) = 2 ; 5 c) = 0; 1 ; 23) a) = 3 ; 0 b) = 1 , 2 , 3 c) = 1 ; 0 ; 1

4) a) = ; 0 ; 0 b) = ; 0 ;0

5) a) ; = 5 b) ; = 3

6) a)

= 3 , = 3 b)

=

,

=


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7) a) = ; , =

;

b) = 0 ; 1 ; 0 , = 0 ; 1 ; 0

c) = 7 ; 7 ; 7 , = 7 ; 7 ; 7d) = ;

;

, =

;

;

8) a) = 2 ; 0 , = 0 ; 2 b) = ; , =

;

9) resolucin a cargo del alumno

10) a) 38 41 b) 6 24

Apunte Ecuaciones y Vectores 2015

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