3.8 LA DIFERENCIAL. APROXIMACIONES LINEALES Hasta ahora se ha usado para la derivada de una función y con respecto a x, la notación

de Leibnitz, dxdy , como un símbolo y no como el cociente del símbolo dy (diferencial

de la variable y) entre dx (diferencial de la variable x). Se define en esta sección el concepto de la diferencial, que nos permite representar la derivada como un cociente y hallar el valor aproximado de la variación de una función alrededor de un punto. La definición esta motivada por el siguiente razonamiento geométrico. Sea P(x0, y0) un punto fijo sobre la gráfica de y = f (x) (fig. (a)).

fig. Tomando el punto P(x0, y0) como origen, se introduce un nuevo sistema de coordenadas cuyos ejes dx y dy son paralelos a los ejes antiguos. En este nuevo sistema de coordenadas, la recta tangente en el punto P pasa por el origen y en consecuencia, su ecuación es bastante simple, a saber: dy = mdx, donde m es la pendiente. Ahora, como la pendiente en el nuevo sistema es la misma que la del antíguo, esto es m = f ’(x), se tiene entonces: dy = f ’(x) dx Lo anterior nos permite dar la definición formal de las diferencial. Definición: i. Se llama diferencial de la variable independiente x, denotada por dx, al

incremento x∆ ; esto es xdx ∆= . ii. Si y = f (x) es una función derivable de x, la diferencial de y en el punto x,

denotada dy, se define como xxfdy ∆)('= , o también, . dxxfdy )('=

Interpretación geométrica de la diferencial Sea f una función derivable en x. En el triángulo P0RQ, se tiene: xmRQ ∆.= , en donde m es la pendiente de la recta tangente a la curva en P0 (fig. (b)), y por tanto, m = f ’(x0). Así que: dyxxfRQ == ∆)(' 0 (1) Además, ( ) ( )00 xfxxfy −+= ∆∆ (2) Se puede observar entonces que:

y∆ : es el incremento en y medido sobre la curva; y, dy : es el incremento en y medido sobre la recta tangente. Observaciones: i. Si la ecuación y = f (x) corresponde a una línea recta, entonces ydy ∆= para

cualquier x del dominio. ii. Puesto que , si dxxfdy )('= 0≠dx , entonces al dividir ambos

miembros de la última igualdad por dx, se tiene: )(' xfdxdy

= y se puede de esta

forma interpretar la derivada de una función como el cociente de dos diferenciales. iii. De acuerdo con la observación ii. todas las reglas de diferenciales se deducen de

las reglas de derivación (R.D.1.- R.D.16., sección ), multiplicando ambos miembros de estas últimas por dx.

En la tabla siguiente aparecen las principales reglas de diferenciales deducidas de las correspondientes reglas de derivación.

Regla de la derivada Regla de la diferencial

R.D.1 0)( =cdxd R.d.1. 0=dc

)()( udxdccu

dxd

= cducud =)(

R.D.9. 1)( −= nn nxxdxd R.d.9. dxnxdx nn 1−=

R.D.3.,4. dxdv

dxduvu

dxd

±=± )( R.d.3.,4. dvduvud ±=± )(

R.D.5. dxduv

dxdvuvu

dxd

+⋅=).( R.d.5. duvdvuvud ..).( +=

R.D.7. 2vdxdvu

dxduv

vu

dxd ⋅−

=

R.d.7. 2vudvvdu

vud −

=

R.D.10. dxduunu

dxd nn 1.)( −= R.d.10. duunud nn 1.)( −=

Asi por ejemplo, si ( ) 2/14545 524524 −+=−+= xxxxy , entonces, la

derivada dxdy viene dada por:

( )( )524

41052482021

45

342/14534

−+

+=−++=

−

xxxxxxxx

dxdy

Es decir, ( )

524252

45

3

−+

+=

xxxx

dxdy

Multiplicando ambos miembros de la última igualdad por , se obtiene finalmente:

)0( ≠dxdx

( ) dx

xxxxdy

524252

45

3

−+

+=

iv. Si y = f (x) y x = g (t), entonces la regla de la cadena en forma de diferencial

se expresa asi:

dtdtdx

dxdydy ⋅

⋅

=

Aproximaciones: Las diferenciales pueden utilizarse para aproximar valores de funciones. Para ello, supóngase que la gráfica de y = f (x) corresponde a la de la fig.

fig. Cuando se da a x un incremento x∆ , la variable y recibe un incremento y∆ , que puede considerarse como un valor aproximado de dy. Por lo tanto, el valor aproximado de )( xxf ∆+ es:

xxfxfdyxfxxf ∆∆ )(')()()( +=+≈+ (1) Asi por ejemplo, supóngase que se quiere calcular (usando diferenciales), un valor aproximado de 3 122 . En primer lugar, nótese que 3 122 puede escribirse como 3 3125 − y puesto que

51253 = , se puede pensar en la función: 3)( xxf = y hallar dy con x = 125 y 3−=x∆ .

Esto es, . )3)(125(' −= fdy

Pero, 3 2

3/2

31

31)('

xxxf == −

751

12531)125('

3 2==f , con lo cual,

251

753

−=−

=dy .

En consecuencia, usando (1) se puede escribir: ( ) dyff +≈−+ )125()3(125

2515)122( −≈f

96.425

1242515122 ==−≈3 .

Si se usa una calculadora puede observarse que . 12296.4 3 =